Nociones de probabilidad corregida septiembre 2015

40

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE

FACULTAD DE CS. ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS

INSTITUTO DE ESTADÍSTICA

Septiembre 2015

BAIN 052

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PARA INGENIERÍA

ASIGNATURA DEL CURRICULUM DE LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA, DE LA UNIVERSIDAD AUSTRAL DE

CHILE

UNIDAD DE APRENDIZAJE II NOCIONES DE PROBABILIDADES

APUNTES DE CLASES

Autor: Prof. Dr. Víctor Figueroa A.

Versión 4.01

Profesores Asignatura:

Luis Ojeda Silva

Carlos González Riffo

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Unidad de Aprendizaje

NOCIONES DE

PROBABILIDAD

I. PROBABILIDAD 42

II. VARIABLES ALEATORIAS 48

III. MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS 50

IV. APLICACIONES EN EL ÁMBITO DE LA INGENIERÍA 57

ANEXOS

1. Valores de la función de distribución normal estándar 62

2. Percentiles de la distribución t de Student 64

3. Percentiles de la distribución Chi-cuadrado 67

4. Percentiles de la distribución F 69

II I

42

I. PROBABILIDAD

1.1 Introducción

En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un suceso ocurra, se pierde la credibilidad acerca del suceso en cuestión, pero ¿es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?, es muy difícil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por más simple que este sea, éste está sujeto a una gran diversidad de factores que afectan su ocurrencia, ¿entonces qué es lo más aconsejable para predecir su ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basándose en estadísticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los sucesos y por consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información. La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar. Ejemplos: -Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas; -Competencias

deportivas; -Juegos de azar, entre otros.

1.2 Conceptos básicos

A continuación se definen algunas cuestiones implícitas en el cálculo de probabilidades.

El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un

conjunto posible de soluciones, y esto aun realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a

priori no se conoce cuál de los resultados se va a presentar. Piense en algún ejemplo al respecto.

Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.

Piense en algún ejemplo al respecto.

Espacio muestral (Ω): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Es nuestro Universo. Ejemplos:

i) Se lanza al aire un dado normal de seis caras (perfectamente equilibrado), y se observa la figura que aparece en la cara superior del dado y luego se anota el número asociado a dicha figura. Enumere los posibles

resultados de este experimento. Respuesta: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . ii) Se lanza al aire dos veces una moneda normal, y se observa la figura que aparece en la cara superior. Defina

el espacio muestral correspondiente. Respuesta: Ω = CC, CS, SC, SS

Sucesos: Un suceso (o evento) A es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplos:

i) Sea el experimento aleatorio que consiste en “Lanzar un dado de seis caras una vez y observar la figura que

aparece en la cara superior del dado y luego anotar el número asociado a dicha figura”. El espacio muestral

correspondiente es = ω / ω = 1,2,3,4,5,6. Sucesos asociados a este experimento son: Registrar el

resultado cuando el número asociado a la cara superior es un número par. A = 2, 4, 6.

ii) Sea el experimento aleatorio “Lanzar un dado de seis caras dos veces, observar las figuras que aparecen en

la cara superior de los dados y anotar los números asociados a dichas figuras”. El espacio muestral

correspondiente es = (x,y) / x, y = 1,2,3,4,5,6. Sucesos asociados a este experimento son:

A= En ambos lanzamientos aparece la misma figura. Escríbalo en notación de conjunto.

B= Los números asociados a las figuras que aparecen son ambos mayores que tres.

C= Los números asociados a las figuras que aparecen son ambos impares.

D= Los números asociados a las figuras que aparecen son diferentes.

E= Los números asociados a las figuras que aparecen corresponden a un as.

F= Los números asociados a las figuras que aparecen, por lo menos uno de ellos es un número par.

iii) Sea B el suceso de que aparezcan dos caras en tres lanzamientos de una moneda normal, entonces, como

Ω = CCC, CCS, SCC, CSC, CSS, SCS, SSC, SSS , se tiene que B = CCS, SCC, CSC .

Tipos de sucesos:Suceso simple; Suceso compuesto; Suceso imposible; Suceso seguro.

Operaciones con sucesos: Como se observa los experimentos y sucesos probabilísticos se pueden expresar

con la notación de conjuntos y a continuación se enumeran algunas operaciones que es posible realizar con los

sucesos.

A

B

Ω

A

B

A B

Ω

1) A B Es el suceso que ocurre si y solo sí

A ocurre o B ocurre o ambos ocurren.

2) A B Es el suceso que ocurre sí y solo sí A y B ocurren a un mismo tiempo.

43

1.3 Enfoques para el cálculo de probabilidad

¿Cómo podemos calcular probabilidades?. Existen distintos enfoques que pasamos a comentar a

continuación:

Enfoque objetivo clásico (a priori De Laplace): Considera que los resultados de un Experimento Aleatorio

son igualmente posibles. Es el que se relaciona con más frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La

probabilidad clásica de un suceso E se determina por:

n

mP

posibles casos de totalNº

E suceso al favorables casos de Nº(E)

Ejemplo 1: Sea el experimento que consiste en lanzar un dado legal (no cargado) de 6 caras, observar la

figura que aparece en la cara superior y registrar el número asociado a dicha figura. Entonces el espacio

muestral está dado por = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sea A el suceso que el número asociado a la figura que muestra

la cara superior del dado es un número par, A=2, 4, 6, luego P( A) = 3/6=1/2.

Representación gráfica (Diagrama de Venn).

Espacio muestral

Ejemplo 2: Sea el experimento aleatorio que consiste en “Lanzar 2 monedas al mismo tiempo y observar las

figuras que muestran las caras superiores”. Entonces el Espacio Muestral está dado por = CC, CS, SC,

SS. Sea el suceso “Sale una cara”, E=CS, SC , entonces la probabilidad de E es igual a 2/4 = ½.

Enfoque objetivo de la frecuencia relativa (o a posteriori –Richard Von Mises). Utiliza datos observados

empíricamente. Registra la frecuencia con que ha ocurrido algún suceso E en el pasado y estima la

probabilidad de que el suceso ocurra nuevamente con base a los datos históricos.

nesobservacio de totalNº

pasado elen sucesoun ocurrido ha que vecesde NºE)(P

Ejemplo 1: Ciertas pruebas muestran que 294 de 300 aislantes de cerámica probados podrían resistir un

choque térmico, ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de tales aislantes pueda resistirlo?.

98,0300

294 térmico)choque P(Resistir

Ejemplo 2: Determine la probabilidad de que en cierta línea de producción se manufacture un producto

defectuoso, si se toma como referencia que la producción de la última semana en esta línea fue de 1.500 productos, entre los que se encontraron 18 productos defectuosos. Entonces, P(producto defectuoso) =

Número de productos defectuoso/Total de productos producidos en la semana = 18 / 1.500 = 0,012 Lo anterior nos indica que es muy probable que 1,2 productos de cada 100 que se manufacturen en esa línea sean defectuosos. ¿Por qué se utilizó para calcular las probabilidades la información de la semana inmediata anterior?. Debido a que ésta refleja la situación que guarda actualmente la producción de la línea mencionada.

A Ac

Ω

A

B

Ω

5 3

1

2

6

4 Suceso A

3) Ac

Es el complemento de A. Es el suceso

que ocurre sí y solo sí A no ocurre.

4) Se dice que A y B son sucesos mutuamente

excluyentes o exclusivos si A B =

44

Principio de la regularidad estadística: Si repetimos un Experimento Aleatorio un número grande de

veces “n” (n ) y designamos por “m” las veces que ocurrió un suceso E. Un hecho experimental que

se puede comprobar es que: A medida que n aumenta, el cociente m/n tiende a estabilizarse en un número

p.

m/n p = P(E) = Probabilidad de E.

Al valor “p” se llega a través de la “frecuencia relativa”. (Este es el enfoque llamado frecuentista).

Ejemplo: Se lanza“n” veces una moneda y se anota el número de veces que cae “cara”. Las 3

personas siguientes realizaron este experimento y obtuvieron los siguientes resultados:

AUTOR n N° de caras f(xi) P(CARA)

Buffon 4.040 2048 0,5069 0,50

K. Pearson 12.000 6019 0,5016 0,50

Pearson Jr. 24.000 12000 0,5005 0,50

Enfoque subjetivo: probabilidad subjetiva (o personal): La probabilidad de que suceda un suceso

específico se asigna “en base a cualquier información disponible”. Se usan como soporte: La información

del pasado. La experiencia... etc. Se relaciona con las situaciones que sólo ocurrirán una vez (o sólo la

próxima vez, o para sólo esa vez).

Ejemplos:

•Probabilidad de que un equipo determinado gane el campeonato de futbol este año.

•Probabilidad de que ocurra un terremoto en Osorno este año.

•Dado un experimento aleatorio y un suceso E, la P(E) = p es el “grado de creencia” asignado a la

ocurrencia de este suceso por cierto individuo. Así podemos decir que:

P(E) = 1 Certeza de que el suceso E ocurrirá

0 <P(E) < 1 Grado de certeza de que el suceso E ocurrirá

P(E) = 0 Certeza de que el suceso E no ocurrirá

1.4 Axiomas y teoremas

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los AXIOMAS Y TEOREMAS que a continuación se enumeran.

AXIOMAS:

1) La probabilidad de que ocurra un suceso A cualquiera se encuentra entre cero y uno. 0 P(A) 1

2) La probabilidad de que ocurra el espacio muestral Ω es igual a 1. P(Ω) = 1

3) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, entonces la P(A B) = P(A) + P(B)

Generalizando: Si se tienen n sucesos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

P(A1 A2 ......... An) = P(A1) + P(A2) + .......+ P(An).

Probabilidad Conjunta: Es la probabilidad que mide la posibilidad de que 2 o más sucesos ocurran

simultáneamente y se denota por: P(A B)

TEOREMAS:

1. Si es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra debe ser cero. P( ) = 0.

2. La probabilidad del complemento de A es igual a 1 menos la probabilidad de A. P(Ac)= 1 – P(A).

3. Si un evento A B, entonces la P(A) P(B).

4. La P( A Bc ) = P(A) – P(A B).

5. Para dos sucesos A y B, P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B).

6. Para tres eventos A, B y C, )()()()()( BAPCPBPAPAUBUCP

)()()( CBAPCBPCAP

Actividad 1: La siguiente tabla entrega los datos finales sobre el hundimiento de un barco.

Hombres Mujeres Niños Niñas

Sobrevivientes 332 318 29 27

Muertos 1360 104 35 18

45

Si selecciona al azar a uno de los pasajeros, calcule la probabilidad de que sea mujer o niña.

Si selecciona al azar a uno de los pasajeros, calcule la probabilidad de que sea un hombre o una persona que sobrevivió al hundimiento.

Si selecciona al azar a uno de los pasajeros, calcule la probabilidad de que sea una mujer o una persona

que no sobrevivió al hundimiento.

1.5 Sucesos Independientes

Son sucesos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro. En términos

probabilísticos, A y B son independientes si y solo si P(A)P(B)B)P(A

Indique sucesos independientes al seleccionar al azar (aleatoriamente) una muestra de 4 alumnos en el curso.

Actividad 2: Se toman, aleatoriamente porcentajes de partidas de un producto proporcionado por dos

proveedores y se clasifican de acuerdo con la forma en que se adecuan a las especificaciones. A continuación se

resumen los resultados obtenidos con 40 productos.

Proveedor

Cumple con las

especificaciones

si No

1 18 2

2 17 3

Sea el suceso A: “el producto viene del proveedor 1” y el suceso B: “el producto cumple con las

especificaciones”. Determine si los sucesos A y B son independientes.

1.6 Probabilidad condicional

Sea Ω un espacio muestral en donde se ha definido un suceso E, donde

P(E) 0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un suceso A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como sigue:

P(E)

E) P(A E)(A / P

Teorema General de la Multiplicación: Si A y B son eventos en Ω, entonces

)P(B)P(A/B)P(A

P(A)P(B/A)B)P(A

B

Propiedad: A y B son INDEPENDIENTES ssi P(A/B)=P(A) y P(B/A) =P(B)

Teorema de la Probabilidad Total: Si B1, B2,…,Bn son eventos mutuamente excluyentes, uno de los cuales debe

ocurrir, entonces:

Teorema de Bayes: Permite obtener la “probabilidad condicional” de un suceso cuando mediante

el “efecto” tratamos de determinar la probabilidad de la “causa”.

Sea Ai un suceso que creemos se puede considerar como una posible “causa” de un suceso B

(efecto).

P(Ai)= Probabilidad a priori. Es la probabilidad inicial con base en el nivel actual de información.

Si P(A) 0

Si P(B) 0

E A

Ω

A E

1702-1761

46

P(Ai/B)= Probabilidad a posteriori. Es una probabilidad condicional. Esta es una probabilidad revisada con base en

información adicional.Si el evento B ocurrió

¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A1 (P(A 1 / B))?

¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A2 [(P(A 2 / B)]?

¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A3 [(P(A 3 / B)]?

Teorema: Si A1, A2, ...An son sucesos mutuamente excluyentes, uno de los cuales debe ocurrir, entonces

n

1i

ii

rrr

))P(B/AP(A

))P(B/AP(A/B)P(A

Ilustración: En el caso de 2 sucesos:

Sean A1 y A2 dos sucesos mutuamente excluyentes con probabilidades a priori dadas por P(A1) y P(A2). Sea

B otro suceso. La probabilidad a posteriori P(A1 / B) es:

Ejemplo:

Un artículo tiene 3 proveedores P1, P2 y P3.

El P1 provee el 30% (malos el 3%).

El P2 provee el 20% (malos el 5%)

El P3 provee el 50% (malos el 4%).

Se selecciona un artículo y resulta malo (defectuoso). ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor P2?

Solución:

Hay 3 sucesos básicos A1, A2 y A3 con “probabilidades a priori” dadas por:

A1: Fue comprado a P1 P(A1 ) = 0,30



Hay 2 sucesos con información adicional:

B1: Artículo es malo.

B2: Artículo no es malo (es bueno). Probabilidades Condicionales

P(B1 |A1 ) = 0,03 = P( Artículo esté malo dado que se compró a P1)



¿Cuál es la probabilidad de que se compró al proveedor P2 dado de que es malo (defectuoso) ? ¿P (A2|

B1)?A2 = Artículo comprado a proveedor 2

B1 = Artículo es malo (defectuoso)

P(El proveedor es P2 / Artículo es malo) =

P (A 2 | B 1) = [(0,20) (0,05)] / [(0,30) (0,03) + (0,20) (0,05) + (0,50)(0,04)] = 0,01 / 0,039= 0,2564

)|()()|()(

)|()()|(

2211

111

ABxPAPABxPAP

ABxPAPBAP

47

DIAGRAMA DE ÁRBOL

A PRIORI CONDICIONAL CONJUNTA A POSTERIORI

DE BAYES

P(A i ) P(B1 /Ai ) P(Ai y B1) P(Ai /B1)

Actividad 3:

1) Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de los productos producidos en

una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

i) Se selecciona un producto al azar. Calcule la probabilidad de que sea defectuoso. (R=0,038)

ii) Suponga que tomamos, al azar, un producto y resulta ser defectuoso. Calcule la probabilidad de que haya sido

producida por la máquina B. (R=0,3158)

iii) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido el citado producto defectuoso? (R=Máquina A)

P(B1 / A1)=0,03 P(A1 Y B1 )= 0,30 0,03 P(A1 Y B1 ) = 0,009 / 0,039 = 0,009 = 0,2308 A1 P(B2 / A1 ) = 0,97

P( A 1 ) = 0,30

P(A1 Y B2 )= 0,30 0,97 = 0,291 P( A 2 ) = 0,20 P(B1 / A2 )=0,05

A2 P(A2 Y B1 )= 0,20 0,05 P(A2 Y B1 ) =0,001 / 0,039 = 0,01 = 0,2564

P(B2 / A2)=0,95 P(A2 Y B2 )= 0,20 0,95 = 0,19 P( A 3 ) = 0,50 P(B1 / A3 )=0,04

A3 P(A3 Y B1 )= 0,50 0,04 P(A3 Y B1 ) = 0,002 / 0,039 = 0,02 = 0,5128

P(B2 / A3 )=0,96 P(A3 Y B2 )= 0,50 0,96 = 0,48

B2= Bueno

B1= Malo

B1= Malo

B2= Bueno

B2= Bueno

B1= Malo

Causa

Ai

Probabilidad a

Priori

P(A i )

Probabilidad

Condicional

P(B1 /Ai )

Probabilidad

Conjunta

P(Ai y B1)

Probabilidad a

Posteriori

P(Ai /B1 )

P(Causa / Efecto)

De Bayes

A1 0,30 0,03 0,30 0,03=0,009 0,009/0,039=0,2308

A2 0,20 0,05 0,20 0,05=0,01 0,001/0,039=0,2564

A3 0,50 0,04 0,50 0,04=0,02 0,002/0,039 =0,5128

0,039 1

P(Ai /B1)

P(A2 /B1)

P(A3 /B1)

48

II. VARIABLES ALEATORIAS

2.1 Variable aleatoria y distribución de probabilidad

El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica. En estos

casos aparece la noción de variable aleatoria: función que asigna a cada suceso un número.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas (tal como ya se estudió en el primer tema del curso).

En las siguientes líneas vamos a recordar conceptos de temas anteriores, junto con su nueva designación, los

nombres son nuevos, los conceptos no.

Una distribución de probabilidad es un modelo matemático que relaciona el valor de la variable con la probabilidad

de ocurrencia de este valor en la población.

En otras palabras, es posible visualizar el precio de las acciones de

las empresas del ámbito informático como una variable aleatoria (de

azar), porque toma valores diferentes en la población conforme algún

mecanismo fortuito, y entonces la distribución de probabilidad de los

precios describe la probabilidad de ocurrencia de cualquier valor en

la población.

2.2 Tipos de distribuciones de probabilidad

Hay dos tipos de distribuciones de probabilidad:

Distribuciones discretas

o Distribución discreta

Cuando la variable que se mide solamente puede tomar ciertos valores, como los números enteros 0,1, 2, 3,… ,

la distribución de probabilidad se denomina distribución discreta.

Por ejemplo, la distribución del número de clientes que llegan a

una tienda, en un determinado período de tiempo, sería una

distribución discreta.

El aspecto de una distribución discreta es el de una serie de

trazos verticales, con la altura de cada trazo proporcional a la

probabilidad.

o Función de Cuantia

Asigna a cada posible valor de una variable discreta su

probabilidad. (Recuerde los conceptos de frecuencia relativa y

diagrama de barras). Ejemplo: Número de hermanos de los

alumnos presentes en la sala de clases.

La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor

específico xi se expresa como:

Ejemplo: Sea el experimento de “lanzar una moneda normal tres veces”. Definamos la v.a. X como X: “numero de

caras obtenidas en los tres lanzamientos”

Tenemos 0,1,2,3XR . Podemos calcular probabilidades en cada valor de XR (Recorrido de x). Así:

10 , ,

8P X P s s s

31 , , , , , , , ,

8P X P c s s s c s s s c

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,450

0 1 2 3 4 5

P[X = xi] = p(xi)

1 )p(x2.

k1,..., i i, 0, )p(x -1.

k

1i

i

i

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-6,035 11,065 27,565 44,065 60,565 77,065 93,565 110,065

49

32 , , , , , , , ,

8P X P c c s c s c s c c

13 , ,

8P X P c c c

La distribución de probabilidad de X es:

i 0 1 2 3

ip 1 8 3 8 3 8 1 8

La representación gráfica se observa en la figura siguiente:

Definición: La Función de Distribución de una Variable Aleatoria X, denotada por F, es una función real tal que:

i

iF P X p

Retomando nuestro ejemplo anterior, obtenemos su función de distribución, F , de la siguiente manera:

10 0 0

8F P X p

1 3 11 1 0 1

8 8 2F P X p p

1 3 3 72 2 0 1 2

8 8 8 8F P X p p p

3 3 0 1 2 3 1F P X p p p p

Completamos los valores encontrados en F :

0 si 0;

1 8 si 0 1;

4 8 si 1 2;

7 8 si 2 3;

1 si 3.

F

50

Al representar gráficamente la distribución acumulada de la v.a. X , F , se tiene una función escalonada, cuyo

gráfico se aprecia en la figura siguiente. Los “saltos” que presenta la función de distribución acumulada permiten

encontrar las probabilidades de los valores del recorrido de la v.a. X , teniéndose:

1i i ip F F , para todo i .

o Valor esperado y varianza de una variable aleatoria

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria proporciona un MODELO para la distribución teórica de

la variable. La distribución de probabilidad de una población es análoga a la distribución de frecuencias

relativa de los datos (muestra), luego es de esperarse que cada distribución de probabilidad tenga asociada

unos “resúmenes numéricos” similares a los estadígrafos descriptivos que se han señalado para los datos

muestrales (tratados en la Unidad de Aprendizaje I del Programa) y que ahora pasarán a llamarse parámetros.

Por ejemplo: La media teórica que desempeña o equivale al

concepto de promedio o media aritmética de los datos, recibe el

nombre de valor esperado o esperanza matemática de una

variable aleatoria X, Se representa mediante E[X] ó μ, y se

calcula como se muestra en la fórmula del lado derecho:

Ejemplo: considerando la v.a. X “número de caras al lanzar tres veces una moneda normal” obtenemos,

1 3 3 1 30 1 2 3 1.5

8 8 8 8 2E X

Varianza: Se representa mediante VAR[x] o σ2, es el equivalente a la varianza muestral S

2. La varianza teórica se

define como: VAR (X) = E ( X – E(X))2.(ó E(X

2) – (E(X)

2)

Ejemplo: Como ejemplo podemos calcular la varianza de la v.a. X “número de caras al lanzar tres

veces una moneda normal”, usando la Proposición.

2 2 2 2 2 21 3 3 10 1 2 3 3

8 8 8 8i iE X p

V[X] = E[X2]-( E[X])2=3-(1,5)2=3/4 , y x = 0,75 = 0,866.

OBSERVACIÓN: De esta forma se pueden definir el equivalente poblacional (parámetros) de todos los estadígrafos

vistos en el Capítulo I, es decir, coeficiente de asimetría, coeficiente de curtosis, etc.

Actividad 4: a) Determine el valor de c de manera que la función f(x) = c(x2 + 4), para x = 0, 1, 2 y 3, pueda servir

como función de cuantía de la variable aleatoria X. b) Grafíquela. c) Encuentre P( X< 2). d) Determine el Valor

esperado y la varianza de dicha variable. e) Encuentre F(X) (R-a: c=1/30) (R-b: 9/30)

x

discreta v.a.una es X si p(x),x E(X)

51

Distribuciones continuas

Cuando la variable que se mide se expresa en una escala continua, su distribución de probabilidad se llama

distribución continua. La distribución de probabilidad de los precios de las acciones de una empresa es continua.

El aspecto de una distribución continua es de una curva alisada, con el área bajo la curva igual a la probabilidad, de

manera que la probabilidad de que x se encuentre en el intervalo de “a” a “b” se expresa como:

o Función de Densidad

Es una función no negativa de

integral 1.

Píenselo como la generalización del

histograma con frecuencias relativas

para variables continuas.

¿PARA QUÉ LA VOY A USAR? Posiblemente no la vamos a usar directamente sus valores no representan probabilidades. Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos. La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos. Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la función de densidad.

o Valor esperado y varianza de una variable aleatoria continua

valor esperado varianza

VAR (X) = E ( X – E(X))2(ó E(X

2) – (E(X)

2)

Actividad 5: Una variable aleatoria X que puede tomar valores entre 1 y 3, tiene una función de densidad definida

por f(x) = ½. a) Compruebe que dicha función es realmente una función de densidad. b) Encuentre P(2 < X <2,5);

c) Encuentre P(X ≤ 2,6); d) Determine el valor esperado y la varianza de esta variable.

Variables aleatorias discretas y continuas

o Función de distribución

Es la función que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad

acumulada de los valores inferiores o iguales. Píenselo como la

generalización de las frecuencias acumuladas. Diagrama integral.

A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la

función de distribución cercanos a cero. A los valores extremadamente

altos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a

uno. La encontraremos en las aplicaciones y publicaciones en forma de

“p-valor”, significación,…Conforme avancemos les irá sonando cada vez

más este concepto.

Definición: La probabilidad P X x , denotada por 0F x , se llama FUNCION DE DISTRIBUCIÓN

ACUMULADA DE LA V.A.C. X , y es tal que: 0

0 0

x

F x P X x f x dx

Observaciones :

1. Sean :A X a y :B a X b dos eventos donde a y b son números reales tales que a b . Entonces:

P A B P A P B , puesto que A B

b

aP a X b F b F a f x dx

a ba b b

a f(x)dxb)XP(a

1 dx f(x) 2.

x - x, 0, f(x) -1.

continua v.a.una es X si dx, f(x)x E(X)

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-6,035 11,065 27,565 44,065 60,565 77,065 93,565 110,065

52

2. Si X es una v.a.c., entonces: 0P X b .

o ¿Para qué sirve la función de distribución?

Contrastar lo anómalo de una observación concreta. Sé que una persona de altura 210 cm es “anómala” porque

la función de distribución en 210 es muy alta. Sé que una persona adulta que mida menos de 140 cm es

“anómala” porque la función de distribución es muy baja para 140 cm. Sé que una persona que mida 170 cm no

posee una altura nada extraña pues su función de distribución es aproximadamente 0,5. Relaciónelo con la idea

de cuantil. En otro contexto (Pruebas (o contrastes) de hipótesis) podremos observar unos resultados

experimentales y contrastar lo “anómalos” que son en conjunto con respecto a una hipótesis determinada. Revise

este punto cuando hayamos visto el tema de contrastes de hipótesis.

III. MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS

Hay variables aleatorias que aparecen con frecuencia en las ciencias de la Ingeniería, de allí surgen determinados

modelos específicos tales como:

Distribuciones discretas: Experimentos dicotómicos: Bernoulli. Contar éxitos en experimentos dicotómicos

repetidos: Hipergeométrica; Binomial; Poisson (sucesos raros) y otras.

Distribuciones continuas: Distribución normal (gaussiana, campana,…); Distribución exponencial; Distribuciones

derivadas de la normal (x2 (Chi Cuadrado), t de Student, F); y otras

3.1 Distribuciones discretas

i) Distribución Binomial:X ~ B(n, p)

Las características de esta distribución son: a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre

se esperan dos tipos de resultados. Ejemplo: Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, denominados

arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito). b) Las

probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian. c) Cada uno de

los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí. d) El número de ensayos o repeticiones

del experimento (n) es constante.

Si X es la variable aleatoria que representa el número de “éxitos” encontrados en la muestra de tamaño n,

entonces la distribución de probabilidad Binomial sigue el siguiente modelo:

Media y varianza de una variable con Distribución Binomial:Media: μ = np; Varianza σ2 = npq

Casos Especiales:

1.- Caso particular: Distribución de Bernoulli – Se presenta cuando el número de ensayos o repeticiones del

experimento es igual a 1 (es decir cuando n = 1).

2.- Generalización: Distribución Multinomial- Se presenta cuando en el experimento sean posibles más de

dos tipos de resultados.

ii) Distribución Hipergeométrica: X ~ H(N, k, n)

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características: a) Al realizar un

experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados; b) Las probabilidades asociadas a

cada uno de los resultados no son constantes; c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente

de los demás; d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Ejemplo: En una partida de un determinado producto hay un total de N unidades, entre los cuales hay una

cantidad K de unidades que son defectuosas (“éxitos”). Si se seleccionan de esta partida n unidades al azar, y sin

reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x unidades defectuosas (“éxitos”).?

nxqpx

nxXP xnx ,...,2,1,0 ,)(

¿Alguien no entiende esta fórmula? Vamos a tratar de explicarla

con un ejemplo. Ejemplo: Se lanza al aire una moneda normal 3

veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 caras.

53

Si X es la variable aleatoria que representa el número de éxitos encontrados en la muestra de tamaño n,

entonces la distribución hipergeométrica sigue el siguiente modelo:

n

N

xn

kN

x

k

x)P(X ; para x= 0,1, 2,……., Min(k, n).

Donde, N es el tamaño de la población k es el número de éxitos en la población n es el tamaño de la muestra x es el número de éxitos en la muestra Si se encuentra un artículo defectuoso, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?, X ~ H(N=25, k=3, n=3) P(X=0) b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regresa para verificación?. X ~ H(N=25, k=1, n=3) P(X=1) iii) Distribución Hipergeometrica Generalizada: Características: a) Al realizar un experimento con este tipo de

distribución, se esperan más de dos tipos de resultados; b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos

resultados no son constantes; c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí; d)

El número de repeticiones del experimento n, es constante.

iv) Aproximación de la Distribución Binomial a la Hipergeométrica: Si la fracción de muestreo n/N es pequeña,

digamos menor que 0,1, entonces la distribución binomial con p=k/N, y n proporcionan una buena aproximación.

Cuanto más pequeña sea la razón n/N, tanto mejor sería la aproximación.

Ejemplo: Un lote de producción de 200 unidades tiene 8 defectuosos. Se selecciona una muestra aleatoria de 10

unidades, y deseamos encontrar la probabilidad de que una muestra contenga exactamente 1 unidad defectuosa.

Puesto que n/N=10/200 = 0,05 es pequeño, sea p=8/200 = 0,04 y al emplear la aproximación binomial

v) Distribución de Poisson: X ~ P( )

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc.

Ejemplos: - Número de defectos de una tela por m2; - Número de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día,

hora, minuto, etc. -Número de bacterias por cm2 de cultivo; - Número de llamadas telefónicas a un conmutador

por hora, minuto, etc,; - Número de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc,

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula

a utilizar sería:

x!

λe x) P(X

xλ-

; para x =0, 1, 2, 3,………P(X = x) =P(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando

el número promedio de ocurrencia de ellos es ; = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o

producto. En esta distribución la Media y la Varianza son iguales e iguales a .

Ejemplo: Una compañía manufacturera utiliza un

esquema para la aceptación de los artículos

producidos antes de ser embarcados. Se preparan

cajas de 25 artículos para embarque y para verificar si

tienen algún artículo defectuoso se selecciona de

cada una de ellas una muestra de 3 artículos.

(0,04)1(0,96)

9=0,28

54

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o

producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como

cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Actividad 6: En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0,2

imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3

minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

vi) Aproximación de la Distribución de Poisson a la Binomial

En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales, pero que dadas sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son, n tienda a infinito (n es muy

grande) y p tienda a cero (p es muy pequeña), por lo que: = np = número esperado de éxitos = tasa promedio

de éxitos, donde n = número de repeticiones del experimento y p = probabilidad de éxito = p(éxito). Una regla general aceptable es emplear esta aproximación si n ≥ 20 y p ≤0,05: sí n ≥100, la aproximación es generalmente excelente siempre y cuando np ≤10. Actividad 7: En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o

burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1.000

piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8.000 piezas,

menos de 3 de ellas tengan burbujas?

3.2 Distribuciones continuas

En esta sección trataremos las siguientes distribuciones:

1. Distribución Uniforme; 2. Distribución Exponencial; 3. Distribución Normal; 3. Aproximación de la Normal a la Binomial; 4.Distribuciones asociadas a la Normal.

i ) Dist r ibución Uniforme: X ~ U (a, b)

Es la distribución que se asocia a una variable aleatoria que sólopuede tomar valores en el intervalo [a,b], de modo que todos los valores son equiprobables.

Actividad 8 : Determinar la Función de dist r ibución (R: F(x)=(x-a) / (b-a) )

APLICACIÓN: Las tablas de número aleatorios se basan en esta distribución, y también las funciones de

aleatorización que se utiliza en programas computacionales.

Actividad 9 Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (a, b).

Si E(X) = 10 y Var(X) = 12, determine los valores de los parámetros a y b. (R: a=4 y b=16)

i i ) Dist r ibución Exponencial : X ~ Exp(λ)

Es la distribución que se asocia a una variable aleatoria que sólopuede tomar valores mayores o iguales a cero.

Función de densidad:

PARÁMETROS: 1

E(X) ;2

1V(X)

caso otroen ; 0

bxa para ;ab

1

)(xf

PARÁMETROS: 2

baE(X) ;

12

a)-(bV(X)

2

Función de densidad:

55

APLICACIÓN: Tiempo que transcurre hasta la primera ocurrencia de un proceso de Poisson. Revisar relación

entre Distribución Exponencial y Distribución Poisson.

Actividad 10: El tiempo de atención al cliente en un servicio de información de una biblioteca sigue una

distribución exponencial, con un tiempo de servicio medio de 5 minutos, ¿Cuál es la probabilidad de que una

consulta de un cliente dure más de 10 minutos?.

iii) DISTRIBUCIÓN NORMAL: X ~ N ( , 2)

Características:

a) Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x; - x b) La función de densidad que nos define esta distribución es:

2)(2

1

2

2

1),;(

x

exfpara - x

Al dar a la función de densidad valores específicos para , 2y valores a x, obtendremos la distribución en

cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que también se le conoce como campana de Gauss. Hay un

número infinito de funciones de densidad Normal, una para cada combinación de y . La media entrega la

ubicación de la distribución y la desviación estándar entrega su dispersión. Es el modelo de distribución

más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal.

c) Es simétrica con respecto a su eje vertical.

d) Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a tocar el eje de las equis.

e) El área total bajo la curva es 1.

f) Sí sumamos a , se observará que aproximadamente el 68,26% de los datos se encuentran bajo la curva,

si sumamos a 2 , el 95,44% de los datos estará entre esos límites y si sumamos a 3 , entonces el

99,74% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida

de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con

esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones

que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.

Casos particulares: Distribución Normal Estándar: Z ~ N (0 , 1).

Esta distribución surge al hacer µ = 0 y σ2

= 1. La función de distribución

(Φ ) de una variable Z con distribución Normal Estándar ha sido tabulada,

es decir la integral respectiva se encuentra ya calculada, de tal forma que

para calcular cualquier probabilidad relacionada con esta distribución,

simplemente se recurre a las Tablas de la Distribución Normal

Estándar. (Ver hoja adjunta)

a

-dx 1) 0, (z; f )a(Z P (a)

Ejemplo: Si Z ~ N (0 , 1), calcule: a) P(Z < 1);

b) P(Z ≤ 0); c) P(Z > 1); d) P(-1 ≤ Z≤1); e) P(-2 ≤ Z≤2); f) P(-3 ≤ Z≤3)

0 a

Función de distribución:

56

¿Cómo se determinan probabilidades relacionadas con cualquier distribución Normal (X ~ N ( , 2))?

Por tratarse de distribuciones de probabilidad continuas, lo más lógico es que la

función f(x, ,2), se integre entre los límites de la variable x; esto es,

b

adxxfbxaP ),;()( 2

Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es

tipificar el valor de la variable x, es decir, llevarla a una distribución Normal Estándar para poder utilizar las

Tablas, esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera:

Actividad 11: una variable aleatoria sigue el modelo de una distribución normal con media 10 y varianza 4.

Transformarla en una normal tipificada. X ~ N (10, 4). Para transformarla en una normal tipificada se crea una nueva variable (Z) que será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por su desviación estándar (que es la raíz cuadrada de la varianza):

σ

μ)(XZ

. En el ejemplo, la nueva variable sería: 2

10)(XZ

Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada, permitiéndonos, por tanto, conocer la probabilidad

acumulada en cada valor. Z ~ N (0, 1).

Calcule: a) P(X ≤ 8); b) P(X ≤ 6); c) P(X ≤ 4); d) P(8 ≤ X ≤ 12); e) P(6 ≤ X ≤ 14); f) P(4≤ X ≤16)

Actividad 12:

La producción diaria de una línea de ensamblaje se distribuye normalmente con una media de 165 unidades y

una desviación estándar de 5. Encuentre la probabilidad de que el número de unidades producidas por día

a. Sea menor que 162 unidades b. Sea mayor que 173 unidades c. Esté entre 152 y 174 unidades

d. Esté entre 171 y 177 unidades

(Represente gráficamente cada respuesta)

DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A LA NORMAL

Dependiendo del problema, podemos encontrar otras distribuciones asociadas:

– χ2 (CHI CUADRADO); - t de STUDENT; - F de FISHER

Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribuciones normales. Típicamente aparecen como

distribuciones de ciertos estadísticos.

En el capítulo correspondiente a distribuciones muestrales estudiaremos algunas propiedades que tienen estas distribuciones, sobre todo nos interesará saber qué valores de dichas distribuciones son “atípicos” (significación, p-valores).

iv) Distribución Chi Cuadrado: X ~2(n)

Si X1, X2, X3, _ _ _,Xn, son variables aleatorias independientementes con distribución normal con media cero y

varianza uno, entonces la variable aleatoria: tendrá una distribución chi cuadrado con n

grados de libertad.

Función de densidad: Función de dist r ibución : Se encuent ra tabulada

para y > 0;

valorx

z

µ a b

La integral anterior nos dará el área bajo la curva de la función, desde

a hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidad buscada.

Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a

este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la

probabilidad requerida.

2nX2

2X2

1X2

nχ

22

)(

2

21

2

n

eyyf

n

yn

Y

Valor tabulado

(20)χ 2

Valor tabulado

(20)χ 2

n 0.75 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

20 31.410

γbulado valor ta (n)χP 2

57

v) Distribución t de Student:X ~t (n)

Si X e Y son variables aleatorias independientes, normal estándar y chi cuadrado, respectivamente, entonces la

variable aleatoria: tiene una Distribución t con n grados de libertad.

Función de densidad: Función de dist r ibución : Se encuent ra tabulada

para - <t< ;

Parámetros: 0E(X) ;2

V(X)n

n

Aplicación: Ver Unidad III: Inferencia Estadística.

vi) Distribución F:X ~ F (m , n)

Si X e Y son dos variables aleatorias chi cuadrado independientes, con m y n grados de libertad,

respectivamente, entonces la razón, se distribuye como una F con m grados de libertad en el

numerador y n grados de libertad en el denominador.

Parámetros:

Ver Aplicación: Unidad 3: Inferencia Estadística.

2

12

1

)(

2

1

2

nn

n

tn

tf

n

T

n

(n)2χ

Xk

t

nYmX

nm,F

)4()2(

)2(2)(

2

2

nnm

nmnXV

Valor tabulado

10) F(20,

Valor tabulado

10) F(20,

Valor tabulado

t(20)

t

Valor tabulado

t(20)

t

γbulado valor ta t(n)P

n 0.75 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

20

1.7247

γbulado valor ta n)F(m,P

n m 20

0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

10

2.77

2)(

n

mXE

Función de distribución: Se encuentra tabulada

58

Aproximación de una binomial por una normal. Si X es una variable binomial B(n,p) donde n es grande, p y q=1-p NO están próximas a cero, entonces puede

aproximarse por una variable normal ),( 2N

haciendo coincidir media y varianza, es decir np

,

npq2

Por lo tanto, en estas condiciones),( pnB

se puede aproximar por ),( npqnpN

. Además, tendremos

en cuenta la corrección por continuidad, es decir, Binomial Normal

)( aXP )5,05,0( aXaP

)( aXP )5,0( aXP

)( aXP )5,0( aXP

)( aXP )5,0( aXP

)( aXP )5,0( aXP

)( bXaP )5,05,0( bXaP

)( bXaP )5,05,0( bXaP

)( bXaP )5,05,0( bXaP

)( bXaP )5,05,0( bXaP

Acividad:

En un muestreo de un proceso de producción que produce artículos de los cuales 20 por ciento son defectuosos, se selecciona una muestra al de azar de 100 artículos cada hora de cada turno de producción. El número de defectos en una muestra se denota por X. Encontrar

a. P(X< 15) b. P(X=15) c. P(X< 18) d. P(X> 22) e. P(18 < X < 21)

vii) Aproximación de una Poisson por una normal.Si X es una variable de Poisson )(P , donde 20

, podemos aproximarla por una variable normal ),(N . También aquí es necesario realizar a

corrección por continuidad

59

IV. APLICACIONES EN EL ÁMBITO DE LA INGENIERÍA

1. Aparear cada una de las siguientes probabilidades con cada una de las sentencias dadas:

a) El suceso es imposible. Nunca puede ocurrir.

b) El suceso es cierto, va a ocurrir en cada repetición de un fenómeno aleatorio.

c) Este suceso es muy poco posible, pero ocurrirá una vez cada tanto en una larga secuencia de

experimentos.

d) Este suceso ocurrirá más frecuentemente de lo que no ocurrirá.

Dé un ejemplo para cada una de las sentencias anteriores.

2. Se lanza una moneda 4 veces y se observa el resultado de cada lanzamiento: a) Realice una lista de los puntos muestrales para este experimento. b) Sea el suceso A que consiste que el experimento produzca exactamente 3 caras, realice una lista de los

puntos muestrales de A. c) Si la moneda está equilibrada, encontrar P(A).

3. Un experimento genera un espacio muestral que contiene ocho sucesos E1,...,E8, con p(Ei)=1/8, i=1,...,8. Los sucesos A y B se definen así: A:E1,E4,E6; B:E3,E4,E5,E6,E7.Encuentre:

a) P(A); (b) P(A'); (c) P(A U B); (d) P(A B); (e) P(A/B) (f) ¿Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes? ¿Por qué?

(g) ¿Son los sucesos A y B independientes? ¿Por qué?

4. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, P(A)= 0.29 y P(B)=0.43, determine, a) P(A´), b) P(A B), c)

P(A B´), d) P(A´ B´). (Respuestas: a) 0.71 b) 0.72 c) 0.29 d) 0.28).

5. A) Considere la siguiente tabla referente a la producción de procesadores para el armado de PC. Se

inspeccionan 200 unidades del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección;

Tipos de procesador TOTAL

DEFECTO A B C D

I 54 23 40 15 132

II 28 12 14 5 59

S - DEF 118 165 246 380 909

TOTAL 200 200 300 400 1100

B) Considere el problema de la Parte A). Si se selecciona una unidad de procesador al azar y resulta que es una

unidad del tipo B, a) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga defectos, b) Si la unidad seleccionada es del tipo C, ¿cuál es la probabilidad de que tenga defectos del tipo II?, c) Si la unidad seleccionada tiene defectos del tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A, d) ¿cuál es la probabilidad de que una unidad no tenga defectos?, e) ¿cuál es la probabilidad de que una unidad tenga defectos?. f) ¿Son independientes los sucesos B e I?, donde B es el suceso de que la unidad es del Tipo B, e I es el

suceso de que la unidad tiene defectos del Tipo I. 6. A continuación se muestra una tabla probabilística acerca del nivel de instrucción de productores de una zona y

la implementación de nuevas técnicas de producción.

Implementación de nuevas técnicas de producción

Nivel de instrucción No Sí

Bajo 0,40 0,20

Alto 0,10 0,30

0 0,01 0,3 0,6 0,99 1

Si se selecciona una unidad de procesadores al azar de esta partida, a) ¿cuál es la probabilidad de que el producto seleccionado sea del Tipo D?, b)

¿cuál es la probabilidad de que sea del Tipo A o del Tipo B?, c) cuál es la probabilidad de que el

producto seleccionado sea del Tipo B y tenga el Defecto II?, d)¿cuál es la probabilidad de que el producto seleccionado no sea defectuoso?, e)

Determine si los sucesos A y C son mutuamente excluyentes, f) Determine si los eventos C y Tener

defectos del Tipo I son mutuamente excluyentes.

60

¿Son independientes el nivel de instrucción de los productores de esa zona y la implementación de nuevas

técnicas de producción?

7. Cierto artículo computacional es inspeccionado visualmente por dos inspectores. Cuando aparece un artículo defectuoso, la probabilidad de que no sea detectado por el primer inspector es 0,1. De aquellos no detectados por el primer inspector, el segundo inspector sólo detecta 5 de cada 10. ¿Qué fracción de defectuosos no son detectados por ninguno de los inspectores?

8. Una encuesta en una región dada mostró que el 20% de las personas fuman. La probabilidad de muerte causada por cáncer de pulmón, dado que la persona fuma, se encontró que era 10 veces mayor que la probabilidad de muerte causada por cáncer de pulmón, dado que la persona no fuma. Si la probabilidad de muerte causada por cáncer de pulmón en esa región es de 0,006 ¿cuál es la probabilidad de muerte debida a cáncer de pulmón, dado que la persona fuma?

9. Durante la producción de cierto producto computacional se han encontrado que se presentan dos tipos de defectos, el primero con probabilidad de 0,1 y el segundo con probabilidad de 0,05. De acuerdo con la información disponible se supone la independencia entre los citados dos tipos. Al elegir simplemente al azar una unidad de dicho producto, calcular las siguientes probabilidades: a) El producto no tenga ningún defecto. b) El producto sea defectuoso. c) Si el producto es defectuoso, lo sea por la presencia de un solo tipo de defecto.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

10. Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas. X1: El número de caídas, por mes, del sistema de información computacional de una empresa del rubro

ingeniería.

X2: Las utilidades que produce, cada año, una empresa que comercializa productos informáticos.

X3: El número de unidades de monitores que produce cada año una empresa del rubro.

X4: Los sueldos que reciben en Chile los Ingenieros en Informática.

X5: La velocidad de procesamiento de un procesador.

11. Un vendedor estima las probabilidades que aparecen en la siguiente tabla para el número de ventas X computadores personales en una semana.

Número de ventas 0 1 2 3

Probabilidad 0,12 0,20 0,41 0,27

a) ¿Es esta una función de cuantía?; b) Encuentre la probabilidad de vender al menos dos computadores en una

semana; c) Hallar el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria X.

12. Determine el valor de c de manera que la siguiente función pueda servir como función de cuantía de la variable aleatoria discreta X;

f x cx x

( )2 3

3; para x = 0, 1, 2. (R: c=1/10)

13. Un envío de siete discos duros contiene dos defectuosos. Una empresa del rubro adquiere en forma aleatoria tres de dichos discos. Si X es el número de discos defectuosos adquiridos por la empresa, encuentre la función de cuantía de X. Exprese los resultados en forma gráfica a través de un histograma de probabilidad. Encuentre la

función de distribución de X y utilizándola determine P(X=1); P(0 X 2).

14. Dada una variable X cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de densidad: f(x) = kx

2 si 0 ≤ x ≤ 1 y f(x) = 0 en otro caso. Calcular: a) El valor de la constante k para que f(x) sea la función de

densidad que define la distribución de probabilidad de la variable X. b) La función de distribución de X. c) La

probabilidad: P(0,3 ≤ X ≤ 0,7). El valor esperado y varianza de dicha variable.

15. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad dada por f(x) = A(1 - x), 0 < x < 1 a) Determine el valor de A, para que la función así definida sea realmente una función de densidad. Grafíquela.

b) Obtener una expresión para la función de distribución de X. Grafíquela.

d) Calcular P( X< ½ / 1/3 < X < 2/3 )

16. Para los problemas 13 al 15 calcule e interprete a) el valor esperado, la mediana y la moda.

61

b) La varianza y la desviación estándar.

b) Los cuartiles, el Primer quintil; el Percentil 60.

17. (Distribución uniforme en el intervalo (0, 1)) Sea X una v.a. continua con función de densidad dada por:

1, si x (0,1)

f(x)=

0, si x (0,1)

a) Obtenga la función de distribución

b) Obtenga distintos parámetros de la distribución

18. Investigue cómo se podría generalizar la Distribución Uniforme a cualquier intervalo (a, b).

19. Suponga que la ganancia de un Ingeniero en Informática dedicado a la comercialización de productos de su especialidad, en unidades de 1.000 dólares, se puede considerar como una variable aleatoria X que tiene una

función de densidad dada por: A(1 - x), 0 < x < 1

f ( x ) =

0, en otro caso

a) Determine el valor de A, para que la función así definida sea realmente una función de densidad. Grafíquela.

b) Obtener una expresión para la función de distribución de X. Grafíquela.

c) Encuentre la probabilidad de que las utilidades fluctúen entre $500 y $600 dólares.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS: REFORZAMIENTO

20. Se dice que el 75% de los accidentes que ocurren en una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.

21. Suponga que probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0,40. Si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.

22. En un proceso de manufactura se seleccionan aleatoriamente 15 unidades diarias de la línea de producción para verificar el porcentaje de defectuosos en el proceso. A partir de información histórica se sabe que la probabilidad de que se tenga una unidad defectuosa es 0,05. El proceso se detiene en cualquier momento en que se encuentran dos o más unidades defectuosas. Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que la probabilidad de defectuosos se incremente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga? (suponga un 5% de defectos); b) Suponga que la probabilidad de que se tenga una unidad defectuosa se incrementa a 0,07. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga?.

23. Se está considerando la producción de una máquina automática de soldar. Se considerará exitosa si tiene una efectividad del 99% en sus soldaduras. De otra manera, no se considerará eficiente. Se lleva a cabo la prueba de un prototipo y se realizan 100 soldaduras. La máquina se aceptará para su fabricación si no son defectuosas más de tres soldaduras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina eficiente sea rechazada?; b) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina ineficiente con 95% de soldaduras correctas sea aceptada?

24. Un embarque de 10 artículos contiene dos unidades defectuosas y ocho no defectuosas. Al revisarlo, se tomará una muestra y las unidades se inspeccionarán. Si se encuentra una unidad defectuosa, se rechazará todo el embarque. a) Si se selecciona una muestra de tres artículos, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el embarque?. b) Si se selecciona una muestra de cuatro artículos, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el embarque?. c) Si se selecciona una muestra de cinco artículos, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el embarque?. d) Si la gerencia estuviera de acuerdo en que hubiera una probabilidad de 0.90 de rechazar un embarque con dos unidades defectuosas y ocho no defectuosas, ¿de qué tamaño se debe seleccionar la muestra?

25. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.

62

26. Entre los 180 empleados de una empresa, 144 son sindicalizados y el resto no lo son. Se debe seleccionar al azar a cinco empleados para representar a la empresa en un congreso del ramo. a) Use la distribución hipergeométrica para obtener la probabilidad de que tres de los cinco empleados

seleccionados para el comité sean sindicalizados.

b) Use la aproximación binomial para la distribución hipergeométrica para obtener la misma probabilidad del

inciso anterior.

c) Encuentre el error de la aproximación.

27. Las llamadas de servicio entran a un centro de mantenimiento de acuerdo con un proceso de Poisson y en promedio entran 2,7 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que: a) no más de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera; b) menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera; c)más de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos.

28. El número de defectos superficiales de los paneles de plástico utilizados en los mesones de armado de computadores tiene una distribución de Poisson con una media de 0,5 defectos por metro cuadrado de panel. Suponga que un mesón contiene 10 metros cuadrados de este material. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos superficiales en un mesón?. b) Si se venden 10 mesones a una a una determinada fábrica, ¿Cuál es la probabilidad de que dichos mesones no tengan defectos superficiales? c) ) Si se venden 10 mesones a una determinada fábrica, ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, uno de ellos tenga defectos superficiales?.

29. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el uno por ciento de las partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20 que necesitan ser reprocesadas. Se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor que su media por más de tres desviaciones estándar. a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, ¿cuál es la probabilidad de que X sea mayor que su media por más de tres desviaciones estándar?. b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, ¿cuál es la probabilidad de que X sea mayor que uno?. c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, ¿cuál es la probabilidad de que X sea mayor que uno por lo menos en una de las muestras tomadas las próximas cinco horas?.

30. En un estudio de un inventario se determinó que, en promedio, la demanda por un artículo en particular en una bodega era de 5 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día este artículo sea requerido. a) más de 5 veces? (R: 0,3840) b) Ni una sola vez? (R:. 0,0067).

31. Supóngase que tenemos un proceso de producción de un artículo que se fabrica en grandes cantidades y sabemos que la proporción de artículos defectuosos es de 0,01. Se toma una muestra aleatoria de 100 artículos. ¿Cuál es la probabilidad de que haya k artículos defectuosos? usando: a) La distribución binomial; b) La distribución de Poisson; c) ¿Qué puede concluir de sendos resultados?

REFORZAMIENTO DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS

32. Investigue sobre los tipos de problemas donde son aplicables los distintos modelos de distribuciones continuas. Es decir, en una situación práctica, ¿Qué características lo guían para aplicar alguna de las distribuciones continuas estudiadas.

33. Para cada una de las distribuciones continuas, determine el valor esperado y la varianza.

34. Un fabricante de pesas electrónicas ofrece una garantía de un año. Si la pesa llega a fallar durante este período, se la reemplaza. El tiempo hasta la falla se modela aceptablemente con la distribución de probabilidad.

f(x) = 0,125e-0,125x

x > 0

a) Verifique si f(x) es realmente una función de densidad. Grafíquela.

b) ¿A qué modelo general corresponde esta distribución?.

c) ¿Qué porcentaje de las pesas se descompondrán dentro del término de la garantía?

d) El costo de producción de una pesa es de $50 (dólares), y la ganancia por venta es de $25. ¿Cuál es el

efecto sobre la utilidades de las reposiciones o reemplazos debidos a la garantía?.

e) Determine la función de distribución asociada. Grafíquela.

35. El tiempo que transcurre entre las llamadas a una empresa de computación tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 30 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos?

36. Una característica de la calidad de un producto está distribuida normalmente, con media y desviación estándar 1. Las especificaciones para la característica estipulan que 6 < x < 8. Una unidad que cae dentro de estas especificaciones con respecto a la característica de calidad, produce a una utilidad (o ganancia) de Co. Sin

63

embargo, si x < 6, la utilidad es -C1, mientras que si x > 8, la ganancia es -C2. Encuentre el valor de que maximiza la ganancia esperada.

37. El diámetro de un eje empleado en una determinada máquina tiene una distribuciónnormal con una media igual a 0,2508 plg. y desviación estándar de 0,0005 plg. Se han determinado las especificaciones de calidad para el eje

como 0,2500 0,0015plg. a) Ilustre gráficamente los datos del enunciado anterior.

b) Determinar la fracción o proporción de los ejes producidos que cumplen con las especificaciones. Interprete el

resultado desde el punto de vista del problema y tomando en cuenta los costos involucrados.

c) Suponga que puede volverse a centrar el proceso de manufactura, quizá ajustando la máquina, para que la

media del proceso sea exactamente igual al valor nominal de 0,2500. ¿Cuál sería ahora la fracción o

proporción de ejes defectuosos?. Interprete en comparación con el resultado obtenido en b).

38. El sueldo de los Ingenieros en Informática de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media 2 millones de pesos y desviación estándar 1 millón de pesos. Calcular el porcentaje de Ingenieros en Informática con un sueldo inferior a 4 millones de pesos.

39. La duración de un determinado producto está distribuida normalmente, con media de 900 días y desviación estándar de 50 días. ¿Qué fracción de este producto podría tener una duración de más de 1.000 días?

40. Un fabricante de un determinado producto desea que el 1.5% del producto esté debajo de la especificación de peso de 0,567 kg. (1,25 lb). Si los datos están distribuidos normalmente y la desviación estándar de la máquina dispensadora del cereal es de 0,567 kg., ¿Cuál es el peso medio requerido?.

41. Para una variable aleatoria X con una distribución ji-cuadrado, encuentre: a) X

20.01 con n = 8; b) X

20.9 75 con n = 29

c) X0 tal que P (X< X0) = 0,99; con n = 4

42. Sea X ~ X2 (7), determine el valor X0 que deja a su derecha el 5% del área.

43. Supóngase que la v.a. X tiene una distribución ji-cuadrado con 10 grados de libertad. Si se nos pidiera encontrar dos números a y b tales que P (a < X < b) = 0,85, podríamos verificar que existen muchos pares de esa clase.

a) Encuentre dos conjuntos diferentes de valores (a, b) que satisfagan la condición anterior.

b) Supóngase que además de lo anterior, necesitamos que: P (X < a) = P (X> b)

¿Cuántos conjuntos de valores hay?

44. Supongamos que X tiene distribución normal N(3,4) (X N(3,4)), deseamos encontrar c,

tal que: P(X > c) = 2P(X< c)

45. Supongamos que X tiene distribución normal N( , ) (X N( , )). Determine c como una función de y , tal

que: P(X < c) = 2P(X> c)

46. Para una distribución t encuentre los siguientes valores: t0,01; 10; : t0,025; 10; : t0,10; 15; : t0,01; 20; : t0,05; 20; : t0,01; 11.

47. Para unadistribución t, encuentre t ; ntal que : P(T ≤ t ; 10) = 0,95; P(T ≤ t ; 15) = 0,01 ; P(T ≤ t ; 8) = 0,90.

48. Para una distribución F, encuentre f0,25; (4, 9); f0,05; (15, 10); f0,95; (6, 8); f0,90; (24,24).

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ANEXO 1

Tabla 1. Valores de la función de distribución normal estándar.

-

-

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002

-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003

-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005

-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007

-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010

-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019

-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026

-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036

-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048

-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084

-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110

-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143

-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148

-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

Fuente: Tabla elaborada por el Profesor Víctor Figueroa Arcila, utilizando las funciones de Excel.

65

Tabla 1. Valores de la función de distribución normal estándar (continuación).

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998


66

ANEXO 2

Tabla 2. Percentiles de la distribución t de Student.

En este tipo de tablas se parte de los valoras conocidos de los grados de libertad n y la probabilidad acumulada , y se obtiene x, de la expresión:

-1 x) P(tn

lo que resulta interesante para responder a la pregunta: Para una distribución t de Studentconn grados de libertad, cual es el valor de x que deja a su

izquierda una probabilidad .

La tabla contiene en la fila superior las probabilidades, en la columna de la izquierda los grados de libertad n, y donde se cruzan la fila y la columna correspondientes se encuentra el valor de x.

α 0,4 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

n \ 0,6 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995

1 0,324920 0,726543 1,000000 1,376382 1,962611 3,077684 6,313752 12,706205 31,820516 63,656741

2 0,288675 0,617213 0,816497 1,060660 1,386207 1,885618 2,919986 4,302653 6,964557 9,924843

3 0,276671 0,584390 0,764892 0,978472 1,249778 1,637744 2,353363 3,182446 4,540703 5,840909

4 0,270722 0,568649 0,740697 0,940965 1,189567 1,533206 2,131847 2,776445 3,746947 4,604095

5 0,267181 0,559430 0,726687 0,919544 1,155767 1,475884 2,015048 2,570582 3,364930 4,032143

6 0,264835 0,553381 0,717558 0,905703 1,134157 1,439756 1,943180 2,446912 3,142668 3,707428

7 0,263167 0,549110 0,711142 0,896030 1,119159 1,414924 1,894579 2,364624 2,997952 3,499483

8 0,261921 0,545934 0,706387 0,888890 1,108145 1,396815 1,859548 2,306004 2,896459 3,355387

9 0,260955 0,543480 0,702722 0,883404 1,099716 1,383029 1,833113 2,262157 2,821438 3,249836

10 0,260185 0,541528 0,699812 0,879058 1,093058 1,372184 1,812461 2,228139 2,763769 3,169273

11 0,259556 0,539938 0,697445 0,875530 1,087666 1,363430 1,795885 2,200985 2,718079 3,105807

12 0,259033 0,538618 0,695483 0,872609 1,083211 1,356217 1,782288 2,178813 2,680998 3,054540

13 0,258591 0,537504 0,693829 0,870152 1,079469 1,350171 1,770933 2,160369 2,650309 3,012276

14 0,258213 0,536552 0,692417 0,868055 1,076280 1,345030 1,761310 2,144787 2,624494 2,976843

15 0,257885 0,535729 0,691197 0,866245 1,073531 1,340606 1,753050 2,131450 2,602480 2,946713

16 0,257599 0,535010 0,690132 0,864667 1,071137 1,336757 1,745884 2,119905 2,583487 2,920782

17 0,257347 0,534377 0,689195 0,863279 1,069033 1,333379 1,739607 2,109816 2,566934 2,898231

18 0,257123 0,533816 0,688364 0,862049 1,067170 1,330391 1,734064 2,100922 2,552380 2,878440

19 0,256923 0,533314 0,687621 0,860951 1,065507 1,327728 1,729133 2,093024 2,539483 2,860935

20 0,256743 0,532863 0,686954 0,859964 1,064016 1,325341 1,724718 2,085963 2,527977 2,845340

21 0,256580 0,532455 0,686352 0,859074 1,062670 1,323188 1,720743 2,079614 2,517648 2,831360

22 0,256432 0,532085 0,685805 0,858266 1,061449 1,321237 1,717144 2,073873 2,508325 2,818756

23 0,256297 0,531747 0,685306 0,857530 1,060337 1,319460 1,713872 2,068658 2,499867 2,807336

24 0,256173 0,531438 0,684850 0,856855 1,059319 1,317836 1,710882 2,063899 2,492159 2,796939

25 0,256060 0,531154 0,684430 0,856236 1,058384 1,316345 1,708141 2,059539 2,485107 2,787436

26 0,255955 0,530892 0,684043 0,855665 1,057523 1,314972 1,705618 2,055529 2,478630 2,778715

27 0,255858 0,530649 0,683685 0,855137 1,056727 1,313703 1,703288 2,051830 2,472660 2,770683

28 0,255768 0,530424 0,683353 0,854647 1,055989 1,312527 1,701131 2,048407 2,467140 2,763262

29 0,255684 0,530214 0,683044 0,854192 1,055302 1,311434 1,699127 2,045230 2,462021 2,756386

30 0,255605 0,530019 0,682756 0,853767 1,054662 1,310415 1,697261 2,042272 2,457262 2,749996

31 0,255532 0,529836 0,682486 0,853370 1,054064 1,309464 1,695519 2,039513 2,452824 2,744042

32 0,255464 0,529665 0,682234 0,852998 1,053504 1,308573 1,693889 2,036933 2,448678 2,738481

33 0,255399 0,529504 0,681997 0,852649 1,052979 1,307737 1,692360 2,034515 2,444794 2,733277

34 0,255339 0,529353 0,681774 0,852321 1,052485 1,306952 1,690924 2,032244 2,441150 2,728394

35 0,255281 0,529211 0,681564 0,852012 1,052019 1,306212 1,689572 2,030108 2,437723 2,723806

36 0,255227 0,529076 0,681366 0,851720 1,051580 1,305514 1,688298 2,028094 2,434494 2,719485

37 0,255176 0,528949 0,681178 0,851444 1,051165 1,304854 1,687094 2,026192 2,431447 2,715409

1-


67

Tabla 2. Percentilesde la distribución t de Student(Continuación).

-1 x) P(tn

α 0,4 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

n \ 0,6 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995

38 0,255128 0,528828 0,681001 0,851183 1,050772 1,304230 1,685954 2,024394 2,428568 2,711558

39 0,255082 0,528714 0,680833 0,850935 1,050399 1,303639 1,684875 2,022691 2,425841 2,707913

40 0,255039 0,528606 0,680673 0,850700 1,050046 1,303077 1,683851 2,021075 2,423257 2,704459

41 0,254997 0,528502 0,680521 0,850476 1,049710 1,302543 1,682878 2,019541 2,420803 2,701181

42 0,254958 0,528404 0,680376 0,850263 1,049390 1,302035 1,681952 2,018082 2,418470 2,698066

43 0,254920 0,528311 0,680238 0,850060 1,049085 1,301552 1,681071 2,016692 2,416250 2,695102

44 0,254884 0,528221 0,680107 0,849867 1,048794 1,301090 1,680230 2,015368 2,414134 2,692278

45 0,254850 0,528136 0,679981 0,849682 1,048516 1,300649 1,679427 2,014103 2,412116 2,689585

46 0,254817 0,528054 0,679861 0,849505 1,048250 1,300228 1,678660 2,012896 2,410188 2,687013

47 0,254786 0,527976 0,679746 0,849336 1,047996 1,299825 1,677927 2,011740 2,408345 2,684556

48 0,254756 0,527901 0,679635 0,849174 1,047752 1,299439 1,677224 2,010635 2,406581 2,682204

49 0,254727 0,527829 0,679530 0,849018 1,047519 1,299069 1,676551 2,009575 2,404892 2,679952

50 0,254699 0,527760 0,679428 0,848869 1,047295 1,298714 1,675905 2,008559 2,403272 2,677793

51 0,254673 0,527694 0,679331 0,848726 1,047080 1,298373 1,675285 2,007584 2,401718 2,675722

52 0,254647 0,527631 0,679237 0,848588 1,046873 1,298045 1,674689 2,006647 2,400225 2,673734

53 0,254623 0,527569 0,679147 0,848456 1,046674 1,297730 1,674116 2,005746 2,398790 2,671823

54 0,254599 0,527510 0,679060 0,848328 1,046483 1,297426 1,673565 2,004879 2,397410 2,669985

55 0,254576 0,527454 0,678977 0,848205 1,046298 1,297134 1,673034 2,004045 2,396081 2,668216

56 0,254554 0,527399 0,678896 0,848087 1,046120 1,296853 1,672522 2,003241 2,394801 2,666512

57 0,254533 0,527346 0,678818 0,847973 1,045949 1,296581 1,672029 2,002465 2,393567 2,664870

58 0,254512 0,527295 0,678743 0,847862 1,045783 1,296319 1,671553 2,001717 2,392377 2,663287

59 0,254493 0,527246 0,678671 0,847756 1,045623 1,296066 1,671093 2,000995 2,391229 2,661759

60 0,254473 0,527198 0,678601 0,847653 1,045469 1,295821 1,670649 2,000298 2,390119 2,660283

61 0,254455 0,527152 0,678533 0,847553 1,045320 1,295585 1,670219 1,999624 2,389047 2,658857

62 0,254437 0,527108 0,678467 0,847457 1,045175 1,295356 1,669804 1,998971 2,388011 2,657479

63 0,254420 0,527064 0,678404 0,847364 1,045035 1,295134 1,669402 1,998341 2,387008 2,656145

64 0,254403 0,527023 0,678342 0,847274 1,044900 1,294920 1,669013 1,997730 2,386037 2,654854

65 0,254387 0,526982 0,678283 0,847186 1,044768 1,294712 1,668636 1,997138 2,385097 2,653604

66 0,254371 0,526943 0,678225 0,847101 1,044641 1,294511 1,668271 1,996564 2,384186 2,652393

67 0,254355 0,526905 0,678169 0,847019 1,044518 1,294315 1,667916 1,996008 2,383302 2,651220

68 0,254341 0,526868 0,678115 0,846939 1,044398 1,294126 1,667572 1,995469 2,382446 2,650081

69 0,254326 0,526832 0,678062 0,846862 1,044281 1,293942 1,667239 1,994945 2,381614 2,648977

70 0,254312 0,526797 0,678011 0,846786 1,044169 1,293763 1,666914 1,994437 2,380807 2,647905

71 0,254299 0,526763 0,677961 0,846713 1,044059 1,293589 1,666600 1,993943 2,380024 2,646863

72 0,254285 0,526730 0,677912 0,846642 1,043952 1,293421 1,666294 1,993464 2,379262 2,645852

73 0,254272 0,526698 0,677865 0,846573 1,043848 1,293256 1,665996 1,992997 2,378522 2,644869

74 0,254260 0,526667 0,677820 0,846506 1,043747 1,293097 1,665707 1,992543 2,377802 2,643913

75 0,254248 0,526637 0,677775 0,846440 1,043649 1,292941 1,665425 1,992102 2,377102 2,642983

76 0,254236 0,526607 0,677732 0,846376 1,043554 1,292790 1,665151 1,991673 2,376420 2,642078

77 0,254224 0,526578 0,677689 0,846314 1,043461 1,292643 1,664885 1,991254 2,375757 2,641198

78 0,254213 0,526550 0,677648 0,846254 1,043370 1,292500 1,664625 1,990847 2,375111 2,640340

1-


68

Tabla 2. Percentilesde la distribución t de Student(Continuación)

-1 x) P(tn

α 0,4 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

n \ 0,6 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995

79 0,254202 0,526523 0,677608 0,846195 1,043282 1,292360 1,664371 1,990450 2,374482 2,639505

80 0,254191 0,526497 0,677569 0,846137 1,043195 1,292224 1,664125 1,990063 2,373868 2,638691

81 0,254181 0,526471 0,677531 0,846081 1,043111 1,292091 1,663884 1,989686 2,373270 2,637897

82 0,254171 0,526445 0,677493 0,846027 1,043029 1,291961 1,663649 1,989319 2,372687 2,637123

83 0,254161 0,526421 0,677457 0,845973 1,042949 1,291835 1,663420 1,988960 2,372119 2,636369

84 0,254151 0,526396 0,677422 0,845921 1,042871 1,291711 1,663197 1,988610 2,371564 2,635632

85 0,254142 0,526373 0,677387 0,845870 1,042795 1,291591 1,662979 1,988268 2,371022 2,634914

86 0,254132 0,526350 0,677353 0,845821 1,042721 1,291473 1,662765 1,987934 2,370493 2,634212

87 0,254123 0,526327 0,677320 0,845772 1,042648 1,291358 1,662557 1,987608 2,369977 2,633527

88 0,254114 0,526305 0,677288 0,845725 1,042577 1,291246 1,662354 1,987290 2,369472 2,632858

89 0,254106 0,526284 0,677256 0,845679 1,042508 1,291136 1,662155 1,986979 2,368979 2,632204

90 0,254097 0,526263 0,677225 0,845633 1,042440 1,291029 1,661961 1,986674 2,368497 2,631565

91 0,254089 0,526242 0,677195 0,845589 1,042373 1,290924 1,661771 1,986377 2,368026 2,630940

92 0,254081 0,526222 0,677166 0,845546 1,042308 1,290821 1,661585 1,986086 2,367566 2,630330

93 0,254073 0,526203 0,677137 0,845503 1,042245 1,290721 1,661404 1,985802 2,367115 2,629732

94 0,254065 0,526184 0,677109 0,845462 1,042183 1,290623 1,661226 1,985523 2,366674 2,629148

95 0,254058 0,526165 0,677081 0,845421 1,042122 1,290527 1,661052 1,985251 2,366243 2,628576

96 0,254050 0,526146 0,677054 0,845381 1,042062 1,290432 1,660881 1,984984 2,365821 2,628016

97 0,254043 0,526128 0,677027 0,845343 1,042004 1,290340 1,660715 1,984723 2,365407 2,627468

98 0,254036 0,526111 0,677001 0,845304 1,041947 1,290250 1,660551 1,984467 2,365002 2,626931

99 0,254029 0,526093 0,676976 0,845267 1,041891 1,290161 1,660391 1,984217 2,364606 2,626405

100 0,254022 0,526076 0,676951 0,845230 1,041836 1,290075 1,660234 1,983971 2,364217 2,625891

101 0,254015 0,526060 0,676927 0,845195 1,041782 1,289990 1,660081 1,983731 2,363837 2,625386

102 0,254009 0,526043 0,676903 0,845159 1,041729 1,289907 1,659930 1,983495 2,363464 2,624891

103 0,254002 0,526027 0,676879 0,845125 1,041678 1,289825 1,659782 1,983264 2,363098 2,624407

104 0,253996 0,526012 0,676856 0,845091 1,041627 1,289745 1,659637 1,983037 2,362739 2,623932

105 0,253990 0,525996 0,676833 0,845058 1,041577 1,289666 1,659495 1,982815 2,362388 2,623465

106 0,253984 0,525981 0,676811 0,845025 1,041529 1,289589 1,659356 1,982597 2,362043 2,623008

107 0,253978 0,525966 0,676790 0,844993 1,041481 1,289514 1,659219 1,982383 2,361704 2,622560

108 0,253972 0,525952 0,676768 0,844962 1,041434 1,289439 1,659085 1,982173 2,361372 2,622120

109 0,253966 0,525938 0,676747 0,844931 1,041388 1,289367 1,658953 1,981967 2,361046 2,621688

110 0,253961 0,525924 0,676727 0,844901 1,041342 1,289295 1,658824 1,981765 2,360726 2,621265

111 0,253955 0,525910 0,676706 0,844871 1,041298 1,289225 1,658697 1,981567 2,360412 2,620849

112 0,253950 0,525896 0,676687 0,844842 1,041254 1,289156 1,658573 1,981372 2,360104 2,620440

113 0,253944 0,525883 0,676667 0,844814 1,041212 1,289088 1,658450 1,981180 2,359801 2,620039

114 0,253939 0,525870 0,676648 0,844786 1,041169 1,289022 1,658330 1,980992 2,359504 2,619645

115 0,253934 0,525857 0,676629 0,844758 1,041128 1,288957 1,658212 1,980807 2,359212 2,619258

116 0,253929 0,525845 0,676611 0,844731 1,041087 1,288892 1,658096 1,980626 2,358924 2,618878

117 0,253924 0,525832 0,676592 0,844704 1,041047 1,288829 1,657982 1,980448 2,358642 2,618504

118 0,253919 0,525820 0,676575 0,844678 1,041008 1,288767 1,657870 1,980272 2,358365 2,618137

119 0,253914 0,525808 0,676557 0,844652 1,040970 1,288706 1,657759 1,980100 2,358093 2,617776

120 0,253910 0,525796 0,676540 0,844627 1,040932 1,288646 1,657651 1,979930 2,357825 2,617421

1-


69

ANEXO 3

Tabla 3. Percentiles de la distribución chi-cuadrado.

En este tipo de tablas se parte de los valoras conocidos de los grados de libertad n y la probabilidad acumulada , y se obtiene x, de la expresión:

-1 x) P( 2

n

lo que resulta interesante pera responder a la pregunta: Para una distribución chi-cuadrado conn grados de libertad, cual es el valor de x que deja a su izquierda una probabilidad . La tabla contiene en la fila superior las probabilidades, en la columna de la izquierda los grados de libertad n, y donde se cruzan la fila y la columna correspondientes se encuentra el valor de x.

α 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,800 0,750 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,250 0,200 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005

1-α 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,200 0,250 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,750 0,800 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 0,102 0,148 0,275 0,455 0,708 1,074 1,323 1,642 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879

2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,446 0,575 0,713 1,022 1,386 1,833 2,408 2,773 3,219 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597

3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,005 1,213 1,424 1,869 2,366 2,946 3,665 4,108 4,642 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838

4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,649 1,923 2,195 2,753 3,357 4,045 4,878 5,385 5,989 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860

5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,343 2,675 3,000 3,655 4,351 5,132 6,064 6,626 7,289 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750

6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,070 3,455 3,828 4,570 5,348 6,211 7,231 7,841 8,558 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548

7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 3,822 4,255 4,671 5,493 6,346 7,283 8,383 9,037 9,803 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278

8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 4,594 5,071 5,527 6,423 7,344 8,351 9,524 10,219 11,030 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955

9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,380 5,899 6,393 7,357 8,343 9,414 10,656 11,389 12,242 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589

10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,179 6,737 7,267 8,295 9,342 10,473 11,781 12,549 13,442 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188

11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 6,989 7,584 8,148 9,237 10,341 11,530 12,899 13,701 14,631 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757

12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 7,807 8,438 9,034 10,182 11,340 12,584 14,011 14,845 15,812 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300

13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 8,634 9,299 9,926 11,129 12,340 13,636 15,119 15,984 16,985 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819

14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 9,467 10,165 10,821 12,078 13,339 14,685 16,222 17,117 18,151 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319

15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 10,307 11,037 11,721 13,030 14,339 15,733 17,322 18,245 19,311 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801

16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,152 11,912 12,624 13,983 15,338 16,780 18,418 19,369 20,465 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267

17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,002 12,792 13,531 14,937 16,338 17,824 19,511 20,489 21,615 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718

18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 12,857 13,675 14,440 15,893 17,338 18,868 20,601 21,605 22,760 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156

19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 13,716 14,562 15,352 16,850 18,338 19,910 21,689 22,718 23,900 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582

20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 14,578 15,452 16,266 17,809 19,337 20,951 22,775 23,828 25,038 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997

21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 15,445 16,344 17,182 18,768 20,337 21,991 23,858 24,935 26,171 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401

22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 16,314 17,240 18,101 19,729 21,337 23,031 24,939 26,039 27,301 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796

23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 17,187 18,137 19,021 20,690 22,337 24,069 26,018 27,141 28,429 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181

24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 18,062 19,037 19,943 21,652 23,337 25,106 27,096 28,241 29,553 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559

25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 18,940 19,939 20,867 22,616 24,337 26,143 28,172 29,339 30,675 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928

26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 19,820 20,843 21,792 23,579 25,336 27,179 29,246 30,435 31,795 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290

27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 20,703 21,749 22,719 24,544 26,336 28,214 30,319 31,528 32,912 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645

28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 21,588 22,657 23,647 25,509 27,336 29,249 31,391 32,620 34,027 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993

29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 22,475 23,567 24,577 26,475 28,336 30,283 32,461 33,711 35,139 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336

30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 23,364 24,478 25,508 27,442 29,336 31,316 33,530 34,800 36,250 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672

31 14,458 15,655 17,539 19,281 21,434 24,255 25,390 26,440 28,409 30,336 32,349 34,598 35,887 37,359 41,422 44,985 48,232 52,191 55,003

32 15,134 16,362 18,291 20,072 22,271 25,148 26,304 27,373 29,376 31,336 33,381 35,665 36,973 38,466 42,585 46,194 49,480 53,486 56,328

33 15,815 17,074 19,047 20,867 23,110 26,042 27,219 28,307 30,344 32,336 34,413 36,731 38,058 39,572 43,745 47,400 50,725 54,776 57,648

34 16,501 17,789 19,806 21,664 23,952 26,938 28,136 29,242 31,313 33,336 35,444 37,795 39,141 40,676 44,903 48,602 51,966 56,061 58,964

35 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 27,836 29,054 30,178 32,282 34,336 36,475 38,859 40,223 41,778 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275

36 17,887 19,233 21,336 23,269 25,643 28,735 29,973 31,115 33,252 35,336 37,505 39,922 41,304 42,879 47,212 50,998 54,437 58,619 61,581

37 18,586 19,960 22,106 24,075 26,492 29,635 30,893 32,053 34,222 36,336 38,535 40,984 42,383 43,978 48,363 52,192 55,668 59,893 62,883


70

Tabla 3. Percentilesde la distribución chi-cuadrado (Continuación).

-1 x) P( 2

n

α 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,800 0,750 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,250 0,200 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005

1-α 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,200 0,250 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,750 0,800 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

38 19,289 20,691 22,878 24,884 27,343 30,537 31,815 32,992 35,192 37,335 39,564 42,045 43,462 45,076 49,513 53,384 56,896 61,162 64,181

39 19,996 21,426 23,654 25,695 28,196 31,441 32,737 33,932 36,163 38,335 40,593 43,105 44,539 46,173 50,660 54,572 58,120 62,428 65,476

40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 32,345 33,660 34,872 37,134 39,335 41,622 44,165 45,616 47,269 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766

41 21,421 22,906 25,215 27,326 29,907 33,251 34,585 35,813 38,105 40,335 42,651 45,224 46,692 48,363 52,949 56,942 60,561 64,950 68,053

42 22,138 23,650 25,999 28,144 30,765 34,157 35,510 36,755 39,077 41,335 43,679 46,282 47,766 49,456 54,090 58,124 61,777 66,206 69,336

43 22,859 24,398 26,785 28,965 31,625 35,065 36,436 37,698 40,050 42,335 44,706 47,339 48,840 50,548 55,230 59,304 62,990 67,459 70,616

44 23,584 25,148 27,575 29,787 32,487 35,974 37,363 38,641 41,022 43,335 45,734 48,396 49,913 51,639 56,369 60,481 64,201 68,710 71,893

45 24,311 25,901 28,366 30,612 33,350 36,884 38,291 39,585 41,995 44,335 46,761 49,452 50,985 52,729 57,505 61,656 65,410 69,957 73,166

46 25,041 26,657 29,160 31,439 34,215 37,795 39,220 40,529 42,968 45,335 47,787 50,507 52,056 53,818 58,641 62,830 66,617 71,201 74,437

47 25,775 27,416 29,956 32,268 35,081 38,708 40,149 41,474 43,942 46,335 48,814 51,562 53,127 54,906 59,774 64,001 67,821 72,443 75,704

48 26,511 28,177 30,755 33,098 35,949 39,621 41,079 42,420 44,915 47,335 49,840 52,616 54,196 55,993 60,907 65,171 69,023 73,683 76,969

49 27,249 28,941 31,555 33,930 36,818 40,534 42,010 43,366 45,889 48,335 50,866 53,670 55,265 57,079 62,038 66,339 70,222 74,919 78,231

50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 41,449 42,942 44,313 46,864 49,335 51,892 54,723 56,334 58,164 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490

51 28,735 30,475 33,162 35,600 38,560 42,365 43,874 45,261 47,838 50,335 52,917 55,775 57,401 59,248 64,295 68,669 72,616 77,386 80,747

52 29,481 31,246 33,968 36,437 39,433 43,281 44,808 46,209 48,813 51,335 53,942 56,827 58,468 60,332 65,422 69,832 73,810 78,616 82,001

53 30,230 32,018 34,776 37,276 40,308 44,199 45,741 47,157 49,788 52,335 54,967 57,879 59,534 61,414 66,548 70,993 75,002 79,843 83,253

54 30,981 32,793 35,586 38,116 41,183 45,117 46,676 48,106 50,764 53,335 55,992 58,930 60,600 62,496 67,673 72,153 76,192 81,069 84,502

55 31,735 33,570 36,398 38,958 42,060 46,036 47,610 49,055 51,739 54,335 57,016 59,980 61,665 63,577 68,796 73,311 77,380 82,292 85,749

56 32,490 34,350 37,212 39,801 42,937 46,955 48,546 50,005 52,715 55,335 58,040 61,031 62,729 64,658 69,919 74,468 78,567 83,513 86,994

57 33,248 35,131 38,027 40,646 43,816 47,876 49,482 50,956 53,691 56,335 59,064 62,080 63,793 65,737 71,040 75,624 79,752 84,733 88,236

58 34,008 35,913 38,844 41,492 44,696 48,797 50,419 51,906 54,667 57,335 60,088 63,129 64,857 66,816 72,160 76,778 80,936 85,950 89,477

59 34,770 36,698 39,662 42,339 45,577 49,718 51,356 52,858 55,643 58,335 61,111 64,178 65,919 67,894 73,279 77,931 82,117 87,166 90,715

60 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 50,641 52,294 53,809 56,620 59,335 62,135 65,227 66,981 68,972 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952

70 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 59,898 61,698 63,346 66,396 69,334 72,358 75,689 77,577 79,715 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215

80 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 69,207 71,145 72,915 76,188 79,334 82,566 86,120 88,130 90,405 96,578 101,879 106,629 112,329 116,321

90 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 78,558 80,625 82,511 85,993 89,334 92,761 96,524 98,650 101,054 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299

100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 87,945 90,133 92,129 95,808 99,334 102,946 106,906 109,141 111,667 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169

110 75,550 78,458 82,867 86,792 91,471 97,362 99,666 101,766 105,632 109,334 113,121 117,269 119,608 122,250 129,385 135,480 140,917 147,414 151,948

120 83,852 86,923 91,573 95,705 100,624 106,806 109,220 111,419 115,465 119,334 123,289 127,616 130,055 132,806 140,233 146,567 152,211 158,950 163,648

130 92,222 95,451 100,331 104,662 109,811 116,272 118,792 121,086 125,304 129,334 133,450 137,949 140,482 143,340 151,045 157,610 163,453 170,423 175,278

140 100,655 104,034 109,137 113,659 119,029 125,758 128,380 130,766 135,149 139,334 143,604 148,269 150,894 153,854 161,827 168,613 174,648 181,840 186,847

150 109,142 112,668 117,985 122,692 128,275 135,263 137,983 140,457 145,000 149,334 153,753 158,577 161,291 164,349 172,581 179,581 185,800 193,208 198,360

160 117,679 121,346 126,870 131,756 137,546 144,783 147,599 150,158 154,856 159,334 163,898 168,876 171,675 174,828 183,311 190,516 196,915 204,530 209,824

170 126,261 130,064 135,790 140,849 146,839 154,319 157,227 159,869 164,716 169,334 174,037 179,165 182,047 185,293 194,017 201,423 207,995 215,812 221,242

180 134,884 138,820 144,741 149,969 156,153 163,868 166,865 169,588 174,580 179,334 184,173 189,446 192,409 195,743 204,704 212,304 219,044 227,056 232,620

190 143,545 147,610 153,721 159,113 165,485 173,430 176,514 179,315 184,448 189,334 194,305 199,719 202,760 206,182 215,371 223,160 230,064 238,266 243,959

200 152,241 156,432 162,728 168,279 174,835 183,003 186,172 189,049 194,319 199,334 204,434 209,985 213,102 216,609 226,021 233,994 241,058 249,445 255,264


71

ANEXO 4

Tabla 4. Percentiles de la distribución F.

En este tipo de tablas se parte de los valoras conocidos de los grados de libertad m, n y la probabilidad acumulada 1-

, y se obtiene F, de la expresión:

-1 F) P(Fn m,

Lo que resulta interesante pera responder a la pregunta: Para una distribución F con m grados de libertad en el

numerador y n grados de libertad en el denominador, cual es el valor de F que deja a su izquierda una probabilidad

igual a 1- .

La tabla contiene en la filas superiores la referencia a las probabilidades y a los grados de libertad del numerador m,

en la columna de la izquierda los grados de libertad del denominador n, y donde se cruzan la fila y la columna

correspondientes se encuentra el valor de F.

72

Tabla 4. Percentiles de la distribución F.

-1 F) P(Fn m,

m

α 1 - α n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 30 60 120 1000

0,100 0,900 39,86 0,12 0,18 0,22 0,25 0,26 0,28 0,29 0,30 0,30 0,31 0,33 0,34 0,35 0,36 0,36 0,37

0,050 0,950 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 243,91 245,95 248,01 250,10 252,20 253,25 254,19

0,025 0,975 1 647,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,28 968,63 976,71 984,87 993,10 1001,41 1009,80 1014,02 1017,75

0,010 0,990 4052,18 4999,50 5403,35 5624,58 5763,65 5858,99 5928,36 5981,07 6022,47 6055,85 6106,32 6157,28 6208,73 6260,65 6313,03 6339,39 6362,68

0,005 0,995 16210,72 19999,50 21614,74 22499,58 23055,80 23437,11 23714,57 23925,41 24091,00 24224,49 24426,37 24630,21 24835,97 25043,63 25253,14 25358,57 25451,73

0,100 0,900 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 9,42 9,44 9,46 9,47 9,48 9,49

0,050 0,950 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,43 19,45 19,46 19,48 19,49 19,49

0,025 0,975 2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41 39,43 39,45 39,46 39,48 39,49 39,50

0,010 0,990 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 99,42 99,43 99,45 99,47 99,48 99,49 99,50

0,005 0,995 198,50 199,00 199,17 199,25 199,30 199,33 199,36 199,37 199,39 199,40 199,42 199,43 199,45 199,47 199,48 199,49 199,50

0,100 0,900 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,17 5,15 5,14 5,13

0,050 0,950 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,62 8,57 8,55 8,53

0,025 0,975 3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,34 14,25 14,17 14,08 13,99 13,95 13,91

0,010 0,990 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 27,05 26,87 26,69 26,50 26,32 26,22 26,14

0,005 0,995 55,55 49,80 47,47 46,19 45,39 44,84 44,43 44,13 43,88 43,69 43,39 43,08 42,78 42,47 42,15 41,99 41,85

0,100 0,900 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,84 3,82 3,79 3,78 3,76

0,050 0,950 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,75 5,69 5,66 5,63

0,025 0,975 4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,75 8,66 8,56 8,46 8,36 8,31 8,26

0,010 0,990 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,37 14,20 14,02 13,84 13,65 13,56 13,47

0,005 0,995 31,33 26,28 24,26 23,15 22,46 21,97 21,62 21,35 21,14 20,97 20,70 20,44 20,17 19,89 19,61 19,47 19,34

0,100 0,900 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27 3,24 3,21 3,17 3,14 3,12 3,11

0,050 0,950 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,56 4,50 4,43 4,40 4,37

0,025 0,975 5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,52 6,43 6,33 6,23 6,12 6,07 6,02

0,010 0,990 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,89 9,72 9,55 9,38 9,20 9,11 9,03

0,005 0,995 22,78 18,31 16,53 15,56 14,94 14,51 14,20 13,96 13,77 13,62 13,38 13,15 12,90 12,66 12,40 12,27 12,16

0,100 0,900 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,84 2,80 2,76 2,74 2,72

0,050 0,950 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,81 3,74 3,70 3,67

0,025 0,975 6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,37 5,27 5,17 5,07 4,96 4,90 4,86

0,010 0,990 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,72 7,56 7,40 7,23 7,06 6,97 6,89

0,005 0,995 18,63 14,54 12,92 12,03 11,46 11,07 10,79 10,57 10,39 10,25 10,03 9,81 9,59 9,36 9,12 9,00 8,89

0,100 0,900 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 2,63 2,59 2,56 2,51 2,49 2,47

0,050 0,950 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51 3,44 3,38 3,30 3,27 3,23

0,025 0,975 7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,67 4,57 4,47 4,36 4,25 4,20 4,15

0,010 0,990 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,47 6,31 6,16 5,99 5,82 5,74 5,66

0,005 0,995 16,24 12,40 10,88 10,05 9,52 9,16 8,89 8,68 8,51 8,38 8,18 7,97 7,75 7,53 7,31 7,19 7,09

0,100 0,900 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 2,46 2,42 2,38 2,34 2,32 2,30

0,050 0,950 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,15 3,08 3,01 2,97 2,93

0,025 0,975 8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,20 4,10 4,00 3,89 3,78 3,73 3,68

0,010 0,990 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,67 5,52 5,36 5,20 5,03 4,95 4,87

0,005 0,995 14,69 11,04 9,60 8,81 8,30 7,95 7,69 7,50 7,34 7,21 7,01 6,81 6,61 6,40 6,18 6,06 5,96


73

m

α 1 - α n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 30 60 120 1000

0,100 0,900 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,21 2,18 2,16

0,050 0,950 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01 2,94 2,86 2,79 2,75 2,71

0,025 0,975 9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,87 3,77 3,67 3,56 3,45 3,39 3,34

0,010 0,990 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,11 4,96 4,81 4,65 4,48 4,40 4,32

0,005 0,995 13,61 10,11 8,72 7,96 7,47 7,13 6,88 6,69 6,54 6,42 6,23 6,03 5,83 5,62 5,41 5,30 5,20

0,100 0,900 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,28 2,24 2,20 2,16 2,11 2,08 2,06

0,050 0,950 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,85 2,77 2,70 2,62 2,58 2,54

0,025 0,975 10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,62 3,52 3,42 3,31 3,20 3,14 3,09

0,010 0,990 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,71 4,56 4,41 4,25 4,08 4,00 3,92

0,005 0,995 12,83 9,43 8,08 7,34 6,87 6,54 6,30 6,12 5,97 5,85 5,66 5,47 5,27 5,07 4,86 4,75 4,65

0,100 0,900 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,96 1,93 1,91

0,050 0,950 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,47 2,38 2,34 2,30

0,025 0,975 12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 3,28 3,18 3,07 2,96 2,85 2,79 2,73

0,010 0,990 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,16 4,01 3,86 3,70 3,54 3,45 3,37

0,005 0,995 11,75 8,51 7,23 6,52 6,07 5,76 5,52 5,35 5,20 5,09 4,91 4,72 4,53 4,33 4,12 4,01 3,92

0,100 0,900 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,02 1,97 1,92 1,87 1,82 1,79 1,76

0,050 0,950 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,25 2,16 2,11 2,07

0,025 0,975 15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 2,96 2,86 2,76 2,64 2,52 2,46 2,40

0,010 0,990 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,67 3,52 3,37 3,21 3,05 2,96 2,88

0,005 0,995 10,80 7,70 6,48 5,80 5,37 5,07 4,85 4,67 4,54 4,42 4,25 4,07 3,88 3,69 3,48 3,37 3,27

0,100 0,900 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,89 1,84 1,79 1,74 1,68 1,64 1,61

0,050 0,950 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,20 2,12 2,04 1,95 1,90 1,85

0,025 0,975 20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,68 2,57 2,46 2,35 2,22 2,16 2,09

0,010 0,990 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,23 3,09 2,94 2,78 2,61 2,52 2,43

0,005 0,995 9,94 6,99 5,82 5,17 4,76 4,47 4,26 4,09 3,96 3,85 3,68 3,50 3,32 3,12 2,92 2,81 2,70

0,100 0,900 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,77 1,72 1,67 1,61 1,54 1,50 1,46

0,050 0,950 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,09 2,01 1,93 1,84 1,74 1,68 1,63

0,025 0,975 30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 2,41 2,31 2,20 2,07 1,94 1,87 1,80

0,010 0,990 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,84 2,70 2,55 2,39 2,21 2,11 2,02

0,005 0,995 9,18 6,35 5,24 4,62 4,23 3,95 3,74 3,58 3,45 3,34 3,18 3,01 2,82 2,63 2,42 2,30 2,19

0,100 0,900 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 1,60 1,54 1,48 1,40 1,35 1,30

0,050 0,950 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,84 1,75 1,65 1,53 1,47 1,40

0,025 0,975 60 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,51 2,41 2,33 2,27 2,17 2,06 1,94 1,82 1,67 1,58 1,49

0,010 0,990 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,50 2,35 2,20 2,03 1,84 1,73 1,62

0,005 0,995 8,49 5,79 4,73 4,14 3,76 3,49 3,29 3,13 3,01 2,90 2,74 2,57 2,39 2,19 1,96 1,83 1,71

0,100 0,900 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65 1,60 1,55 1,48 1,41 1,32 1,26 1,20

0,050 0,950 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 1,55 1,43 1,35 1,27

0,025 0,975 120 5,15 3,80 3,23 2,89 2,67 2,52 2,39 2,30 2,22 2,16 2,05 1,94 1,82 1,69 1,53 1,43 1,33

0,010 0,990 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,34 2,19 2,03 1,86 1,66 1,53 1,40

0,005 0,995 8,18 5,54 4,50 3,92 3,55 3,28 3,09 2,93 2,81 2,71 2,54 2,37 2,19 1,98 1,75 1,61 1,45

0,100 0,900 2,71 2,31 2,09 1,95 1,85 1,78 1,72 1,68 1,64 1,61 1,55 1,49 1,43 1,35 1,25 1,18 1,08

0,050 0,950 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,76 1,68 1,58 1,47 1,33 1,24 1,11

0,025 0,975 1000 5,04 3,70 3,13 2,80 2,58 2,42 2,30 2,20 2,13 2,06 1,96 1,85 1,72 1,58 1,41 1,29 1,13

0,010 0,990 6,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 2,34 2,20 2,06 1,90 1,72 1,50 1,35 1,16

0,005 0,995 7,91 5,33 4,30 3,74 3,37 3,11 2,92 2,77 2,64 2,54 2,38 2,21 2,02 1,81 1,56 1,39 1,18


Tabla 4. Percentiles de la distribución F (continuación).

-1 F) P(F

n m,

Nociones de probabilidad corregida septiembre 2015

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