Especialidad: Matemática e Informática

Lima, Perú

2018

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

MONOGRAFÍA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

Teoría general de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Curvas

Integrales. Ecuaciones diferenciales de Primer orden por separación de

variables, ecuaciones homogéneas. Ecuaciones Exactas. Factor integrante

Ecuaciones diferenciales Lineales Ecuación de Bernoulli y de Ricatti.

Examen de Suficiencia Profesional Resolución N° 1242-2018-D-FAC

Presentada por

Orosco Ojeda, Roberto Carlos

Para optar al título profesional de Licenciado en Educación

ii

Línea de Investigación: Curriculum y formación profesional en educación

______________________________________

Lic. Giles Nonalaya, Modesto Isidoro

__________________________________

Dra. Mesías Borja, Dora Escolástica

___________________________________________

Lic. Pando Llanos, Ruben Pelucio

Presidente

Secretario

Vocal

Designación de Jurado Resolución N° 1242-2018-D-FAC

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Teoría general de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Curvas

Integrales. Ecuaciones diferenciales de Primer orden por separación de

variables, ecuaciones homogéneas. Ecuaciones Exactas. Factor

integrante Ecuaciones diferenciales Lineales Ecuación de Bernoulli y de

Ricatti.

MONOGRAFÍA

iii

Ariana y salvador, por su apoyo

incondicional hacia mi persona

A mi familia, esposa, hijos Fabiola,

iv

vi

Capítulo I. Generalidades .............................................................................................. 7

1.1 Antecedentes

......................................................................... 11

2.3 Ecuación diferencial de primer orden

2.8 Ecuaciones diferenciales lineales

............................... 40

................... 12

2.7.1 Factor integrante (I) ............................................................................................... 29

............................................................................. 37

2.9 Ecuación de Bernoulli y de Ricatti .......................................................................... 37

2.9.1 Ecuaciones de Bernoulli

2.9.2 Ecuaciones de Ricatti............................................................................................. 38

........................................................................................ 37

.................................................................................

2.7.2 Factor integrante (II).......................................................................................33

2.6 Ecuaciones diferenciales con coeficientes homogéneos (homogéneas) .................. 18

2.7 Ecuaciones diferenciales exactas ............................................................................ 26

2.10 Diseño Curricular Nacional de Educación Básica Regular (EBR) ......................... 40

........................................................................................ 40

2.10.1 Áreas curriculares y planes de estudio de la educación básica.

2.10.2 Plan de estudio de la educación básica regular...............................................40

40 2.11 Programación curricular anual

2.5.1 Ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables ............................. 17

2.10.3 Distribución del tiempo

2.10.4 Orientaciones metodológicas

Portada............................................................................................................................... i

Hoja de firmas de jurado...................................................................................................ii

Dedicatoria....................................................................................................................... iii

Introducción .....................................................................................................................

.............................................................................................................. 7

1.2. Máximos representantes ........................................................................................... 8

Capítulo II.Ecuaciones diferenciales de primer orden

............................................................................... 10

2.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

.............................................. 10

2.1 Definición de ecuación diferencial

...................................................................... 11

2.4 Curvas integrales ..................................................................................................... 12

2.5 Ecuaciones diferenciales de primer orden por separación de variables

Índice de contenidos

Índice de contenidos......................................................................................................... iv

1.1.1 Historia............................................................................................................. 7

v

Síntesis

................................................................... 41

2.12 Programación de la unidad didáctica ....................................................................... 40

2.13 Programación de sesión de aprendizaje

2.13.1 Estructura de la sesión ................................................................................40

50

Referencias ...................................................................................................................... 51

Aplicación didáctica ................................................................................................................. 42

............................................................................................................................ 49

Apreciación crítica y sugerencias ..................................................................................

vi

Introducción

un matemático aislado.

representantes de las ecuaciones diferenciales.

La matemática es fundamental hoy en día ya que la reforma de la enseñanza, partiendo de la

de razonamiento deductivo.

naturaleza matemática, nos permite obtener conocimientos de evolución continua y, por tanto,

un proceso heurístico, demostrado históricamente, contrario a lo que sostienen los defensores

del estilo deductivista, quienes pretenden que la deducción es tanto el de la matemática como de

la lógica del descubrimiento, al igual que de la mayoría de los conceptos desarrollados por

fundamentalmente, en tres capítulos, que detallaremos a continuación.

En capítulo I desarrollamos las bases teóricas, los antecedentes, la historia y los máximos

En el capítulo III presentamos la aplicación didáctica con su respectiva sesión de clase.

Todo lo anterior podemos reafirmarlo con el hecho de que el desarrollo de la matemática ha seguido

La presente monografía, titulada Ecuaciones diferenciales de primer orden, está dividido

En el capítulo II tocamos la parte central de la investigación, que viene a ser teoría general

de las ecuaciones diferenciales, las curvas integrales y los demás aspectos relacionados con ella.

7

Capítulo I

1.1 Antecedentes

Los matemáticos utilizaban como argumentos de la física.

funciones de elementos del triángulo característico.

(p. 65).

1.1.1 Historia.

Generalidades

En 1693 Huygens hace referencia a las ecuaciones diferenciales y Leibniz manifiesta que son

curvatura que adopta una cuerda flexible. Leibniz la representó como catenaria (del latín

catena). Galileo dijo que era una parábola, mientras que Huygens probó que no era cierto”

Camona (1990) señala que “Bernoulli formuló en 1690, el ejercicio de ubicación de la

Simmons (1993) sostiene que “Las ecuaciones diferenciales tienen la característica

principal de servir como modelo matemático en diversas disciplinas relacionadas al tema” (p.89).

Segunda etapa, edad del rigor.

teorema de existencia.

La quinta etapa inicia en 1930.

Isaac Newton (1642 – 1727)

8

La tercera comienza en 1870 con M. S. Lie (1842 – 1899) .

La cuarta comienza en 1880 con el trabajo de E. Picard (1856 – 1941) y su

funciones en series de potencias, y empezó a pensar en la velocidad del cambio.

en la evolución de las ecuaciones diferenciales consideramos cinco etapas:

La primera etapa hasta 1820, Cauchy publica el teorema de existencia.

1.2 Máximos representantes

Ruorson y Costa (2008) menciona a los siguientes representantes:

Clasificación de las ecuaciones diferenciales:

Nació en 1642. Desde 1665 hizó descubrimientos matemáticos; expuso las

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

integral definida.

caso integral.

(Rourson, 2008, p. 48). Expuso en un papel la ecuación: ∫

9

a) Jakob Bernoulli (1960)

famosa ecuación de Bernoulli de la mecánica de fluidos.

b) Leonard Euler (1707 – 1783)

resolución de problemas de mecánica celeste y de balística.

c) Alexis Claude Clairaut (1713 – 1765)

su nombre a la

Resolvió el problema de la isócrona y formuló la catenaria. Daniel asocia

La teoría de ecuaciones diferenciales fue incrementada en conceptos, para lo cual tomó como

Desde muy pequeño (diez años) L’Hôpital identificó la familia y = xy’

+ f(y’); ademas de resolver generalmente y = cx + f(c).

d) Jacopo Riccati (1676 – 1754)

Consideró las ecuaciones de la forma f (y, y’, y’’) = 0.

10

Capítulo II

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Ejemplo 1:

Ejemplo2.

2.1 Definición de ecuación diferencial

Además de la variable independiente x y de la función y = y(x), está presente

derivada de ésta, y’ (x) la primera

La variable independiente es t, y las funciones incógnitas, x(t) e y(t).

De Guzmán y Peral (1978) manifiesta que “las derivadas de una o más variables

dependientes están incluidas con respecto a una o más variables independientes” (p.74).

11

comparecen en la ecuación.

Ejemplo 3:

(

)

es de segundo orden. La ecuación diferencial

es de tercer orden.

2.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

(forma explícita)

Ejemplos:

2.3 Ecuación diferencial de primer orden

y sus derivadas y ', y",......, y (n ) , de la

yd 02 xyx

xd

xcosyxyyx 3'4'"

03' yxy

)......,,",',,( )1()( nn yyyyxFy

0)......,,",',,( )( nyyyyxG (forma implícita) (1)

independiente x , una función incógnita )(xyy

El orden de una ecuación diferencial es el mayor de los órdenes de las derivadas que

Según Frank (1993), una ecuación diferencial ordinaria (EDO) contrasta una variable

forma siguiente:

o

Nagle (2001) sostiene que en ocaciones, las ecuaciones diferenciales de primer orden se expresan:

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 .

12

Y’=

√

√

o bien

y’ = f (x, y)

Se denomina incidencia de valores iniciales al problema

F (x, y’) = 0

Gutiérrez (2014) Si puede reducirse a la forma:

M (x)d N(y)dy 0

Ejemplo: Comprobar que y = x 4/16 es una solución de y’ = x

√

En efecto:

y(x0) = y0 (forma implícita) ,

y (x0) = y0 (forma explícita).

este caso, que la función y valga y0 en x = x0.

2.4 Curvas integrales

Loyola (1997) aclara que“se le llama curva integral a una curva de nivel de

un campoescalar u

2.5 Ecuaciones diferenciales de primer orden por separación de variables

(t,x) constante sobre toda solución de la ecuación diferencial” (p.34).

El objetivo es determinar una solución que verifique una determinada condición, en

13

2.- Determine la solución general de la ecuación

integrando término a término

se tiene

1ln)1ln(

21 2

21

2

1

2

yx

2 LnC

y

xdx

dy

xC

yy 22 )1(1 1

xdx dy

x

yy )1(1 22

0

Cdxxdy 23

dxxdy 23

dx

CdyyNdxxM )()(

La solución general se obtiene por integración directa

donde C es una constante arbitraria.

dy 3x 2

Ejemplos:

1.- Determine la solución general de

y x3 C .

xy (1 y2 )dx (1 x2 )dy 0 .

Dividiendo entre y (1 y2 )(1 x2 ) ,se obtiene

14

después de simplificar se tiene la solución en forma implícita

ecuación diferencial

integrando se llega a

3.- Determine la solución general y la curva única que pasa a través del punto (0,0) de la

)0cos(11 C

sustituyendo el punto )0,0( en esta solución obtenemos

Cye x ln)ln(cos)1ln(

x

x

dxeCdyy

e 1tan

1

x

x

dxe dyysen

e

y

0)1(cos dyysenedxye xx

222 )1)(1( Cyyx

22 )1)(1(2y

22 )1)(1(

ln2

yxln C

y

22

1ln)1ln(

2

yx ln C

y

x y C,

Divida por cos y(1 e x ) para obtener

0,1 cos

1 e x C cos y,

15

integrando se obtiene la solución general

y en forma explícita se escribe

1 e x 2cos y

y

xe

2

2

y xe

2

2 2

2ln21)1ln(22 xey

21 xey 2 2ln)1ln(

21

21 CC 2ln2ln

21

haciendo 1,0 yx se tiene

Cey x )1ln(2

21

1

dxe x

y . x

0

inicial 1

xx

2C

La resolución particular a través del punto (0,0) es ,por tanto,

4.- Halle la solución particular de la ecuación (1 e )yy e , que satisface la condición

Después de separar las variables, la ecuación se escribe

ydy e

x

La solución particular resulta

1 ln 1,

1 ln 1.

16

se obtiene

La solución requerida es

sea igual a

dy 3 y

dx

Expycos1 x

xsen

xsen

1 Cee C

2

cos1cos1ln

xsenCy

xsen

x

xsenCExpy

xsen

x

lnlnln y ln

cos1 x

xsen C

xsen

y

y

dy1Cdxx 1csc

ln

ln

dy

dx

yy xsen

dx

.

2

x

iniciales ey

dy sen x y ln y

5.- Encuentre y resuelva E ysen x y ln y que satisface las condiciones

Haciendo x , y e,

Problema. – Ubique la curva en el punto (0,2) donde la pendiente de la tangente

la ordenada del punto, adicionada en tres unidades:

17

que en forma explícita se escribe

2.5.1 Ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables.

en la forma

Se obtiene

variables independientes con:

a by t y

)(

dt Cx

atfb

)(

dt

o bien, después de separar las variables t y x

atb

)(1

tcbyax

ey x

00)32(ln CC

Cxy )3(ln

3

dy dx

y

La curva debe pasar por el punto (0,2) , entonces

ln (y 3) x,

3.

Gutiérrez (2014) afirma quna ecuación de la forma y f (ax by c) se reduce al tipo de

Y al sustituir es

dx , bf ta

1 ( ) ( ) ,t a f. t

b

obtenida.

2.6 Ecuaciones diferenciales con coeficientes homogéneos (homogéneas)

Por ejemplo:

(a) La ecuación

(b) La ecuación

Funciones homogéneas

18

La función es homogénea de grado 23 .

. n ),(),( yxfttytxf

xyy

dx

3 2

x (c) La ecuación

2

1

1

dy

yxdx yx

yx

x

y

y

x

yx

2

2

2

22

dx

dy

x

xyy y

x

y

x

dx

dy yF

x

x

yx

y

dy ),( yxf

dx

Se dice que f (x, y) es una función homogénea de grado n , si para algún

número real n ,

se retorna a variables anteriores remplazando t ax by c en la solución así

Weinberg (1993) dice que una ecuación de la forma:

.

es homogénea .

1

ln ln ln también es homogénea .

dy no es homogénea .

(a) f (x, y) x2 y2 1

es homogénea siempre que la función f no dependa de x y y separadamente, sino

solamente de sus razones o , por lo tanto, las ecuaciones con coeficientes homogéneos

(homogéneas) son de la forma:

19

La función es homogénea de grado cero

y

Ejemplo

f (x, y) x2 3xy y2 es homogénea cuadratica

xf son ambas de grado cero.

y

1,

f ,1 y

x

y

donde

n fyyxfy

x 1,),(

,1),( n yfxyxf

x

Si ),( yxf es una función homogénea de grado n es posible escribir

(b) La función yxyxf 2),( no es homogénea

(a) La función 2236),( yxxyyxf es homogénea de grado 4

tytxf ty

tx

y

x)(),( 0 yxft4

)(2 ),(4

2

xyxf ),(

y(d) 4

2

La función no es homogénea ya que ),(),( 2 yxfttytxf

1)()(),( 22 tytxtytxf

Entonces

Por su forma una ecuación homogénea puede simplificarse introduciendo una nueva variable,

se transforma en

de donde se obtiene

Resolviendo esta ecuación y remplazando

original.

Ejemplos. -

1.- Resuelva la ecuación diferencial

La ecuación diferencial homogénea

20

yt obtenemos la solución de la ecuación

x

)(

dt

dx

ttF x

dtx )(tFt

dx

dx

dy yF

x

txy dx

dy dtxt , entonces t

dxx

y

yyxf x

y

xfy

y y

x2

2 1,13),( 2

2 xyxf 131),( 2

2

x

y

x

y yfx

x

21

Se escribe en la forma

la ecuación se transforma en

separando las variables

la solución general se escribe

Cxtt lnln)1(lnln

tt

dt

x

dx

1

)1(C

)1(

dt

dx

tt x

dtx 2 tt

dx

dtx 22 ttt

dx

dx

dy dtx t

dx

yt se tiene y se comprueba que es homogénea, haciendo txy

x

2

2dx

dy y

x

y

x

dy

xyy

dx

2 2

x

2

22

Eliminando logaritmos

Sustituyendo

la solución se puede escribir en forma explícita como

2.- Resolver la ecuación diferencial

Se escribe en la forma normal para comprobar que es homogénea

Haciendo

12 ttttx

t , txy y ttxy la ecuación se convierte en y

x

y x

xyy y

x

y

x

22 2

1

22 xyyyx

2

1

Cxy

Cx

1

y

y

x

x

y Cx

xy

yt y simplificando

x

1

t Cx

t

23

Separando las variables se tiene,

e integrando

se tiene la solución

Eliminando los logaritmos

sustituyendo

y de ahí se tiene la solución

que se puede escribir en forma explícita como

222 Cxxyy

2

1

y

x

y Cx

x

t , obtenemos x

y

Cxtt 12

)(ln)1(ln 2 Cxtt

dt dx

tC

x1

2 1

12

dt

dx

t x

12 ttx

24

3.- Resuelva la ecuación diferencial

Se escribe en la forma

que se transforma en

separando las variables

e integrando

volviendo a las variables originales, se obtiene

Cxtt

Ctxt

2

2

1lnlnln

2

2

1]ln[

213

t

t dxdt

x

x

t

dx

dtt

t 2 11 t

t 3

2

dtx t

dx

21 t

t

dx

dy x

y

x

y

1

2

xy

dx

dy

22 yx

2

122 xCy

C

25

2

que también puede escribirse en la forma

Separando las variables e integrando se obtiene

haciendo

de donde se puede resolver para la variable dependiente

4.- Resolver:

xt t 1 t 2 t

x

)][ln( Cxsenxy

yarcsen ][ln Cx

x

yt se llega a

x

][lnlnln CxCxtarcsen

dt dx

tC

x1

21

dtx 21 t

dx

1 2

y

y

x

y

yyxyx 22

]ln[2 Cyyx

x Cy

y ]ln[

2 2

26

y

entonces, podemos construir la solución integrando M(x,y) respecto a x

función así obtenida respecto a y e igualando a N(x,y) se tiene

como la constante de integración C(y) depende sólo de y, su derivada se puede

escribir como una derivada ordinaria, es decir

y al derivar ambos miembros respecto a x llegamos a

que es la condición necesaria y suficiente para que una expresión diferencial sea

(2) u(x, y) M (x, y)dxC(y)

es una diferencial total, entonces existe una función u(x,y) tal que

y

xyxM ),(),( yxN

y

ddxyxM ),()(),( yxNyC

dy

(3’)

dxyxMy

),()(),()3( yxNyCy

donde la constante de integración podría ser una función sólo de y , derivando la

y

u),( yxN

x

u),( yxM

0),(),()1( dyyxNdxyxM

2.7 Ecuaciones diferenciales exactas

Ruorson y Costa (2008) Sostiene si el primer miembro de la ecuación:

27

una diferencial total, resolviendo para la derivada de C(y) de (3’), e integrando se obtiene

finalmente podemos escribir la solución (2) como

es exacta y determine la solución general.

se tiene

d

dx

22 1)( xyCdy

y 22 1)( xyCyx

uComo ),( yxN

y

)()(2),( 2 yCyxyCdxxyyxu

N2

21),( xyxN xx

M2 xyyxM 2),( x

y

0)1(2 2 dyxdxxy

yxNdxyxMyxu ]),(),([),(),( dydxyxMy

dyyxNyC ]),([),()( dydxyxMy

de donde se obtiene

C(y) 1dy

Se comprueba que es exacta, entonces

Ejemplo:Demuestre que la ecuación diferencial

28

e integrando

Para una ecuación diferencial exacta

La solución se puede obtener por integración

Se cumple que entonces

No añadimos constante de integración dado que )(yC es cualquier función tal que

Resolver:

(sen(xy) cos(xy)) dx x2 cos(xy) dy 0

Cxysenxyxu )(),(

)()(),( 0001 yxsenxCxysenxyxu

x

x

y

yCyxsenxxyxsenyxsenxxysenx

00

)()()()( 100000

0 02

)cos())cos()((),(

00

dyyxxdxxyxyxysenyxu

x

x

y

y

M

N

y x

N )cos(),( 2 xyxyxN )()cos(2 2 xysenyxxyx

x

M )cos()(),( xyxyxysenyxM )()cos(2 2 xysenyxxyx

y

Cyxudu ),(

0),(),( dyyxNdxyxMdu

Cyyxyxu 2),(

la función ),( yxu está totalmente determinada y la solución general se escribe

u ),( yxN

y

ydyyC )(

29

Otro método

indicada

Que es de la misma forma que en el método anterior

2.7.1 Factor integrante (I).

La integral contiene la forma

Resolver:

( 1) ( 2 3) 1

1 32 1

2 yyxyxx 3

3

dyyxdxxyxu x yx

x)3()1(),(

)0,(

)0,0( )0,(

2),(

El punto inicial ),( 00 yx se toma el origen de coordenadas, e integrando en la trayectoria

dyyxyxyxu yx

yx)3()1(),(

00 ),(

2),(

Cyyxxyx 182663 32

),( Cyyxxyxyxu 2

1

3

1

1

32 3

1)( 3 3)( 2 yyC yyyC 3

3

y

uyxyCxyCx 3)()( 2

x

u 11 2 yCxxyxuyx )(

2

yxy

yxx

0)3()1( 2 dyyxdxyx

Ruorson y Costa (2008) en algunos planteamientos debe tomarse el primero de la ecuación:

30

ecuación por esta, transforma al primer miembro en una diferencial total.

Ejemplo.-

que es una diferencial total, integrando se tiene

Según la definición de factor integrante

se llama factor integrante. La función ),( yx

dyyxNyxdxyxMyxdu ),(),(),(),(

, tal que al multiplicar la no es una diferencial total, es posible encontrar una función ),( yx

0),(),( dyyxNdxyxM

N

Mx

M

y

N

y x

xN

yM

y

M

x

N

My

Nx

3222 )( CxExpyx 3

ln2)(ln CExpxyxExp 22

32

13

)(ln Cxyx 3

2

1

322 ln2

1Cxyx )(ln

2 3

1

1

322 ln

yx

ydyxdx dxx

22

se obtiene 02

yxyx

1),(Multiplicando por

22

0)( 222 dxxyxydyxdx

ln ln

31

y se tiene

cuadratura.

Resolver la ecuación diferencial

Entonces

Multiplicando la ecuación por el factor integrante y reacomodando la expresión se tiene

Hemos obtenido una ecuación en derivadas parciales para hallar el factor integrante,

consideremos los casos más sencillos.

Ejemplo.-

1

xxln2ln

2

xdd ln2ln

d 2ln

xdx

2

)2(21

N

2

y

M yy

x

N

xxy

N2xyyxN 2),( y

x

2

y

M2),( yxyxM y

02)( 2 dyxydxyx

Nx

1ln

y

M

x

N

y , entonces 0

1.- El factor integrante es función sólo de x, )(x

Para que haya una variable de coordinación que no dependa de y, es fundamental y

adecuado que el segundo individuo de esta articulación dependa solo de x; En se encuentra.

32

que es una diferencial total

la solución se escribe

, y se tiene

Ejemplo.-

,

al aplicar el factor se obtiene la ecuación

N

x

M

Resolver :

Si el segundo miembro de esta ecuación depende solamente de y, se tiene un factor

que forma parte de la función unica de y, (x)

y

1d 1ln

ydy

ln2

)1(ln221

M

1M

x

N yxx

y yyxy

N21222 yyxN x

x

y

MyxyxyM ln2 )1(ln2

01ln2 222 dyyyxdxyxy

.

1ln

yMy

x2.- Si el factor integrante depende solamente de y , ahora 0

ln 2y

x Cx

xd x

y

2

0ln

dx dxyxydy

x

x

2

2 0

2

y

y

Resolver la ecuación diferencial

2.7.2 Factor integrante (II).

se puede confirmar como una cuidadosa condición diferencial y se puede componer como:

03423 22 dyyxyxdxyyx

ln

dz

d y

M

x

N

zN M

x y

z

lnln

dN

z

dzM

x dz

d M

y

z N

y x

ln11ln

yy

dz

d d

y

z z

dz y

ln11ln

xx

dz

d d

x

z z

dz x

y

dz

d

y

z

x

z

dz

d

x

, donde ),( yxzz

12 1ln 3

32 Cyyx

01)ln( 22 dyyyyxd

dyxdxyx dyyy

y 01ln2 2

2

y

yxy yyxdx dy

y

0

1ln2222

33

3.- El factor integrante es de la forma (z)

Ejemplo:

2yx .

3x2 2xy 4xy 2 y4 dx x2 4x2 y 5y4 dy 0

( , ) 3 2 4 5

M

y yxM , 1

2;2

x

z zx

22 yxz , yy

?

¿Tiene la ecuación 0 ydxxdyydyxdx un factor integrante de la forma

)( 22 yx

22 ))(( yxyx

yyxyxyxyxxyxyxyyxyxx 4224225432223 2222

54643),( 2

0,0

432220,

0,

,

dyyxyxyyxxdxxyxu

x

x

yx

432224322

0,0

,

dyyxyxyyxxdxyyxyxyxyxu

yx

2lnln yxz

d 1ln

zdz

, por tanto Entonces se comprueba que )(z

dz

d

yyyxyxyx

yy

yyxyx

y

yyyx

y

yyx

y

yx

4122ln

21

223154

21

22

21

2121

1

21

22

2232

2

34

Si tiene un factor que integra la forma

Aplicando el factor integrante a la ecuación diferencial inicial, se obtiene la

ecuación diferencial exacta

35

la primera fracción se integra

y para la segunda fracción se escribe

la solución se escribe finalmente

;

aplicando el factor y reacomodando la ecuación se tiene

Ejemplo.- Demuestre que si la expresión

entonces, la ecuación diferencial tiene un termino intrínseco de forma (x2 y 2 )

2 2 2 2

0

la ecuación 0 NdyMdx tiene un factor de integración que es función de yx .

1 es función de yx , entonces

M

MN

N

y

x

yyx arctanln 22 C

x

ydxxdyarctan

22

yx

x

y

yx

ydxxdy

ydxxdy

yx

x

x

dx

y

x

y

1

22 22

2

2

2

ydyxdxyx

yx2

122

ln22

21

22

ydyxdx ydxxdy

yx

yx

11

yxz

22

d 1ln

zdz

d

11ln

yxyyxxyxdz

1

)2)(()2)(( 22

x

N yxN , 1

36

Factores de integración de la forma

u x y x y x y dx C y

x y x y Cy

4xy 2 3y dx 3x2 y 2x dy 0

4x3 y3 3x2 y2 d x 3x4 y2 2x3 yd y 0

2233

2334 )(

)(34),(

nmnm

nm 243

1,2132

)34()22(12

xynxymxy

32)43( nmxynm

22

)26()38( mxyxy3423

x

xyx yxyn

y

Nxy

x

M 26

y

xy 38

M

N

ym

x x

N Mn

y

y

M

x

N nmnmnm nyMxyNmxyx

11

M 11 nyMxyxy x

N nmnmnmnm yNmxyx

1yNxx x

N nmnmnm yNmxyx

yMxy y

M nmnmnm nyMxyx

1

yx nm

Entonces x2 y ; aplicando el factor a la ecuación inicial, se obtiene la

ecuación diferencial exacta

Ejemplo:Resolver la ecuación diferencial

37

2.8 Ecuaciones diferenciales lineales

así:

2.9 Ecuación de Bernoulli y de Ricatti

Descripción de la ecuación

y' = p(x)y + q(x)yn

donde n es cualquier número real.

lineal cuya solución viene dada por:

En este caso la solución viene dada por:

2.9.1 Ecuaciones de Bernoulli.

donde p y q son funciones continuas en un intervalo I.

)1()()(' xqyxpy

Cyxyxyxu 2334),(

CyCyC )(0)(

yxyxyCyxyx 324324 23)(23

En 1696 Bernoulli resolvió la ecuación que hoy llamamos 'Ecuación de Bernoulli'

que se comunican

Camona (1997) Son condiciones diferenciales estándar de primera solicitud

Caso particular: α = 1

Caso particular: α = 0 En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial

Solución de una ecuación diferencial de Bernoulli.

Veremos un método de solución por medio de un ejemplo:

Dada la ecuación

primero reescribimos la ecuación como

por medio de una división de toda la ecuación entre x.

Con tenemos o . Entonces sustituimos:

←Regla de la cadena

en la ecuación dada y simplificando el resultado es:

Después para obtener el factor integrante para esta ecuación lineal tomamos en, (0,∞),

siendo lo siguiente:

∫

Integrando:

[ ]

Ecuación de Riccati de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )

No se integra en cuadraturas.

Si se conoce una solución particular, y1(x), entonces:

2.9.2 Ecuaciones de Ricatti.

Sustituyendo en (R1):

( ) ( ) (

)

( ) (

)

Considerando que y1 es solución de (R1):

( )

( ) ( )

Simplifica:

( )

( )

( )

( )

Ecuación lineal en z:

En el caso de que se conozca otra disposición, y2 , de la condición diferencial de

Riccati, en ese momento:

Se Reconoce soluciones particulares y1, y2 e y3, entonces:

La ecuación diferencial de Riccati se reduce a:

40

desarrollados.

Integran de competencias.

Secundaria.

Horas pedagógicas

Prácticas pedagógicas que privilegia la participación activa y cooperativa.

Responden a factores problemáticos. Son tangibles o intangible.

Aprendizaje esperado. Aprendizajes fundamentales.

Integran los niveles de Educación Inicial y Primaria y en forma específicas en

Contiene las capacidades y contenidos organizados.

son

Es un documento donde se encuentran los saberes principales y básicos los cuales

2.10 Diseño Curricular Nacional de Educación Básica Regular (EBR)

2.10.1 Áreas curriculares y planes de estudio de la educación básica.

2.10.2 Plan de estudio de la educación básica regular.

2.10.3 Distribución del tiempo.

2.10.4 Orientaciones metodológicas.

2.11 Programación curricular anual

2.12 Programación de la unidad didáctica

. Título.

. Competencia/s.

. Secuencia didáctica:

. Inicio

2.13 Programación de sesión de aprendizaje

2.13.1 Estructura de la sesión.

41

. Desarrollo

. Cierre

. Tarea o trabajo en casa (opcional)

42

Aplicación didáctica

43

44

Ecuación diferencial por separación de variables

- 2x+3y

Resolución

∫ ∫

Observación:

∫

(

)

ECUACIÓN GENERAL

Calculando la condición

subyacente que suplantamos

en la disposición. general objetivo de encontrar la estimación constante “C”.

Integramos

Hoja de práctica

45

Reemplazo y (0) =0

x=0

-2e-3(0)

= 3e 2(0)

+ c

Tomando Ln

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Solución particular

Y(x)

Separación de variables

∫ ∫

∫

Sabemos que:

∫

+c

∫

∫

46

47

Observamos:

∫

∫

∫

48

Unidad : 2

Grado y sección : 4to

Examina modelos referidos a

inecuaciones lineales que

expresen situaciones de

restricción.

Evalúa el conjunto de

valores que cumplen

una condición de

desigualdad en una

inecuación lineal.

Ítems

Rep

rese

nta

lo

s d

ato

s y

con

dic

ion

es d

e la

s

situ

acio

nes

con

in

terv

alo

s

o d

esig

ual

dad

es.

Pla

nte

a ec

uac

ion

es a

trav

és d

e d

ato

s p

ropu

esto

s

en e

l p

rob

lem

a.

Le

da

sen

tido

a l

as

exp

resi

on

es s

imbó

lica

s d

e

acu

erd

o a

l co

nte

xto

de

la

situ

ació

n.

Iden

tifi

ca q

ué

val

ore

s

cum

ple

n u

na

con

dic

ión

de

des

igu

ald

ad.

Su

sten

ta s

us

afir

mac

ion

es

con

bas

e en

la

inte

rpre

taci

ón

de

las

con

dic

ion

es d

e

des

igu

ald

ad.

Lista de estudiantes

Sí No Sí No Sí No Sí No Sí No

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

Lista de cotejo

49

Síntesis

Las formulaciones matemáticas de problemas en física, economía, biología y otras ciencias

generalmente se incorporan en ecuaciones diferenciales. El análisis de las ecuaciones

resultantes proporciona una nueva visión de los problemas originales.

exponenciales y trigonométricas, que desempeña un papel central en su desarrollo posterior.

La teoría lineal de primer orden comienza con una presentación autónoma de las funciones

Se puede hacer derivadas de todas las funciones. Es mecánico, pero solo se podrá

lo mismo se aplica a las integrales.

encontrar la solución exacta de una fracción infinitesimal de diferencias y pensando en eso,

La enseñanza de las ecuaciones diferenciales en la formación del profesor del área de

Matemática tiene un lugar especial pues sirve como un elemento que evalúa la calidad que

han tenido los futuros profesores en lo que se refiere al área de Cálculo y Análisis

Matemático.

Por un lado, evalúa el desempeño de los profesores de esas asignaturas, así como la

esta idea debe cumplirse en forma estricta, pues el estudiante que no sabe derivar ni integrar,

las ecuaciones diferenciales simplemente no podrán aprender el tema.

colección de problemas cuya solución se realice con los diversos métodos de solución de una

ecuación diferencial.

Apreciación critica y sugerencias

También se debe innovar la metodología de enseñanza con diversos medios que en

50

La: razón es sencilla. Por ser la Matemática una disciplina jerárquica, aquí vemos que

Lo que debe tener en cuenta el profesor de esta asignatura haya una

la actualidad como son los videos y las diapositivas para hacer la clase más entendible.

dedicación y la importancia por parte de los estudiantes.

Referencias

Alhambra.

Simmons, G. (1993). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas.

Ruorson, R. y Costa, G. (2008). Ecuaciones Diferenciales. Monterrey, México:

Frank. R. (1993). Ecuaciones Diferenciales. Monterrey, México: Editorial. Mc Graw Hill.

Loyola, I. (1997). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. California, Usa:

Editorial Marymount University.

Madrid, España: Editorial Alhambra.

Sevilla, España: Editorial Addison-Wesley Iberoamericana.

Editorial Mc Graw Hill.

Monterrey, México: Editorial Mc Graw Hill.

De Guzmán, P., Walias, M. (1978). Problemas de ecuaciones Ordinarias.

Camona, J. (1997). Ecuaciones Diferenciales. Monterrey, México: Editorial

51

Inglaterra: Editorial Springer.

Nagle, K., Saft, E. (2001). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera.

Weinberger, H. (1993). Maximum Principles in Differential Equations. Oxford ,

Gutiérrez, V. (2014). Ecuaciones Diferenciales. Lima, Perú: Editorial Moshera S.R.L.

Huygens, C. (2010). Ecuaciones Diferenciales. Lima, Perú: Editorial Moshera S.R.L.