EN2610 - Aula 15 - Propriedades da...
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Processamento Digital de Sinais – Aula 15 – Professor Marcio Eisencraft – abril 2012
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Aula 15 Propriedades da TFD Bibliografia
� OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER. Discrete-time signal processing, 3rd. ed., Prentice-Hall, 2010. ISBN
9780131988422. Páginas 647-672.
� CARLSON, G. E. Signal and linear system analysis, 2nd ed., John Wiley, 1998, ISBN 0471124656. Pági-
nas 644-661.
4.2.2. Propriedades
A. Linearidade
� É válida para TFDs de mesmo comprimento N . Quando os sinais têm com-
primentos diferentes, podem-se acrescentar zeros a um deles e a linearidade
continua valendo como mostra a Figura 1.
Figura 1 – Linearidade da TFD.
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B. Deslocamento Circular
� Dado o par N
TFD
x n X k ↔ com N amostras, se [ ]nx1 for obtido deslocando-
se circularmente [ ]nx de m amostras, teremos o par:
[ ] [ ] [ ]kXekXnxkm
NjTFDN
π2
11 =↔ .
� A Figura 2 a seguir ilustra o deslocamento circular em contraposição ao des-
locamento linear.
Figura 2 – Propriedade do deslocamento circular da TFD.
C. Convolução
� Dadas duas sequências [ ]nx1 e [ ]nx2 com, respectivamente, 1N e 2N pontos,
temos os seguintes casos:
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� Se tomarmos as TFDs’ com 3N pontos com 1213 −+≥ NNN usando acrésci-
mos de zeros, então vale:
[ ] [ ] [ ] [ ]kXkXnxnxNTFD
2121
3
⋅↔∗
� Se tomarmos as TFDs com ( ) 1,max 21321 −+<< NNNNN então temos de usar a
convolução circular:
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]kXkXRnxnxNTFD
N 2121
3
3⋅↔⊗
� A Figura 3 a seguir ilustra os dois casos.
Figura 3 – Exemplos de convolução circular.
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Exercícios
1. Realizar a convolução circular entre os sinais [ ]nx1 e [ ]nx2 indicados abaixo
utilizando uma periodicidade de 4 amostras.
Figura 4 – Sinais do Exercício 1.
2. Para o sistema indicado a seguir, obter a saída [ ]ny utilizando-se da convolu-
ção circular de forma que forneça o mesmo resultado da convolução linear.
Figura 5 – Sistema do Exercício 2.
3. Transformar os sinais [ ]nx1 e [ ]nx2 em sinais periódicos de período 10=N
amostras.
Figura 6 – Sinais do Exercício 3.
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4. Suponha um sinal discreto no tempo e aperiódico [ ]nz1 de comprimento 5
amostras e um outro sinal discreto no tempo e aperiódico [ ]nz2 de compri-
mento 27 amostras. Deseja-se realizar a convolução circular entre estes dois
sinais de forma que o resultado seja o mesmo da convolução linear. Quantos
zeros devem ser inseridos em [ ]nz1 e quantos zeros devem ser inseridos em
[ ]nz2 antes de se realizar a convolução?
D. Convolução de dois sinais
� Revisando o que já vimos:
� Para convolução linear vale
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )ωωω jjjTFTD eXeXeXnxnxnx 213213 = →←∗=
� Para a convolução circular vale
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kXkXkXnxnxnx TFD213213 = →←⊗=
� Para a convolução linear, se o comprimento de [ ]nx1 é 1N , o comprimento de
[ ]nx2 é 2N e o comprimento de [ ]nx3 é 3N , vale 1213 −+= NNN .
� Para a convolução circular de comprimento N , vimos que se 121 −+> NNN ,
não há superposição e o resultado é o mesmo da linear. Se 121 −+< NNN
ocorre superposição.
� Já vimos que o processo de filtragem consiste numa convolução linear.
[ ]nh
[ ]nx [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑−
=
−=∗=1
0
N
k
knhkxnhnxny
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� Para o cálculo de [ ]ny são necessárias da ordem de 2N multiplicações e
( )1N N − somas (N é o comprimento de [ ]nx e [ ]nh ).
� Como existem métodos bastante eficientes para o cálculo da TFD (algoritmos
FFT = “Fast Fourier Transform”), uma forma de implementação mais rápida
da convolução é:
Figura 1 – Implementação da convolução através da TFD (NABARRETE)
� Neste diagrama, a FFT é tomada com um número suficiente de pontos para
que não ocorra superposição.
� Este é um exemplo de processamento homomórfico: técnica através da qual
se utiliza uma transformação para outro domínio, opera-se no outro domínio e
retorna-se ao domínio original.
Casos especiais de duas sequências
i) Para duas sequências finitas
[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 ∗= com 112 −+ NN amostras para [ ]ny implementado por meio de
[ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
+=⊗r
rNnynxnx 21 desde que 121 −+≥ NNN e não haverá superposição ou
o chamado aliasing de convolução.
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ii) Caso de uma sequência finita e outra infinita
� Neste caso, uma das possibilidades é utilizar o método “overlap-add”.
� Seja [ ]nh com M pontos e [ ]nx de comprimento infinito e causal.
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� Fazemos a segmentação
[ ] [ ] ( ) −+≤≤
=contrário caso ,0
11 , LpnpLnxnx p
� Desta forma [ ] [ ]∑∞
=
=0p
p nxnx .
� Assim, a convolução linear será dada por:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
=∗=∗
=∗=
000 pp
pp
eLinearidad
pp nynhnxnhnxnhnxny
� Cada uma das parcelas [ ]ny p pode ser calculada utilizando-se uma TFD de
comprimento 1−+ ML .
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Exercício
1. Tem-se um sistema indicado abaixo com resposta ao impulso unitário [ ]nh .
Deseja-se aplicar um sinal de entrada de comprimento bastante grande (500
amostras) e esta realização deve ser feita em “tempo real”, isto é, não pode-
mos esperar todo o sinal de entrada para em seguida fazer a convolução.
Deve-se, portanto, utilizando o método “Overlap-Add” particionar o sinal de
entrada em blocos de comprimento máximo L como indicado abaixo:
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(a) Para um comprimento L igual a 10: i) Em quantos blocos foi realizada a di-
visão? ii) Qual o tamanho máximo do sinal de saída [ ]ny ?
(b) Para um comprimento L igual a 7 observamos que a divisão não fornece um
valor inteiro: i) Em quantos blocos pode ser realizada a divisão e o que fazer
com o último bloco? ii) Qual o tamanho máximo do sinal de saída [ ]ny ?
2. (2051) (SOLIMAN; SRINATH, 1997, p. 449) Dados os sinais:
[ ]
[ ]
=
−−=
↑
↑
1;0;0;1
1;1;2;1
nh
nx
,
(a) Calcule [ ]ny , resultado de um período da convolução circular com 4 pontos entre eles;
(b) Calcule as TFDs [ ]kX e [ ]kH com 4 pontos.
(c) Obtenha novamente [ ]ny do item (a) utilizando as propriedades da TFD.