Facultad de Ingeniería Civil

Materia: Mecánica del Medio Continuo

Tarea No. 1 :Operaciones Diferenciales

Alumno:López Rodríguez Carlos Abraham

Grupo: 601

Profesor: Rodríguez Ortega Joel

Fecha de Entrega:5 de Febrero de 2008

Abstract

En este trabajo los temas a desarrollarse seran "Derivadas Direccionales y Gradientes"; "Campos vectoriales"; "Teorema de Green" y "Teorema de la divergencia de Gauss y Teorema de Stokes".En el tema "Derivadas Direccionales y Gradientes" se trata un definición de la derivada direccional para poder entender el concepto de gradienteEn "Campos vectoriales" se trata la definición de campo vectorial para poder definir los términos de divergencia y rotacionalEn "Teorema de Green" se introducen los términos de Teorema de Gauss y Stokes en , así como una breve mención de su definición como fenómenos físicos.En "Teorema de la divergencia de Gauss y Teorema de Stokes" se expande la definición vista anteriormente de a .

Marco Teórico

1. Derivadas Direccionales y Gradientes

Las derivadas parciales de una función caracterizan la tasa de variación de la función a lo largo de rectas paralelas a los ejes coordenados. Si en la dirección

y , la derivada parcial describe la tasa de variación en la dirección ,

en la dirección . A continuación se generalizara la definición de derivada parcial para obtener la tasa de variación de una función con respecto a cualquier dirección. Esto conduce a la noción de derivada direccional.

Para indicar una dirección, se utilizara el concepto de vector unitario U que forma un ángulo de medida radianes con la parte positiva del eje , de modo que.

Si es una función y , entonces la tasa de variación de los valores de una función con respecto a la dirección del vector unitario U esta determinada por la derivada direccional.

Definición de derivada direccional de una función de dos variables.Sea una función de las dos variables y . Si U es el vector unitario

, entonces la derivada direccional de en la dirección de U,

denotada por , esta determinada por

Si el limite existe

Una ecuación de la superficie S de la figura es . El

punto se encuentra sobre la superficie y los

puntos y están en el

plano xy.

El plano que pasa por R y Q, paralelo al eje , forma un ángulo radianes con la dirección positiva del eje . Este plano intersecta la superficie S en la curva C.

La derivada direccional , esta evaluada en el punto , es la pendiente de la

recta tangente a la curva C en en el plano que pasa por R,Q y .

Si entonces y entonces

La cual es la derivada parcial de con respecto a

Si entonces y entonces

La cual es la derivada parcial de con respecto a .

Ahora considerando la función de la variable , con , y :

y sea . Se obtiene la derivada.

Adema tenemos que

Se obtiene

Por lo que se obtiene el siguiente teorema

TeoremaSi una función de las dos variables y . Si entonces

Entonces tenemos

La función vectorial de la derecha se denomina gradiente de la función es .

Definición del gradiente de una función de dos variablesSi es una función de las dos variables y y y existen, entonces el

gradiente de , denotado por , esta definido por

También se puede escribir como:

Podemos deducir

Teorema

Sea una función de dos variables y diferenciable en , donde .

Sea U cualquier vector unitario, tal que es una función de U.

(i) El valor máximo de es . Este valor máximo se

obtiene cuando la dirección de U es la de

(ii) El valor mínimo de es . Este valor mínimo se

alcanza cuando la dirección de U es la opuesta de la dirección de

De este teorema afirma que si , entonces la tasa máxima de crecimiento

de en ocurre en la dirección de . De este modo

apunta en la dirección de máxima inclinación. Este hecho sugiere el nombre de Gradiente; esto es, el grado de mayor inclinación es en la dirección del gradiente.

La definición siguiente extiende el concepto de derivada direccional para funciones de tres variables, de modo que proporcione la tasa de variación de los valores de función con respecto a la distancia medida en la dirección de un vector unitario del espacio tridimensional.

Definición de derivada direccional de una función de tres variables.Suponga que es una función de tres variables , y . Si U es el vector unitario

, entonces la derivada direccional de en la dirección de U,

denotada por , esta determinada por

Si el limite existe

El teorema también se modifica de igual manera

TeoremaSi una función de las dos variables , y . Si entonces

Definición del gradiente de una función de tres variablesSi es una función de las dos variables , y y , y existen, entonces el

gradiente de , denotado por , esta definido por

También se puede escribir como:

2. Campos vectoriales

Suponga que y son continuas en un disco abierto B de . Si

Es un gradiente en B, existe una función tal que

Para todo de B. Como existe en B, entonces

Además como existe en B, entonces

Debido a que y son continuas en B, sus equivalentes y también son

continuas en B. Entonces en todos los puntos, de esto tenemos que:

Esta ecuación es una condición suficiente para que el vector sea un gradiente en B. de esta manera se tiene el siguiente teorema.

Teorema Suponga que y son funciones de las variables y definidas en un disco

abierto de , y que y son continuas en B. Entonces el vector

Es un gradiente en B si y solo si

En todos los puntos de B

Se puede extender para tres variables

Teorema Suponga que , y son funciones de las variables , y definidas en la

bola abierta de , y que , , , , y son continuas en

B. Entonces el vector

Es un gradiente en B si y solo si ; ;

Un campo vectorial asocia un vector con un punto en el espacio. Por ejemplo, si F es una función vectorial, definida en alguna bola abierta B de , tal que

Entonces F asocia a cada punto de B un vector, y F recibe el nombre de

Campo Vectorial. Tiene como dominio y como contradominio ; si el domino de un campo vectorial es un conjunto de puntos de un punto de un plano y su contradominio es un conjunto de vectores de , entonces el campo vectorial tiene una ecuación de la forma

Si en lugar de un vector se asocia un escalar con un punto del espacio, entonces se tiene un campo escalar; de modo que un campo escalar es una función real. Un ejemplo de un campo escalar se obtiene al expresar la temperatura en un punto

como una función de las coordenadas del punto. Como ejemplo de un campo vectorial considere el flujo de un fluido.

Existen dos campos que involucran derivadas y que se asocian con un campo vectorial F. Uno es el campo llamado rotacional de F, el cual es un campo vectorial, y el otro es el campo denominado divergencia de F, el cual es un campo escalar. Si

es una función escalar de tres variables , y , el gradiente de es

Ahora se utilizara en operador en tres dimensiones para denotar

Por tanto, la operación de sobre la función escalar significa

Lo cual concuerda con

Definición de rotacional de un campo vectorialSea F un campo vectorial sobre alguna bola abierta B de tal que

Entonces el rotacional de F, denotado por rot F, esta definido por

Si estas derivadas parciales existen.

Se puede calcular el rotacional desarrollando la notación del producto cruz de dos vectores al producto cruz del operador y el campo vectorial F y escribir

Definición de divergencia de un campo vectorialSea F un campo vectorial sobre alguna bola abierta B de tal que

Entonces la divergencia de F, denotado por div F, esta definido por

Si estas derivadas parciales existen.

Se extenderá la notación del producto punto de dos vectores al producto punto del operador y el campo vectorial F para calcular la divergencia de F y se escribirá

Dos de dichas propiedades se dan en los siguientes teoremas

TeoremaSuponga que F es un campo vectorial sobre alguna bola abierta B de tal que

Si las segundas derivadas parciales de , y son continuas en B, entonces

TeoremaSi F es un campo escalar sobre una bola abierta B de y las segundas derivadas parciales de son continuas en B, entonces

Si F es un campo vectorial sobre algún disco abierto B de tal que

, entonces el rotacional de F y la divergencia de F en dos dimensiones están definidas por

3. Teorema de Green

El enunciado del teorema de Green se refiere a una integral de línea sobre una curva cerrada, simple y suave a trozos que constituye la frontera de una region plana, y el sentido en que se recorre C es el contrario al giro de las manecillas del reloj. La integral de línea sobre C, recorrida en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj,

se denota por

Teorema de GreenSean y funciones de las dos variables y tales que sus primeras derivadas parciales son continuas en un disco abierto B de . Si C es una curva cerrada, simple y suave a trozos contenida completamente en B, y si R es la región limitada por C, entonces

El siguiente teorema, el cual se considera del teorema de Green, proporciona un método útil para calcular el área de una región limitada por una curva cerrada, simple y suave a trozos.

TeoremaSi R es una región que tiene como su frontera una curva C cerrada, simple y suave a trozos, y A unidades cuadradas es el área de R, entonces

Existen dos formas vectoriales del teorema de Green, las cuales se obtendrán a continuación. Sea una curva cerrada, simple y suave a trozos del plano . Suponga que una ecuación vectorial de C es

Con y , donde s unidades es la longitud de arco medida en el sentido

contrario al giro de las manecillas del reloj a partir de un punto particular de C

hasta un punto P de C. Entonces si es el vector tangente unitario de C en P,

. Así,

El vector normal definido por

Es un vector normal unitario de C en P. Este vector normal unitario se ha elegido en lugar de su valor negativo debido a que cuando el sentido en que se recorre C es contrario al giro de las manecillas del reloj, apuntará hacia fuera de la región R limitada por C. A este vector se le denomina vector saliente unitario. Sea

Donde y satisfacen la hipótesis del teorema de Green. Como

Entonces

Aplicando el teorema de Green a la integral de línea del miembro derecho se obtiene

Esta forma vectorial del teorema de Green se enuncia como teorema de la divergencia de Gauss.

Teorema de la divergencia de Gauss en el planoConsidera la funciones y , la curva C y al región R. Si

y es el vector normal saliente unitario de C en P, donde s unidades es la longitud de arco medida en el sentido contrario al giro de las manecillas del sentido del reloj desde un punto particular de C hasta P, entonces

Si F es un campo vectorial y , entonces se dice que F esta libre de divergencia. En el estudio de hidrodinámica si el campo de velocidad de un fluido esta libre de divergencia, entonces el fluido se denomina incompresible. En teoría de la electricidad un campo vectorial que esta libre de divergencia se dice que es solenoidal.

A fin de obtener la segunda forma vectorial del teorema de Green se considerará el producto punto de y el vector tangente unitario definido por la

ecuación

De este modo

De donde

El rotacional de F en dos dimensiones se define como

por tanto,

En consecuencia la ecuación del teorema de Green puede escribirse como

Esta forma vectorial del teorema de Green se enuncia como teorema de Stokes.

Teorema de Stokes en el planoConsidera la funciones y , la curva C y al región R. Si

y es el vector tangente unitario de C en P, donde

s unidades es la longitud de arco medida desde un punto particular de C hasta P, entonces

Si F es el campo de velocidad de un fluido, entonces el producto punto es la

componente tangencial de F y la integral de línea se denomina

circulación de F alrededor de C.

4. Teorema de la divergencia de Gauss y Teorema de Stokes

Las dos formas vectoriales del teorema de Green, el teorema de la divergencia de Gauss en el plano y el teorema de Stokes en el plano, pueden generalizarse a tres dimensiones.

Teorema de la divergencia de GaussSean , y funciones de las tres variables , y ; y suponga que tienen primeras derivadas parciales continuas en una bola abierta B de . Sea S una superficie cerrada y suave a trozos contenida en B, y sea E la región limitada por S. Si

Y es un vector normal saliente unitario de S, entonces

Este teorema afirma que el flujo de F a través de la frontera S de una Región E de es la integral triple de la divergencia de F sobre E.

La segunda forma vectorial del teorema de Green, conocida como teorema de Stokes, afirma que

Donde C es una curva cerrada simple y suave a trozos de y D es la región limitada por C. A continuación se extenderá el teorema al espacio tridimensional

Teorema de StokesSean , y funciones de las tres variables , y ; y suponga que tienen primeras derivadas parciales continuas en una bola abierta B de . Sea S una superficie cerrada y suave a trozos contenida en B, y C una curva cerrada, simple y suave a trozos que el la frontera de S. Si

Y es un vector normal saliente unitario de S, y es un vector tangente unitario de C donde s unidades es la longitud de arco medida a partir de un punto particular de C hasta P, entonces

El teorema de Stokes afirma que la integral de línea de la componente tangencial e un campo vectorial F alrededor de la frontera C de una superficie S puede calcularse evaluando la integral de superficie de la componente normal de rotacion F sobre S. El teorema se ha restringido a superficies para las cuales N es un vector normal saliente de S.

Una ecuación de S es de la forma , donde las primeras derivadas parciales de son continuas en la región D, que es la proyeccion de C en el plano , y D y satisfacen las condiciones del teorema de Green. El

sentido positivo a lo largo de C es el mismo que el sentido positivo a lo largo de , el cual es contrario al giro de las manecillas del reloj.

Otra forma de la ecuación del teorema de Stokes se obtiene al escribir en lugar de en la integral de línea de la izquierda. De modo que

Conclusión

El gradiente es que indica la tasa de crecimiento según una dirección. Como su nombre la indica representa el grado de inclinación.La divergencia se puede definir como el producto punto del gradiente por la función

, indica la tendencia a converger a ciertos puntos.El rotacional se puede definir como el producto cruz del gradiente por la función

, indica la tendencia de rotar.

El teorema de Gauss se define como ó

para 2 y 3 dimensiones respectivamente.

El teorema de Gauss se define como ó

para 2 y 3 dimensiones respectivamente.

Bibliografía

- LEITHOLD, Louis; "El calculo"; Oxford; Edición 7; México; 1998