Notas Variable Compleja (Prof. Yoel Monsalve)

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

“ANTONIO JOSE DE SUCRE”

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES

SECCION DE MATEMATICA

NOTAS DE VARIABLE COMPLEJA

Version 2010-I.1

Prof. Yoel Monsalve

He escrito estas notas con el proposito de que puedan ser utilizadas como referencia porlos alumnos del Curso de Matematica IV, de acuerdo al programa de estudios de la UNEXPO.Asimismo, he tenido la intencion de elaborar un material de una facil y comoda lectura, y queno obstante pueda abarcar el temario que se pretende explicar.

Presentaremos aquı un nuevo conjunto numerico, que amplıa al de los ya existentes de losnumeros naturales, los numeros enteros y los numeros reales. Es decir, vamos a presentarun conjunto numerico mas amplio que estos anteriores.

Uno de los propositos perseguidos historicamente con los llamados “numeros complejos”, espoder definir un conjunto que contenga un elemento o numero con la propiedad de que al sermultiplicado por sı mismo, se obtenga como resultado −1. Es decir, un numero cuyo cuadradosea −1, por lo que este numero es, de cierta forma, una raız cuadrada de −1. Con esto, dichoconjunto proporciona una solucion al historico y antiguo problema de definir las raıces cuadradasde numeros negativos.

Un conjunto o sistema numerico consiste basicamente de un conjunto de elementos, llamadosnumeros, y una serie de operaciones, definidas en este conjunto y para estos numeros. Por ejem-plo, en el sistema de numeros reales, se definen las operaciones de suma y multiplicacion, y conbase en estas, se definen luego la resta, la division, y posteriormente las raıces, los logaritmos, etc.

Para el sistema de numeros complejos, vamos a empezar definiendo, en primer lugar, cualesson sus elementos, es decir, cuales son los ası llamados numeros complejos. Luego, definiremosla suma y la multiplicacion de numeros complejos, y veremos como, en base a estas, se puedendefinir la resta y la division. Seguidamente demostraremos que, bajo la operacion de multipli-cacion ası definida, existe un numero — denotado como i, y llamado unidad imaginaria — conla propiedad de que su cuadrado es igual a −1.

1. El sistema de numeros complejos

El sistema de numeros complejos(C,+, ·

)consiste en el conjunto de todos los pares ordenados

de numeros reales:C =

{(x, y) : x, y ∈ R

}

Notas de variable compleja — Curso de Matematica IV. Prof. Yoel Monsalve – 2 –

junto con dos operaciones, llamadas suma (+) y multiplicacion (·).

Parte real y parte imaginaria. Dado un complejo:

z = (x, y)

el numero x se llama la parte real de z, denotada:

x = Re {z}

y el numero y se llama la parte imaginaria de z, denotada:

y = Im {z}

Hay que notar que, pese al nombre, tanto x como y son, en sı mismos, numeros reales.

Ejemplo 1. Sea el complejo (2,−3). Su parte real es:

Re {(2,−3)} = 2

y su parte imaginaria es:Im {(2,−3)} = −3

Y es de hacer notar que, tanto su parte real, como su parte imaginaria, son numeros reales: laparte real es el numero (real) 2, y la parte imaginaria es el numero (real) −3.

Numero real puro, y numero imaginario puro. Al numero complejo cuya parteimaginaria sea cero, se le llamara a veces numero real puro. Ası por ejemplo, el complejo(−7, 0) se dice que es real puro.

Del mismo modo, al complejo cuya parte real sea cero, se le llamara a veces numero imag-inario puro. Ası por ejemplo, el complejo (0, 5) se dice que es imaginario puro.

Representacion grafica de un numero complejo. La representacion grafica de unnumero complejo se realiza como la de un punto normal de coordenadas (x, y) en el denominadoplano complejo, que no es mas que el mismo plano cartesiano, pero denominando al eje deabscisas como eje real, y al eje de ordenadas como eje imaginario.

El punto (x, y) se representa entonces como el punto cuya abscisa es la parte real x, y cuyaordenada es la parte imaginaria y. Esto, tal como se muestra en la figura 1.1.1.


Figura 1.1.1: Representacion grafica del numero z = x+ iy en el plano complejo.

Las operaciones de suma (o adicion) y multiplicacion (o producto) de complejos se definen me-diante:

SUMA. Dados dos complejos:

z1 = (x1, y1) , z2 = (x2, y2)

la suma de z y w es el complejo:

z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2)

MULTIPLICACION. Dados dos complejos:

z1 = (x1, y1) , z2 = (x2, y2)

el producto de z y w es el complejo:

z1z2 = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2)

es decir, de acuerdo con la siguiente regla mnemotecnica (que ayuda a su memorizacion):

( 1 ◦1 ◦ − 2 ◦2 ◦ , 1 ◦2 ◦ + 2 ◦1 ◦ )

Ejemplo 2. Dados:z1 = (2, 3), z2 = (−1, 4)

calcule z1 + z2, z2 + z1, z1z2, z2z1.


Solucion. Aplicando la definicion:

z1 + z2 = (2, 3) + (−1, 4) = (2− 1, 3 + 4) = (1, 7)

z2 + z1 = (−1, 4) + (2, 3) = (−1 + 2, 4 + 3) = (1, 7)

¡ de modo que z1 + z2 = z2 + z1 !. Por otra parte:

z1z2 = (2, 3) · (−1, 4) =((2)(−1)− (3)(4), (2)(4) + (3)(−1)

)= (−2− 12, 8− 3) = (−14, 5)

y:

z2z1 = (−1, 4) · (2, 3) =((−1)(2)− (4)(3), (−1)(3)+(4)(2)

)= (−2−12,−3+8) = (−14, 5)

¡ de modo que z1z2 = z2z1 !.

2. Propiedades de las operaciones en C

Las operaciones de suma y multiplicacion en el conjunto de los numeros complejos obedecena ciertas propiedades (conmutatividad, asociatividad, etc), que enumeraremos a continuacion.

Propiedades de la SUMA de numeros complejos.

1. Conmutatividad: z1 + z2 = z2 + z1, para cualesquiera z1, z2 ∈ C.

En efecto, esto es facil de probar. Sean

z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2)

entonces:

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

mientras que:

z2 + z1 = (x2, y2) + (x1, y1) = (x2 + x1, y2 + y1)

pero como — en virtud de la propiedad conmutativa de los numeros reales — se tiene

que x1+x2 = x2+x1, y tambien y1+y2 = y2+y1, se concluye que z1+z2 = z2+z1.

2. Asociatividad:(z1 + z2

)+ z3 = z1 +

(z2 + z3

), para cualesquiera z1, z2, z3 ∈ C.

Esta propiedad se demuestra de manera similar a la anterior, por lo que se puede dejar

como ejercicio al estudiante.


3. Existencia de elemento neutro: El par complejo (0, 0) se denomina neutro adi-tivo porque al ser sumado con cualquier numero complejo, el resultado es este mismonumero. En efecto:

(x, y) + (0, 0) = (x, y)

para todo (x, y) ∈ C. Es decir, el par (0, 0) es el elemento neutro de la suma, tambienllamado el cero complejo. Indicaremos a veces este numero como 0 (en negrilla paraindicar que es un par complejo, y no el cero real ordinario).

4. Existencia de elemento opuesto: El opuesto aditivo (o simplemente opuesto) deun numero complejo z, es cierto numero denotado como −z, tal que al ser sumados estosdos, el resultado sea el elemento neutro — o cero — definido en el punto anterior.

Para entender esto mejor, vamos a explicarlo primero en el caso de los reales, y luegopasemos al caso complejo. En el caso de los reales, por ejemplo, el opuesto aditivo delnumero 3 es el numero −3, ya que la suma de estos dos numeros es el cero real:

3 + (−3) = 0

y al mismo tiempo, el opuesto de −3 es 3 (porque (−3)+ 3 = 0), es decir, el opuesto, delopuesto de 3, es nuevamente 3.

Debemos notar que el cero es el unico numero que es su propio opuesto, y que el opuestode un numero dado es unico (esto es, un numero no puede tener dos opuestos aditivosdistintos).

En el caso complejo, dado un numero cualquiera z = (x, y), su opuesto aditivo sera unnumero −z con la propiedad de que al ser sumado con z, el resultado sea el cero complejo,es decir:

z + (−z) = 0

Si z = (x, y), entonces su opuesto es −z = (−x,−y), ya que se verifica la propiedad:

z + (−z) = (x, y) + (−x,−y) =(x+ (−x), y + (−y)

)= (0, 0)

De este modo, el opuesto del complejo (2, 3) es (−2,−3), el opuesto de (1,−5) es (−1, 5),etc.

Debemos notar que el cero complejo 0 = (0, 0), es el unico numero que es su propioopuesto. Ademas, es cierto tambien en los complejos, que el opuesto, del opuesto, de unnumero z, es otra vez z:

−(−z) = z .

Propiedades de la MULTIPLICACION de numeros complejos.

1. Conmutatividad: z1 z2 = z2 z1, para cualesquiera z1, z2 ∈ C.


En efecto, esto es facil de probar. Sean

z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2)

entonces:

z1 · z2 = (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2)

mientras que:

z2 · z1 = (x2, y2) · (x1, y1) = (x2x1 − y2y1, x2y1 + y2x1)

pero como x1x2 = x2x1, y1y2 = y2y1, . . . etc, se sigue que:

z1 · z2 = z2 · z1

2. Asociatividad:(z1 · z2

)· z3 = z1 ·

(z2 · z3

), para cualesquiera z1, z2, z3 ∈ C.

Esta propiedad se demuestra definiendo z1 = (x1, y1), z2(x2, y2), z3 = (x3, y3), ydesarrollando por separado las expresiones

(z1 · z2

)· z3 y z1 ·

(z2 · z3

), para evidenciar

que son iguales. Es un procedimiento teoricamente sencillo, pero tedioso, por lo que no

lo vamos a hacer aquı. Se puede dejar como ejercicio para el estudiante interesado.

3. Existencia de elemento neutro: La multiplicacion — al igual que la suma— admiteun elemento neutro. Pero al ser la multiplicacion una operacion distinta de la adicion,los elementos neutros de estas dos no son iguales.

En el caso de la operacion de multiplicacion, el neutro ha de ser un numero, llamadoelemento unidad y que denotaremos como 1, con la propiedad de que al ser multipli-cado por cualquier complejo z, el resultado sea el mismo numero z, es decir 1 · z = z.Este numero es el par complejo (1, 0), puesto que si z = (x, y), entonces de acuerdo conla definicion de multiplicacion antes dada:

(1, 0) · (x, y) = ( 1 · x − 0 · y, 1 · y + 0 · x ) = (x, y)

De este modo, el par (1, 0) se denomina neutro multiplicativo en los numeros comple-jos.

4. Existencia de elemento inverso: En la operacion de multiplicacion, el elemento in-verso viene a representar lo que el opuesto es para la operacion de adicion.

Dado un complejo z distinto de cero, su inverso multiplicativo — denotado comoz−1, o 1/z — es cierto numero con la propiedad de que:

z · z−1 = 1 = (1, 0)

es decir, que el producto de z y su inverso, resulte igual al neutro de la multiplicacion(1, 0), que se definio en el punto anterior.


Ahora, ante todo resaltemos que no puede existir el inverso multiplicativo del complejocero, ya que de ser ası, obtendrıamos una contradiccion. En efecto, si z = 0 es el complejonulo, y este tuviera un inverso w, entonces, precisamente por ser z = 0, el producto zwserıa igual a 0, y no a 1. Debido a esto es que solo existe el inverso multiplicativo paralos complejos distintos al cero.

Ahora bien, si z = (x, y), es un complejo no nulo, la formula para determinar z−1 esla siguiente:

z−1 =

(x

x2 + y2,− y

x2 + y2

)

En efecto, este es el inverso de z, pues:

z · z−1 = (x, y) ·(

x

x2 + y2,− y

x2 + y2

)

=

(x2

x2 + y2+

y2

x2 + y2, − xy

x2 + y2+

yx

x2 + y2

)

=

(x2 + y2

x2 + y2,−xy + yx

x2 + y2

)

= (1, 0)

Ejemplo 3. Vamos a calcular el inverso del numero z = (4,−3), y luego vamos a verificar

que z · z−1 = (1, 0), como es lo esperado. De acuerdo con la formula antes dada para el inverso,tenemos:

z−1 = (4,−3)−1 =

(4

42 + (−3)2 , −(−3)

42 + (−3)2)

=

(4

25,

3

25

)

y ahora efectuando el producto de z por z−1, para verificar que se obtiene el complejo unidad(1, 0):


z · z−1 = (4,−3) ·(

4

25,

3

25

)

=

(16

25+

9

25,12

25− 12

25

)

=

(25

25, 0

)

= (1, 0)

Existen asimismo, algunas propiedades que resultan de la combinacion de la operacion de adicioncon la multiplicacion de complejos, por ejemplo, las leyes distributivas:

i) z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3ii) (z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3

3. Elementos basicos del sistema de numeros complejos

Presentemos ahora un conjunto de definiciones y propiedades basicas que tienen lugar en elsistema de numeros complejos.

Resta y division de numeros complejos. Dados dos complejos z1, z2, la resta de z1menos z2 (simbolizada z1 − z2) , se define como la suma de z1 con el opuesto aditivo de z2. Deesta manera, si z1 = (x1, y1), y z2 = (x2, y2), entonces:

z1 − z2 = z1 + (−z2) = (x1, y1) + (−x2,−y2) = (x1 − x2, y1 − y2 )

Por otra parte, si z2 6= 0, la division de z1 entre z2 (simbolizada como z1/z2) se define comola multiplicacion de z1 por el inverso multiplicativo de z2. De este modo, si z1 = (x1, y1), yz2 = (x2, y2), entonces:

z1z2

= z1 · z2−1 = (x1, y1) ·(

x2

x22 + y2

2, − y2

x22 + y2

2

)

y el resultado es el que se obtiene al desarrollar la multiplicacion.


Ejemplo 1. Vamos a dividir el complejo z1 = (1−, 3) entre z2 = (2,−5). Para ello, primerocalculamos el inverso o recıproco de z2:

z2−1 = (2,−5)−1 =

(2

4 + 25,

5

4 + 25

)

=

(2

29,

5

29

)

ahora efectuando el producto de z1 por el inverso de z2:

z1z2

= z1 · z2−2 = (−1, 3) ·(

2

29,

5

29

)

=

(

− 2

29− 15

29, − 5

29+

6

29

)

=

(

−17

29,

1

29

)

Ejercicio. (a) Dividir (2,−4) entre (1, 6). Resp. (−22/37, −16/37)(b) Dividir (−2, 3) entre (1, 5). Resp. (1/2, 1/2)

Potencias enteras de numeros complejos. La potencia de numeros complejos conexponente entero, se puede definir en terminos de la multiplicacion y el recıproco. Si n es unentero positivo, entonces zn queda definido como:

zn = z · z . . . z︸︷︷︸

n veces

Mientras que la potencia entera negativa z−m se define como el recıproco de zm:

z−m =(zm)−1

=1

z · z . . . z︸︷︷︸

m veces


Ejemplo 2. Calculemos (1, 2)2:

(1, 2)2 = (1, 2) · (1, 2) = ( 1− 4, 2 + 2 ) = (−3, 4) .

Ejemplo 3. Para calcular (1, 2)3, primero notamos que:

(1, 2)3 = (1, 2)2 · (1, 2)

y usando el valor de (1, 2)2 que se obtuvo en el ejemplo anterior:

(1, 2)3 = (1, 2)2 · (1, 2) = (−3, 4) · (1, 2) = (−3− 8, −6 + 4 ) = (−11,−2) .

Ejemplo 4. Para calcular (2,−1)−3, primero hallamos el valor de (3,−1)3. Repitiendo lasideas del ejemplo anterior, podemos obtener:

(2,−1)3 = (2,−11)

por lo cual:

(2,−1)−3 = (2,−11)−1 =

(2

125,

11

125

)

.

Conjugado complejo. Dado un complejo z = (x, y), su conjugado de z es el numeroobtenido al invertir el signo de su parte imaginaria. Es decir, el conjugado de z — denotado z,o z∗ — es:

z = z∗ = (x,−y)Por ejemplo, el conjugado de (−1, 4) es (−1,−4), el conjugado de (4, 7) es (4,−7), . . . etc.

Modulo de un numero complejo. Dado un complejo z = (x, y), el modulo de estenumero — denotado |z| — es la distancia que geometricamente existe en el plano complejoentre el punto (x, y) y el origen, es decir:

|z| = |(x, y)| =√

x2 + y2

Por ejemplo, el modulo de (−1, 4) es:∣∣(−1, 4)

∣∣ =

√1 + 16 =

√25


El inverso, el conjugado y el modulo de un numero complejo, satisfacen ciertas propiedades, enrelacion con las operaciones de suma, multiplicacion y division. Veamos una lista de algunas delas mas importantes de ellas a continuacion:

Propiedades relativas al inverso de un numero complejo

1. (zw)−1 = z−1 · w−1, si z, w 6= 0

2. (zw)−1 =z−1

w−1, si z, w 6= 0

3. (z−1)−1 = z, si z 6= 0

Debe tenerse cuidado en esto: el inverso de una suma no es igual a la suma de los inversos, osea, (z + w)−1 6= z−1 + w−1.

Propiedades relativas al conjugado de un numero complejo

1. (z + w)∗ = z∗ + w∗

2. (z − w)∗ = z∗ − w∗

3. (zw)∗ =(z∗) (w∗)

4.( z

w

)∗=

z∗

w∗ , si w 6= 0

5.(z−1)∗

=(z∗)−1

, si w 6= 0

6. z z∗ = |z|2

o de manera equivalente, reemplazando la notacion de asterisco por la notacion de barra superior:

1. (z + w) = z + w

2. (z − w) = z − w

3. (zw) = z w

4.( z

w

)

=z

w, si w 6= 0

5.(z−1)

=(z)−1

, si w 6= 0

6. z z = |z|2


Propiedades relativas al modulo de un numero complejo

1. |zw| = |z| |w|

2.∣∣∣z

w

∣∣∣ =

z

w, si w 6= 0

3.∣∣z−1

∣∣ =

1

|z| , si z 6= 0

4. |z| = 0 si y solo si z = 0

5. |z + w| ≤ |z|+ |w| (“desigualdad triangular”)

Equivalencia entre un numero complejo con parte imaginaria nula, y unnumero real. Si tenemos un numero complejo cuya parte imaginaria es nula, entonces escostumbre denotarlo solamente por su parte real. Mas precisamente, si se tiene el complejo(x, 0), cuya parte imaginaria es nula, entonces establecemos una equivalencia entre este numerocomplejo y el numero real x, escribiendo ası:

(x, 0) = x

Ası por ejemplo, (2, 0) = 2; (−5, 0) = −5; . . . etc.

Notese que de esta manera, se establece una relacion biyectiva (1), entre el conjunto de to-dos los numeros complejos con parte imaginaria nula, y el conjunto de todos los numeros reales.

4. El numero complejo i (unidad imaginaria). Forma binomica.

Vamos en esta parte a definir un numero complejo el cual tiene la propiedad de que al serelevado al cuadrado, el resultado es igual a −1. Por lo cual, este numero es una raız cuadradadel numero negativo −1, al cual se le conoce con el nombre de unidad imaginaria.

Se define el numero complejo i como el par ordenado (0, 1). Entonces, vemos que:

i · i = (0, 1) · (0, 1) = ( 0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0 ) = (−1, 0)

es decir:i2 = −1

Sean ahora x, y dos numeros reales. Vamos a calcular el valor de la expresion:

(x, 0) + (0, 1)(y, 0)

1Se puede probar que esta relacion es, mas que una biyeccion, un isomorfismo.


veamos, pues:

(x, 0) + (0, 1)(y, 0) = (x, 0) + ( 0 · y − 1 · 0, 0 · 0 + 1 · y )

= (x, 0) + (0, y)

= (x, y)

es decir, escribiendo (x, 0) = x, y (y, 0) = y:

x+ iy = (x, y)

Esta identidad establece la llamada forma binomica de un numero complejo, que es una ma-nera alternativa de representacion de los numeros. De este modo, por ejemplo el complejo (2, 3)se escribe como 2 + 3i, el complejo (−1, 4) se escribe como −1 + 4i, . . . etc.

Utilizando la forma binomica, podemos perfectamente realizar todas las operaciones que yaconocemos para los numeros complejos. Por ejemplo, vamos a repetir el ejemplo 2 de la seccion1, utilizando la forma binomica. Sean:

z1 = 2 + 3i, z2 = −1 + 4i

entonces efectuamos la suma z1 + z2 simplemente sumando por algebraicamente, por separado,las partes reales y las partes imaginarias:

z1 + z2 = (2 + 3i) + (−1 + 4i) = 2 − 1 + 3i + 4i = 1 + 7i .

Para multiplicar dos complejos utilizando la forma binomica, multiplicamos distributivamente,recordando que i2 = −1. Por ejemplo:

z1 z2 = (2 + 3i) (−1 + 4i) = 2(−1) + 2(4i) + (3i)(−1) + (3i)(4i)

= −2 + 8i − 3i + 12i2

= −2 + 8i − 3i − 12

= −14 + 5i .

Conjugado y modulo de un numero, expresado en forma binomica. Las defini-ciones de conjugado y modulo de un numero complejo z = x+iy se escribirıan en forma binomicacomo:

conjugado: z∗ = x− iy

modulo: |z| =√

x2 + y2

Inverso y division de numeros complejos, utilizando la forma binomica. Co-mo Ud. podra notar, la formula para el inverso o recıproco de un numero complejo, es escribeen la forma binomica como:

(x+ iy)−1 =x− iy

x2 + y2


Por ejemplo:

(4− 3i)−1 =4 + 3i

42 + (−3)2 =4 + 3i

25

lo cual podemos usar para efectuar divisiones de numeros complejos:

−1 + 3i

2− 5i=

(−1 + 3i) · (2 + 5i)

4 + 25=−2− 5i+ 6i− 15

29=

−17 + i

29.

Ejercicio. (a) Efectuar el forma binomica2− 4i

1 + 6i.

(b) Efectuar en forma binomica−2 + 3i

1 + 5i.

5. Argumento de un numero complejo. Operaciones en la forma

exponencial.

5.1. Argumento complejo

Consideremos la representacion grafica de un numero complejo z = x+ iy (figura 5.1.1):

Figura 5.1.1: Representaciongrafica del numero z = x + iy,donde se aprecia el modulo r y elargumento θ.

Como sabemos, la distancia r del punto z al origen, esel modulo de z:

r = |z| =√

x2 + y2

Ahora, como se puede ver en la figura, si no z es nulo,el segmento lineal entre el origen y el punto z, sub-tiende un angulo θ con respecto al semieje positivo x.Este angulo θ es llamado un argumento del numerocomplejo z, y escribimos:

θ = arg{z}


El concepto de argumento multivaluado. Pero surge ahora una cuestion delicada: Elargumento no es unico, pues existe una infinidad de valores posibles para el argumento θ delnumero z, estando todos estos valores diferenciados por un multiplo entero de 2π.

En efecto, sea por ejemplo el complejo imagi-nario z = −i. Entonces, un valor de arg{z} enque podrıa pensarse es θ1 = −π/2. Sin embargo,otro valor (menos obvio) es θ2 = 3π/2 (ver figu-ra 5.1.2). Por cierto, notese el pequeno detallede que θ2 es igual justamente a θ1 + 2π.

Figura 5.1.2: Dos argumentos distintosdel numero z = −i.

Consideremos otro ejemplo. Sea z = 1 + i. Ob-servando la figura (5.1.3), se nota que un posiblevalor de arg{z} es θ0 = π/4.

Luego, otro posible valor de arg{z} es:

θ1 = θ0 + 2π =π

4+ 2π =

9π

4Otro serıa:

θ2 = θ0 + 4π =π

4+ 4π =

17π

4otro:

θ3 = θ0 + 4π =π

4+ 6π =

25π

4y ası sucesivamente.

Figura 5.1.3: Dos argumentos distintosdel numero z = 1 + i.


Hemos visto entonces que si θ0 es un cierto argumento cualquiera de z, existe una infinidadde valores de arg{z}, dados por:

θn = θ0 + 2nπ.

Luego, tenemos que ponernos de acuerdo para elegir un cierto argumento, entre todos los demas,y trabajar solo con ese. De este modo, se conviene llamar argumento principal al unico argumentoθ que verifica:

−π < θ ≤ π

y lo denotamos Arg {z}. (2)

Nota: Debemos mencionar que no existe una convencion acerca de cual es el argumento delcomplejo nulo. Entonces, al complejo nulo no se le asigna ningun argumento especıfico.

Por ejemplo, para el complejo z = −i, el argumento principal es −π/2, y no 3π/2, pues 3π/2no esta comprendido en el intervalo principal (−π, π].

Del mismo modo, para el complejo z = 1+ i, el argumento principal es solamente π/4, y noninguno de los otros que antes hallamos.

Como determinar el valor del argumento principal. Para determinar el argumen-to principal de un complejo no nulo z = x + iy, observamos en la figura *** que si r = |z|,entonces del triagulo rectangulo:

[Aqui va la figura]

x

r= cos θ, por tanto x = r cos θ

y

r= sen θ, por tanto y = r sen θ

Ası, obtenemos las famosas y conocidas relaciones:{

x = r cos θ (1)y = r sen θ (2)

De donde, al dividir la ecuacion (2) entre la (1):

y

x= tg θ

2Algunos autores invierten la notacion, y denotan como Arg {z} al argumento general, y arg{z} al principal.

Otros autores tambien cambian el convencionalismo, y denotan como principal al argumento θ tal que 0 ≤ θ < 2π,

en lugar de −π < θ ≤ π.


Ahora bien, no siempre es cierto que θ = tg−1(y/x), esto vale solo si z se ubica en el primer ocuarto cuadrante, es decir, si x > 0. Pero si z se ubica en el segundo o tercer cuadrante, o sea, six < 0, entonces debemos “corregir” el valor que proporciona la funcion arco-tangente, sumandoo restando π. En resumen, podemos decir que θ se calcula segun:

θ =

tg−1 y

x, si x > 0 (con y ≥ 0, o y < 0) [es decir, si z ∈ Ic o z ∈ IVc]

π + tg−1 y

x, si x < 0 pero y ≥ 0 [es decir, si z ∈ IIc]

π − tg−1 y

x, si x < 0 pero y < 0 [es decir, si z ∈ IIIc]

Estas formulas no tienen sentido si x = 0 (no existe y/x). Lo que sucede en este caso es quesiendo x = 0, para que z 6= 0, entonces debera ser y > 0, o y < 0 (pero no puede ser y = 0).En decir, z es un imaginario puro. En este caso, si z = iy, con y > 0 entonces, obviamente,Arg {z} = π/2, pero si z = iy, con y < 0 entonces Arg {z} = −π/2.

5.2. La formula de Euler. Numeros complejos en forma exponencial.

Sea θ un numero real. La famosa e importante indentidad:

eiθ = cos θ + i sen θ

se conoce como Formula de Euler. Por ejemplo:

eiπ/4 = cosπ

4+ i sen

π

4=

1√2

+ i1√2

=1 + i√

2

eiπ/2 = cosπ

2+ i sen

π

2= i

eπi = cosπ + i senπ = −1


Geometricamente, eiθ representa un punto en lacircunferencia de radio unitario, subtendiendoun angulo θ con el semieje real positivo (figu-ra 5.2.1).

Figura 5.2.1: Representacion graficadel numero eiθ.

Ahora bien, sea z = x + iy un complejo no nulo, y sean r su modulo y θ un argumento suyo,entonces:

z = x+ iy = r cos θ + i sen θ = r(cos θ + sen θ

)

︸︷︷︸

eiθ

o sea:z = reiθ

Esta forma de representar un numero complejo, se conoce como forma exponencial, y essumamente util para efectuar operaciones como multiplicacion, division, potencia y raıces decomplejos.


Geometricamente, z = reiθ representa un puntoen una circunferencia de radio r, subtendiendoun angulo θ con el semieje real positivo (figura5.2.2)

Figura 5.2.2: Representacion grafica deun numero complejo en la forma exponen-cial.

Ejemplo. Escribir en forma exponencial, el numero:

z = 1 + i√3

Solucion. Calculando el modulo r y el argumento θ:

r = |z| =∣∣1 + i

√3∣∣ =

√1 + 3 = 2

θ = tg−1(√3) =

π

3(se usa esta formula porque el numero z esta en elprimer cuadrante)

Ası, tenemos que:z = reiθ = 2eiπ/3

Ejemplo. Escribir en forma exponencial, el numero:

−3 + 3i√3

Solucion. Calculando el modulo r y el argumento θ:

r = |z| =∣∣− 3 + 3i

√3∣∣ =

√9 + 3 =

√12 = 2

√3

θ = π + tg−1

(√3

3

)

= π − tg−1 1√3

= π − π

6=

5π

6(se usa esta formula porque elnumero z esta en el segundocuadrante)


5.3. Multiplicacion de numeros complejos usando la forma exponencial

Sean dos complejos, expresados en la forma exponencial como z1 = eiθ1 y z2 = eiθ2 . Entonces:

z1z2 = r1r2 ei(θ1+θ2)

en otras palabras, para multiplicar complejos en la forma exponencial, se multiplican los modu-los, y se suman los argumentos.

En efecto, vamos a probar que esto es ası. Tenemos:

z1 · z2 = r1eiθ1 r2e

iθ2 = r1(cos θ1 + i sen θ1

)· r2

(cos θ2 + i sen θ2

)

= r1r2 · ((cos θ1 + i sen θ1

)·(cos θ2 + i sen θ2

)

= r1r2[(cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2)

+i(sen θ1 cos θ2 + cos θ1 sen θ2)]

= r1r2(cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)

)

= r1r2 ei(θ1+θ2) .

Ejemplo. Calcular, realizando la multiplicacion en forma exponencial:

2eπi/3 · 4e−πi/6 ,

y devolviendo el resultado a la forma rectangular.

Solucion. Solo debemos recordar que para multiplicar complejos en forma exponencial, mul-tiplicamos los modulos, y sumamos los argumentos:

2eπi/3 · 4e−πi/6 = 2 · 4 · ei(π3−π6)

= 8 · eπi/6

= 8 ·(

cosπ

6+ i sen

π

6

)

(formula de Euler)

= 8 ·(√

3

2+ i

1

2

)

= 4(√

3 + i)


e2πi/3 · 3eπi/2 ,



Solucion. Procediendo como antes (3):

e2πi/3 · 3eπi/2 = 3 · ei( 2π3

+π2)

= 3 · e7πi/6

= 3 ·(

cos7π

6+ i sen

7π

6

)

( formula de Euler)

Aquı, debemos calcular el coseno y el seno del angulo 7π/6, que es mayor a π/2. Como 7π/6 esun angulo en el tercer cuadrante, tenemos:

cos7π

6= − cos

π

6= −

√3

2(porque en el tercer cuadrante, el coseno es negativo)

sen7π

6= − sen

π

6= −1

2(porque en el tercer cuadrante, el seno es negativo)

Luego:

e2πi/3 · 3eπi/2 = 3 ·(

−√3

2− i

1

2

)

= −3(√3 + i)

2.

5.4. Inverso o recıproco de un numero complejo usando la forma exponencial

Sea z = reiθ un numero complejo no nulo, expresado en la forma exponencial. Por definicion,el inverso de z es otro numero z−1 tal que:

z · z−1 = 1

Ahora, pensemos en numero r−1e−iθ. Si hacemos la multiplicacion de z por este otro numero,obtenemos:

(reiθ) ·

(r−1e−iθ

)= r r−1 · eiθe−iθ = 1 · e0 = 1 · (cos 0 + i sen 0) = 1

De este modo, r−1e−iθ es el inverso de z. Tenemos:

z−1 =(

reiθ)−1

=1

re−iθ

Ejemplo. Desarrollar, y llevar a la forma rectangular:

1

2eπi/3

3Usted puede darse cuenta que eπi/2 = i, y efectuar este calculo mas sencillamente en forma rectangular. Sin

embargo, el proposito del ejemplo es mostrar la forma de calcular, usando exponenciales.


Solucion. De acuerdo a la formula anterior:

1

2eπi/3=

1

2· e−πi/3 =

1

2

(

cosπ

3− i sen

π

3

)

=1

2

(

1

2− i

√3

2

)

=1− i

√3

4

5.5. Division de numeros complejos usando la forma exponencial

Sean los dos complejos expresados en forma exponencial como z1 = r1eiθ1 , y z2 = r2e

iθ2 . Pordefinicion, la division de z1 entre z2 equivale a la multiplicacion de z1 por el inverso de z2:

z1z2

= z1 · (z2)−1

pero en el punto anterior vimos que:

(z2)−1 =

(

r2eiθ2)−1

=1

r2e−iθ2

entonces:

z1z2

= z1 · (z2)−1 = r1eiθ1 · 1

r2e−iθ2 =

r1r2· ei(θ1−θ2)

o sea:

z1z2

=r1r2· ei(θ1−θ2)


8i

1 + i√3,


Solucion. LLevando cada numero a la forma exponencial:

a) z1 = 8i = r1eiθ1


calculando modulo y argumento:

{modulo: r1 = |8i| = 8

argumento: θ1 = arg{8i} = π/2

Ası: 8i = 8eπi/2

b) z2 = 1 + i√3 = r2e

iθ2

calculando modulo y argumento:

{modulo: r2 = |1 + i

√3| = 2

argumento: θ2 = arg{1 + i√3} = π/3

Ası: 1 + i√3 = 2eπi/3

Luego:

z1z2

=8eπi/2

2eπi/3= 4 · ei(π2−π

3) = 4eπi/6

= 4 ·(

cosπ

6+ i sen

π

6

)

= 4 ·(√

3

2+ i

1

2

)

= 2(√

3 + i).

5.6. Potencias enteras de numeros complejos usando la forma exponencial

Sea el complejo expresado en forma exponencial como z = reiθ. Deseamos calcular la potenciazn, donde n es un entero. Entonces:

zn =(

reiθ)n

= reiθ · reiθ . . . reiθ︸︷︷︸

= rne

n veces

i ·︷︸︸︷

(θ + θ + . . . θ) = rnei(nθ)

n veces

Por lo tanto:

zn =(

reiθ)n

= rnei(nθ)

si n es cualquier valor entero (positivo, negativo o cero (4)).

4La demostracion mostrada se hace para los n positivos, pero se puede probar que el resultado es valido

tambien para n negativo, considerando la variable auxiliar m = −n.


Ejemplo. Calcular, y expresar el resultado en la forma rectangular:

(1− i)5

Solucion. Primero, llevamos el numero z = 1− i a la forma exponencial:

z = 1− i = reiθ

modulo: r = |1− i| =√1 + 1 =

√2

argumento: θ = arg{1− i} = −π/4

Ası:1− i =

√2e−πi/4

luego, entonces:

(1− i)5 =(√

2e−πi/4)5

= (√2)5 · e−5πi/4

= (√2)4 ·

√2 ·(

− 1√2+ i

1√2

)

= 4(−1 + i) .

Ejemplo. Calcular, y expresar el resultado en la forma rectangular:

(√3− i)21

Solucion. Primero, llevamos el numero z =√3− i a la forma exponencial:

z =√3− i = reiθ

modulo: r = |√3− i| =

√3 + 1 = 2

argumento: θ = arg{√3− i} = −π/6

Ası: √3− i = 2e−πi/6


luego, entonces:

(√3− i)21 =

(

2e−πi/6)21

= (2)21 · e−21πi/6

= 221 · e−7π/2(

216 se simplifica como 7

3

)

= 221 ·(

cos7π

2− i sen

7π

2

)

= 221i .

6. Raices complejas

Sea w0 un complejo no nulo. Decimos que z es una raız n−esima de w0 si:

zn = w0 (*)

en cuyo caso escribimos z = (w0)1/n. Como veremos mas adelante, existen n valores distintos de

z que satisfacen (*), luego, existen n raıces n−esimas distintas de cada complejo w0 6= 0.

Ası por ejemplo, distinto a como sucede con los reales, en los numeros complejos existen,para cada w0 6= 0, dos raıces cuadradas distintas, tres raices cubicas distintas, cuatro raıces decuarto grado distintas, etc.

Para determinar el conjunto de valores de z que satisfacen (*), escribamos z y w0 en la formaexponencial:

w0 = r0eiθ0

z = ρeiφ

luego, (*) equivale a:

zn = w0

(

ρeiφ)n

= r0eiθ0

ρn · einφ = r0 · eiθ0

para que se cumpla la igualdad, los modulos deben ser iguales, entonces:

ρn = r0

ρ = n√r0 (1)


y:

einφ = eiθ0

cos(nφ) + i sen(nφ) = cos(θ0) + i sen(θ0)

de donde:

nφ = θ0 + 2kπ

φ =θ0 + 2kπ

n(2)

para k entero.

Con (1) y (2):

z = (w0)1/n = ρ eiφ = n

√r0 e

i(θ0+2kπ)/n

z = (w0)1/n = n

√r0 e

i(θ0+2kπ)/n (3)

En realidad, la formula (3) solo proporciona n valores distintos de z, que son los que seobtienen para k = 0, 1, . . . , n− 1:

k = 0 : z1 = n√r0 e

iθ0/n

k = 1 : z2 = n√r0 e

i(θ0+2π)/n

k = 2 : z3 = n√r0 e

i(θ0+4π)/n

......

k = n− 1 : zn = n√r0 e

i(θ0+2(n−1)π)/n

Y no se obtienen mas valores de z que estos. Pues, si por ejemplo k = n, entonces se obtiene:

zn+1 = n√r0 e

i(θ0+2nπ)/n = n√r0 e

iθ0/n+2πi = n√r0 e

iθ0/n e2πi = n√r0 e

iθ0/n = z1

y similarmente, uno podrıa ver que:

zn+2 = z2

zn+3 = z3

...

etc


es decir, los valores empiezan a repetirse cıclicamente. Por lo tanto, no se obtendran ya nuevosvalores de z, al tomar valores de k mayores a n− 1.

Por esta razon, solamente consideramos los valores de z que se consiguen al tomar los valoresdesde k = 0 hasta k = n− 1, lo que hace un total de n valores distintos de (w0)

1/n.

Es bueno saber que, geometricamente, las n raıces n−esimas de un complejo w0 = r0eiθ0 se

ubican sobre una circunferencia de radio n√r0, separadas entre sı a intervalos angulares iguales,

cada uno de valor a 2π/n (la separacion angular entre un punto y otro).

Ejemplo. Hallar las tres raıces cubicas de la unidad.

Solucion. Primero, escribimos w0 = 1 en la forma exponencial:

w0 = 1 = r0eiθ0

entonces:

r0 = |w0| = 1

θ0 = Arg {w0} = 0

Aplicando la formula (3) con n = 3:

11/3 = 3√r0 e

i(θ0+2kπ)/3 = e2kπi/3

luego, para k = 0, k = 1, k = 2, obtenemos los tres valores (complejos) de las tres raıces cubicasde la unidad:

para k = 0: z1 = e0 = 1

para k = 1: z2 = e2πi/3 = cos(

2π3

)+ i sen

(2π3

)= −1

2 + i√

32

para k = 2: z3 = e4πi/3 = cos(

4π3

)+ i sen

(4π3

)= −1

2 − i√

32

Ejemplo. Hallar todas las soluciones de z4 + 1 = 0.

Solucion. En el campo de los reales, esta ecuacion no tiene soluciones, pero sı las tiene en elcampo de los complejos; de hecho presenta cuatro soluciones.

Veamos, la ecuacion z4 + 1 = 0 equivale a:

z4 = −1z = (−1)1/4


es decir, z toma todos los valores de la raız de cuarto grado de −1. Llevando w0 = −1 a la formaexponencial:

w0 = −1 = r0eiθ0

entonces:

r0 = | − 1| = 1

θ0 = Arg {−1} = π

luego:

(−1)1/4 = (w0)1/4 = 4

√r0 e

i (θ0+2kπ)/4

= 1 · ei (π+2kπ)/4

= ei(2k+1)π/4

para k = 0, 1, 2, 3. Las raıces son entonces:

para k = 0: z1 = eiπ/4 = 1+i√2

para k = 1: z2 = e3πi/4 = −1+i√2

para k = 2: z3 = e5πi/4 = −1−i√2

para k = 3: z4 = e7πi/4 = 1−i√2

Notas Variable Compleja (Prof. Yoel Monsalve)

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