OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG...

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

1

Các công thức biến đổi:

1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt:

* Cung đối nhau:

cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = - tgx; cotg(-x) = - cotgx

* Cung bù nhau:

cos( π - x) = - cosx sin( π - x) = sinx tg( π - x) = - tgx cotg( π - x) = -cotgx

* Cung phụ nhau:

cos( x2

π ) = sinx sin( x

2

π ) = cosx tg( x

2

π ) = cotgx cotg( x

2

π ) = tgx

* Cung hơn kém nhau π :

cos( π+ x) = - cosx sin( π + x) = - sinx tg( π - x) = tgx cotg( π - x) = cotgx

2) Công thức cộng:

cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb

sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa

tg(a + b) = tgatgb1

tgbtga

tg(a - b) =

tgatgb1

tgbtga

3) Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina cosa; cos2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin

2a = cos

2a - sin

2a; tg2a =

atg1

tga2

2

4) Công thức hạ bậc:

)a2cos1(2

1acos2 ; )a2cos1(

2

1asin2 ;

a2cos1

a2cos1atg2

5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = 2

atg

22

2

2 t1

t2tga;

t1

t1acos;

t1

t2asin

6) Công thức biến đổi tổng thành tích:

2

bacos

2

bacos2bcosacos

;

2

basin

2

basin2bcosacos

2

bacos

2

basin2bsinasin

;

2

basin

2

bacos2bsinasin

bcos.acos

)basin(tgbtga;

bcos.acos

)basin(tgbtga

7) Công thức biến đổi tích thành tổng:

2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b) 2sinasinb = cos(a - b) - cos(a + b)

2sinacosb = sin(a - b) + sin(a + b)

I. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löông giaùc:

Phöông trình daïng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong ñoù f(x) laø haøm soá löôïng giaùc.

Vaø a, b, c laø caùc heä soá a 0.

Caùch giaûi: + Ñaë t = f(x) ( neáu f(x) laø sinx hoaëc cosx thì 1t )

+ Giaûi phöông trình at2 + bt + c = 0 vaø choïn t thoaû maõn ñieàu kieän.

OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC

http://www.daythem.com.vn/


2

+ Giaûi phöông trình f(x) = t.

Ví dụ 1) Giaûi phöông trình :

22cos 4 6 s 1 3cos 20

cos

x co x x

x

(1)

Ví dụ 2) Giaûi phöông trình : 1cos1

sin2)1cos2(cos1

x

xxx (2)

Ví dụ 3) Giaûi phöông trình : 23 2 3(1 ).cotcosx cosx x (3)

Ví dụ 4) Giaûi phöông trình : 6 6 2sin 2 1x cos x cos x (4)

Ví dụ 5) Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; cuûa phöông trình :

sin 3 cos3

7 4 cos 22sin 2 1

x xcosx x

x

(5)

Ví dụ 6) Cho phöông trình : cos2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m .

a) Giaûi phöông trình khi m = 2.

b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng ;2 .

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1) +Đk

mx 2

.

(1) 02cos312cos1(312cos22 2 xxx

kx

kx

x

x

xx

6

2

2

12cos

12cos

012cos32cos2 2

Họ 2

kx thỏa ĐK khi k = 2h hx

Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: Zkhkxhx ,;6

;

.

Ví dụ 2) + ĐK : 21cos mxx

(2) 0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21 22 xxxxxx

2sin2

2sin02sin2sin2 2 xxxx (loại)

24

5

24

4sin

2

2sin

kx

kx

x

Ví dụ 3) +ĐK : mx

(3) x

xxx

2

2

sin

cos)cos1(322cos3

x

xxx

2

2

cos1

cos)cos1(322cos3

02coscos6cos1

cos32cos3 2

2

xxx

xx

2)3

2arccos(

23

3

2cos

2

1cos

kx

kx

x

x

(Thỏa các ĐK)

Ví dụ 4) +Biến đổi:



3

4

12cos

4

3

2sin4

31)cos(sincossin3)cos(sin

)(cossincossin

2

22222322

323266

x

xxxxxxx

xxxx

(4) 012cos42cos32cos4

12cos

4

3 22 xxxx

23

1arccos

2

1

3

12cos

12cos

kx

kx

x

x

Ví dụ 5) *Giải PT(5):

+ĐK : sinx

212

212

5

2

1

mx

mx

+Ta có

)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin 33 xxxxxxxxxxxx

)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin xxxxxxx

xxx

xxcossin

12sin2

3cos3sin

(5) )sin21(4sin72cos4)coscos(sin7 2 xxxxxx

3sin2

1sin03sin7sin2 2 xxxx (loại)

26

5

26

2

1sin

kx

kx

x

*Chọn nghiệm trên khoảng ;0 ta được hai nghiệm của phương trình là:

6

5;

6

xx

Ví dụ 6) (*) 01sin)12(sin21 2 mxmx

0sin)12(sin2 2 mxmx

1;1;sin;0)12(2)( 2 txtmtmttf

a)Khi m=2: 22

10252)( 2 tttttf (loại)

26

5

26

2

1sin

2

1

kx

kx

xt

b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng ;2 :

Khi 012; tx .

Vậy ta phải có :

01

0)1(0)1().0(

02

1

0)1(;0)0(;0

01

01

01

21

21

21

m

m

fff

S

afaf

tt

tt

tt

0;1 m



4

BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :

1) Giaûi phöông trình :

2 24sin 2 6sin 9 3cos 20

cos

x x x

x

2) Giaûi phöông trình :

2cos 2 3 2 2 11

1 sin 2

x sinx cos x

x

3) Giaûi phöông trình : 25 2 3(1 ).tansinx sinx x

4) Giaûi phöông trình : 8 8 217

sin 216

x cos x cos x

5 Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0;2 cuûa phöông trình :

cos3 sin 3

5 3 cos 21 2sin 2

x xsinx x

x

6) Cho phöông trình : cos2 (2 1)cos 1 0 (*)x m x m .

a) Giaûi phöông trình khi m = 3/2.

b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng 3

;2 2

.

II. Phöông trình baäc nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:

Phöông trình daïng : asinx + bcosx = c , vôùi a.b 0

+ Ñieàu kieän phöông trình coù nghieäm : a2 + b

2 c

2.

+ Caùch giaûi :

- Chia 2 veá phöông trình cho 2 2a b ta ñöôïc :

2 2 2 2 2 2

cosasinx b x c

a b a b a b

- Ñaët 2 2 2 2

sina b

cosa b a b

vaø ñaët 2 2

sinc

a b

ta coù phöông trình:

sin( ) sinx

Ví duï 1: Giaûi phöông trình : xxxx 2cos34cos26sin32cos4 3 (1)

Ví duï 2: Giaûi phöông trình : 3 1

8sinxcosx sinx

(2)

Ví duï 3: Giaûi phöông trình : 0sincos2cos2sin xxxx (3)

Ví duï 4: Giaûi phöông trình : 82cos2sin3cos3sin9 xxxx (4)

Ví duï 5: Giaûi phöông trình : 32 cos2 0cos x x sinx (5)

Ví duï 6: Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx (6)

Ví duï 7: Giaûi phöông trình : 44 4(sin ) 3sin 4 2x cos x x (7)

Ví dụ 8: Giải phương trình : xxxx sin3cos)cos3(sin3 (8)

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (1) xxxx 4cos26sin32cos32cos4 3

xxxxxx 4cos6sin2

36cos

2

14cos26sin36cos

xx 4cos3

6cos

.



5

Ví dụ 2: + ĐK : Zmm

xxx

x

202sin

0cos

0sin

+ (2) xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4

xxxxx 3cos3

cos3cossin2

3cos

2

1

Ví dụ 3: (3) 01coscos2)sincossin2( 2 xxxxx

0)1cos)(sin1cos2(

0)1)(cos1cos2()1cos2(sin

xxx

xxxx

1)4

sin(22

1cos

xx

Ví dụ 4: (4) 09cos2cos3cossin6sin9 2 xxxxx

0)3)(cos3cos2()cos23(sin3 xxxx

03sin3cos0)3sin3)(cos3cos2( xxxxx

sinsinsincoscos10

3sin

10

3cos

10

1 xxxx

10

3sin;

10

1cos;

2cos)cos(

x

Ví dụ 5: (5) 0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2 223 xxxxxx

0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2 xxxx

0)12sincos2sin2)(sin1(

01)cos1)(sin1(2)sin1(

xxxx

xxx

0)cos(sin)cos(sin2)sin1( 2 xxxxx

0cossin

0sin10)2cos)(sincos)(sinsin1(

xx

xxxxxx

Ví dụ 6: (6) xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin

xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin

0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2 2 xxxxxxxxx

0)2sin2cos3(cos0)2sin2

1

2

2cos12(cos

xxxx

xx

0cos x

Ví dụ 7: + Biến đổi : xxxxx 4cos4

1

4

3)4cos1(

4

112sin

2

11cossin 244

+ (7) 2

14sin

2

34cos

2

124sin34cos3 xxxx

3

2cos

34cos

x xxxx sin3cos)cos3(sin3

Ví dụ 8: (8) xxxxxxxx cos2

3sin

2

13cos

2

13sin

2

3cos3sin3cos3sin3

3sin

63sin

xx

BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :

1) Giaûi phöông trình : xxxx 3sin43cos29cos33sin3 3

2) Giaûi phöông trình : 3 1

8sin

cosxx cosx

3) Giaûi phöông trình : 2sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos2x x sin xcosx cos x x x



6

4) Giaûi phöông trình : 4cos sin 2 2cos2 1sinx x x x

5) Giaûi phöông trình : 32sin cos2 0x x cosx

6) Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx

7) Giaûi phöông trình : 24sin33cossin8 66 xxx

8) Giải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3

III. Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:

1) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc hai theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:

Phöông trình coù daïng : asin2x + bsinxcosx + ccos

2x + d = 0. (1)

Caùch giaûi 1: (Dùng công thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng cung)

(1) 1 cos 2 1 cos 2

sin 2 02 2 2

x b xa x c d

sin 2 ( )cos2 (2 )b x c a x d a c .

Caùch giaûi 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)

Xeùt hai tröôøng hôïp :

+ Neáu x = ;2

k k Z

coù laø nghieäm phöông trình hay khoâng.

+ Neáu x ;2

k k Z

, chia hai veá phöông trình cho cos2x ta ñöôïc:

atan2x + btanx + c + d(1 + tan

2x) = 0

(a + d)tan2x + btanx + c + d = 0.

Ví duï 1: Giaûi phöông trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin

2x (1)

Ví duï 2: Giaûi phöông trình 4sin2x – 3sinxcosx + 3 4 cos

2x = 4 (2)

Ví dụ 3: Giaûi phöông trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin

2x = 4 (3)

Ví dụ 4: Giaûi phöông trình : cos2x + sinxcosx + 3sin

2x = 3. (4)

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: (1) 12sin32cos12sin3sincos 22 xxxxx

3

cos3

2cos2

12sin

2

32cos

2

1

xxx

Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì 1sin2 x nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm

kx 2

.

+Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx

2

2tan1

cos

1 và đặt ăn

phụ t = tanx :

Ta có :

kxxtttt 66

tantan3

3)1(44334 22

Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là :

kx 2

; Zkkx ;6

Ví dụ 3: (3) 3)2cos1(2

32sin

2

5)2cos1(5 xxx

72sin52cos7 xx



7

Ví dụ 4: +Xét cosx = 0 thì 1sin2 x nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm

kx 2

.

+Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx

2

2tan1

cos

1 và đặt ăn

phụ t = tanx :

Ta có : kxxtttt 2arctan2tan2)1(331 22

BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ:

1) Giaûi phöông trình : 3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos

2x = 0

2) Giaûi phöông trình : sin2x +

2(1 3)sin cos 3 0x x cos x

3) Giaûi phöông trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos

2x = 1

4) Giaûi phöông trình : cos2x – 3sin

2x – 4sinxcosx = 0

2) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:

Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:

+ Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx có

bậc k + 2n nhờ đẳng thức : 1cossin 22 xx . ),( Nnk

Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. xxxxx 2322 cossinsin)cos(sin (bậc 3).

Hoặc sinx = sinx. xxxxxxx 4235222 cossincossin2sin)cos(sin (bậc 5).

+ Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0.

ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi chúng đã cùng một cung

( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)

Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và côsin của cùng

một cung như sau:

“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k N ”

Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)

(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán,

nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)

+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả)

+Bước 2: -Xét cosx 0. Chia hai vế PT cho xncos và thay kk

xx

2

2tan1

cos

1

.

-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.

-Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.

Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)

( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi hỏi kỷ năng phân

tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: xxxx 2coscossintan (1)

Giải cách 1:

+ĐK:

mx 2

.

+(1) xxxx 32 coscossinsin (*) (đẳng cấp bậc 3).

+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì 01 ; vô lý)

+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :

kxxttxxx 4

1tan111tan)tan1(tan 32 (t = tanx)

Giải cách 2:

(*) xxxxx 3332 cossincos)cos1(sin (**)



8

kxxx

41tan1tan 3

Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:

(**) 0)2sin2)(cos(sin0)cossin1)(cos(sin0cossin 33 xxxxxxxxx

kxxxx 4

1tan0cossin .

Ví dụ 2: Giải phương trình: xxx cossincos3 (2) (đẳng cấp bậc 3)

Giải cách 1:

+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)

+ cosx 0, chia hai vế (2) cho cos3x được : )tan1()tan1(tan1 2 xxx

kxxtttt 0tan00)1( 2 (với t = tanx )

Giải cách 2:

(2) 0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos 22 xxxxxxxxx

kxxxx 0sin0)22(sinsin

Ví dụ 3: Giải phương trình: 0cos2cossincos2sin3 233 xxxxx (3)

(đẳng cấp bậc 3)

Giải cách 1:

+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)

+ cosx 0, chia hai vế (3) cho cos3x được :

0)3(3033)tan1(2tan2tan3 223223 ttttxxx

kx

kx

x

x

t

t

33tan

0tan

3

0

Giải cách 2:

(3) 0)cos1(cos2cossinsin3 223 xxxxx

0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin 222 xxxxxxxx

kx

kx

x

kx

xx

x

33tan0cos3sin

0sin

Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin

2xcos

2x + sin

4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)

Giải cách 1:

+ cosx = 0 thì sinx = 1 không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 0

+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan

2 x thì được:

310342 tttt

Giải cách 2:

(4) 0)sincos(sin)cossin3cos3( 422224 xxxxxx

0)sin(cossin)sin(coscos3 222222 xxxxxx

3tan

02cos0)sincos3(2cos 22

x

xxxx

Ví dụ 5: Giải phương trình : xxxxx cossin2coscossin 266 (5)

Giải cách 1:

Nếu biến đổi : )cossincos)(sincos(sincossin 22442266 xxxxxxxx =

= xxxx 2244 cossincossin

Và biến đổi : xxxxxxx 22442222 cossin2sincos)sin(cos2cos

Thì PT (5) 0cossincossin 22 xxxx (*)

Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản

+ Nếu từ PT: xxxxxx cossin)sin(coscossin 22266 (đẳng cấp bậc 6)



9

Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )

)1.5(012

002

234

2345

tttt

tttttt

Khi đó PT (5.1) 0211

011

22

2

2

2

tt

tt

tttt (5.2)

PT (5.2) đặt ẩn phụ t

tu1

thì được PT bậc hai 1002 uuuu .

Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.

+ Với t = 0 kxx 0tan .

Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:

kx 2

cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =2

k. Phù hợp với mọi cách giải.

BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc

nhất theo sin và côsin cùng một cung như :

1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3)

2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)

3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)

4) Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx (đẳng cấp bậc 3)

5) Giaûi phöông trình : 24sin33cossin8 66 xxx (đẳng cấp bậc 6)

6) Giải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3 (đẳng cấp bậc 3)

7) Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx (đẳng cấp bậc 3)

8) Giaûi phöông trình : 44 4(sin ) 3sin 4 2x cos x x (đẳng cấp bậc 4)

9) Giải phương trình : xxxx sin3cos)cos3(sin3 (đẳng cấp bậc 3)

10) Giaûi phöông trình : 8 8 217

sin 216

x cos x cos x (đẳng cấp bậc 8)

11) Giaûi phöông trình : 6 6 2sin 2 1x cos x cos x (đẳng cấp bậc 6)

IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một cung:

1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)

Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R (1)

Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 24

sin2

tx

(*)2

1cossincossin21

22

t

xxxxt

(1) )1.1(02202

1. 2

2

bcatbtct

bat .

Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn 20 t .

Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = 12

0 t để tìm x.

2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)

Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R (2)

Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 24

sin2

tx

(**)2

1cossincossin21

22 t

xxxxt



10

(1) )1.2(02202

1. 2

2

bcatbtct

bat .

Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn 20 t .

Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- 2

0t để tìm x.

Ví dụ 1: Giải phương trình 02cos12)sin(cos122sincossin xxxxxx (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình

4sin27cos2sin3sin2sin32cos8

xxxxxx (2)

Ví dụ 3: Giải phương trình 02cos2sinsin 23 xxx (3)

Ví dụ 4: Giải phương trình 12cossin)2sincos(sin12cossin 22 xxxxxxx (4)

Ví dụ 5: Giải phương trình 1)1(sin2sin2coscossinsin2 xxxxxx (5)

Ví dụ 6: Giải phương trình 0sincos2cos)1cos(sin xxxxx (1)

HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (1) 012)cos(sin122sincossin xxxxx

)1(0122sin)cos(sin12

)1(0cossin

bxxx

axx

(1a)

kx 4

(1b) xxttt

ttt cossin1

13

1013122

2

02sin1k

xxt

+ Vậy (1) có 2 họ nghiệm là )(2

;4

Zkk

xkx

Ví dụ 2: (2) 072sin3)sin(cos8sincos xxxxx

)2(072sin3)sin(cos8

)2(0cossin

bxxx

axx

(2a)

kx 4

(2b) : Đặt t = (*)12sin2sin1)2(;sincos 22 txxttxx

(2b) 3

2

3

2

2

0483 2

tt

t

tt , thay t = -2/3 vào (*):

Sin2x =

kx

kx

9

5arcsin

2

9

5arcsin

2

1

9

5

Ví dụ 3: (3) 0)1cossincos)(sincos1( xxxxx

2

2

01cossincossin

1cos

kx

kx

xxxx

x

Ví dụ 4: (4)



11

012)cos(sin12cossin

0cossin

012)cos(sin12cossincossin

xxxx

xx

xxxxxx

2

4

kx

x

Ví dụ 5: (5) 0)1(sin2sin2)coscos(sin1sin2 xxxxxx

012sin2cossin

1sin

012sin2cossin1sin

0)1(sin2sin21sincos1sin1sin

xxx

x

xxxx

xxxxxx

Ví dụ 6: (6) 0sincossincos1cossin 22 xxxxxx

0sincossincossincos1cossin xxxxxxxx

01sincos1cossin)sin(cos xxxxxx

)6(01)sin)(cos1cos(sin

)6(0sincos

bxxxx

axx

(6a)

kx 4

(6b): Đặt t = sinx +cosx ( 2t ) ; 12sin2sin1 22 txxt (*)

(6b) 01.12

12

t

t 0233 tt 0)2)(1( 2 ttt

12

1

t

t

t thay vào (*) thì sin2x = 0

2

kx

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :

1) 24

cos2)1cos(sin2sin2

xxxx .

2) xxxxx cossin4sin2

1cossin 44

3) 02sin2coscos 23 xxx

4) )cos2(8sin3sin3 2 xxx

5) 0sincos)cossin1(2cos xxxxx

6) 06cos6sin3sin 23 xxx

D. PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM

2003-2009

(Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học)

Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :

a) xx

xx 2cos3

cos21

3sin2sin4

; b) xxxx 4cossin3cos2sin 2222

c) 04sin32cos43sin xxx ; d) 012sin2

1sin2cos3sin 2 xxxx

e) 02cos2

cossincossinsincos 2266

x

xxxxxx ; g)

x

xx

xxx

sin

cossin4

cos

1cot.cos 2



12


a)

0

sin22

34

cos4

sin2cossin2 44

x

xxxx

b) xxxxxxxxx cos.sincossin2cos.2coscotcossin 233

c) xgxxxx 22 cot).2cos(cos32coscos10

d) xxxxx sin32sincossin23cos2


a) 0cossin2cos2sincossin1 33 xxxxxx ; b)

xxxx

2

2

tan

1cot.cossin1

c) )cos1(sin2sincos)sin1(1 22 xxxxx ;

d) 02cot2cottan2tan 22 xxxx

Baøi 4 : Giaûi caùc phöông trình :

a)

012sin2sin34

cossincossin82

66

x

x

xxxx ; b) 0sin2cos.3sin 22 xxx

c) 032cos5

2cos2cossincossin 4466

x

xxxxx ; d) xxxx tan2sintan.sin

e) )cos1(sin2sincos)sin1(1 22 xxxxx ; g) xxx 7cos1coscos2 2

Baøi 5 : Giaûi caùc phöông trình :

a) 12sinsin)cos1(cos)sin1( 22 xxxxx ; b) 21cos32

cos2

sin

2

x

xx

c) 02cossin2sin2)2cos1(cos3 xxxxx ;

d)

4

5cos4

2

3sin

1

2cos

1

x

xx

e) 02cossin2sin2)2cos1(cos3 xxxxx

f) xxxxxxx cossin3cossin2coscos3sin 2233

Bài 6: a) Giải phương trình

3)cos1)(cos21(

sincos21

xx

xx

b) Giải phương trình : 2cos2cos

3sin3cos2cos2 3

xx

xxx

c) Giải phương trình 3cos

cossin43cos3 2

x

xxx


OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG...

Documents

Transcript of OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG...