NAIZMENIČNE STRUJE

Naizmenične struje predstavljaju vremenski promenljive struje koje stalno menjaju

intenzitet, a povremeno i smer. Za dobijanje naizmenične struje koriste se generatori

naizmenične struje, tzv. alternatori.

dr Jasna Radulović, vanr. prof.

MATEMATIČKO PREDSTAVLJANJE NAIZMENIČNIH STRUJA

Izvori napajanja u kolima naizmenične struje su prostoperiodične elektromotorne sile, pa su i struje i naponi, kao odzivi kola, takođe prostoperiodične (sinusne ili kosinusne)funkcije vremena, obeležavaju se malim slovima u(t), i(t), ili u, i i nazivaju se naizmeničnim naponima ili naizmeničnim strujama.

2/4

i3(t)

i1(t)i

T

i2(t)

t

I3

I1

I2

2

3

tItIti cos2cos)( m1

4/cos2)cos()( 2m2 tIψtIti

2/πωcos2)ωcos()( 3m3 tIψtIti

1. Trenutne vrednosti struja:

Vremenski dijagrami: Fazorski dijagram:

2. Fazori struja:

4π222 III

0111 III

2π333 III

Umesto fazorskog predstavljanja u elektrotehnici se najčešće radi sa kompleksnimveličinama, tj, projekcijama fazora na x (realnu) i y (imaginarnu) osu, u Gausovoj ravni.

ir IIIIIeI jsinjcosj

tIeIti t cos2Re2 j

3. Kompleksni predstavnici struja:

.j

),j1(2

2

3

2

1

II

II

II

22

ir III r

i

I

Iarctg

I

rI

iIj

Re

Im

Veza izmedju kompleksnih predstavnika i odgovarajućih trenutnih vrednosti:

Moduo i argument kompleksnog broja:

tUtUu m ωcos2ωcos

ir UUUUUeU jsinjcosj 3. Kompleksni predstavnik napona:

1. Trenutna vrednost napona:

2. Fazor napona:

UU

Kolo sa teromogenom otpornošću

+

R

i

u

2

i(t)

t

UT

u(t)

I

u, i

.cos2cosm tItIti tRItRitu cos2

IRU

Elementi kola u kojima se naročito ispoljava pojava pretvaranja električnog radau toplotu, nazivaju se termogeni otpornici, njihova karakteristika je termogena otpornost R.

0

Napon na krajevima otpornika je u fazi sa strujom,

RZ R GR

Y R 1Impedansa otpornika: Admitansa otpornika:

Kolo sa kalemomElementi kola u kojima se naročito ispoljava pojava pretvaranja električnog radau magnetnu energiju i obratno, nazivaju se kalemovi, njihova karakteristika je induktivnost kalema L.

2

i(t)

t

U

T

u(t)

I

u, i

+ u

L

i

2/cos22/cos2sind

dm tUtIXtIL

t

iLtu L

IXU Lj LX L - reaktivna otpornost idealnog kalema reaktansa kalema

Struja kroz idealni kalem kasni u odnosu na napon za

2

.

2π

LZ L jωL

Y Ljω

1- impedansa kalema - admitansa kalema

Kolo sa kondenzatorom

+ u

C

i

Elementi kola u kojima se naročito ispoljava pojava pretvaranja električnog radau elektrostatičku energiju i obratno, nazivaju se kondenzatori, njihova karakteristika je kapacitivnost kondenzatora C.

2

i(t)

t

U

Tu(t)

I

u, i

tC

Itti

CC

tqtu sind

1 m 2/cos2 tUtu

IXU CjC

X C

1

Struja kroz kondenzator prednjači u odnosu na napon za 2π

- reaktivna otpornost kondenzatora reaktansa kondenzatora

CCZ C

ω

1j

jω

1 CY C jω- impedansa kondenzatora -admitansa kondenzatora

Kolo sa rednom R, L, C vezomCR L

U

RU LU

I

CU

U

UCUL

UR I

CLR UUUU

IZIC

LRU

ω

1ωj

XRC

LRZ jω

1ωj

22 XRI

UZ .arctan

R

X

CL XXC

LX

1

,IRU R ,j ILU L ,j/ CIU C

)()( tute

- reaktansa kola

IUR

UL

UC

U

- impedansa kola

Moduo i faza impedanse:

jZeZ

SNAGA U KOLIMA NZS

cosUIP sinUIQ UIS

Aktivna snaga: Reaktivna snaga: Prividna snaga:

Trougao snaga

S

P

Q

22 QPS

S

Pcos - Faktor snage

W VAr VA

QPSSSS

QQ

PPP

jsinjcose2

πje

e

j

2

πj

0j

jjjj* eeee UIUIIUIUS

Kompleksni predstavnici snaga:

METODE REŠAVANJA EL. MREŽA1. Direktna primena Kirhofovih zakona

1Čnm

Algebarska suma struja koje se sustičuu jednom čvoru električne mreže jednaka je nuli

0ti

Prvi Kirhofov zakon:

0kI

Algebarska suma trenutnih vrednosti elektromotornih sila po proizvoljnojzatvorenoj konturi električnog kola jednaka je algebarskoj sumi

trenutnih vrednosti napona na svim elementima te konture.

Drugi Kirhofov zakon:

)()( tute IZE

1Čgk nnn

0)( IZE

2. Metoda transfiguracije mreže

1Z nZ eZ

2Z

2Z

1Z

nZ

eZ

n

iie ZZ

1

n

i ie ZZ 1

11

132312

23133

132312

23122

132312

13121

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

1Z

2Z3Z

13Z 12Z

23Z

1

23

1

23 1

323223

2

313113

3

212112

Z

ZZZZZ

Z

ZZZZZ

Z

ZZZZZ

3. Tevenenova teorema

Električna mreža

A

B

A

B

eT ZZ TAB EU 0

+

Složena otpornička mreža (isključene

ems iz kola)

U odnosu na bilo koja dva kraja mreže, mreža sa naizmeničnom strujom se ponaša kao realni naponski generator čija je ems jednaka naponu na tim priključcima (Tevenenova ems), a unutrašnja impedansa je jednaka ekvivalentnoj impedansi između tih priključaka (Tevenenova impedansa).

T

T

ZZ

EI

Električna mreža Z

A

B

I

A

B

TE

TZ Z I

4. Metoda konturnih struja

1Čgk nnn

kkkkkII2kI1k

22kk2II22I21

11kk1II12I11

...

...

...

EIZIZIZ

EIZIZIZ

EIZIZIZ

TROFAZNI SISTEMIPolifazni sistemi (Nikola Tesla) služe za prenos električne energije od polifaznih generatora do polifaznih prijemnika. Polifazni generatori imaju q priključaka, tzv. faza i jedan neutralni ili nulti priljučak (uzemljen). Polifazni prijemnici takodje imaju q priključaka i nulti priključak. U praksi se najčešće koriste trofazni sistemi, q=3.

Trofazni generator

N 1 2 312U 23U

31U1fU

2fU

3fU

+

+

+

+

+

+

3l

f

UU

,V380lU V220fU

V220e j01 ff UU

Ve220e 120j2

3

2π-j ff UU

Ve220e 120j3

4πj-

3

ff UU

V,e380e j30j302112

lff UUUU

V,380je380e -j90-j903223

lff UUUU

.Ve380e j150j1501331

lff UUUU0231 fff UUU

Veza trofaznih prijemnika u zvezdu

0

0

1I

2I

3I

0I

1Z2Z

3Z

1. sa nultim vodom

3210 IIII 1

1

1Z

UI f

2

2

2Z

UI f

3

33

Z

UI f

Struje faza prijemnika u isto vreme su i struje u linijama

fl UU 3

Veza trofaznih prijemnika u zvezdu

1

2

3

+

Uf1Z

Z

ZUf2

Uf3+

+

0

11 lf II

22 lf II

33 lf II

12U

23U

31U

2. bez nultog voda (simetričan sistem)

Z

UII flf

111

03210 IIII

Z

UII f

lf

2

22 Z

UII f

lf

3

33

Veza trofaznih prijemnika u trougao

1

121

Z

UI f

2

232

Z

UI f

3

313

Z

UI f

1

2

3

U31

U12

U23

Il1

Il2

Il3

If1 If3

If2

Z Z

Z

311 ffl III 122 ffl III 233 ffl III

fl II 3

Snaga trofaznog sistemaDa bi se izmerila snaga trofaznog simetričnog potrošača, priključenog na trofazni simetrični sistem napona, dovoljno je da se izmeri snaga jedne faze.Prividna, aktivna i reaktivna snaga simetričnog trofaznog potrošača su tri puta veće od odgovarajuće snage jedne faze,

2

1 333 fff ZIIUSS

2

1 3cos33 fff RIIUPP

2

1 3sin33 fff XIIUQQ

TEST PITANJA1. Napisati izraz za struju koja se menja po prostoperiodičnom

zakonu – trenutna vrednost struje.2. Napisati izraz za napon koji se menja po prostoperiodičnom

zakonu – trenutna vrednost napona.3. Nacrtati fazorski dijagram napona i struje za kolo sa termogenim

otpornikom.4. Nacrtati fazorski dijagram napona i struje za kolo sa kalemom.5. Nacrtati fazorski dijagram napona i struje za kolo sa

kondenzatorom.6. Napisati izraz za impedansu rednog R, L, C kola.7. Čemu je jednaka aktivna, reaktivna i prividna snaga u kolima NZS

(jedinice).8. Čemu je jednaka prividna, aktivna i reaktivna snaga simetričnog

trofaznog potrošača.

Napomena: za UI (usmeni ispit) svaki naslov na početku slajda je pitanje.