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    Rio de Janeiro, 2013

    Exercciosde Clculo

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    iiiOFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Sumrio

    Introduo ix

    Captulo 1: Equaes Lineares e Desigualdades 1

    Geometria Linear .....................................................................................................................2Desigualdades Lineares e Representaes de Intervalos ...................................................................6

    Equaes e Desigualdades de Mdulo ..........................................................................................9

    Sistemas de Equaes e Desigualdades .......................................................................................12

    Captulo 2: Polinmios 17

    Expresses Exponenciais e Radicais ........................................................................................... 18

    Operaes com Expresses Polinomiais .......................................................................................20

    Fatorando Polinmios ............................................................................................................. 24Resolvendo Equaes Quadrticas ............................................................................................26

    Captulo 3: Expresses Racionais 29

    Adicionando e Subtraindo Expresses Racionais .........................................................................30

    Multiplicando e Dividindo Expresses Racionais ........................................................................32

    Resolvendo Equaes Racionais ................................................................................................ 35

    Desigualdades Polinomiais e Racionais ..................................................................................... 38

    Captulo 4: Funes 45Combinando Funes .............................................................................................................. 46

    Elaborando o Grfico de Transformaes de Funo .................................................................... 49

    Funes Inversas .................................................................................................................... 54

    Assntotas de Funes Racionais ............................................................................................... 57

    Problemas com x elevado primeira potncia

    Criando, fazendo o grco e medindo retas e segmentos de reta

    Adeus, sinaldeigualdade.Ol, parntesesecolchetes

    Resolva dois pelo preo de um

    Encontre uma soluo comum compartilhada entre mltiplasequaes ou desigualdades

    Porque no d para ter expoentes de 1 para sempre

    Potncias e razes quadradas

    Como +, , x e polinmios

    Reverta o processo de multiplicao

    Equaes com expoente mais alto 2

    Fraes, fraes e mais fraes

    Lembra do mnimo denominador comum?

    Multiplicar = fcil, dividir = quase to fcil

    Aqui entra a regra de trs simples

    Nmeros crticos dividem sua reta numrica

    Agora voc vai comear a ver f(x) em todo lugarFaa o (+, , x, ) normal ou insira-os um no outro

    Extenses, compresses, reexes e deslizamentos

    Funes que cancelam outras funes

    Equaes da intocvel linha tracejada

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    Sumrio

    iv OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Captulo 5: Funes Logartmicas e Exponenciais 61

    Explorando as Funes Exponenciais e Logartmicas ................................................................... 62

    Funes Exponenciais e Logartmicas Naturais ........................................................................... 66

    Propriedades dos Logaritmos ....................................................................................................67

    Resolvendo Equaes Exponenciais e Logartmicas ......................................................................70

    Captulo 6: Sees Cnicas 73

    Parbolas .............................................................................................................................. 74

    Crculos ................................................................................................................................80

    Elipses ..................................................................................................................................83

    Hiprboles .............................................................................................................................89

    Captulo 7: Fundamentos da Trigonometria 95

    Medindo ngulos ................................................................................................................... 96

    Relaes entre ngulos ............................................................................................................97

    Avaliando Funes Trigonomtricas .......................................................................................... 99

    Funes Trigonomtricas Inversas ........................................................................................... 106

    Captulo 8: Grficos, Identidades e Equaes Trigonomtricos 109

    Desenhando o Grfico de Transformaes Trigonomtricas .......................................................... 110

    Aplicando Identidades Trigonomtricas ................................................................................... 114

    Resolvendo Equaes Trigonomtricas ...................................................................................... 119

    Captulo 9: Investigando Limites 127

    Avaliando Limites de Um Lado e Gerais Graficamente .............................................................. 128

    Limites e Infinito .................................................................................................................. 133

    Definio Formal de Limite .................................................................................................... 138

    Captulo 10: Avaliando Limites 141

    Mtodo da Substituio ......................................................................................................... 142

    Mtodo de Fatorao ............................................................................................................. 145

    Mtodo do Conjugado ........................................................................................................... 150

    Teoremas de Limite Especiais .................................................................................................. 153

    Funes como log3x, ln x, 4xe ex

    Domine todas essas potncias

    Basesnoescritas, bases deeefrmuladamudanadebase

    Expandindo e simplicando expresses de log

    Expoentes e logs se cancelam

    Parbolas, crculos, elipses e hiprboles

    Grcos de equaes quadrticas

    Centro + raio = formas redondas e problemas fceis

    Uma palavra rebuscada para ovais

    Coisas que parecem com duas parbolas

    Adicione seno, cosseno e tangente mistura

    Radianos, graus e revolues

    ngulos coterminais, complementares e suplementares

    Trigonometria e ngulos de referncia do tringulo retngulo

    Insira um nmero e obtenha um ngulo para variar

    ProvasdeEquaese

    identidadetrigonomtricas

    Expansoedeslocamentodegrfcosdeonda

    Simplique expresses e prove identidades

    Resolva para em vez de x

    Qual altura a funo PRETENDE alcanar?

    Encontre limites em um grco de funo

    O que acontece quando x ou f(x) ca enorme?

    Problemas com psilon-delta no so divertidos

    Calculando limites sem um grco da funo

    To fcil quanto inserir um valor para x

    A primeira coisa que voc deve tentar se a substituio no funcionar

    Para lidar com radicais problemticos

    Frmulas de limite que voc deve memorizar

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    Sumrio

    vOFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Captulo 11: Continuidade e o Coeficiente Diferencial 155

    Continuidade ...................................................................................................................... 156

    Tipos de Descontinuidade ...................................................................................................... 157

    O Coeficiente Diferencial ........................................................................................................ 166

    Diferenciao ....................................................................................................................... 170

    Captulo 12: Mtodos Bsicos de Diferenciao 173

    Derivadas Trigonomtricas, Logartmicas e Exponenciais ........................................................... 174

    A Regra da Potncia ............................................................................................................. 176

    As Regras do Produto e do Quociente ....................................................................................... 179

    A Regra da Cadeia ............................................................................................................... 183

    Captulo 13: Grficos de Funo e Derivadas 191

    Nmeros Crticos .................................................................................................................. 192

    Sinais da Primeira Derivada .................................................................................................. 195

    Sinais da Segunda Derivada.................................................................................................. 201

    Grficos de Funo e Derivada ............................................................................................... 206

    Captulo 14: Aplicaes Bsicas da Diferenciao 209

    Equaes de Tangentes .......................................................................................................... 210

    O Teorema de Valor Extremo ................................................................................................... 215

    Mtodo de Newton ................................................................................................................ 218Regra de LHpital ............................................................................................................... 222

    Captulo 15: Aplicaes Avanadas da Diferenciao 227

    Os Teoremas do Valor Mdio e de Rolle .................................................................................... 228

    Movimento Retilneo ............................................................................................................. 233

    Taxas Relacionadas .............................................................................................................. 237

    Otimizao .......................................................................................................................... 244

    Captulo 16: Tcnicas de Diferenciao Adicionais 251

    Diferenciao Implcita.......................................................................................................... 252

    Diferenciao Logartmica ..................................................................................................... 259

    Diferenciando Funes Trigonomtricas Inversas ....................................................................... 264

    Diferenciando Funes Inversas .............................................................................................. 266

    Grfcosindivisveiseumaprviadasderivadas

    Limite existente + funo denida = continuidade

    Buracos vs. quebras, removvel vs. no removvel

    O caminho mais longo para encontrar a derivada

    Quando existe uma derivada?

    Os quatro pesos pesados para encontrar derivadas

    Memorizefrmulasespeccasparaessasfunes

    Um atalho para diferenciar xn

    Diferencie funes que so multiplicadas ou divididas

    Diferencie funes que so inseridas em funes

    O que os sinais das derivadas dizem sobre os grcos

    Nmeros que separam grcos ondulados

    Use grcos ondulados para determinar a direo da funo

    Pontos de inexo e concavidade

    Como os grcos de f, f e f se relacionam?

    Coloque suas habilidades com derivadas em uso

    Ponto de tangncia + derivada = equao da tangente

    Toda funo tem seus altos e baixos

    Aproxime os zeros de uma funoEncontre limites que costumavam ser impossveis

    Usoscomplicados,masinteressantes,dasderivadas

    Inclinaes mdias = inclinaes imediatas

    Funes de posio, velocidade e acelerao

    Descubra a rapidez com que as variveis mudam em uma funo

    Encontre os maiores ou menores valores de uma funo

    Ainda mais maneiras de diferenciar

    Essencial quando voc no consegue resolver uma funo para encontrar y

    Use as propriedades de log para tornar as derivadas complicadas mais fceis

    Porque a derivada de tg1x no sec2x

    Sem nem saber o que elas so!

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    Sumrio

    vi OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Captulo 17: Aproximando reas 273

    Somas Informais de Riemann ................................................................................................. 274

    Regra dos Trapzios .............................................................................................................. 285

    Regra de Simpson ................................................................................................................. 293

    Somas Formais de Riemann ................................................................................................... 295

    Captulo 18: Integrao 301

    Regra da Potncia para Integrao ......................................................................................... 302

    Integrando Funes Trigonomtricas e Exponenciais .................................................................. 305

    O Teorema Fundamental de Clculo ....................................................................................... 307

    Substituio de Variveis ....................................................................................................... 317

    Captulo 19: Aplicaes do Teorema Fundamental 323

    Calculando a rea entre duas curvas ...................................................................................... 324

    O Teorema do Valor Mdio para Integrao .............................................................................. 330

    Funes de Acumulao e Mudana Acumulada ...................................................................... 338

    Captulo 20: Integrando Expresses Racionais 347

    Separao............................................................................................................................ 348

    Diviso Longa ..................................................................................................................... 351

    Aplicando Funes Trigonomtricas Inversas ............................................................................ 354

    Completamento de Quadrados ................................................................................................ 357Fraes Parciais ................................................................................................................... 361

    Captulo 21: Tcnicas de Integrao Avanadas 367

    Integrao por Partes ............................................................................................................ 368

    Substituio Trigonomtrica ................................................................................................... 372

    Integrais Imprprias ............................................................................................................. 387

    Captulo 22: Volume Rotacional e de Seo Transversal 393

    Volume de um Slido com Sees Transversais Conhecidas .......................................................... 394

    Mtodo do Disco ................................................................................................................... 401

    Mtodo dos Anis ................................................................................................................. 410

    Mtodo das Cascas ............................................................................................................... 421

    Estime a rea entre uma curva e um eixo x

    Somas esquerda, direita, do ponto mdio, acima e abaixo

    Parecida com as somas de Riemann, mas muito mais precisa

    Aproxima muito bem a rea abaixo de funes curvas

    Voc vai querer colocar os pingos nos is

    Agora, a derivada no a resposta, a pergunta

    Adicione 1 ao expoente e divida pela nova potnciaAs integrais trigonomtricas no se parecemnem um pouco com as derivadas

    Integrao e rea esto profundamente relacionadas

    Geralmente chamada de substituio

    O que fazer com as integrais denidas

    Em vez de apenas uma funo e o eixo xCrie uma rea retangular que equivalha rea abaixo de uma curva

    Integraiscomlimitesxeaplicaesdaintegraonavidareal

    Oquefazerquandohumafraodentrodaintegral

    Transforme uma grande e feia frao em fraes menores e menos feias

    Divida antes de integrar

    Muito til, mas apenas em algumas circunstncias

    Para quando h quadrticas embaixo e nenhuma varivel em cimaUma maneira rebuscada de separar grandes fraes

    H ainda mais maneiras de encontrar integrais deve ser o seu aniversrio

    como a regra do produto, mas para integrais

    Usando identidades e pequenos diagramas de tringulos retngulos

    Integrando apesar das assntotas e limites de integrao innitivos

    Por favor, coloque seus culos 3D agora

    Corteoslidoempartesemeaessas partes

    Crculos so as sees transversais mais fceis possveis

    Encontre volumes mesmo se os slidos no forem slidos

    Algo em que se apoiar quando o mtodo dos anis no funcionar

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    Sumrio

    viiOFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Captulo 23: Aplicaes Avanadas de Integrais Definidas 427

    Comprimento do Arco ............................................................................................................ 428

    rea da Superfcie ................................................................................................................ 431

    Centroides ........................................................................................................................... 436

    Captulo 24: Equaes Paramtricas e Polares 447

    Equaes Paramtricas .......................................................................................................... 448

    Coordenadas Polares ............................................................................................................. 452

    Desenhando o Grfico de Curvas Polares ................................................................................. 455

    Aplicaes da Diferenciao Paramtrica e Polar ....................................................................... 460

    Aplicaes da Integrao Paramtrica e Polar ........................................................................... 466

    Captulo 25: Equaes Diferenciais 471

    Separao de Variveis .......................................................................................................... 472

    Crescimento e Decaimento Exponenciais ................................................................................... 477

    Aproximaes Lineares .......................................................................................................... 484

    Campos Direcionais .............................................................................................................. 486

    Mtodo de Euler ................................................................................................................... 492

    Captulo 26: Sequncias e Sries Bsicas 499

    Sequncias e Convergncia ..................................................................................................... 500

    Sries e Testes de Convergncia Bsicos .................................................................................... 502Soma Telescpica e Srie de p .................................................................................................. 506

    Sries Geomtricas ................................................................................................................. 509

    O Teste da Integral ............................................................................................................... 510

    Captulo 27: Testes Adicionais de Convergncia de Sries Infinitas 513

    Teste da Comparao ............................................................................................................ 514

    Teste da Comparao do Limite .............................................................................................. 516

    Teste da Razo ..................................................................................................................... 519

    Teste da Raiz ....................................................................................................................... 522

    Teste da Srie Alternada e Convergncia Absoluta ..................................................................... 526

    Maisproblemasenvolvendointegraislimi

    tadas

    Qual a distncia do ponto A para o ponto B em uma estrada cheia de curvas?

    Mea a pele de um slido de revoluo

    Encontre o centro de gravidade de uma forma em duas dimenses

    Escrevendo equaes sem x e y

    Assim como os revolucionrios o Porto Boston, apenas adicione t

    Converta de (x, y) para (r, ) e vice-versa

    Fazendo grcos com r e em vez de x e y

    Ensinealgunsvelhostruquesdediferenciaoaumcachorronovo

    Talvezalgumasintegrais tambminteressemaocachorronovo

    Equaes que contm uma derivada

    Separe y e dy dos x e dx

    Quandoamudanadeumapopulaoproporcional aoseutamanho

    Um grco e sua reta tangente s vezes so bastante parecidos

    Parecem-se com padres de vento em um mapa meteorolgico

    Pequenos passos para encontrar a soluo da equao diferencial

    O que pior que uma frao? Innitas Fraes

    As listas de nmeros sabem para onde esto indo?

    Testededivergnciaderepresentaodesigmaedotermogeral

    Como lidar com essas sries fceis de serem identicadas

    Elas convergem? E, caso o faam, qual a soma?

    Sries innitas e integrais imprprias esto relacionados

    Parausarcoms

    riesinfnitas

    aindamaisfeias

    Provando que as sries so maiores do que grandes e menores do que pequenas

    Sries que convergem ou divergem por associao

    Compare termos vizinhos de uma srie

    til para termos dentro de sinais de radical

    E se as sries tiverem termos negativos?

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    Sumrio

    viii OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Captulo 28: Sries Infinitas Avanadas 531

    Sries de Potncia ................................................................................................................. 532

    Sries de Taylor e Maclaurin .................................................................................................. 540

    Apndice A: Grcos e transformaes grcas importantes para memorizar 547

    Apndice B: O crculo unitrio 553

    Apndice C: Identidades trigonomtricas 555

    Apndice D: Frmulas de Derivadas 557

    Apndice E: Frmulas de Antiderivadas 559

    ndice 561

    Sries que contm x

    Encontrando intervalos de convergncia

    Sries que aproximam valores de funo

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    ixOFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    IntroduoVoc est tendo aulas de clculo? Sim? Ento voc PRECISA deste livro. Vou dizero porqu:

    Fato n 1: A melhor maneira de aprender clculo trabalhando com problemasde clculo.

    No h como negar. Se fosse possvel entender as aulas apenas lendo o livroterico ou fazendo boas anotaes, todos seriam aprovados com louvor.Infelizmente, a dura verdade que voc precisa apertar os cintos e trabalhar osproblemas at sentir seus dedos dormentes.

    Fato n 2: A maioria dos livros apenas diz QUAIS so as respostas dos problemasprticos, mas no COMO chegar a elas!

    claro que o seu livro pode ter 175 problemas para cada tpico apresentado,mas a maioria deles apenas traz as respostas. Isso significa que se voc noacertar a resposta, estar completamente perdido! Saber que errou no ajuda emnada se voc no souber POR QUE errou. Os livros de matemtica ficam sentadosem um enorme trono, assim como o Grande e Terrvel Oz, e dizem No, tentede novo. E isso o que fazemos. Repetidas vezes. E continuamos a chegar resposta errada para o problema. Que maneira deliciosa de aprender! (No vamosnem discutir por que eles apenas dizem as respostas dos problemas pares. Issosignifica que de fato o AUTOR do livro nem ao menos sentiu vontade de trabalharos mpares?)

    Fato n 3: Mesmo quando os livros de matemtica tentam mostrar os passos deum problema, eles no fazem um trabalho muito bom.

    Os matemticos adoram pular passos. Voc pode estar conseguindo seguir bemuma explicao e, ento, de repente, PUF, se perde. Voc pensa consigo mesmo,Como eles fizeram isso? ou De onde veio esse 42? Ele no estava a no passo

    anterior!. Por que quase todos esses livros presumem que, para trabalhar umproblema na pgina 200, melhor que voc conhea o que h nas pginas de1 a 199 como a palma da sua mo? Voc no quer passar o resto da sua vidafazendo uma lio de casa! Voc s quer saber por que continua chegando a umnmero negativo ao calcular o custo mnimo para a construo de uma piscinacujo comprimento quatro vezes a soma de sua profundidade, adicionado razo pela qual a gua vaza de um trem que saiu de Chicago s 4h da manh,viajando na direo oeste mesma velocidade que o carbono se decompe.

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    Introduo

    x OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Fato n 4: Ler listas de fatos divertido por um tempo, mas depois a piada ficavelha. Vamos direto ao assunto.

    Praticamente todo tipo de problema de clculo com o qualvoc poderia se deparar est aqui afinal, este livro GIGANTE! Se mil problemas no forem suficientes, ento voctem algum tipo de apetite maluco por matemtica e, meuamigo, eu procuraria ajuda profissional. Este livro de prticaera bom, mas para torn-lo TIMO, eu revisei e trabalheitodos os problemas e fiz anotaes nas margens quando acheique algo estava confuso ou precisava de um pouco mais deexplicao. Tambm desenhei pequenos crnios ao lado dosproblemas mais difceis, para que voc saiba que no precisaentrar em pnico se o exerccio for muito desafiador. Afinal, sevoc est trabalhando em um problema e fica completamente

    desnorteado, no melhor saber que o problema FOI FEITOpara ser difcil? reconfortante, pelo menos para mim.

    Imagino que voc ter uma surpresa agradvel ao ver como asexplicaes das respostas so detalhadas, e espero que ache queas minhas pequenas notas so teis ao longo do caminho. Podeme chamar de louco, mas acho que as pessoas que QUEREMaprender clculo e esto dispostas a gastar seu tempo abrindoo caminho por meio da prtica dos problemas devem, de fato,ser capazes de entender os problemas e aprender durante opercurso, mas essa s a minha opinio.

    Boa sorte, e no se esquea de visitar o meu site, em www.calculus-help.com.Se tiver vontade, mande-me um e-mail com aquilo que anda pensando comseus botes. (Mas no literalmente, pois botes de verdade podem entupir osencanamentos da Internet.)

    Mike Kelley

    Todas

    asminhas

    notassofeitasao

    lado,comonessecaso,

    eindicamaspartes

    dolivroqueeuestou

    tentandoexplicar.

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    Introduo

    xiOFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    DedicatriaEste livro para a minha famlia, que iria me amar e me apoiar, eu escrevendolivros de matemtica absurdamente grandes ou no. Para a minha esposa, Lisa,cujo apego sanidade permanece firme mesmo quando a minha comea a seesgotar, eu no poderia te amar mais. Ao meu valente filho pirata, Nick, de quemeu espero que continue a terminar a maioria de suas frases com macacos memordam, mesmo quando ele no tiver mais 3 anos. E para as minhas lindasgmeas, Erin e Sara, que acabaram de dizer sua primeira palavra: sapatos.Imagino que eu vou continuar a ouvir essa palavra muito mais vezes em umfuturo no muito distante.

    Um agradecimento especial a Mike Sanders, que me ajudou a transformar minhaideia de um livro de matemtica cheio de marcaes em realidade, e s minhaseditoras, Sue Strickland e Ginny Munroe, que trabalham bastante para evitar queeu parea bobo.

    Este livro em memria a Joe, que nos deixou em 2006. Quando eu escrevio livro O Guia Completo Para Quem No CDF ClculoJoe me disse (comum pesado sotaque de ex-caminhoneiro de Long Island) que ele seria um tirona mosca. Com uma sinceridade que no vi igual em nenhuma pessoa que jconheci, suas simples palavras de encorajamento significavam muito para mim,como um novo autor na luta. Obrigado, Joe. Voc estava certo.

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    Captulo 1EQUAES LINEARES E DESIGUALDADES

    Um entendimento adequado e rigoroso das equaes lineares e seus

    formatos padro, dos segmentos lineares e dos algoritmos associados,dos sistemas de equaes lineares mltiplas e das desigualdades lineares um pr-requisito essencial para o estudo do clculo. Embora a maioriados alunos de clculo esteja familiarizada com os tpicos presentesneste captulo, a mera familiaridade no suficiente. Para ter xito comtpicos mais avanados dos captulos que se seguem, o domnio dessashabilidades e desses conceitos fundamentais por parte do aluno deve serassegurado.

    Problemascomxelevadoprimeirapotncia

    Pontoseretassoosconceitosgeomtricosmaisbsicos,porisso,voc

    vai

    precisarentendercomoelesserelacionaman

    tesdepoderavanarpara

    funesmaiscomplexaseseusgrficos.Vocp

    recisarsabercomocriar

    equaesderetas,desenharogrficodereta

    snoplanodecoordenadase,

    atmesmo,encontraroscomprimentosepo

    ntosmdiosdesegmentosde

    reta.Voctambmprecisarsaberoquefaze

    rcomexpressesquecontm

    sinaisde,e.Depoisquevocdomina

    risso,revisarcomoencontrar

    soluesdesistemasdeequaesedesigualda

    des(quandovoctrabalhacom

    maisdeumaequaooudesigualdadeporve

    z).

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    Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades

    2 OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Geometria LinearCriando, fazendo o grco e medindo retas e segmentos de reta

    1.1 Resolva a equao: 3x (x 7) = 4x 5.

    Distribua 1 nos parnteses e combine os termos semelhantes.

    Subtraia 4xe 7 de ambos os lados da equao para separar a varivel e ostermos constantes.

    Divida ambos os lados por 2 para obter a soluo.

    1.2 Calcule a inclinao, m, da reta 4x 3y= 9.

    Resolva a equao para encontrarye para reescrev-la no formato deinterceptao e inclinao.

    A inclinao da reta o coeficiente de

    1.3 Prove que a inclinao de uma reta no formato padro, B 0

    Escreva a equao no formato de interceptao de inclinao encontrandoy.

    O coeficiente de x a inclinao da reta: m=

    Oformato

    deinterceptaoe

    inclinaodeumareta

    y=mx+b,emquema

    inclinaodaretaeba

    interceptaodey.

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    Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades

    3OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    1.4 Reescreva a equao linear no formato padro.

    Distribua os termos constantes e combine os semelhantes.

    Multiplique por 15 o mnimo denominador comum, para eliminar as fraes.

    Separe a varivel e os termos constantes.

    1.5 Escreva a equao da reta que passa pelos pontos (3, 8) e (6,2) noformato de interceptao e inclinao.

    Calcule a inclinao da reta.

    Substitua a inclinao na frmula de interceptao e inclinao (y = mx + b) nolugar de m, substitua x ey usando um dos pares de coordenadas e encontre b.

    Substitua me bna frmula de interceptao e inclinao.

    1.6 Calcule as interceptaes de xeyem 3x 4y= 6 e use-as para fazer o grficoda reta.

    Para calcular a interceptao de x, substitua 0 no lugar deye encontre x. Damesma forma, substitua 0 no lugar de xpara calcular a interceptao dey.

    Aequaoestarnoformatopadrosetiver:(1)Nenhumafrao,(2)Somentetermoscom

    xeydoladoesquerdo,(3)Somenteotermoconstantedoladodireitoe(4)Umcoefcientedexpositivo.

    Multipliquetodaaequaopor1paraqueocoefcientedexsejapositivo.(umrequisitodoformatopadro.)

    Pensenoponto(3,8)como(x1,y1)eem(6,2)como(x

    2,y2),ento,x1=3,y

    1=8,

    x2=6ey2=2.

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    4 OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Portanto, o grfico de 3x 4y= 6 corta o eixo xem (2,0) e o eixoyemcomo ilustra a Figura 1-1.

    Figura 1-1

    O grfico de 3x 4y = 6 com suas interceptaes de

    x e y identificadas.

    1.7 Presuma que a retapcontm o ponto (3,1) e que ela seja paralela a x 4y= 1.Escreva a equao depno formato de interceptao e inclinao.

    Calcule a inclinao de x 4y= 1, usando o mtodo do Problema 1.3.

    Insira esta interceptao e as coordenadas (x1,y

    1) = (3,1) na frmula de

    inclinao e ponto.

    Isoleypara expressar a equao no formato de interceptao de inclinao.

    Afrmula

    deinclinaoep

    onto

    criaumaequa

    ocombase

    nainclinaoda

    reta,m,e

    umpontonare

    ta,(x1,y1).

    Noinsiranada

    nolugar

    dexeyqueno

    tenha

    pequenosnmer

    osao

    lado.

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    Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades

    5OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Nota: Os problemas 1.8 - 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD, da Figura 1-2.

    1.8 De acordo com um teorema bsico da geometria euclidiana, as diagonaisde um paralelogramo se interceptam nos pontos mdios. Verifique que esseteorema vlido para o paralelogramo ABCD.

    Figura 1-2

    Paralelogramo

    ABCD.

    Calcule os pontos mdios de ACe BD; as diagonais interceptar-se-o nos pontosmdios se, e somente se, esses pontos mdios coincidirem.

    Ponto mdio de AC: Ponto mdio de BD:

    Nota: Os problemas 1.8 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD na Figura 1-2.

    1.9 Prove que ABCD um losango verificando que seus lados so congruentes.

    Aplique a frmula da distncia quatro vezes, uma em cada lado.

    Opontomdiodeumsegmentoderetacompontosterminais(x1,y1)e(x

    2,y2).Emoutraspalavras,acoordenada

    dexdopontomdiodeumsegmentoamdiadascoordenadasdexdeseusextremos.Omesmoseaplicaparaacoordenada

    dey.

    Adistnciaentre

    ospontos

    (x1,y1)e(x2,y2)

    .

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    Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades

    6 OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    1.10 Prove que ABCD um losango verificando que suas diagonais soperpendiculares umas s outras.

    Calcule as inclinaes das diagonais usando a frmula de inclinao doProblema 1.5.

    Inclinao de AC: Inclinao de BD:

    As diagonais so recprocas negativas, por isso, os segmentos de reta soperpendiculares.

    Desigualdades Lineares e Representaes de Intervalos

    Adeus, sinal de igualdade. Ol, parnteses e colchetes.

    1.11 Escreva a expresso x4 usando a representao de intervalos.

    Um intervalo definido pelos dois valores que ligam uma desigualdade, ovalor inferior seguido pelo valor superior. Voc deve indicar se cada pontoterminal est includo no intervalo ou no. (Um colchete prximo a um pontoterminal significa que ele est incluso, e um parntese indica sua excluso.)

    Qualquer nmero maior que ou igual a 4 torna esta afirmao verdadeira; 4

    o limite mais baixo e deve ser includo. O limite maior o infinito. Portanto,x4 representado como [4,).

    1.12 Escreva a expresso x < 10 usando a representao de intervalos.

    O limite superior 10 e deve ser excludo (j que 10 no menor do que 10).Qualquer nmero menor que 10 torna essa afirmao verdadeira; h valoresinfinitos na direo negativa, por isso, o limite inferior . Portanto, aafirmao da desigualdade escrita como (,10).

    1.13 Escreva a expresso 6 x> 1 usando a representao de intervalos.

    O limite inferior deve sempre preceder o limite superior, independentementede como a expresso esteja escrita: (1,6].

    1.14 Escreva a soluo para a desigualdade usando a representao de intervalos:4x 2 > x+ 13.

    Separe as variveis e os termos constantes e, depois, divida pelo coeficiente de x.

    Asretasparale

    las

    tminclinaes

    iguais.

    Asinclinaesde

    retas

    perpendiculares

    so

    recprocasumas

    soutrase

    possuemsinaiso

    postos.

    Sempre

    useparntesesa

    o

    ladodeaorep

    resentar

    intervalos.Voc

    nopode

    incluiralgoqu

    enoseja

    umnmeroreal

    ,fnito.

    REGRAGERAL:

    Useumcolcheteseo

    smbolodadesigualdade

    prximoaonmerofor

    oudocontrrio,

    use

    umparntese.Sempre

    useparntesesprximos

    ae.

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    7OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    Escreva a soluo como uma representao de intervalos: (5,).

    1.15 Escreva a soluo da desigualdade usando a representao de intervalos:

    3 (2x 1) 5 10x+ 19

    Distribua o termo constante, combine os termos semelhantes e isole xdo ladoesquerdo da equao.

    A diviso por um termo constante negativo altera fundamentalmente adesigualdade:

    Escreva a soluo na forma de representao de intervalos:

    1.16 Desenhe o grfico da desigualdade: 2 x< 3.

    Reescreva a desigualdade como um intervalo: [2,3). Para desenhar o grficodo intervalo em uma reta numrica, insira um ponto para cada limite (pontoscheios para limites includos e pontos vazados para limites excludos). Todos os

    valores entre esses limites pertencem ao intervalo, por isso, trace uma reta maisescura entre os pontos, como ilustrado na Figura 1-3.

    Figura 1-3O grfico de 2 x 1.

    No h limite superior para o intervalo (1,), mas todos os valores maiores

    que 1 satisfazem a desigualdade. Portanto, escurea todos os nmerosmaiores que 1 na reta numrica, como ilustrado na Figura 1-4.

    Figura 1-4 O grfico de x > 1 exclui o limite inferior, x = 1.

    Sevocmultiplicaroudividirambososladosdeumadesigualdadeporumnmeronegativo,invertaosinaldadesigualdade.Nessecaso,setorna.

    Algunslivrosusamcolchetesemvezdepontoscheios

    eparntesesemvezdepontosvazadosnaretanumrica.

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    Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades

    8 OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    1.18 Solucione e desenhe o grfico da desigualdade: 7 1 2x< 11.

    Isole 2xno meio da desigualdade composta subtraindo 1 de cada expresso.Em seguida, divida cada expresso por 2 para isolar x, invertendo os sinais dadesigualdade ao fazer isso.

    O grfico da soluo, (5,4] ilustrado na Figura 1-5.

    Figura 1-5 O grfico de 7 1 2x

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    9OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    1.20 Resolva a equao: 2x y 4.

    Resolva a desigualdade para encontrary.

    Este grfico slido (e no tracejado), pois a reta em si pertence soluo.Sombreie a regio acima da reta, como ilustrado na Figura 1-7.

    Figura 1-7

    Todos os pares ordenados acima da reta so solues

    vlidas para a desigualdade 2x y 4.

    Equaes e Desigualdades de MduloResolva dois pelo preo de um

    1.21 Resolva a equao: |3x 7| = 8.

    Para que esta afirmao seja vlida, a expresso dentro do mdulo deve serigual a 8 (j que |8| = 8) ou a 8 (j que |8| = 8).

    A soluo x ou x= 5.

    Sevocnoquisertestarpontosparadescobrirondedevesombrear,resolvaaequaoparaencontraryeuseessaregrageral:Sombreieacimadaretaparamaiorqueeabaixodareta

    paramenorque.

    Nosolicitadoquevocdesenheogrfcodasoluo,poisumaretanumricacompontosem e5nomuitointeressante.

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    10 OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo

    1.22 Resolva a equao: 1 2|x+ 6| = 4.

    Isole o mdulo absoluto do lado esquerdo da equao.

    Aplique a tcnica descrita no Problema 1.21.

    1.23 Resolva a equao: 9 3|x+ 2| = 15.

    Isole o mdulo do lado esquerdo da equao.

    Esta equao no tem soluo.

    1.24 Resolva a desigualdade: |x 5| < 1.

    A soluo para a desigualdade de valor absoluto |x+ a| < b, em que ae bsonmeros reais (e b> 0), equivale soluo da desigualdade composta b< x+ a< b.

    1 < x 5 < 1

    Resolva a desigualdade usando o mtodo descrito no Problema 1.18.

    A soluo, em representao de intervalos, (4,6).

    1.25 Desenhe o grfico da soluo para a desigualdade: 2|x 7| 5 1.

    Isole o mdulo do lado esquerdo da desigualdade.

    Removaas

    barrasdemduloecrie

    duasequaesumacomo

    ladodireitopositivoeoutra

    comoladodireitonegativo

    .

    Omdulode

    umnmerose

    mpre

    positivoouzero,

    porisso,

    nohcomoalg

    oem

    mduloserigua

    la2.

    Corteasbarrasde

    desigualdade,coloque

    umsinaldedesigualdade

    equivalenteesquerda,e

    depoiscoloqueoopostodo

    ladodireitonoladoesquerdo

    .