Uvod

Kroz stereometriju, geometriju trodimenzionalnog euklidskog prostora, upoznali smo razliite poliedre. Znamo da su poliedri geometrijska tijela koja zatvaraju barem etiri mnogokuta od kojih nikoja dva susjedna nisu u istoj ravnini. Upoznati smo s pravilnim i konveksnim poliedrima. Kroz ovaj seminar, baviti emo se jednim pravilnim poliedrom. Pravilni poliedri su uglata geometrijska tijela kojima su sve stranice tj. plohe sukladni pravilni monogokuti. Prvi ih je opisao Platon i postoji ih samo pet, nazivamo ih jo Platonova tijela. To su: tetraedar, heksaedar, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar. U ovom seminaru, mi emo detaljnije obraditi tetraedar. Openito, tetraedar je pravilni poliedar koji ima etiri vrha, est bridova i etiri strane, tj. trostrana piramida iji su svi bridovi jednake duljine. Postoje razne analogije i slinosti izmeu ortocentrikog tetraedra i trokuta. Sredite opisane sfere, sredite upisane sfere, teite i ortocentar ortocentrikog tetraedra odgovaraju sreditu opisane krunice, sreditu upisane krunice, teitu i ortocentru trokuta. Za poetak, ispriat emo neto openito i izrei neke teoreme o ortocentrikom tetraedru, u iduem poglavlju rei neto vie o Eulerovom pravcu i Feuerbachovoj krunici te prikazati analogije tih teorema na ortocentrikom tetraedru.

Openito o ortocentrikom tetraedru

U uvodu smo ukratko spomenuli to je tetraedar, a u ovom poglavlju emo izrei neke definicije i teoreme o ortocentrikom tetraedru. Za poetak, karakteristine toke tetraedra su teite, sredite opisane sfere i sredite upisane sfere. Ortocentar je takoer karakteristina toka tetraedra, meutim nema svaki tetraedar ortocentar.Definicija 1.Ako se visine tetraedra sijeku u jednoj toki, tu emo toku zvati ortocentar tetraedra, a za tetraedar emo rei da je ortocentrian.Kako bi tetraedar bio ortocentrian, moraju biti zadovoljeni odreeni uvijeti. Prouavajui tetraedre, naili smo na neke zanimljive teoreme, od kojih smo izabrali dva. Teorem 1. Tetraedar je ortocentrian ako i samo ako su svaka dva nasuprotna brida tog tetraedra meusobno okomita. Dokaz: Neka je H ortocentar tetradera ABCD. Dakle, pravac AH je okomit na ravninu BCD, a pravac BH na ravninu ACD.

Slika 1. Prikaz ortocentrikog tetraedra s ortocentrom H i noitem visine E iz vrha AVidimo da je pravac CD okomit na pravce AH i BH kao sjecite tih ravnina. Iz toga slijedi da je pravac CD okomit i na ravninu razapetu pravcima AH i BH, a to znai da je okomit na sve pravce te ravnine. Pravac AB se nalazi u toj ravnini pa slijedi da su pravci AB i CD okomiti.Slino pokaemo da su i parovi pravaca AC i BD, te AD i BC meusobno okomiti.Obrat, neka su parovi suprotnih bridova tetraedra ABCD meusobno okomiti. Tada bridom AB prolazi ravnina okomita na pravac CD koju oznaimo s H1. Ravnina H1 je okomita na ravninu BCD, pa visina tetraedra iz vrha A lei u toj ravnini.Sada gledamo pravce AC i BD, te istim postupkom vidimo da visina iz toke A lei u ravnini, kroz pravac AC, okomitoj na pravac BD. Oznaimo tu ravninu s H2. Takoer, visina iz A lei i u ravnini kroz pravac AD okomitoj na pravac CD koju emo oznaiti s H3.Ravnine H1, H2 i H3 se sijeku u toki H. Oito visina iz A prolazi tom tokom, a lako se pokae da e i visine iz B, C i D prolaziti istom tom tokom.Zakljuujemo da je toka H ortocentar tetraedra, pa je tetaedar ortocentrian to smo i htjeli pokazati. Ovaj teorem nam je zanimljiv jer dobro definira ortocentriki tetraedar. Takoer postoje i drugi uvjeti koji karakteriziraju ortocentriki tetraedar kao to su uvjet da je tetraedru opisani paralelepiped romboedar ili da su sve tri spojnice polovita nasuprotnih bridova jednake duljine.Teorem 2. Noite visine ortocentrinog tetraedra iz svakog vrha tetraedra na suprotnu stranu, podudara se s ortocentrom te strane.Dokaz: Oznaimo s H sjecite visina tetraedra ABCD, te s E noite iz vrha D na stranicu ABC. Pravac DE je okomit ravninu ABC, pa je okomit i na pravac BC. Po prethodnom teoremu vrijedi da je pravac BC okomit na pravac AD, to povlai da je pravac BC okomit na ravninu ADE. Iz toga slijedi da su pravci AE i BC takoer okomiti.Na isti nain se pokae da je pravac CE okomit na pravac AB. Iz toga zakljuujemo da je toka E ortocentar trokuta ABC. Istim postupkom vidimo da tvrdnja vrijedi i za ostale visine tetraedra.