Mustafa Sezer PEHLİVAN · 2018-10-05 · ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER Bir polinomu, iki...

Mustafa Sezer PEHLİVAN

Yüksek İhtisas Üniversitesi

Beslenme ve Diyetetik Bölümü

*

Doğal Sayılar, N={0,1,2,3,…,n,…}

Tam Sayılar, Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Rasyonel Sayılar, Q={p/q: p,q Z ve q≠0}

İrrasyonel Sayılar, I= {p/q şeklinde ifade edilemeyen sayılar }

Reel Sayılar R=QUI

NZQR

SAYILAR


a ve b iki reel sayı ve a<b olsun.

{x R: a<x<b} şeklinde tanımlanan reel sayı kümesine a

ve b sayıları ile belirtilen açık aralık denir ve (a,b)

şeklinde gösterilir.

{x R: a≤x≤b} şeklinde tanımlanan reel sayı kümesine a

ve b sayıları ile belirtilen kapalı aralık denir ve [a,b]

şeklinde gösterilir.

(a,b]={x R: a<x≤b}

[a,b)={x R: a≤x<b}yarı açık aralık denir.


a ve b sayısı iki reel sayı olsun. a + r = b olacak şekilde

pozitif bir r sayısı mevcut ise;

a sayısı b’den küçüktür veya b sayısı a’dan büyüktür

denir ve a<b ile gösterilir.


Teorem:

1) a<b ise a+c<b+c

2) a<b ise a-c<b-c

3) a<b ve c>0 ise a.c<b.c

4) a<b ve c<0 ise a.c>b.c

5) a<b ve a.b>0 ise1

𝑎>

1

𝑏

6) a<b ve c>0 ise𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐

c<0 ise𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐


EBOB / OBEBEn Büyük Ortak Bölendir – Ortak Bölenlerin En Büyüğü

Büyük parçalardan küçük küçük parçalar elde ediliyorsa yani

büyükten küçüğe gidiliyorsa ebob/obeb bulunur. Verilen sayılar

asal çarpanlarına ayrılır ve ortak bölen sayılar çarpılıp ebob/obeb

bulunur.

Örnek: 80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki demir çubuk, boyları

birbirine eşit parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın uzunluğu en fazla

kaç cm olur?

ebob/obeb (80,120) = 2.2.2.5 = 40 cm Mustafa Sezer PEHLİVAN

EKOK / OKEKEn Küçük Ortak Kat – Ortak Katların En Küçüğü

Küçük küçük parçalardan büyük parçalar elde ediliyorsayani küçükten büyüğe gidiliyorsa ekok/okek bulunur.Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır, bölenlerin hepsiçarpılır ekok/okek bulunur.

Örnek: Bir hastanede hasta yatakları katlara 4'er , 5'er , 6'şarolarak dağıtıldığında her defasında 1 yatak artıyor. Bunagöre, en az kaç tane yatak vardır?

ekok/okek (4,5,6) = 2.2.3.5 = 60

60 + 1 = 61 yatakMustafa Sezer PEHLİVAN

Bir a reel sayısının mutlak değeri,

= + 𝑎, 𝑎 > 0

= - 𝑎, 𝑎 < 0 şeklinde tanımlanır.

a ister negatif ister pozitif olsun tanıma göre 𝑎 daima pozitiftir.

Ayrıca 𝑎 2 = 𝑎2 ve 𝑎 = 𝑎2 yazılabilir.

Mutlak değer, sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığını

ölçer.

𝑎

MUTLAK DEĞER


Teorem:

𝑎 ≥ 0

− 𝑎 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎

−𝑎 = 𝑎 ve 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎

𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏

𝑎. 𝑏 = 𝑎 . 𝑏

𝑎𝑛 = 𝑎 𝑛

𝑎

𝑏=

𝑎

𝑏, b≠0 olmak üzere

Her p pozitif sayısı için,

𝑎 = 𝑝 ise 𝑎 = 𝑝 veya 𝑎 = −𝑝

𝑎 < 𝑝 ise −𝑝 < 𝑎 < 𝑝

𝑎 > 𝑝 ise a < −𝑝 𝑣𝑒 𝑎 > 𝑝 Mustafa Sezer PEHLİVAN

ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILARa herhangi bir sayı ve n pozitif bir tamsayı olmak üzere;

𝑎. 𝑎. 𝑎 … 𝑎 çarpımına 𝑎’nın n-inci dereceden kuvveti denir

n tane

ve 𝑎𝑛 olarak gösterilir.

𝑎 ≠ 0 olmak üzere 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 ve 𝑎0 = 1 olarak tanımlanır.


Buna göre;

24 = 2.2.2.2 = 16

(−2)3= −2 . −2 . −2 = −8

5−3 =1

53=

1

5.5.5.=

1

125

70 = 200 = (−10)0= 1

olur.


Teorem:

a, b ∈ 𝑅+ ve m, n ∈ 𝑁 için

𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 (𝑎 ≠ 0)

(𝑎𝑚)𝑛= 𝑎𝑚.𝑛

(𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛

Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri

negatiftir.


n bir tamsayı ve a reel bir sayı olmak üzere,

1) (−𝑎)2𝑛= 𝑎2𝑛 ifadesi daima pozitiftir.

2) (−𝑎2𝑛) = −𝑎2𝑛 ifadesi daima negatiftir.

3) (−𝑎)2𝑛+1= −𝑎2𝑛+1

ifadesi a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.


a≥0 ve n herhangi bir pozitif tamsayı olmak üzere, n-inci

kuvveti a olan bir tek pozitif reel sayı vardır. a’nın n-inci

kuvvetten kökü denilen bu sayı 𝑛 𝑎 ile gösterilir.

Teorem:

𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅+ 𝑣𝑒 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁 için

𝑛

𝑎𝑛 = 𝑎


𝑛

𝑎. 𝑏 = 𝑛 𝑎𝑛

𝑏

𝑛 𝑎

𝑏=

𝑛 𝑎𝑛

𝑏, (b ≠ 0)

𝑚 𝑛 𝑎 = 𝑚.𝑛 𝑎

Eğer n tek ise, a’nın negatif değerleri içinde 𝑛 𝑎tanımlanabilir. Bu durumda 𝑛 𝑎, n- inci kuvveti a olan birnegatif sayıdır.

3−8 = −2

5−32 = −2

7−1 = −1


Verilen bir köklü sayıyı kökten kurtarmak için çarptığımız

sayıya, verilen köklü sayının eşleniği adı verilir. Bazı köklü

sayıların eşleniği aşağıdaki gibidir;

𝑎 eşleniği 𝑎

𝑎 + 𝑏 eşleniği 𝑎 − 𝑏



𝑎 𝑏 + 𝑐 eşleniği 𝑎 𝑏 − 𝑐

Not: Eşlenik çarpımı sonucu iki kare farkı elde edilir. 𝑎 + 𝑏 . 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2


İÇ İÇE KÖKLER

𝑚

𝑎𝑛

𝑏𝑘 𝑐 =𝑚.𝑛.𝑘.

𝑎𝑛.𝑘 . 𝑏𝑘 . 𝑐

𝑚 𝑛 𝑘 𝑎 = 𝑚.𝑛.𝑘. 𝑎

𝑎. 𝑎. 𝑎 … 𝑎 = 𝑎2𝑛−1

22

n tane 𝑎


SONSUZ KÖKLER

𝑛

𝑎.𝑛

𝑎. 𝑛 𝑎 … = 𝑛−1 𝑎

𝑛

𝑎:𝑛

𝑎: 𝑛 𝑎: … = 𝑛+1 𝑎

𝑛

𝑎.𝑚

𝑎.𝑛

𝑎. 𝑚 𝑎 … =𝑚.𝑛−1

𝑎𝑚+1

𝑛

𝑎.𝑚

𝑏.𝑛

𝑎.𝑚

𝑏 … =𝑚.𝑛−1

𝑎𝑚. 𝑏

𝑛

𝑎 +𝑛

𝑎 +𝑛

𝑎 + ⋯ =1+ 4𝑎+1

2

𝑛

𝑎 −𝑛

𝑎 − 𝑛 𝑎 − ⋯ =−1+ 4𝑎+1

2Mustafa Sezer PEHLİVAN

1) 1 − 𝑥 = 2 ise x=? 7) (32) Τ4 5. (16) Τ5 4işleminin sonucunu

hesaplayınız.

2) 𝑥 − 1 ≤ 3 ise x’in aralığını bulunuz. 8) 12 − 3 =? işleminin sonucunu

hesaplayınız.

3) 3𝑥 + 12 > 0 ise x’in aralığını

bulunuz.9) 2 108 + 3 75 = 𝑎 27 ise a’nın

değerini hesaplayınız.

4) 16.4.36 =? işleminin sonucunu

hesaplayınız. 10)

3

2−

5

8

6− 5= ? işleminin sonucunu

hesaplayınız.

5) −0,00001 =? işleminin sonucunu

hesaplayınız.11)

8+ 12

12− 8− 6 işleminin sonucunu

hesaplayınız.

6) (8𝑎6) Τ4 3 işleminin sonucunu

hesaplayınız.12)

1

3+1+

1

5+ 3+

1

7+ 5+

1

7+3

işleminin sonucunu hesaplayınız.

CEBİR

Matematiğin en önemli konularından olan cebir, özellikle

sayısal işlem yapma, verilen bir bağıntının uygulanması,

bağıntılarda bir değişkenin belirlenmesi gibi çok sayıda

konuyu içermektedir.

Değişken, sabit, parametre ile bunların toplamlarını,

farklarını, çarpımlarını ve bölümlerini içeren, üslü, köklü

ifadeleri de bulunduran fakat eşitlik veya eşitsizlik

içermeyen ifadelere cebirsel ifade denir.Mustafa Sezer PEHLİVAN

Değişken: Farklı değerler alabilen büyüklüktür. 𝑥, 𝑦, 𝑧 gibi

Sabit: Her zaman aynı kalan büyüklüktür. 5, 10 , 12, −7 gibi

Parametre: Bazen sabit, bazen de değişken olarak işlem

gören büyüklüğe denir.

𝑚𝑥 + 8 m: parametredir, her türlü değer alabilir.

x: değişken

8: sabittir.

3𝑥 − 7 3: parametre, x: değişken, -7 sabittir.


Sayılarda 4 işlem (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme)

yapılırken işaretlere dikkat edilmesi gerekiyor.

Toplama ve çıkarma yapılırken, aynı işaretli sayılar kendi içinde

toplanır, farklı işaretli sayılarda ise mutlak değerce büyük

olandan küçük olan çıkarılır ve büyüğün işareti verilir.

Çarpma ve bölme işlemlerinde aynı işaretli olanların çarpımı

veya bölümü pozitif, farklı işaretli olanların çarpımı veya bölümü

negatiftir.

CEBİRSEL İŞLEMLER


Not: Dört işlemden önce varsa kuvvet alma işlemi

gerçekleştirilir. Parantezli ifadelerden kurtulduktan

sonra işlemlere geçilir.


1) −89+9 :(−2)2+ −2 .(−5)

−1.(−10) :10=? işleminin sonucunu hesaplayınız.

2) −4 + 3 − 11 − (−10) : −6 − −1 + (−2)2 =? işleminin

sonucunu hesaplayınız.

3) −136 :(34) . −11 − −5 +(−2)2

−6 − −1 +(−1)200 =? işleminin sonucunu hesaplayınız.

4) (−1)121+(−2)3−10

− 141 0+ −3 .(−2)

5

=? işleminin sonucunu hesaplayınız.


Harfli işlemeler yapılırken de aynı mantıkla çözümlenir.

5) 2𝑚− 𝑚− 2𝑚−𝑛 −𝑛 −3𝑚

− 𝑚−𝑛 − − 2𝑚−𝑛 −3𝑛 −𝑚=? işleminin sonucunu hesaplayınız.

6) 2𝑟− 𝑝−3 𝑟−2𝑝 −2𝑟 −7𝑟

− 𝑟−𝑝 − −𝑝− 2𝑝−3𝑟 +4𝑟=? işleminin sonucunu hesaplayınız.


İstenileni diğer değişken türünden yazmak.

7) x − 2y =4𝑥−3𝑦

5ise x’in y türünden değerini hesaplayınız.

8) a, x ∈ 𝑅 olmak üzere 2𝑎−𝑥

3−

𝑥+3𝑎

4=0 ise x’in değerini a türünden

bulunuz.

9) 𝑥 − 𝑥.𝑦

𝑥− 1 − 𝑦 𝑥 + 1 = 0 ise y’nin değerini hesaplayınız.


ÇARPANLARA AYIRMA VE

ÖZDEŞLİKLER

Bir polinomu, iki veya daha çok polinomun çarpımı biçiminde

yazmaya, verilen polinomu çarpanlara ayırma denir.

Çarpanlara Ayırma Metodları

Çarpanlara ayırma konusu ile ilgili soruları birkaç metod ile

çözebiliriz.


1. Ortak Çarpan Parantezine Alma

Her terimde ortak olan çarpanlar, bütün çok terimlinin ortak

çarpanı olarak yazılır.

Ortak çarpan; terimlerin katsayılarının O.B.E.B.’ i ile ortak

harflerin üssü en küçük olanlardan oluşur.

𝑥𝑎 ± 𝑥𝑏 ± 𝑥𝑐 = 𝑥(𝑎 ± 𝑏 ± 𝑐)


Örnek:

12𝑥2𝑦2 − 6𝑥𝑦3 + 18𝑥4𝑦4 ifadesini çarpanlara ayıralım.

Çözüm:

Katsayıları 12, -6 ve 18’dir.

(12, -6, 18) = 6 dır.

Ortak harfler x ve y’dir. x’lerin üssü en küçük olanı x,

y’lerin en küçük olanı 𝑦2 dir.

O halde; ortak çarpan 6𝑥𝑦2dir.


2. Gruplandırma Yöntemi

Tüm terimler; aynı ortak çarpan parantezine sahip değilse,

terimler uygun şekilde (ortak parantez olacak şekilde)

ikişerli, üçerli… v.b gruplara ayrılır.

Her grup kendi ortak çarpan parantezine alınarak işleme

devam edilir.


Örnek:

ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b)

=(a + b).(x + y)

Örnek:

2x-2ax-3a+3 𝑎2 = 2x.(1 - a) - 3a.(1 - a)

= (1 - a).(2x - 3a)


3. Tam Kare Şeklindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması

Örnek:

9𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 4𝑦2 ifadesini çarpanlara ayıralım.

Çözüm:

9𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 4𝑦2

9𝑥2 = 3𝑥 4𝑦2 = 2𝑦

2. 3𝑥 . (2𝑦) (2. terim)

Böylece;

9𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 4𝑦2 = (3𝑥 + 2𝑦)2


4. 𝒙𝟐 + 𝑴𝒙 + 𝑵 Şeklindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması

𝑥1. 𝑥2 = 𝑁𝑥1 + 𝑥2 = 𝑀

olacak şekilde 𝑥1 ve 𝑥2 sayıları bulunabilirse

𝑥2 + 𝑀𝑥 + 𝑁 = 𝑥 + 𝑥1 . 𝑥 + 𝑥2

şeklinde çarpanlara ayırma işlemi yapılır.


𝑥2 − 7𝑥 + 10 ifadesini çarpanlara ayırınız.

(-2)+(-5) (-2).(-5)

-7 ve 10 sayıları yukarıdaki biçimde yazılabildiğinden ifade

𝑥2 − 7𝑥 + 10 = x − 2 . (x − 5)

şeklinde yazılabilir.


𝑥2 − 5𝑥 − 6 ifadesini çarpanlara ayırınız.

(-6)+(+1) (-6).(+1)

𝑥2 − 5𝑥 − 6 = x − 6 . (x + 1)



5. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Şeklindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması

𝑎𝑥2 = 𝑝𝑥. 𝑞𝑥𝑐 = 𝑚. 𝑛

𝑏. 𝑥 = 𝑚. 𝑝 + 𝑛. 𝑞 . 𝑥

olarak yazılabilirse

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑝𝑥 + 𝑛 . (𝑞𝑥 + 𝑚)


ve

NOT: 1.terimin çarpanları ile 3. terim çarpanları seçilir. Bu çarpanlar, çapraz çarpılıp

toplandığında 2. terimin işareti ile birlikte veriyorsa seçimler doğru yapılmıştır.Mustafa Sezer PEHLİVAN

Örnek:

3𝑥2 − 𝑥 − 2 ifadesini çarpanlara ayıralım.

3𝑥2 = 3𝑥. 𝑥−2 = +2 . (−1)

−𝑥 = 3. −1 + 2.1 . 𝑥

elde edildiğinden

3𝑥2 − 𝑥 − 2 = 3𝑥 + 2 . (𝑥 − 1)


6𝑥2 − 13𝑥 + 6 ifadesini çarpanlara ayıralım.

3x -2

3x.(− 3)+2x.(− 2)=(− 9x)+(− 4x)= − 13x

2x -3

6𝑥2 − 13𝑥 + 6 = 3𝑥 − 2 . (2𝑥 − 3)

olarak yazılır.


6. İki Kare Farkı Şeklindeki İfadelerin Çarpanlara

Ayrılması

𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 − 𝑏 . (𝑎 + 𝑏) eşitliğine iki kare farkı denir.

Örnek:

𝑥2 − 25 = 𝑥2 − 25= 𝑥 − 5 . 𝑥 + 5

İki kare farkında, ifadelerinin köklerinin toplamları ve

farkları çarpan olarak yazılır.


7. İki Kare Farkına Dönüştürerek Çarpanlara Ayırma

Verilen çok terimli; terim ekleme ve çıkarma veya

gruplandırma ile iki kare farkı biçimine getirilerek

çarpanlara ayrılır.

𝑎2 − 𝑏2 − 4𝑎 + 4 ifadesini çarpanlarına ayıralım

𝑎2 − 𝑏2 − 4𝑎 + 4 = 𝑎2 − 4𝑎 + 4 − 𝑏2

= (𝑎 − 2)2−𝑏2

= 𝑎 − 2 + 𝑏 . 𝑎 − 2 − 𝑏

Tam kare ifadesi

İki kare farkı


8. İki Küp Toplamı veya Farkının Çarpanlara Ayrılması

𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 . (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 . (𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏2)

Örnek:

𝑎3 + 8 ifadesini çarpanlara ayıralım.

𝑎3 + 8 = 𝑎3 + 23

= 𝑎 + 2 . (𝑎2 − 2𝑎 + 4)


9. Tam Küp Biçimindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması

(𝑎 + 𝑏)3= 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

(𝑎 − 𝑏)3= 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3

eşitlikleri vardır.


NOT :

İki sayının küpler toplamı ile bu sayıların toplamının küpü

birbirine eşit değildir.

𝑎3 + 𝑏3 ≠ 𝑎 + 𝑏 3

İki sayının küpler farkı ile bu sayıların farkının küpü

birbirine eşit değildir.

𝑎3 − 𝑏3 ≠ (𝑎 − 𝑏)3


10. 𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 ve 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 İfadelerinin Çarpanlara Ayrılması

𝑛 ∈ 𝑁+ ise

𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = 𝑎 − 𝑏 . (𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2. 𝑏 + ⋯ + 𝑏𝑛−1)

𝑛 ∈ 𝑁+ ve n tek ise𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = 𝑎 + 𝑏 . (𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2. 𝑏 + 𝑎𝑛−3. 𝑏2 − ⋯ + 𝑏𝑛−1)

Not: n çift sayı ise 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ifadesi çarpanlarına ayrılmaz.


Örnek:

𝑎5 − 1 = 𝑎 − 1 . (𝑎4 + 𝑎3 + 𝑎2 + 1)

𝑎5 + 32 = 𝑎 + 2 . (𝑎4 − 2𝑎3 + 4𝑎2 − 8𝑎 + 16)

𝑥3 − 𝑦3 = 𝑥 − 𝑦 . (𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2)


Önemli Özdeşlikler

(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2= 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 + 𝑏)3= 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

= 𝑎3+𝑏3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)


(𝑎 − 𝑏)3= 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3

= 𝑎3−𝑏3 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)

(𝑎 + 𝑏)2= (𝑎 − 𝑏)2+4𝑎𝑏

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2= 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)


1) 𝑥 = 196, 𝑦 = 4, 𝑎 = 38 𝑣𝑒 𝑏 = 2 için𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2

𝑎3+3𝑎2𝑏+3𝑎𝑏2+𝑏3 ifadesinin değeri

kaçtır?

2) x ve y pozitif gerçel sayılar olmak üzere;

3𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 8𝑦2 = 0 olduğuna göre6𝑥+𝑦

3𝑥−𝑦işleminin sonucunu hesaplayınız.

3) x pozitif gerçel sayı olmak üzere, 𝑥4 − 7𝑥2 + 1 = 0 ise 𝑥3 +1

𝑥3 işleminin


4) 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 = 0 𝑥. 𝑦 = 2 olduğuna göre (𝑥 + 𝑦)2 işleminin sonucunu

hesaplayınız.


5) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 𝑣𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 12 olduğuna göre 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 toplamı

kaçtır?

6) 𝑥 −1

3𝑥= −6 ise 𝑥3 −

1

𝑥3 kaçtır?

7) 𝑥 − 2𝑦 = 5 ve 𝑎 + 3𝑏 = 6 olduğuna𝑎𝑥−2𝑎𝑦+3𝑏𝑥−6𝑏𝑦+12

6𝑦−3𝑥+9ifadesinin



8) 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 = 125 olduğuna göre𝑥2𝑎−𝑎+𝑏−𝑥2𝑏

8𝑥2−8işleminin


9) 𝑥2− 𝑎−3 𝑥−3𝑎

𝑥2−𝑎2 :𝑥2+𝑎𝑥+𝑎2

𝑥3−𝑎3 ifadesinin sadeleşmiş biçimini hesaplayınız.

10) 3𝑎2 − 6𝑎 − 2 = 0 olduğuna göre 27𝑎3 −8

𝑎3 kaçtır?


*: Ders notları, ilk hafta verilen kaynaklar üzerinden

öğrencilerin yararlanması amacıyla hazırlanmıştır.



Mustafa Sezer PEHLİVAN · 2018-10-05 · ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER Bir polinomu, iki...

Documents

Transcript of Mustafa Sezer PEHLİVAN · 2018-10-05 · ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER Bir polinomu, iki...