Monografía de Geometría

UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION

ESCUELA DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

2015

Monografía Geometría

1

Conceptos Primitivos

Al iniciar nuestro estudio de la geometría plana, partiremos reconociendo algunos elementos básicos que no se definen, por lo que reciben el nombre de conceptos primitivos. Estos conceptos son el de punto, línea y plano. A modo de explicación podríamos decir que un punto corresponde a una posición en un plano o espacio definido y que no posee dimensiones; que una línea está constituida por una sucesión infinita de puntos y su única dimensión es la longitud y que un plano es una superficie constituida por infinitos puntos distribuidos en dos dimensiones, longitud y anchura.

Una línea puede ser recta, curva, quebrada o mixta y su extensión es infinita en ambos sentidos. Si la extensión de la línea ocurre en una misma dirección, entonces hablamos de una línea recta, cuya simbología es AB, siendo A y B dos puntos cualesquiera pertenecientes a dicha recta.

Si limitamos la recta en un sentido tenemos un rayo cuya simbología es AB , siendo A su punto límite.

Si la recta se limita en ambos sentidos tenemos un trazo o segmento de

recta, cuyo símbolo es AB , siendo A y B los puntos límites de él.

punto

líneas plano

A B

La recta AB

A B

El rayo AB

A B

El trazo o segmento AB

2

Se puede determinar un punto intersectando cualquiera de los últimos elementos definidos.

a) P es la intersección de AB con CD

b) O es la intersección de OA con OB En ambos casos se forman aberturas determinadas por los segmentos que parten desde el punto de intersección. Dichas aberturas planas se denominan ángulos. a) Ángulo AOB b) ángulo α Un ángulo está formado por un lado inicial (donde parte la abertura), un lado terminal (donde termina la abertura), el ángulo interior (la menor abertura) y el ángulo exterior (la mayor abertura). La figura muestra estos elementos

Convencionalmente hablamos de ángulo cuando nos referimos al ángulo interior, a menos que se señale explícitamente lo contrario.

C

A

B

D

P

O

A

B

P

lado inicial

ángulo interior ángulo exterior

lado terminal

O

A

B

3

Medida de un ángulo. Sistema sexagesimal Existen varios sistemas para medir ángulos siendo el más usado en Enseñanza Media el sistema sexagesimal o de base 60, que es el mismo sistema usado para medir el tiempo (hora cronológica). Un sistema de base 60 quiere decir que cada unidad se subdivide en 60 partes iguales, siendo cada parte, por lo tanto,

60

1 del total. En el caso de los ángulos, la unidad fundamental de medida es el

grado sexagesimal, cuyo símbolo es °. Se define 1° (un grado sexagesimal) como la abertura correspondiente a la 360ava parte de un círculo. Es decir, si dibujamos 360 radios en un círculo cualquiera de manera que las aberturas entre ellos sean las mismas, cada abertura corresponde a un ángulo de medida 1°. Si ahora subdividimos el grado sexagesimal en 60 partes iguales, cada parte corresponde a un 60avo de grado denominado minuto. O sea, que 1° está formado por 60 minutos. Y al subdividir cada minuto en 60 partes iguales, cada 60avo de minuto corresponde a 1 segundo, por lo que cada minuto está formado, a su vez, por 60 segundos.

1° = 60 min = 60'

1' = 60 seg = 60"

Para medir ángulos en grados, minutos y segundos (° ' ") se utiliza un instrumento llamado transportador. El sentido positivo de medida de un ángulo es el que sigue el movimiento contrario al de los punteros de un reloj.

1°

ángulo negativo

ángulo positivo

4

Transformación del sistema sexagesimal al decimal. Acabamos de ver que en el sistema sexagesimal la unidad se subdivide en 60 partes. También hemos hablado del sistema decimal o de base 10, en el cual la unidad se subdivide en 10 partes o décimas, las que a su vez se subdividen también en 10 partes iguales o centésimas, y así sucesivamente. (Asocia esta partición con una regla graduada en metros, decímetros, centímetros y milímetros).

Sistema en base 10

1 unidad = 10 décimos 1 décima = 10 centésimos 1 centésima = 10 milésimos

1 unidad = 10 d = 100 c = 1.000 m Veamos cómo podemos pasar de un sistema al otro. Tomemos un ángulo que

mida 10° 30'. Como 1' es 60

1 de grado, entonces 30' será 30 veces

60

1, o sea,

60

30

Si efectuamos esta división obtenemos 0,5 = 2

1 =

60

30. Es decir,

60

30 es equivalente a

2

1 de grado que, expresado como número decimal corresponde a 0,5 grados. Por

lo tanto,

10° 30' = 10,5° Observa que la medida del mismo ángulo se escribe diferente al usar sistemas de medida diferentes. Tomemos ahora otro ángulo que mida 25° 15'. Desarrollemos la transformación secuencialmente.

25° 15' 25 grados más 15 veces 60

1 de grado

25 grados más 60

15 de grado (*)

25 grados más 4

1 de grado

25 grados más 0,25 grados

25,25 grados = 25,25°

5

Veamos otro ejemplo:

72° 36' 72° más 36 veces 60

1 de grado

72° + 60

36 de grado (*)

72° + 10

6 de grado

72° + 0,6° = 72,6°

Y otro ejemplo más:

45° 24' 45° + 60

24 de grado (*)

45° + 10

4 de grado

45° + 0,4° = 45,4° Observando en cada ejemplo el paso marcado con (*), podemos concluir la regla que podemos aplicar para pasar los minutos sexagesimales a décimas de grado. Esta regla es "dividir la cantidad de minutos por 60". Esta misma regla se ocupa para transformar la hora sexagesimal a hora decimal. Ejemplo: Transformar las 12:45 hrs. a hora decimal. 12:45 hrs = 12 hrs 45 min

= 12 hrs + 60

45 hrs (*)

= 12 hrs + 0,75 hrs

= 12,75 hrs Veamos ahora la transformación inversa, de grados decimales a minutos sexagesimales. Aquí, determinar la regla es muy sencillo, pues si en el caso anterior se dividía por 60, acá bastará con aplicar la operación inversa, es decir, "las décimas de grado se multiplican por 60 y se obtienen los minutos sexagesimales". Ejemplos: 1. 15,3° = 15° + 0,3°

= 15° + 0,3 60 min (*) = 15° + 18 min = 15° 18'

6

2. 37,9° = 37° + 0,9°

= 37° + 0,9 60 min (*) = 37° + 54 min

= 37° 54'

3. 80,2° = 80° + 0,2°

= 80° + 0,2 60 min (*) = 80° + 12 min

= 80° 12'

Clasificación de los ángulos según su medida Para definir el grado sexagesimal utilizamos un círculo, el cual subdividimos en 360 aberturas iguales. Al ángulo formado por esas 360 aberturas le llamamos ángulo completo y su medida es de 360°.

Ángulo completo

La mitad del ángulo completo será la fracción 2

1 de 360°, o sea 180°. Dicho

ángulo se denomina extendido.

Ángulo extendido

•

7

La mitad del ángulo extendido será la fracción 2

1 de 180°, que es equivalente

a 4

1 de 360°, es decir 90°. Dicho ángulo se denomina recto. Además, si dos

rectas o trazos se cruzan formando un ángulo recto, decimos que ambas rectas son

perpendiculares y se simboliza por "⊥".

Ángulo recto Todo ángulo cuya medida está comprendida entre 0° y 90° se denomina agudo y los comprendidos entre 90° y 180° se denominan obtusos.

Ángulos contiguos son aquellos que tienen un lado común.

Ángulos agudos Ángulos obtusos

70° 45° 170° 100°

8

Ángulos complementarios son aquellos cuyas medidas suman 90°. Es

decir, si = 30° y = 60°, + = 90° y por lo tanto y son ángulos

complementarios. En este caso decimos también que es el complemento de y viceversa.

Ejemplos:

1. Si = 37,5° y = 52,5°, y son ángulos complementarios.

2. Si = 70°, el complemento de α mide 20°. pues 70° + 20° = 90°.

3. Si = 67°, el complemento de será lo que le falta a para completar 90°, o

sea 90° 67° = 23°.

4. Si es un ángulo agudo cualquiera, el complemento de γ se expresará 90° ,

es decir, lo que le falta a para completar 90°. Ángulos suplementarios son aquellos cuyas medidas suman 180°. Es decir,

si = 70° y = 110°, + = 180° y por lo tanto y son ángulos

suplementarios. En este caso decimos también que es el suplemento de y viceversa. Ejemplos:

1. Si = 130° y = 50°, y son ángulos suplementarios.

2. Si = 120°, el suplemento de mide 60°, pues 120° + 60° = 180°.

3. Si = 80°, el suplemento de será lo que le falta para completar 180°, o sea

180° 80° = 100°.

4. Si es un ángulo cualquiera mayor o igual que 0° y menor o igual que 180°, el

suplemento de se expresará 180° , es decir, lo que le falta a para completar 180°.

Ángulos adyacentes son los ángulos contiguos suplementarios.

Ángulos adyacentes

9

Ángulos opuestos por el vértice son los pares de ángulos que se forman al intersectarse dos rectas o trazos en un punto de ellas. Su característica es que son congruentes, es decir, tienen igual medida.

Ángulos opuestos por el vértice. ∢ = ∢ Al cruzarse dos rectas en general, se producen las siguientes relaciones.

Son ángulos opuestos por el vértice

y ; y δ

Son ángulos adyacentes

y ; y δ ; y ; y δ

P

10

Tipos de ángulos

Ángulo Convexo

Ángulo que mide entre 0° y 180°, entre ellos

tenemos a los siguientes:

Recto: mide 90°

Agudo: mide entre 0° y menos de 90°

Obtuso: mide más de 90° y menos de 180°

Ángulo Extendido Ángulo que mide exactamente 180°

Ángulo Cóncavo Mide más de 180° y menos de 360°

Ángulo Extendido Mide 360°

Ángulos Complementarios Son aquellos que su suma resulta 90°

Ángulos Suplementarios Son aquellos que su suma resulta 180°

Ángulos Adyacentes Son dos ángulos que tienen un lado común y los

otros dos lados pertenecen a la misma recta.

Ángulos opuestos por el

vértice

Son pares de ángulos que tienen un vértice en

común y sus lados son rayos opuestos.

Bisectriz de un ángulo: Es un rayo que sale desde el mismo vértice de un

ángulo y lo corta por la mitad.

11

Ángulos Entre paralelas

La figura muestra las rectas L1 y L2 paralelas entre sí (lo que se simboliza L1 // L2) y una recta T transversal que las intersecta en los puntos O y P respectivamente.

Las relaciones angulares vistas en la figura se dan origen a relaciones que definimos a continuación.

Nombre Descripción Ángulos

Alternos Internos

Son dos ángulos internos no

adyacentes, situados en distinto

lado de la secante

Alternos Externos

Son dos ángulos externos no

adyacentes, situados en distinto

lado de la secante

12

Nombre Descripción Ángulos

Opuestos por el

vértice

Son aquéllos que tienen el vértice

en común y los lados de uno de sus

ángulos.

Correspondientes

Son dos ángulos no adyacentes,

situados en un mismo lado de la

secante, uno interno y otro externo

Colaterales Internos

(Suplementarios)

Son dos ángulos internos no

adyacentes, situados en un mismo

lado de la secante

Colaterales Externos

(Suplementarios)

Son dos ángulos externos no

adyacentes, situados en un mismo

lado de la secante

Adyacentes

(Suplementarios)

Son aquéllos que tienen un lado en

común

13

Ejercicios resueltos

1. Sabiendo que x e y están en la siguiente proporción, 2:1

correspondientemente. Calcule el valor de x e y.

Solución:

Si x e y están en proporción de 2:1 nos dice que

Ahora también sabemos que

( )

( )

14

2. De la siguiente figura, calcula cuánto vale el si el ángulo =70° y

el ángulo =

Solución:

Si el ángulo

nos dice que , con esto se forma un triángulo PON cuyos ángulos

interiores son:

Sabemos que la suma de estos tres ángulos es 180°.

15

Ejercicios Propuestos.

Se utilizará la figura para resolver los ejercicios 1, 2, 3 y 4

1. Sabiendo que , cuánto vale el sabiendo que el segmento

LM es bisectriz de

2. Si ML bisectriz de ; ; ¿Cuánto vale

3. Suponga que ⊥ y ML bisectriz, ¿Cuánto vale el

4. ¿Cuánto vale el si suponemos que segmento JK // segmento EF y

?

16

5. Si . ¿Cuánto vale el sabiendo que

?

6. Si CD//AB y , Calcule

17

7. Si y . Suponiendo que AB//EF ¿Cuál es valor de

?

8. Si calcule

18

A B

C

Triángulos Un triángulo es una figura plana cerrada formada por tres lados rectos. En él distinguimos tres vértices, señalados con letras mayúsculas, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores, formados por un lado y la prolongación de otro.

a) Δ ABC b) ángulos interiores c) ángulos exteriores

TEOREMA 1. "En cualquier triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180°".

α + β + γ = 180°

19

TEOREMA 2. "En cualquier triángulo, la suma de los ángulos exteriores es igual a 360° ".

TEOREMA 3. "En cualquier triángulo, la medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes a él".

A B

C

δ + ε + φ = 360°

C

B A

δ = α + γ

ε = α + β

φ = β + γ

20

II CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS A) SEGÚN LADOS:

Triángulo equilátero. Es aquel que tiene tres lados de igual medida, sus tres

ángulos interiores iguales y sus tres ángulos exteriores también iguales. Cada ángulo interior mide 60° y cada ángulo exterior mide 120°.

Si en un triángulo equilátero trazamos la bisectriz de uno de sus ángulos interiores, ésta cae perpendicularmente en el punto medio del lado opuesto al ángulo.

60°

60° 60°

C

A B

AC = BC = AB

30° 30°

60° 60°

C

A B D

∡CAB = ∡ABC = ∡BCA

es la bisectriz del ∡ ACB

21

Triángulo isósceles. Es aquel que tiene dos lados de igual medida y uno diferente llamado base, dos ángulos interiores iguales llamados ángulos basales y el tercer ángulo interior distinto, llamado ángulo del vértice.

AB es la base

BC = AC

∡ BAC = ∡ ABC son los ángulos basales

∡ γ es el ángulo del vértice

Si en un triángulo isósceles trazamos la bisectriz del ángulo del vértice, ésta cae perpendicularmente en el punto medio de la base

Triángulo escaleno. Es aquel que tiene sus tres lados y sus tres ángulos interiores de distinta medida.

A B

C

2

γ

2

γ

Base

22

B) SEGÚN ÁNGULOS:

B.1 Triángulo Rectángulo Es aquel que posee un ángulo recto.

Triángulo ABC, rectángulo en B

B.2 Triángulo Acutángulo Es aquel que posee tres ángulos agudos (menores a 90°)

B.3 Triángulo Obtusángulo Es aquel que posee un ángulo obtuso.

23

Elementos secundarios de un triángulo

Bisectrices: Rectas que dimidian los ángulos, es decir, que divide a un ángulo en

dos iguales, se designan normalmente por la letra b y un subíndice que señala el

respectivo ángulo interior. Se intersectan en un solo punto que es equidistante de

cada uno de los lados del triángulo, llamado incentro (I) y que es el centro de la

circunferencia inscrita. Esta circunferencia es tangente a los lados del triángulo.

Bisectrices

: Incentro

Alturas: Segmentos perpendiculares que unen un vértice con su lado opuesto,

generalmente se designan con la letra h y un subíndice que señala el lado del cual

se levanta. Se intersectan en un solo punto llamado ortocentro (H). Dependiendo

del tipo de triángulo, el ortocentro se ubica: dentro del triángulo cuando se trata de

un triángulo acutángulo; fuera del triángulo cuando se trata de un triángulo obtuso;

en el mismo triángulo cuando se trata de un triángulo rectángulo.

, Alturas

OrtocentroH :

24

Transversales de gravedad: Segmentos que unen cada vértice con el punto

medio del lado opuesto, generalmente se designan con la letra t y un subíndice

que señala el lado. Se intersectan en un único punto llamado centro de gravedad o

baricentro (G), este punto tiene la característica de dividir a cada una de las

transversales en dos segmentos cuyas medidas están en la razón 2:1. Además las

transversales forman seis triángulos que tienen igual área.

CDBFAE ,, , Transversales

de gravedad G: Baricentro

Medianas: Segmentos que se obtienen de unir los puntos medios de cada lado

del triángulo, generalmente se designan con la letra m y un subíndice que indica el

lado sobre el cual se proyecta.

Cada mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de dicho lado.

Al trazar las tres medianas de un triángulo, este queda dividido en cuatro

triángulos congruentes

, medianas

PRQRCQBRPAPQ

25

Simetrales o Mediatrices: Rectas perpendiculares trazadas en el punto medio de

cada lado, generalmente se designan por la letra s y un subíndice señalando el

lado del cual se levanta. Se intersectan en un único punto llamado Circuncentro

(O) y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

OFOEOD ,, , Simetrales

O : Circuncentro

Teoremas relativos a los elementos geométricos del triángulo

En todo triángulo isósceles, la transversal de gravedad y la altura con

respecto a la base, son iguales.

En todo triángulo isósceles, la altura, la transversal de gravedad, la bisectriz

y la simetral están contenidas en la misma recta.

En todo triángulo equilátero, coinciden las transversales de gravedad,

bisectrices, alturas y simetrales.

En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad

correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha

hipotenusa.

26

Ejemplo: a) En el triángulo ABC, AD y CE transversal de gravead, AD ┴ CE,

GD= 3 cm, GE= 2 cm, calcule CB.

Como CE es transversal de gravedad, tenemos que CG : GE = 2 : 1,

además nos dicen que GE = 2cm, por lo tanto CG=4 cm.

Luego el ∆CGD es rectángulo en G, por lo tanto CG y GD son

catetos y miden 4cm y 3cm respectivamente, por lo tanto usando

Pitágoras tenemos que CD=5 cm.

Finalmente como AD es transversal de gravedad, tenemos que

CD=DB, y como CD= 5 cm implica que BD=5 cm.

por lo tanto el trazo BC=10 cm.

27

Ejercicios propuestos: a) En el triángulo rectángulo, D es punto medio de AB, a : b = 5 : 1. Hallar

la medida de e + f 2.- Sea ABC un triángulo rectángulo en C y D, AD= 16 CD=12, AB=c, AC=a, BC=b Hallar los valores de a, b y c 3.- ∆ ABC rectángulo en C, BM altura, BM//DC, <ABC recto, AM= 5 cm y AB=5 raíz de 2, calcule DC.

28

Congruencia y semejanza de triángulos

Definición 1.

Congruencia: Dos figuras son congruentes cuando coinciden en todo

aspecto, tales como: forma, tamaño, ángulos, área y perímetro.

Símbolo Congruencia

Ejemplo

Estos dos triángulos son Congruentes.

Diremos que dos triángulos son congruentes si hay plena coincidencia en todos sus elementos, es decir, lados y ángulos. Esta congruencia implica una correspondencia entre vértices, lados y ángulos.

En la figura anterior, si ABC PQR, significa que:

- el vértice A tiene su correspondencia con P - el vértice B tiene su correspondencia con Q - el vértice C tiene su correspondencia con R

además

A B

C R

P

Q

29

- AB tiene la misma longitud que PQ

- BC tiene la misma longitud que QR

- AC tiene la misma longitud que PR

y por último - ∢ ABC tiene la misma medida que ∢ PQR - ∢ ACB tiene la misma medida que ∢ PRQ

- ∢ BAC tiene la misma medida que ∢ QPR

Definición 2.

Semejanza: Dos figuras son semejantes cuando sus lados correspondientes se

encuentran en la misma proporción. Símbolo Semejanza

Ejemplo.

Estos Triángulos son Semejantes porque sus lados correspondientes están en

proporción 1:3.

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos interiores son respectivamente iguales y sus lados homólogos son directamente proporcionales ∡ ≅ ∡

ABC PQR (*) ∡ ≅ ∡ y además, kRP

CA

QR

BC

PQ

AB

∡ ≅ ∡

A B

C R

P Q

30

Observaciones:

- Si k = 1, los triángulos mencionados serán congruentes. - El orden de semejanza mencionado en (*) es fundamental para encontrar

vértices homólogos, lados proporcionales y ángulos iguales. - Conocer la semejanza de dos triángulos permite determinar medidas de

ángulos desconocidos y obtener longitudes de lados debido a la proporcionalidad mencionada.

No solamente podemos saber si un triángulo es semejante a otro sabiendo la

medida de sus lados y sus ángulos, también podemos saber si estos son

semejantes o congruentes por diferentes criterios.

31

Criterios de congruencia de triángulos:

1. Lado, Lado, Lado (L,L,L): Dos triángulos son congruentes si sus lados

correspondientes son Congruentes.

2. Lado, Ángulo, Lado (L,A,L): Dos triángulos son congruentes si tienen dos

lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.

3. Ángulo, Lado, Ángulo (A, L, A): Dos triángulos son congruentes si tienen

dos ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos

congruentes

Ejemplo L,L,L :

Ejemplo L,A,L :

Ejemplo A,L,A :

32

Criterios de Semejanza Triángulos:

1. Ángulo, Ángulo (A,A): Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos

iguales.

2. Lado, Lado, Ángulo (L,L,A): Dos triángulos son semejantes si tienen

dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual

3. Dos triángulos son semejantes si tienen todos sus lados

proporcionales

Ejemplo A,A:

Ejemplo L,L,A

Ejemplo Lados Proporcionales:

33

Ejercicios Resueltos

1. ¿Son estos dos triángulos semejantes?

La respuesta es esta pregunta es fácil de descifrar solo debemos ver si los

lados correspondientes (homólogos) están en la misma proporción. Es decir:

Como la proporción de todos los lados es la misma (1.5) aseguramos que los

dos triángulos son Semejantes.

2. En la figura Si AE=12, EB=28, CE=15, AC=18 Determinar ED y BD

34

Solución:

Como en el punto E

Los triángulos tienen un ángulo

opuesto por el vértice podemos saber

que ese ángulo es igual en ambos

triángulos, ahí tenemos una

coincidencia, ahora para que se

cumpla el criterio de L,A,L los lados

deben estar en las siguientes

proporciones, DE:CE= DB:AC = 18:12

Con estas medidas los dos triángulos son semejantes.

35

3. Mirando la figura y sabiendo que:

⊥ ⊥

Determinar:

Solución: Nos damos cuenta que los triángulos ABC y ADE son semejantes ya

que comparten ángulo y ángulo.

Por semejanza podemos afirmar las siguientes proporciones:

36

Ejercicios propuestos

1. Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del y

forman con estos lados los ángulos BDE y EDB, demuestre que el

2. Calcula AC y BC, Sabiendo que AE= 18cm, AB= 12cm, DB= 6cm y DE=21cm

3. Sabemos que

37

4. ⊥ ⊥

5. Los lados de un triángulo miden 36cm, 42cm y 54cm. Si en un triángulo

semejante a este, el lado homólogo del primero mide 24 hallar la medida de los

otros dos lados de este triángulo.

6. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6cm, 8cm y 10 cm,

respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al

primero, si su hipotenusa mide 15cm?

38

7. Demostrar que el triángulo OAB es semejante con el triángulo OCD, Sabiendo

que

8. ⊥ ⊥

9. Demostrar que

39

10. En el triángulo ABC rectángulo en C de la siguiente figura. BC=5cm y BD=

4cm. ¿Cuánto es la medida de segmento AD?

11. En el triángulo ABC rectángulo en C. si BC=5 cm y BD = 4cm. ¿Cuánto es la

medida del segmento AD?

12. En la figura se tiene que CD es bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuánto mide la

diferencia de los ángulos EFA y DCB? es ese orden. Con

40

13. En la figura adjunta, AC =8cm, BC=4cm y BD=√ . ¿Cuál es la longitud de

AB?

14. El área del cuadrilátero ABCD es 204 y está formado por 2 triángulos

rectángulo. Sabiendo que la suma de los catetos de es 21 cm y el cateto

mayor mide 12 cm. Calcula el perímetro del cuadrilátero ABCD

41

Teorema de Thales “Dadas dos o más rectas paralelas intersectadas por dos rectas secantes, los segmentos determinados por las paralelas en cada secante son respectivamente proporcionales”

Caso I - En la figura, EFCDAB //// y L1 y L2 secantes. Entonces,

DF

BD

CE

AC

BF

BD

AE

AC y

Caso II - En la figura, CDAB // Entonces,

CD

AB

PD

PB

CD

PC

AB

PA

PD

PC

PB

PA y ,

Caso III - En la figura, L1 // L2 Entonces,

CD

AB

EC

BE

CD

AB

ED

AE

EC

BE

ED

AE y ,

A B

C D

E F

L1 L2

L2

L1 A B

C D

E

P

A B

C D

42

Teoremas de Euclides

Sea el ABC rectángulo en C, de catetos a y b, hipotenusa c y altura h respecto de la hipotenusa. El pie de la altura h determina dos segmentos p y q que son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Entonces:

i) “la altura es media proporcional geométrica entre los segmentos determinados por ella en la hipotenusa”

h2 = p · q

ii) “Cada cateto es media

proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de cada cateto en la hipotenusa”

a2 = c · p ; b2 = c · q

Demostración Teorema de Euclides referente a la altura

En todo triángulo rectángulo de altura y proyecciones p y q sobre la hipotenusa,

tenemos que:

C

A B

b a

D

c

h

q p

43

Demostración:

Aplicando el teorema particular de Pitágoras a los triángulos DBC y ADC puedes

obtener las siguientes igualdades:

Sumando observas que:

Siendo ABC un triángulo rectángulo, sabemos que , por el teorema de

Pitágoras, por lo tanto:

Y como , tenemos que:

( )

De donde, finalmente, deduces la igualdad requerida, es decir:

Queda entonces demostrado el teorema.

44

Demostración Teorema de Euclides referente a los catetos

En todo triángulo rectángulo ABC de lados a, b y c con proyecciones q y p sobre la

hipotenusa, tenemos que:

Demostración de

Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo DBC se tiene que:

Y del teorema de Euclides referente a la altura , podemos escribir:

Al tener factor común p, se puede escribir la igualdad anterior como sigue:

( )

Teniendo en cuenta que se deduce la igualdad deseada, es decir:

Queda entonces demostrado el teorema.

Mediante un razonamiento completamente análogo, se prueba que

45

Teorema de Pitágoras “Sea ABC un triángulo rectángulo en C, la suma de sus catetos al cuadrado es

igual al cuadrado de su hipotenusa”

El Teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de

demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas

de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema

para alcanzar el grado de “Magíster matheseos”.

A continuación mostraremos uno de los más sencillos de comprender.

Primer paso:

Dibujamos un cuadrado de lado y unimos los puntos que limitan el trazo a

con el trazo b formando un cuadrado menor dentro del primero.

Debido a que cada lado mide ,

su área será: ( )( )

Segundo paso: Sumar las áreas de las figuras más pequeñas.

Primero, como el cuadrado menor (inclinado) es de lado su área será:

Luego sumamos las áreas de los cuatro triángulos, esto es:

(

)

Si sumamos el cuadrado menor y los cuatro triángulos resulta:

46

Tercer paso: Igualar y operar

El área del cuadrado grande es igual a la suma del área del cuadrado menor

(inclinado) y los cuatro triángulos, esto es:

Operamos:

Restamos ab2 en ambos miembros

Teorema de Apolonio “En un triángulo ABC cualquiera, la bisectriz de un ángulo interior divide al lado opuesto en dos segmentos que son proporcionales a los lados contiguos”

Si CD es bisectriz del ∡ ACB, entonces

a : u = b : v

abcbaba

abcbaba

22

2))((

222

2

222 cba

abcbaba 2))(( 2

b a

C

A u v D B

47

Cuadriláteros

Definición: Polígono de 4 lados. Se divide en paralelogramos, trapecios y trapezoides.

A) Paralelogramos Son aquellos que poseen dos pares de lados opuestos paralelos

Propiedades de todo paralelogramo

Lados opuestos congruentes Ángulos opuestos congruentes Ángulos consecutivos suplementarios Las diagonales se dimidian

Sin un cuadrilátero cumple con alguna de estas propiedades, es un paralelogramo

Los Paralelogramos se clasifican en: A.1) Paralelogramos Rectos: Son aquellos que poseen sus 4 ángulos interiores rectos.

Cuadrado:

Propiedades

Lados:

4 lados iguales: ADCDBCAB

Lados opuestos paralelos: ADBCCDAB //;//

Diagonales: Tienen la misma medida Se dimidian Son perpendiculares Bisectan los ángulos interiores

48

Rectángulo:

Propiedades:

Lados:

Lados opuestos iguales: aCDAB ;

bBCAD

Lados Opuestos paralelos: ADBCCDAB //;//

Diagonales:

Tienen la misma medida, 22 baBDAC

Se dimidian No son perpendiculares No bisectan a los ángulos interiores

49

A.2) Paralelogramos oblicuos: Son aquellos que no tienen sus ángulos interiores rectos.

Rombo: Propiedades: Ángulos:

Ángulos opuestos iguales. Ángulos consecutivos suplementarios α+β=180º

Lados:

4 lados iguales ADCDBCAB

Lados opuestos paralelos ADBCCDAB //;//

Diagonales:

AC≠BD Se dimidian. Son perpendiculares Bisectan los ángulos interiores

50

Romboide

Propiedades: Ángulos:

Ángulos opuestos iguales. Ángulos opuestos suplementarios α+β=180º

Lados:

Lados opuestos iguales aCDAB ; bBCAD

Lados opuestos paralelos ADBCCDAB //;//

Diagonales:

AC≠BD Se dimidian No son perpendiculares No bisectan los ángulos interiores

51

B) Trapecios Son aquellos que poseen solo un par de lados paralelos. Propiedades de todo trapecio:

En todo trapecio la mediana (es el segmento que une los puntos medios de sus lados no paralelos) es igual a la semisuma de las bases.

Se clasifican en: B.1) Trapecio isósceles: Propiedades: Ángulos:

Ángulos basales iguales Ángulos consecutivos suplementarios α+β=180º

Lados:

Lados no paralelos de igual medida AD=BC AB ≠ DC AB // DC AE = FB = b – a

Diagonales:

Tienen la misma medida AC=BD AG = GB DG = CG

52

Al trazar sus alturas se generan dos triángulos rectángulos congruentes y en la

base mayor un segmento igual a la base menor. ∆AED ≅ ∆BFC ; EF = DC B.2) Trapecio Rectángulo: Propiedades: Ángulos:

Posee dos ángulos rectos. α ≠ β Ángulos no rectos suplementarios α+β = 180º

Lados:

AD ┴ AB AD ┴ DC AD = CE = altura AB // DC

Diagonales

AC ≠ BD

53

B.3) Trapecio Escaleno: Propiedades: Ángulos:

α+δ = 180º β+γ = 180º Todos sus ángulos son distintos α ≠ β ≠ γ ≠ δ

Lados:

Todos los lados son distintos AB ≠ BC ≠ CD ≠ AD AB // DC

Diagonales:

AC ≠ BD

54

C) Trapezoides Son aquellos que no posee par de lados paralelos. Se clasifican en: C.1) Trapezoide Asimétrico. Propiedades: Ángulos:

Posee todos sus ángulos de distinta medida α ≠ β ≠ γ ≠ δ Lados:

Posee todos sus lados de distinta medida AB ≠ BC ≠ CD ≠ AD C.2) Trapezoide Simétrico (deltoide)

55

Propiedades: Ángulos:

<DAB = <ACB <ADC = <ABC

Lados:

AD = CD AB = BC No tiene lados paralelos

Diagonales:

DB ┴ AC BD: bisectriz. E punto medio de AC

56

Ejemplo:

a) Sea ABCD un cuadrado, AD//EF, calcular <1 + <2 + <3 Por propiedad sabemos que las diagonales de un cuadrado bisectan los ángulos interiores, esto implica que el <1= 45º Luego con AD//EF tenemos que el <AEF es recto, esto implica que el <AGE = 45º y como el <2 esta opuesto por el vértice será igual a 45º. Para encontrar el <3 basta sumar en <1 y el <ABC, ya sabemos que el <1=45º, y como ABCD es cuadrado el <ABC=90º, entonces <3=45º+90º, luego <3=135º

finalmente sumamos <1 + <2 + <3 45º + 45º + 135º = 225º Ejercicios Propuestos:

a) En la figura ABCD es un trapecio isósceles, AB:BC = 2:1 , EC//AD , Si ABC = 70º, calcule <DEC.

57

b) ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles de la figura?

c) En la figura se tiene un rectángulo ABCD. AE=8, BE=6 ¿Cuál es el área del rectángulo?

58

Circunferencia.

Definiciones Básicas sobre circunferencia

Circunferencia: Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que

equidistan de un punto llamado centro. La distancia entre estos puntos y el centro

de la circunferencia, se denomina radio.

Partes de la Circunferencia:

1. Radio: Segmento cuyos extremos son el centro de la circunferencia y

un punto de esta.

2. Cuerda: Trazo cuyo extremos son dos puntos de una circunferencia

3. Diámetro: Cuerda que sostiene al centro de la circunferencia.

4. Secante: Recta que intersecta en dos puntos a la Circunferencia.

5. Tangente: Recta que intersecta en un solo punto la circunferencia.

6. Arco: Es un parte de la circunferencia determinara por dos puntos

distintos de ella. Se considera en sentido antihorario, es decir, no es lo

mismo el arco AB que el arco BA.

59

Circulo: Es la región interior de la Circunferencia.

Sector Circular: Es la parte del circulo comprendida entre dos radios.

Segmento Circular: Es la parte del circulo comprendida entre un arco y la cuerda

determinada por los extremos de este arco.

60

Corona circular: es la parte del círculo comprendida entre dos circunferencias

concéntricas (centro común)

Semicírculo: corresponde a la mitad del círculo determinada por un diámetro.

Posiciones relativas de la circunferencia

61

Ángulos de la circunferencia

1. Ángulo del centro: corresponde al ángulo cuyo vértice es el centro de la

circunferencia y sus lados son dos radios.

2. Ángulo inscrito: corresponde al ángulo cuyo vértice está en la circunferencia

y sus lados son dos cuerdas.

3. Ángulo semi-inscrito: corresponde al ángulo formado por una recta tangente

y una recta secante, su vértice está en la circunferencia.

.

62

4. Ángulo interior: corresponde al ángulo cuyo vértice es cualquier punto al

interior de la circunferencia, está formado por dos cuerdas.

5. Ángulo exterior: corresponde al ángulo cuyo vértice está en el exterior de la

circunferencia, puede estar formado por dos tangentes, dos secantes o una

tangente y una secante.

63

Teoremas Referentes a las Circunferencias.

Teoremas 1 y 2 son referentes a la figura 1.

Figura 1.

Teorema 1: Si un Radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda,

entonces la dimita y viceversa.

⊥ ≅

Teorema 2: Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda

entonces dimidia el arco que sostiene la cuerda y viceversa

⊥ ( ) ≅ ( )

64

Teoremas 3, 4 y 5 correspondientes a la figura 2.

Figura 2

Teorema 3: Cuerdas congruentes sostienen arcos congruentes.

( ) ≅ ( ) ≅

Teorema 4: Cuerdas Congruentes equidistan del centro y viceversa.

≅ ≅

Teorema 5: Cuerdas paralelas determinan entre ellas arcos congruentes.

≅ ( ) ≅ ( )

65

Ángulos en la circunferencia (figura 3)

Ángulo Interior:

Ángulo del centro:

Ángulo inscrito:

Ángulo Semi-Inscrito:

Figura 3

66

Ángulo Exterior:

Teoremas Ángulos en Circunferencia:

Teorema 6: La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio den

el punto de tangencia.

⊥

67

Teorema 7: Los segmentos Tangentes trazados desde un punto a una

circunferencia son congruentes.

Teorema 8: En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las

longitudes de los lados opuestos en la misma.

68

Teorema 9: Todo Ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la

mitad del ángulo del centro que sostiene el mismo arco.

Ejemplo.

Teorema 10: Todos Ángulos inscritos en una circunferencia que sostienen un

mismo arco tienen igual medida.

69

Teorema 11: En todo todo cuadrilatero inscrito en una circunferencia los ángulos

opuestos son suplementarios.

Teorema 12: Todo Ángulo interior a una circunferencia tiene por medida la

semisuma de los que comprenden sus lados y sus prolongaciones.

( ) )

70

Teorema 13: Todo ángulo Exterior una circunferencia tiene por medida a la

semidiferencia de los arcos que comprenden entre sus lados.

( ) ( )

Teorema 14: De las cuerdas. Si dos cuerdas se interceptan en el interior de la

circunferencia, el producto de los segmentos determinados en una

cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en otra

cuerda.

71

Demostración

Debemos probar que los . Para ellos probaremos las similitudes de

sus ángulos, sabemos que comparten el mismo ángulo y ahora debemos

encontrar otro ángulo que sea semejante.

El ya que sostienen el mismo arco.

Teorema 15: Teorema de las secantes. Si dos rectas secantes interceptan a una

circunferencia, el producto entre el segmento exterior a la

circunferencia con el segmento total en una de las secantes es igual

al producto de los correspondientes segmentos en otra secante.

72

Demostración


sus ángulos, sabemos que comparten el mismo ángulo y ahora debemos


El ángulo ya que sostienen el mismo arco.

Teorema 16: Teorema de la secante y tangente. Si desde un punto exterior a una

circunferencia, se traza una tangente y una secante, el cuadrado del

segmento tangente equivale al producto entre el segmento exterior y

el segmento total de la recta secante.

73

Demostración:

La demostración de este teorema la guiaremos mediante semejanza de ángulos.


sus ángulos, sabemos que compartes el mismo ángulo y ahora debemos


El ángulo ya que sostienen el mismo arco.

74


1. En la figura, si la medioda del arco AB = 70°, a cuánto equivale la suma

Solución:

( )

75

2. En la circunferencia de centro A de la figura, y son diámetros, si

⊥ y ¿Cuánto mide el ?

⊥

76

Ejercicios Propuestos:

1. Sea el diámetro de la circunferencia y O el centro. Si , ¿Cuánto

mide el ángulo

2. En la figura adjunta, O es el centro de la semicircunferencia y el

Arco(BC)=3Arco(CA) ¿Cuánto mide el ángulo

3. En la figura es diámetro y el Arco (AC)=200°. Si ( )

( ), ¿Cuánto mide el ángulo ?

77

4. En la figura, la tangente y la secante entonces ¿

Mide?

5. En la figura de centro O, ⊥ , ⊥ Entonces

¿Cuánto mi de ?

6. Sea tangente en C a la circunferencia de centro O, Entonces ¿Cuánto

mide ?

78

7. En la circunferencia de centro O, Arco(AB) = Arco(BC) , ⊥ y

8. CD es diámetro de la circunferencia de centro O, si Arco(AD) y Arco(BC)

son iguales y entonces

9. En la figura ≅ y O es centro de la circunferencia. Si

¿Cuánto vale el ángulo

79

10. En la circunferencia de centro O de la siguiente figura es diámetro y

También ( ) ( ) . ¿La

medida del es?

11. En la figura . Si el segmento es tangente a la

circunferencia en el punto A, entonces el segmento mide:

12. En la figura, O centro de la circunferencia y tangente en el punto D, si

( ) Entonces el ¿

80

13. En la figura, el es un sexto de la circunferencia de centro O. ABCD

cuadrilátero inscrito en la circunferencia. ¿Cuánto vale si

14. Si las cuerdas son todas congruentes, entonces

15. En la figura siguiente, la medida de la cuerda es:

81

16. Con los datos de la figura, si O es el centro de la circunferencia circunscrita

al triángulo ABC ¿Cuánto mide el ?

17. Si en la circunferencia de centro O de la figura adjunta es diámetro

y Entonces

82

18. En la circunferencia de dentro O y radio r de la figura adjunta, el triángulo

ABC es Isósceles de base si entonces

¿la medida del

19. En la circunferencia de centro O de la siguiente figura,

¿Cuánto mide el

83

Perímetros y Áreas de figuras planas.

Definiciones.

Perímetro: Es la suma de las magnitudes de todas las longitudes de los lados

de una figura geométrica.

Área: Es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su

región interior.

Triángulos

Área

Perímetro

84

Paralelogramos

Área

Perímetro

Cuadriláteros

Perímetro

85

Área y perímetro de circunferencia

Área

Perímetro


1. La figura ABCD es un cuadrado de 40cm de perímetro. Si E y F son puntos

medios de los lados respectivamente, entonces ¿Cuál es el área

del triángulo EFA?

86

Solución:

i) √

ii) √

iii) (√

)

iv)

v)

√

√ √ √

2. Si el radio de la circunferencia de centro O mide 8cm y

determine

el área del triángulo BDE.

87

Solución:

√

√

√

√

Ejercicios Propuestos

1. En el trapecio isósceles ABDC de la siguiente figura, ¿Qué valor debe tener el

segmento x para que la zona achurada sea

√ ?

88

2. El perimetro del siguiente pentagono es de 1m, Calcula el valor de x.

3. En la figura los triángulos son equiláteros, entonces el perímetro de la figura

sombreada es:

4. Si ABC es isósceles de área A, con ⊥ y

⊥ . Calcule el cociente entre el área achurada y el área total.

89

5. Calcular el área de la siguiente zona achurada, es diámetro,

y

6. El cuadrado ABCD de lados y puntos medios H, F, G, E. ¿Qué porcentaje es la

zona achurada respecto del área total?

7. El radio del círculo mayor es 6 unidades, determine el perímetro de la figura

pintada si las circunferencias interiores son congruentes y tangentes.

90

8. En la figura se muestra un rectángulo y una circunferencia, cuyo diámetro mide

10cm. ¿Cuánto mide el perímetro del área sombreada?

9. ¿En qué razón están las áreas de los triángulos ADC y CBD?

10. Calcule el perímetro de esta figura sabiendo que AP= 8cm, y AQ = 6cm

91

11. √ entonces ¿el perímetro del triángulo

CDR mide?

12. El antejardín de una casa tiene forma rectangular y un área de 54 . Si el

frente de la casa mide 12metro ¿Cuánto mide el jardín de fondo?

13. La figura representa la planta de un edificio compuesto por dos bloques

cuadrados de 100 y 64 de área respectivamente. Si ahora se construye

un tercer bloque, representado por el cuadrado sombreado. ¿Cuánto medirá su

área?

92

14. ¿Cuál el área de un hexágono regular cuyo perímetro es 180m?

15. Sea ABCD un rectángulo, F y E puntos medios de los lados

respectivamente. ¿Qué parte del rectángulo es la figura sombreada?

16. ¿Cuánto mide el área del trapecio isósceles ABCD?

93

17. Circunferencia de Radio r=√ , si , entonces el área del triángulo

sombreado es:

94

Área y volúmenes de cuerpos geométricos.

Definiciones:

Volumen: Es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un

cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres

dimensiones.

Área: Es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su

región interior. En el caso de cuerpos geométricos es la superficie total que ocupa

el cuerpo.

Poliedros

1. Cubo: Solido de 6 caras cuadradas y paralelas, que están unidas por aristas.

√

a

95

2. Paralelepípedo: Solido de 6 caras las cuales pueden ser rectángulos y/o

cuadrados.

( )

Cuerpos Redondos

Son aquellos que se generan por la rotación en 360° de una figura lana alrededor de

su eje. Los principales son el cono, el cilindro la esfera.

1. Cilindro: Sea un Rectángulo ABCD que gira sobre unos de sus lados, el cuerpo

resultante se llama cilindro y tiene como bases dos circunferencias iguales de

radio r= . La distancia entre las dos bases se llama altura (h) y el lado del

rectángulo que genera la superficie lateral se llama generatriz(g)

( )

96

2. Cono: Sea un triángulo rectángulo ABC que gira 360° sobre uno de los catetos

(eje de rotación). El cuerpo resultante de esta rotación se llama cono.

La única base es una circunferencia y la superficie lateral se llama superficie

cónica de revolución. El vértice superior del triángulo es el vértice del cono.

La distancia entre el vértice y la base es la altura, y la hipotenusa del triángulo se

llama generatriz (g).

( )

3. Esfera: Es un semicírculo que gira alrededor de su diámetro. El cuerpo

generado por esta rotación se llama esfera y la superficie que limita la esfera se

llama superficie esférica (todos los puntos equidistan del centro, radio)

97

Figuras equivalentes: Son aquellos cuerpos que poseen la misma área sin

necesariamente tener la misma forma.

Por ejemplo:

Un círculo de radio 3 es equivalente a un cuadrado de lado 3√ .

Veamos si sus áreas son iguales.

Área del círculo es

Área del cuadrado es ( √ )

98


1. ¿Cuál es la medida de la generatriz de un cono que se introduce, como muestra la

figura, en un cilindro cuyo diámetro de la base mide 18cm y cuya altura mide

15cm?

Solución:

í

√

2. Si un depósito cubico tiene 125 litros de agua, entonces ¿Cuánto mide su arista?

Es fácil saber cuánto mide su arista, pero primero debemos ver en que unidades

nos moveremos, es común pensar que si el depósito contiene 125 litros de agua el

volumen de este cubo seria se 125 pero eso está totalmente erróneo. Ya que

125 de cc y eso corresponden a 125 millones de litro.

Ahora de buena manera. 125 litros de agua corresponden a 125.000 cc que están

en el depósito cubico, como es cubico podemos calcular su arista de forma fácil

calculando su raíz cubica.

√

99

3. Una cuchara tiene una capacidad de 5 cc. Se desea llenar un frasco de forma

cilíndrica cuyo diámetro basal mide 3cm y cuya altura mide 5cm. ¿Cuántas

cucharadas deberán vaciarse al frasco de modo que quede lleno?

La respuesta es bastante sencilla solo debemos calcular cuántos cc es la

capacidad máxima del frasco.

Para ellos calcularemos el volumen del frasco.

4. Si 8 de agua del siguiente cilindro se vacían por minuto en otro recipiente,

¿Cuánto se demorara en vaciarse si suponemos que el cilindro está lleno?

Primero debemos calcular el volumen del cilindro.

cc

Ahora si ese es el volumen total del cilindro

hacemos la división entre:

100

Ejercicios Propuestos:

1. Si el volumen de un cubo es igual al de una esfera de radio a, entonces

¿Cuánto mide su lado?

2. Se tiene un tarro y jarros cilíndricos. El tarro tiene agua hasta tres cuartas

partes de su capacidad, y su altura es de 30cm con un radio interior de

6cm. ¿Cuántos jarros se podrán llenar con el agua contenida en el tarro. Si

este tiene 8cm de altura y radio interior de 3cm?

3. ¿Cuántos de papel se utiliza para etiquetar un frasco de 8cm de radio

si el ancho de la etiqueta es de 8cm y esta rodea todo el frasco?

101

4. La figura muestra un cubo cuya arista mide 6cm, al que se le saca un

cilindro de 2cm de radio. ¿Cuánto mide el volumen del cuerpo después de

retirar el cilindro?

5. El volumen de una esfera es igual al volumen del cono de radio basal 6cm

de la siguiente figura, entonces ¿El radio de la esfera mide?.

102

6. Calcula la medida de la superficie de la caja cuyas medidas son las

indicadas en la figura:

7. Calcula la medida de la superficie del siguiente prisma triangular:

8. Calcula la medida de la superficie de la siguiente pirámide:

103

9. El volumen del siguiente prisma rectangular es de 320 . ¿Cuál es la

medida del ancho?

10. Las cajas A y B tienen el mismo volumen. ¿Cuál es la altura de la caja B?

A B

11. Un camión vacía 5280 litros de agua en un estanque con forma de prisma

rectangular cuyas medidas son 4m de largo, 2m de ancho y 3m de alto. ¿A

qué altura, medida en cm, llega el nivel del agua en el estanque si este

estaba vacío?

104

12. Un doctor le receta a un joven lo siguiente, 5ml de un jarabe para la tos

cada 8 horas durante 6 días. El frasco del jarabe contiene 120ml. ¿Es

suficiente un frasco de jarabe para el tratamiento que prescribió el doctor?

13. Las tres aristas que concurren a un mismo vértice de un paralelepípedo

recto rectangular son entre sí como 12:4:3. Si la diagonal interior mide

26cm. ¿Cuánto mide la superficie total del paralelepípedo?

14. Si una taza cilíndrica posee una altura de 8cm y contiene 450ml de té

(volumen máximo), al mismo tiempo el volumen máximo que puede

soportar un vaso cilíndrico es de 480ml con un radio de 5cm. ¿Cuál es la

diferencia entre las alturas de radios de la taza y el vaso?

15. Dentro de una esfera de Diámetro 20cm se encuentra un cubo, ¿Cuál es la

diferencia entre el volumen de la esfera y el cubo?

105

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS CON REGLA Y COMPÁS Para realizar construcciones geométricas con regla y compás se necesitan instrumentos, los cuales son manipulados por las personas, por lo cual estas construcciones no necesariamente quedan exactamente iguales ya que dependen de la persona que las manipula. A continuación se muestra una serie de construcciones geométricas de diversa complejidad.

1) Mediatriz de un segmento.

La mediatriz o simetral, es el lugar geométrico de todos los puntos del plano

que equidistan de dos puntos dados.

Para construir la simetral de los puntos A y B, se hace con

centro en el punto A y con una abertura del compás

mayor que la mitad del segmento, trazamos arcos. Luego,

con la misma abertura, hacemos con centro en B y

cortamos a los arcos anteriores, encontrando los puntos C

y D. Los unimos y encontramos la mediatriz del

segmento.

2) Perpendicular a una recta desde un punto de la recta.

Tomamos el compás y haciendo centro en A, con

cualquier abertura trazamos una circunferencia que

corta a la recta en el punto B. Con la misma abertura

haciendo centro en B, trazamos dos arcos

consecutivos, que cortan a la circunferencia en C y D.

Haciendo centro en C, con igual abertura, trazamos

un arco, el cual cortamos con otro arco trazado desde

el punto D. Unimos A con E y tenemos la

perpendicular.

106

3) Perpendicular a una recta desde un punto exterior a ésta.

Con el compás haciendo centro en P, trazamos un

arco que corte a la recta en A y B. hacemos centro

en A y con una abertura del compás mayor que la

mitad del segmento AB, trazamos un arco. Haciendo

centro en B, con igual abertura, cortamos el arco

anterior en C. trazamos la recta PC y es la

perpendicular.

4) Bisectriz de un ángulo.

Hacemos centro en el vértice del ángulo y con

radio cualquiera trazamos un arco CD que

corte ambos lados del ángulo. Con una

abertura del compás un poco mayor que la

mitad de la longitud del arco CD y haciendo

centro primero en C y luego en D, trazamos

dos arcos que se corten en E. Por último,

trazamos la semirrecta OE que es la bisectriz

del ángulo.

5) Dos ángulos congruentes.

Haciendo centro en el vértice O, trazamos el arco

CD.

Trazamos la semirrecta AB y con el mismo radio

anterior, se hace centro en A y se traza un arco

que corte a la semirrecta en P.

Colocar la punta del compás sobre C y abrirlo

hasta que la punta del lápiz descanse en D.

Con la distancia CD como radio, coloca la punta

del compás en P y trazar un arco que corte al

arco trazado en R.

Por último trazamos la semirrecta AR y

obtenemos un ángulo congruente con COD.

107

6) Recta tangente a una circunferencia, dado un punto en ésta.

Se traza el radio OA y por A se traza una

perpendicular al radio.

7) Recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior a ésta.

Trazamos el segmento OP.

Hallamos el punto medio M de OP. ¿Cómo?

Hacemos centro en M y con un radio igual a

OM trazamos una circunferencia que corta a

la circunferencia dada en A y B.

Trazamos las semirrectas PA y PB y esas

son tangentes.

8) Circunferencia circunscrita de un triángulo.

Se trazan las mediatrices de los lados del

triángulo (con dos es suficiente).

El punto donde se cortan es el circuncentro.

108

9) Circunferencia inscrita en un triángulo.

Se trazan las bisectrices de

los ángulos interiores, el

punto donde se cortan es el

incentro I.

Desde I se traza la

perpendicular IH.

Se dibuja la circunferencia

con centro en I y que pase

por H.

10) Triángulo equilátero.

Se dibuja el segmento AB. Haciendo centro en A

con un radio igual a AB se traza un arco. Se hace

centro en B y con un radio igual a AB se traza

otro arco, que corta al anterior en C. Se unen los

puntos y se obtiene el triángulo equilátero.

11) Triángulo isósceles.

Se dibuja un segmento AB. Se traza la mediatriz de

AB. Se unen los puntos A y B con un punto C de la

mediatriz y obtenemos el triángulo isósceles.

109

Ejemplos de construcciones geométricas

1) Dada una recta y un punto exterior a ella, trazar por ese punto una paralela

a la recta dada.

P es un punto exterior a la recta

dada BM. Se traza el segmento

AM, con M sobre la recta.

Se construye el ángulo MPA

congruente el ángulo PMB.

Las rectas son paralelas puesto

que forman ángulos alternos

internos congruentes.

2) Construir un triángulo conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Sean dados a y b el ángulo A. Se construye un ángulo congruente a A y sobre uno de sus lados, a partir del vértice se lleva el segmento b. Se obtiene el vértice C. El lado a ha de tener un extremo en C y el otro en la semirrecta AX. Dicho extremo es la intersección de la circunferencia con centro C y radio a y la semirrecta AX. Se dibuja el triángulo.

Se observa que la solución no es única, es decir, existen dos soluciones.

110

3) Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa a y un cateto b.

Se traza un semicircunferencia de

diámetro a. Se traza un arco con

centro en C y radio b que corta a la

semicircunferencia en A. El ángulo

inscrito en una semicircunferencia

es recto.

4) Construir un triángulo ABC, dado el lado BC, el ángulo A y la altura AH.

Se construye el arco capaz del

ángulo A con BC.

Por B se traza una

perpendicular a BC.

Con centro en B y con un radio

igual a AH, se traza un arco

que corta a la perpendicular

anterior en D.

Por D se traza una paralela a

BC, que corta a la

circunferencia en dos puntos, A

y E.

Se dibuja el triángulo. Hay dos soluciones.

111

Ejercicios

1. Encontrar el punto medio de un segmento de recta.

2. Construir un triángulo dados un lado y los ángulos adyacentes a ese lado.

3. Construir un triángulo dados dos lados y el anulo comprendido entre ellos.

4. Construir un triángulo dados los tres lados.

5. Construir un triángulo isósceles, dados la altura sobre la base y uno de los lados

congruentes.

6. Construir un triángulo isósceles dados la altura sobre la base y uno de los

ángulos congruentes.

7. Construir un triángulo equilátero dada la altura.

112

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Una transformación es un procedimiento geométrico (o movimiento) que produce cambios en una figura. El resultado de una transformación es una nueva figura llamada imagen. Si la figura original y su imagen son congruentes, entonces la transformación se denomina isométrica. Son transformaciones isométricas la simetría, la traslación y la rotación.

MOVIMIENTO DE SIMETRÍA EN EL PLANO

La simetría es una transformación en la cual cada punto de una figura se asocia a otro punto del plano llamado imagen. Existen dos tipos de simetría: axial y central. Simetría axial En la simetría axial, cada punto de la figura y la imagen correspondiente están situados a la misma distancia de una línea recta L llamada eje de simetría y el segmento que une dichos puntos es perpendicular a dicho ej.

(a) (b) (c) a) El punto P y su imagen P’

b) La recta AB y su reflejo A'B' c) Un polígono cualquiera y su simétrico

•

P

•

P’

L

A

L B

A’

B’

P

L

Q

P’

Q’

113

Simetría central En la simetría central, cada punto de la figura y su imagen respectiva se encuentran a una misma distancia de otro punto llamado centro de simetría y se encuentran contenidos en una misma rect.

(a) (b) (c) a) El punto P y su imagen P’

b) La recta AB y su reflejo A'B' c) Un polígono cualquiera y su simétrico

Ejemplos.

1.- Dado el punto P de coordenadas (2, 2), su imagen, respecto del eje Y, tiene coordenadas (2, 2).

2.- Dado el punto Q de coordenadas (1, 2), su imagen, respecto del eje x = 3, tiene coordenadas (5, 2).

•

P

•

P’ •

centro de

simetría

A

B A’

B’

• centro de

simetría P

Q P’

Q’

• centro de

simetría

2 1 1 2 X

Y

1

2 P • • P’

2 1 3 4 X

Y

1

2 Q • • Q’

5

x = 3

114

3.- Dado el punto R de coordenadas (2, 2), su imagen,

respecto del eje X, tiene coordenadas (2,2). 4.- Dado el punto S de coordenadas (2, 2), su imagen,

respecto del origen del sistema, tiene coordenadas (2,2). 5.- Dado el punto T de coordenadas (1, 1), su imagen, respecto del punto (3, 2), es el punto (5, 3).

6.- Dado el polígono A, P es el simétrico de A respecto del eje x = 4, Q es el simétrico de A respecto del eje y = 3 y R es el simétrico de A respecto del punto de coordenadas (4, 3).

2

1 1 2 X

Y

1

2 • R

• R’

2

1 1 2 X

Y

1

2 • S

S ’ •

1 2

X

Y

2 1 3 4

1

2

• T

• T’

5

3

1

2

1 2 X

Y

4

5

A P

3

4 5

Q R

115

MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN EN EL PLANO En la figura se tiene un plano cartesiano, el cual nos permite asociar a cada punto del plano un par ordenado de números llamado coordenadas del

punto. Por ejemplo, el punto A del ABC tiene coordenadas (2, 2). Si

observamos bien, nos damos cuenta que el A'B'C' es el mismo que el ABC el cual, por algún método, fue trasladado.

A la traslación del vértice A le corresponde el punto A' de coordenadas (8, 5), y por lo tanto, la traslación de la figura está dada por 6 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba, lo cual simplemente se reduce a que el punto A(2, 2) se le aplicó una traslación T(6, 3), que corresponde a una suma de vectores.

(2, 2) + (6, 3) = (8, 5)

T(6, 3) se denomina vector traslación

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

A B

C A’ B’

C’

X

Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

3 unidades

según Y

6 unidades según X

T

X

Y

116

Ejemplo: A una circunferencia de radio 1 y de centro (2, 3) se le aplica una traslación de 3 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba. Nos ayudaremos de un esquema en los ejes cartesianos y aplicaremos al punto centro de la circunferencia una traslación T(3, 3), y por ende, a cada uno de los puntos de la circunferencia.

Ejemplos

1.- Dado el punto P de coordenadas (1, 1), P’ es su traslación según el vector T(3, 1).

2.- Dado el punto Q de coordenadas (5, 1), Q’ es su

traslación según el vector T(3, 2).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

Vector traslación

2 3 4 X

Y

1

2

P •

• P’

2 1 3 4 X

Y

1

2

Q’ •

• Q

5

3

117

3.- Dado el punto R de coordenadas (2, 2), su

traslación, respecto del vector (4, 3), es el

punto R’(2,). 4.- En la figura, el punto S se traslada a la posición S ’ según el vector T1(1, 3) y luego se traslada a la posición S” según el vector

T2(3,1). Estos movimientos son equivalentes a haber aplicado una sola traslación de componentes:

(1, 3) + (3,1) = (1 + 3, 3 1) = (4, 2) Este procedimiento se conoce como suma vectorial.

5.- Dado el segmento AB de la figura, al trasladarlo según

el vector T(3, 0), se obtiene el trazo ' 'A B y se genera una superficie por traslación. En este caso, dicha superficie es un romboide y su medida es:

base altura = 3 · 2 = 6 u2. 6.- El rombo ABCD de la figura se trasladó a la posición A’B’C’D’. El vector traslación

aplicado es T(7,2).

2 1

1 2 X

Y

1

2

R’ •

• R

2

1

3 4 X

Y

3

4

• S ”

S •

2 5

S ’ •

X

Y

2 1 3 4

1

2

A

B

5

3

A’

B’

X 5

C’

2

3

1 2

Y

5

6

A

C

4

4

B

D

A’

B’

D’

1

118

MOVIMIENTO DE ROTACIÓN EN EL PLANO

Una rotación es una transformación que asocia a cada punto del plano una imagen de acuerdo a un punto llamado centro de rotación y a un ángulo que podemos llamar ángulo de giro. La figura 9.6 muestra una cruz que ha sido

girada en un ángulo de 45 con respecto al punto B.

Ejemplos. 1.- Si se rota el punto P(3, 1) en 90º en torno al punto de coordenadas (1, 1), se obtiene su imagen P’ de coordenadas (1, 3).

2.- Si se rota el punto Q (3, 1) (igual al ejercicio

anterior) en 90º en torno al punto de coordenadas (1, 1), se obtiene su imagen Q’ de

coordenadas (1,).

B C

D

E

F G

H

A

A

B

C

D

E F

G

H

45º

2 1 3 4 X

Y

1

2

P’ •

• P

3

2 1 3 4 X

Y

1

2

• Q

• Q’

1

119

3.- Dado el punto R de coordenadas (2, 2), su imagen, rotada en 180º respecto del origen del

sistema de coordenadas, es el punto R’(2,2). 4.- Dado el cuadrado ABCD de la figura, al rotarlo en 90º en torno al punto de coordenadas (1, 1), se obtiene el cuadrado PQRS. P es la imagen de A, y así, sucesivamente. 5.- El rectángulo ABCD de la figura, se ha

rotado en 180º en torno al origen del sistema de coordenadas. La imagen de A es B, la imagen de B es Q, y así, sucesivamente. 6.- La figura muestra la rotación sucesiva

del polígono A en 90º, 180º y 270º originando los polígonos P, Q y R, respectivamente. El centro de rotación tiene coordenadas (4, 3).

2

1 1 2 X

Y

1

2 • R

R’ •

1 2

S

B

2 1 3 4 X

Y

1

2

• P

A •

3

4

D C

Q R

2

1 1 2 X

Y

1

2

Q R

1 2

D

C B

A

S P

1

2

1 2 X

Y

4

5

A

R

3

4 5

P

Q

120

Pruebas

Prueba Ángulos y Triángulos.

1. En el triángulo rectángulo D es punto medio de AB, si hallar

cuánto mide

Solución:

°

°

°

121

2. El triángulo ABC, rectángulo en C y D. AD=16, CD=12, AB=c, BC=b, AC=a.

Hallar a, b y c.

Solución:

Llamaremos p al trazo DB

Ahora por Pitágoras calculamos b.

122

3. Dada la Siguiente relación. Si MN=4, AD=5, NB=3, MN es mediana CD

bisectriz Hallar MC.

Solución:

Sabemos que MN=4, AD=5 NB=3 y MN es mediana

Como MN mediana obtenemos inmediatamente que NC=3 y BC=6. Además

es paralela al lado

AB y es igual a la mitad de AB. Por lo tanto AB=8 lo que nos dice que

DB=3.

Ahora por teorema de Apolonio obtenemos:

123

4. Triángulo ABC equilátero de lado 10cm y y lado AD=4cm.

Hallar lado BE

Solución:

Sabemos que por ser triángulo equilátero se cumplen las siguientes condiciones.

Tambien.

Lo que nos indica que

( )

Ahora:

124

5. AD y CE transversales de gravedad que se intersecta en ángulo recto, si

GD=3 y GE=2. Hallar BC

Como AD es transversal de gravedad sabemos que el punto D es punto

medio de BC. También por ser transversal de gravedad sabemos que los

lados están en proporción 2:1.

AG=2GD y que CG=2GE.

Y como D punto medio sabemos que CD = BD

125

Prueba 2 ángulos, circunferencia ecuación de la recta.

1. Hallar el valor de k para que la recta ( ) sea

perpendicular a la recta

Para que las rectas sean perpendiculares las pendientes de estas deben

multiplicarse y el resultado debe ser -1.

Calculemos las pendientes de cada recta.

( )

( )

( )

Ahora pendiente de la segunda recta.

Ahora debemos multiplicar las pendientes igualar a -1 y despejar k.

( )

( )

126

√

√

√

Con ambos resultados posibles para k las restas serán perpendiculares.

2. En la figura adjunta ABCD es un cuadrado inscrito en la circunferencia y E

es un punto cualquiera del Arco(CD), entonces ¿Cuánto vale ?

Solución:

Como el Arco(CD) sesta sostenido por un cuadrado, se puede inferir que el

Arco(CD)=90°

El mismo arco sostiene un ángulo inscrito así que por este motivo el ángulo

inscrito es la mitad del ángulo del centro.

Es decir:

Y como el arco EF es de 90° nos dice que el

127

Prueba de Áreas y perímetros

1. ABC Triángulo equilátero cuya altura es de √ . Calcule el área

sombreada.

O

A B

Solución

Primero debemos calcular el radio de la circunferencia, conjuntamente

calcularemos la altura del triángulo ABO.

√ √

Tambien sabemos que

( √ )

√

√

√

√

√ √

128

Ahora calculemos el radio

√ √ √

√

Ahora calcularemos las áreas necesarias.

Triángulo ABC.

Área = √

√

Sector circular

= √

√

Ahora el área del triángulo ABO

Área =

√

√

Ahora debemos sumar y restar áreas.

Área achurada es:

√ √

√

129

2. En la figura es equilátero EBCD es rombo. ⊥ . ¿Cuánto

vale el área de la región sombreada?

Solución:

Primer paso debemos calcular la altura del cuadrilátero.

Eso lo haremos mediante Pitágoras en el triángulo CEF.

Sabemos que EF = 2 ya que CF porque. ⊥

√

Ahora calculamos las áreas pedidas.

Área de triángulo DCE

√

√

Área triángulo ECF:

√

√

Área Pedida es:

√ √ √

130

3. En la circunferencia adjunta se tiene que AB = diámetro; DC=12; OE=6.

Calcula el área sombreaba.

Solución:

Primero debemos calcular el radio de la circunferencia.

Mediante Pitágoras

√

√

Como OC diagonal y se forma un cuadrado de lado 6. Ahora

Área del sector circular

√

√

Área del triángulo DCO.

Área pedida es:

√

Monografía de Geometría

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