CASD Vestibulares MAT I 1

MMaatteemmááttiiccaa Frente I CCAAPPÍÍTTUULLOO 2222 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDAA CCIIRRCCUUNNFFEERRÊÊNNCCIIAA

1 - RECORDANDO

Até agora, o nosso foco principal foi as retas: calculamos as equações geral e reduzida de uma reta, a interseção entre duas retas, as condições para duas retas serem paralelas ou perpendiculares, o ângulo entre duas retas, a distância entre um ponto e uma reta e a área de polígonos (que são figuras geométricas limitadas por retas).

A partir de agora, vamos começar a estudar as curvas (que não são retas). E vamos começar pela curva mais famosa e mais importante, que é a circunferência.

2 - CENTRO NA ORIGEM

Seja uma circunferência de centro na origem, e um ponto genérico de . Como

determinar a equação da circunferência ?

Uma maneira fácil de determiná-la é analisar o triângulo retângulo abaixo:

Figura 1 – circunferência com centro na origem

Logo a equação de uma circunferência de

raio com centro na origem é a seguinte:

Exercício Resolvido 1:

Qual é a equação da circunferência com centro na origem e raio ? Resolução:

Como , tem-se:

Resposta: a equação da circunferência com centro

na origem e raio 5 é

Exercício Resolvido 2:

Sabe-se que a equação de uma

circunferência é . Qual é a área de ? Resolução:

Para colocar a equação da circunferência no formato tradicional, vamos dividí-la por dois:

Comparando a equação da circunferência com a equação normal, tem-se:

e

A área da circunferência é . Então, tem-se:

Resposta: a área da circunferência cuja equação é

vale 16 unidades de área.

3 - EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA

Nós acabamos de ver o caso particular em

que uma circunferência tem centro na origem. Nesse

caso, a sua equação é bem simples: .

No entanto, na maioria dos casos o centro da circunferência é um ponto diferente da origem. Isso complica um pouco a equação da circunferência. Para determiná-la, vamos fazer a mesma coisa que fizemos quando o centro estava na origem: analisar o triângulo retângulo abaixo:

Figura 2 – circunferência com centro em um ponto qualquer

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__________________________________________________________________________________________________________________2 MAT I CASD Vestibulares

Logo a equação de uma circunferência de raio com centro em é a seguinte:

Exercício Resolvido 3:

Qual é a equação de uma circunferência com centro no ponto e raio ? Resolução:

Como , tem-se:

Poderíamos parar por aqui, mas vamos experimentar abrir as contas para ver no que dá:

Resposta: A equação da circunferência com centro no ponto

e raio é

Exercício Resolvido 4:

Sabe-se que a equação de uma circunferência é . Qual é o centro e qual é o raio de ? Resolução:

Comparando a equação de com a equação geral da circunferência, tem-se:

Resposta: O centro de é o ponto e o seu raio é .

Exercício Resolvido 5:

Sabe-se que a equação de uma circunferência é . Qual é o centro e qual é o raio de ? Resolução:

Comparando a equação de com a equação geral da circunferência, tem-se:

Resposta: O centro de é o ponto e o seu raio é .

Exercício Resolvido 6:

Sabe-se que a equação de uma circunferência é . Qual é o centro e qual é o raio de ? Resolução:

Comparando a equação de com a equação geral da circunferência, tem-se:

Resposta: O centro de é o ponto e o seu raio é .

Exercício Resolvido 7:

Sabe-se que a equação de uma

circunferência é . Qual é o centro e qual é área de ? Resolução:

Comparando a equação de com a equação geral da circunferência, tem-se:

A área da circunferência é . Então, tem-se:

Resposta: O centro de é o ponto e a sua área vale

4 - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA

Como nós vimos nos exemplos na geometria plana, há 3 possibilidades para a posição relativa entre um ponto e uma circunferência

. Elas são:

Ponto exterior à circunferência: nesse caso,

;

Ponto pertencente à circunferência: nesse

caso, ;

Ponto interior à circunferência: nesse caso,

;

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__________________________________________________________________________________________________________________CASD Vestibulares MAT I 3

Exercício Resolvido 8:

O ponto é exterior, pertencente ou

interior à circunferência ? Resolução:

Seja o centro de . Comparando a equação de com a equação geral da circunferência, tem-se:

Logo, o centro de é o ponto . Então:

√

Portanto, é um ponto exterior a . Resposta: é um ponto exterior a .

Exercício Resolvido 9:

O ponto é exterior, pertencente ou interior à circunferência ? Resolução:

Seja o centro de . Comparando a equação de com a equação geral da circunferência, tem-se:

Logo, o centro de é o ponto . Então:

√

Portanto, é um ponto pertencente a . Resposta: é um ponto pertencente a .

Exercício Resolvido 10:

O ponto é exterior, pertencente

ou interior à circunferência ? Resolução:

Seja o centro de . Comparando a equação de com a equação geral da circunferência, tem-se:

Logo, o centro de é o ponto . Então:

√

Portanto, é um ponto interior a . Resposta: é um ponto interior a .

5 – ENCONTRANDO O CENTRO

Até agora, nós vimos nos exercícios resolvidos 1 e 3 que, dado o centro de uma circunferência e o seu raio, é simples calcular a sua equação.Também vimos nos exercícios resolvidos 2, 4, 5, 6 e 7 que dada a equação de uma circunferência, é simples calcular o seu centro e o seu raio, desde que a equação da circunferência esteja no formato da equação geral.

No entanto, a equação da circunferência nem sempre está no formato da equação geral: no exercício resolvido 3, vimos que a expressão

representa uma circunferência de centro no ponto e raio .

O problema é: se a equação da circunferência não estiver no formato da equação geral, como fazer para calcular o seu centro e o seu raio?

A equação geral da circunferência é:

Desenvolvendo os quadrados, ela se transforma em:

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__________________________________________________________________________________________________________________4 MAT I CASD Vestibulares

Manipulando os termos, a equação geral da circunferência transforma-se em

Dessa forma, se os coeficientes de e são iguais a , tem-se que:

o coeficiente de é ;

o coeficiente de é ;

o termo independente (do lado direito), é

;

Assim, isolando , tem-se que:

Passo 1: para encontrarmos a abcissa do centro, basta dividir o coeficiente de por

Passo 2: para encontrarmos a ordenada do

centro, basta dividir o coeficiente de por

Passo 3: para encontrarmos o raio , basta substituir e na equação geral da circunferência,

isolar os termos com na equação dada e substituí-los na expressão anterior:

Agora vamos aplicar esse método em alguns exercícios resolvidos:

Exercício Resolvido 11:

Determine o centro e o raio de , sabendo

que a sua equação é Resolução:

Passo 1: o coeficiente de é . Então:

Passo 2: o coeficiente de é . Então:

Passo 3: Substituindo e na equação

geral da circunferência, tem-se que:

A equação dada é:

Substituindo em :

Resposta: O centro de é o ponto e o seu raio vale .

Exercício Resolvido 12:

Determine o centro e o raio de , sabendo

que a sua equação é Resolução: Para aplicar o nosso método, os coeficientes de e devem ser iguais a , logo vamos dividir a equação de por :

Agora, vamos aos passos 1,2 e 3: Passo 1: o coeficiente de é . Então:

Passo 2: o coeficiente de é . Então:

Passo 3: Substituindo e na equação

geral da circunferência, tem-se que:

A equação dada é:

Substituindo em :

Resposta: O centro de é o ponto e o seu raio vale .

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6 - RESUMO

Neste capítulo, nós vimos os seguintes tópicos:

Equação da circunferência com centro na origem:

Equação geral da circunferência:

Posições relativas entre um ponto e uma

circunferência

:

é exterior a se ;

é pertencente a se ;

é interior a se ;

Finalmente, vimos como determinar o centro e o raio de uma circunferência, quando a sua equação não está na forma geral.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nível I

1. (UNESP - 01) A equação da circunferência com

centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto P=

(0,3) é dada por

a) x2 + (y - 3)

2 = 0.

b) (x - 2)2 + (y - 1)

2 = 4.

c) (x - 2)2 + (y - 1)

2 = 8.

d) (x - 2)2 + (y - 1)

2 = 16.

e) x2 + (y - 3)

2 = 8.

2. (UFSCAR- 02) O raio da circunferência inscrita em

um triângulo de lados , e c \ pode ser calculado

pela fórmula

√

onde é o semiperímetro do triângulo. Os catetos de

um triângulo retângulo medem 3 e 4 e estão sobre os

eixos cartesianos, conforme a figura.

Determine nesse triângulo:

a) o raio da circunferência inscrita.

b) a equação da circunferência inscrita.

Nível II

3. (UNESP - 03) Considere a circunferência λ, de

equação (x - 3)2 + y

2 = 5.

a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a λ, tal

que y = 2 e x > 3.

b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de λ e

por P, dê a equação e o coeficiente angular de r.

4. (UFF - 06) Considere P e Q os pontos de

interseção da reta de equação 2y - x = 2 com os

eixos coordenados x e y, respectivamente.

a) Determine as coordenadas dos pontos P e Q.

b) Determine a equação da circunferência que tem o

segmento PQ como diâmetro.

5. (FATEC - 97) Sejam O a origem do sistema de

eixos cartesianos e A o centro da circunferência de

equação x2 + y

2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de reta

que passa pelos pontos A e O é:

a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2 d) y = 2x e) y = x

6. (FATEC - 06) Num sistema de eixos cartesianos

ortogonais, considere a circunferência λ e a reta r, de

equações x2 + y

2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0.

respectivamente. A reta s, que é paralela a r e

contém o centro de λ, tem equação

a) 3x + 7y - 2 = 0 b) 3x - 7y - 2 = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 16 = 0 e) 7x + 3y - 2 = 0 7. A área do quadrado inscrito na circunferência x

2 + y

2 + 4x - 6y -3 = 0 é:

a) 8 b) 12,5 c) 16 d) 30 e) 32

8. Quais os valores de para que o ponto

seja externo a circunferência

( x + 1 )2 + ( y -1)

2 = 25?

GABARITO 1. C

2. a) b)

3. a) ) b) ;

4. a) b) (

)

5.D 6. A 7. E 8.