NM405_02

ZEM�NLER�N ZEM�NLER�N KAYMA D�RENC�KAYMA D�RENC�

AÇIKLAMALARAÇIKLAMALAR• Normal Gerilme (σσσσ): Birim alana etkiyen ve

bu alana dik (normal) olan yüke denir.– Normal gerilmeler bir malzemeyi ya sıkı�tırmaya

ya da uzatmaya zorlarlar.• Kayma Gerilmesi (ττττ): Birim alana etkiyen ve

bu alana paralel olan yüke denir.bu alana paralel olan yüke denir.• Asal Gerilmeler (σσσσ1, σσσσ3): Kayma

gerilmelerinin sıfır oldu�u düzleme etkiyen normal gerilmelerdir.– Zeminler sadece sıkı�ma gerilmelerine

direnebilirler, çekme gerilmesi almazlar.

GER�LME (STRESS)GER�LME (STRESS)Gerilme kuvvetin alana bölünmesiyle elde edilir.Zeminler sadece sıkı�ma gerilmesi alır, çekme gerilmesi almazlar.

+F2F

(kN/m )+σ =

Ho Do

+F

2

2

F= Kuvvet (kN)

A=

F

Alan (m )

(kN/m )A+σ =

P / Aσ =

P P

A

xδ

B�R�M BOY DE��T�RMEB�R�M BOY DE��T�RMEZORLANMA (STRAIN)ZORLANMA (STRAIN)

Birim boy de�i�tirme (zorlanma): deformasyon miktarının (boy de�i�iminin) orijinal boyuta (ilk boya) bölünmesiyle bulunur. Enine veya boyuna olarak % cinsinden ifade ediliyor.

+Fx

x Dδ

ε = zz H

δε =x

2δ

Ho

Do

+F

zδ

xoD

ε = zoH

ε =

o

z

AA

1=

− ε

x

z

ευ =

εmantar ν=0zeminler ν~0.3

MALZEMELER�N GER�LME ALTINDA DAVRANI�IMALZEMELER�N GER�LME ALTINDA DAVRANI�I

gerilme-σ

Birim Boy De�i�imi , ε

Yumu�ak Çelik

ölçeksiz

ELAST�K MALZEMEELAST�K MALZEME

σ DD

HH

xz

∆=∆= εεHo

∆H

σz

“ELAST�K”; yükün kaldırılmasıyla orjinal �ekle dönü�ü ifade eder. *Elastik bir malzeme Hook Kanunu’ na uyar. *Buna göre zorlanma (deformasyon) gerilme ile orantılı olarak de�i�ir.

εσ=Eεz

E

1Hooke Kanunu

00

DH xz == εε

∆D/2Do

PLAST�K MALZEMEPLAST�K MALZEME

• Plastik malzemeler, üzerlerindeki yük kalkınca ilk �ekillerine dönmezler.

,σ τ

ε

ZEM�NZEM�N

• Bir ba�layıcı madde ile tamamen veya kısmen çimentolanmamı� de�i�ik türden mineraller, organik atıklar, su ve hava mineraller, organik atıklar, su ve hava karı�ımından olu�an bir gereçtir.

• Zeminler elastik malzemeler de�ildir.

• Zeminler elasto-plastik malzemeler olarak kabul edilirler.

,σ τ

ε

ELAST�K DENGEELAST�K DENGEZEM�NDE DO�AL GER�LMELERZEM�NDE DO�AL GER�LMELER

σ3τ σ

Do�al durumda zeminler elastik dengededir. Zemin kendi a�ırlı�ı altındadengededir, akıp gitmiyor. Gerilme dairesi kırılma zarfına te�et de�il.

τ

σ0 0 3 ( min)= ⇐ <x

z

K K zeσσ

σ3 σ1

c

φ

σ1

KIRILMA (KIRILMA (yenilme veya akma)’yenilme veya akma)’ NIN TEMS�L�NIN TEMS�L�

• Malzemenin direnci uygulanan gerilmeden dü�ükse yenilme meydana gelir ve PLAST�K DENGE olarak isimlendirilir.

• Bu durum gerilme dairelerinin kırılma zarfına te�et olmaları ile temsil edilir.

• Kırılma, gerilme dairelerinin kırılma zarfına te�et olması ile gerçekle�ti�ine göre bu durumda gerilmeler arasında bir ba�ıntı olmalı.

τ

σ

max f( )σ = τ = σ τ

σ1σ3σ

φ

c

c tanτ = + σ ⋅ φ

1 3N 2c Nφ φσ = σ +

PLAST�KPLAST�KDENGEDENGE

σσσσ3 σσσσ3

σσσσ1

σσσσ1

ττττ

��OBOB�=Yenilme Yok�=Yenilme Yok B=YenilmeB=Yenilme

cσ3 σ1

φττ

σ σ

cc--φφφφφφφφ ZEM�NDE PLAST�K DENGEZEM�NDE PLAST�K DENGE

1 3 N 2 c Nφ φσ = σ ⋅ + ⋅ ⋅

YEN�LEN ZEM�NDE (cYEN�LEN ZEM�NDE (c--φφφφφφφφ)) BÜYÜKBÜYÜK--KÜÇÜK ASAL GER�LME BA�INTISIKÜÇÜK ASAL GER�LME BA�INTISI

c c c c Costan d

Sind tan SinCos

⋅ φφ = =� = =φφ φ

φ

22 2 2 c 1 Sin

Sin Cos 1 Cos 1 Sin dSin

⋅ − φφ + φ = φ = − φ =� �

φ

( ) 11

dd AD BD AD AD Sin AD 1 Sin AD

1 Sinσ +

σ + = + = + ⋅ φ = ⋅ + φ =+

�φ

( ) 33

dd AD BD AD AD Sin AD 1 Sin AD

1 Sinσ +

σ + = − = − ⋅ φ = ⋅ − φ =−

�φ

BDSin BD AD Sin

ADφ = � = ⋅ φ

( )3 d AD BD AD AD Sin AD 1 Sin AD1 Sin

σ + = − = − ⋅ φ = ⋅ − φ =−

�φ

31 dd1 Sin 1 Sin

σ +σ +=

+ φ − φ

( ) ( ) ( ) ( )1 3d 1 Sin d 1 Sinσ + ⋅ − φ = σ + ⋅ + φ

( ) ( ) ( ) ( )1 31 Sin d 1 Sin 1 Sin d 1 Sinσ ⋅ − φ + ⋅ − φ = σ ⋅ + φ + ⋅ + φ

( ) ( ) ( ) ( )1 31 Sin 1 Sin d 1 Sin d 1 Sinσ ⋅ − φ = σ ⋅ + φ + ⋅ + φ − ⋅ − φ

( ) ( ) ( ) ( )1 31 Sin 1 Sin d 1 Sin d 1 Sin1 Sin 1 Sin 1 Sin 1 Sin

σ ⋅ − φ σ ⋅ + φ ⋅ + φ ⋅ − φ= + −

− φ − φ − φ − φ

2

1 31 Sin1 Sin 1 Sin

c 11 Sin Sin 1 Sin

− φ � �+ φ + φσ = σ ⋅ + ⋅ ⋅ −� �− φ φ − φ� �

1 31 Sin 1 Sin

d 11 Sin 1 Sin

� �+ φ + φσ = σ ⋅ + ⋅ −� �− φ − φ� �

2

1 31 Sin1 Sin 1 Sin 1 Sin

c1 Sin Sin 1 Sin

− φ � �+ φ + φ − + φσ = σ ⋅ + ⋅ ⋅� �− φ φ − φ� �

2

1 31 Sin1 Sin 2 Sin

c1 Sin Sin 1 Sin

− φ+ φ ⋅ φσ = σ ⋅ + ⋅ ⋅− φ φ − φ

1 3 2

1 Sin (1 Sin ) (1 Sin )2 c

1 Sin (1 Sin )+ φ − φ ⋅ + φσ = σ ⋅ + ⋅ ⋅− φ − φ

1 31 Sin 1 Sin

2 c1 Sin 1 Sin

+ φ + φσ = σ ⋅ + ⋅ ⋅− φ − φ

21 SinN tan 45

1 Sin 2φ+ φ φ� �= = +� �− φ � �

Akma Sayısı

1 3 N 2 c Nφ φσ = σ ⋅ + ⋅ ⋅

Kırılma Düzlemi 452φθ = +

Plastik Denge Denklemi

φφ ZEM�NDE PLAST�K DENGEZEM�NDE PLAST�K DENGE(c=0)(c=0)

1 3 Nφσ = σ ⋅

( ) 11 AD BD AD AD Sin AD 1 Sin AD

1 Sinσ

σ = + = + ⋅ φ = ⋅ + φ � =+ φ

( ) 33 AD BD AD AD Sin AD 1 Sin AD

1 Sinσ

σ = − = − ⋅ φ = ⋅ − φ � =− φ

BDSin BD AD Sin

ADφ = � = ⋅ φ

31 σσ= 31

1 Sin 1 Sinσσ

=+ φ − φ

1

3

1 Sin1 Sin

σ + φ=σ − φ

1 31 Sin1 Sin

+ φσ = σ ⋅− φ

1 3 Nφσ = σ ⋅

21 SinN tan 45

1 Sin 2φ+ φ φ� �= = +� �− φ � �

YUMU�AK K�LDE (NL K�L) KIRILMAYUMU�AK K�LDE (NL K�L) KIRILMA

τ

0=φc

1 3 2cσ = σ +

σ1σ

3σ

0=φc

d 2cσ =

MOHRMOHR--COULOMB KIRILMA KR�TER�COULOMB KIRILMA KR�TER�ττττ ve σσσσ arasında do�rusal bir ili�ki oldu�unu varsayıyor.

τ

max

YUMU�AK (NL) K�L

A�IRI KONSOL�

KUM

DE K�L (c- soil) tan

t

an= =

= +=s c

s

s

cφ σ

τ σ φ

φ

σ

YUMU�AK K�LLER�N KAYMA D�RENC� (NL K�L)YUMU�AK K�LLER�N KAYMA D�RENC� (NL K�L)

τ

σ

′τ

′σ

=s ctan′ ′=s σ φ

φ

c

A�IRI KONSOL�DE K�LLER�N KAYMA D�RENC� (OC K�L)A�IRI KONSOL�DE K�LLER�N KAYMA D�RENC� (OC K�L)

τ

σ

′τ

′σ

tan= + ⋅s c σ φ ( ) tan′ ′= + − ⋅s c uσ φ

c′c

φ ′φ

YATAY DÜZLEMDE SÜRTÜNME

(KAYMA D�RENC�)

Blok

W

N

Yüzey

1-Yanal itki yok (dengede)

W R

SS’

α

W R

tan= = τµ φσ

1-Yanal itki yok (dengede)

2-Yanal itki varHareket yok

(sürtünme direniyor)

3-Yanal itki varHareket var

(sürtünme yenildi)

NR’

φd

NR’

SS’

αmax

φ

=

=

SAlan

WAlan

τ

σ

KESME KUTUSU DENEY�KESME KUTUSU DENEY�

KESME KUTUSU DENEY�KESME KUTUSU DENEY�Yük

Kayma Yüzeyi

Drenaj Delikleri

Poroz Ta�

KESME KUTUSU KESME KUTUSU DENEY�DENEY�

Yük (P)Yük (P)

Yanal �tki (S)(Sabit de�il)

τ

δ

τ = SAlan

σ = PAlan

ZEM�NLER�N KES�LME ZEM�NLER�N KES�LME ESNASINDAK� DAVRANI�LARIESNASINDAK� DAVRANI�LARI

Sıkı kumA�ırı konsolide (OC) kil

τ

Gev�ek kumNormal konsolide (NL) kilHafif OCR killer (OCR≈2-3)

δ

KESME KUTUSU DENEY�NDE KESME KUTUSU DENEY�NDE NORMAL GER�LME NORMAL GER�LME -- KAYMA D�RENC�KAYMA D�RENC�

τ τ

3σ

δ σ

1σ

2σ

1σ 2σ 3σKesme Hareketi �

Normal Gerilme

kumda c=0 antan t = ⋅⋅ � =+c τ στ σ φ φ


1. NUMUNE1. NUMUNE

σσσσσσσσ=100 kPa=100 kPa

Yanal �tki (S)

τ

δ

100

58

= =

= =

PkPa

AlanS

kPaAlan

σ

τ

58


Yanal �tki (S)


2. NUMUNE2. NUMUNE

τ

δ

115

200

115

= =

= =

PkPa

AlanS

kPaAlan

σ

τ


Yanal �tki (S)


3. NUMUNE3. NUMUNE

τ

δ

175

300

175

= =

= =

PkPa

AlanS

kPaAlan

σ

τ

PROBLEMPROBLEMZemin örnekleri üzerinde yapılan kesme kutusu deneyinde a�a�ıdaki sonuçlar alındı�ına göre, bu zeminin türünü tahmin ediniz.

σσσσ 100 200 300ττττmax 58 115 175

τ

c=0 φ=30°Zemin Türü KUM

τ

σ100 200 300

58

115

175

030=φ

PROBLEMPROBLEM

Zemin örnekleri üzerinde yapılan kesme kutusu deneyinde a�a�ıdaki sonuçlar elde edildi�ine göre; bu zeminlerin türünü tayin ediniz.

σσσσ (kPa) 100 200 300 Simge

ττττ1 (kPa) 62.5 124.9 187.6 �

ττττ2 (kPa) 185.4 226.7 265.1 ��

ÜÇ ÜÇ EKSENL�EKSENL�HÜCRE HÜCRE HÜCRE HÜCRE KESME KESME DENEY�DENEY�

YÜK, σσσσσσσσdeviatördeviatör

Yükleme Pistonu

ÜÇ EKSENL� HÜCRE KESME DENEY DÜZENE��ÜÇ EKSENL� HÜCRE KESME DENEY DÜZENE��

Yükleme Ba�lı�ı

Plexiglas Hücre

Zemin Numunesi

Koruyucu Membran

VanaHücre Basıncı, σσσσσσσσ33

Halka Conta (O-Ring)

Poröz Ta�

Drenaj

Bo�luk Suyu Basıncı Öçümü(u(uww))

ÜÇ EKSENL� HÜCRE KESME DENEY�ÜÇ EKSENL� HÜCRE KESME DENEY�

YÜK, σσσσσσσσdeviatördeviatörσ

ετσσσσσσσσ σσσσσσσσ

σ d

Vana

σ

HücreBasıncı

σσσσσσσσ33

σσσσσσσσ33 σσσσσσσσ33

3σσ d

1σ

1 3= +dσ σ σ

ÜÇ EKSENL� HÜCRE KESME DENEY�ÜÇ EKSENL� HÜCRE KESME DENEY�

ÜÇ EKSENL� HÜCRE KESME DENEY� SONUÇLARIÜÇ EKSENL� HÜCRE KESME DENEY� SONUÇLARI

σσσσ3 σσσσ3

σσσσ1

σσσσ1

ττττ

PROBLEM:PROBLEM: Dört adet üç eksenli hücre kesme deneyi sonucu a�a�ıda verilmi�tir. Kayma direnci parametrelerini hesaplayınız. E�er bu zemin kesme kutusunda 200 kPa’ lık normal bir gerilmede kesilecek olsa idi kayma direnci ne olacaktı?

σσσσ3 (kPa) 50 100 200 300

σσσσ1 (kPa) 150 300 600 700

�kiden fazla deney sonucu oldu�u için grafik çözüm yapmalıyızτ

300

c=0 φ=30° � tan 0 200 tan 30 115= + ⋅ = + ⋅ =c kPaτ σ φ

50 100 150 200 300 600 700 σ

PROBLEM:PROBLEM: Deney sonuçları tabloda verilen kum zemin için, 100 kPa normal gerilme altında kayma direncini hesaplayınız.

Üç deney sonucu verildi�inden grafik çözüm uygun olacaktır. Üç deney sonucu verildi�inden grafik çözüm uygun olacaktır.

Deney No Hücre Basıncı (kPa) Deviator Gerilme Büyük Asal Gerilme (kPa)

1 100 277.5 377.5

2 200 524.0 724.0

3 300 770.0 1070.0

1 3= −dσ σ σ3σ 1 3= +dσ σ σ

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

σ (kPa)

τ(k

Pa)

100

200

300

400

500 φ=34

c=0 ve φ=34°: KUM; qu=0 olur.

tan 0 100 tan 34 67.5= + ⋅ = + ⋅ =s c kPaσ φ

200τ

PROBLEM PROBLEM Bir kil numunesi üzerinde yapılan üç eksenli konsolidasyonsuz-drenajsız (UU) deneyinde a�a�ıdaki sonuçlar alınmı�tır. Buna göre; zeminin türünü, kohezyonunu ve kayma direnci açısını bulunuz.

DeneyNo Hücre Basıncı σσσσ3 (kPa)

Deviatör Gerilme σσσσd (kPa)

Büyük Asal Gerilme σσσσ1 (kPa)

1 100 140 240

2 200 135 335

3 300 150 4501 3= −deviatörσ σ σ

100 200 300 400

100

σ

τ de�erlerinden ortalama bir do�ru geçirilir

φ=0

Zeminin Türü: Normal Yüklenmi� Kil

70 67.5 7571

3+ += =c kPa

SERBEST BASMA DENEY�SERBEST BASMA DENEY�A�ırı Konsolide (OC) KilA�ırı Konsolide (OC) Kil

Yumu�ak (NL) Kil Yumu�ak (NL) Kil Kırılma Zarfı (kabul)

τ

σ

σ

zε

2= uq

c

uq

��

��

��

��

� ��

��

��

� ��

PROBLEMPROBLEM:: Bir kil numunesi üzerinde tek eksenli serbest basma deneyi (UC) yapılmı�tır. Kilin direndi�i maksimum yük 127 N ve bu esnada dü�ey boy kısalması 0.8 mm’ dir. Silindirik zemin numunesi 38 mm çapa ve 76 mm boya sahiptir. Buna göre mohr dairesini çiziniz ve drenajsız kayma direncini (su) tayin ediniz.

11-- Yenilme anında numune alanını hesapla:Yenilme anında numune alanını hesapla:2 2

4 200

44 2

0.03811.3 10

4 40.8 11.3 10

0.01 11.4 10 76 1 1 0.01

−

−−

= = = ×

×= = = � = = = ×− −

ozz

o z

DA m

AA m

H

π π

δεε

22-- Yenilme anında asal gerilmeleri hesapla:Yenilme anında asal gerilmeleri hesapla:

3' 0� =UC de Çevre Basıncı Yok σ 3

3

1 4

' 0

127 10111.4

11.4 10

−

−

� =

×= = =×

UC de Çevre Basıncı Yok

PkPa

A

σ

σ

33-- Drenajsız kayma direncini (sDrenajsız kayma direncini (suu) hesapla:) hesapla:

1 3 111.4 055.7

2 2− −= = =us kPa

σ σ

44-- Mohr dairesinde göster:Mohr dairesinde göster: τ

σ

55.7

111.4

PROBLEMPROBLEM:: Bir zeminin qu de�eri 130 kPa olarak veriliyor. Aynı zemin qu’ya e�de�er hücre basıncında üç eksenli olarak denendi�inde ölçülen deviatör gerilme 230 kPa ise bu zeminin kayma direnci parametrelerini bulunuz ve türünü belirleyiniz.

1- Serbest basma deneyinde � σ3=0 1 130= =uq kPaσ

2- σ3=130 1 3 130 230 360= + = + =d kPaσ σ σAnalitik Analitik ÇÇözümözüm

1 3 2

130 0 2

360 130 2

= ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅

N c N

N c N

N c N

φ φ

φ φ

σ στ200

Grafikten c=50 kPa (kohezyon) φ=16° (kayma direnci açısı) bulunur.

Zemin türü c-φ zemini

0

2

360 130 2

2301.769

130

ta

1

n 45 1.7692

13

6

0 2 49

= ⋅ + ⋅ ⋅

= =

� �= + =� ��

= ⋅ ⋅

=

� =c kP

N

N

c a

c N

N

N

φ φ

φ

φ

φ

φ

φσ50=c

100 200 300 400

100

PROBLEMPROBLEM:: Serbest basma dayanımı qu=100 kPa olan yumu�ak kil ve kayma direnci açısı φ=30° olan kum için σ-τ diyagramı çizerek kırılma zarflarını i�aretleyiniz. Bu zeminlerin ρd=20 kN/m3 ise yüzeyden 5 m derinlikte kayma direnci denklemlerini yazınız.

KumKum

τ

NL KilNL Kil

Kayma direnci denklemleriKayma direnci denklemleri

100 50

2 2� = = = =uq

NL K�L s c kPa

tan tan 5 20 tan 30 57.7� = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =KUM s z kPaσ φ ρ φ

σ100

030=φ

PROBLEM:PROBLEM: A�a�ıda kesiti verilen zeminden alınan numuneler üzerinde üç eksenli kesme deneyi yapılmı�tır. Buna göre kesitte a) efektif gerilmenin, b) kayma direncinin derinlikle de�i�imini gösteren σσσσ−−−−ττττ do�rularını çiziniz.

UU Deney Sonuçları ( UU Deney Sonuçları ( σσσσσσσσdeviatördeviatörmaxmax ))

σσσσσσσσ33 100100 200200

σσσσσσσσd(d( SPSP)) 7070 140140

σσσσσσσσd(d( CH)CH) 5959 5555

KUMKUM

2 m

3 m

8 m

YASS318.5 /=n kN mρ322.1 /=d kN mρ

318.7 /=d kN mρ

a) EFEKT�F GER�LMEa) EFEKT�F GER�LME

KUMDA KUMDA

( )2

5

2 18.5 37

37 3 22.1 9.81 73.9

= ⋅ =

= + ⋅ − =m

m

kPa

kPa

σσ

K�LDE K�LDE ( )13 73.9 8 18.7 9.81 145.1= + ⋅ − =m kPaσ

K�LK�L

b) KAYMA D�RENC�b) KAYMA D�RENC�

KUMDA KUMDA

1 3 2= ⋅ + ⋅ ⋅N c Nφ φσ σ

σσσσ3(SP) 100 200

σσσσd(SP) 70 140

σσσσ1(SP) 170 3401 3 max= + deviatörσ σ σ

1 3

2

2

340 200

170 100

100 170 1.70

tan 45 1.702

15 tan15

= ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅

= ⋅

⋅ = � =

� �= + =� ��

� = °� = ⋅

N c N

N

N

N N

N

s

φ φ

φ

φ

φ φ

φ

σ σ

φ

φ σ

τ

σ100 200 300 400

100

170 340

015=φ

0

59 5

0

52 302

30

.11 0.037

+� �� = ≅

= = + ⋅

= =

uP

cs c veya

c

I

kPa

s c kPa

σ

K�LDE K�LDE

σσσσ3( CH) 100 200

σσσσd( CH) 59 55

σσσσ1( CH) 159 2551 3= + dσ σ σ

τ

σ100 200 300 400

100

00=φ30 ≅c kPa

Efektif Gerilme, Efektif Gerilme, σσσσσσσσ’’ Kayma Direnci, sKayma Direnci, s

100 200 300 400159 255

2 m

3 m

8 m

318.5 /=n kN mρ322.1 /=d kN mρ

318.7 /=d kN mρ

37 2 18.5= ×

74 37 3 (22.1 9.81)= + × −

145 74 8 (18.7 9.81)= + × −

tan15� = ⋅KUM s σ

30= =K�L

s c kPa

9.9 37 tan15= ⋅

19.8 74 tan15= ⋅

30= =s c

30= =s c

NM405_02

Documents

Transcript of NM405_02