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Processamento Digital de Sinais – Aula 19 – Professor Marcio Eisencraft – abril 2012
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Aula 19 - Representação de sistemas no domínio Z
Bibliografia
� OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, 2a edição, Pearson, 2010. ISBN 9788576055044.
Páginas 462-470.
� HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, 2001. ISBN 8573077417. Páginas 466-476.
6.5. Representação de sistemas no domínio Z
� De forma semelhante à função de resposta em frequência ( )ωjeH , podemos
definir no domínio Z a função de sistema ou função de transferência ( )zH .
Definição 1: A função de sistema
A função de sistema ( )zH é definida como
( ) [ ][ ] [ ]∑∞
−∞=
−==n
nznhnhZzH ; +− << hh RzR
� Usando a propriedade da convolução, podemos escrever que para uma saída
[ ]ny devido a uma entrada [ ]nx ,
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )zXzHzYnxnhny =⇒∗=
� Assim, o sistema LIT no domínio Z fica:
6.5.1. Função de sistema a partir da representação por equações de diferen-
ças
� Quando um sistema LIT é descrito por uma equação de diferenças
Processamento Digital de Sinais – Aula 19 – Professor Marcio Eisencraft – abril 2012
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[ ] [ ] [ ]∑∑==
−=−+MN
k
k nxbknyany01 l
ll ,
sua função de sistema pode ser facilmente computada. Tomando a transformada
Z dos dois lados e usando suas propriedades, temos:
( ) ( ) ( )∑∑=
−
=
− =+MN
k
k
k zXzbzYzazY01 l
l
l
Ou
( )( )( )
( )( ) ( )N
NN
MMM
N
k
k
k
M
azz
b
bzzb
zA
zB
za
zb
zX
zYzH
++
++
==
+
==−
−
=
−
=
−
∑
∑
L
L
l
l
l
0
0
1
0
1
� Fatorando, obtemos:
( )( )
( )∏
∏
=
=−
−
−
=N
k
k
M
kMN
pz
zz
zbzH
1
10
l
em que l
z ’s são os zeros e kp ’s são os pólos do sistema.
� Assim, ( )zH (e, portanto o sistema LIT) pode ser representado no domínio Z
usando um gráfico de pólos e zeros.
Obs: Se a função de sistema tiver uma RDC englobando a circunferência unitá-
ria, então para calcular ( )ωjeH basta tomar ( )zH e fazer ωjez = .
Teorema: Um sistema LIT causal é estável se e somente se a função de sistema
tiver todos os seus pólos dentro da circunferência unitária, ou seja, 1<kp ,
Nk ,,1,0 K= .
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Exercícios
1. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 98) Dado o sistema causal:
[ ] [ ] [ ]nxnyny +−= 19,0
(a) Encontre ( )zH e esboce seu gráfico de pólos e zeros.
(b) Faça um gráfico de ( )ωjeH e ( )ωjeH∠ .
(c) Determine a resposta impulsiva [ ]nh .
2. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 101) Dado um filtro causal com:
( )81,009,0
12 +−
+=
zz
zzH ,
encontre:
(a) sua resposta em frequência
(b) sua representação por equações de diferenças
(c) Sua resposta impulsiva
3. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 103) Um sistema LIT causal é descrito pela
seguinte equação de diferenças:
[ ] [ ] [ ] [ ]2281,0 −−+−= nxnxnyny
Determine:
(a) a função de sistema ( )zH
(b) a resposta ao impulso unitário [ ]nh
(c) a resposta ao degrau [ ]ns
(d) a resposta em frequência.
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Lembre-se que para sequências causais, temos:
Figura 1 – Tabela de transformadas Z (LATHI, 1998).