MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ -...
133
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK DERS NOTLARI Yar. Doç. Dr. Hüseyin Bayıroğlu EKİM 2002 İSTANBUL
Transcript of MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ -...
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
DİNAMİK
DERS NOTLARI
Yar. Doç. Dr. Hüseyin Bayıroğlu
EKİM 2002 İSTANBUL
2
İçindekiler 1
GİRİŞ 2
VEKTÖREL ANALİZ 2.1 Vektör fonksiyonu 2.2 Vektör fonksiyonunun türevi 2.3 Vektör fonksiyonunun integrali
3 EĞRİLERDE DİFERANSİYEL ÖZELLİKLER
3.1 Bir vektör fonksiyonunun hodografı 3.2 Bir vektör fonksiyonunun hodografı üzerinde türevler 3.3 Doğal koordinat sistemi
4 MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
4.1 Kinematiğin temel kavramları 4.2 Maddesel noktanın hareketinin kartezyen koordinatlarda incelenmesi. 4.3 Maddesel noktanın hareketinin doğal koordinatlarda incelenmesi. 4.4 Maddesel noktanın hareketinin silindirik koordinatlarda incelenmesi. 4.5 Maddesel noktanın doğrusal hareketi 4.5.1 Sabit hızlı doğrusal hareket 4.5.2 Sabit ivmeli doğrusal hareket 4.5.3 ( )a f t ivme zamanın fonksiyonu şeklinde verilmiş ise 4.5.4 ( )a f s ivme konumun fonksiyonu şeklinde verilmiş ise 4.5.5 ( )a f V ivme hızın fonksiyonu şeklinde verilmiş ise 4.5.6 a kV Bağıntısına uygun doğrusal hareket (geri tepmeyi azaltma) 4.5.7 a ks Bağıntısına uygun doğrusal hareket (Serbest titreşim hareketi) 4.5.8. Doğrusal harekette toplam yol
3
4.6 Maddesel noktanın çembersel hareketi 4.6.1 Çembersel harekette hız ve ivmenin kartezyen koordinatlardaki ifadeleri 4.7 Maddesel noktanın bağıl hareketi (öteleme hareketi yapan eksen sistemine göre) 4.8 Maddesel noktanın bağlı hareketi
5
RİJİD CİSMİN KİNEMATİĞİ 5.1 Rijid cismin hareketinde izdüşüm hızlar teoremi 5.2 Rijid cismin öteleme hareketi 5.3 Rijid cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketi 5.4 Rijid cismin genel düzlemsel hareketi 5.5 Rijid cismin genel düzlemsel hareketinde ani dönme merkezi 5.6 Rijid cismin sabit bir nokta etrafında hareketi 5.7 Rijid cismin genel hareketi 5.8 Maddesel noktanın dönen eksen takımına göre bağıl hareketi
6 KİNETİK
6.1 Kinetik ve Newton’un ikinci hareket kanunu 6.2 Maddesel noktanın kinetiği 6.3 Kütle merkezinin hareketi teoremi 6.4 Rijid cismin sabit bir eksen etrafında hareketi ve atalet momentleri 6.5 Atalet momentleri 6.5.1 Atalet momentleri ile ilgili teoremler 6.6 Genel düzlemsel harekette rijid cismin kinetiği 6.7 Üç Buyutlu harekette rijid cismin kinetiği
7 İŞ VE ENERJİ İLKESİ
7.1 Maddesel noktanın hareketinde iş ve enerji ilkesi 7.1.2 Mekanik enerjinin korunumu ve potansiyel enerji 7.2 Sabit eksen etrafında dönen rijid cismin kinetik enerjisi 7.3 Genel düzlemsel harekette rijid cismin kinetik enerjisi 7.4 Üç boyutlu harekette rijid cismin kinetik enerjisi
4
8
İMPULS VE MOMENTUM İLKESİ 8.1 Maddesel noktanın hareketinde impuls ve momentum ilkesi 8.2 Rijid cismin hareketinde impuls ve momentum ilkesi
9 D’ALAMBERT İLKESİ
9.1 D’alambert ilkesi 9.2 Lagrange tarzında D’alambert ilkesi
5
BÖLÜM 1
GİRİŞ Mühendislik mekaniğin ikinci kısmı olan dinamik kuvvetler etkisinde cisimlerin hareketini inceleyen bilim dalıdır. Mekanikçiler Dinamiği kinematik ve kinetik adı altında iki ana bölüme ayırırlar. Kinematik hareketi doğuran nedenleri göz önüne almadan sadece hareketin geometrisini göz önüne alan bilim dalıdır. Kinetik ise hareketi oluşturan nedenlerle birlikte incelemektir. Kinetik kinematiği de içerdiğinden bazı yazarlar kinetiğe dinamik diyorlar. Genellikle Dinamik ilk önce kinematik veya kinematik için gerekli matematik bilgileri ile başlar. Burada da ilk iki bölüm kinematik için gerekli matematik konularını içeriyor.
BÖLÜM 2
VEKTÖREL ANALİZ
2.1 Vektör fonksiyonu Statikte görülen eş zamanlı vektörlerden farklı olarak dinamikte zamanla veya başka bir değişkene göre değişebilen vektörlerle de çalışılır. Bir u reel sayısının tanımlı olduğu bölgedeki her değerine bir )(uP
vektörü
karşılık geliyorsa P
vektörüne u değişkenine bağlı vektörel fonksiyon denir. Benzer şekilde birden fazla sayıdaki u , v , w gibi değişkenlere veya r
gibi
vektörlere bağlı vektörel fonksiyonlar tanımlanabilir.
)(uPP
),,( wvuPP
)(rPP
Problem 2.1.1 ( ) 10 8 3P u Cos u i Sin u j uk
şeklinde verilen vektör fonksiyonunu
3
u
için hesaplayınız.
3
u
için ( ) 10 8 33 3 3 3
P Cos i Sin j k
( ) 5 4 33
P i j k
6
2.2 Vektör fonksiyonunun türevi Bir vektörel fonksiyonun türevi aşğıdak i şekilde gösterildiği gibi skaler fonksiyonlardaki türev işlemlerine benzer biçimde alınabilir.Bir vektörel fonksiyonda u nun herhangi bir değerine karşılık gelen )(uP
vektörünü u
değişkenine verilen artımla elde edilen )( uuP
vektöründen çıkarılırsa P
artım vektörü elde edilir. Bu artım vektörünü değişkenin artımı olan Δu ya bölümüne ortalama değişim vektörü denir. Ortalama değişim vektöründe değişkenin artımı sıfıra yaklaştırılırsa vektörel fonksiyonunun u da ki türevi elde edilir.
P
u
)( uuP
P
)(uP
)()( uPuuPP
u
uPuuP
du
PdOU
)()(lim
2.2.1 Türev kuralları P
, Q
, W
vektörleri ve λ ile s skaleri u nun fonksiyonu olsun.Ayrıca T
vektörü θ nın θ da s in fonksiyonu olsun ve � işareti u ya göre türevi göstersin.
a) WQPWQP
b) PPP
c) QPQPQP
d) QPQPQP
e) du
ds
ds
d
d
Td
du
Td
7
Problem 2.2.1 ( ) 10 8 3P u Cos u i Sin u j uk
şeklinde verilen vektör fonksiyonunun u ya
göre birinci ve ikinci türevini 3
u
için hesaplayınız.
Çözüm :
( )10 8 3
dP uSin u i Cos u j k
du
2
2
( )10 8
d P uCos u i Sin u j
du
3u
( )3 5 3 4 3
dPi j k
du
, 2
2
( )3 5 4 3
d Pi j
du
Problem 2.2.2 Modülü sabit olarak değişen vektörün türevinin kendisine dik bir vektör olduğunu gösterin Çözüm: ( )P u sabit
Bir vektörün modülü vektörün kendisi ile skaler çarpımının karekökü alınarak bulunabileceğinden. ( ) ( )P u P u sabit
Bu eşitliğin her iki tarafının u ya göre türevi alınırsa
( ) 0dP
P udu
elde edilir. Böylece skaler çarpımın sıfır olmasından ( )P u
ile dPdu
türev
vektörünün birbirine dik olduğu ispatlanmış olur.
8
Problem 2.2.3 Bir düzleme paralel olarak değişen bir birim vektörün bu düzlem içindeki sabit bir doğrultuyla yaptığı açıya göre türevi aynı düzlemde bulunan kendisine pozitif yönde dik bir birim vektördür. Çözüm: Birim vektörün paralel olduğu düzlemi xy düzlemi bu düzlemdeki sabit bir doğrultu x ekseni ile gösterilsin Bu düzlemde x ekseni ile θ açısı yapan birim vektör e ise buna pozitif yönde dik vektör ile θ ya göre türevi alınan vektörün aynı vektör olduğu görülür. y
ded
θ e θ x e Cos i Sin j
de Sin i Cos jd
e birim vektörüne aynı düzleme paralel olmak koşulu ile ve pozitif yönde dik vektör ( )k e k Cos i Sin j
Buradaki vektörel çarpma işlemi yapılırsa de
k ed
bulunur. 2.3 Vektörel fonksiyonun integrali
)(ux , )(uy , )(uz , u nun belirli bir aralığında sürekli fonksiyonlar olmak üzere kuzjuyiuxuP
)()()()(
u ya bağlı vektörel fonksiyonunu göz önüne alalınırsa aşağıdaki integrale
kduuzjduuyiduuxduuP
)()()()(
)(uP
vektörel fonksiyonunun belirsiz integrali denir.
)()( uQdu
duP
eşitliğini sağlayan bir )(uQ
vektörel fonksiyonu varsa
9
CuQduuQdu
dduuP
)()()(
olur. Burada C
vektörü u skalerine bağlı olmayan sabit bir vektördür.
Bu durumda u = a ve u = b sınırları arasındaki belirli integral
)()()()()( aQbQCuQduuQdu
dduuP
b
a
b
a
b
a
şeklinde yazılabilir.
10
BÖLÜM 3
EĞRİLERDE DİFERANSİYEL ÖZELLİKLER 3.1 Bir vektör fonksiyonunun hodografı u ya bağlı değerler alan )(uP
vektörel fonksiyonunun başlangıçları
aynı noktaya getirilirse uç noktalarının çizdiği eğriye bu vektörel fonksiyonun hodografı denir. y Hodograf )(uP
o x z 3.2 Bir vektörel fonksiyonun hodografı üzerinde ( )P u
vektörel fonksiyonunun
türevi y
11
P
u
dPdu
Δs T
P
s (+) o1
o x z Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi eğri üzerinde keyfi bir başlangıç ve yön ile belirlenen s eğrisel ölçüsüne (OA arasındaki eğri uzunluğuna) eğrisel apsis denir. Burada P
vektörü s değişkeninin s de u nun fonksiyonu olarak ifade
edilebilir. Böylece P
vektörünün u ya göre türevi aşağıdaki gibi alınabilir.
du
ds
ds
Pd
du
Pd
burada ds
Pd
vektörünün T
teğet birim vektörüne eşit olduğu türevin tanımı
kullanılarak anlaşılır.
Ts
PLim
ds
Pds
0
Böylece
Tdu
ds
du
Pd
P
vektörünün u ya göre birinci mertebeden türevi bulunmuş olur. P
vektörünün u ya göre ikinci mertebeden türevi ise birinci mertebeden türevinin tekrar u ya göre türevi alınarak bulunur.
)(2
2
Tdu
ds
du
d
du
Pd
12
du
Td
du
dsT
du
sd
du
Pd
2
2
2
2
Burada du
Td
teğet birim vektörün u ya göre türevini almak için üç boyutlu
eğrilere ait bazı tanımları kullanmak gerekir. Oskülatör düzlem : Eğri üzerindeki noktalara göre değişebilen ve bir nokta civarında eğriyi düzlem eğri kabul etmekle bu nokta civarında eğriye en iyi uyan düzlemdir. İki boyutlu eğrilerde eğriyi içinde bulunduran düzlem oskülatör düzlemdir. Asal normal birim vektörü : Teğete oskülatör düzlemde dik olan ve eğrilik merkezine doğru yönelmiş olan birim vektöre denir. Üç boyutlu eğrilerde eğrilik yarıçapı , asal normal birim vektörü gibi tanımları yapabilmek için bir nokta civarında eğriyi düzlem eğrisi ve R yarıçaplı çember parçası olarak kabul etmek gerekir. Bir A noktası civarında aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi oskülatör düzlemde bulunan ds yay uzunluğunda, dθ merkez açısında ve R yarıçapında bir çember parçası kabul edilebilir. dθ T
ds T
R dθ burada ds = R dθ Burada görüldüğü gibi T
birim vektörünü θ nın θ yı s in fonksiyonu olarak
düşünülüp zincir kuralından faydalanılırsa aşağıdaki eşitlik yazılabilir.
du
ds
ds
d
d
Td
du
Td
burada d
Td
işlemini yapabilmek için sabit bir düzleme paralel olarak değişen
T
birim vektörünün bu düzlemde bulunan sabit bir doğrultuyla yaptığı θ açısına göre türevi göz önüne alınabilir. y
13
dTd
θ
T
θ x
jSiniCosT
jCosiSind
Td
Buradan T
birim vektörünün θ ya göre türevinin aynı düzlemde kendisine pozitif yönde dik bir vektör olduğu anlaşılır. Bu vektöre N
asal normal birim
vektörü denir.
Nd
Td
Bu denklem teğet birim vektörün u ya göre türevi ifadesinde yerine yazılırsa
du
ds
Rd
dN
du
Td
Tdu
ds
Rdu
Td
1
Teğet birim vektörün u ya göre türevi bulunur. Bu eşitlikler ile 2
2
du
Pd
ikinci türev
ifadesine gidilirse
NR
dudsT
du
sd
du
Pd 2
2
2
2
2 /
P
vektörünün u ya göre türevi teğet ve asal normal birim vektörleri doğrultusunda bulunur. 3.3 Doğal koordinat sistemi
Bu elde edilen T
ve N
birim vektörleri ile birde bunlara sağ el kuralına göre dik üçüncü bir birim vektör tanımlanırsa
NTB
bir koordinat sistemi tanımlanmış olur. Buradaki B
birim vektörüne
binormal birim vektörü denir. Bu T
, N
ve B
birim vektörlerinin belirlediği koordinat sistemine doğal koordinat denir. T
ve N
birim vektörlerinin belirlediği düzleme oskülatör düzlem N
ve B
birim vektörlerinin belirlediği düzleme normal düzlem T
ve B
birim vektörlerinin belirlediği düzleme rektifiyen düzlem denir. Bu üç koordinat düzlemine birlikte Frenet üç yüzlüsü de denir.
3.4 Doğal koordinat sisteminde T
, N
, B
birim vektörleri ve R eğrilik yarıçapı
Bir )(uPP
vektörel fonksiyonunda elde edilen Tdu
ds
du
Pd
denkleminden
14
du
Pd
du
ds
ve
du
Pddu
PdT
elde edilir.
N
birim vektörü ise
1dT dsN
du R du
formülünden elde edilir.
dTRduNdP
du
R eğrilik yarıçapı ise P
vektörünün u ya göre 1. ve 2. mertebeden türevleri
birbiri ile vektörel çarpılarak elde edilir.
Rdu
ds
du
Pd
du
Pd3
2
Bu denklemin her iki tarafının modülü alınır ve du
Pd
du
ds
eşitliği göz
önüne alınırsa R eğrilik yarıçapı aşağıdaki gibi yazılabilir.
2
2
3
du
Pd
du
Pd
duPd
R
Problem 3.4.1
y = f(x) kartezyen denklemiyle verilen bir düzlem eğride eğrilik yarıçapını veren formülü yazınız. Çözüm:
jxfixP
)( jxfidx
Pd
)( jxfdx
Pd
)(2
2
ve 2)(1 xfdx
Pd
)(2
2
xfdx
Pd
dx
Pd
denklemleri ile R eğrilik yarıçapını veren formül
15
2/32
)(
)(1
xf
xfR
şeklinde elde edilir.
Problem 3.4.2 ( ) 10 8 3P u Cos u i Sin u j uk
şeklinde vektör fonksiyonu ile verilen
eğrinin 3
u
deki eğrilik yarıçapını ve teğet birim vektörünü bulunuz.
Çözüm :
2
2
3
du
Pd
du
Pd
duPd
R
( )10 8 3
dP uSin u i Cos u j k
du
2
2
( )10 8
d P uCos u i Sin u j
du
2
2
( ) ( )10 8 3
10 8 0
i j kdP u d P u
Sinu Cos udu du
Cos u Sinu
2
2
( ) ( )24 30 80
dP u d P uSinu i Cos u j k
du du
2
2 22
( ) ( )576 900 6400
dP u d P uSin u Cos u
du du
2 2( )100 64 9
dP uSin u Cos u
du
3
2 2 3 / 2( )(100 64 9)
dP uSin u Cos u
du
3
2 2 3 / 2
2 2 2
2
( )
(100 64 9)
( ) ( ) 576 900 6400
dP u
du Sin u Cos uR
dP u d P u Sin u Cos udu du
16
2 2
( )10 8 3
( ) 100 64 9
dP uSin u i Cos u j kduT
dP u Sin u Cos udu
2 2 1/ 2
10 8 3
(100 64 9)
Sin u i Cos u j kT
Sin u Cos u
3u
için
2 2 1/ 2
10 8 33 3( )
3 (100 64 9)3 3
Sin i Cos j kT
Sin Cos
1/ 2
5 3 4 3 3 2 3( )
3003 2 5 10( 16 9)4
i j kT i j k
2 2 3 / 2
2 2
(100 64 9)3 3
576 900 64003 3
Sin CosR
Sin Cos
3 / 2300
( 16 9)4 11.9
432 225 6400R
BÖLÜM 4 MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
4.1 Kinematiğin temel kavramları
17
Yer vektörü : Bir maddesel noktanın bir mukayese cismine (koordinat sistemine) göre bulunduğu yere orijinden uzanan vektör. Hız vektörü : Yer vektörünün zamana göre türevi İvme vektörü: Hız vektörünün zamana göre türevi veya yer vektörünün zamana göre ikinci türevi Aşısal hız: Aynı düzlemde hareket eden noktayı sabit bir noktaya bağlayan doğrunun aynı düzlemdeki sabit bir doğru ile yaptığı açının zamana göre türevi Açısal ivme: Açısal hızın zamana göre türevi
y p r
x z r (Yer vektörü )
dt
rdV
( Hız Vektörü )
dt
Vda
( İvme vektörü )
y P x )(t (Zamanı fonksiyonu olan aynı düzlemdeki açı )
dt
d ( Açısal hız ) ,
dt
d (Açısal ivme )
4.2 Maddesel noktanın hareketinin kartezyen koordinat sisteminde incelenmesi
y
18
),,( zyxA r
y z Bir maddesel noktanın hareketinde koordinatları
)(txx , )(tyy , )(tzz
şeklinde ise yer , hız ve ivme vektörleri aşağıdaki gibi hesaplanır.
ktzjtyitxr
)()()(
ktzjtyitxV
)()()(
ktzjtyitxa
)()()( Burada değişkenlerin üzerindeki noktalar zamana göre türevi göstermektedir. Problem 4.2.1 Bir maddesel nokta bir eğri üzerinde 10x Cos t , 8y Sin t , 3z t
bağıntılarına göre hareket etmektedir. 6
t
için maddesel noktanın yer, hız ve
ivme vektörlerini bulunuz. Çözüm:
10 8 3r Cos t i Sin t j t k
10 8 3V Sin t i Cos t j k
10 8a Cos t i Sin t j
6t
için
10 8 36 6 6
r Cos i Sin j k
5 3 42
r i j k
10 8 36 6
V Sin i Cos j k
5 4 3 3V i j k
10 86 6
a Cos i Sin j
19
5 3 4a i j
4.3 Maddesel noktanın hareketinin Doğal koordinat sisteminde
incelenmesi y V
Ta a
T
s (+) N
o1
Na r
o x z Daha önce formülleri çıkarılan doğal koordinat sistemindeki P
vektörü
yerine r
yer vektörü u yerine t zaman değişkeni alınırsa aşağıdaki hız ve ivme ifadeleri elde edilir.
Tdt
ds
dt
rdV
NR
dt
ds
Tdt
sd
dt
rda
2
2
2
2
2
Problem 4.3.1 Bir maddesel nokta bir eğri üzerinde 3 22 5 4s t t ( Burada s metre , t saniye cinsindendir.) bağıntısına uygun olarak hareket etmektedir. 1t de maddesel noktanın bulunduğu yerin eğrilik yarıçapı 5 .R m olduğuna göre bu andaki hız ve ivme vektörlerini doğal koordinat sisteminde hesaplayınız. Çözüm:
dsV T
dt
, N
R
dt
ds
Tdt
sd
dt
rda
2
2
2
2
2
23 10
dst t
dt ,
2
26 10
d st
dt
20
1t de 13ds
dt
2
216
d s
dt
13 V T ,
2(13)16
5a T N
16 33,8
a T N
Problem 4.3.2 Bir maddesel nokta bir eğri üzerinde hareket ederken bir t anında hız ve ivme vektörlerinin kartezyen koordinatlardaki bileşenleri
6 2 3V i j k
3 4a i j
olduğuna göre bu an için hız ve ivme vektörlerinin doğal koordinat sistemindeki ifadelerini ve eğri üzerinde bulunduğu noktanın eğrilik yarıçapını bulunuz. Çözüm: V
Ta
A a Na 2 2 26 ( 2) 3V
, 7 /V m s
, 7
V T
V a V a Cos
, 2 23 4a , 25 /a m s
V aCos
V a
, 6*3 2* 4
7 *5Cos
, 10
35Cos 73,4 o
20,86 /Ta a Cos m s , 22,87 /Na a Sin m s
0,86 2,87
a T N
2
N
Va
R
2
N
VR
a , 49
4R , 12,25R m
4.4 Maddesel noktanın hareketinin silindirik koordinat sisteminde incelenmesi z
21
k
e
),,( zA e
r
o y k
1A e
x e
Yukarıdaki şekilden r
vektörü
AAOAr 11
şeklinde yazılabilir. Bu eşitlik silindirik koordinatların birim vektörleri cinsinden yazılırsa kzer
elde edilir. Yer vektörünün zamana göre türevlerinden hız ve ivme vektörleri bulunur.
kdt
dz
dt
ede
dt
d
dt
rdV
Burada e
birim vektörü nın fonksiyonu olduğundan zincir kuralı uygulanıp
dt
d
d
ed
dt
ed
eşitliği yazılabilir.
Burada
d
ed
bir düzleme paralel olarak değişen bir birim vektör dür. Bu
vektörün bu düzlem içindeki sabit bir doğrultu ile yaptığı açıya göre türevi kendisine pozitif yönde dik bir birim vektör olan e
vektörüdür.
Böylece elde edilen ee denklemi ile hız denklemine gidilirse silindirik
koordinatlardaki hız vektörü kzeeV
şeklinde elde edilir. Bu elde edilen hız vektörünün zamana göre türevi alınırsa ivme vektörü bulunur.
kzeeeeedt
Vda
Burada e
gibi e
da nın fonksiyonudur. Bundan dolayı
22
dt
d
d
ed
dt
ede
eşitliği yazılabilir.
Burada
d
ed
bir düzleme paralel olarak değişen bir birim vektördür. Bu birim
vektörün bu düzlem içindeki sabit bir doğrultu ile yaptığı açıya göre türevi kendisine pozitif yönde dik bir birim vektör olan e
vektörüdür.
Böylece elde edilen ee ve ee
eşitliği ivme denklemine gidilirse
kzeea
22
silindirik koordinatlardaki ivme denklemi elde edilir. Problem 4.4.1
Bir maddesel nokta bir eğri üzerinde 20 106
Cos t , 3
3t
, 104
z Sin t
Bağıntılarına uygun olarak hareket etmektedir. 1t için yer ,hız ve ivme vektörlerini silindirik koordinatlarda hesaplayınız.
kzeeV
kzeea
22
5
3 6Sin t
, 25
18 6Cos t
2t , 2 t 5
2 4z Cos t
,
25
8 4z Sin t
1t de 20 5 3 , 5
6
, 25
336
3
, , 2
5 2z , 52
4z
,
252
16z
(20 5 3) 5 2
r e k , 5 5(20 5 3) 2
6 4
V e e k
2 225 5 5
[ 3 (20 5 3) ] [(20 5 3) 2 2( ) ] 236 6 16
a e e k
22 2185 5 5
[ (20 3) ] [(40 10 3) ( ) ] 236 3 16
a e e k
4.5 Maddesel noktanın doğrusal hareketi
23
Maddesel noktanın yörüngesi bir koordinat sistemine göre doğru şeklinde ise maddesel noktanın bu koordinat sistemine göre yaptığı harekete doğrusal hareket denir. y
U
Δ
s A
o1 r
x o z Maddesel noktanın yörüngesi olan bu doğru üzerinde keyfi bir başlangıç noktası ve yön seçilebilir. Buradaki s A da bulunan maddesel noktanı doğru üzerindeki başlangıç noktasına göre alınan ölçüdür. Burada maddesel noktanın konumunu gösteren r
yer vektörü
1 1r OO O A şeklinde yazılabilir. 1O A s U
olduğundan
1r OO s U olur.
Hız vektörü Udt
dsV
İvme vektörü Udt
sda
2
2
Bu elde edilen hız ve ivme vektörleri aynı doğrultuda olduğundan önce şiddetleri hesaplanıp sonra vektör formuna kolayca getirilir. Doğrusal hareketi için aşağıdaki skaler denklemler kullanılır.
dt
dsV ,
dt
dVa ,
2
2
dt
sda
ve ayrıca dt
dsV den çekilen
V
dsdt eşitliği
dt
dVa denklemine
yerleştirilirse
ds
VdVa
denklemi elde edilir. Bu elde edilen 4 adet denklemden doğrusal harekete ait problemler çözülmeye çalışılır.
4.5.1 Sabit hızlı doğrusal hareket
Bir doğrusal hareketteki hız V sabit ise aşağıdaki işlemler yapılabilir.
24
dt
dVa den
0a bulunur. Ve
dt
dsV den Vdtds yazılıp V sabit olduğu için kolayca integre ederek
ts
S
dtVds00
tVss 0
sabit hızlı doğrusal harekete ait konum zaman bağıntısı bulunur.
Problem 4.5.1.1
Bir maddesel nokta bir doğru üzerinde 6 /V m s sabit hızı ile hareket ettiğine göre 0t da 8s m olduğuna göre 5 inci saniyedeki konumunu bulunuz. Çözüm: 0s s V t konum zaman denkleminden
5t deki konum t yerine 5 yazarak bulunur. 8 6 *5s
38 .s m
4.5.2 Sabit ivmeli doğrusal hareket
Bir doğrusal hareketteki ivme a sabit ise aşağıdaki işlemler yapılabilir.
dt
dVa den dtadV yazıp integre ederek
tV
V
dtadV00
taVV 0
hız zaman bağıntısı elde edilir.
dt
dsV den dttaVds )( 0 yazıp integre ederek
S
S
t
dttaVds
0 0
0 )( 200 2
1tatVss
konum-zaman bağıntısı elde edilir.
Ayrıca ds
VdVa bağıntısından yazılan dVV
ads
1 bağıntısı integre edilirse
25
V
V
S
S
dVVa
ds
00
1 )(2
1 20
20 VV
ass
konum-hız bağıntısı elde edilir.
Problem 4.5.2.1 Bir maddesel nokta bir doğru üzerinde 23 /a m s sabit ivmesi ile hareket ettiğine göre 0t da konumu 8s m ve hızı 4 /V m s olduğuna göre 5 inci saniyedeki konumunu bulunuz. Çözüm:
200 2
1tatVss konum zaman denkleminden
7 .t s deki konum t yerine 7 yazarak bulunur. 21
8 4*7 3*72
s , 109,5 .s m
4.5.3 )(tfa İvme zamanın fonksiyonu şeklinde verilmiş ise
dt
dVa den elde edilen dtadV denklemde a yerine )(tf yazıp
integre edilirse
dttfdV )( dttfdVtV
V
)(00
t
dttfVV0
0 )(
hız –zaman bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıdaki V hızı yerine dt
ds yazıp
düzenlendikten sonra integre edilirse
t
dttfVdt
ds
0
0 )( dtdttfVdsttS
S
])([0
0
00
dtdttfVsstt
])([0
0
0
0
konum-zaman bağıntısı elde edilir. Burada 0s ve 0V Başlangıç değerleridir.
Problem 4.5.3.1 Bir maddesel nokta bir doğru 2 3a t ivme zaman bağıntısı ile hareket ediyor. 0t da konum 4 .s m ve hız 10 / .V m s olduğuna göre
6t daki konumu ve hızı hesaplayınız.
26
Çözüm:
dVa
dt den dV adt yazılabilir. Burada a yerine 2 3t yazıp integre
edilirse
(2 3)O
V t
V O
dV t dt 2 3OV V t t
denklemi elde edilir. Bu denklemde OV yerine –10 konursa
2 3 10V t t
Hız-zaman denklemi elde edilir.Burada t yerine 6 yazılırsa
29 /V m s
bulunur.
dsV
dt den ds V dt yazılabilir. Burada V
yerine 2 3 10t t yazıp integre
edilirse
2
0
( 3 10)O
S t
S
ds t t dt
3 20
1 310
3 2s s t t t
denklemi elde edilir. Burada 0s yerine 4 yazılırsa
3 21 310 4
3 2s t t t
konum-zaman denklemi elde edilir. Burada t yerine 6 yazılırsa
70s m
bulunur.
4.5.4 )(sfa İvme konumun fonksiyonu şeklinde verilmiş ise
27
a yerine ds
VdV veya 2
2
dt
sd yazıp denklem düzenlendikten sonra integre
ederek hız-konum veya konum-zaman denklemleri bulunur.
Problem 4.5.4.1
Bir maddesel nokta bir doğru 1/ 212a s ivme -konum bağıntısı ile hareket ediyor. 0t da konum 0s ve hız 0V olduğuna göre
2t deki konumu hızı ve ivmeyi hesaplayınız.
Çözüm:
a yerine ds
VdV yazıp elde edilen
1/ 212VdV
sds
denklemi
1/ 212V dV s ds şeklinde düzenlenip integre edilirse
1/ 2
0 0
12V s
V dV s ds
2 3/ 21 112
2 3/ 2V s
3/ 44V s denklemi elde edilir. Bu denklemde V yerine dsdt
yazıp
3/ 4256ds
sdt
elde edilen denklem 3/ 44
dsdt
s şeklinde yazılıp integre edilirse
3/ 4
0 0
1
4
s t
s ds dt
1/ 4s t 4s t , 34V t , 212a t
2t de 16 .s m , 32 /V m s , 248 /a m s
4.5.5 )(Vfa İvme hızın fonksiyonu şeklinde verilmiş ise
a yerine dt
dV veya ds
VdV yazılırsa aşağıdaki denklemler elde edilir.
)(Vfdt
dV
)(Vf
dVdt
)(Vfds
VdV
)(Vf
VdVds
Bu son eşitlikler integre edilirse hız-zaman ve konum-hız denklemleri bulunur.
28
Problem 4.5.5.1 Bir maddesel nokta bir doğru 20,2a V ivme –hız bağıntısı ile hareket ediyor. 0t da konum 0s ve hız 20 /V m s olduğuna göre
2t deki konumu hızı ve ivmeyi hesaplayınız.
Çözüm:
a yerine dVdt
yazarak elde edilen
20, 2dV
Vdt
denklemi 2
5dV
dtV
şeklinde düzenlenip integre edilirse
2
0 20
5t V dVdt
V 5 1
4tV
5 1
4t
V 5
14
Vt
20
1 4V
t
denklemi elde edilir. Bu denklemde V yerine ds
dt yazarak
20
1 4
ds
dt t
elde edilen denklem 20
1 4ds dt
t
şeklinde düzenlenip integre
edilirse 0 0
20
1 4
S t
ds dtt
5 (1 4 )s Ln t konum-zaman bağıntısı elde edilir.
2t de 11s m , 2,22 /V m s , 20.2 a V , 20.2 2,22 a
20,988 / a m s
4.5.6 kVa Bağıntısına uygun doğrusal hareket (geri tepmeyi azaltma)
Burada k pozitif reel sayı
ds
VdVa de a yerine kV yazılıp
ds
VdVkV elde edilen denklem
kdsdV şeklinde düzenlendikten sonra integre edilirse
S
S
V
V
dskVd
00
)( 00 sskVV
hız-konum bağıntısı elde edilir. Elde edilen bağıntıda V yerine dt
ds yazılırsa
00 ksksVdt
ds bağıntısı elde edilir. Eğer hız-konum bağıntısında 00 s
alınabilirse ksVdt
ds 0 şekline gelen denklem dt
ksV
ds
0
şeklinde
düzenlenip integre edilirse
tS
dtksV
ds
00 0
tV
ksV
k
0
0ln1 kteVksV 00
)1(0 ktek
Vs konum-zaman bağıntısı elde edilir.
29
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-10
-5
5
10
4.5.7 ksa Bağıntısına uygun doğrusal hareket (serbest titreşim hareketi)
Burada k pozitif reel sayı
ksa denkleminde a yerine 2
2
dt
sd yazılırsa
02
2
skdt
sd
ikinci mertebeden sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemi elde edilir. Bu
denklemin çözüm fonksiyonu olarak
tSinBtCosAs
önerilirse diferansiyel denklemi sağladığı görülür. Burada k dır. A ve B
sabitleri ise başlangıç koşulları aşağıdaki denklemlerde yerine konarak bulunur.
tSinBtCosAs
tCosBtSinAV
kullanılarak bulunur. Eğer 0t daki s ve V biliniyorsa aşağıdaki denklemler yazılabilir.
tACoss 0 , tCosBV 0 bunlardan 0sA ve
0VB
Böylece tSinV
tCosss
00
Denklemi elde edilir.
tSinBtCosAs denklemi
)( tCosCs şeklinde yazılabilir.
Burada 22 BAC A
BArc tan dır. Eğer fonksiyonun s-t grafiği çizilirse
buradaki eğri tCos eğrisinden Cos )( t fonksiyonunun argümanı olan
)( t yi sıfır yapan
t kadar geriden başlar .
tBSintACos
tACos
tBSin
t
30
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-10
-5
5
10
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-10
-5
5
10
)( tCosC
t
t
Yukarıdaki grafikler 10A , 6B , 66,116)10( 22 C ,
.54,010
6tan RadArc , 3 ve 18,0
için çizilmiştir.
s
s t
t t
Problem 4.5.7.1
Bir maddesel nokta bir doğru 2
36a s
ivme –konum bağıntısı ile hareket
ediyor. 0t da konum 10s ve hız 4 /V m s olduğuna göre
2t deki konumu hızı ve ivmeyi hesaplayınız.
Çözüm: 2
36a s
denkleminde a yerine
2
2
d s
dt yazılırsa
31
2 2
20
36
d ss
dt
ikinci mertebeden sabit katsayılı diferansiyel denklem elde edilir. Bu denklemin
genel çözümü
6 6s ACos t B Sin t
6 6 6 6V A Sin t B Cos t
0t daki konum 10s ve hız 4 /V m s denklemlerde yerine konursa
10A ve 24B
elde edilir. Bu bulunan değerler konum-zaman ve hız-
zaman denklemlerinde yerine konursa
2410
6 6s Cos t Sin t
2410
6 6 6 6V Sin t Cos t
5 43 6 6
V Sin t Cos t
denklemleri elde edilir. Burada t yerine 2 yazılırsa 2t deki konum ve hız
değerleri elde edilir.
2410
3 3s Cos Sin
125 3s
, 11,62 .s m
5 43 3 3
V Sin Cos
35 2
3 2V
, 6,53 / .V m s
4.5.8 Doğrusal harekette toplam yol
Maddesel nokta bir doğru üzerinde hareket ederken yön değiştirebilir. Bundan dolayı toplam yolu bulurken yön değiştirdiği noktalar arasındaki
32
yollar toplanmalıdır. Yön değiştirdiği noktalardaki zamanlar hızı sıfır yapan zaman değerleridir.Bu elde edilen zamanlar ve istenen zaman noktası arasındaki konum farklarının mutlak değerleri toplandığında toplam yol bulunur. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir maddesel noktanın 4tt zamanına kadar aldığı toplam yolu inceleyelim. Maddesel nokta 0t da
0s konumundan harekete başlar. Hız denklemini sıfır yapan zaman değerleri
1t , 2t ve 3t ise maddesel nokta 0t dan 1tt e , 1tt den 2tt ye,
2tt den 3tt e kadar ve 3tt den sonra aynı yönde hareket edeceğinden bu aralıklardaki konum farklarının mutlak değerleri toplanarak toplam yol bulunur.
12 ss
01 ss 23 ss 34 ss
1s 0s 0 3s 2s 4s
4tt kadar alınan Toplam Yol = 01 ss + 12 ss + 23 ss + 34 ss
Burada zamanı gösteren alt indisleri birlikte s konumları maddesel
noktanın doğru üzerinde indisin belirttiği zamandaki konumunu göstermektedir.
Problem 4.5.8.1
Bir maddesel nokta bir doğru üzerinde 3 2412 27
3s t t t konum –zaman
bağıntısına göre hareket ediyor. İlk 4 saniye içinde maddesel noktanın aldığı toplam yolu bulunuz. Çözüm: Maddesel noktanın 4. saniyeye kadar aynı yönde gittiği zaman dilimlerindeki konum farklarının mutlak değerleri toplanırsa toplam yol bulunur. Yön değiştirdiği zamanlar hızı sıfır yapan değerleridir.
24 24 27V t t denklemini sıfır yapan zaman değerleri
2
1,2
24 ( 24) 4*4*27
2*4t
, 1,2
24 12
8t
33
1 1,5t , 2 4,5t olarak bulunur.
4 1,5 0 4 1,5. tTopYol s s s s
0 0s
3 21,5
41,5 12*1,5 27*1,5 18 .
3s m
3 24,5
44,5 12*4,5 27*4,5 1,33 .
3s m
4. 18 0 1,33 18tTopYol
4. 34,67 .tTopYol m
4.6 Maddesel noktanın çembersel hareketi
Maddesel noktanın bir koordinat sistemine göre yörüngesi çember veya çember parçası şeklinde ise bu tür harekete çembersel hareket denir. y V
Ta a P R s
o x Hız ve ivme vektörlerinin doğal koordinat sistemindeki ifadeleri çembersel harekette açısal hız ve açısal ivme cinsinden yazılabilir.
dt
d ,
dt
d
s çember yayı uzunluğunu gösterdiğinden
Rs
yazılabilir. Bu bağıntının her iki tarafının t ye göre 1. ve 2. türevleri
34
alınırsa
Rdt
ds
Rdt
sd2
2
denklemleri elde edilir. Bu denklemler doğal koordinat sistemine ait
Tdt
dsV
, N
R
dt
ds
Tdt
sda
2
2
2
denklemlerinde yerine konursa
TRV
NRTRa 2
Çembersel harekete ait hız ve ivme vektörlerinin doğal koordinat sistemindeki
ifadeleri elde edilir.
Buradaki açısal hız ve açısal ivme nın değerleri
dt
d
dt
d
2
2
dt
d
d
d
denklemlerinden elde edilir. Bu denklemler doğrusal harekete ait diferansiyel denklemlerle aynı formdadır. Bundan dolayı çözüm yöntemleri de aynıdır. Problem 4.6.1 Bir maddesel nokta 12 .R cm yarıçaplı çember üzerinde saat akrebinin tersi yönünde hareket ederken bir t anında açısal hızı 6 / .Rad s ve
35
açısal ivmesi 22 /Rad s olduğuna göre bu an için hız ve ivme vektörlerini doğal koordinat sisteminde bulunuz. Çözüm: TRV
Şeklindeki çembersel hareketteki hız vektörünün doğal koordinat sistemindeki formülünde verilenler yerine konursa
12*6V T
72V T
hız vektörünün doğal koordinat sistemindeki ifadesi elde edilir. Aynı şekilde ivme vektörünün doğal koordinat sistemindeki formülü olan
NRTRa 2
denkleminde verilenler yerine konursa 212*2 12*6a T N
24 432a T N
ivme vektörünün doğal koordinat sistemindeki ifadesi bulunur. Problem 4.6.1 Basit bir sarkacın hareketi k şeklinde veriliyor. 0t da 0 ve 0 olduğuna göre açı , açısal hız ve açısal ivme nın zamana bağlı ifadelerini bulunuz. Çözüm:
yerine 2
2
d
dt
yazılırsa
2
20
dk
dt
ikinci mertebeden sabit katsayılı diferansiyel denklem elde edilir. Bu denklemin genel çözümü
ACos t B Sin t şeklindedir. Burada 2k dir. A ve B sabitleri ise başlangıç şartlarından bulunur.
ACos t B Sin t denkleminde yerine 0 , t yerine sıfır yazılırsa
0 A bulunur. A Sin t B Cos t
denkleminde yerine 0 , t yerine sıfır yazılırsa B elde edilir. Buradan
36
B
bulunur. Bu bulunan A ve B değerleri açı-zaman bağıntısında
yerine yazılırsa
0Cos t Sin t
açı-zaman denklemi bulunur.Bu denklemin zaman göre birinci türevi 0Sin t Cos t
açısal hız-zaman denklemini verir. Bu denklemin tekrar zaman göre türevi 2
0Cos t Sin t açısal ivme-zaman denklemini verir.
4.6.1 Çembersel harekette hız ve ivmenin kartezyen koordinatlardaki ifadeleri
y V
Ta a P R s
o x Çembersel harekette
açısal hız vektörü tanımlandıktan sonra V
hız
vektörü OPV
Şeklinde hesaplanabilir.Burada
açısal hız vektörüdür.Açısal hız vektörünün modülü açısal hızın mutlak değerine eşit , doğrultusu çember düzlemine dik yönü sağ el kuralına uygun maddesel noktanın dönüş yönüne bağlı olarak tesbit edilen yönde bir vektördür.
ile OP vektörü birbirine dik olduğundan OP
nin şiddeti R
değerine eşit , doğrultusu çembere teğet, yönüde hız vektörü yönünde olduğundan OP
vektörü hız vektörüne eşittir.
Yukarıdaki şekle göre
37
k
jSinRiCosROP
yazılabilir. Bu eşitliklerle hız vektörü
jCosRiSinRV
şeklinde kartezyen koordinat sisteminde yazılabilir. Bu hız vektörünün OPV
şeklindeki denkleminin zamana göre
türevi alınırsa ivme vektörü bulunur.
VOPa
Burada
vektörü dt
d
dir.
Yukarıdaki şekilde
yerine k
alınıp ivme vektöründe yerine yazılıp gerekli işlemler yapılırsa
VkOPka
)()( jCosRiSinRkjSinRiCosRka
jSinRCosRiCosRSinRa
)()( 22 ivme vektörünün kartezyen koordinatlardaki ifadesi bulunur. Problem 4.6.1.1
Bir maddesel nokta 14 .R cm yarıçaplı bir çember üzerinde 3
24t
bağıntısına uygun olarak hareket etmektedir. Çember şekilde gösterildiği gibi yz düzlemindedir. açısı da şekilde gösterildiği gibi alınıyor. 2t için maddesel noktanın yer hız ve ivme vektörlerini kartezyen koordinatlarda hesaplayınız. y R A
38
C zC O x yC
z
Burada 14 .R cm 20 .yC cm 18 .zC cm 3
24t
dır.
Çözüm: r OC CA
20 18OC j k
CA RCos j RSin k
2t de 3
7 7 3CA j k
27 (18 7 3)r j k
27 30,12r j k
Hız vektörü kartezyen koordinatlarda V CA
formülü ile hesaplanabilir.Burada di
dt
( Çünkü x ekseni çember
düzlemine diktir ve maddesel nokta çember etrafında y den z ye doğru dönüyor.)
2
4
dt
dt
2t için ddt
değeri V CA denkleminde yerine yazılırsa
(7 7 3)V i j k
7 3 7V j k
38,1 22V j k
2t deki hız ifadesi hesaplanmış olur. İvme vektörü kartezyen koordinatlarda a CA V
formülü ile hesaplanabilir.Burada 2
2
di
dt
( Çünkü açısal ivme vektörü
doğrultu değiştirmiyor.)
39
2
2 2
dt
dt
2t için 2
2
d
dt
değeri ve diğer elde edilenlerle birlikte
a CA V denklemine gidilirse (7 7 3 ) ( 7 3 7 )a i j k i j k
(7 7 3) (7 7 3 )a j k
107,18 97,67a j k
4.7 Maddesel noktanın bağıl hareketi (öteleme hareketi yapan eksen sistemine göre ) İki maddesel noktanın birbirine göre bağıl yer hız ve ivme vektörleri aşağıdaki şekilden elde edilebilir. Bu maddesel noktalardan birisi öteleme hareketi yapan eksen sisteminin orijini alınırsa aşağıdaki şekil çizilebilir. y yP1 2P
12 / PPr
1P xP1 zP1 1P
r
2Pr
o x z Yukarıdaki şekilden yer vektörleri arasında
2121 / PPPP rrr
bağıntısı yazılabilir. Buradan P2 noktasının P1 noktasına veya öteleme
hareketi yapan eksen sistemine göre 12 / PPr
bağıl yer vektörü çekilip zamana
göre birinci ve ikinci türevi alınırsa bağıl hız ve bağıl ivme vektörleri elde edilir.
1212 / PPPP rrr
40
1212 / PPPP VVV
1212 / PPPP aaa
Problem 4.7.1
Şekilde gösterildiği gibi 1P maddesel noktası d1 doğrusu üzerinde
10 812
s Sin t
konum-zaman bağıntısına göre 2P maddesel noktası ise xy
düzleminde bulunan 12 .R cm yarıçaplı bir çember üzerinde 3
24t
açı-zaman
bağıntısına göre hareket etmektedir. 2t için 2P maddesel noktasının 1P
maddesel noktasına göre bağıl yer , hız , ivme vektörlerini ve aralarındaki
uzaklığı bulunuz.
y 20cm.
10cm. 2P
1P C
s 15cm.
O x
z
Çözüm:
1212 / PPPP rrr
2 2 2Pr OP OC CP
, 20 15OC i j
2(20 12 ) (15 12 )Pr Cos i Sin j
1 1Pr OA AP ,
110Pr s j k
2 1/ (20 12 ) (15 12 ) 10P Pr Cos i Sin s j k
2t de 32 .24 3
Rad , 10 8 2 14 .
12s Sin cm
41
2 1/ (20 12 ) (15 12 14) 10
3 3P Pr Cos i Sin j k
2 1/ (20 6) (15 6 3 14) 10P Pr i j k
2 1/ 26 (1 6 3) 10P Pr i j k
, 2 1/ 26 11,39 10P Pr i j k
2 1/ 12 (12 )P PV Sin i Cos V j
2
8t
, 2
3 12V Cos t
2t de / .2Rad s
, 3/ .
3V cm s
2 1/
312 (12 )
2 3 2 3 3P PV Sin i Cos j
2 1/
3 1 312 (12 )
2 2 2 2 3P PV i j
,
2 1/3
3 3 (3 )3P PV i j
2 1/ 16,32 7,61P PV i j
2 1
2 2/ (12 12 ) (12 12 )P Pa Sin Cos i Cos Sin a j
4t
, 2
18 12V Sin t
2t de 2/2Rad s
, 2
2/36
a cm s
2 1
2 2 2
/ (12 12 ) (12 12 )2 3 4 3 2 3 4 3 36P Pa Sin Cos i Cos Sin j
2 1
2 2 2
/3 1 1 3
(12 12 ) (12 12 )2 2 4 2 2 2 4 2 36P Pa i j
2 1
22 2
/3 3
(3 3 ) (3 3 )2 2 36P Pa i j
2 1/3 3
(3 3 ) (3 3 )2 2 36P Pa i j
2 1/ 31,13 14,57P Pa i j
Problem 4.7.2
Şekilde gösterildiği gibi 1P maddesel noktası xy düzleminde bulunan ve
merkezi x ekseni üzerinde 8 .R cm yarıçaplı bir çember üzerinde 6t
bağıntısına göre hareket etmektedir. 2P maddesel noktası ise 1 2 5P P L R sabit
42
olmak üzere Z ekseni üzerinde hareket ediyor. 1t için 2P maddesel noktasının hız ve ivmesini bulunuz. z 2P 5L R y z R 3R C x Çözüm:
2Pr z k
, 2P
V z k
, 2P
a z k
2 1/ 5P Pr L R
1212 / PPPP rrr
1
(3 )Pr R RCos i RSin j
2 1/ (3 )P Pr R RCos i RSin j z k
2 1
22 2 2 2 2 2 2 2 225 9 6P PL r R R R Cos R Cos R Sin z
2 2 215 6z R R Cos
15 6z R Cos , 1/ 2(15 6 )z R Cos
1/ 21(15 6 ) ( 6 )
2z R Cos Sin
1/ 23 (15 6 )z R Sin Cos 3
15 6
R Sinz
Cos
1/ 2 2 1/ 2 3 / 233 (15 6 ) 3 (15 6 ) 3 ( )(15 6 ) (6 )
2z R Sin Cos R Cos Cos R Sin Cos Sin
2 2 23 ( ) 27
15 6 (15 6 ) 15 6
R Sin Cos R Sinz
Cos Cos Cos
43
6t
, 6
, 0
1t de .6Rad
36 6
15 66
R Sinz
Cos
2
15 3 3z
2 / .z cm s
22PV k
2 223 ( ) 27
36 6 36 6
15 6 (15 6 ) 15 66 6 6
R Cos R Sinz
Cos Cos Cos
2 23 3
3 15 3 3 2(15 3 3) 15 3 3z
21,34 /z cm s 2
1,34Pa k
4.8 Maddesel noktaların bağlı hareketi Bir maddesel noktanın hareketi diğer maddesel noktaların hareketine bağlı olarak veriliyorsa bu tür harekete bağlı hareket denir. Bir maddesel noktalar sistemi düşünüldüğünde bu sistemin konumunu belirten değişkenlere genelleştirilmiş koordinatlar denir. Genelleştirilmiş koordinatların birbirinden bağımsız sayısına sistemin serbestlik derecesi denir. Bir maddesel noktalar sistemindeki her bir bağıntı serbestlik derecesini bir azaltır. Aşağıdaki bir makara sistemindeki maddesel nokta kabul edilen kütleler düşey doğrultuda hareket ediyorlar.Sistemin konumu 3 tane değişkenle gösterilebilir. Bu makaralardan dolandırılan ve cisimleri birbirine bağlı olarak hareket etmesini sağlayan ipin boyunun değişmediği kabul edilirse
ek olarak bir bağıntı gelir. Böylece sistemin serbestlik derecesi 2 olur.
As Cs
44
Bs
C
A
B
İpin toplam uzunluğunun değişmediği kabul edilirse
CBA sss 2 sabit
yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafının zamana göre türevleri alınırsa
02 CBA VVV
hızlar arasındaki bağıntı bulunur. Tekrar türev alınırsa
02 CBA aaa
ivmeler arasındaki bağıntı bulunur.
Bu problemden ayrı olarak maddesel noktalar sisteminde maddesel noktalar arasındaki uzaklıklar değişmiyorsa bu sistem rijid cisim modelini oluşturur. Bu modelde serbestlik derecesi 6 dır.
Problem 4.8.1
Şekilde gösterilen A asansörü aşağı doğru 5 m/s. Sabit hızı ile aşağı doğru hareket ediyor.
a) W Karşı ağırlığının hızını b) C kablosunun hızını c) C kablosunun A asansörüne göre hızını d) W karşı ağırlığının A asansörüne göre hızını bulunuz.
45
C
W
A
M
Çözüm:
Ws
Cs As
C
W
A
M
a) A Ws s sabit
0A WV V
W AV V
5 / .WV m s
46
b) 2C As s sabit
2 0C AV V
10 /CV m s
c) /C A C AV V V
/ 15 /C AV m s
d) /W A W AV V V
/ 5 5W AV
/ 10 /W AV m s
Problem 4.8.2
Şekilde gösterilen B bloğu sağa doğru 450 / .BV mm s sabit hızı ile hareket ediyor.
a) A bloğunun hızını b) Kablonun D kısmının hızını c) A nın B ye göre hızını d) Kablonun C kısmının hızını D kısmına göre bulunuz. C
A D B 450 /B sV mm E
Çözüm:
0 (+) AS BS
C D 450 /B sV mm A E B
47
a)
3 2B As s sabit
3 2 0B AV V
3
2A BV V
3450
2AV
675 /AV mm s
b)
2 B Ds s sabit
2 0B DV V
2D BV V
2* 450DV
900 / .DV mm s
c)
/A B A BV V V
/ 675 450A BV
/ 225 / .A BV mm s
d)
/C D C DV V V
450 / .C BV V mm s
/ 450 900C DV
/ 450 / .C DV mm s
48
BÖLÜM 5
RİJİD CİSMİN KİNEMATİĞİ 5.1 Rijid cismin hareketinde izdüşüm hızlar teoremi Rijid cismin hareketinde aynı doğru üzerinde bulunan noktaların hızlarının bu doğru üzerindeki izdüşümleri birbirine eşittir. Bu teoremin ispatı aşağıdaki şekilde yapılabilir. y V AV
B A V BV
Br
Ar
49
o x z Rijid cisim üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki uzaklık değişmediğinden
AB
sabit
yazılabilir. Bir vektörün modülü vektörü kendisiyle skaler çarpıp karekökünü alarak da bulunur. Bir vektör sabit ise modülünün karesi de sabittir. AB AB
sabit
Her iki tarfın zamana göre türevi alınırsa
0d AB
ABdt
elde edilir. Burada d ABdt
yerine AB VV
yazılırsa
( ) 0B AV V AB
A BV AB V AB
bağıntısı bulunur. Bu bağıntının her iki tarfı AB
vektörünün modülüne bölünürse
ABBABA UVUV
izdüşüm hızlar teoremi ispatlanmış olur.
Problem 5.1.1: Bir rijid cismin koordinatları (1,1,0) olan A noktasının hız vektörü
3 7 8AV i j k
ve koordinatları (3,4,6) olan B noktasının hız vektörünün doğrultusunun x eksenine paralel olduğu bilindiğine göre şiddetini bulunuz. (Burada uzunluklar metre zaman saniye cinsindendir.) Çözüm: İzdüşüm hızlar teoreminden
50
A BV AB V AB
yazılabilir. AB OB OA
2 3 6AB i j k
B BV V i
3* 2 7 *3 8* 6AV AB
21 /AV AB m s
2 * 21 /B BV AB V m s
21/
2BV m s
10,5 / .BV m s Problem 5.1.2: Şekilde gösterilen AB cisminin A ucu y ekseni üzerinde AV hız şiddeti ile aşağı doğru hareket ederken B ucu x ekseni üzerinde hareket ediyor. B ucunun hızının şiddetini A ucunun hızının şiddetine ve açısına bağlı olarak bulunuz. y AV Sin A AV
B BV
x
BV Cos Çözüm: İzdüşüm hızlar teoremine göre A noktasının hızının AB doğrultusu üzerindeki izdüşümü B noktasının hızının AB doğrultusu üzerindeki izdüşümüne eşittir.
51
A BV Sin V Cos
B AV V tg
5.2 Rijid cismin ötelenme hareketi Rijid cismin hareketinde üzerindeki hiçbir doğru doğrultu değiştirmiyorsa bu tür harekete öteleme hareketi denir. Bu durumda rijid cisme bağlı vektörler düzlemler eksen sistemleri doğrultu değiştirmezler. Rijid cisme bağlı her vektör sabit vektördür. Şekilde bu sabit vektörlerden herhangi biri AB vektörü olsun. y
B A Ar
Br
x o z Şekildeki A ve B nin yer vektörleri arasında aşağıdaki bağıntı yazılabilir.
52
A Br AB r
AB
sabit olduğu göz önünde bulundurularak eşitliğin her iki tarafının zamana göre türevi alınırsa BA VV
hız vektörleri arasındaki bağıntı bulunur.Tekrar türev alındığında ise
BA aa
ivmeler arasındaki bağıntı bulunur. Bu bağıntılardan öteleme hareketinde rijid cismin bütün noktalarının hız vektörlerinin birbirine eşit , ivme vektörlerinin birbirine eşit olduğu görülür. Ötelenme hareketinde bütün noktaların hızları birbirine eşit olduğu için yörüngeleri de birbirinin aynı veya ötelenmiş eğriler olur. Eğer bu yörüngeler doğru şeklinde ise bu harekete doğrusal ötelenme, eğri şeklinde ise eğrisel ötelenme hareketi denir. Problem 5.2.1 Şekil düzleminde kalmak şartı ile A noktasından B etrafında dönebilen AB çubuğu ile D noktasından C etrafında dönebilen CD çubuğu ile mafsallı olarak hareket ediyor. AB çubuğunun şekilde verilen konumdan geçerken açısal hızı
5 /Rad s açısal ivmesi 22 /Rad s olduğuna göre bu an için ADEF dikdörtgen levhasının E noktasının hız ve ivme vektörlerini
a) doğal koordinat sisteminde b) kartezyen koordinat sisteminde bulunuz.
B C A D
F E 20 .AB CD cm
32 .BC AD cm
030
53
Çözüm: B C x Na Aa
A D Ta
AV
E Aa a
F E y E AV V
AB uzunluğu CD uzunluğuna ve BC uzunluğu AD uzunluğuna eşit olduğu için ABCD daima paralel kenar olur. Bundan dolayı dikdörtgen plaka öteleme hareketi yapar. Öteleme hareketi yapan cisimlerin bütün noktalarının hızları ve ivmeleri birbirinin aynı olduğundan E noktasının hızı ve ivmesi A noktasının hızı ve ivmesine eşit olur. a) Doğal koordinat sisteminde hız ve ivme vektörleri AV AB T
20 5AV T
100AV T
2Aa AB T AB N
220 2 20 5Aa T N
40 500Aa T N
100E AV V T
40 500E Aa a T N
b) Kartezyen koordinat sisteminde hız ve ivme vektörleri AV BA
5k
BA BA Sin i BA Cos j
0 020 30 20 30BA Sin i Cos j
10 10 3BA i j
5 ( 10 10 3 )AV k i j
50 3 50AV i j
A Aa BA V
54
2 ( 10 10 3 ) 5 (50 3 50 )Aa k i j k i j
(20 3 250) (20 250 3)Aa i j
50 3 50E AV V i j
(20 3 250) (20 250 3)E Aa a i j
5.3 Rijid cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketi
Rijid cismin üzerindeki noktaların sabit bir eksene ve bu eksen üzerindeki bir noktaya uzaklıkları hareket boyunca değişmiyorsa rijid cismin bu hareketine sabit bir eksen etrafında dönme hareketi denir. Δ
B DV C r D
A
Yukarıdaki şekilde bir rijid cisim A ve B noktalarından geçen Δ ekseni etrafında açısal hızı ve açısal ivmesi ile dönüyor. Cismin üzerindeki
55
bütün noktaların yörüngeleri Δ eksenine dik düzlemlerdeki çemberlerdir. Burada D noktası C merkezli r yarıçaplı Δ eksenine dik düzlemde bir çember çizer. Çembersel harekette bir noktanın hız vektörünün doğrultusu çembere teğet ,yönü hareket yönünde , şiddeti ise açısal hız ile yarıçapın çarpımına eşittir.
TrV
İvme vektörü ise
NrTra 2
şeklindedir. Sabit bir eksen etrafında dönme hareketinde V
hız vektörünün
DV AD
şeklinde yazılabileceği aşağıda gibi gösterilebilir.
Burada
açısal hız vektörüdür. Açısal hız vektörü aşısal hız şiddetinde dönme
ekseni doğrultusunda ve sağ el kuralı ile cismin dönme yönünü belirten yönde
bir vektördür.
DV AD AD Sin
Burad AD Sin r
olduğundan rV
hızın şiddetini veren denklemi
sağlanmış olur.
Vektörel çarpımın doğrultusu çarpımdaki her iki vektöre de dik olacağından
açısal hız vektörü ile AD
vektörüne dik doğrultu teğet doğrultusunda olur.
Yönü ise sağ el kuralı ile bulunur. Bu elde edilen doğrultu ve yön hız vektörünün doğrultu ve yönü ile aynı olur. Böylece sabit bir eksen etrafında dönme hareketindeki hız vektörünün hesabında DV AD
ifadesi kullanılabilr. Bu eşitliğin her iki tarafının zamana göre türevi alınırsa ivme vektörü formülü elde edilir. D Da AD V
Burada dt
d
dır.
Problem 5.3.1
Dikdörtgenler prizması şeklindeki cisim bir t anında açısal hızı pozitif yönde 7 /Rad s ve açısal ivmesi 22 /Rad s dir. Ayrıca aynı anda kenarları
koordinat eksenlerine çakışacak konumdan geçmektedir. B noktasının hız ve ivme vektörlerini cisim
56
a) x ekseni etrafında dönerken b) y ekseni etrafında dönerken c) z ekseni etrafında dönerken d) OA ekseni etrafında dönerken
y C B 20cm. D A
30cm. O H x E 60cm. F
Z
Çözüm:
a) cisim x ekseni etrafında pozitif yönde ( y den z ye doğru) dönüyor.
BV HB T
, 30 7BV T
, 210BV T
BV HB , 7 i
, 30HB j
, 7 30BV i j
210BV k
2Ba HB T HB N
, 230 2 30 7Ba T N
60 1470Ba T N
B Ba HB V , 2 30 7 210Ba i j i k
1470 60Ba j k
b) cisim y ekseni etrafında pozitif yönde (z den x e doğru) dönüyor.
BV CB T
, 60 7BV T
, 420BV T
260 2 60 7Ba T N , 120 2940Ba T N
BV CB , 7 j
, 7 60BV j i
420BV k
B Ba CB V , 2 60 7 420Ba j i j k
2940 120Ba i k
c) Cisim z ekseni etrafında pozitif yönde (x den y ye doğru) dönüyor.
57
BV OB T
, 2 230 60OB
, 2 230 60OB
, 10 45OB
70 45BV T
, 469,57BV T
210 45 2 10 45 7Ba T N , 20 45 490 45Ba T N
134,16 3287,02Ba T N , 23289,8 /Ba cm s
BV OB , 7k
, 60 30OB i j
7 (60 30 )BV k i j
210 420BV i j
B Ba OB V , 2 (60 30 ) 7 ( 210 420 )Ba k i j k i j
120 60 1470 2940Ba j i j i
3000 1350Ba i j
d) Cisim OA ekseni etrafında pozitif yönde (O dan bakıldığında saat
ibrelerinin tersi yönünde) dönüyor.
BV AB
OAU ,
2 2 2
60 30 20
60 30 20OA
i j kOAU
OA
6 3 2
7 7 7OAU i j k
, 6 3 2i j k , 20AB k
(6 3 2 ) 20BV i j k k
60 120BV i j
B Ba AB V , OAU
, 12 6 4
7 7 7i j k
12 6 4( ) 20 6 3 2
7 7 760 120 0
B
i j k
a i j k k
120 240( 240) ( 120) 900
7 7Ba i j k
58
257,14 85,71 900Ba i j k
Problem 5.3.2
Bir rijid cisim A(5,6,2) ve B(7,3,8) noktalarından geçen ve A dan B ye doğru yönelmiş Δ ekseni etrafında pozitif yönde dönüyor. Cismin bir t anındaki açısal hızı 14 /Rad s ve açısal ivmesi 27 /Rad s dir. Bu anda C noktası (10,8,6) koordinatlarından geçtiğine göre C noktasının a) bu andaki hız ve ivme vektörlerini b) dönme eksenine olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm:
CV AC , C Ca AC V
U , U
, ABU
AB
, 2 2 2
(7 5) (3 6) (8 2)
(7 5) (3 6) (8 2)
i j kU
2 3 6
7 7 7U i j k
, 4 6 12i j k
, 2 3 6i j k
(10 5) (8 6) (6 2)AC i j k
, 5 2 4AC i j k
a)
4 6 12
5 2 4C
i j k
V AC
( 6 4 12 2) (12 5 4 4) (4 2 6 5)CV i j k
48 44 38CV i j k
b)
C Ca AC V , 2 3 6 4 6 12
5 2 4 48 44 38C
i j k i j k
a
( 3 4 6 2 6 38 12 44) (6 5 2 4 48 12 4 38)
(2 2 3 5 4 44 6 48)
Ca i j
k
780 706 93Ca i j k
59
c)
C CV R
C
C
VR
48 44 38CV i j k
, 75,39 /CV cm s
75,39
14CR
5,39 .CR cm
5.4 Rijid cismin genel düzlemsel hareketi Rijid cisim üzerindeki bütün noktaların yörüngeleri düzlemsel eğriler ise rijid cismin bu tür hareketine genel düzlemsel hareket denir. Düzlemsel eğriler çizen bu noktalar aynı düzlemde veya birbirine paralel düzlemlerde bulunur.Genel düzlemsel hareket için yapılan bu tanımdan sabit bir eksen etrafındaki hareketin de bir düzlemsel hareket olduğu anlaşılır. Bu paralel düzlemlerden birinde elde edilen hız ve ivmeler bu düzleme çıkılan dik doğru üzerindeki her noktada aynıdır.yörüngeler ise aynı yörüngenin bu noktaya ötelenmiş halidir. Bundan dolayı genel düzlemsel hareket yapan bir rijid cisim üzerindeki yörüngelere paralel düzlemlerden birini ana levha olarak adlandırıp bunun üzerinde inceleme yapmak yeterli olur.
y
ABr /
B
A Ar
Br
x o z
60
Şekildeki oAB vektör üçgeninden A ve B nin yer vektörleri arasında aşağıdaki bağıntı yazılabilir. /B A B Ar r r
Bu yer vektörleri arasındaki bağıntının zaman göre türevinden hız vektörleri arasındaki bağıntı elde edilir. /B A B AV V V
Bu eşitliğin zamana göre türevi alınırsa ivmeler arasındaki bağıntı elde edilir.
/B A B Aa a a
Buradaki denklemlerin sol tarafındaki ikinci terimler B nin A daki ötelenme hareketi yapan eksen sistemine göre hareketini göstermektedir. Burada B ile A arasındaki uzaklık değişmediğinden ve B düzlemsel bir yörüngeye sahip olduğundan B nin A daki eksen sistemine göre yörüngesi çember olur. Çembersel harekette sabit eksen etrafında dönme hareketine ait aşağıdaki denklemler yazılabilir. /B AV AB
/ /B A B Aa AB V
Problem 5.4.1
Şekilde gösterilen sistemde OA kolu O silindirik mafsalı etrafında AB kolu ise A silindirik mafsalı etrafında dönme hareketi yapmaktadır. Sistem bir t anında verilen konumdan geçerken OA kolunun açısal hızı 8 /OA Rad s ,açısal
ivmesi 23 /OA Rad s AB kolunun açısal hızı ise 6 /AB Rad s ,açısal ivmesi 22 /AB Rad s olduğuna göre bu an için C noktasının hız ve ivme vektörlerini
bulunuz. y B AB
A
OA
61
O x
26 .OA cm
20 .AB cm
Sistem verilen konumdan geçerken: 060 , 045 , 8 /OA Rad s
23 /OA Rad s , 6 /AB Rad s , 22 /AB Rad s
dır.
Çözüm:
/B A B AV V V
, A OAV OA , /B A ABV AB
8OA k , 3OA k
, 6AB k , 2AB k
( )OA OA Cos i Sin j
, 13 13 3OA i j
( )AB AB Cos i Sin j
, 10 2 10 2AB i j
8 (13 13 3 )AV k i j
, 104 3 104AV i j
/ 6 (10 2 10 2 )B AV k i j
, / 60 2 60 2B AV i j
(104 3 60 2) (104 60 2)BV i j
265 188,9BV i j
/B A B Aa a a , A OA OA Aa OA V
, / /B A AB AB B Aa AB V
3 (13 13 3 ) 8 ( 104 3 104 )Aa k i j k i j ,
(39 3 832) (39 832 3)Aa i j
/ 2 (10 2 10 2 ) 6 ( 60 2 60 2 )B Aa k i j k i j
/ (20 2 360 2 ) (20 2 360 2 )B Aa i j , / 380 2 340 2B Aa i j
(39 3 380 2 832) (39 832 3 340 2)Ba i j
1436,95 1882,9Ba i j
Problem 5.4.2
62
Aşağıdaki şekilde kaymadan yuvarlanma hareketi yapan bir disk gösterilmektedir. Diskin çevresindeki A , B , C , D ve I noktalarının hız ve ivme vektörlerini bulunuz. C 2C GV V
y /D GV
DV
B GV
/B G B GV V V
D GV
G GV
A GV
I /A GV
AV
x
/I GV
0IV
GV
Çözüm:
Yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi bütün noktaların hız vektörünü kütle merkezinin hız vektörü ile bu noktaların kütle merkezine göre hız vektörlerinin toplamından elde edilir. İvme vektörleri de aynı şekilde kütle merkezinin ivmesi ile bu noktaların kütle merkezine göre ivmelerinin toplamından elde edilir. A noktasının hız ve ivme vektörü: /A G A GV V V
GV R i
, /A GV R j
AV R i R j
/A G A Ga a a
Ga R i
2/A Ga R T R N
2/A Ga R i R j
2( )Aa R i R j
B noktasının hız ve ivme vektörü: /B G B GV V V
GV R i
, / ( )B GV k RCos i RSin j
/B GV R Sin i R Cos j
(1 )BV R Sin i R Cos j
63
/B G B Ga a a
/ ( ) ( )B Ga k RCos i RSin j k R Sin i R Cos j
2 2/ ( ) ( )B Ga R Sin R Cos i R Cos R Sin j
2 2( ) ( )Ba R R Sin R Cos i R Cos R Sin j
C noktasının hız ve ivme vektörü: /C G C GV V V
GV R i
, /C GV R i
2CV R i
/C G C Ga a a
Ga R i
2/C Ga R T R N
2/C Ga R i R j
22Ca R i R j
A noktasının hız ve ivme vektörü: /D G D GV V V
GV R i
, /D GV R j
DV R i R j
/D G D Ga a a
Ga R i
2/D Ga R T R N
2/D Ga R i R j
2( )Da R i R j
I noktasının hız ve ivme vektörü: /I G I GV V V
GV R i
, /I GV R i
0IV
/I G I Ga a a
64
Ga R i
2/I Ga R T R N
2/I Ga R i R j
2Ia R j
5.5 Genel düzlemsel harekette ani dönme merkezi Genle düzlemsel hareketteki BABA VVV
/ eşitliği göz önüne alınırsa
Herhangi bir noktanın hız vektörü hız vektörü bilinen bir noktanın hız vektörüne bu noktayı baz alarak elde edilen bağıl hız vektörü eklenerek bulunur. Bu söylenen bağıntıdan genel düzlemsel harekette hızı sıfır olan
Bir noktayı bulmak mümkün olur. Hızın sıfır olan nokta bulunduktan sonra diğer noktaların bu nokta etrafında çembersel hareket yaptığı düşünülerek hızları hesaplanır. CV
C AV
AV
I A AIV /
Şekilde görüldüğü gibi A noktasının hızına çıkılan dikme üzerinde hızı sıfır olan noktayı bulmak mümkündür. Eğer AAI VV
/
olacak şekilde bir I noktası bulunursa bu noktanın hızı sıfır olur. Hızı sıfır olan noktayı bulduktan sonra başka bir C noktasının hızının doğrultusu IC doğrusuna
65
dik çıkarak, yönü nın gösterdiği yönde , şiddeti ise IC doğrusunun uzunluğu ile açısal hız vektörünün çarpımından şekildeki gibi kolaylıkla bulunur. CV IC
Problem 5.5.1: Şekilde gösterilen L uzunluğundaki AB cisminin A ucu y ekseni üzerinde AV hızı ile aşağı doğru hareket ederken B ucu x ekseni üzerinde hareket ediyor. B ucunun hızını ve C merkezinin hızını A ucunun hızına ve açısına bağlı olarak bulunuz. y A AV
C B x Çözüm: y I A
66
AV
C CV
B BV
x
AV IA
AV
IA
BV IB
, CV IC
B AIB
V VIA
, C AIC
V VIA
AB L
, IA LCos
, IB LSin
, 2
LIC
B A
L SinV V
LCos
, 2C A
L
V VLCos
B AV V tg
AC
VV
Cos
Problem 5.5.2: Şekildeki krank biyel mekanizmasında AB=10cm. uzunluğundaki krankı A etrafında saat ibreleri yönünde 5 / .Rad s sabit açısal hızı ile dönüyor. 030 için BC=30cm. uzunluğundaki biyelinin açısal hızını ve C pistonunun hızını bulunuz. B C A x
AB
Çözüm : I BC B
67
C A CV
x
AB BV
B AB BCV AB IB
BC ABAB
IB
C BCV IC
, C ABAB
V ICIB
10 5BV , 50 /BV cm s Sinüs teoreminden
0(180 )Sin Sin Sin
AB BC AC
AB
Sin SinBC
AC ABCos BCCos
21Cos Sin , 2 21 ( )AB
Cos SinBC
2 21 ( )AB
AC ABCos BC SinBC
0 2 2 01010 30 30 1 ( ) 30
30AC Cos Sin
37,815 .AC cm
ACIA
Cos
, 0
37,815
30IA
Cos
43,665 .IA cm
IC IASin
, 043,665 30IC Sin
21,833 .IC cm
IB IA AB
, 43,665 10IB
33,665 .IB cm
BC ABAB
IB
, 105
33,665BC
1, 485 /BC Rad s
C BCV IC
, 21,833 1,485CV
32,42 /CV cm s
68
5.6 Rijid cismin sabit bir nokta etrafında hareketi
Aşağıdaki şekilde o etrafında açısal hız vektörü ve açısal ivme vektörü ile dönen bir rijid cismin C noktasının hız ve ivme vektörleri aşağıdaki gibi yazılabilir.
C O CV OC
C Ca OC V
Sabit bir nokta etrafında dönme hareketinde açısal ivme vektörü ile açısal hız vektörü aynı doğrultuda olmak zorunda değildir. Sabit bir nokta etrafında dönme hareketi her an için sabit bir eksen etrafında dönme hareketine eşdeğer düşünülebilir. Ani dönme ekseni denen bu eksen üzerindeki noktaların hızı sıfırdır.Fakat ivmeleri sıfır olmayabileceğinden ivme vektörü bu eksen dışında olabilir.
69
Problem 5.6.1: Şekilde gösterildiği anda OAB Robot kolu y ekseni etrafında 1 0,15 /Rad s sabit açısal hızı ve z ekseni etrafında 2 0, 25 /Rad s sabit açısal hızı ile dönüyor. OB robot kolunun uzunluğu 1m. olduğuna göre
a) OAB robot kolunun açısal hızını b) OAB robot kolunun açısal ivmesini c) B noktasının hızını d) B noktasının ivmesini bulunuz.
y 1 A B o 350 2 z x Çözüm: a) 1 2
1 1 j , 2 2k
, 1 2j k
0,15 0,25j k , 2 2
0,15 0, 25
0,29 / .Rad s
b)
70
1 2d dd
dt dt dt
Şiddeti sabit olan 1 açısal hız vektörünün doğrultusu da
değişmediğinden 1 0d
dt
dır.
21 2
d
dt
, 0,15 0,25j k
0,0375 i
c) BV OB
, 0 035 35OB Cos i Sin j
0,819 0,5736OB i j
, 0 0,15 0,25
0,819 0,5736 0B
i j k
V
0,1434 0,205 0,123BV i j k
, 0, 279 /BV m s
d) B Ba OB V
0,0375 (0,819 0,5736 ) 0 0,15 0, 25
0,1434 0,205 0,123B
i j k
a i i j
0,0697 0,0359 0,043Ba i j k
, 20,089 /Ba m s
Problem 5.6.2: Çeşitli düz çubuklardan birleştirilerek oluşturulan OABC robot kolu O da küresel mafsal ile bağlanmıştır. OA çubuğu D , OB çubuğu ise E plakasındaki doğrusal kanallarda hareket ediyor. E plakasındaki kanal z eksenine paraleldir. D plakası z eksenine diktir. Şekilde gösterildiği anda B noktasının hızının
(180 / )BV mm s k ve sabit olduğu bilindiğine göre
a) OABC robot kolunun açısal hızını , b) A noktasının hızını c) C noktasının hızını , d) OABC robot kolunun açısal ivmesini e) C noktasının ivmesini bulunuz.
y 100 B
71
E O C 40 240 D 2 80 A 1 z x (Ölçüler mm. cinsindendir.) 200 Çözüm: a) BV OB
, x y zi j k , 240OB j
( ) 240B x y zV i j k j
, 240 240B z xV i k
ayrıca 180BV k
olduğu bilindiğinden
240 240 180B z xV i k k
1800,75 /
240x Rad s , 0z
AV OA , 0.75 yi j
, 200OA k
(0.75 ) 200A yV i j k
, 200 150A yV i j
ayrıca A noktasının hızı doğrultusu bilindiğinden
2 1
5 5A A AV V i V j
şeklinde yazılabilir. Bu A noktasına ait hız
ifadeleri eşitlenip
2 1200 150
5 5A A A yV V i V j i j
elde edilen denklemden A
noktasının hızı ve açısal hızın y ekseni doğrultusundaki bileşeni bulunur.
150 5AV , 2
200 5y AV , 2
(150 5) 1,5 /200 5
y Rad s
0,75 1,5i j
b)
2 1(150 5) (150 5)
5 3AV i j
300 150AV i j
c) CV OC
, 100 80 40OC i j k
72
0,75 1,5 0
100 80 40C
i j k
V
, 60 30 90CV i j k
d) C Ca OC V
B noktasının hızının şiddeti sabit ise ivmenin teğetsel bileşeni sıfır olacağında açısal ivmesi sıfırdır. 0
(0,75 1,5 ) (60 30 90 )Ca i j i j k
0,75 1,5 0
60 30 90C
i j k
a
, 135 67,5 112,5Ca i j k
5.7 Rijid cismin genel hareketi y
ABr /
B
A Ar
Br
x o z Şekildeki oAB vektör üçgeninden A ve B nin yer vektörleri arasında aşağıdaki bağıntı yazılabilir. BABA rrr
/
Bu yer vektörleri arasındaki bağıntının zaman göre türevinden hız vektörleri arasındaki bağıntı elde edilir. BABA VVV
/
73
Bu eşitliğin zamana göre türevi alınırsa ivmeler arasındaki bağıntı elde edilir.
BABA aaa
/
Buradaki B nin A daki eksen sistemine göre olan bağıl yer hız ve ivme vektörleri sabit bir nokta etrafındaki hareketi göstermektedir. /B AV AB
/ /B A B Aa AB V
Problem 5.7.1: Uzunluğu 525 mm. olan BC çubuğu B ucundan AD etrafında dönen AB çubuğuna C ucundan OC çubuğu üzerinde hareket eden C bileziğine küresel mafsallar ile bağlanmıştır. xy Düzleminde dönen AB kolunun açısal hızı
18 /AB Rad s ve sabittir. Şekilde gösterilen konum için C bileziğinin hızını ve ivmesini bulunuz. Eğer C deki küresel mafsal yerine çatal mafsal konursa BC çubuğunun açısal hızını ve açısal ivmesini bulunuz. y B O D AB A C x z Çözüm: /C B C BV V V
B ABV AB , /C B BCV BC
Ayrıca C CV V k
dır.
18AB k , 150AB j
, 18 150BV k j
, 2700BV i
74
X Y ZBC BC BC BCi j k , 225 150BC i j OC k
2 2 2OC BC OA AB
, 2 2 2525 225 150OC
450 .OC mm
, 225 150 450BC i j k
/ ( ) ( 225 150 450 )
X Y ZC B BC BC BCV i j k i j k
/
225 150 450X Y ZC B BC BC BC
i j k
V
/ (450 150 ) (225 450 ) (225 150 )Y Z Z X Y XC B BC BC BC BC BC BCV i j k
İzdüşüm hızlar teoremine göre B CV BC V BC
2700 ( 225 150 450 ) ( 225 150 450 )Ci i j k V k i j k
607500 450 CV , 1350 /CV mm s , 1350CV k
/C B C BV V V
, / 2700 1350C BV i k
/ 2700 1350 (450 150 ) (225 450 ) (225 150 )Y Z Z X Y XC B BC BC BC BC BC BCV i k i j k
/ 2700 (450 150 ) (225 450 ) (225 150 )Y Z Z X Y XC B C BC BC BC BC BC BCV i V k i j k
450 150 2700
225 450 0
225 150
Y Z
Z X
Y X
BC BC
BC BC
BC BC CV
3 450 3 150 3 2700
2 225 ( 2) * 450 0
6 225 6 150 6
Y Z
Z X
Y X
BC BC
BC BC
BC BC CV
1350 450 3 2700
450 900 0
1350 900 6
Y Z
Z X
Y X
BC BC
BC BC
BC BC CV
1350 900 3 2700
1350 900 6Y X
Y X
BC BC
BC BC CV
3 18
2 0Y Z
X Z
BC BC
BC BC
26
32
Y X
Z X
BC BC
BC BC
6 3 2700CV 1350 /CV mm s , 1350CV k
0 450 150
450 0 225 ( 450 225 150) (150 450 225) 0
150 225 0
Katsayılar matrisinin determinantı sıfır olduğundan açısal hız vektörü belirsizdir. BC kolu kendi etrafında B ve C noktalarının hızından bağımsız olarak dönebilir.
2(6 ) 2
3X X XBC BC BCi j k
/C B C Ba a a , C Ca a k
B AB AB Ba AB V
75
AB kolunun açısal hızı sabit olduğundan açısal ivmesi AB sıfırdır.
B AB Ba V , 18 2700Ba k i
, 48600Ba j
/ /C B BC BC C Ba BC V
/ ( ) ( 225 150 450 )
2[ (6 ) 2 ] (2700 1350 )
3
X Y Z
X X X
C B BC BC BC
BC BC BC
a i j k i j k
i j k i k
/2
6 23
225 150 450 2700 0 1350
X Y Z X X XC B BC BC BC BC BC BC
i j ki j k
a
/ (450 150 900 8100) ( 225 450 6750 )
( 150 225 1800 16200)
Y Z X Z X X
X Y X
C B BC BC BC BC BC BC
BC BC BC
a i j
k
(450 150 900 8100) ( 225 450 6750 48600)
( 150 225 1800 16200)
Y Z X Z X X
X Y X
C C BC BC BC BC BC BC
BC BC BC
a a k i j
k
450 150 900 8100 0
225 450 6750 48600 0
150 225 1800 16200
Y Z X
Z X X
X Y X
BC BC BC
BC BC BC
BC BC BC Ca
3 450 3 150 3 900 3 8100 0
2 225 2 450 2 6750 2 48600 0
150 225 1800 16200
Y Z X
Z X X
X Y X
BC BC BC
BC BC BC
BC BC BC Ca
900 1350 10800 72900
150 225 1800 16200X Y X
X Y X
BC BC BC
BC BC BC Ca
150 225 1800 12150
150 225 1800 16200X Y X
X Y X
BC BC BC
BC BC BC Ca
12150 16200 Ca , 24050 /Ca mm s
254 8
3Y X XBC BC BC , 30 216 2Z X XBC BC BC
2(54 8 ) ( 30 216 2 )
3X X X X XBC BC BC BC BCi j k
Burada açısal hız vektöründe olduğu gibi açısal ivme vektörü de belirsizdir. Eğer C deki küresel bağlantı yerine aşağıdaki gibi çatal mafsal kullanılırsa açısal hız ve açısal ivme vektörleri belirli olur.
76
BC çubuğunun açısal hız ve ivme vektörlerinin C deki çatal mafsal pimi eksenine ve C bileziği hareket eksenine dik doğrultudaki bileşenleri sıfırdır. y o C mafsalı pim ekseni x C BC kolu doğrultusu z Bu durumda ( )OC BC
vektörü C deki pim eksenini gösterir.
[ ( )]OC OC BC
vektörü pim eksenine ve bilezik hareket doğrultusuna dik ekseni gösterir. Bu elde edilen vektörün birim vektörü ile açısal hız ve açısal ivme vektörlerinin skaler çarpımı sıfıra eşitlenirse elde edilen denklemlerden açısal hız ve açısal ivme bulunur.
( )0
( )
OC OC BC
OC OC BC
( )0
( )
OC OC BC
OC OC BC
450OC k
, 225 150 450BC i j k
( ) 450 ( 225 150 450 )OC BC k i j k
, ( ) 67500 101250OC BC i j
[ ( )] 450 (67500 101250 )OC OC BC k i j
[ ( )] 45562500 30375000OC OC BC i j
( )0,832 0,5547
( )
OC OC BCi j
OC OC BC
2(6 ) 2
3X X XBC BC BCi j k
( ) 2( (6 ) 2 ) (0,832 0,5547 ) 0
3( ) X X XBC BC BCOC OC BC
i j k i jOC OC BC
0,832 3,3282 0,3698 0
X XBC BC 7, 2 /XBC Rad s
7, 21 10,8 14,4i j k
77
2(54 8 ) ( 30 216 2 )
3X X X X XBC BC BC BC BCi j k
2(111,6 ) ( 432 2 )
3X X XBC BC BCi j k
( ) 2[ (111,6 ) ( 432 2 ) ] (0,832 0,5547 ) 0
3( ) X X XBC BC BCOC OC BC
i j k i jOC OC BC
2
0,832 0,5547 111,6 0,5547 03X XBC BC , (0,832 0,3698) 61,9
XBC
2133,93 /XBC Rad s , 133,93 200,9 699,9i j k
5.8 Maddesel noktanın dönen eksen sistemine göre bağıl hareketi Y y .sür
B q
.sür
j
x
i
A X O C k
Z z Yukarıdaki şekilde siyah çizgiyle çizilmiş XYZ eksen sistemine göre mavi çizgiyle çizilmiş xyz eksen sistemi
açısal hız vektörü ve
açısal
ivme vektörü ile o noktası etrafında hareket etmektedir. Mavi çizgiyle çizilmiş eksen sisteminde ifade edilen bir q
vektörünün zamana göre türevi siyah
çizgiyle çizilmiş XYZ eksen sisteminde aşağıdaki gibi yapılabilir. kqjqiqq zyx
78
dt
kdqk
dt
dq
dt
jdqj
dt
dq
dt
idqi
dt
dq
Dt
qDz
zy
yx
x
kdt
dqj
dt
dqi
dt
dq
dt
qd zyx
Birim vektörlerin türevleri hız formüllerinden faydalanarak alınabilir.
dt
idiV sürA
.
dt
jdjV sürB
.
dt
kdkV sürC
.
qdt
qd
Dt
qDsür
.
Y y .sür
p
.sür
pr
x
X O Z z Bulunan bu türev formülünde q
yerine dönen eksen sistemine göre ifade
edilmiş p maddesel noktasının pr
yer vektörü yazılırsa pV
hız vektörü
bulunur.
psürpp
p rdt
rd
dt
rDV
.
Burada .bağp Vdt
rd
bağıl hız.
.. sürpsür Vr
sürükleme hızıdır.
79
Böylece p maddesel noktasının hız vektörü aşağıdaki gibi yazılabilir.
.. sürbağp VVV
P maddesel noktasının ivme vektörünü bulmak için türev formülünde q
yerine bulduğumuz pV
hız vektörünün psürp rdt
rd
. ifadesi yazılmalıdır.
)()(
..
.
psürp
sür
psürp
pp r
dt
rd
dt
rdt
rdd
Dt
VDa
)( .....2
2
psürsürp
sürp
sürpsürp
p rdt
rd
dt
rdr
dt
rda
Burada
bağılp a
dt
rd
2
2
bağıl ivme
.... )( sürpsürsürpsür arr
sürükleme ivmesi
..2 corp
sür adt
rd
Coriolis ivmesi
Böylece p maddesel noktasının ivmesi aşağıdaki gibi yazılabilir.
.. corsürbağılp aaaa
Problem 5.8.1:
Şekil düzleminde hareket eden sistem A etrafında saat ibreleri yönünde dönen AP çubuğu ve buna B etrafında dönebilen BE çubuğu üzerinde kayabilen P bileziği mafsallanarak oluşturulmuştur. Sistem şekilde gösterilen konumdan geçerken AP çubuğunun açısal hızı
10 /AP Rad s (sabit) olduğuna göre verilen konum için a) P bileziğinin BE çubuğuna göre bağıl hızını b) BE çubuğunun açısal hızını c) BE çubuğunun açısal ivmesini ve P bileziğinin BE çubuğuna göre bağıl
ivmesini bulunuz.
E P y
80
AP x 600 200 B A 300 mm. Çözüm: .. sürbağp VVV
, . .bağ bağ BEV V U
, .sür BEV BP
P APV AP
Şekilden 0120PAB , 040APB olduğu görülür. Sinüs teoreminden
0 0 0
300
20 120 40
AP BP
Sin Sin Sin
159,63 .AP mm
, 404,19 .BP mm
0 0( 60 60 )AP AP Cos i Sin j
, 79,815 138,244AP i j
0 0( 20 20 )BP BP Cos i Sin j
, 379,81 138,24BP i j
BEBP
UBP
, 0,9397 0,342BEU i j
10AP k , BE BE k
10 (79,815 138, 244 )PV k i j
, 1382, 44 798,15PV i j
. . .0,9397 0,342bağ bağ bağV V i V j
. (379,81 138, 24 )sür BEV k i j
, . 138, 24 379,81sür BE BEV i j
. .1382,44 798,15 (0,9397 0,342 ) ( 138,24 379,81 )P bağ bağ BE BEV i j V i V j i j
. .1382,44 798,15 (0,9397 138,24 ) (0,342 379,81 )bağ BE bağ BEi j V i V j
.
.
0,9397 138, 24 1382, 44
0,342 379,81 798,15
bağ BE
bağ BE
V
V
a)
.
.
379,81 379,81 379,810,9397 138,24 1382,44
138,24 138,24 138,24
0,342 379,81 798,15
bağ BE
bağ BE
V
V
.2,9238 2851,7bağV , . 975,34 /bağV mm s
81
. 916,527 333,566bağV i j
b) .0,342 379,81 798,15bağ BEV
0,342( 975,34) 379,81 798,15BE , 2,98 /BE Rad s
. 411,96 1131,83sürV i j
c) .. corsürbağılp aaaa
, P AP AP Pa AP V
. .bağ bağ BEa a U , . .sür BE BE süra BP V
, . .2Cor BE bağa V
10 ( 1382, 44 798,15 )Pa k i j , 7981,5 13824, 4Pa i j
. . .0,9397 0,342bağ bağ bağa a i a j
. (379,81 138, 24 ) 2,98 ( 411,96 1131,83 )sür BEa k i j k i j
. ( 138, 24 3372,85) (379,81 1227,64)sür BE BEa i j
. 2 2.98 ( 916,527 333,566 )Cora k i j , . 1988,05 5462,5Cora i j
. .7981,5 13824,4 (0,9397 0,342 )
[( 138,24 3372,85) (379,81 1227,64) ] (1988,05 5462,5 )
P bağ bağ
BE BE
a i j a i a j
i j i j
.
.
7981,5 13824,4 (0,9397 138, 24 1384,8)
(0,342 379,81 6690,14)
bağ BE
bağ BE
i j a i
a j
.
.
0,9397 138, 24 1384,8 7981,5
0,342 379,81 6690,14 13824, 4
bağ BE
bağ BE
a
a
.
.
0,9397 138, 24 6596,7
0,342 379,81 7134, 26
bağ BE
bağ BE
a
a
2.
2
8638,94 /
11 /
bağ
BE
a mm s
Rad s
Problem 5.8.2: Şekildeki mekanizmada A noktasından mafsallı AOP kolunun P ucu
ekseninden 4
R mesafesinde mafsallı olan D diskine sürekli temas halindedir. D
diski saat ibreleri yönünde 40 /D Rad s sabit açısal hızı ile döndüğüne göre şekilde gösterilen konumdan geçerken AOP kolunun A noktasının hızını ve ivmesini bulunuz. y
82
D
D A G P
x O Ölçüler mm. dir. Çözüm: .. sürbağp VVV
p OV OP , .bağ DV GP
, .sür DV DP
O Ok , 40D k
DP DP j
, 2 2
DP GP DG
, 2 240 10DP
, 10 15DP j
210 (90 )OP i DP j
, 210 (90 10 15)OP i j
GP GD DP
, 10 10 15GP i j
[210 (90 10 15) ]p OV k i j
, (90 10 15) 210p O OV i j
. . (10 10 15 )bağ bağV k i j
, . . .10 15 10bağ bağ bağV i j
. 40 ( 10 15 )sürV k j
, . 400 15sürV i
. .(90 10 15) 210 (10 15 10 ) (400 15 )p O O bağ bağV i j i j i
. .(90 10 15) 210 (10 15 400 15) 10p O O bağ bağV i j i j
.
.
10 15 400 15 (90 10 15)
10 210
bağ O
bağ O
+ .
.
10 15 400 15 (90 10 15)
15 10 15 210
bağ O
bağ O
400 15 ( 90 200 15 ) O
400 15
90 200 15O
, 1,792 /O Rad s , . 37,628 /bağ Rad s
A OV OA , 1,792 90AV k j
, 161, 28AV i
83
91,88 376,32pV i j
, . 1457,326 376,28bağV i j
, . 1549,193sürV i
.. corsürbağılp aaaa
, p O O Pa OP V
. . . .bağ bağ bağ bağa GP V , . .sür D D süra DP V
0D , . .bağ bağ k
, O Ok
[210 (90 10 15) ] 1,792 (91,88 376,32 )p Oa k i j k i j
( 51,27 674,365) (210 164,65)p O Oa i j
. . (10 10 15 ) ( 37,628 ) ( 1457,326 376,28 )bağ bağa k i j k i j
. . .(38,73 14158,66) (10 54836,26)bağ bağ bağa i j
. 40 1549,193süra k i , . 61967,72süra j
. .
( 51, 27 674,365) (210 164,65)
[(38,73 14158,66) (10 54836, 26) ] 61967,72
p O O
bağ bağ
a i j
i j j
. .( 51,27 674,365) (210 164,65) (38,73 14158,66) (10 116804)O O bağ baği j i j
.
.
38,73 14158,66 51,27 674,365
10 116804 210 164,65
bağ O
bağ O
.
.
38,73 51,27 13484,3
10 210 116968,65
bağ O
bağ O
2
. 366,1 /bağ Rad s , 2539,56 /O Rad s
A O O Aa OA V , 539,56 90 1,792 161, 28Aa k j k i
48560, 4 289Aa i j
Problem 5.8.3: Şekilde gösterilen sistemde A pimi etrafında A açısal hızı ile dönen R uzunluğundaki AP çubuğu ucunda P kesici kalemini taşımaktadır. P kesici kaleminin uç noktası ,bir kenarının uzunluğu 2b olan ve O pimi etrafında dönen kare levhanın bir kenarını çizebilmesi için AP çubuğunun açısal hızının kare levhanın açısal hızına oranını bulunuz. y
84
P 2b R A O O x A Çözüm : y P A O x A O . .P bağ sürV V V
, P AV AP
. . .bağ bağ bağV V Sin i V Cos j
, sür OV OP
A Ak , O Ok
AP RCos i R Sin j
, ( )OP R b RCos i R Sin j
2 2( ) 2 ( )OP R R b R b R Cos
bAO R b RCos R Sin tg
Cos
OP Sin R Sin
R SinSin
OP
OPCos R b RCos
R b RCosCos
OP
( )OPCos b
( )Cos Cos Cos Sin Sin
( )b
CosOP
85
b Cos Cos Sin SinOP
, R b RCos R SinbCos Sin
OP OP OP
( )b R b RCos Cos R Sin Sin ( ) 0RSin Cos R b RCos Sin R Cos Sin R Sin Cos
( ) tan tan 0RSin R b RCos R Cos R Sin
( ) tan
tan
R b RCos R Sin
RSin RCos
, ( ) tan
1tan
R b
RSin RCos
(1 )
1
tan
b
RSin
Cos
( )P AV k RCos i R Sin j
, P A AV R Sin i RCos j
[ ( ) ]sür OV k R b RCos i R Sin j
( )sür O OV R Sin i R b RCos j
. .
( ( ) )
( )
P A A O O
bağ bağ
V R Sin i RCos j R Sin i R b RCos j
V Sin i V Cos j
. .( ) [ ( ) ]A A O bağ O bağR Sin i RCos j R Sin V Sin i R b RCos V Cos j
.
.( )
O bağ A
O bağ A
R Sin V Sin R Sin
R b RCos V Cos RCos
.
.( )
O bağ A
O bağ A
R Sin Cos V Sin Cos R Sin Cos
R b RCos Sin V Cos Sin RCos Sin
[( ) ] ( )O AR b RCos Sin R Sin Cos R Sin Cos RCos Sin
(1 )
O
A
Sin Cos Cos Sinb
Cos Sin Sin CosR
, ( )
(1 ) ( )
O
A
SinbSin Sin
R
veya
(1 )
1
tan
A
O
b
RSin
Cos
Kare kesitli çubuk oluşturmak için nin maksimum değerinde 2OP b
Olmalıdır. 2 2( ) 2 ( )OP R R b R b R Cos
2 2 22 ( ) 2 ( )b R R b R b R Cos 2 2 22( ) 2 2Rb R Cos R Rb b
86
22( 1) 2 2 ( )b b b
CosR R R
,
22 2 ( )
2( 1)
b b
R RCosb
R
0.375b
R için 018,4022462
R SinSin
OP
2
R SinSin
b
036,5314312
( )b
CosOP
, ( )2
bCos
b 0( ) 45
8, 4685688
(1 )
1
tan
A
O
b
RSin
Cos
, 2,173810974A
O
015 için
2
1
2 2 ( ) 2 ( 1)
R
OP b b bCos
R R R
2 2
1
2( ) 2 1 2 [ ( ) ]
b
OP R R R RCos
b b b b
( )R Sin
ASinOP
, ( )b
ACosOP
2,06579395R
OP , 0,7746727311
b
OP , 32,32131862 , 6,903310716
2,514479398A
O
05 için
2,572662065R
OP , 0,9647482743
b
OP , 12,95714925 , 2,301354539
2,675669706A
O
00,1 için
2,666626955R
OP , 0,999985108
b
OP , 0,266635228 , 0,04602697436
2,705542091A
O
87
BÖLÜM 6
KİNETİK 6.1 Kinetik ve Newtonun ikinci hareket kanunu
Kinetik hareketi oluşturan kuvvet moment gibi nedenleri de göz önüne alarak hareketin incelenmesidir. Kinetikte temel yasa Newtonun ikinci hareket kanunudur. Bir parçacığın lineer momentumunun zamanla değişimi üzerine etkiyen kuvvetlerin bileşkesi ile orantılıdır ve bu bileşkenin yönündedir. Parçacığın lineer momentumu hızı ile orantılı olup hız yönündedir ve bu orantı katsayısı kütle adını alır. Parçacığın hızı V
kütlesi m ile gösterilirse Lineer momentumu
VmP
olarak tanımlanır. Bu tanımla ikinci hareket yasası
)( Vmdt
d
dt
şeklini alır. Newton mekaniği yani klasik mekanik çerçevesinde m
kütlesinin yalnız cismin iç özelliklerine bağlı olduğu zaman ve yerle
değişmediği varsayılır. Dolayısıyla ikinci yasa
88
amF
şeklinde yazılabilir.
6.2 Maddesel noktanın kinetiği Newtonun ikinci hareket kanunu olan
amF
denkleminin kartezyen koordinatlardaki bileşenleri
xx amF , yy amF , zz amF
doğal koordinatlardaki bileşenleri
TT amF , NN amF
6.3 Kütle merkezinin hareketi teoremi Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi maddesel noktalardan oluştuğu düşünülen sistem veya rijid cismin hareketinde her bir maddesel nokta için yazılan amF
denklemi alt alta yazılıp toplanırsa
3a
y 2a
3m iF
im ia
2m nm na
2F
),,( G nF
1a 1m
o x z 111 amF
222 amF
333 amF
……….
iii amF
……….
89
nnn amF
n
i
n
i
iii amF1 1
denklemi elde edilir. Burada G maddesel noktalar sisteminin kütle merkezidir. Kütle merkezinin yer vektörü
1
1
n
i ii
n
ii
m OA
OG
m
şeklinde yazılabilir. Bu vektörün zamana göre ikinci türevi alınırsa kütle merkezinin ivme vektörü bulunur.
n
i
i
n
i
ii
G
m
am
a
1
1
Bu ivme vektörü ifadesinden.
n
i
imm1
olmak üzere
n
i
iiG amam1
yazılabilir.
n
i
n
i
iii amF1 1
ifadesindeki
n
i
ii am1
yerine Gam
yazılırsa
GamF
şeklindeki kütle merkezinin hareketi teoremi olarak bilinen denklem elde edilir. Bu denkleme göre maddesel noktalar sisteminin veya rijid cismin kütle merkezi bütün kuvvetler ona uygulanmış ve toplam kütle orada yoğunlaşmış bir maddesel nokta gibi hareket eder. 6.4 Rijid cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketi ve atalet
momentleri Δ B
90
M r Ta
Na dm NdF TdF A V Şekilde gösterilen V hacim bölgesini kapsayan ve Δ Ekseni etrafında M dış momenti etkisinde dönen cismin üzerindeki bir dm diferansiyel kütlesi ve bu kütle için kinetik denklemi yazıp cismin tüm V hacmi içinde integre edilirse rijid cismin sabit eksen etrafında dönme hareketine ait kinetik denklemi bulunur. Maddesel noktanın hareketi verilen amF
denkleminin
doğal koordinatlardaki ifadesi TT amF NN amF Bu denklemler rijid cismin bir diferansiyel kütlesine uygulanırsa dmadF TT dmadF NN Şekilde gösterildiği gibi sabit bir eksen etrafında dönen cismin bütün noktaları çembersel hareket yapar. Bundan dolayı cisim üzerindeki bir diferansiyel kütle için yazılan denklemlerden ikincisinin dönme hareketine bir etkisi olmaz. Birinci denklemdeki Ta ivmenin teğetsel bileşeni yerine raT yazılarak elde edilen dmrdFT denkleminin her iki tarafı diferansiyel kütlenin yörüngesinin yarıçapı olan r ile çarpılıp integre edilirse sabit eksen etrafında dönme hareketine ait kinetik denklemi elde edilir. dmrrdFr
V
T
V
Burada T
V
dFrM olduğu bilindiğine göre yukarıdaki denklem
91
V
dmrM 2
şeklinde yazılabilir.Buradaki V
dmr 2 büyüklüne cismin Δ eksenine göre
atalet momenti denir
V
dmrI 2
Böylece sabit bir eksen etrafında dönme hareketine ait moment ve açısal ivme arasındaki bağıntıyı veren kinetik denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.
IM
6.5 Atalet momentleri Sabit bir eksen etrafında dönme veya genel düzlemsel hareketin kinetiğinde rijid cismin sabit bir eksene göre atalet momentinin bilinmesi gerekir. Bu işlem noktaya ve düzleme göre atalet momentleri tanımlayıp daha kolay yapılabilir.
dm p Ar pr
A dr V d
V
AA dmrI 2 A noktasına göre atalet momenti
V
dd dmrI 2 d doğrusuna göre atalet momenti
V
PP dmrI 2 P düzlemine göre atalet momenti
6.5.1 Atalet yarıçapı Bir noktaya veya eksene göre atalet momenti I olan m kütleli bir cismin tüm kütlesi bu noktaya veya eksene eşit uzaklıktaki bir bölgede toplanmış farz edilirse bu uzaklığa atalet yarıçapı denir ve k ile gösterilir.
2I m k
92
6.5.2 Atalet momenti ile ilgili teoremler 1 ) Bir rijid cismin birbirine dik üç düzleme göre atalet momentlerinin toplamı bunların ara kesiti olan noktaya göre atalet momentine eşittir.
2) Bir rijid cismin birbirine dik iki düzleme göre atalet momenlerinin toplamı bunların ara kesiti olan doğruya göre atalet momentine eşittir. 3) İki boyutlu bir rijid cismin şekil düzleminde bulunan birbirine dik iki doğruya göre atalet momentlerinin toplamı bunların arakesiti olan noktaya göre atalet momentine eşittir.
4) Bir rijid cismin herhangi bir doğruya göre atalet momenti bu doğruya paralel olup kütle merkezinden geçen doğruya göre atalet momenti ile
cismin kütlesini eksenler arasındaki uzaklıkla çarpılarak elde edilen sayının toplamına eşittir. Bu teoreme paralel eksenler teoremi denir.
5) İki boyutlu cisimlerde Şekil düzlemine dik eksenle bu eksenin şekil düzlemindeki izdüşümü olan noktaya göre atalet momenti birbirine eşittir.Bu son teoreme göre iki boyutlu cisimlerde şekil düzleminde bulunan bir noktaya göre atalet momentinin kütle merkezine göre atalet momenti ile bu noktalar arasındaki uzaklık karesinin kütle ile çarpımının toplamına eşitliği şeklinde paralel eksenler teoremine benzer teorem yazılabilir.
Bu teoremlerin ispatı aşağıdaki şekilde yapılabilir. y yG
d z x A dm G y o x V z
V
O dmzyxI )( 222
V
yoz dmxI 2
93
V
xoz dmyI 2
V
xoy dmzI 2
Bu denklemlerden xoyxozyozo IIII
elde edilir.Bu birinci teoremin ispatıdır. Ayrıca
V
x dmzyI )( 22
olduğundan xoyxozx III
yazıldığı gibi ikinci teorem ispatlanmış olur. Paralel eksenler teoremini ispatlamak için
V
y dmzxI )( 22
V
GAGAY dmzxIG
)( 2/
2/
GAG xxx / , GAG zzz / 2
//22
//222 22 GAGAGGGAGAGG zzzzxxxxzx
222 dzx GG
V
GAG
V V
GAGAy dmxxmdddmzxI /22
/2
/ 2)(
kütle merkezi formülünden 0/
V
GA dmx olduğundan
2dmIIGYy
yazılarak paralel eksenler teoremi ispatlanmış olur. Üçüncü teorem ikinci teoremin iki boyuta indirgenmiş halidir. Bu teoremin ispatı için aşağıdaki şekil göz önüne alınır. y x ),( yxA dm r y
94
x o
S
x dmyI 2 , S
y dmxI 2
S
O dmyxI )( 22
Bu atalet momenti ifadelerinden yxO III
yazılarak üçüncü teorem ispatlanmış olur. Problem 6.5.1 Kütlesi m olan L uzunluğundaki homojen , doğrusal ve sabit kesitli çubuğun ucuna ve merkezine göre atalet momentini bulunuz. Çözüm: y L dm A G x
x dx 2
AI x dm
, dm dx , m L
2L
AO
I x dx , 3
3AL
I
Atalet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 1m
L ile
çarpmak gerekir. 3
3AL m
IL
2
3AL
I m
paralel eksenler teoremine göre 2( )
2A GL
I I m , 2( )2G AL
I I m , 2 2
3 4GL L
I m m
2
12GL
I m
Problem 6.5.2
95
Kütlesi m olan L uzunluğundaki homojen , doğrusal ve sabit kesitli Prizmatik cismin taban düzlemine göre atalet momentini bulunuz. Çözüm: y L dx
x x A taban düzlemi V O dm
z Çözüm: 2
AV
I x dm , dm dV
eğer A taban düzleminin alanı S ise
m S L , dm S dL
dır.
2L
AO
I x S dL , 3
3AL
I S
Atalet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 1m
SL
ile çarpmak gerekir. 3
3AL m
I SSL
2
3AL
I m
Problem 6.5.3 R yarıçaplı ve m kütleli homojen çember şeklindeki cismin atalet momentini a) merkezine , b) çapına , c) teğet doğrusuna , d) çember üzerindeki bir noktaya göre bulunuz. d doğrusu y R A noktası O x
96
Çözüm:
a) Çember şeklindeki cismin üzerindeki bütün noktaların O noktasına uzaklığı R olduğundan
2OI m R
olur. b) Atalet momenti ile ilgili teoremlerden üçüncüsünden O x yI I I
yazılabilir. Ayrıca tüm çap doğrularına göre kütle dağılımı çember şeklindeki cisimde aynı olduğundan x yI I yazılabilir. Böylece çember şeklindeki cismin çapına göre
atalet momenti 21
2x yI I m R
c) Paralel eksenler teoremine göre 2
d yI I m R olduğundan
23
2dI m R
d) Atalet momenti ile ilgili beşinci teorem göz önüne alınırsa O ve A noktası
arasında paralel eksenler teoremi yazılabilir. 2
A OI I m R
22AI m R
Problem 6.5.4 R yarıçaplı ve m kütleli homojen daire şeklindeki levhanın atalet momentini a) merkezine , b) çapına göre bulunuz. Çözüm: y dm dA R
r dr x O
97
2m R , 2dA r dr , 2dm r dr a)
2
0
R
OI r dm , 2
0
( 2 )R
OI r r dr , 3
0
2R
OI r dr
4
24OR
I
Atalet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu
2
1m
R ile çarpmak gerekir.
4
22
4OR m
IR
21
2OI m R
b) Atalet momenti ile ilgili teoremlerden üçüncüsünden O x yI I I
yazılabilir. Ayrıca tüm çap doğrularına göre kütle dağılımı dairesel levha için aynı olduğundan x yI I yazılabilir. Böylece dairesel levhanın çapına göre atalet momenti
21
4x yI I m R
formunda elde edilir.
Problem 6.5.5 Silindir şeklindeki homojen dolu cismin taban düzlemindeki bir çapına göre atalet momentini bulunuz. y L z R O x Çözüm: Atalet momentleri ile ilgili ikinci teoreme göre x xoy xozI I I
yazılabilir. Aynı şekilde
z xoz yozI I I ve xoz yozI I olduğundan 2z
xoz
II yazılabilir.
98
zI dairesel levhanın merkezine göre atalet momenti gibi
21
2zI m R olduğundan
21
4xozI m R olur.
21
3xoyI m L eşitliği prizmatik ve sabit kesitli cisimlerin taban düzlemine göre
atalet momenti olduğundan
2 21 1
3 4xI m L m R , 2 21 1( )3 4xI m L R eşitliği bulunur.
Problem 6.5.6 R Yarıçaplı ve m kütleli homojen dolu kürenin kütle merkezinden geçen bir çapına göre atalet momentini bulunuz. Çözüm: z 2dm r dz r dz R z o y x m V
0
2R
m dm , 2
0
2R
m r dz , 2 2 2r R z
2 2
0
2 ( )R
m R z dz , 3
32 ( )3
Rm R , 34
3m R
Atalet momenti ile ilgili teoremlerden ikincisine göre
x xoy xozI I I yazılabilir. Kürenin bütün çapsal düzlemleri küreyi iki eşit
parçaya böldüğünden xoy xozI I ve 2x xoyI I yazılabilir.
99
2
0
2R
xoyI z dm , 2 2
0
2R
xoyI z r dz , 2 2
0
2R
xoyI z r dz
2 2 2
0
2 ( )R
xoyI z R z dz , 2 2 4
0
2 ( )R
xoyI z R z dz
5 5
2 ( )3 5xoyR R
I , 54
15xoyI R
Atalet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu
3
31
4
m
R ile çarpmak gerekir
53
4 3
15 4xoy
mI R
R
, 21
5xoyI mR , 22
5xI mR
6.6 Rijid cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketinde
problemler Δ B r M dm V A
IM
Burada M , Δ eksenine göre cisme uygulanan toplam dış momenti
I , cismin Δ eksenine göre atalet momentini
V
dmrI 2
ise cismin açısal ivmesini göstermektedir.
Rijid cismin sabit eksen etrafında dönme hareketinde cisme etki eden dış aktif kuvvetler ile mafsal tepkileri arasındaki bağıntı kütle merkezinin hareketi teoreminden elde edilebilir. GF ma
100
Burada Ga cismin kütle merkezinin ivmesidir.
Problem 6.6.1 Homojen L uzunluğunda ve m kütlesindeki sabit kesitli doğrusal çubuk A ucundan kendisine dik silindirik mafsalla bağlıdır. Çubuk yatay konumdan ilk hızsız harekete bırakılıyor. Çubuğun a) yatayla açısı yaptığı andaki açısal ivmesini b) yeni harekete bırakıldığı andaki mafsal tepkisini bulunuz. Çözüm: y
2
L mg 2
L
A G B x a)
IM M
I
2
LM mg Cos , 21
3I mL
2
21
3
Lmg Cos
mL
,
3
2
gCos
L
b)
101
GF ma
Çubuk harekete yeni bırakıldığı anda açısal hızı sıfır olduğundan kütle merkezinin ivmesinin yatay bileşeni sıfırdır.
2GL
a j
0 da 3
2
g
L , 3
4Gg
a j
GF ma denkleminden toplam kuvvetle ivme aynı yönde olması gerekir.
Cisme yatay doğrultuda başka aktif kuvvet etkimediğinden mafsal tepkisi de düşey doğrultuda olmalıdır.
A GR mg j ma , 3
( )4Ag
R mg j m j
1
4AR mg j
6.7 Rijid cismin genel düzlemsel hareketinin kinetiği
y
Aa
dm GAr /
G dF
Gr
Ar
o x A Maddesel noktanın hareketi için geçerli olan amF
denklemi Rijid cismin bir diferansiyel kütlesine uygulanırsa AdF a dm
yazılabilir. Bu denklemin her iki tarafı diferansiyel kütlenin yer vektörü ile soldan vektörel çarpılır ve cismin tüm kütlesi boyunca integre edilirse rijid cisme uygulanan moment ve cismin açısal hareketleri ile ilgili denklemler elde edilir. GAGA aaa /
/ /A G A G Ar dF r a dm
/ / /( )A G A G G A GA A
r dF r a a dm
102
dFrkMA
GAz /
dmaradmrkM GA
A
GAG
A
GAz /// ))(
sağ taraftaki birinci integral kütle merkezinin formülünden dolayı sıfır olur. İkinci integral için
)]([)(/ jyixkkjyixka GA
)(/ iyjxkjxiya GA
jyixjxiya GA
22/
)()( 22// jyixjxiyjyixar GAGA
kxykykxykxar GAGA
2222//
kyxar GAGA
)( 22
//
2 2( )GA
M k x y k dm
burada dmyxIA
G )( 22 dır.
Böylece genel düzlemsel harekette moment ve açısal ivme arasındaki
G GM I
bağıntısı elde edilir.
Problem 6.7.1 60 .R cm Yarıçaplı 10 .m kg kütleli homojen dairesel levha kaymadan yuvarlanma hareketi yapmaktadır. Levhanın merkezinin ivmesinin 25 /m s olması için merkezine uygulanan yatay doğrultudaki F kuvvetini ve gerekli olan en düşük sürtünme katsayısını bulunuz. Çözüm: y mg Ga G F
x
103
o f N G GM I , GF ma
Ga R Ga
R
21
2GI mR , GM f R
21
2G
G
aM f R mR
R 1
2 Gf ma 25f Newton
GF f ma 3
2 GF ma 75F Newton
f N f
N
0yF 0N mg 50N mg Newton
25
50 , 0,5
Problem 6.7.2
60 .R cm Yarıçaplı 10 .m kg kütleli homojen dairesel levha kaymadan yuvarlanma hareketi yapmaktadır. Levhanın merkezinin ivmesinin 25 /m s olması için merkezine uygulanan Momentin şiddetini ve gerekli olan en düşük sürtünme katsayısını bulunuz. Çözüm: y mg GM Ga G
x o f N G GM I , GF ma
Ga R Ga
R
104
21
2GI mR , G GM M f R
21
2G
G G
aM M f R mR
R 1
2G GM mRa f R
Gf ma 50f Newton
110 0,6 5 50 0.6
2GM , 45 .GM Nm
f N f
N
0yF 0N mg 50N mg Newton
50
50 , 1
Problem 6.7.3 1,2 m. Uzunluğunda ve m=25 kg kütleli bir çubuk A ucu yatay doğru üzerinde B ucu 045 eğimli doğru üzerinde olmak üzere sürtünmesiz olarak hareket ediyor. Eğer çubuk ilk hızsız olarak harekete bırakılırsa ve bu anda
030 ise bu an için a) Çubuğun açısal ivmesini b) A ve B noktalarındaki tepki kuvvetlerini hesaplayınız. B 1,2 m. G 450 A Çözüm: Ba B mg BR 150 G A
105
450 300 Aa AR
G GM I 0 0 2130 15
2 2 12A BL LR Cos R Cos mL
GF ma
Xx GF ma , Yy GF ma
Xx GF ma 045
XB GR Cos ma
Yy GF ma 045
YA B GR R Sin mg ma
Kinematik inceleme:
/B A B Aa a a , 2 2
2 2B B Ba a i a j
A Aa a i
, / /B A B Aa AB V
hareketi yeni başladığı için 0 dır.
0 0/ ( 30 30 )B Aa k LCos i LSin j
, /1 3
2 2B Aa L i L j
2 2 1 3( )
2 2 2 2B B B Aa a i a j a i L i L j
2 2 1 3( )
2 2 2 2B B Aa i a j a L i L j
1 2
2 2
3 2
2 2
A B
B
a L a
L a
3 1
2
3
2
A
B
a L
a L
/G A G Aa a a ,
X YG G Ga a i a j
/ /G A G Aa AG V
3 1
2Aa L i
0 0/ ( 30 30 )
2 2G AL L
a k Cos i Sin j /
3
4 4G AL
a i L j
3 1 3( ) ( )
2 4 4X YG G GL
a a i a j L i i L j
2 3 1 3
4 4X YG Ga i a j L i L j
2 3 1
4XGa L
, 3
4YGa L , 1,339
XGa , 0,520
YGa
045XB GR Cos ma 1,894BR m
106
0 0 2130 15
2 2 12A BL LR Cos R Cos mL 2,3434AR m
22,3434 1,894 0,520
2m m mg m
9,81
22,3434 1,894 0,520
2
, 2,33 /Rad s
23,12 /
XGa m s , 21, 21 /
YGa m s
136,5AR N , 110,3BR N 6.8 Rijid cismin üç boyutlu hareketinin kinetiği
y Aa
dm GAr /
G dF Gr
Ar
o x V z Maddesel noktanın hareketi için geçerli olan amF
denklemi Rijid cismin bir diferansiyel kütlesine uygulanırsa dmadF A
yazılabilir. Bu denklemin her iki tarafı diferansiyel kütlenin yer vektörü ile soldan vektörel çarpılır ve cismin tüm hacmi boyunca integre edilirse rijid cisme uygulanan moment ve cismin açısal hareketleri ile ilgili denklemler elde edilir. dmardFr AAA
dmardFr A
V
A
V
A
Buradaki Ar
vektörü yerine
107
GAGA rrr /
yazılırsa
dmarrdFrr A
V
GAG
V
GAG
)()( //
denklemi elde edilir. Bu denklem
0)((
dmadFr A
V
G
olduğu göz önüne alınarak
dmardFr A
V
GA
V
GA
//
şeklinde kısaltılabilir. Burada
dFrMV
GAG /
cisme uygulanan toplam moment olduğundan
dmarM A
V
GAG
/
denklem şekline gelir. Burada diferansiyel kütlesinin ivmesi
GAGA aaa /
şeklinde yazılabileceğinden
dmaarM AGG
V
GAG )( //
olur. Burada V
GGAG
V
GA admrdmar 0)( //
olduğundan
dmarM AG
V
GAG //
yazılabilir. Burada
)( /// GAGAGA rra
, kzjyixr GA
/
kji zyx
, kji zyx
Böylece rijid cismin kütle merkezine etki eden moment ve cismin
108
açısal hareketi ile ilgili genel bağıntı aşağıdaki şekilde olur.
dmrrrM GAGA
V
GAG )]}([{ ///
Bu denklemin sağ tarafı iki integralin toplamına dönüştürülürse işlemler kısalabilir. dmrrdmrrM GA
V
GAGA
V
GAG )]}([{)([ ////
Her iki integral işlemi ayrı ayrı aşağıdaki gibi yapılabilir.
kxyjzxiyz
zyx
kji
r yxxzzyzyxGA
)()()(/
)]([)( ///// GAGAGAAGAAGA rrrrar
)( // GAAGA rr
=
yxxzzy xyzxyz
zyx
kji
jaxxyyzzizxzxyy yxzyxzyx
)()( 2222
kyyzxzx zyxz
)( 22
Burada
V
xIdmzy )( 22 , V
yIdmzx )( 22 , V
zIdmyx )( 22
denklemleri sırasıyla x, y ve z eksenlerine göre atalet momentlerini göstermektedir. Ayrıca
V
xy dmxyI , V
xz dmxzI , V
yz dmyzI
denklemleri sırasıyla yz-xz , yz-xy , xz-xy düzlemlerine göre çarpım atalet momentleridir. Bunlarla birlikte yukarıdaki denkleme gidildiğinde dmrrdmrrM GA
V
GAGA
V
GAG )]}([{)([ ////
denkleminin sağ tarafının birinci integral işlemi aşağıdaki gibi tamamlanmış olur.
V
GAGA dmrr )]([ //
iIII zxzyxyxx
][
jIII zyzxxyyy
][
[ ]z z xz x yz yI I I k
109
Aynı denklemin sağ tarafının ikinci integral işlemi için aşağıdaki işlemler yapılabilir.
kxyjzxiyz
zyx
kji
r yxxzzyzyxGA
)()()(/
yxxzzy
zyxGA
xyzxyz
kji
r
)( /
jxyyzizxxy yxxzzyzxzyxy
)()( 2222
kyzzx zyyxzx
)( 22
)]([ // GAGA rr
zyyxzxyxxzzyzxzyxy yzzxxyyzzxxy
zyx
kji
222222
ixzyzyzzyyzyzxy yxxzzyzyyxzx
)( 222222
jxyxzxzxzxzxzyz zyyxzxzxzyxy
)( 222222
kyzxyxyyxxyxyxz zxzyxyyxxzzy
)( 222222
dmrr GAGA
V
)]}([{ //
iIIIII yxxzyzyzzxxyzyyz
])()[( 22
jIIIII zxxzxyyzzyxyzxzx
)]()[( 22
kIIIII zxyzzyxzxyxyyxxy
])()[( 22
Burada )()()( 2222
yzzy
V
zyzyzy
V
IIdmzydmzy dır.
Çünkü V
z dmyxI )( 22 ve V
y dmzxI )( 22
VV
yz dmzydmzxyxII )()]()[( 222222
dır.
110
V
GAGA dmrr )]([ //
iIII zxzyxyxx
][
jIII zyzxxyyy
][
[ ]z z xz x yz yI I I k
Bu bulunan değerlerle moment denklemine gidildiğinde Rijid cismin genel hareketinde Kütle merkezine göre toplam moment vektörü ile cismin atalet momentleri açısal hız ve açısal ivme bileşenleri arasındaki bağıntıyı veren denklem bulunmuş olur. dmrrrM GAGAGA
V
G )]}()[({ ///
iIIIIII yzyzzyxxzyzxxyzyyzxx
)]()()()([ 22
2 2[ ( ) ( ) ( ) ( )]y y x z x z xy y z x yz y x z xz x zI I I I I I j
2 2[ ( ) ( ) ( ) ( )]z z y x x y xz y z x yz x z y xy y xI I I I I I k
Burada cismin kütle merkezinden alınan eksenler cismin asal eksenleri ise yani bu eksen sisteminin koordinat düzlemlerine göre çarpım atalet momentleri sıfır ise yukarıdaki denklem
kIIIjIIIiIIIM yxxyzzzxzxyyzyyzxxG
])([])([])([
şeklinde basitleşir. Bu denklemler ilk defa 1758 de Euler tarafından elde edildiği için Euler denklemleri adıyla anılır. Sabit bir nokta etrafında dönen bir cisimde de benzer bağıntılar elde edilir. Yalnız burada eksen takımı ve moment vektörü bu sabit noktadan geçecek şekilde seçilirse aynı formda bağıntılar elde edilir.
kIIIjIIIiIIIM yxxyzzzxzxyyzyyzxxO
])([])([])([
Bu denklemler sabit eksen etrafında dönme hareketinde Eğer z ekseni dönme ekseni olarak alınırsa
2 2( ) ( )O xz z yz z yz z xz z z zM I I i I I j I k
2
x xz z yz zM I I 2
y yz z xz zM I I
z z zM I
şekline dönüşür. Eğer sabit eksen etrafında dönme hareketinde koordinat eksenleri asal eksenler ise yukarıdaki denklemler z zM I şeklinde tek bir skaler denkleme indirgenir.
111
Benzer şekilde genel düzlemsel harekette denklem GG IM şekline indirgenir. Burada GM cismin kütle merkezinden geçen hareket düzlemine dik eksene göre toplam momenti GI ise aynı eksene göre atalet momentini göstermektedir.
Problem 6.8.1 C ve D de silindirik mafsallı CD çubuğuna 100mm. Uzunluğunda ve 300 g. kütleli A ve B çubukları rijid olarak bağlıdır. Eğer 600 N.m. şiddetinde bir moment CD çubuğuna uygulanırsa CD çubuğunun açısal hızı 1200 dev/dak. değerini aldığında C ve D mafsallarındaki tepkileri bulunuz. ( CD çubuğunun kendi eksenine göre atalet momentini ihmal ediniz.)
y L/4 x C L/2 o B c A c D M z Çözüm: y L/4 x L/4
112
C yD o L/2 Cx B c c xD
Cy A D M Dx z Dy
2 2( ) ( )O xz z yz z yz z xz z z zM I I i I I j I k
2
x xz z yz zM I I 2
y yz z xz zM I I
z z zM I
O y xM L D i L D j M k
212
3zI m c
1 1 1( )( )2 2 4yzI m L c mLc
1 1 1( )( )4 2 8xzI m L c mLc
2y xz z yz zL D I I
2x yz z xz zL D I I
z zM I zz
M
I ,
212
3
zM
mc
,
2
3
2z
M
mc
22
1 3 1
4 82x z
ML D mLc mLc
mc , 23 1
8 8x zM
D mcc
21 1
8 4y z zL D mLc mLc , 23 1
16 4y zM
D mcc
23 600 10,3 0,1 (1200 2 / 60)
8 0,1 8xD
, 36,72 .xD N
23 6 10,3 0,1 (1200 2 / 60)
16 0,1 4yD
, 129,69 .yD N
2 2( ) ( )D D D DD x z z y z z y z z x z z z zM I I i I I j I k
2D D Dx x z z y z zM I I
2D D Dy y z z x z zM I I
113
D y xM L C i L C j M k
2
D Dy x z z y z zL C I I 2
D Dx y z z x z zL C I I
1 1 1( )( )2 2 4Dy z
I m L c mLc
3 1 3( )( )4 2 8Dx z
I m L c mLc
22
1 3 3
4 82x z
ML C mLc mLc
mc 23 3
8 8x zM
C mcc
23 6 30,3 0,1 (1200 2 / 60)
8 0,1 8xC
155,15 .xC N
22
3 3 1
8 42y z
ML C mLc mLc
mc 29 1
16 4y zM
C mcc
29 6 10,3 0,1* (1200 2 / 60)
16 0,1 4yC
, 152,19 .yC N
Problem 6.8.2 Yarıçapı R kütlesi m olan homojen bir disk kütlesi ihmal edilebilen bir OG çubuğuna monte edilmiştir.OG çubuğu O noktasında mafsallıdır. Disk yatay düzlemde kaymadan yuvarlanma hareketi yapabilmektedir. Çubuk düşey eksen etrafında dönebilmektedir. Disk çubuk ekseni etrafında saat ibreleri tersi yönünde 1 sabit açısal hızı ile döndüğüne göre
a) Döşemeden diske gelen tepki kuvvetini ( doğrultusu düşey farzediliyor) b) O mafsalındaki tepki kuvvetini bulunuz. y L 2 R o x 1 I z
114
Çözüm: y L mg 2 R o x 1 I z N 0IV
0IV OI
1 2i j , OI Li R j
1 2( ) ( )IV i j L i R j
, 2 1( ) 0IV L R k
2 1R
L
2 1 , 1 1
Rj i
L
, 21
Rk
L
kIIIjIIIiIIIM yxxyzzzxzxyyzyyzxxO
])([])([])([
21
2xI mR 2 21
4yI mR mL 2 21( )4y zI I m R L
1x 1yR
L
[ ( ) ]O z z y x x yM I I I k
2 2 2 2 21 1 1{ ( ) [ ( ) ] }
4 4 2O z x yM m R L m R L mR k
2 2 2 2 2 2
1 11 1
[( ) ( ) ]4 4O
R RM m R L R L k
L L
3212O
mRM k
L
( )OM NL mgL k
321( )
2OmR
M NL mgL k kL
321( )
2
mRNL mgL
L
3212
( )2
RN m g
L
115
GF ma ( )x y zF R i R N mg j R k
3212
[ ( )]2
x y zR
F R i R m j R kL
22Ga L i ,
221G
Ra i
L
3 2
2 21 12
[ ( )]2
x y zR R
F R i R m j R k m iLL
2
21x
RR m
L ,
3212
( )2
yR
R mL , 0zR
BÖLÜM 7
İŞ VE ENERJİ İLKESİ
7.1 Maddesel noktanın hareketinde iş ve enerji ilkesi Bir maddesel noktaya etki eden kuvvetin maddesel noktanın yer değiştirmesinde yaptığı işi bulabilmek için aşağıdaki şekil çizilebilir. y NF F
(1) m TF rd
ds
r
rdr
(2)
o x
z
116
Burad m kütlesi rd
kadar yer değiştirme yaptığında etki eden F
kuvvetinin yaptığı iş rdFd
dır. M kütlesi (1) konumundan (2) konumuna geldiğinde etki eden F
kuvvetinin yaptığı iş ise
)2(
)1(
)2()1( rdF
şeklinde integral ile hesaplanır. Burada NFTFF NT
Tdsrd
şeklinde
yazılabileceğinden bir F
kuvvetin işi
)2(
)1(
)2()1( dsFT
şeklinde de hesaplanabilir. Bir maddesel noktanın hareketinin teğet doğrultusundaki denklemi TT amF
Burada Ta yerine ds
VdV yazarak
ds
VdVmFT , VdVdsFT
elde edilen denklemin her iki tarafı (1) konumundan (2) konumuna integre edilirse
VdVmdsFT )2(
)1(
)2(
)1(
Burada dsFT
)2(
)1(
)2()1(
Olduğundan 21
22)2()1( 2
1
2
1mVmV
denklemi elde edilir. Burada
2
2
1mVT
eşitliğine V hızındaki m kütlesinin kinetik enerjisi denir. Bu şekilde elde edilen 12)2()1( TT
denklemine iş ve enerji ilkesi denir. Bir maddesel noktanın (1) konumundan (2) konumuna hareketinde maddesel noktaya etki eden kuvvetlerin yaptığı işler toplamı maddesel noktanın bu konumlar arasındaki kinetik enerji farkına eşittir. Kinetik enerji maddesel noktanın hareket ettiği yola bağlı değildir. Sadece son ve ilk konumdaki hızlara bağlıdır. Etki eden kuvvetlerin yaptığı işler ise mekanik enerjinin korunmadığı durumlarda yola bağlıdır.
117
Problem 7.1.1 θ eğim açılı eğik düzlem üzerinde bırakılan bloğun s kadar yol aldıktan sonraki hızını bulunuz. Çözüm : mg (1) θ s N h (2) f θ 12)2()1( TT , (1) (2) ( )m g Sin s f s , 1 0T
22
1
2T mV , 21
( )2
m g Sin s f s mV , 2( )f
V g Sin sm
7.1.2. Mekanik enerjinin korunumu ve potansiyel enerji: Bir kuvvet alanı UF
şeklinde yazılabiliyorsa buradaki kuvvete korunumlu kuvvet U ya ise potansiyel enerji denir. Kartezyen koordinat sisteminde
kz
Uj
y
Ui
x
UU
kdzjdyidxrd
ile
)2(
)1(
)2()1( rdF
denklemine gidilirse
)()2(
)1(
)2()1( dzz
Udy
y
Udxx
U
118
)2(
)1(
)2()1( dU
21)2()1( UU
korunumlu kuvvetlerde bir kuvvetin işinin Potansiyel enerji farkının negatifi ile yapılabileceği görülür. Bu elde edilen denklem iş ve enerji denkleminde bir kuvvetin işi yerine yazılırsa 1221 TTUU veya 2211 TUTU
mekanik enerjinin korunum denklemi elde edilir.
Problem 7.1.2.1 θ eğim açılı eğik düzlem üzerinde bırakılan bloğun durana kadar aldığı s yolunu bulunuz. Cisim ilk harekete bırakıldığında yay katsayısı k olan yay doğal uzunluğundadır. Çözüm : mg k (1) θ s N h (2) θ
1 2 2 1U U T T , 21 2
1
2U U mgh ks , h s Sin , 1 0T
119
22
1
2T mV , 2 21 1
2 2m g s Sin k s mV
durduğu anda hızı sıfırdır. 210
2m g s Sin k s
2m gs Sin
k
7.2 Rijid cismin sabit bir eksen etrafında dönmesinde kinetik enerji hesabı Δ B V r dm A V Rijid cisme ait bir diferansiyel kütlenin kinetik enerjisi
dmVdT 2
2
1
Sabit bir eksen etrafında dönme hareketinde
120
rV olduğundan
dmrdT 22
2
1
yazılabilir. Bu diferansiyel kinetik enerjinin cismin tüm V hacmi üzerinde integrali alınarak toplam kinetik enerji bulunur.
dmrTV
22
2
1
integral içindeki sabitler dışarı alınarak elde edilen
V
dmrT 22
2
1
denkleminde
V
dmrI 2
ifadesi Δ eksenine göre cismin atalet momenti olduğundan sabit bir eksen etrafında dönme hareketinde rijid cismin kinetik enerjisi
2
2
1 IT
şeklinde hesaplanır. Problem 7.2.1 Uzunluğu L ve kütlesi m olan AB çubuğu A ucundan silindirik mafsallı olarak düşey düzlemde hareket edebilmektedir. AB çubuğu yatay konumda ilk hızsız harekete bırakılıyor. Yatayla θ açısı yaptığı andaki açısal hızını bulunuz. Çözüm: mg A L/2 L/2 B θ mg 1 2 2 1U U T T
121
1 2 2
LU U m g Sin
1 0T , 22
1
2 AT I
21
2 2 AL
m g Sin I
21
3AI mL
2 21 1
2 2 3
Lm g Sin mL
3gSin
L
7.3 Rijid cismin genel düzlemsel hareketinde kinetik enerji hesabı y A GAr /
dm
G Gr
Ar
S o x
dmVdT A2
2
1
AAA VVV
2
GAGA VVV /
122
)()( //2
GAGGAGA VVVVV
dmVVVVT GAGGA
S
G )2(2
1/
2/
2
Burada 0/ S
GAG dmVV
ve 22/
2/ GAGA rV olduğundan toplam kinetik enerji
S
GAG dmrmVT 2/
22
2
1
2
1
şeklinde yazılabilir. Burada G
S
GA Idmr 2/ cismin kütle merkezinden geçen
ve hareket düzlemine dik eksene göre atalet momentini gösterdiğinden genel
düzlemsel harekette kinetik enerji
22
2
1
2
1 GG ImVT
formülü ile hesaplanır.
Problem 7.3.1 R yarıçapılı ve m kütleli bir disk θ eğim açılı eğik düzlem üzerinde kaymadan yuvarlanma hareketi yapmaktadır. Disk eğik düzlem üzerinde ilk hızsız harekete bırakıldığında diskin n sayıda tam devir yaptığı andaki açısal hızı ne olur ? Çözüm: mg s R G mg h f N θ 1 2 2 1U U T T Kaymadan yuvarlanmada sürtünme kuvveti iş yapmaz . Çünkü kayma olayındaki gibi sürekli aynı bölgede temas yoktur. Normal kuvvet harakete dik olduğu için iş yapmaz.
123
1 2U U mgh , h s Sin , 2s n R , 2s n R 1 2 2U U mgn R Sin , 1 0T
2 22
1 1
2 2G GT mV I
Kaymadan yuvarlanma hareketinde GV R dır.
21
2GI mR
2 2 22
1 1 1( )
2 2 2T m R mR , 2 2
23
4T mR
2 232
4mgn R Sin mR
8
3
gnSin
R
7.4 Rijid cismin genel hareketinde kinetik enerji hesabı y A GAr /
dm
G Gr
Ar
S o x
dmVdT A2
2
1
AAA VVV
2
GAGA VVV /
)()( //2
GAGGAGA VVVVV
124
dmVVVVT GAGGA
S
G )2(2
1/
2/
2
Burada 0/ V
GAG dmVV
olduğundan toplam kinetik enerji
dmVmVTV
GAG 2/
2
2
1
2
1
GAGAGA VVV //2
/
GAGA rV //
Burada kji zyx
kzjyixr GA
/
şeklinde kartezyen koordinatlardaki bileşenleri ile yazılırsa diferansiyel kütlenin kütle merkezine göre hız vektörü aşağıdaki gibi hesaplanır.
zyx
kji
V zyxGA
/ kxyjzxiyz yxxzzy
)()()(
2222/ )()()( yxxzzyGA xyzxyzV
yxyxxxzzyzyGA xyxyzxzzxyzyzV 222 2222222222222/
zyzxyxzyxGA yzxzxyyxzxzyV 222)()()( 2222222222/
dmV
V
GA2
/
dmyzxzxyyxzxzy zyzxyxzyx
V
]222)()()[( 222222222
olur . Burada
Gx
V
Idmzy )( 22
Gy
V
Idmzx )( 22
Gz
V
Idmyx )( 22
integralleri kütle merkezinden geçen ve x , y, z eksenlerine paralel olan eksenlere göre atalet momentlerini
125
GG yxyx
V
Idmyx
GG zxzx
V
Idmzx
GG zyzy
V
Idmzy
integralleri ise kütle merkezinden geçen ve xy , xz, yz düzlemlerine paralel olan düzlemlere göre çarpım göre atalet momentlerini gösterdiğinden rijid cismin üç boyutlu hareketinde toplam kinetik enerjiyi veren formül
zyzyzxzxyxyxzzyyxxG GGGGGGGGGIIIIIImVT 2222
2
1
2
1
2
1
2
1
formunda çıkarılmış olur. Eğer kütle merkezinden geçen eksenler asal eksenler yani çarpım atalet momentlerinin sıfır olduğu eksenler ise kinetik enerji ifadesi
2222
2
1
2
1
2
1
2
1zzyyxxG GGG
IIImVT
şeklinde kısalır. Rijid cismin sabit bir nokta etrafında dönme hareketinde de benzer işlemler yapılırsa toplam kinetik enerji
zyzyzxzxyxyxzzyyxx IIIIIIT 222
2
1
2
1
2
1
ifadesi elde edilir aynı şekilde x , y , z eksenleri asal eksenler ise kinetik enerji
222
2
1
2
1
2
1zzyyxx IIIT
formülüne indirgenir.
126
BÖLÜM 8
İMPULS VE MOMENTUM İLKESİ 8.1 maddesel nokta için impuls ve momentum ilkesi Newton’un ikinci hareket yasası
)( Vmdt
dF
şeklinde yazılırsa buradaki Vm
vektörüne lineer momentum denir ve L
ile gösterilir. VmL
yukarıdaki denklem
)( VmddtF
şeklinde yazılıp 1t den 2t ye integre edilirse
127
12
2
1
VmVmdtFt
t
veya
21
2
1
VmdtFVmt
t
buradaki 2
1
t
t
dtF
integraline F
kuvvetinin 1t 2t zaman aralığındaki lineer
impulsu veya impulsu denir ve 1 2
Imp ile gösterilir ve kartezyen
koordinatlarda aşağıdaki gibi yazılabilir.
2 2 2 2
1 1 1 1
1 2 ( ) ( ) ( ) t t t t
x y z
t t t t
Imp Fdt F dt i F dt j F dt k
Böylece maddesel nokta için impuls ve momentum ilkesi
21 2
mV Imp mV
şeklinde elde edilir.
İmpuls ve momentum ilkesi kartezyen koordinatlarda bileşen formunda aşağıdaki gibi yazılabilir.
2
1
1 2( ) ( ) t
x x x
t
mV F dt mV
2
1
1 2( ) ( ) t
y y y
t
mV F dt mV
2
1
1 2( ) ( ) t
z z z
t
mV F dt mV
Eğer birden fazla sayıda maddesel nokta için bu ilke kullanılırsa denklem aşağıdaki toplam formunda yazılmalıdır.
1 1 2 21 1 1
n n n
i i i
mV Imp mV
Problem 8.1.1
8.2 Rijid cismin hareketinde impuls ve momentum ilkesi
128
y
Vdm
A /
A Gr dm
G
Gr
V x o z
Cismin toplam momentumu
A
V
L V dm
Kütle merkezinin formülü
V
V
OAdm
OGdm
şeklinde olduğundan bu denklemin her iki tarafının zamana göre türevi alınırsa
G A
V
mV V dm
elde edilir.
A
V
L V dm lineer momentum denkleminin sağ tarafındaki integral
yerine GmV yazılırsa rijid cismin hareketindeki
GL mV lineer momentum denklemi elde edilir.
Bir diferansiyel kütlenin AV dm lineer momentum vektörü sağdan Ar vektörü ile
vektörel olarak çarpılırsa aynı diferansiyel kütlenin açısal momentum vektörü elde edilir. Tüm kütlenin açısal momentumu diferansiyel kütlelerin açısal momentumlarının integrali ile elde edilir.
O A A
V
H r V dm
129
Burada /
A G A Gr r r
/ A G A GV V V
/ /( ) ( ) O G A G G A G
V
H r r V V dm
/ / / /[ ( )] [( ) ] [( ) ] O G G A G A G G A G A G
V V V
H r dm V V r dm V r dm V
/ / / /( ) ( ) [( ) ] ( ) O G G G A G A G G A G A G
V V V V
H r V dm r V dm r dm V r V dm
kütle merkezinin yer vektöründen dolayı / 0A G
V
r dm ve / 0A G
V
V dm dır.
Bu durumda açısal momentum / /( ) ( ) O G G A G A G
V V
H r V dm r V dm
denklemine indirgenir. Burada sağ taraftaki birinci integral aşağıdaki gibi ( )
G G G G
V
r V dm r mV
veya
G G G G G
G G Gx y Z
i j k
r mV x y z
mV mV mV
( ) ( ) ( )
G G G G G G G G G G G G G Gz y x z y xr mV m y V z V i m z V x V j m x V y V k
şeklinde yazılabilir. İkinci integral için hesaplanacak olan / /
A G A GV r
denkleminde diferansiyel kütlenin tüm cismin kütle merkezine göre yer vektörünü ve cismin açısal hız vektörünü kartezyen koordinatlarda yazarak aşağıdaki işlemler yapılabilir. /
A Gr xi yj zk
x y zi j k
/ /
A G A G x y z
i j k
V r
x y z
/ ( ) ( ) ( )
A G y z z x x yV z y i x z j y x k
130
/ /
A G A G
y z z x x y
i j k
r V x y z
z y x z y x
/ /
2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )
A G A G
x y z x y z x y z x y z
r V
y xy xz z i z yz xy x j x xz yz y k
2 2( ) x
V
I y z dm , 2 2( ) y
V
I x z dm , 2 2( ) z
V
I x y dm
eşitlikleri kütle merkezinden geçen x , y ve z eksenlerine paralel olan eksenlere göre atalet momentlerini
xy
V
I xydm , xz
V
I xzdm , yz
V
I yzdm
eşitlikleri ise çarpım atalet momentlerini gösterdiğine göre / /
A G A G
V
r V dm integrali
/ / ( ) ( ) ( )
A G A G x x xy y xz z y y xy x yz z z z xz x yz y
V
r V dm I I I i I I I j I I I k
formunda yazılır. Bu denklemle birlikte açısal momentum denklemi aşağıdaki formda yazılabilir.
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
z y x zO G G G G x x xy y xz z G G G G y y xy x yz zH m y V z V I I I i m z V x V I I I j
[ ( ) ( )]
y xG G G G z z xz x yz ym x V y V I I I k
Eğer kütle merkezinden geçen eksenler asal eksenler ise açısal momentum denklemi
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
z y x z y xO G G G G x x G G G G y y G G G G z zH m y V z V I i m z V x V I j m x V y V I k
şekline gelir. Sabit bir nokta etrafında dönme hareketinde de benzer işlemler yapılırsa bu sabit noktaya göre açısal momentum
( ) ( ) ( )
O x x xy y xz z y y xy x yz z z z xz x yz yH I I I i I I I j I I I k
denklemi elde edilir. Burada , , , , ,x y z xy xz yzI I I I I I sabit noktadan geçen eksen
takımına göre atalet momentleridir.Eğer eksenler asal eksenler ise açısal momentum denklemi
O x x y y z zH I i I j I k
denklemine indirgenir.
131
Genel düzlemsel harekette açısal momentum
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
y x y xO G G xz z G G yz z G G G G z zH m z V I i m z V I j m x V y V I k
şekline indirgenir. Genel düzlemsel harekette kütle merkezinden geçen eksenler asal eksenler ise açısal momentum denklemi
( ) ( ) [ ( ) ]
y x y xO G G G G G G G G z zH m z V i m z V j m x V y V I k
şeklinde yazılabilir. Sabit eksen etrafında dönme hareketinde bu sabit eksen Δ ise Δ eksenine göre açısal momentum denklemi H I skaler denklemine indirgenir. Burada I rijid cismin Δ eksenine göre atalet momentidir.
BÖLÜM 9
D’ALAMBERT İLKESİ
D’Alambert ilkesi : Bir maddesel sistemin hareketinden dolayı bir t anında meydana gelen atalet kuvvetleri aktif dış kuvvetlerle birlikte göz önüne alınırsa sistem bütün bu kuvvetlerin etkisi altında t anındaki konumunda dengede ( dinamik denge ) bulunur. Newton’ un ikinci hareket yasası
F ma denklemi D’Alambert ilkesinde
0
F ma şeklinde yazılır. D’alambert ilkesi ile Kinetik problemleri statik problemlerine dönüştürülmüş olur. Lagrange tarzında D’Alambert ilkesi : Bir maddesel sistemin herhangi bir virtüel yer değiştirmesinde sisteme etki eden aktif kuvvetlerin ve sistemin atalet kuvvetlerinin virtüel işlerinin toplamı sıfır veya sıfırdan küçüktür. (Bağlar çift taraflı ise sıfırdır.) y m1 m2
132
ia mi
iF
o x z
1
( ) 0
n
i i i ii
F m a r
Bağlar çift taraflı ise (Holonom sistemler):
1
( ) 0
n
i i i ii
F m a r
Problem 9.1 Şekildeki sistemde A cisminin ivmesini verilen konum için bulunuz. mCg αB αC RB δθB αD δθC aC ICαC IBαB B RD mCaC C RC δθD D f N IDαD mAg mAaA mEg mEaE δx δxE aE aA Bu sisteme bağlara uygun bir δx virtüel yerdeğiştirmesi verilirse A ve E cisminin ağırlığı ile atalet kuvvetleri iş yapar.
0A E E A A B B B C C C C C C D D D E E E=m g x m g x m a x I m a x I I m a x
133
BB
x
R
,
2C
xx
,
2CC
x
R
,
2DD
x
R
,
2E
xx
AB
B
a
R ,
2A
C
aa ,
2A
CC
a
R ,
2A
DD
a
R ,
2A
E
aa
21
2B B BI m R , 21
2C C CI m R , 21
2D D DI m R
2 2
2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
10
2 2 2 2 2
A A AA E A A B B C C C
B B C C
A AD D E
D D
a a ax x x x=m g x m g m a x m R m m R
R R R R
a ax xm R m
R R
1 1 1 1 1 10
2 2 4 8 8 4A E A A B A C A C A D A E Am g m g m a m a m a m a m a m a
1 3 1 1 1
2 8 8 4 2A A B C D E A Ea (m m m m m ) m g m g
1
21 3 1 1
2 8 8 4
A E
A
A B C D E
m g m ga
m m m m m
,
8 4
8 4 3 2A E
AA B C D E
m g m ga
m m m m m
