1

Números enteros (ℤ)

Suma de números enteros (+4) + (+8) = (+12)

(–6) + (–5) = (–11)

La suma de nos enteros del mismo signo se obtiene sumando los valores

absolutos de dichos números y poniendo el signo común.

(+5) + (–7) = (–2)

(+10) + (–7) = (+3)

La suma de nos enteros de distinto signo se obtiene restando los valores

absolutos de dichos números y poniendo el signo del que tenga mayor valor

absoluto.

1. Efectúa las siguientes sumas:

a) 3 + 8 + (– 9) + 16 = e) 8 + (–20) + (–3) + 4 + 1 = b) (–3) + 5 + (–4) + 4 +3 + (–5) = f) (–5) + 16 + 11 + (–23) + 29 = c) 1 + (–3) + 4 + (–5) + 9 + (–20) = g) (–5) + 4 + 8 + 5 + (–7) + (–4) = d) 2 + 3 + (–15) + (–4) + (–9) + 8 = h) 9 + (–8) + (–10) + 5 + 4 =

Resta de números enteros (–3) – (+5) = (–3) + op (+5) = (–3) + (–5) = (–8)

7 – (–4) = 7 + op (–4) = 7 + 4 = 11

La resta de dos números enteros se obtiene sumando

al minuendo el opuesto del sustraendo.

1. Realiza estas restas con números enteros.

a) –2 – (–3) – 5 – 7 = d) 3 – (–7) – 6 – (–5) = b) (–7) – (–9) – (–5) – 18 = e) (–4) – (–3) – 5 – (–7) = c) (–5) – (–6) – (–4) – 2 = f) 3 – (–4) – 18 – 9 – (–10) =

2. Realiza las siguientes sumas y restas combinadas, operando de izquierda a derecha.

a) (–2) + 3 – 5 + (–3) – (–2) = d) (–10) – 3 + (–5) + 8 – (–9) =

b) 12 + 7 – (–5) – 10 + (–5) – (–3) = e) (–7) – (–19) + 3 – 7 – (–5) = c) 3 + (–6) + (–7) – 7 – (–10) = f) 3 – (–4) + (–9) – (–10) + 12 =

Multiplicación de números enteros

(+3) ·(+5) = (+15)

(+3) · (–5) = (–15)

(–3) · (+5) = (–15)

(–3) · (–5) = (+15)

En la multiplicación de dos números enteros, se

multiplican sus valores absolutos y, después, se aplica

la regla de los signos.

+ • + = + + • – = –

– • – = – – • – = +

1. Calcula:

a) (–2) · 7 · (–1) · (–5) = d) (–5) · 5 · (–2) · 3 = b) (–4) · (–1) · 5 · 3 = e) 3 · (–2) · 2 · 5 = c) 4 · 2 · (–3) · (–7) = f) (–4) · 8 · (–6) · 7 =

División de números enteros

(+14) : (+2) = (+7)

(+14) : (–2) = (–7)

(–14) : (+2) = (–7)

(–14) : (–2) = (+7)

En la división de números enteros, se dividen sus valores

absolutos y, después, se aplica la regla de los signos.

+ : + = + + : – = – – : – = – – : – = +

1. Calcula:

a) (–100) : 5 : (–5) = d) 225 : (–15) : (–5) = b) (–24) : (–12) : 2 = e) 144 : 12 : (–2) = c) (–54) : 2 : (–3) = f) (–72) : (–8) : 3 =

Jerarquía de las operaciones con números enteros En la realización de varias operaciones combinadas, se sigue este orden:

1. Se resuelven los paréntesis y corchetes

2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones (siempre de

izquierda a derecha)

3. Se efectúan las sumas y restas

[(−5) − 3] · (−2) + (−8): 2 (–8) · (–2) + (–8) : 2

16 + (–4) = 12

1. Teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones, calcula:

a) 2 · (–7) – (–6) · 2 + (–9) · 3 – (–3) = e) (–6) · (–4) + 5 · 2 – 12 : (–3) – 8 : (–4) = b) (–8) + (–6) : (–2) – 14 : (–2) + 5 = f) 10 + (–5) + 7 – (–24) : (–6) – 8 : 2 + (–9) : 3 = c) 2 – 5 · (–3) · (–4) · (–6) = g) [(−9) · (−3) + (−2)]: (−5) − (−3) =

d) [(−3) + (−6) − 7] · [(−2) + 5] − 7 = h) [(−10) + (−4)]: [5 · (−3) + 8] + 27 =

2

Potencias

Potencias de números enteros

an base exponente

La potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que la base se repite tantas veces como indique el exponente.

Potencias de exponente par Potencias de exponente impar

Tanto si la base es positiva como si es negativa el

resultado es otro número positivo

Si la base es positiva el resultado es otro número positivo y si la base es negativa el resultado es otro

número negativo

Propiedades de las potencias

Multiplicación de potencias de la misma base: (–2)5 · (–2)2 = (–2)5+2 = (–2)7

División de potencias de la misma base: 35 : 32 = 35 – 2 = 33

Potencia de una potencia: [(−5)5]2 = (−5)5·2 = (−5)10

Potencia de un producto: [(−2) · 7]4 = (−2)4 · 74

Potencia de un cociente: [(−8) ∶ (−4)]3 = (−8)3 ∶ (−4)3

Potencia de exponente 1: (−9)1 = (−9) 131 = 13

Potencia de exponente 0: 60 = 1 (−8)0 = 1

1. Calcula:

a) (1

2)

3· (

1

2)

3= f) (54)2 ∶ [(

1

5)

2]

2

=

b) (2

7)

5∶ (

2

7)

4= g) [(

4

5)

2]

2

· (4

5)

3=

c) (32)3 = h) (2

7)

7∶ [(

2

7)

2]

3

=

d) [(−2)2]4 = i) [(−4)3]2 · (−4)4 ∶ [(−4)5]2 =

e) [(2𝑥)3]3 ∶ (2𝑥)5 = j) (−2)3 · [(−2)4]2: [(−2)2]5 =

Raíces cuadradas

Índice

√𝑎2

= ±𝑏 Radical radicando raíz

√36 = ± 6, ya que 62 = 36 y (–6)2 = 36

√− 36 no existe

Observa que los números enteros positivos tienen dos raíces

cuadradas, una positiva y otra negativa, y que los números enteros

negativos no tienen raíz cuadrada.

Operaciones con raíces de igual índice

Multiplicación División Potencia

√5 · √2 = √5 · 2 = √10 √100

√4= √

100

4= √25 (√36)

3= √(36)2

1. Realiza las siguientes operaciones con raíces cuadradas:

a) √64 = d) √144 = g) √3 · √27 =

b) √169 = e) √100 = h) √180

√20=

c) √− 225 = f) √− 81 = i) (√55

√125)

3

=

Jerarquía de las operaciones con potencias y raíces

1. Se resuelven los paréntesis y corchetes

2. Se realizan las potencias y raíces

3. Se efectúan las multiplicaciones y divisiones

(siempre de izquierda a derecha

4. Se resuelven las sumas y restas

√64 ∶ (−4) + (−1)2 · [(−5) + 2]3

√64 ∶ (−4) + 1 · [(−3)]3

8 : (–4) + 1 · (–2)

–2 + (–27) = –29

1. Calcula:

a) 4 · (–5 –2)3 – 14 : (–2) + (–8)2 = d) (−3)3 − 3 · √16 + (−2) =

[(–5) – 3 · 2 – (–10)]4 + 5 · 22 = g) (−6)2 · 3 − √36 + √42. (−5) =

3

Números racionales ( ) (Fracciones)

Sumas y restas

Para realizar las mismas, los denominadores tienen que ser iguales.

Si los denominadores son diferentes, para resolverlas hay que reducirlas a

un común denominador. (m.c.m. de los denominadores)

Multiplicación Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. (Nunca se halla el m.c.m.)

División Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. (Multiplicamos en cruz)

1. Calcula y simplifica siempre que se pueda.

𝑎) 5

3+

1

6· (

2

5+

1

8) e)

6

9+ 10 +

5

3−

9

14·

3

2∶

7

3

𝒃) 𝟓

𝟑∶ (

𝟏

𝟗+

𝟏

𝟔) +

𝟒

𝟗·

𝟑

𝟐 f)

𝟒

𝟓·

𝟏𝟎

𝟑+ (

𝟓

𝟏𝟖−

𝟒

𝟏𝟓∶

𝟏

𝟑)

𝒄) 𝟕

𝟒∶

𝟏𝟒

𝟐+ (

𝟑

𝟐−

𝟒

𝟓) ·

𝟓

𝟔 g) (

𝟕

𝟏𝟐+

𝟏𝟏

𝟏𝟖) ·

𝟏

𝟔+ 7

𝑑) 5

3+

6

4· (

11

9−

1

10) + 4 ∶

5

12 h) 2 ·

9

5−

3

2∶ (

7

4+

5

6)

Expresiones algebraicas

Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.

EJEMPLOS Monomio 3x – 5ab –7x3 x5

3

Coeficiente 3 – 5 – 7 5

3

Parte literal x ab x3 x

Grado de un monomio

El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal.

EJEMPLOS Monomio Grado Explicación – 3x 1 El exponente de x es 1 (x1) 4a2y 3 La suma de los exponentes de a2y1 es 2 + 1 = 3

– 5x2y3 5 La suma de los exponentes de x2y3 es 2 + 3 = 5

1. Completa la siguiente tabla.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

– 3x – 3 x 1

– 2a3b

– 2ab

xyz

7ab2c3

6y2z

4

Monomios semejantes Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

EJEMPLOS 5x y 2x son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (x) 3xy2 y – xy2 son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (xy2) x2y3 y xy2 no son monomios semejantes

Suma y resta de monomios La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes.

Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. EJEMPLOS 2x + x = (2 + 1) x = 3x 2x + y → La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes

1. Realiza las siguientes operaciones.

a) b + b + b + b = d) 5x – 3x – x =

b) 2x2 + x2 + x2 = e) –5x3 – 3x3 = c) 5mn – mn – 4mn = f) p – 2p + 5p =

2. Reduce las siguientes expresiones, realizando las sumas y restas posibles.

a) 3m + n – 4m + 2n = f) 5x3 + 3x – 5 + 8 – 2x = b) 4x2 – 3x2 + 7y + 3x2 = g) 5y2 – 5y + 3y2 – y = c) – a + 2a – 8b + a + 9b = h) ab – ab + 7ab + 4ab – 2ab = d) 2p2 – p2 + 3p – 2p = i) 3ab3 – 2ab + 5ab3 – ab + 4ab =

e) 5b3 – 7b3 + 3b – 4b + 2b3 = j) –10xy – 5xy + 2xy + 4x – 8y + 2y + 2x =

Producto de monomios El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes

y cuya parte literal es el producto de las partes literales.

EJEMPLOS 3x · 2x = (3 · 2) ·x ·x = 6 x2 4x · (–2x2) = [4 · (–2)]· x · x2 = –8x3

1. Opera y reduce.

a) 2m · 7m = f) (–x2) · (–2x) = b) 3y2 · y3 = g) (x2y3z) · (xyz2) =

c) 5a2 · 5ax3 = h)

22

5

1·

3

5acab

d) xx4

1·5 i)

32 6·4

1·2 xxx

e) pp3

2·6 j)

xaax 2

3

2·

4

3·

3

2

División de monomios El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y cuya

parte literal es el cociente de las partes literales.

EJEMPLOS

31·3·2

6

2

62:6

x

x

x

xxx 2

33 2·

5

105:10 x

x

xxx

5

1. Efectúa las siguientes operaciones.

a) (7x5 : 2x) + x =

b) (6x7 : x3) – (5x : x) = c) (8a2b : 4ab) + b2 = d) 3x(x + 1) – (4x2 :x) = e) (12a3b2 : 3a2b) – b = f) 3(4xy2 : 2xy) – 2y = g) 2x[(–2y2x3) : (–x2y)] + x(x – 1) =

Polinomios

La suma (o resta) indicada de dos monomios recibe el nombre de binomio.

La suma (o resta) indicada de tres monomios recibe el nombre de trinomio.

En general, la suma (o resta) indicada de varios monomios recibe el nombre de polinomio.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los sumandos que lo forman.

EJEMPLO: 5x2 – 6x – 4 es un trinomio de 2º grado.

1. Anota el grado de cada uno de los siguientes polinomios:

a) x – x3 + 3 → grado ________ c) 6x5 – 5x3 + 6x → grado _______ b) 8x + 2 → grado ________ d) x2 – 7x + 3x2 – 5 → grado ________

2. Ordena según el grado de los sumandos y reduce los siguientes polinomios:

a) x + 5x2 + 3x – 3x2 – 7 + 2x

b) x3 – 6x2 + 5 + 2x2 + x3 – 1

EJERCICIO RESUELTO:

Calcular el valor numérico del polinomio A = x4 – 2x3 – 7x2 + 2x + 6 para x = – 3

Sustituyendo x por – 3

(– 3)4 – 2 · (– 3)3 – 7 · (– 3)2 + 2 · (– 3) + 6 = 81 – 2 · (–27) – 7 · 9 + 2 · (–3) + 6 = 81 + 54 – 63 – 6 + 6 = 72 Solución: El Valor numérico del polinomio A para x = – 3 es 72.

3. Calcula :

a) El valor numérico del polinomio M = x3 – 3x2 – 5x – 3 para x = 0.

b) El valor numérico del polinomio N = 3x3 + 5x2 + 6x + 8 para x = – 1

Suma y Resta de polinomios

Para sumar dos o más polinomios se colocan uno debajo de otro, haciendo coincidir, en la

misma columna, los monomios semejantes.

Sumar los polinomios A = x3 + 5x2 – 7 y B = x2 – 3x – 2 A → x3 + 5x2 – 7 B → x2 – 3x – 2

A +B → x3 + 6x2 – 3x – 9

El opuesto de un polinomio es otro polinomio, que sumado con él, lo anula.

El opuesto de P = 4x2 – 5x – 2 es – P = – 4x2 + 5x + 2, ya que, sumándolos, se obtiene el polinomio nulo.

Para restar dos polinomios se suma el primero con el opuesto del segundo. Es decir, se le

cambia el signo al segundo y se suman. Vamos a restar los polinomios A y B de arriba:

A → x3 + 5x2 – 7 –B → – x2 + 3x + 2 A – B → x3 + 4x2+ 3x - 5

6

1. Dados los polinomios M = 6x3 – 7x2 + 5x – 9,, N = 2x3 – 4x – 6 y K = 5 – 5x + 3x2 – 2x3, calcula:

a) M + N

b) M + K c) M + N +K

Producto de polinomios

Producto de un polinomio por un número.

x3 – 5x2 – 2x + 1

3 3x3 – 15x 2– 6x + 3

→ (x3- 5x – 2x + 1) · 3 = 3x3 – 15x2 – 6x + 3

Producto de un polinomio por un monomio.

x3 – 5x2 – 2x + 1 – 4x – 4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x

→ (x3 – 5x2 – 2x + 1) · (– 4x) = – 4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x

Producto de dos polinomios.

x3 – 5x2 – 2x + 1

x2 – 4x + 3

3x3 – 15x2 – 6x + 3 –4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x

x5 – 5x4 – 2x3 + x2 . x5 – 9x4 + 21x3 – 6x2 – 10x + 3

→ (x3 – 5x2 – 2x + 1) · (x2 – 4x + 3 ) = = x5– 9x4 + 21x3 – 6x2 – 10x + 3

1. Efectúa:

a) (x + 1) · (2x – 3) = d) (x + 3) · (x2 – x + 1) = b) (3x – 1) · (2x + 2) = e) (x2 + 5x + 3) · (x4 – 2x2 + 6x – 1) = c) 3 · (x + 2) · (x – 1) =

Extracción de factor común Observa la siguiente expresión: a · b + a · c – a · d Se trata de una suma cuyos sumandos son productos. Todos estos productos contienen un factor común a. Entonces podemos transformar la suma, sacando factor común y colocando un paréntesis:

a · b + a · c – a · d = a · (b + c – d) EJEMPLOS:

3x + 3y =3 (x + y)

x2 + xy = x · x + x · y = x (x + y) x2 + x3 = x2 · 1 + x2 · x = x2(1 + x)

xyxx

yx

xyx

yx 3

)(

)(3332

1. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones:

a) 5a + 5b e) 2x + 4x2 b) 5a + 10 f) 4x2 + 2x3

c) 4a2 + 12a g) 3xy – 6xz + 3x d) 2ab – a2b h) xy + x2y – xy2

2. Simplifica, extrayendo factor común donde se pueda, las siguientes fracciones:

a) 105

55

a

ba c) 32

2

xx

xx

b) 32

3

24

6

xx

x

d)

xyx

xyx

24

422

2

7

Productos notables

Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual al cuadrado del primero más el doble del

primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

EJEMPLOS: (x + 3) 2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9 (4 + 5x)2 = 42 + 2 · 4 · 5x + (5x)2 = 16 + 40x + 25x2

Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

EJEMPLOS:

(x – 5)2 = x2 – 2 · x · 5 + 52 = x2 – 10x + 25 (1 – 3x)2 = 12 – 2 · 1 · 3x + (3x)2 = 1 – 6x + 9x2

Suma por diferencia

Suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

EJEMPLOS: (x + 2) · (x – 2) = x2 – 22 = x2 - 4 (2x + 5) · (2x – 5) = (2x)2 – 52 = 4x2 – 25

1. Calcula:

a) (x + 1)2 d) (x – 3)2 g) (2a – 1)2 b) (x – 1)2 e) (2x + 3)2 h) (a + 2b)2 c) (x + y)2 f) (3x – 5)2 i) (–b + 2a)2

2. Quita paréntesis:

a) (a + 1) · (a – 1) c) (2x+ 1) · (2x – 1) b) (5 + x) · (5 – x) d) (2a + 3b) · (2a – 3b)

Cociente de polinomios

El cociente de un polinomio entre un número, se obtiene dividiendo cada término del

polinomio entre dicho número.

EJEMPLO:

(15x2y – 10x4 + 20x2) : 5 = 3x2y – 2x4 + 4x2

15x2y : 5 = 3x2y

– 10x4 : 5 = – 2x4 20x2 : 5 = 4x2

15x2y – 10x4 + 20x2 / 5____________ – 15x2y 3x2y – 2x4 + 4x2 0 – 10x4 10x4 0 + 20x2 – 20x2 0

El cociente de un polinomio entre un monomio, se obtiene dividiendo cada término del

polinomio entre dicho monomio.

EJEMPLO:

(12x4 – 24x3 + 6x2 – x) : 3x2 = 4x2 – 8x + 2 R = – x

12x4: 3x2 = 4x2 – 24x3 : 3x2 = – 8x

6x2 : 3x2 = 2 – x : 3x2 = No se puede dividir

12x4 – 24x3 + 6x2 – x / 3x2_______

- 12x4 4x2 – 8x + 2 0 – 24x3 24x3 0 + 6x2

– 6x2 0 – x

8

1. Efectúa los siguientes cocientes de polinomios.

a) (2x3 – 4x2 + 8x – 6) : 2 = d) (8x4 – 4x3 + 2x2 + 12x + 6) : 2x =

b) (5x4 – 10x3 – 5x + 15) : 5 = e) (10x5 + 5x4 – x3 + 15x – 10) : 5x2 = c) ( 3x4 + 9x3 – 6x – 12) : 3 = f) (6x5 – 5x4 + 7x3 – 9x2 + 8x – 6) : x2 =

Ecuaciones de 1er grado

Resolución de ecuaciones de 1er grado

Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es encontrar el valor de la letra (incógnita). Es hallar su solución.

Para resolver una ecuación despejamos la incógnita, es decir, la dejamos sola en uno de

los miembros.

Para despejar la incógnita necesitamos transponer (cambiar de lado) los términos.

Al sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número en los dos miembros de la ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente (con la misma solución).

PRIMER CASO x + 7 = 9 → x + 7 – 7 = 9 – 7 Lo que está sumando pasa al otro x = 9 – 7 miembro restando. SEGUNDO CASO x – 5 = 8 → x – 5 + 5 = 8 + 5 Lo que está restando pasa al otra

x = 8 + 5 miembro restando. TERCER CASO

3

9

3

·39·3

xx Lo que está multiplicando pasa al otro

3

9x miembro dividiendo.

CUARTO CASO

64

x4·64·

4

x Lo que está dividiendo pasa al otro

x = 6 · 4 miembro multiplicando.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x + 5 = 7 f) 2

5

2

1 x k)

3

12 x

b) x + 10 = 3 g) 2

31 x l)

10

1

5

x

c) x – 4 = 2 h) 2 – x = 4 m) 2 – 3x = –1

d) 7x = 28 i) 2

33 x n) 5x + 18 = 3

e) –2x = 5 j) 3

1

4

x ñ) 4

3

2

1x

2. Resuelve.

a) –x + 3 = 2x + 12 d) 4x – 8 = x + 16 g) x + 6 – 9x 4x – 2 – 2x +8 b) 5x + 2 = 3x – 2 e) 3x + 2x – 1 = 2x – 1 + 3 h) 6 + 5x + 2 = 4x – 2 + x c) –2x – x = 10 + 5 fj) –2x + 1 = 3x + 2 - x i) 12x + 3 – 7x = x – 3 – 2x

9

Método general de resolución de ecuaciones

Resuelve la ecuación 2(x – 4) – (6 + x) = 3x – 4

Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos:

1.º Eliminar paréntesis. 2x – 8 – 6 – x = 3x – 4

2.º Reducir términos semejantes. x – 14 = 3x – 4

3.º Transponer términos. Restamos x en ambos miembros (segundo caso) x – x – 14 = 3x – x - 4 – 14 = 2x – 4

Sumamos 4 en ambos miembros (primer caso) – 14 + 4 = 2x – 4 + 4 – 10 = 2x

4.º Despejar la incógnita.

Dividimos ambos miembros entre 2 (tercer caso) x

x

5

2

2

2

10

1. Resuelve estas ecuaciones.

a) 3x + 8 – 5(x + 1) = 2(x + 6) – 7x f) 5(x – 3) + 8x = 6x – 5 + x b) 5(x – 1) – 6x = 3x – 9 g) 2 – (3x – 5) = 4 – 2x + 3 - x c) 3(3x + 1) – (x – 1) = 6 (x + 10) h) 3(x + 4) – 6x = 8 – 3(x – 5) d) 2(x – 5) = 3(x + 1) – 3 i) 3 + 2(2x – 3) = 4x – (x + 3) e) 4(x – 2) + 1 = 5(x + 1) – 3x j) 5(3x – 1) – 2(4x – 3) = 15

Resolución de ecuaciones con denominadores

Resuelve la ecuación 4

73

2

3

3

12

xxx

Para resolver una ecuación con denominadores es conveniente seguir estos pasos:

1.º Eliminar los denominadores. m.c.m. (3,2,4) = 3 · 22 = 12

4·3

)73·(3

2·6

)3·(6

3·4

)12·(4

xxx

4(2x – 1) = 6(x – 3) + 3(3x – 7) 2.º Eliminar paréntesis. 8x – 4 = 6x – 18 + 9x – 21 3.º Reducir términos semejantes. 8x – 4 = 15 x – 39

4º Transponer términos. Restamos 8x en ambos miembros 8x – 4 – 8x = 15x – 39 – 8x

– 4 = 7x – 39 Sumamos 39 en ambos miembros – 4 + 39 = 7x – 39 + 39 35 = 7x

5.º Despejamos la incógnita.

Dividimos ambos miembros entre 7. xx

57

7

7

35

1. Resuelve estas ecuaciones.

a) 5

2

5

212

4

1

xxx h) 4

10

)3(7

4

)5(3

xx

b) 8

1

6

32

12

73

xxx i) 11

2

3

5

23

xxx

c) 15

132

5

4

3

4

xxx j) 1

84

3

xx

d) 2

34

4

25

xx k)

6

1

3

2

6 x

x

e) 306432

xxxx l)

3

2

5

124

5

3

32

xx

xxx

f) 104

4

3

3

2

2

xxx m)

6

43

2

1

3

2

2

5 xxx

g) 2

71

3

6

6

3

5

4

xxxx n)

12

13

18

5

12

13

xxx

10

Ecuaciones de 2º grado

Ecuación de 2º grado Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo ax2 + bx + c = 0, donde:

a, b y c son los coeficientes de la ecuación, siendo a ≠ 0.

ax2 → término cuadrático bx → término lineal c → término independiente

x es la incógnita.

Fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución. Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado se aplica la siguiente fórmula:

a

acbbxcbxax

2

40

22

a

acbbx

2

42

1

a

acbbx

2

42

2

EJEMPLO: Resuelve la ecuación de segundo grado x2 + 5x + 6 = 0. a = 1,, b = 5,, c = 6

2

15

2

24255

1·2

6·1·455 2

x

22

4

2

151

x 3

2

6

2

152

x

Sustituyendo los valores – 2 y – 3 en la ecuación x2 + 5x + 6 = 0, se comprueba que la cumple. (– 2)2 + 5 · (– 2) + 6 = 0 → 4 – 10 + 6 = 0 → 10 – 10 = 0 → 0 = 0 (– 3)2 + 5 · (– 3) + 6 = 0 → 9 – 15 + 6 = 0 → 15 – 15 = 0 → 0 = 0

1. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado

a) x2 + 4x + 3 = 0 d) 7x2 + 21x = 28 b) x2 – 6x + 8 = 0 e) 3x2 + 6 = – 9x c) 2x2 – 5x – 7 = 0 f) (2x – 4) · (x – 1) = 2

2. Resuelve.

a) 3x · (x – 2) + 4 = x · (2x – 1) c) (2x – 3)2 – 1 = 0 b) (x – 4) · (x – 3) = 0 d) 11 – x = 2x – (x – 3)2

Ecuaciones del tipo ax2 + c = 0 Las ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 son ecuaciones de segundo grado. Responde al tipo ax2 + bx + c = 0, donde b = 0. Para resolverlas se puede seguir este proceso:

a

cx

a

cxcaxcax

222 0

* Si el radicando es positivo, hay dos soluciones opuestas: a

cx

1

y a

cx

2

* Si el radicando es negativo, no hay solución.

EJEMPLOS:

4,,416162

323220322 21

2222 xxxxxxx

solucióntieneNoxxxxx

25253

757530753 2222

11

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 7x2 – 28 = 0 d) 5x2 = 45 b) 5x2 – 180 = 0 e) 18x2 – 72 = 0

c) 2x2 = 50 f) 4x2 = 1

2. Resuelve:

a) 3x2 = 18 + x2 c) 5x2 + 8 = 35 + 2x2

b) 5x2 + 9 = 10 – 4x2 d) 4

412

2 xx

Ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0 Las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 son ecuaciones de segundo grado. Responde al tipo ax2 + bx + c = 0,

donde c = 0.

Para resolverlas se puede seguir este proceso.

ax2 + bx = 0 Factor común x · (ax + b) = 0 → x1 = 0

a

bxbax

20

Estas ecuaciones tienen siempre dos soluciones, siendo cero una de ellas.

EJEMPLOS:

x2 – 12x = 0 → x · (x – 12) = 0 → x1 = 0 x – 12 = 0 → x2 = 12

2x2 + 5x = 0 → x · (2x + 5) = 0 → x1 = 0

2

552052 2 xxx

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 5x2 + 5x = 0 f) 7x2 – x = x + 2x2 b) 2x2 – 8x = 0 g) 4x – 4x2 = 5x2 – 5x c) 6x2 = 30x h) x · (5x – 4) = 3x · (x – 1) d) – 5x2 + 20 x = 0 i) x · (x – 3) + 8 = 4 · (x + 2)

e) 2x2 + 3x = x2 j) 3

32

2

2)1( 2

xxx

Sistemas de ecuaciones lineales

Método de resolución gráfico

Dos ecuaciones lineales forman un sistema.

''' cybxa

cbyax

La solución del sistema es la solución común a ambas ecuaciones.

EJEMPLO: Hallar gráficamente la solución del siguiente sistema:

93

7

yx

yx

Gráficamente, la solución del sistema es el punto de corte de las rectas que representan a las ecuaciones.

x + y = 7 → y = 7 – x → x 2 3 4 5 6 7

y 5 4 3 2 1 0

3x – y = 9 → y = 3x – 9 → x 1 2 3 4 5 6

y – 6 – 3 0 3 6 9

Solución del sistema:

Es el punto común

3

4

y

x

f(x)=7 - x

f(x)=3x - 9

-2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

(4, 3)

y = 3x - 9

y = 7-x

12

1. Dadas las tablas de valores de las siguientes funciones lineales, represéntalas gráficamente.

x 0 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 4 5

y –5 –4 –3 –2 –1 0 y 4 2 0 –2 –4 –6

2. ¿Cuál de los siguientes pares de valores, es solución de siguiente sistema?

{𝑥 − 2𝑦 = 1

2𝑥 − 3𝑦 = 4 a) x = 3 b) x = 1 c) x = 5 d) x = 4

y = – 2 y = 2 y = 2 y = –2

3. Resuelve gráficamente:

a) c)

3

5

yx

yx

02

3

yx

xy

b) d)

12

1

xy

yx

73

1232

yx

yx

Método de sustitución

Resuelve el sistema:

23

2

yx

yx

1º Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. (en este caso x en la primera ecuación): x + y = 2 → x = 2 – y

2º Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación: 3x – y = 2 → 3(2 – y) – y = 2

3º Se resuelve la ecuación resultante. 3(2 – y) – y = 2 6 – 3y – y = 2

6 – 4y = 2 6 – 2 = 4y

14

444 yyy

4º Se calcula la otra incógnita en la ecuación despejada. x = 2 – y → x = 2 – 1 → x = 1

1. Resuelve por el método de sustitución:

a)

3

5

yx

yx c)

73

1232

yx

yx

b)

12

1

xy

yx d)

925

13

yx

xy

Método de igualación

Resuelve el sistema:

932

623

yx

yx

1º Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones (por ejemplo, x):

3

62623623

yxyxyx

2

93932932

yxyxyx

2º Se igualan las expresiones obtenidas:

2

93

3

62

yy

3º Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante:

279124)93(3)62(22

93

3

62yyyy

yy

13

313

393913122794

yyyyy

4º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones despejadas en el paso 1º:

03

0

3

66

3

6)3(2

3

62

x

yx

1. Resuelve por el método de igualación:

a)

254

82

yx

yx c)

865

532

yx

yx

b)

10

2

yx

yx d)

2125

1123

yx

yx

Método de reducción

Resuelve el sistema:

1123

52

yx

yx

1º Se igualan los coeficientes de una incógnita, excepto el signo, para lo cual se elige un múltiplo común de ambos coeficientes. Multiplicamos por 2 los dos miembros de la primera ecuación.

1123

1024

1123

52

yx

yx

yx

ys

2º Se suman o se restan las dos ecuaciones del sistema resultante. Hemos reducido el sistema a una ecuación sencilla.

1123

1024

yx

yx

7x = 21 3º Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante:

37

21217 xxx

4º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema: 2x + y = 5 → 2 · 3 + y = 5 → 6 + y = 5 →

→ y = 5 – 6 → y = –1

1. Resuelve por el método de reducción:

a)

834

105

yx

yx c)

254

82

yx

yx

b)

1253

026

yx

yx d)

143

425

yx

yx

2. Resuelve los siguientes sistemas por el método más adecuado

a)

0

)1(3)(2

yx

yyx c)

2)5(413

2

51)3(2

yx

yx

b)

04)43(3

05)72(4

xy

yx d)

7)2(3

2

87

3

12

yx

yx

14

Proporcionalidad numérica

Razón entre dos números o cantidades

Una razón es el cociente indicado entre dos números, a y b, que se pueden comparar: 𝑎

𝑏

En una razón, los números pueden ser cualquiera: 2,5

5,

4

3,5,

10

25 ; mientras que en una fracción los números son

enteros: 2

5;

4

3;

10

25

Proporción Si igualamos dos razones, obtenemos una proporción

𝒂

𝒃=

𝒄

𝒅 es una proporción

TÉRMINOS DE UNA

PROPORCIÓN

a, d se llaman extremos

b, c se llaman medios

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

- Al aumentar una cantidad el doble, el triple,…, la otra aumenta el doble, el triple…

- Al disminuir una cantidad la mitad, la tercera parte,…, la otra también disminuye la mitad, la tercera parte,…

La razón entre dos cantidades es siempre la misma y se llama constante de proporcionalidad.

1. Tres obreros realizan una zanja de 6 metros en un día, Si mantienen el mismo ritmo de trabajo, ¿cuántos metros de zanja abrirán en un día, si se incorporan 5 obreros más?

2. El precio de 12 fotocopias es 0,50 €. ¿Cuánto costará hacer 30 fotocopias?

3. En un examen, Enrique ha contestado correctamente 6 de 10 preguntas y, en otro, de 25 preguntas ha respondido bien a 14. ¿Obtendrá en ambos exámenes la misma calificación?

4. Si por tres kilos de manzanas he pagado 4,32 €, ¿Cuánto me costarán 8 kilos?

5. Un tarro de yogur de 125 gramos tiene los siguientes componentes: Proteínas: 3,5 gramos; hidratos de carbono: 16,25 gramos; grasas: 2,25 gramos y calcio: 140 miligramos. Si el tarro pesara 1 gramo, ¿Qué cantidades de cada componente habría? ¿Y si fuera de 100 gramos?

Problemas de porcentajes

1. En una clase de 2º ESO el 60% de los alumnos son chicas. Si en total hay 30 alumnos, calcula el número de chicas, de chicos y el porcentaje de estos últimos.

2. Una fábrica produce 1500 automóviles al mes. El 25 % son furgonetas, el 60 % turismos y el resto monovolúmenes. Halla las unidades producidas de cada tipo.

3. Unas zapatillas que antes costaban 60 € tienen un descuento del 15 %. ¿Cuánto valen ahora?

4. En un instituto de 1200 alumnos se han publicado los resultados de una encuesta sobre música moderna: el

30 % de los alumnos prefiere música tecno, el 25 % pop, el 40 % rock, y el resto, música melódica. Calcula los alumnos que prefieren cada modalidad musical y el porcentaje de los que eligen la música melódica.

5. De un colegio de 600 alumnos, el 50 % son de educación primaria, el 35 % de ESO y el 15 % de bachillerato. Halla el número de alumnos de cada nivel educativo. Una tienda de telefonía decide aumentar sus precios en un 3 %. ¿Cuál será ahora el precio de un teléfono que costaba 142 €?

6. Calcula que porcentaje de aumento se produce en cada caso: a) Aumento de 42 a 46 c) Aumento de 15 a 20 b) Aumento de 5 a 6 d) Aumento de 1000 a 1300

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:

- Al aumentar una el doble, el triple,…, la otra disminuye la mitad, la tercera parte,…

- Al disminuir una la mitad, la tercera parte,…, la otra aumenta el doble, el triple… Al multiplicar (o dividir) uno de los valores de una magnitud por un número, el valor correspondiente de

la otra magnitud queda dividido (o multiplicado) por el mismo número.

1. Un depósito de agua se llena en 18 horas si un grifo vierte 360 litros de agua cada minuto.

a) ¿Cuánto tardaría en llenarse si vertiera 270 litros por minuto? b) ¿Y si salieran 630 litros por minuto?

15

2. Un ganadero tiene 36 vacas y pienso suficiente para alimentarlas durante 24 días. Si decide comprar 18 vacas más. ¿para cuántos días tendrá pienso?

3. Se está construyendo una autopista y hay que realizar un túnel en la montaña.

Está planificado que dos máquinas realicen la obra en 90 días. Para reducir ese tiempo a la tercera parte, ¿cuántas máquinas hacen falta?

4. Si 20 obreros levantan un muro de ladrillos en 6 días, ¿cuánto tardarían 6 obreros?

5. Un camión tarda 4 horas en recorrer una distancia a velocidad constante de 65 km/h. a) ¿Qué velocidad llevará un automóvil que recorre la misma distancia en la mitad de tiempo? b) Y una avioneta que emplea 45 minutos?

Proporcionalidad geométrica

Teorema de Tales Polígonos semejantes

1. Determina las longitudes desconocidas.

2. Calcula las longitudes desconocidas. 3. Considera la figura:

16

4. ¿Cuál es la altura de la torre?

5. La sombra de una guagua a cierta hora mide 8 m. A la misma hora, la sombra de un coche, que mide 1,4 m, es de 3,5 m. ¿Qué altura tiene la guagua?

6. ¿Qué altura tiene el poste?

7. Un jugador de baloncesto de 1,9 m, que está situado a 6,25 m de la canasta, lanza un balón hacia la misma. Calcula la altura a la que está el balón cuando va por la mitad del recorrido.

17

Figuras planas. Áreas

Teorema de Pitágoras Áreas

a2 = b2 + c2 a→ hipotenusa

b y c → catetos

1. Calcula el perímetro y el área de estas figuras.

2. Calcula el área de las siguientes figuras:

3. Obtén el área de las zonas coloreadas.

VIDEOS DE YouTube DE ÁLGEBRA

Introducción a Las Ecuaciones. Qué son usos significado comportamiento solución y verificación

https://www.youtube.com/watch?v=qnU2-v6K-uI

Matemática fácil – Ecuaciones de 1ergrado

https://www.youtube.com/watch?v=qYZur_-nXgI

https://www.youtube.com/watch?v=9Ly9qasM8IM

Ecuaciones de 1er grado – Aprende matemáticas

https://www.youtube.com/watch?v=4XCVMek7yl4

Truco para resolver ecuaciones de 1er grado

https://www.youtube.com/watch?v=mf_5ExEvY0Y

https://www.youtube.com/watch?v=20AK0yrlPqk

https://www.youtube.com/watch?v=bkmaKv2xKRs

Ecuaciones. Ecuaciones de primer grado. Los paréntesis

https://www.youtube.com/watch?v=ISXlyhzynPs

https://www.youtube.com/watch?v=ss3APkfdePE&t=16s

Ecuación de primer grado con fracciones

https://www.youtube.com/watch?v=pqnyMmT8ncg

https://www.youtube.com/watch?v=r12PK6tMAGU

https://www.youtube.com/watch?v=R5gBf9GDSHA

Ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores

https://www.youtube.com/watch?v=nZ9NjJU2P2c

Lenguaje algebraico. Problemas de ecuaciones para principiantes. Aprende matemáticas

https://www.youtube.com/watch?v=b4ChRm3QjCk

https://www.youtube.com/watch?v=j09PkH5l5fY

Expresiones algebraicas y ecuaciones. Problemas avanzados

https://www.youtube.com/watch?v=RdVvT_862VU

https://www.youtube.com/watch?v=6Vik4FN2Gj0

Claves para plantear problemas de matemáticas

https://www.youtube.com/watch?v=EYG1XvNUZF0

https://www.youtube.com/watch?v=4irb_C8Ho6I

https://www.youtube.com/watch?v=1TF31ZRxQoI

Ecuaciones de 1er y 2º grado

https://www.youtube.com/watch?v=IshMeQQ8TUQ

Ecuaciones de 2º grado

https://www.youtube.com/watch?v=zoFQeabSpuc

https://www.youtube.com/watch?v=PQywSd-vaAM

https://www.youtube.com/watch?v=Zl8mRoTrQ_k

https://www.youtube.com/watch?v=sdWh5CnYIX4

Resolver ecuaciones de 2º grado por factorización

https://www.youtube.com/watch?v=dXakJkBRpqM

https://www.youtube.com/watch?v=4bCKKe3mR08

Solución de una Ecuación que contiene Productos Notables

https://www.youtube.com/watch?v=PbSajgYjWvY

https://www.youtube.com/watch?v=qr3rTuBPC7I

Enlaces interactivos de matemáticas

http://www.aplicaciones.info/decimales/mates.htm

http://matematicasonline.es/segundo%20eso/mat2eso1.html

http://www.vitutor.com/ejercicios_matematicas.html

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/enlaces/enlaces.htm

http://www.colmenesiano.org/departamentos/t_mate2/tmate2.htm

http://i-matematicas.com/blog/

http://jesusprofemates.blogspot.com.es/p/2-eso.html

https://www.intermatia.com/ejercicios.php