SOAL JAWAB PARTISI MATRIKS

1. Diberikan vector random X '= [X1 ,X 2 , X3 , X4 , X5 ] dengan vector mean μ '= [2 ,4 ,−1 ,3 ,0 ] dan

matriks varians-covarians

ΣX=[ 4 −1 12

−12

0

−1 3 1 −1 012

−120

1−10

61

−1

140

−102 ]

Partisi X sebagai

X=[X1X2……X3X4X5

]=[ X(1)

……X (2) ]

Misalakan diberikan pula matriks-matriks A=[1 −11 1 ] dan B=[1 1 1

1 1 −2] dan pandanglah A X (1) dan B X (2) adalah kombinasi-kobinasi linier . Carilah

(a) E (X (1)) (b). E ( AX(1)) (c). Cov ( X(1)) (d) Cov ( AX (1))

(e) E (X (2)) (f). E (BX(2)) (g). Cov ( X(2)) (h) Cov (BX (2))

(i) Cov ( X(1) , X (2 )) (j) Cov ( AX (1) ,BX (2))

Ingat bahwa

Σ11=Cov (X (1)) ; Σ22=Cov ( X(2)) ; Σ12=Cov ( X(1) , X (2)) ;Cov ( X )=Σ

Cov ( A X(1) ,BX (2 ))=ACov ( X(1) , X (2 ))B '

Cov ( AX )=ACov ( X ) A ' ; Cov ( AXB )=ACov (XB ) A'=AB ' Cov (X ) BA'

(a). E (X (1))=E [X1X2]=[ μ1μ2]=[24 ]=μ(1)

(b). E ( AX(1))=A E (X (1))=[1 −11 1 ][24 ]=[−26 ]

(c). Cov ( X(1))=Σ11=[ 4 −1−1 3 ]

(d). Cov ( AX (1))=ACov (X (1)) A '=[1 −11 1 ][ 4 −1

−1 3 ][ 1 1−1 1]=[9 1

1 5]

(e). E (X (2))=E [X3X4X5 ]=[μ3μ4μ5]=[−130 ]=μ(2)

(f). E (BX(2))=B E (X(2))=[1 1 11 1 −2][−130 ]=[22]

(g). Cov ( X(2))¿ Σ22=[ 6 1 −11 4 0

−1 0 2 ] (h). Cov (BX (2))=BCov (X (2))B'=[1 1 1

1 1 −2] [ 6 1 −11 4 0

−1 0 2 ][1 11 11 −2]=[12 9

9 24]

(i). Cov ( X(1) , X (2 ))=Σ12=[ 12 −12

0

1 −1 0](j). Cov ( AX (1) ,BX (2))=ACov ( X (1) , X (2))B'=[1 −1

1 1 ] [ 12 −12

0

1 −1 0][1 11 11 −2]=[0 0

0 0 ]

Ulangi soal (1) jika partisi X adalah

X=[X1X2X3… ..X 4X5

]=[ X(1)

……X(2) ] dengan A=[2 −1 0

1 1 3] dan B=[1 21 −1]

2.

(a) E (X (1))=E [X1X2X3]=[ μ1μ2μ3]=[ 24−1]=μ(1)

(b) E ( AX(1))=A E (X (1))=[2 −1 01 1 3 ][ 24−1]=[03]

(c) Cov ( X(1))=Σ11=[ 4 −1 12

−1 3 112

1 6 ](d) Cov ( AX (1))=ACov (X (1)) A '=[2 −1 0

1 1 3 ][ 4 −1 12

−1 3 112

1 6 ][ 2 1−1 10 3]=[24 4

4 29]

(e) E (X (2))=μ(2)=[30](f) E (BX(2))=B E (X(2))=[1 2

1 −1] [30]=[33](g) Cov ( X(2))¿ Σ22=[ 4 0

0 2](h) Cov (BX (2))=BCov (X (2))B'=[1 2

1 −1][ 4 00 2][1 1

2 −1]=[12 00 6]

(i) Cov ( X(1) , X (2 ))=Σ12=¿ [−12 0

−1 01 −1

](j) Cov ( AX (1) ,BX (2))=ACov ( X (1) , X (2))B'

¿ [2 −1 01 1 3 ][−12 0

−1 01 −1

] [1 12 −1]=[ 0 0

−92

92 ]

3. Ulangi soal 1, jika X=[X1X3……X2X4X5

]=[ X(1)

……X (2) ], dengan A=[1 −1

1 1 ] dan B=[1 1 11 1 −2]

a. E (X (1))=E [X1X3]=[ μ1μ3]=[ 2−1]=μ(1)

(b). E ( AX(1))=A E (X (1))=[1 −11 1 ][ 2−1]=[31]

(c). Cov ( X(1))=Σ11=[σ11 σ 13σ31 σ 33]=[ 4 1

212

6 ] (d). Cov ( AX (1))=ACov (X (1)) A '=[1 −1

1 1 ][ 4 12

12

6 ][ 1 1−1 1]=[ 9 −2

−2 11 ]

(e). E (X (2))=E [X2X4X5 ]=[μ2μ4μ5]=[430 ]=μ(2)

(f). E (BX(2))=B E (X(2))=[1 1 11 1 −2][430 ]=[77]

(g). Cov ( X(2))¿ Σ22=[ σ22 σ 24 σ 25σ 42 σ 44 σ 45σ52 σ 54 σ 55

]=[ 3 −1 0−1 4 00 0 2]

(h). Cov (BX (2))=BCov (X (2))B'=[1 1 11 1 −2] [ 3 −1 0

−1 4 00 0 2][

1 11 11 −2]=[7 1

1 7 ]

(i). Cov ( X(1) , X (2 ))=Σ12=[−1 −12

0

1 1 −1](j). Cov ( AX (1) ,BX (2))=ACov ( X (1) , X (2))B'=[1 −1

1 1 ] [ 12 −12

0

1 −1 0][1 11 11 −2]=[0 0

0 0 ]Matrik Korelasi, akar kuadrat dan matriks varians kovarians

4. Vektor random X mempunyai matriks varians kovarians Σ=[ 25 −2 4−2 4 14 1 9 ] , Tentukan

(a) matrik akar kuadrat(matriks standar deviasi) V 1 /2 dan inversnya V−1 /2

(b) matriks korelasi ρ

(c) V 1 /2 ρ V 1 /2

(d) ρ13

(e) korelasi antara X1 dan ( 12 X 2+ 12 X 3)Jawab

(a) V1 /2=[√σ11 0 0

0 √σ22 0

0 0 √σ33 ]=[5 0 00 2 00 0 3] dan V

−1 /2=[1/5 0 00 1/2 00 0 1/3]

(b) ρ=V−1 /2ΣV−1 /2=[1/5 0 00 1/2 00 0 1/3][

25 −2 4−2 4 14 1 9 ][

1/5 0 00 1/2 00 0 1/3]

¿ [ 1 −1/5 4 /15−1 /5 1 1/64 /15 1/6 1 ]

(c) V 1 /2 ρ V 1 /2=¿ [5 0 00 2 00 0 3 ][

1 −1 /5 4 /15−1/5 1 1/64/15 1/6 1 ][5 0 0

0 2 00 0 3]=[ 25 −2 4

−2 4 14 1 9]=Σ

(d) ρ13=4 /15

(e) korelasi (X1, 12 X2+ 12 X3)=cov (X1, 12 X2+ 12 X3)

√var (X1 )√var (12 X2+12 X3)= 1

√25√15/4

dimana var ( X1 )=25 , var ( 12 X2+ 12 X3)=var ([ 12 12 ][X2X3])=[ 12 12 ][4 11 9 ][1/21/2]=15 /4

cov (X1 , 12 X 2+ 12 X 3)=12 cov ( X1, X 2)+12cov ( X1 , X 3)=

12

(−2 )+ 12

(4 )=1

Soal jawab (Latihan)

Misalkan X berdistribusi normal N3 (μ ,Σ ) dengan

μ=[−314 ] dan Σ=[ 1 −2 0−2 5 00 0 2]

Which of the following random variables are independent ? Explain, Apakah variabel random berikut

independent ? Jelaskan

(a) X1∧X2 (b) X2∧X3 (c) (X 1 , X2 )∧X3 (d) X1+X22

and X3

(e) X2∧¿ X2−52X1−X 3

(f) Find the distribution of (Tentukandistribusi dari ¿ 3 X1−2 X 2−X3 (soal tambahan )

Jawab

Jawab μ=[μ1μ2μ3]=[−314 ] , dan Σ=[σ11 σ 12 σ13σ21 σ 22 σ23σ31 σ 32 σ33

]=[ 1 −2 0−2 5 00 0 2]

(a) karena σ 12=−2 ,maka X1∧X2 tidak independent

(b) karena σ 23=0maka X2∧X3 adalah independen

(c) Buat partisi matriks [X1X2X3]=[ X1X2

…… ..X 3

]=[X(1)

… ..X (2)];[ μ1μ2μ3]=[ μ1

μ2…… ..μ3

]=[ −31

…….4

]=[ μ(1)

… ..μ(2) ]

[σ11 σ12 σ13σ21 σ 22 σ23σ31 σ32 σ33

]=[ 1 −2 0−2 5 00 0 2]=[σ11 σ12 σ 13

σ 21 σ22 σ 23σ31 σ32 ¿ σ 33

]=[Σ11 Σ12Σ21 Σ22]

E (X (1))=E (X1X2)=[E (X1 )E (X2 )]=[ μ1μ2]=[−31 ]=μ(1)

Cov ( X(1))=E [ (X (1)−μ(1)) (X (1)−μ(1 ))' ]=E[ [X1−μ1X2−μ2] [X1−μ1 X2−μ2 ]]=[ σ11 σ12σ 21 σ22 ]

[ 1 −2−2 5 ]=Σ11

E (X (2))=E ( X3 )= [E (X3 ) ]=μ3=4=μ(1)

Cov ( X(2))=E [ (X (2)−μ(2)) (X (2)−μ(2))' ]=E [ [ X3−μ3 ] [X3−μ3 ] ]=σ33=2=Σ33

Cov ( X(1) , X (2 ))=Σ12=[σ 13σ 23]=[00 ]Karena Σ12=[00] , maka (X 1 , X2 )∧X3 adalah independen

(d). Tuliskan [ 12 X1+12 X2X3 ]=[ 12 120

0 0 1] [X1X2X3]=A X , sehingga A X N2 (A μ , A Σ A ' )

dengan A μ=[ 12 120

0 0 1] [−314 ]=[−14 ] dan A Σ A'=[ 12 1

20

0 0 1 ][1 −2 0

−2 5 00 0 2] [ 12 0

120

0 1]=[ 12 0

0 2]

Karena Cov ( X1+X22, X3) ¿ Σ12=0, maka

X1+X22

and X3 independen

(e). Misalkan U=3 X1−2 X2−X3=[3 −2 −1 ] [X1X2X3]=a' X

E (a ' X )=a' E (X )=a' μ=[3 −2 −1 ] [−314 ]=−15

Cov (a' X )=a'Cov ( X )a=[3 −2 −1 ][ 1 −2 0−2 5 00 0 2] [

3−2−1]=56

Jadi U=3 X1−2 X2−X3 N (−15,56 ) .

f) μ=[−314 ] , dan Σ=[σ11 σ 12 σ13σ21 σ 22 σ23σ31 σ 32 σ33

]=[1 1 11 3 21 2 2]

3 X1−2 X 2+X3

Misalkan V=3 X1−2 X2+X3= [3 −2 1 ][ X1X 2X 3]=a ' X

E (a ' X )=a' E (X )=a' μ=[3 −2 1 ] [−314 ]=−7

Cov (a' X )=a'Cov ( X )a=[3 −2 1 ] [1 1 11 3 21 2 2][

3−21 ]=9

Jadi U=3 X1−2 X2+X3 N1 (−7 ,9 )

Metode lain

Mean : E (U )=E (3 X1−2 X2+X3 )=3 E (X1 )−2E ( X2 )−E (E3 )=3 μ1−2 μ2+μ3

¿3 (−3 )−2 (1 )+4=−7

Var (3 X1−2 X2+X 3 )=E [ (3 X 1−2 X2+X3 )− (3μ1−2μ2+μ3) ]2

¿ E [3 (X1−μ1 )−2 (X2−μ2 )+(X3−μ3 ) ]2

¿E [9 (X1−μ1 )2+4 (X2−μ2 )2+( X3−μ3 )2+2 (3 ) (−2 ) ( X1−μ1 ) (X 2−μ2 )

+2 (3 ) (1 ) (X 1−μ1 ) ( X3−μ3 )+2 (−2 )(1) (X2−μ2) ( X3−μ3 ) ]

¿9 E (X1−μ1 )2+4 E ( X2−μ2 )2+E (X3−μ3 )2−12 E (X1−μ1 ) ( X2−μ2 )

+6 E ( X1−μ1 ) (X3−μ3 )−4 E (X2−μ2) ( X3−μ3 )

¿9σ 11+4 σ22+σ33−12σ12+6σ13−4σ 23

¿9 (1 )+4 (3 )+1 (2 )−12 (1 )+6 (1 )−4 (2 )=9

Jadi U=3 X1−2 X2+X3 N1 (−7 ,9 ) .

Q1. NAMA:……………………………………………………………….………NIM…………………………………… TTD…………..………….

1. Vektor random X '=[X1 , X2 , X3 , X 4 , X5 ] dengan mean μ= [μ1, μ2 , μ3 , μ4 , μ5 ] dan matriks Covarians

¿ [σ11 σ 12 σ 13 σ14 σ15σ21 σ 22 σ 23 σ24 σ25σ31σ41σ51

σ 32σ 42σ 52

σ33σ 43σ53

σ34σ44σ54

σ35σ 45σ55

] Jika vector random X dipartisi atas X=[

X1X3……X2X4X5

]=[ X(1 )

…….X (2 ) ] dan diberikan matriks-matriks

A=[1 −11 1 ] dan B=[1 1 1

1 1 −2]. Tentukan

(a) E (X (1))

(b). E ( AX(1))

(c). Cov ( X(1))

(d). Cov ( AX (1))

(e). E (X (2))

(f). E (BX(2))

(g). Cov ( X(2))

(h). Cov (BX (2))

(i). Cov ( X(1) , X (2 ))

(j). Cov ( AX (1) ,BX (2))

Operasi-operasi perkalian matriks tidak perlu dicari hasil akhirnya

NAMA:……………………………………………………………….………NIM…………………………………… TTD…………..………….

1. Vektor random X '=[X1 , X2 , X3 , X 4 , X5 ] dengan mean μ= [μ1, μ2 , μ3 , μ4 , μ5 ] dan matriks Covarians

Σ=[σ11 σ12 σ13 σ 14 σ15σ21 σ22 σ23 σ 24 σ 25σ31σ41σ51

σ32σ42σ52

σ 33σ 43σ 53

σ 34σ 44σ 54

σ35σ 45σ55

] Jika vector random X dipartisi atas X=[

X1X2X4……X3X5

]=[ X(1 )

…….X (2 ) ] dan diberikan matriks-matriks

A=[1 1 11 1 −2] dan B=[1 −1

1 1 ]. Tentukan

(a) E (X (1))

(b). E ( AX(1))

(c). Cov ( X(1))

(d). Cov ( AX (1))

(e). E (X (2))

(f). E (BX(2))

(g). Cov ( X(2))

(h). Cov (BX (2))

(i). Cov ( X(1) , X (2 ))

(j). Cov ( AX (1) ,BX (2))

Operasi-operasi perkalian matriks tidak perlu dicari hasil akhirnya

Solusi kuis 1

1. Vektor random X '=[X1 , X2 , X3 , X 4 , X5 ] dengan mean μ= [μ1, μ2 , μ3 , μ4 , μ5 ] dan matriks Covarians

¿ [σ11 σ 12 σ 13 σ14 σ15σ21 σ 22 σ 23 σ24 σ25σ31σ41σ51

σ 32σ 42σ 52

σ33σ 43σ53

σ34σ44σ54

σ35σ 45σ55

] Jika vector random X dipartisi atas X=[

X1X3……X2X4X5

]=[ X(1 )

…….X (2 ) ] dan matriks-matriks

A=[1 −11 1 ] dan B=[1 1 1

1 1 −2]. Tentukan

(a) E (X (1))=E [X1X3]=[E (X1 )E (X3 )]=[μ1μ3]=μ(1 )

(b). E ( AX(1))=A E (X (1))=A μ(1)=[1 −11 1 ][μ1μ3]=[μ1−μ3μ1+μ3 ]

atau E ( AX(1))=E([1 −11 1 ][X1X3])=E[X1−X3X1+X 3 ]=[E ( X1−X 3 )

E (X1+X3 ) ]=[E ( X1 )−E ( X3 )E (X1 )+E ( X3 ) ]=[ μ1−μ3μ1+μ3 ]

(c). Cov ( X(1))=E [ (X (1)−μ(1)) (X (1)−μ(1 ))' ]=E[ [X1−μ1X3−μ3] [X1−μ1 X3−μ3 ] ]=[σ11 σ13σ31 σ33 ]=Σ11

(d). Cov ( AX (1))=ACov (X (1)) A '=[1 −11 1 ][σ 11 σ13

σ 31 σ33 ][ 1 1−1 1]

¿ [σ11−2σ 13+σ33 σ11−σ33σ11−σ33 σ11+2σ13+σ33 ]

(e). E (X (2))=E [X2X4X5 ]=[E (X2 )E ( X4 )E (E5 )]=[μ2μ4μ5]=μ(2)

(f). E (BX(2))=B E (X(2))=[1 1 11 1 −2][ μ2μ4μ5]=[ μ2+μ4+μ5μ2+μ4−2 μ5]

(g). Cov ( X(2))=E [ (X (2)−μ(2)) (X (2)−μ(2))' ]=[σ22 σ24 σ25σ42 σ 44 σ45σ52 σ54 σ55

]=Σ22

(h). Cov (BX (2))=BCov (X (2))B'=B Σ22B'=[1 1 11 1 −2][ σ22 σ 24 σ 25

σ 42 σ 44 σ 45σ52 σ 54 σ 55

] [1 11 11 −2]

(i). Cov ( X(1) , X (2 ))=E [ ( X (1)−μ(1)) (X (2)−μ(2))' ]=[σ12 σ 14 σ15σ32 σ 34 σ35 ]=Σ12

(j). Cov ( AX (1) ,BX (2))=ACov ( AX (1 ), BX(2))B '=[1 −11 1 ] [σ12 σ 14 σ15

σ32 σ 34 σ35 ][1 11 11 −2]

Bukti

Cov ( AX (1) ,BX (2))=E [ (AX (1), Aμ(1)) (BX(2) ,Bμ(2))' ]

¿ E [ ( AX(1)−Aμ(1)) ( X '(2)B '−μ ' (2)B ' ) ]

¿ E [ ( AX(1)X '(2)B '−Aμ(1)X '(2)B'−AX (1) μ' (2 )B'+Aμ(1 )μ' (2 )B' ) ]

¿ E [ A (X (1)X '(2)−μ(1)X ' (2)−X(1) μ' (2)+μ(1 )μ' (2 )) B ' ]

¿ E [A {(X (1)−μ(1))( X (2 )−μ(2)) '}B ' ]

¿ A [E {(X (1)−μ(1))( X (2 )−μ(2)) '}]B'

¿ ACov ( AX(1) ,BX (2))B'∎

PR (Kumpul hari Senin)

1. Vektor random X mempunyai matriks varians kovarians Σ=[4 1 41 25 −24 −2 9 ] , Tentukan

(a) matriks akar kuadrat(matriks standar deviasi) V 1 /2 dan inversnya V−1 /2

(b) matriks korelasi ρ

(c) ρ23

(d) V 1 /2 ρ V 1 /2

(e) korelasi antara ( 12 X1+ 12 X 2) dan X3

2. (a). Tunjukkan bahwa matriks Σ definit positif

(b) Tentukan dekomposisi spectral dari matriks Σ=[4 1 41 25 −24 −2 9 ]

Solusi PR

1. (a). V1 /2=[√4 0 0

0 √25 00 0 √9]=[2 0 0

0 5 00 0 3] dan V

−1 /2=[1/2 0 00 1/5 00 0 1/3]

(b). ρ=V−1 /2ΣV−1 /2=[1/2 0 00 1/5 00 0 1/3][

4 1 41 25 −24 −2 9 ][1/2 0 0

0 1 /5 00 0 1/3]=[ 1

110

23

110

1−215

23

−215

1 ](c). ρ23=

−215

(d). V 1 /2 ρ V1 /2=[2 0 0

0 5 00 0 3] [ 1

110

23

110

1−215

23

−215

1 ] [2 0 00 5 00 0 3]=[4 1 4

1 25 −24 −2 9 ]=Σ

2. Σ definit positif, jika Σ simetri dan terdapat vector x tak nol sedemikian sehingga

x ' Σ x>0

[ x1 x2 x3 ] [4 1 41 25 −24 −2 9 ][ x1x2x3]=¿

¿4 x12+25 x2

2+9 x32+2 x1 x2+8 x1 x3−4 x2 x3

¿2 x12+20 x2

2−8 x32+(x1+x2 )2+(x1+4 x3 )2+(2 x2−x3)

2>0?

Q2 Nama:………………………………………………………………… NIM: ………………………. Ttd. …………………..

1. Diberikan vector random X '= [X1 ,X 2 , X3 , X4 , X5 ] dengan vector mean μ '= [2 ,4 ,−1 ,3 ,0 ] dan

matriks varians-covarians

Σ=[ 4 −1 12

−12

0

−1 3 1 −1 012

−120

1−10

61

−1

140

−102 ] . Partisi X sebagai X=[

X1X2……X3X4X5

]=[ X(1)

……X (2) ]

Misalakan diberikan pula matriks A=[1 −11 1 ] dan B=[1 1 1

1 1 −2] dimana A X (1) dan B X (2) adalah kombinasi-kobinasi linier . Carilah

(a) E (X (1))

(b). E ( AX(1))

(c). Cov ( X(1))

(c) Cov ( AX (1))

(d) E (X (2))

(f). E (BX(2))

(g). Cov ( X(2))

(h) Cov (BX (2))

(i). Cov ( X(1) , X (2 ))

(j) Cov ( AX (1) ,BX (2))

2. Misalkan himpunan titik-titik (x1 , x2 ) adalah jarak dari titik asal yang dinyatakan oleh

c2=4 x12+3x2

2−2√2x1 x2

Untuk c2=4. Tentukan sumbu major dan sumbu minor dari ellips tersebut dan sketsa grafiknya.

Catatan : Tulis rumus terlebih dahulu

NAMA:………………………………………………………………… NIM: ………………………. TTD. …………………..

1. Diberikan vector random X '= [X1 ,X 2 , X3 , X4 , X5 ] dengan vector mean μ '= [2 ,4 ,−1 ,3 ,0 ] dan

matriks varians-covarians

Σ=[ 4 −1 12

−12

0

−1 3 1 −1 012

−120

1−10

61

−1

140

−102 ] . Partisi vector random X sebagai X=[

X1X2X3… ..X 4X5

]=[ X(1)

……X(2) ].

Misalakan diberikan matriks A=[2 −1 01 1 3] dan B=[1 2

1 −1] dimana A X (1) dan B X (2) adalah

kombinasi-kobinasi linier . Carilah

(a). E (X (1))

(b). E ( AX(1))

(c). Cov ( X(1))

(d) Cov ( AX (1))

(e) E (X (2))

(f) E (BX(2))

(g) Cov ( X(2))

(h) Cov (BX (2))

(i) Cov ( X(1) , X (2 ))

(j) Cov ( AX (1) ,BX (2))

1.414

0.894

0

[ Σ11 ¿Σ12¿Σ 21 ¿Σ22 ]

2. Misalkan himpunan titik-titik (x1 , x2 ) adalah jarak dari titik asal yang dinyatakan oleh

c2=4 x12+3x2

2−2√2x1 x2Untuk c2=9. Tentukan sumbu major dan sumbu minor dari ellips tersebut dan sketsa grafiknya.

Catatan : Tulis rumus terlebih dahulu

Solusi No. 2

Misalkan himpunan titik-titik (x1 , x2 ) adalah jarak dari titik asal yang dinyatakan oleh

c2=4 x12+3x2

2−2√2x1 x2

Untuk c2=4. Tentukan sumbu major dan sumbu minor dari ellips tersebut dan sketsa grafiknya

Jawab

4 x12+3 x2

2−2√2x1 x2=4

4 x12+3 x2

2−2√2x1 x2= [x1 x2 ] [ 4 −√2−√2 3 ] [x1x2]= x ' Ax

|A−λI|=|4−λ −√2−√2 3−λ|=0

(4− λ ) (3−λ )−2=0

( λ−2 ) ( λ−5 )=0

dieroleh nilai-nilaqi eigen dari A , yaitu λ1=2 , λ2=5

Panjang sumbu sumbu major/minor dari elips adalah c

√ λ1= 2

√2=1.414 dan

c

√ λ2= 2

√5=0.894

Vektor- vector eigen

Untuk λ1=2, maka Ax=λ1 x diperoleh vektor eigen x1=[1/√21 ], atau di standarisasi menjadi

e1=x1

|x1|=[ 1/√3√2/√3 ]=[0.5770.82 ]

Untuk λ1=5, Dengan cara serupa diperoleh vector eigen x2=[−√21 ], atau di standarisasi menjadi

e2=x2

|x2|=[−√2/√3

1/√3 ]=[−0.820.577 ]Decomposisi dari A adalah

A=λ1 e1 e ' 2+λ2 e1 e '2

¿2[ 1/√3√2/√3 ][ 1√3 √2√3 ]+5[−√2/√3

1/√3 ] [−√2√3

1√3 ]=[ 4 −√2

−√2 3 ]=A

Matriks Partisi (lanjutan)

Misalkan semua subset dari X berdistribusi normal : X N p (μ ,Σ )

Jika dilakukan partisi berturut-turut terhadap X , vektor mean μ dan matriks covarians Σ sebagai berikut :

Xp×1

=[X1X2⋮XqXq+1⋮X p

]=[X1X2⋮X q

−−−¿ X q+1

⋮X p

]=[ Xq× 1

(1)

…….X

( p−q )×1

(2)]

μp×1

=[μ1μ2⋮μqμq+1⋮μp

]=[μ1μ2⋮μq

−−−¿ μq+1⋮μ p

]=[ μq×1

(1)

…….μ

( p−q)×1

(2)]

dalam hal ini X (1) N q ( μ(1) , Σ11) dan X (2) N p−q ( μ(2) , Σ22)

Ilustrasi 1

Diketahui X N5 (μ ,Σ ), Carilah distribusi dari [X1X3X5]

Solusi

Tuliskan X(1)=[X1X3X5] , maka μ

(1 )=[μ1μ3μ5] dan Σ11=[σ11 σ13 σ15σ31 σ33 σ35σ51 σ53 σ55

]Jadi X

(1) N3 (μ(1) ,Σ11 )=N3([μ1μ3μ5] ,[σ 11 σ13 σ15σ31 σ33 σ35σ51 σ53 σ55

])Secara keseluruhan partisi X , μ dan Σ adalah

X5×1

=[X1X3X5… ..X2X4

] , μ5×1=[μ1μ3μ5… ..μ2μ4

] dan Σ5×5

=[σ 11 σ13 σ15 ⋮ σ 12 σ14σ31 σ33 σ35 ⋮ σ 32 σ34σ51⋯σ21σ 41

σ53⋯σ23σ43

σ55⋯σ25σ45

⋮⋯⋮⋮

σ 52 σ54⋯ ⋯σ 22σ 42

σ24σ44

]atau

X5×1

=[ X3×1(1 )

…….X2×1

(2 ) ] , μ5×1=[ μ3×1(1 )

…….μ2×1

(2 ) ] dan Σ5×5

=[ Σ3×311 ⋮ Σ3×2

12

⋯ ⋮ ⋯Σ2×3

21 ⋮ Σ2×2

22]dimana σ ij=σ ji

Sifat

(1) Jika Xq1×1

(1) dan X

q2×1

(2) independen (saling bebas) maka Cov ( X(1) , X (2 ))=0 , yaitu matriks berukuran

q1×q2 merupakan matriks nol

(2) Jika [ Xq1×1(1)

…….Xq2×1

(2) ] berdistribusi N (q1+q2 )([ μq1×1(1)

…….μ

q2×1

(2 ) ] , [ Σq1×q1

11 ⋮ Σq1×q2

12

⋯ ⋮ ⋯Σ

q2×q121 ⋮ Σ

q 2×q222]) maka

X (1) dan X (2) independen jika dan hanya jika Σ12=0

(3) Jika X (1) dan X (2) independen dan masing-masing berdistribusi Nq1 (μ(1), Σ11) dan Nq2 (μ(2) ,Σ22 ) maka

[ Xq1×1(1)

…….Xq2×1

(2) ] memiliki distribusi normal multivariate N (q1+q2 )([ μq1×1(1)

…….μ

q2×1

(2 ) ] , [ Σq1×q1

11 ⋮ 0

⋯ ⋮ ⋯0 ⋮ Σ

q2×q222 ])

Soal latihan PR

Misalkan variabel random X N3 (μ ,Σ ), dengan μ=[−314 ] dan Σ=[ 1 −2 0−2 5 00 0 2]

Jelaskan apakah variabel-variabel random berikut independen ?

a. X1 dan X2 e. X1+X22

dan X3

b. X2 dan X3 f. X2 dan X2−52X1−X 3

c. X1 dan X3 g. X1 dan X1+3 X2−2 X3 d. (X 1 , X2 ) dan X3 h. (X 1 , X3 ) dan X2

Matriks data sampel

Xp×n

=[x11 x12 ⋯ x1 j ⋯ x1nx21 x22 ⋯ x2 j ⋯ x2n⋮x i1⋮x p1

⋮x i2⋮x p2

⋮⋯⋮⋯

⋮xij⋮x pj

⋮⋯⋮⋯

⋮x¿

⋮xpn

]dimana

X1=[x11x21⋮x i1⋮x p1

] ; X2=[x11x21⋮x i1⋮x p1

] ; ⋯ X j=[x1 jx2 j⋮xij⋮x pj

] ; ⋯ ; X n=[x1nx2n⋮x¿

⋮x pn

]Vektor mean adalah

X=[x1x2⋮xi⋮x p

]=[1n

(x11+x12+⋯+x1n )1n

(x21+ x22+⋯+x2n )⋮

1n

(x i1+x i2+⋯+x¿)⋮

1n

(x p1+ xp2+⋯+x pn )]

Misalkan Y=[x11−x1 x12−x1 ⋯ x1 j−x1 ⋯ x1n−x1x21−x2 x22 x2 ⋯ x2 j−x2 ⋯ x2n−x2

⋮x i1−x i

⋮x p1−x p

⋮x i2−x i

⋮x p2−x p

⋮⋯⋮⋯

⋮x ij−x i

⋮x pj−x p

⋮⋯⋮⋯

⋮x¿−x i⋮

x pn−xp] maka

Y Y t=[ ∑i=1

p

( x1 i−x1 )2 ∑i=1

p

(x1 i−x1 ) (x2 i−x2) ⋯ ∑i=1

p

(x1 i−x1 ) (x pi−xp )

∑i=1

p

(x2i−x2 ) (x2 i−x2 ) ∑i=1

p

(x2 i−x2 )2 ⋯ ∑i=1

p

(x2 i−x2 ) (x pi−xp )

⋮

∑i=1

p

(x pi−x p ) (x1i−x1 )

⋮

∑i=1

p

(x pi−x p ) ( x2 i−x2 )⋯⋯

⋮

∑i=1

p

(x pi−x p )2 ] Y Y t=[ ∑

i=1

p

( x1 i−x1 )2 ∑i=1

p

(x1 i−x1 ) (x2 i−x2) ⋯ ∑i=1

p

(x1 i−x1 ) (x pi−xp )

∑i=1

p

(x2i−x2 ) (x2 i−x2 ) ∑i=1

p

(x2 i−x2 )2 ⋯ ∑i=1

p

(x2 i−x2 ) (x pi−xp )

⋮

∑i=1

p

(x pi−x p ) (x1i−x1 )

⋮

∑i=1

p

(x pi−x p ) ( x2 i−x2 )⋯⋯

⋮

∑i=1

p

(x pi−x p )2 ] Sp×p

= 1n−1

Y Y t

Sp×p

= 1n−1 [ ∑

i=1

p

(x1 i−x1 )2 ∑i=1

p

(x1 i−x1 ) ( x2 i−x2 ) ⋯ ∑i=1

p

(x1 i−x1) (x pi−x p )

∑i=1

p

(x2 i−x2 ) (x2i−x2 ) ∑i=1

p

(x2 i−x2 )2 ⋯ ∑i=1

p

(x2 i−x2) (x pi−x p )

⋮

∑i=1

p

(x pi−xp ) (x1 i−x1 )

⋮

∑i=1

p

( xpi−x p ) (x2 i−x2 )⋯⋯

⋮

∑i=1

p

(x pi−xp )2 ] ¿ [

1n−1∑i=1

p

(x1 i−x1 )2 1n−1∑i=1

p

(x1 i−x1 ) (x2 i−x2 ) ⋯ 1n−1∑i=1

p

(x1 i−x1 ) (x pi− xp )

1n−1∑i=1

p

(x2 i−x2 ) (x2 i−x2 ) 1n−1∑i=1

p

(x2i−x2 )2 ⋯ 1n−1∑i=1

p

(x2 i−x2 ) (x pi−xp )

⋮1n−1∑i=1

p

(x pi−x p ) (x1 i−x1 )

⋮1n−1∑i=1

p

(x pi−x p ) (x2 i−x2 )⋯⋯

⋮1n−1∑i=1

p

(x pi−x p )2 ]

Sp×p

=[ s11 s12 ⋯ s1 ps21 s22 ⋯ s2 p⋮sp1

⋮sp2

⋱⋯

⋮spp

]