1

OPERACIONES CON FRACCIONES Recuerda que los números enteros representan unidades u objetos “completos”, mientras que los números fraccionarios son los que no completan una unidad u objeto, es decir, son sólo “una parte” del entero.

Las partes del número fraccionario son numerador y denominador:

5

6→

𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟

𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟→

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟

El denominador indica en cuántas partes está dividido el entero. En el ejemplo anterior, el entero se dividió en 6

partes, por lo tanto, el entero equivale a 9.

El numerador indica cuántas partes “se toman” del entero dividido, por ejemplo, se tomaron 5 partes de 6. Para determinar una cantidad, a partir de una suma o resta de fracciones cuando el numerador es diferente de 1:

1. Obtén la información relevante de la situación planteada. 2. Identifica el valor del entero. 3. Observa la o las fracciones que componen el entero. 4. Calcula la equivalencia de una fracción del entero, con el denominador de la fracción, por ejemplo:

Victoria compró 485 kg de cemento, ¿cuántos kg equivalen a 3

8 de cemento?

Divide el entero entre el denominador

485

𝟖= 60.625

Multiplica el equivalente el numerador de la fracción inicial, en este caso el numerador de 3

8

60.625 × 𝟑 = 181.875 𝑘𝑔

El resultado se indica que 3

8 kg equivalen a 181.875 kg porque “se tomaron” tres de ocho partes.

5. Realiza la o las operaciones aritméticas que correspondan según el planteamiento de la situación didáctica.

Recuerda que la suma o resta de fracciones pueden llevar a conocer el entero o un dato faltante.

2

EJEMPLO

Karen tiene 160 gramos de diamantina de colores que utilizará para adornar cuatro flores de papel que regalará a su

mejor amiga. Las cantidades las va a distribuir de la siguiente manera: flor A 𝟑

𝟏𝟑 , flor B

𝟐

𝟏𝟏 , flor C

𝟐

𝟗 y flor D

𝟓

𝟏𝟖 . ¿Qué

cantidad de diamantina le quedará para otras flores?

A) 1.57 g B) 14.08 g

NO ES CORRECTA SÍ ES CORRECTA

Porque la opción no coincide con los valores calculados en el inciso B.

Porque al dividir el entero entre los denominadores y multiplicar los equivalentes por sus respectivos numeradores, se obtuvieron las cantidades de diamantina por flor:

160 ÷ 13 = 12.3 ∗ 3 = 𝟑𝟔. 𝟗 160 ÷ 11 = 14.54 ∗ 2 = 𝟐𝟗. 𝟎𝟖 160 ÷ 9 = 17.77 ∗ 2 = 𝟑𝟓. 𝟓𝟒

160 ÷ 18 = 8.88 ∗ 5 = 𝟒𝟒. 𝟒 Se sumaron los resultados: 145.92 Se calculó la diferencia de la diamantina total y la diamantina utilizada: 160 − 145.92 = 14.08

C) 75.19 g D) 145.92 g

NO ES CORRECTA NO ES CORRECTA

Porque la opción no coincide con los valores calculados en el inciso B.

Porque la opción indica solamente la suma de los respectivos equivalentes de las fracciones con relación a la cantidad de diamantina.

3

SIMETRÍA La simetría es la correspondencia exacta en forma, tamaño y posición de las partes de un todo. La simetría bilateral se determina por una línea imaginaria o real que divide a las figuras y cuerpos en dos mitades idénticas. Para determinar el eje de simetría de una figura:

1. Observa la figura. 2. Traza una línea vertical, horizontal o inclinada, según sea la forma de la figura. 3. Analiza si hay correspondencia entre cada punto de cada mitad, es decir, que sean idénticas en tamaño, forma y

dirección, por ejemplo, en la siguiente figura se observan ejes de simetría en A y B, pero no en C porque las dimensiones de las flechas hacia ambos lados del eje son de diferente tamaño.

EJEMPLO

¿Cuáles de las siguientes figuras NO tienen eje de simetría?

A) Ä y  B)  y Á

NO ES CORRECTA NO ES CORRECTA

Porque ambas tienen eje de simetría. Porque sólo la segunda NO tiene eje de simetría.

C) Ã y Ä D) Ã y Á

NO ES CORRECTA SÍ ES CORRECTA

Porque sólo la primera NO tiene eje de simetría. Porque los símbolos que están sobre las letras no tienen eje de simetría porque cada lado de estos es diferente.

4

OPERACIONES CON PORCENTAJES El porcentaje es la proporción de una cantidad que está dividida en 100 unidades. Un tanto por ciento es la cantidad que se encuentra dentro de esas 100 unidades. Su símbolo (%) se lee “por ciento”.

𝒙 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = 100%

𝒙 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 100 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 =𝒙

100

Por ejemplo: si 𝒙 = 72, entonces 72

100= 0.72; este valor es equivalente a 72 %.

El porcentaje se encuentra en expresiones que relacionan dos cantidades o magnitudes (una de ellas, el porcentaje).

Ejemplo: 40% 𝑑𝑒 1500𝑘𝑔

Cuando el porcentaje en una expresión no manifiesta una segunda magnitud, por ejemplo, 35% de mariposas, se

asume como referencia de magnitud el 100, por lo tanto, sólo se podría decir que “hay 35 mariposas de cada 100 mariposas”.

Para calcular y restar el porcentaje después de sumar cierto número de valores:

1. Lee detenidamente el problema para comprender lo que se solicita. 2. Identifica y extrae los datos. 3. Si el problema así lo requiere, suma las cantidades pertinentes. 4. Organiza los datos en proporción a manera de “regla de tres”, donde el total de referencia es la cantidad que

equivaldrá al 100%.

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 100%

5. Coloca debajo del lado de la igualdad que corresponda, el dato conocido y la cantidad o magnitud a calcular. Si se conoce un porcentaje, por ejemplo, 78%, se espera determinar la magnitud desconocida (x).

𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 100%

𝒙 = 78%

Si se conoce la magnitud (que no es la de referencia), por ejemplo, 18 km, se espera determinar el porcentaje desconocido (x).

𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 100% 18 𝑘𝑚 = 𝒙

6. Realiza la regla de tres:

7. Calcula la diferencia del total de la magnitud y la proporción calculada del porcentaje solicitado.

5

EJEMPLO

Como regalo de cumpleaños y premio por sus excelentes calificaciones, los tíos de Edgar le dieron $250, $325, $180 y $215 respectivamente. ¿Cuánto dinero juntó si aprovechó para pagar una cantidad equivalente al 18% de ese total?

A) 174.6 B) 795.4

NO ES CORRECTA SÍ ES CORRECTA

Porque esta opción solamente indica el 18% del total, como se muestra en el inciso B.

Porque primero se sumaron las cantidades de dinero:

𝟐𝟓𝟎 + 𝟑𝟐𝟓 + 𝟏𝟖𝟎 + 𝟐𝟏𝟓 = $𝟗𝟕𝟎 Se realizó la regla de tres:

$970 = 100%

$ 𝑥 = 18%

18 × 970

100=

17,460

100= $174.6

El 18% se restó del total del dinero recibido porque lo pagó, es decir, ya no lo tiene, entonces juntó:

$970 − $174.6 = $795.4

C) 970.0 D) 1,144.6

NO ES CORRECTA NO ES CORRECTA

Porque esta opción corresponde solamente el total del dinero que recibió, como se muestra en el inciso B.

Porque esta opción indica que se aumentó el 18% a la cantidad recibida inicialmente:

$970 + $174.6 = $1,144.6

6

ANALIZAR INFORMACIÓN DE UNA GRÁFICA Para analizar la información que se recopila, primero se clasifica y se organiza en tablas y cuadros, después se realizan los cálculos de las medidas descriptivas (como la media, la mediana y la moda) que permitan representar cuantitativamente los datos y resumir la información en gráficas. Las gráficas más comunes son las de barras y las de sectores. El análisis puede ser por la interpretación de datos cualitativos, cuando los datos no se describen mediante valores numéricos o patrones, sino por medio de la descripción del contexto, por ejemplo, la preferencia de mascotas, los colores favoritos, los estados de ánimo, etc. O también por la interpretación de datos cuantitativos que se refiere a un conjunto de procesos mediante los cuales se analizan datos numéricos, por ejemplo, las calificaciones del bimestre, el peso de los estudiantes, el sueldo de los papás, etc. Para analizar una gráfica:

1. Observa con atención la información que presenta la gráfica: Título de la gráfica Títulos de las variables (del eje X y del eje Y) Datos de las barras o sectores

2. Relaciona la información de las variables (en el caso de una gráfica de barras). 3. Interpreta los datos tomando en cuenta toda la información del gráfico o esquema (ver la imagen):

Interpretación textual. Se expresa la información tal como se expone en la gráfica. Por ejemplo: “El 40% de los estudiantes de primaria prefieren escuchar hip hop y reguetón”.

Interpretación crítica. Se evalúa la información sin buscar nuevas hipótesis. Por ejemplo: “Según los resultados, puede decirse que el 60% de los niños de primaria escuchan la música que escucha su familia”.

Interpretación hipotética. Se hacen predicciones e inferencias con los datos de la gráfica y se formulan nuevas hipótesis. Por ejemplo: “La familia influye directamente en las preferencias y decisiones que toman los niños de 6 a 11 años”.

4. Concluir.

7

EJEMPLO

Según los datos de la gráfica, ¿cuáles son las actividades menos realizadas por los estudiantes de sexto grado?

A) Redes sociales, realidad virtual B) Redes sociales, actividades artísticas

NO ES CORRECTA NO ES CORRECTA

Porque estas son las actividades de mayor porcentaje, es decir, las que más realizan los estudiantes de sexto grado.

Porque son las actividades que más se realizan y menos se realizan, respectivamente.

C) Interacción real, videojuegos D) Actividades artísticas, interacción real

NO ES CORRECTA SÍ ES CORRECTA

Porque los videojuegos no están entre las dos actividades que menos se realizan.

Porque se presentan en menor porcentaje, por lo tanto, son las que menos realizan los estudiantes de sexto. Es una interpretación textual.

8

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Y PORCENTAJES Recuerda que el porcentaje es la proporción de una cantidad que está dividida en 100 unidades:

𝒙 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = 100%

𝒙 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 100 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 =𝒙

100

Por ejemplo: si 𝒙 = 25, entonces 25

100= 0.25, este valor es equivalente a 25%.

El porcentaje se encuentra en expresiones que relacionan dos cantidades o magnitudes (una de ellas, el porcentaje).

Ejemplo: 25% 𝑑𝑒 $350

Para calcular y sumar el porcentaje después de sumar cierto número de valores:

8. Identifica los datos. 9. Suma las cantidades pertinentes. 10. Organiza los datos en proporción a manera de “regla de tres”, donde el total de referencia es la cantidad que

equivaldrá al 100%.

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 100%

11. Coloca debajo del lado de la igualdad que corresponda, el dato conocido y la cantidad o magnitud a calcular. Si se conoce un porcentaje, por ejemplo, 35%, se espera determinar la magnitud desconocida (x).

𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 100%

𝒙 = 35%

Si se conoce la magnitud (que no es la de referencia), por ejemplo, 45 kg, se espera determinar el porcentaje desconocido (x).

𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 100% 45 𝑘𝑔 = 𝒙

12. Realiza la regla de tres:

13. Calcula la suma del total de la magnitud y la proporción calculada del porcentaje solicitado.

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EJEMPLO

Franco está entrenando para un concurso de fisicoculturismo, por lo que su instructor le recomendó aumentar el 23% al peso que usa en cada rutina de espalda. Si el peso inicial es 32 kg, después agrega 13 kg y en la última rutina agrega 17 kg, ¿cuántos kg levantará al final del entrenamiento?

A) 76.26 B) 62.00

SÍ ES CORRECTA NO ES CORRECTA

Porque primero se sumaron las cantidades de peso:

𝟑𝟐 + 𝟏𝟑 + 𝟏𝟕 = 𝟔𝟐 𝒌𝒈 Se realizó la regla de tres:

𝟔𝟐 𝒌𝒈 = 𝟏𝟎𝟎 %

$ 𝒙 = 𝟐𝟑 %

𝟐𝟑 × 𝟔𝟐

𝟏𝟎𝟎=

𝟏, 𝟒𝟐𝟔

𝟏𝟎𝟎= 𝟏𝟒. 𝟐𝟔 𝒌𝒈

El 23 % se sumó al total del peso porque se solicitó “agregar peso”, entonces al final entrenó con:

𝟔𝟐 𝒌𝒈 + 𝟏𝟒. 𝟐𝟔 𝒌𝒈 = 𝟕𝟔. 𝟐𝟔 𝒌𝒈

Porque esta opción corresponde solamente al total del peso que cargaba antes del entrenamiento para el concurso, como se muestra en el inciso A.

C) 47.74 D) 14.26

NO ES CORRECTA NO ES CORRECTA

Porque esta opción indica que disminuyó el 23 % de peso al que cargaba antes del entrenamiento:

𝟔𝟐 𝒌𝒈 − 𝟏𝟒. 𝟐𝟔 𝒌𝒈 = 𝟒𝟕. 𝟕𝟒 𝒌𝒈

Porque esta opción solamente indica el 23 % del total del peso que usaba antes del entrenamiento, como se muestra en el inciso A.