Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKPPříklady nelineárních problémů...

Nelineární úlohy při

výpočtu konstrukcí s

využitím MKP

Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP

Obsah přednášky

Lineární a nelineární úlohy

Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..)

Příklady nelineárních problémů

Teorie kontaktu, Hertzova teorie

Kontaktní úloha

Příprava modelu pro kontaktní úlohu, okrajové podmínky

Dostupné výsledky u softwarových nástrojů pro řešení kontaktu

Tření v kontaktu

Příklad na výpočet kontaktního napětí


Lineární versus nelineární

Historické nazírání na jevy v přírodě – prvotní lineární

vztahy. Pojem nelineární vznikl druhotně

Leonardo da Vinci – první uvažoval lineární vztah

mezi dvěma veličinami

Newtonův druhý zákon – lineární vztah mezi silou a

zrychlením

Hookeův zákon - lineární vztah mezi napětím a

přetvořením σ = E ε


Lineární versus nelineární

Svět v němž žijeme je obecně nelineární řešení

mechaniky kontinua (oblast pevných těles) vede obecně

na nelineární úlohu

Lineární modely jsou stále užitečným nástrojem pro

řešení většiny úloh

Pokud jsou lineární modely užity mimo oblast platnosti

dávají zpravidla nesmyslné výsledky



konstruktér se musí rozhodnout, co chce počítat a

posoudit fyzikální chování zkoumaného děje, lineární

předpoklady, případné zdroje nelinearit



Nelineární modely jsou složité. Aby výsledek analýzy byl věrohodný je

třeba znát:

Zkoumaný fyzikální jev

Matematický model a předpoklady pro jeho sestavení

Matematické nástroje pro řešení úlohy a jejich omezení

Zdroje nelinearit



Předpoklady na nichž je postavena lineární mechanika kontinua pro

oblast pevných těles

Malé posuvy

posuvy ui jsou malé vůči rozměrům tělesa

Malá přetvoření (řádu 10-2 a menším)

platí Cauchyho kinematické vztahy

Platnost Hookeova zákona

Podmínky rovnováhy se vztahují k nedeformované konfiguraci



Často předpokládáme další podmínky pro kontinuum

Homogenní kontinuum – identické materiálové vlastnosti v celém

objemu tělesa

Isotropní kontinuum – materiálové vlastnosti jsou nezávislé na

směru



Platnost Hookeova zákona

F = K u F ≠ K u

Lineární závislost síla – posunutí nelineární závislost síla - posunutí



Princip superpozice – výsledné posunutí, napětí, deformace způsobené

několika zatěžujícími silami je algebraický součet jejich hodnot pokud

působí samostatně

+ =

Pro nelineární úlohy nelze aplikovat princip superpozice



Podmínky rovnováhy

Po výpočtu posuvů následuje výpočet sil z podmínky rovnováhy pro

nedeformovanou konstrukci

Fx – R1 - R2 cos α = 0

Fy – R2 sin α = 0

Napětí se též vztahuje k nedeformované konstrukci


Typy nelinearit

geometrická nelinearita - velká posunutí, malá přetvoření

např. deformace nosníků, skořepin, porušení stability u namáhání

na vzpěr

materiálová nelinearita – nelineární jsou pouze konstitutivní vztahy

např. plasticita, viskoelasticita

materiálová a geometrická nelinearita

např. rázové děje, tváření

nelinearita v okrajových podmínkách

např. kontakt, šíření trhliny


Příklady nelineárních problémů

Kontakt čep-pánev

Tváření plechů Tažení trubek

Zatížená skleněná

deska

Namáhání pneumatiky

Crash testy –čelní

náraz

Deformace plechovky



1,2 jsou Poissonova čísla

E1, E2 moduly pružnosti v tahu

Znaménko + pro konvexní stykové plochy, - pro konkávní stykové plochy

• kontaktní úloha řeší problém interakce těles, které se navzájem

dotýkají a působí na sebe silami.

• vztah mezi zatěžující silou a vypočtenými deformacemi a

napětími není lineární

• kontaktní plocha se zvětšuje nelineárně s rostoucím zatížením

– kontaktní plocha závisí na deformaci modelu



Kontaktní procesy pevných těles

Dva základní případy:

• v dotykovém bodě např. koule-koule

• v dotykové přímce např. válec-válec



Příklad na kontaktní namáhání


Typickou úlohou modelování mechanických soustav je kontaktní

problém

Kontaktní vazba dvou těles je nelineární, přenáší sílu ve směru

tlaku ale nikoliv ve směru tahu. Přenáší-li vazba tlak, pak není

dopředu známo rozložení kontaktního tlaku a není známa ani

velikost a tvar kontaktní plochy.

Pro vybrané úlohy je známo Hertzovo řešení, s tím se však pro

modelování praktických úloh nevystačí.

Komerční programové balíky, určené pro modelování mechaniky

kontinua metodou konečných prvků, dnes již nabízí řadu nástrojů

pro řešení tohoto problému.

Kontaktní úloha


Kontaktní úloha

Kontaktní úloha popisuje interakci mezi tělesy z hlediska

vzájemného silového působení a dodržení podmínek kompatibility

a nepropustnosti. Na obrázku je znázorněn jednoduchý příklad

možného uspořádání kontaktní úlohy.


Kontaktní úloha

• Kontaktní úlohy jsou úlohy vysoce nelineární a tudíž velmi náročné

jak z hlediska zkušeností výpočtáře, tak z hlediska SW a HW

vybavení.

• V praxi se vyskytují dva základní typy kontaktů těles: tuhá tělesa -

poddajná tělesa a poddajná tělesa - poddajná tělesa.

• Kontakt se může definovat buďto jako kontakt dvou ploch, které

působí vzájemně na sebe jako kontaktní pár, nebo jako self-kontakt,

který interaguje sám se sebou

• K definování kontaktu je potřeba vybrat plochy, které interagují mezi

sebou. Tento proces je u některých komerčních softwarů realizován

automaticky.


Kontaktní úloha

Klasifikace kontaktních úloh

Klasifikace podle způsobu diskretizace kontaktních ploch.

Tři základní kontaktní algoritmy:

• node-to-node,

• node-to-surface,

• surface-to-surface.


Kontaktní úloha

Výhody algoritmu surface-to-surface

• Podporuje kontakt elementů vyšších řádů

• Podporuje úlohy s velkými deformacemi

• Poskytuje větší přesnost výsledků a hladší rozložení napětí

• Významná penetrace se u tohoto algoritmu objevuje výjimečně

a je případně rovnoměrně rozložena.

• Nemá žádná významnější omezení pro geometrii kontaktních

povrchů


Příprava modelu pro kontaktní úlohu

• definice kontaktu - manuální nebo automatický výběr

kontaktních ploch

• přizpůsobit hustotu sítě v předpokládaných kontaktních

plochách

• využít symetrie modelu

• vytvořit co nejjednodušší model - potlačit detaily

• pro analýzu uvažovat pouze část modelu pokud je to možné

• okrajové podmínky – stupeň volnosti

• zvážit potřebu vyšetření vzájemného pohybu kontaktních ploch

• zvážit využití dokonale tuhého tělesa



Využití dokonale tuhého tělesa

•Přinese zkrácení výpočtového času.

•Tuhé těleso je soubor uzlů, elementů a ploch,

•Pohyb dokonale tuhého tělesa může být předepsán v jediném uzlu -

referenční uzel tělesa.

•Referenční uzel má šest stupňů volnosti. Relativní pozice uzlů a

ploch, jako částí dokonale tuhého tělesa, zůstávají během simulace

stejné. Proto se příslušné elementy nedeformují, mohou se jen

pohybovat.

•Tuhá tělesa mohou interagovat jak mezi sebou, tak i s poddajnými

tělesy.



Využití dokonale tuhého tělesa

• Tuhá tělesa mohou být použita pro velmi tuhé komponenty.

• Mohou být použita k modelování vazeb mezi ideálními tělesy a

poskytnout výhodnou metodu k určení kontaktní interakce.

• Dají se s výhodou aplikovat při zjednodušování modelů v místech,

která nejsou z hlediska analýzy stěžejní.

• Největší výhodou tuhých těles je jejich výpočetní nenáročnost.

Výpočet není proveden pro elementy tohoto tělesa, pouze se

přepočítá pohyb referenčního uzlu.


Dostupné výsledky při kontaktní analýze

• výsledná síla přenesená přes kontaktní plochu

• velikost kontaktní plochy

• maximální kontaktní tlak

• průměrná hodnota kontaktního tlaku

• tečná síla při uvažování tření

• parametr deklarující pohyb v tečném směru


Tření v kontaktu

• v kontaktu obvykle dochází ke tření

• Coulombův model tření

• koeficient tření statický, dynamický

• vyšetření vzájemného pohybu kontaktních ploch

pro F ≤ mN: Ff=F

Fs=0

pro F > mN: Ff=0

Fs=F


Příklad: výpočet kontaktního napětí v axiálním ložisku vřetena

• software Mechanica Structure (CREO)

• kontaktní plochy: kulová a rovinná

• využití osové symetrie modelu –

rovinná úloha

• zadání okrajových podmínek symetrie

• zahuštění sítě v kontaktu

Kontaktní plochy


Zahuštění sítě v kontaktních plochách

Příklad: výpočet kontaktního napětí v axiálním ložisku vřetena

Průběh kontaktního napětí

Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKPPříklady nelineárních problémů...

Documents

Transcript of Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKPPříklady nelineárních problémů...