Parametarska bifurkaciona analiza slobodno oslowenih...

Zoran J. Markovi}2*, Ilija M. Krivo{i}1, Predrag Q. Stefanovi}2,Dejan B. Cvetinovi}2, Nikola V. @ivkovi}2,Rastko D. Jovanovi}2, Zoran N. Pavlovi}2

1 Ma{inski fakultet, Univerzitet u Beogradu, Beograd, Srbija2 Laboratorija za termotehniku i energetiku, Institut za nuklearne nauke „Vin~a”, Beograd, Srbija

Parametarska bifurkaciona analiza slobodnooslowenih cilindri~nih quski

Originalni nau~ni radUDC: 624.072:519.6

Cilindri~ne tankozidne quske se ~esto koriste kao strukturalnielementi u inèwerijskim konstrukcijama. Aksijalno pritisnute ci-lindri~ne strukture su sklone pojavi gubitka stabilnosti, pri ~emuim zna~ajno opada nosivost i naglo mewa geometrija strukture. Stogaje veoma bitno odrediti vrednosti spoqa{weg optere}ewa pri kojemdolazi do pojave gubitka stabilnosti. U op{tem slu~aju, analiza gubitka stabilnosti se moè podeliti na bifurkacionu i nelinearnu ana-lizu. Bifurkaciona analiza se koristi za razmatrawe geometrijskiidealnih, a nelinearna za analizu realnih struktura. Ciq ovog rada jeda se odrede najniè vrednosti spoqa{weg optere}ewa pri kojem }e do-}i do gubitka stabilnosti geometrijski idealnih, aksijalno pritis-nutih, slobodno oslowenih cilindara razli~itih geometrijskih ka-rakteristika. U tu svrhu je kori{}ena numeri~ka analiza zasnovana nametodi kona~nih elemenata. Na osnovu rezultata parametarske nume-ri~ke analize, moèmo zakqu~iti da nosivost aksijalno pritisnutog,geometrijski idealnog cilindra zna~ajno opada sa porastom faktoradebqine cilindra R/t. Tako|e, rezultati pokazuju da dolazi i do padakrutosti sa porastom faktora vitkosti L/R, ali da uticaj faktoravitkosti na vrednost optere}ewa pri pojavi izvijawa nije tako in-tenzivan.

Kqu~ne re~i: izvijawe, cilindri~ne quske, kona~ni elementi, numeri~ka analiza

Uvod

Nosivost tankozidnih cilindri~nih quski zna~ajno opada sa pojavom gubi-

tka stabilnosti usled izvijawa. Klasi~na teorija stabilnosti geometrijski

Z. J. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza slobodno oslowenih ...TERMOTEHNIKA, 2010, XXXVI, 1, 119‡132

119

* Odgovorni autor; elektronska adresa: [email protected]

idealnih struktura [1] predvi|a da }e aksijalno pritisnuti cilindar, polupre~nika

R, du`ine L, izgubiti stabilnost kada aksijalni pritisni napon scr dostigne vred-

nost:

sn

crE t

RE

t

R=

-»

3 10 6

2( ). (1)

pri ~emu re{ewe (1) defini{e osnosimet-

ri~nu formu cilindra pri pojavi izvijawa i

ne zavisi od odnosa du`ine i polupre~nika

cilindra L/R. Neka je: u radijalno pomerawe

ta~aka sredwe povr{i quske, v ‡ pomerawe u

obimnom pravcu, i w ‡ pomerawe u pravcu ose

cilindra, shodno cilindri~nom koordi-

natnom sistemu prikazanom na sl. 1. Funkci-

je pomerawa, koje omogu}avaju da se pri gu-

bitku stabilnosti formira m polutalasa u

aksijalnom i n talasa u obimnom pravcu ci-

lindra, mogu se uzeti u obliku:

u Am z

L

ny

R= sin sin

p(2)

v Bm z

L

ny

R= sin cos

p(3)

w Cm z

L

ny

R= cos sin

p(4)

Smatraju}i da su pomerawa u, v i w, data funkcijama (2)‡(4), male veli~ine u

odnosu na dimenzije cilindra, data je jedna~ina za odre|ivawe vrednosti pritisnog

optere}ewa pri gubitku stabilnosti slobodno oslowenog cilindra (w = 0 i d2w/dz2 =

= 0 za z = 0 i z = L) sa L > 2R [2]:

sn

Tim =-

Et R

S1 2(5)

pri ~emu je:R n n

n

= - + + - + - +

+ -

4 2 4 2 4 6 4

4 2

1 1 2 3

2 1

( ) ( ) ( )( )

( )

n J e J n n J

n

[n8

J n J n J

J J

4 6 4 4 2 4 6

2 2 4 2 22

7 3 2

12

1

- + + + + -

= + +

n n n n

S n nn

( ) ( )

( )

]

-+

-æ

èç

ö

ø÷

ìíî

+ + -

--

+

v

vn

n n

J e J

n J

n

e

2 4 2 2

2 2 2 4

1

21 1

2

1

2

1

[ ]( )

-+

-æ

èç

ö

ø÷ + -

üýþn

Jn

n J2 21

21 1[ ]( )


120

Slika 1. Osnovne geometrijskekarakteristike modela cilindra

e J= = Î Ît

R

mR

nLm n

2

2120 0, , ( , ), ( , )

p4 4

Razli~ite kombinacije brojeva m i n daju beskona~no mnogo re{ewa za

kriti~nu vrednost napona sTim, pri ~emu najmawi izra~unati napon ozna~ava pojavu

gubitka stabilnosti usled izvijawa. Kori{}ewe jedn. (5) za odre|ivawe vrednosti

kriti~nog napona pri gubitku stabilnosti oteàva ~iwenica da vrednosti m i n

nisu unapred poznate. Prakti~no, treba sprovesti veliki broj prora~una (~iji se

broj moè smawiti primenom odgovaraju}ih prora~unskih tehnika [3]) za razli~ite

kombinacije m i n i na}i najmawu vrednost dobijenih napona.

Sa porastom broja polutalasa m formiranih u pravcu ose cilindra jedn. (5)

se moè, za slu~aj osnosimetri~ne forme izvijawa (n = 0), uvo|ewem krutosti

cilindra na savijawe kao D = Et3/[12(1 ‡ n2)], pojednostavqeno prikazati u obliku:

s cros = +

æ

èçç

ö

ø÷÷D

m

tL

EL

R Dm

2 2

2

2

2 2 2

p

p(6)

Prob lem se dodatno uslo`wava za slu~aj realnih tankozidnih cilin-

dri~nih konstrukcija zbog uvek prisutnih nesavr{enosti u geometriji i u materi-

jalu cilindra [4, 5]. S obzirom da nesavr{enosti u geometriji realne konstrukcije

nastaju tokom proizvodnog procesa, nije mogu}e unapred predvideti wihov oblik

niti vrednosti odstupawa realne od idealne geometrije. Jedan od pristupa re{ava-

wu problema procene nosivosti realne cilindri~ne konstrukcije, preporu~en i u

novom Evropskom standardu za prora~un ~eli~nih konstrukcija quski [6], je da se

unapred nepoznate geometrijske nesavr{enosti konstrukcije pretpostave u obliku

odgovaraju}e kombinacije wenih osnovnih bifurkacionih modova predefinisanog

intenziteta [7, 8].

Vrednost kriti~nog optere}ewa pri kojem }e do}i do gubitka stabilnosti

geometrijski idealne, aksijalno pritisnute cilindri~ne quske, kao i definisawe

moda (oblika) koji }e se formirati nakon wenog izvijawa, moè se odrediti i nume-

ri~kom metodom kona~nih elemenata. Za numeri~ku simulaciju, ~iji su rezultati

prikazani u ovom radu, kori{}en je softverski paket ANSYS [9] i diskretizaciona

metoda kona~nih elemenata zasnovana na metodi pomerawa [10].

Numeri~ka analiza

U ovom poglavqu je opisan numeri~ki model i tipovi kona~nih elemenata

kori{}enih u numeri~koj analizi. Model kona~nih elemenata definisan je u

cilindri~nom koordinatnom sistemu, sa koordinatnim po~etkom sme{tenim kako je

prikazano na sl. 1. Parametarska numeri~ka bifurkaciona analiza je izvr{ena za

grupu modela kona~nih elemenata cilindara ~iji se faktor odnosa polupre~nika i

debqine kretao u opsegu 400 £ R/t £ 2000, a faktor odnosa duìne i polupre~nika u

opsegu 0,5 £ L/R £ 4. Debqina zida svakog cilindra je u ovim prora~unima smatrana


121

konstantnom (t = 0,002 m). Moduo elasti~nosti je E = 2×1011 N/m2, a napon pri pojavi

te~ewa sy = 3,2×108 N/m2.

Izbor numeri~kog modela

Osna i ravanska simetrija cilindri~ne geometrije u op{tem slu~aju omo-

gu}avaju da se za numeri~ki prora~un koriste modeli dela cilindra (1/2 strukture,

sektorski ise~ak od 90° ili 180° i sl.). Time se smawuje broj kona~nih elemenata u

modelu i skra}uje vreme procesirawa. Geometrijski idealni cilindri su skloni zau-

zimawu periodi~no simetri~nih bifurkacionih modova, {to tako|e omogu}ava sma-

wewe dimenzija modelovane strukture. Me|utim, na osnovu rezultata analize uti-

caja na~ina modelirawa strukture cilindra kona~nim elementima na dobijenu vred-

nost bifurkacionog optere}ewa i izdvojeni bifurkacioni mod [10], izabran je

pristup modelirawa kompletne strukture cilindra.

Kori{}ena diskretizaciona metoda kona~nih elemenata zasnovana je na me-

todi pomerawa. Stoga je bilo potrebno da se i grani~ni uslovi u ~vorovima odgo-

varaju}ih kona~nih elemenata postave u odnosu na pomerawa i rotacije u tim ~vo-

rovima. Spregnutost naponsko-deformacionih pojava u sredwoj povr{i quske i po-

java savijawa quske dodatno uslo`wavaju ceo prob lem. Stoga je sprovedena posebna

numeri~ka analiza [11] za cilindre sa geometrijskim karakteristikama R/t = 400 i

861,7 i L/R = 4 i 2, respektivno, i tri razli~ita modela slobodnog oslawawa

cilindra koji zadovoqavaju uslove date jedna~inama (2)‡(4). Na osnovu dobijenih

rezultata, usvojen je model oslawawa kojim su spre~ena pomerawa u radijalnom (x) i

obimnom (y) pravcu, kao i rotacije oko pravaca x i z ~vorovima koji se nalaze u

ravnima z = 0 i z = L. Za dva ~vora koji se nalaze u ravni z = L/2, sa y = 0° i y = 180°,

spre~eno je pomerawe u aksijalnom (z) pravcu, a za dva ~vora koji se nalaze u ravni z =

= L/2, sa y = 90° i y = ‡90° spre~eno je pomerawe u obimnom (y) pravcu.

Izbor tipa kona~nog elementa

Za formirawe modela kona~nih elemenata kori{}ena su slede}a dva struk-

turalna kona~na elementa quske [8, 9]:

(a) ^etvorougaoni izoparametarski el e ment drugog reda sa {est stepeni slobode u

svakom od osam ~vorova (translacije u x, y i z pravcu lokalnog pravouglog koordi-

natnog sistema ~vora i rotacije oko tih osa). Interpolacione funkcije po pome-

rawima za ovaj kona~ni el e ment imaju slede}i oblik:

u

v

w

P

u

v

w

Prt

a

aii

Ni

i

i

ii

iì

íï

îï

ü

ýï

þï

=

ì

íï

îï

ü

ýï

þï

+=å

1

1

22

,

,

,

,

,

,

,

,i

i

i

i

ii

N x i

y ia

b

b

b3

1

2

31

é

ë

êêê

ù

û

úúú

ìíî

üýþ=

åq

q(7)

pri ~emu je N = 8. Funkcije oblika Pi date su kao:


122

P s t s t P s t

P s

1 52

2

1

41 1 1

1

41 1

1

41

= - - - - - = - -

= +

( )( )( ), ( )( ),

( )( )( ), ( )( ),

( )( )(

1 11

41 1

1

41 1

62

3

- - - = + -

= + + +

t s t P s t

P s t s t - = - +

= - + - + - =

11

41 1

1

41 1 1

1

4

72

4 8

), ( )( ),

( )( )( ),

P s t

P s t s t P ( )( ).1 1 2- -s t

(8)

Pomerawa u globalnim ~vorovima modela kona~nih elemenata su definisana u

pravcima osa globalnog pravouglog koordinatnog sistema, dok su rotacije u

~vorovima definisane oko osa lokalnog koordinatnog sistema sredwe povr{i

elementa.

(b) êtvorougaoni linearni izoparametarski el e ment quske bez dodatnih funkcija

oblika. Sadrì ~etiri temena ~vora sa po {est spomenutih stepeni slobode. In-

terpolaciona funkcija pomerawa za ovaj el e ment data je jedn. (7), pri ~emu je N =

= 4, a funkcije oblika Pi date kao:

P s t P s t

P s t P

1 3

2 4

1

41 1

1

41 1

1

41 1

= - - = + +

= + -

( )( ), ( )( ),

( )( ), = - +1

41 1( )( ).s t

(9)

I u slu~aju ovog elementa, pomerawa u ~vorovima modela kona~nih elemenata

definisana su u odnosu na globalni pravougli koordinatni sistem, dok su

rotacije u ~vorovima definisane oko osa lokalnog s–t koordinatnog sistema

sredwe povr{i elementa.

Izbor broja kona~nih elemenata i spoqa{we optere}ewe

Shodno rezultatima analize [12], usvojeno je da mreà kona~nih elemenata

numeri~kog modela cilindra sadrì 80 kona~nih elemenata u obimnom pravcu. Broj

elemenata u aksijalnom pravcu odre|en je tako da svaki el e ment quske u mreì

kona~nih elemenata ima odnos bo~nih stranica blizak 1.

Spoqa{we optere}ewe je uneto kao jedini~na pritisna sila FZ u ~vorovima

koji se nalaze u ravnima z = 0 i z = L. U zavisnosti od geometrije analiziranog

cilindra (pre~nika R i debqine t) i tipa kori{}enog kona~nog elementa (linearni

ili kvadratni), prora~unate su vrednosti za sA kao povr{inskog optere}ewa, sve-

deno na bo~nu povr{inu nedeformisanog kona~nog elementa na koju deluje spoqa{-

we optere}ewe. Ovako uneto optere}ewe zadràva isti pravac dejstva pri deformi-

sawu cilindra (pravac z-ose), ~ime je obezbe|ena konzervativnost problema.


123

Metoda bifurkacije

Bifurkaciona analiza je iznalaèwe vrednosti pritisnog optere}ewa pri

kojem idealni sistem postaje nestabilan i svodi se na re{avawe klasi~nog problema

svojstvenih vrednosti. Pojednostavqeni izraz za potencijalnu energiju sistema ko-

na~nih elemenata cilindri~ne quske je dat u [10]:

E q K K q q QTg

T* * * * * *( )= + -1

20 (11)

gde je: K0 ‡ matrica krutosti kona~nog elementa, Kg ‡ geometrijska matrica krutosti

(matrica po~etnih ili inicijalnih napona), i q ‡ vektor pomerawa u ~vorovima

elementa. Na osnovu stava o stacionarnosti (dE* = 0) sledi:

( )* * * *K K q Qg0 + = (12)

U sistemu jedn. (12) geometrijska matrica krutosti sistema K g* je nepoznata,

po{to zavisi od ostvarenih napona koji su tako|e nepoznati. Pod pretpostavkom da

su naponi ostvareni u domenu modela kona~nih elemenata proporcionalni optere-

}ewu, sa faktorom proporcionalnosti l, parcijalni izvod drugog reda izraza (12) se

dobija:

( )K K g0 0* *+ =l y (13)

Kao spoqa{we optere}ewe kori{}ena je jedini~na sila (F = 1), uneta u ~vo-

rovima koji leè na granicama domena. Stoga faktor proporcionalnosti u na{em

slu~aju predstavqa nivo optere}ewa pri pojavi prate}eg moda definisanog vek-

torom y. Za izdvajawe vektora y u ovom radu su kori{}ena dva metoda: metod pod-

prostora i blok Lanczos metod [8].

Bifurkaciona analiza je izvr{ena kori{}ewem softverskog paketa ANSYS

12.1 Work bench. Kao rezultat su dobijene vrednosti pritisnog optere}ewa pri kojem

idealni sistem postaje nestabilan i oblici pripadaju}ih bifurkacionih modova.

Rezultati numeri~ke analize

Na osnovu rezultata prethodne parametarske numeri~ke analize, izvr{en je

izbor mreè kona~nih elemenata definisane preko promenqivog faktora gustine

mreè. Slika 2 predstavqa promenu numeri~ki dobijene vrednosti kriti~nog opte-

re}ewa sA modela aksijalno pritisnutog cilindra (L/R = 4, R/t = 400) sa promenom

gustine numeri~ke mreè.

Na osnovu dobijenih i rezultata datih u [12], usvojen je faktor gustine mre-

è 2 kojim se ostvaruje 80 kona~nih elemenata po obimu cilindra nezavisno od


124

wegovih geometrijskih karakteris-

tika. Sa pove}awem broja kona~nih

elemenata u modelu, razlika izme|u

numeri~ki dobijene vrednosti sA i

teorijskog re{ewa (5) se smawuje (sl.

2). Ako obeleìmo sa xgr gre{ku nu-

meri~ki dobijene vrednosti optere-

}ewa pri pojavi bifurkacije sA, u

odnosu na re{ewe jedn. (5) za mod (m, n),

definisanu kao xgr = [(sTim – sA)/

/sTim]×100 [%], za numeri~ke modele sa

usvojenim modelom oslawawa su dobi-

jene vrednosti za xgr u granicama ‡2,34 £

£ xgr £ –8,25 [%], {to moèmo smatrati

prihvatqivim.

Na sl. 3 i 4 prikazani su dijagrami

relativne gre{ke po pomerawima u odnosu na pretpostavqene funkcije pomerawa (2) i

(4) za model formiran od linearnog kona~nog elementa. Relativne gre{ke po pos-

matranom pomerawu izra~unavane su kao xUXa

ii i

iUX u u= - ×[ ]( Tim Tim)/ 100 [%] pri ~emu je

UXi vrednost pomerawa ~vora u pravcu i dobijena numeri~kom simulacijom.

Bifurkacioni modovi izdvojeni numeri~kom simulacijom modela ci-

lindra sa navedenim modelom oslawawa pokazuju saglasnost sa re{ewima jedn.

(2)‡(4). Na sl. 3 je prikazana raspodela relativne gre{ke po aksijalnim pomerawima

u sektorskom preseku na 45°, a na sl. 4 raspodela relativne gre{ke po pomerawima u

y -pravcu u preseku y = 0. Oba posmatrana numeri~ka modela formirana su kori{}e-

wem linearnog izoparametarskog kona~nog elementa. Vrednosti relativne gre{ke

po posmatranom pomerawu ne prelaze 1%, sem za ~vorove koji se nalaze tik uz


125

Slika 2. Uticaj gustine mreè kona~nihelemenata na vrednost numeri~kog re{ewa sA

Slika 3. Relativna gre{ka po radijalnimpomerawima u preseku y = p/4

Slika 4. Relativna gre{ka po obimnimpomerawima u preseku y = 0

granicu cilindra. Ve}a vrednost relativne gre{ke za ove ~vorove je posledica ~i-

wenice da kori{}eni model oslawawa previ{e „ukru}uje” model kona~nih eleme-

nata u zoni oslawawa, a u zavisnosti od posmatranog preseka i vrste pomerawa za koju

se prora~unava, gre{ka se kre}e i do 60% [12]. Me|utim, s obzirom da su u pitawu re-

lativne vrednosti i da su pomerawa ~vorova koji se nalaze blizu oslonaca male ve-

li~ine, mo`emo kao prihvatqive uzeti ~ak i tako velike vrednosti relativne gre{-

ke jer se uticaj oslonca prostire samo na kona~ne elemente koji su veoma blizu kraje-

va cilindra i taj se uticaj brzo smawuje sa udaqewem od zone oslawawa cilindra.

Rezultati numeri~ke analize su prikazani na sl. 5‡10, tabl. 1 i sl. 11‡14. Za

neke od modela cilindara najni`i izdvojeni modovi su osnosimetri~ni (osen~eni u

tabl. 1).

Relativno odstupawe prora~unatih vrednosti kriti~nog optere}ewa prvog

moda od teorijske vrednosti, jedn. (5), za modele cilindara sa R/t = 400 i 800 i L/R = 1 i

2, bilo je mawe od 0,4%, dok su se relativne gre{ke u odnosu na teorijska re{ewa za

ostale modele kretale u granicama od ‡12,4659% i 8,9936%, respektivno. Vrednosti

relativnih gre{aka su varirale od modela do modela, i prime}uje se da su vi{e


126

Slika 5. Vrednosti numeri~ki dobijenogkriti~nog optere}ewa za L/R = 0,5




apsolutne vrednosti ovih gre{aka karakteristi~ne za ekstremno duga~ke (L/R = 4) i

ekstremno debele (R/t = 400) cilindre iz posmatranog opsega geometrijskih karakte-

ristika.

Za dve geometrijske konfiguracije, L/R = 2, R/t = 1200 i L/R = 2, R/t = 2000,

relativne gre{ke iznosile su i preko 50%. Uzrok tome je neta~no odre|en broj polu-

talasa formiranih u aksijalnom pravcu, za koje se opet prora~unavaju vrednosti

sTim, jedn. (5), a time dobijaju i visoke vrednosti relativne gre{ke. Da bi se ova

gre{ka smawila, tj. da bi se ta~nije odredio broj formiranih polutalasa, neophodno

je pove}ati gustinu mre`e u zoni formirawa ve}eg broja polutalasa (to je u

naj~e{}em broju slu~ajeva zona oko ravni simetrije cilindra).

U slu~aju kratkih cilindara, bio je potreban ve}i broj elemenata u obimnom

pravcu, a za kra}e a debqe cilindre i dodatno modelovawe uvo|ewem vi{e elemenata


127

Tablica 1. Rezultati numeri~ke analize

R/t 400 800 1200 1600 2000

sTim [Nm–2] ‡ re{ewe jedn. (5)

L/R

0,5 0,298×109 0,149×109 0,100×109 0,757×108 0,611×108

1,0 0,312×109 0,167×109 0,101×109 0,814×108 0,657×108

2,0 0,289×109 0,145×109 ‡ 0,831×108 ‡

4,0 0,273×109 0,141×109 0,940×108 0,737×108 0,573×108

sA [Nm–2] ‡ rezultat numeri~ke simulacije

L/R

0,5 0,330×109 0,154×109 0,103×109 0,766×108 0,611×108

1,0 0,303×109 0,152×109 0,101×109 0,753×108 0,600×108

2,0 0,300×109 0,149×109 0,991×108 0,748×108 0,587×108

4,0 0,289×109 0,155×109 0,104×109 0,815×108 0,644×108

Slika 9. Numeri~ki dobijene vrednostikriti~nog optere}ewa za razli~ite odnose

L/R i R/t

Slika 10. Numeri~ki dobijene vrednostikriti~nog optere}ewa za razli~ite odnose

R/t i L/R

po debqini zida cilindra. Sli~na situacija je i u slu~aju ekstremno duga~kih modela

cilindara, s obzirom na ~iwenicu da je, zbog postavqenog uslova da formirani ele-

menti mreè imaju pribli`no jednake duìne bo~nih strana, broj elemenata u

aksijalnom pravcu bio definisan brojem elemenata u radijalnom pravcu.

Porast relativne gre{ke sa porastom odnosa L/R je, izme|u ostalog, posle-

dica i pretpostavki na osnovu kojih su formirane te jedna~ine, tako da sa porastom

L/R raste i razlika izme|u rezultata dobijenih ovim jedna~inama.

Sa slika 5‡8 se jasno vidi da dolazi do drasti~nog pada vrednosti kriti~nog

optere}ewa (nosivosti) sa porastom R/t. Upore|ene su vrednosti dobijene numeri~-

kim prora~unom za razli~ite vrednosti faktora debqine i vitkosti cilindara sa

dve predloène analiti~ke jedna~ine za izra~unavawe napona. Jasno se uo~ava da

kori{}eni matemati~ki model daje rezultate veoma bliske teorijskim vrednosti-

ma, {to potvr|uje ispravnost pretpostavki kori{}enih pri matemati~kom modeli-

rawu problema.

Slike 9 i 10 predstavqaju zbirni prikaz zavisnosti prora~unatih vred-

nosti kriti~nog optere}ewa, numeri~ki i teorijski, jedn. (5), od faktora debqine R/t

Z. ?. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza slobodno oslowenih ...TERMOTEHNIKA, 2010, XXXVI, 1, 119‡00

128

Slika 11. Osnosimetri~ni mod modelaL/R = 1, R/t = 800




i vitkosti cilindra L/R. Porast vitkosti L/R nema tako zna~ajan uticaj na promenu

vrednosti kriti~nog optere}ewa, sl. 9. Osetniji pad je primetan samo za set cilin-

dara sa R/t = 400. Na sl 11‡14 prikazani su osnosimetri~ni modovi za modele sa L/R =

= 1, R/t = 800, (sl. 11); L/R = 1, R/t = 1200, (sl. 12); L/R = 2, R/t = 1200, (sl. 13); L/R = 2, R/t =

= 1600 (sl. 14).

Posebno su numeri~ki analizirani modeli slobodno oslowenog cilindra

formirani sa linearnim, a posebno sa kvadratnim kona~nim elementom. U nekoli-

ko slu~ajeva, prora~un modela istih geometrijskih karakteristika, formiranog od

razli~itih tipova kona~nih elemenata, dao je razli~ite rezultate za vrednosti kri-

ti~nog optere}ewa, kao i druga~ije oblike formiranih modova. Za modele sa geomet-

rijskim karakteristikama L/R = 2, R/t = 2000 i L/R =2, R/t = 1200 nije bilo mogu}e sa

precizno{}u utvrditi broj polutalasa u aksijalnom pravcu.

Iz mape sopstvenih vrednosti modela cilindra L/R = 1, R/t = 800 vidimo da je

sopstvena vrednost lm1,12 = 1,00472 < 1,10794 = lm13,0. Me|utim, vrednost kriti~nog

optere}ewa za model formiran od kvadratnog kona~nog elementa kojim je izdvojen

mod (13,0) je sA = 0,153799×109 N/m2, dok je kriti~no optere}ewe za model formiran od

linearnog kona~nog elementa kojim je izdvojen mod (1.12) sA = 0,160365×109 N/m2 pri

istom faktoru gustine mreè. Ovaj rezultat ukazuje na to da je bilo opravdano {to je

za formirawe modela kona~nih elemenata kori{}en i linearni i kvadratni kona~-

ni el e ment.

Numeri~ki prora~un predvi|a da }e se neki modeli cilindara (R/t ³ 1200,

L/R £ 1) izvijati u osnosimetri~ne forme sa ve}im brojem polutalasa u aksijalnom

pravcu m. Oblici tih osnosimetri~nih formi za neke modele prikazani su na sl.

11‡14, respektivno. Iz ovih slika vidimo da kra}i cilindri zauzimaju forme koje

~ine dve grupe polutalasa sa svake strane ravni simetrije z = L/2 (sl. 11 za model

L/R = 1, R/t = 800 i sl. 12 za model L/R = 1, R/t = 1200). S druge strane, duì cilindri

teè ka formama koje imaju polutalase grupisane oko ravni simetrije z = L/2, (sl.

13), za model L/R = 2, R/t = 1200 i sl. 14 za model L/R = 2, R/t = 1600).

Zakqu~ak

U radu su prikazani rezultati parametarske numeri~ke analize gubitka

stabilnosti geometrijski idealnih, aksijalno pritisnutih, slobodno oslowenih

cilindara razli~itih geometrijskih karakteristika. Za numeri~ku simulaciju,

kori{}en je softverski paket ANSYS i diskretizaciona metoda kona~nih elemenata

zasnovana na metodi pomerawa. Numeri~ki prora~un je sproveden za model kona~nih

elemenata kompletne strukture cilindra. Grani~ni uslov oslawawa modela kona~-

nih elemenata je posebno modeliran sa ciqem da se {to potpunije ispune uslovi

slobodnog oslawawa cilindra. Da bi se obezbedila konzervativnost problema,

spoqa{we optere}ewe je uneto kao jedini~na sila u ~vorovima koji se nalaze u rav-

nima z = 0 i z = L. Vrednosti spoqa{weg optere}ewa pri kojem dolazi do gubitka

stabilnosti cilindra odre|ivane su metodom bifurkacije kao najniè svojstvene

vrednosti sistema kona~nih elemenata kojima je diskretizovan domen cilindra. Za

izdvajawe vektora svojstvenih vrednosti sistema kona~nih elemenata, kori{}eni su

metod potprostora i blok Lanczos metod. Parametarska numeri~ka bifurkaciona


129

analiza je izvr{ena za grupu modela kona~nih elemenata cilindara ~iji se faktor

odnosa polupre~nika i debqine kretao u opsegu 400 £ R/t £ 2000, a faktor odnosa

duìne i polupre~nika u opsegu 0,5 £ L/R £ 4.

Rezultati parametarske numeri~ke analize pokazuju da krutost modela

cilindra na gubitak stabilnosti pada sa porastom faktora debqine cilindra R/t.

Uticaj faktora vitkosti L/R na vrednost optere}ewa pri pojavi izvijawa nije tako

intenzivan kao {to je to uticaj promene faktora debqine i slabi sa porastom R/t, tj.

taj uticaj je slabiji za tawe cilindre.

Dobijeni rezultati su potvrdili opravdanost kori{}ewa izabranih modela

slobodnog oslawawa cilindra, unosa spoqa{weg optere}ewa, kao i metode diskre-

tizacije domena cilindra razmatranih geometrijskih karakteristika.

Numeri~ki prora~un predvi|a da }e se neki modeli cilindara izvijati u

osnosimetri~ne forme sa ve}im brojem polutalasa u aksijalnom pravcu m. Uo~eno je

da kra}i cilindri (L/R £ 1) zauzimaju forme koje ~ine dve grupe polutalasa sa svake

strane ravni simetrije z = L/2, dok se duì cilindri izvijaju u forme koje imaju

polutalase grupisane oko ravni simetrije z = L/2.

U ve}em broju slu~ajeva, linearni kona~ni el e ment, za razliku od kvadrat-

nog, nije bio u stawu da omogu}i izdvajawe svih o~ekivanih osnosimetri~nih modova.

Potvr|ena je potreba numeri~ke simulacije modela cilindra formiranog i od line-

arnog i od kvadratnog kona~nog elementa, kao i upore|ivawe i detaqna analiza tako

dobijenih rezultata.

Rezultati rada potvr|uju primewivost metode kona~nih elemenata soft-

verskog paketa ANSYS u re{avawu problema odre|ivawa bifurkacionog optere-

}ewa idealnog, aksijalno pritisnutog, slobodno oslowenog cilindra.

Oznake

D ‡ krutost quske na savijawe [= Et3/12(1 – n2)], [Nm]E ‡ Jungov modul elasti~nosti, [Nm–2]E* ‡ potencijalna energija sistema kona~nih elemenata, [J]F ‡ jedini~na sila u ~vorovima, [Nm–1]K0 ‡ matrica krutosti kona~nog elementa, [Nm–1]kg ‡ geometrijska matrica krutosti (matrica inicijalnih napona), [Nm–1]L ‡ duìna cilindra, [m]m ‡ broj formiranih polutalasa u aksijalnom pravcun ‡ broj formiranih talasa u obimnom pravcuPi ‡ funkcija oblika, [–]q ‡ vektor pomerawa u ~vorovima elementa, [m]R ‡ polupre~nik cilindra, [m]r ‡ koordinata debqine kona~nog elementa, [m]s, t ‡ ose lokalnog pravouglog koordinatnog sistema sredwe povr{i kona~nog elementat ‡ debqina zida cilindra, [m]U ‡ energija deformacije kona~nog elementa, [J]UXi ‡ vrednost pomerawa ~vora u pravcu i dobijena numeri~kom simulacijom, [m]u ‡ radijalno pomerawe ta~aka sredwe povr{i quske (pravac x-ose), [m]uTim

i ‡ pomerawe cilindra na mestu posmatranog ~vora u pravcu i dobijeno kao re{ewe jedn.

(5), [m]ui, vi, wi ‡ pomerawa u ~voru i u pravcu osa globalnog pravougaonog koordinatnog sistema, [m]


130

v ‡ pomerawe ta~aka sredwe povr{i quske u obimnom pravcu (pravac y-ose), [m]w ‡ pomerawe ta~aka sredwe povr{i quske u pravcu ose cilindra (pravac z-ose), [m]x ‡ radijalna osa (koordinata) cilindri~nog koordinatnog sistemay ‡ obimna osa (koordinata) cilindri~nog koordinatnog sistemaz ‡ aksijalna osa (koordinata) cilindri~nog koordinatnog sistema{a} ‡ jedini~ni vektor u pravcu s, [–]{b} ‡ jedini~ni vektor u sredwoj povr{i elementa normalno na {a}, [–]

Gr~ki simboli

e ‡ bezdimenzioni koeficijent (= t2/12R2), [–]qx, i ‡ rotacija u ~voru i oko vektora {a}, [rad]qy, i ‡ rotacija u ~voru i oko vektora {b}, [rad]l ‡ faktor proporcionalnosti, [–]lmmn ‡ sopstvena vrednost (linearno re{ewe), [–]n ‡ Poasonov (Pois son) koeficijent za izotropni materijal, [–]J ‡ bezdimenzioni koeficijent, (= pmR/nL), xgr ‡ relativno odstupawe numeri~ki dobijene vrednosti u odnosu na re{ewe jedn. (5),

[= 100 (sTim - sA)/sTim], [%]sA ‡ numeri~ko re{ewe, [Nm2]scr ‡ vrednost aksijalnog pritisnog napona pri gubitku stabilnosti, re{ewe jedn. (1),

[Nm–2]sTim ‡ re{ewe jedn. (5), [Nm–2]y ‡ vektor sopstvenih vrednosti, [–]

Indeksi

* ‡ sistem kona~nih elemenatai ‡ redni broj ~vora u elementu; osa globalnog koordinatnog sistemaT ‡ transponovana matrica

Literatura

[1] Volümir, A. S., UstoŸ~ivostü uprugih sistem, Gosudarstvennoe izdatelüstvo fi-ziko-matemati~eskoŸ literaturû, Moskva, 1963

[2] Timoshenko, S. P., The ory of Elas tic Sta bil ity, McGraw-Hill Book Com pany Inc., New York,USA, 1961

[3] Markovi}, Z., Bojani}, Z., Stefanovi}, P., Cvetinovi}, D., @ivkovi}, N., Jovanovi},R., Pavlovi}, Z., Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih slo-bodno oslowenih cilindri~nih quski kori{}ewem metode kona~nih elemenata,Termotehnika, XXXV (2009), 3-4, 263‡282

[4] Donell, L. H., Wan, C. C., Ef fect of Im per fec tion on Buck ling of Thin Cyl in ders and Col umnsun der Ax ial Com pres sion, Jour nal of Ap plied Me chan ics, 17 (1950), March, 73-83

[5] Bab cock, C. D., Jr., The Buck ling of Cy lin dri cal Shells with an Ini tial Im per fec tion un der Ax -ial Com pres sion Load ing, The sis, Cal i for nia In sti tute of Tech nol ogy, Pas a dena, Cal., USA,1962

[6] ***, ENV 1993-1-6 Eurocode 3: De sign of Steel Struc tures, Part 1.6, Gen eral Rules – Sup ple -men tary Rules for the Strength and Sta bil ity of Shell Struc tures, Draft Stan dard, CEN,Brussels, 1999

[7] Teng, J. G., Buck ling of Thin Shells: Re cent Ad vances and Trends, Ap plied Me chan ics Re views, ASME, 49 (1996), 4, 263-274

[8] Rot ter, J. M., Shell Struc tures: The New Eu ro pean Stan dard and Cur rent Re search Needs,Thin-Walled Struc tures, 31 (1998), 1-3, 3-23

[9] ***, ANSYS Us ers Guide, ANSYS Inc, Canonsburg, Pen., USA, 2000[10] Sekulovi}, M., Metod kona~nih elemenata, Gra|evinska kwiga, Beograd, 1988.


131

[11] Teng, J. G., Song, C. Y., Nu mer i cal Mod els for Non lin ear Anal y sis of Elas tic Shells withEigenmode-Af fine Im per fec tions, In ter na tional Jour nal of Sol ids and Struc tures, 38 (2001), 18, 3263-3280

[12] Krivo{i}, I., Markovi}, Z., Analiza stabilnosti slobodno oslowene cilindri~nequske, Tehnika, 55 (2006), 2, 11-21

[13] Seung, E. K., Chang, S. K., Buck ling Strength of the Cy lin dri cal Shell and Tank Sub jected toAx i ally Com pres sive Loads, Pro ceed ings, In ter na tional Con fer ence Thin-Walled Struc tures40, Elsevier Pub lish ing Co., 2001, 329-353

Ab stract

Para met ric Buck ling Anal y sis of Sim plySup ported Cy lin dri cal Shell

by

Zoran J. MARKOVI]2*, Ilija M. KRIVOŠI]1, Predrag Lj. STEFANOVI]2,Dejan B. CVETINOVI]2, Nikola V. ŽIVKOVI]2,Rastko D. JOVANOVI]2, and Zoran N. PAVLOVI]2

1 Fac ulty of Me chan i cal En gi neer ing, Uni ver sity of Bel grade, Bel grade, Ser bia2 Lab o ra tory for Ther mal En gi neer ing and En ergy, Vin~a In sti tute of Nu clear Sci ences, Bel grade, Ser bia

Cy lin dri cal shells with thin walls are widely used struc tural el e ments in en gi neer -ing con struc tions. Ax i ally com pressed shells are sus cep ti ble to buck ling, which sig nif i -cantly re duce their load car ry ing ca pa bil i ties. In the same time, buck ling in duces sud denand re mark able changes of shell ge om e try, so re li able de ter mi na tion of shell buck lingload be comes a very im por tant task for the struc tural en gi neers. Gen er ally, buck linganal y sis may be di vided into bi fur ca tion and load–de flec tion anal y sis. Bi fur ca tion anal y -sis is used for geo met ri cally per fect, while load–de flec tion anal y sis is used for im per fectsys tems. The aim of this pa per is to in ves ti gate the buck ling strength of the geo met ri callyper fect, ax i ally com pressed, sim ply sup ported cy lin dri cal shell with a wide range ofheight-to-di am e ter and di am e ter-to-thick ness ra tios. Nu mer i cal anal y sis based on fi niteel e ments method is used to eval u ate buck ling strength. Ac cord ing to the re sults of thepara met ric study, the buck ling strength of the ax i ally com pressed per fect shell de creasessig nif i cantly as the di am e ter to-thick ness ra tio in creases, while it de creases slightly as theheight-to-di am e ter ra tio in creases.

Key words: buck ling, cy lin dri cal shells, fi nite el e ment, nu mer i cal anal y sis

*Cor re spond ing au thor; e-mail: [email protected]

Rad primqen: 20. februara 2010.Rad prihva}en: 8. marta 2010.


132

Parametarska bifurkaciona analiza slobodno oslowenih...

Documents

Transcript of Parametarska bifurkaciona analiza slobodno oslowenih...