1/22

KONTINUIRANI GREDNI NOSAČI

1. Opća razmatranja

Kontinuirani gredni nosač:

gredni nosač oslonjen na tri ili više oslonaca postavljenih na istoj visini, u pravilu opterećen samo vertikalnim opterećenjem u jednoj glavnoj centralnoj (središnjoj, težišnoj) ravnini inercije, a koji nema unutarnjih (Gerberovih) zglobova.

Statički neodređen gredni nosač!

2/22

Primjer: r raspona i (r+1) oslonac

y

l1 l2 l3 ln-1 ln ln+1 ln+2 lr-1 lr

z

1 2 3 n-1 n n+1 n+2 r-1 r

1 2 n-1 n n+1 r-1 r0

Slika 1. Kontinuirani gredni nosač s r raspona i (r + 1) osloncem

Statičke jednadžbe ravnoteže:

y x0 ; 0F M= =∑ ∑

Nosač je (r−1) puta statički neodređen.

3/22

1. način:

pretvoriti nosač u statički određen uklanjanjem unutarnjih oslonaca

y

l1 l2 l3 ln-1 ln ln+1 ln+2 lr-1 lr

z

1 2 3 n-1 n n+1 n+2 r-1 r

0 rFr-1n+1

Fn

Fn-1

F2

F1

F

Slika 2. Statički određen gredni nosač

Reakcije unutarnjih oslonaca:

1 2 n r 1, ,..., ,..., F F F F

−⇒ aktivne sile

4/22

Vrijednost reakcija unutarnjih reakcija mora biti takva da je zadovoljen (r−1)

dopunski uvjet:

1 2 n r 1

0, 0,..., 0,..., 0−

= = = =v v v v (1)

Moguće metode za određivanje progiba:

metoda integriranja diferencijalne jednadžbe elastične linije

grafoanalitička metoda

energijske metode:

• Castiglianova metoda

• Mohrova metoda

• Vereščaginova metoda

5/22

2. način:

metoda dekompozicije nosača ⇒ (r−1) jednadžba tri momenta

6/22

2. Jednadžba tri momenta

Elastična linija nosača je glatka krivulja (nema unutarnjih zglobova):

n-1 n n+1

ln-1 ln ln+1 ln+2

n

n

q( )z

z

Slika 3. Nagib tangente elastične linije nad n-tim unutarnjim osloncem

Uvjet kontinuiteta za n-ti oslonac:

n n

, (n 1,..., r 1)α α= = −l d (2)

7/22

Metoda dekompozicije → uvođenje unutarnjih zglobova nad osloncima:

n-1 n n+1

q( )z

z

Mn-1

Mn

Mn+1

Slika 4. Unutarnji zglobovi i reaktivni spregovi

Momenti reaktivnih spregova:

1 2 n r 1, ,..., ,..., M M M M

−

Momenati reaktivnih spregova mora biti takva da je zadovoljen uvjet iz izraza (2)!

8/22

Rasponi (n) i (n + 1):

Fn-1 Fnln

Mn-1

Mn

Fn+1ln+1Fn

Mn

Mn+1

n

Mn

n-1

Mn-1

Fn-1

n+1

Mn+1

Fn+1

q

D( )xM0q

D( )xM0

D( )xM

D( )xM

Mn

Mn+1

D( )xMMn-1

D( )xMMn

q( )z q( )z q( )zq( )z

Slika 5. Uz izvod teorema triju momenata

9/22

Grafoanalitička metoda (NOČ I): dijagrami momenata savijanja predstavljaju

fiktivno linijsko opterećenje ( )q z

nagib tangente nad n-tim osloncem n-tog raspona:

ln

an bnAn

An

ln /3

Mn

ln(2/3)

Mn-1 ln

2

2Mn ln

Tn

n

n-1M

F Fn-1 n

nn-1

y n nn

x x x

Q F F

EI EI EIα

−= − = − =

l l

l (3)

10/22

Uvjet ravnoteže za fiktivni oslonac (n – 1):

n 1 n n n n(n 1) n n n n n

20

2 3 2 3

M l l M lM F l A a l−

−

⋅ ⋅= → ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∑ l

n n n 1 n n nn

n 6 3

A a M l M lF

l

−⋅ ⋅ ⋅

= + +l

Iz izraza (3):

n n n 1 n n nn

x n

1

6 3

A a M l M l

EI lα −

⋅ ⋅ ⋅= + +

l (4)

11/22

nagib tangente nad n-tim osloncem (n + 1)-og raspona:

ln+1

An+1

An+1an+1 bn+1

ln+1

Mn+1

ln+1/3

(2/3)Mn ln+1

2

2Mn+1 ln+1

Tn+1

n

n n+1

FFn n+1

Mn

y nn

x x

Q F

EI EIα = − = −

d

d (5)

12/22

Uvjet ravnoteže za fiktivni oslonac (n + 1):

n n 1 n 1 n 1 n 1(n 1) n n 1 n 1 n 1 n 1

20

2 3 2 3

M l M l lM F l A b l+ + + +

+ + + + +

⋅ ⋅= → ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∑ d

n 1 n+1 n n 1 n 1 n 1n

n 1 3 6

A b M l M lF

l

+ + + +

+

⋅ ⋅ ⋅= + +

d

Iz izraza (5):

n 1 n+1 n n 1 n 1 n 1n

x n 1

1

3 6

A b M l M l

EI lα + + + +

+

⋅ ⋅ ⋅= − + +

d (6)

13/22

Izrazi (4) i (6) u uvjet iz izraza (2) → jednadžba tri momenta:

( ) n n n 1 n+1n 1 n n n n 1 n 1 n 1

n n 1

2 6A a A b

M l M l l M ll l

+

− + + +

+

⋅ ⋅⋅ + + + ⋅ = − ⋅ +

(7)

Za kontinuirani je nosač potrebno formirati onoliko jednadžbi iz

izraza (7) kolika je statička neodređenost tog nosača.

14/22

Ovaj je izraz prvi izveo francuski inženjer B. P. E. Clapeyron za slučaj

opterećenja raspona konstantnim linijskim opterećenjem q.

Clapeyron razvijao primjenu kod kontinuiranih nosača prilikom

rekonstrukcije mosta d'Asnières u blizini Pariza (1849).

Jednadžba tri momenta = Clapeyronova jednadžba.

15/22

2.1. Momenti savijanja i poprečne sile

ln

z

y

n-1 n

q( )z

Fn-1 Fn

M nMn-1 z

Slika 6. Opterećenje n-tog raspona kontinuiranog nosača

16/22

Reakcija oslonca (n – 1):

0 n 1 nn 1 n 1

n n

M MF F

l l

−

− −= − +

d (8)

Reakcija oslonca (n):

0 n 1 nn n

n n

M MF F

l l

−= + −l (9)

0

n 1F

− i 0

nF – reakcije oslonaca kada je n-ti raspon opterećen samo vanjskim

opterećenjem raspona

17/22

Moment savijanja u proizvoljnom presjeku z:

0 n 1 n

x x x x( )M z M M M−

= + + (10)

0

xM – moment savijanja zbog vanjskog opterećenja n-tog raspona

n 1

xM − – moment savijanja zbog sprega Mn–1 nad lijevim osloncem:

n 1 n 1 nx n 1 n 1

n n

M l zM M z M

l l

− −

− −

−= − ⋅ = ⋅ (a)

n

xM – moment savijanja zbog sprega Mn nad desnim osloncem:

n

x n

n

zM M

l= ⋅ (b)

18/22

Izrazi (a) i (b) → izraz (10):

0 nx x n 1 n

n n

( )l z z

M z M M Ml l

−

−= + ⋅ + ⋅ (11)

19/22

Poprečna sila u proizvoljnom presjeku z:

0 n 1 n

x x x xy

d d d d( )

d d d d

M M M MQ z

z z z z

−

= = + + (12)

0

0xy

d

d

MQ

z= (c)

n 1

x n n 1n 1

n n

d d

d d

M l z MM

z z l l

−

−

−

−= ⋅ = −

(d)

n

x nn

n n

d d

d d

M MzM

z z l l

= ⋅ =

(e)

20/22

Izrazi (c), (d) i (e) → izraz (12):

0 n 1 ny y

n n

( )M M

Q z Ql l

−= − + (13)

21/22

Vrijednost poprečne sile nad osloncima:

0 n 1 ny n 1 n 1 n 1

n n

0 n 1 ny n n n

n n

0M M

z Q Q F Fl l

M Mz l Q Q F F

l l

−

− − −

−

= → = = − + =

= → = = − − + = −

d d

l l

22/22

Združivanje svih raspona u jednu cjelinu (kontinuirani nosač):

ukupna reakcija oslonca (n) kontinuiranog nosača:

n n n n n

F Q Q F F= − = +d l d l (14)