GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ BOYUT - vuralgokmen.com · GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural...
Transcript of GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ BOYUT - vuralgokmen.com · GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural...
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
1 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
MODÜL 1 : BOYUT – BİRİM 1.1. BOYUTLAR - BOYUT HOMOJENİTESİ - BİRİM SİSTEMLERİ
Primer boyutlar : uzunluk, zaman, kütle (mLT) : uzunluk, zaman, kütle, kuvvet (FLT) Sekonder boyutlar : alan, hız, yoğunluk, vb.
Tablo 1.1. Başlıca fiziksel ölçülerin primer boyutlar cinsinden karşılıkları
F L T sistemi m L T sistemi Notasyon
Uzunluk L L l, h, z, y
Kütle m m m
Zaman t t t
Sıcaklık T T T
Kuvvet F mL/t2 F
Basınç F/L2 m/Lt2 P
Alan L2 L2 A
Hacim L3 L3 V
İş FL mL2/t2 W
Güç FL/t mL2/t3 Pow
Enerji FL mL2/t2 E, H, U
Momentum Ft mL/t M
Yoğunluk m/L3 m/L3 ρ
Viskozite Ft/L2 m/Lt µ
Yüzey gerilimi F/L m/t2 σ
Hız L/t L/t u
İvme / yerçekimi L/t2 L/t2 a, g
Kayma gerilimi F/L2 M/Lt2 τ
### Altın kural : Her eşitlik, içerdiği terimlerin boyutları açısından homojen olmalıdır.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
2 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
1.2. BİRİM SİSTEMLERİ Tablo 1.2. Farklı birim sistemlerinde primer boyutlar İngiliz Birim Sistemi (EE) Geleneksel Metrik Sistem
(CGS)
Uluslararası Birim
Sistemi (SI)
Uzunluk, L Feet, ft Santimetre, cm Metre, m
Zaman, t Saat, h Saniye, s Saniye, s
Kütle, m Pound, lbm Gram, g Kilogram, kg
Kuvvet, F Pound force, lbf Dyne Newton, N
Enerji, H British thermal unit, Btu Kalori, Cal Joule, J (N.m)
Sıcaklık, T °F °C K
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
3 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Kuvvet - Kütle ilişkisi Kuvvet, kütle ve ivmenin çarpımıyla orantılıdır (Newton’un 2. kanunu) F ~ m.g gc : orantı katsayısı, F.gc = m.g Burada; F : Kuvvet m : Kütle g : Yerçekim ivmesi gc : Orantı katsayısı gc = m.g / F Temel boyutlar cinsinden gc = m. (L/t2) / F = m.L / t2.F Yer çekim ivmesi (Standard gravity), g F = m.g/gc g = 9.80665 m/s2 (L/t2) SI g = 9.80665 m/s2 . 100 cm/1 m = 980.665 cm/s2 CGS g = 9.80665 m/s2 . 1 ft/0.3048 m = 32.174 ft/s2 EE Kuvvet-kütle çevirme faktörü, gc gc = m.g/F gc = (1lbm)(32.174 ft/s2)/(1 lbf) = 32.174 lbm.ft/s2.lbf (m.L/t2.F)
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
4 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Tablo 1.3. Farklı Birim Sistemlerinde gc’nin değeri Birim
Sistemi
Kuvvet, F Kütle, m İvme, a gc
EE lbf lbm ft/s2 32.174 lbm.ft/s2.lbf
CGS dyne g cm/s2 1 g. cm/s2.dyne
SI N kg m/s2 1 kg.m/s2.N
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
5 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
1.3. BOYUT ANALİZİ Bazı mühendislik problemlerinin çözümü, birtakım boyutsuz sayılardan oluşan ampirik eşitliklerin kullanımına bağlıdır. Bu eşitliklerin türetilmesi, bazı değişkenler ve sabitlerin, eşitliğin sol ve sağ tarafındaki terimlerin aynı boyutlarda olmaları ilkesine dayalıdır. Örnek: Newton’un 1. kanunu F = m.g/gc F = (m)(L/t2) / (m.L/t2.F) = F Örnek: Boru boyunca basınç kaybının hesaplanması -dP = f {gc, D, v, ρ, µ, L} Burada; -dP : basınç kaybı, F/L2 gc : kuvvet-kütle çevirme faktörü, mL/t2F D : boru çapı, L V : çizgisel akış hızı, L/t ρ : yoğunluk, m/L3 µ : viskozite, m/Lt L : boru boyu, L Not: Boyut analizini basitleştirmek için gc terimi eşitliğin sol tarafına alınır ve böylece kuvvet (F) boyutu analiz dışında bırakılır. -dP gc = f {D, v, ρ, µ, L} -dP gc = k . Da . vb . ρc . µd . Le Burada k sabit bir sayı, a, b, c, d, e ise sabit üstel sayılardır.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
6 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
( ) ( )edc
3
ba
222 LLtm
Lm
tLLk
Ltm
FtmL
LF
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==
Eşitlik 3 primer boyut (m, L ve t) içermektedir. Eşitliğin her iki tarafının aynı birimde olması için, eşitliğin iki tarafındaki primer boyutların üstel toplamları da eşit olmalıdır. Kütle (m) için üstler toplamı; 1=c+d Uzunluk (L) için üstler toplamı; -1=a+b-3c-d+e Zaman (t) için üstler toplamı; -2=-b-d 5 bilinmeyen ve 3 eşitlik olduğuna göre 3 bilinmeyeni (a, b, c), diğer 2 bilinmeyen (d, e) cinsinden çözebiliriz. Bu durumda; c=1-d b=2-d a=-d-e -dP gc = k . D-d-e . v2-d . ρ1-d . µd . Le -dP gc = k . D-d . D-e . v2 . v-d . ρ1 . ρ-d . µd . Le Üstleri 1, d ve e olan terimler biraraya getirilirse; -dP gc = k . (v2ρ)1(m/Dvρ) d (L/ D)e Eşitliğin her iki tarafındaki terimleri boyutsuz hale getirilirse; -dP gc / v2ρ = k . (Dvρ/m) -d (L/ D)e Not: Eşitlikte yer alan k, d, e sabitleri deneysel olarak saptanır.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
7 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
MODÜL 2 : AKIŞKANLARIN ÖZELLİKLERİ < AKIŞKAN
Akışkan, kayma gerilimi etkisiyle (ne kadar küçük olursa olsun) sürekli olarak deforme olan maddelerdir. Akışkanlar akabilir ve içinde bulundukları kabın şeklini alırlar. Sıvılar ve gazlar Akışkanlar Mekaniği kapsamına girer. Katılar ile akışkanlar (sıvılar ve gazlar) arasındaki temel fark, üzerlerine uygulanan kuvvet etkisi ile sergiledikleri davranışların farklılığından kaynaklanmaktadır. Kuvvet, katının herhangi bir noktasından katıya uygulanabilir. Oysa akışkanlara kuvvet uygulayabilmek için, kuvvetin belli bir alan üzerinden (F/A) uygulanması gerekir. Not: Basınç birim alana uygulanan kuvvet ! (P=F/A) Katılar, üzerlerine etki eden kuvvetin kalkması ile eski haline dönerken, uygulanan kuvvetin etkisiyle deforme olmuş bir akışkan, kuvvet ortadan kalkınca eski halini almaz.
< KÜTLE
4 Yoğunluk (rho), ρ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡33 L
m mkg
Akışkanların kütlesini ifade eden tipik bir ölçüdür.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=ρ 3L
m Vm
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
8 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
4 Özgül Ağırlık (gamma), γ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡33 LF
mN
Yoğunluk gibi, akışkanın kütlesini ifade eden bir ölçüdür.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ=γ 322 L
F veya tL
m g
4 Relatif yoğunluk, SG
Akışkan yoğunluğunun, suyun yoğunluğuna oranıdır. Yoğunluk gibi, akışkan kütlesinin bağıl bir ölçüsüdür.
[ ] boyutsuz SGOH2
ρ
ρ=
Yoğunluk, özgül ağırlık ve relatif yoğunluk birbiri ile ilişkilidir ve herhangi birinin bilinmesi, diğerinin hesaplanmasına olanak verir. Ï Civanın 20°C’deki relatif yoğunluğu (SG) 13.6 olduğuna göre, yoğunluğunu
(ρ)ve özgül ağırlığını (γ) hesaplayınız. Ð ρ = (13.55)(1000 kg/m3) = 13.6 x 103 kg/m3 γ = (13.6 x 103)(9.8 m/s2) = 133.28 x 103 N/m3
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
9 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
< İDEAL GAZ KANUNU
2
1
2
1
2
2
1
1MM veya
MM
için gaz iki sabit, TP,MRT
PVm
VMm
RTP
Mmn
nRTPV
=ρ
ρρ=
ρ
=
ρ=
=ρ
=
=
=
R: Evrensel gaz sabiti, R=8314 J/kg mol . K (SI) Ro : Gaz sabiti, R=RoM P=ρRoT
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
10 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
< VİSKOZİTE, µ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 22 L
F.t s . PamN.s
Yoğunluk, özgül ağırlık ve relatif yoğunluk bir akışkanın "ağırlık" , viskozite ise "akışkanlık" ile ilgili özelliklerini belirtir.
Şekil 1.1. İki paralel plaka arasındaki materyalin, F kuvveti etkisiyle deformasyonu ve hız gradyanı oluşumu u=L/t ise L=u.t
Sabit plaka
Hareketli plaka
F
u
A
B B’
dL
h θ dt
y
x
τ A
viscosity of law sNewton' dydu
dydugerilmesi Kayma
dydu
dtdy/dudtlimoranı Kayma
dydudt
dydL
dydxtanKayma
0dt
µ=τ
∝τ=
==
==≈θ=
→
τ = Fstress/A veya Fstress = τ A (F’nin aksi yönünde)
(u+du)dt
(u)dt dy
Hız gradyanı y
u
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
11 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
µ (mu) mutlak viskozite, dinamik viskozite veya kısaca viskozite olarak adlandırılır. Sıcaklık ile değişir, basınç ile değişmez. Kayma kuvveti (τ), kayma oranı (du/dy) ile doğrusal olarak değişen akışkanlara Newtonsal akışkanlar, kayma kuvveti (τ), kayma oranı (du/dy) ile doğrusal olarak değişmeyen akışkanlara ise Newtonsal olmayan akışkanlar denir.
Şekil 1.2. Farklı akışkanlar için kayma kuvvetinin (τ) kayma oranı (du/dy) ile değişimi
Kayma gerilme oranı, du/dy
Kay
ma
kuvv
eti, τ
µapp
µ=µapp
1: Newtonsal2: Bingham plastik3: Pseudoplastik4: Dilatant
12 3
4
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
12 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Ï Aralarında 0.3 mm mesafe olan biri sabit diğeri hareketli iki sonsuz plaka
arasında, relatif yoğunluğu (SG) 0.88 ve viskozitesi (µ) 0.65 x 10-3 kg/m.s olan bir akışkan bulunmaktadır. (a) Akışkanın kinematik viskozitesini, (b) üstteki plaka 0.3 m/s hızla hareket ettirildiğinde alttaki plaka üzerinde yaratılan kayma kuvvetini hesaplayınız.
Ð SG=0.88, µ=0.65 x 10-3 kg/m.s
(a)
s/m1039.7m/kg)1000)(88.0(s.m/kg1065.0
.SG27
3
3
OH2
−−
×=×
=ρ
µ=
ρ
µ=υ
(b)
Pa 650.0
m 100.3s/m 3.0)s.m/kg 1065.0(
hu
dydu
3-3
alt =×
×=µ=τ
µ=τ
−
Alttaki plaka yönünde yükseklik (-) işaretli olduğundan, hesaplanan kayma kuvvetinin işareti de (-) olur. Bu, alt plaka üzerinde etki eden kayma kuvvetinin yönünün, akışkan hareket yönü ile zıt olduğunu gösterir.
u=0.3 m/s
h=0.3 mm
x
y
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
13 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Ï Paralel iki plaka arasında yer alan Newtonsal akışkanın hız dağılımı
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
2
hy1
2v3u
olarak (v: ortalama hız) verilmektedir. Akışkanın viskozitesi 0.04 lb.s/ft2’dir. v=2 ft/s ve h=0.2 in ise, (a) alt plaka, (b) plakalar arasındaki tam orta düzlemden üzerindeki kayma kuvvetini hesaplayınız.
Ð µ=0.04 lb.s/ft2 = (0.04 lb.s/ft2)(47.88 N.s/m2)/(1 lb.s/ft2) = 1.915 N.s/m2 v=2 ft/s = (2 ft/s)(0.3048 m/s)/(1 ft/s) = 0.6096 m/s h=0.2 in = (0.2 in)(0.0254 m)/(1 in) = 0.00508 m
0)(du/dy) 0,(y 0
)Pa(N/m 4.689m) 00508.0(
m/s) 6096.0)(3)(N.s/m 915.1(hv3
hv3
dydu
-h)(y hvy3
dydu
midmidmid
22
bottom
2
===τ
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛µ=τ
=
=−=
x
y
h
hy=0
y
u
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
14 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Kaymanın varolması için bunu gerçekleştirecek bir kayma kuvvetinin varolması gerekir. Tek yönlü akışta, akışa paralel olarak kayma kuvvetleri (Fs) vardır. Akışın mevcut durumunu muhafaza etmesi için, bu kuvvetlerin toplamı birbirine eşit olmalıdır.
-Fs
u
y
A düzlemi
Fs
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
15 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
< SIKIŞTIRILABİLİRLİK, Ev (bulk modulus) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡22 LF
mN
Belli bir kütleye sahip akışkanın, basınç değişimi ile hacminin değişmesidir. Sıkıştırılabilirlik "bulk modulus (Ev)" ile ters orantılıdır. Akışkanlarda basınç değişimi sonucu meydana gelen değişime elastisite denir. Doğada gerçek anlamda sıkıştırılamayan bir akışkan yoktur. Ancak sıvılar genellikle sıkıştırılamaz kabul edilebilir.
ρ
ρ=
=
=ρ+ρ=
ρ==ρ
<>
=
dVdV-
)yok! değeğişi kütle için (sistem 0dm 0VddVdm
Vm da ya Vm
0VdV ise 0P d
VV dE- P d v
SIVILAR : SIKIŞTIRILAMAZ (INCOMPRESSIBLE) ρ = sabit ≠ f {P} GAZLAR : SIKIŞTIRILABİLİR (COMPRESSIBLE) ρ = f {P}
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
16 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Eşitliğin Alternatif Formları
v
v
EP
vv
dvdPvE
Δ−≈
Δ
−=
Ev (çelik) : 26 x 106 psi Ev (su) : 0.32 x 106 psi (2.05 x 109 N/m2) Ev (hava) : 15 psi
Ï Eğer su 1000 psi’lik bir basınç ile sıkıştırılırsa, suyun hacminde meydana gelen
değişmeyi hesaplayınız. Ð
%3.0
3201
1032.01000
EPP
vvvEP
vv
6v
12
1
12
v
−=−=×
−=−
−=−
Δ−≈
Δ
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
17 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
< YÜZEY GERİLİMİ, σ (sigma) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡LF
mN
Sıvı içerisindeki herhangi bir I molekülü, her yönden çekici kuvvetlerin etkisi altındadır. Bu kuvvetlerin vektörel toplamları sıfırdır. Ancak sıvı yüzeyindeki bir S molekülü, yüzeye dik bir şekilde net dahili yapıştırıcı kuvvet etkisi altındadır. Yüzeydeki moleküller, sıvı içindeki moleküllerden daha yüksek enerjiye sahiptir.
Bir sıvının yüzey gerilimi (σ), yeterli sayıda molekülü yüzeye taşıyarak yeni bir birim alan oluşturmak için yapılması gereken iş olarak tanımlanabilir.
mN
mNm
mJ
AW
22 ====σ
Yüzey gerilimi bir sıvının yüzeyinin, gerilmiş elastik bir membran gibi davranma eğilimidir. Sıvılar doğal olarak yüzey alanlarını minimize etme eğilimindedir. Bu nedenle sıvı damlaları yüzey alanlarını küçültmek için küresel bir şekil alırlar. Küçük bir damlacık için yüzey gerilimi, yüzeyde etkili kuvveti dengelemek üzere damlacık içerisindeki iç basıncın artmasına neden olur.
Damlacığın içi ile dışı arasındaki basınç farkı, ΔP ΔP=(Piç-Pdış), Yarımküre şeklindeki damlacığa etkiyen yüzey gerilimi, s Basınç kuvveti sıvı molekülleri dışa doğru hareket ettirmeye çalışırken, yüzey gerilim kuvveti molekülleri birarada tutmaya çalışır. Net kuvvet sıfırdır.
Sıvı
Serbest yüzey
I
S
σ
Piç
Pdış
R
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
18 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Basınç kuvveti = ΔP.A = ΔP.p R2 (N/m2 . m2 = N) Yüzey gerilim kuvveti = n.s = 2pR.s (m . N/m = N)
2pRs = (Piç – Pdış) p R2 = (DP) p R2
< KAPİLER ETKİ Akışkanın molekülleri arasındaki çekim iki şekilde gerçekleşir: 1. Adhesion : başka bir kitleye tutunmak için 2. Cohesion : akışkanın molekülleri arasında Bir sıvının kapiler bir tüp içinde yükselmesi veya alçalması yüzey gerilimi tarafından kontrol edilir ve adhezyon ve kohezyonun büyüklüklerine bağlıdır. Eğer adhezyon > kohezyon ise sıvı tüp içinde yükselir, kohezyon > adhezyon ise sıvı tüp içinde alçalır. Islatma ve Temas Açısı Adhezyon > Kohezyon Islatan sıvı Kohezyon > Adhezyon Islatmayan sıvı
Şekil (a) da katı bir yüzeyi ıslatan, (c) de ise ıslatmayan sıvı örnekleri gösterilmektedir. Buradaki θ açısı temas açısı olarak adlandırılır ve sıvının ıslatma özelliğinin bir ölçüsüdür. Mükemmel bir ıslatma için temas açısının θ=0° olması gerekir. Bu durumda sıvı katı yüzey üzerine ince bir film halinde yayılır. θ=180° durumu pratikte gözlenmez. Damla üzerine etki eden yerçekim kuvveti damlayı katı yüzeyine çeker. Teflon üzerinde su, cam üzerinde civa bu duruma örnektir. Eğer θ<90° ise sıvının katı yüzeyi ıslattığı, θ>90° ise ıslatmadığı söylenebilir. θ<20° güçlü bir ıslatma, θ>140° ise güçlü bir ıslatmama özelliğini gösterir.
θ θ θ
(a) (b) (c)
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
19 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Kontak açısı (θ) sıvı ve katı yüzeyin bir fonksiyonudur. Su için temiz bir cam yüzeyde θ ≈ 0°’dir. Kapiler tüp içindeki yükselme veya alçalma kuvvet denkliği ile hesaplanabilir.
Şekil. Kapiler cam tüplerde kapiler aksiyonu. (1) ıslatan sıvı (su), (2) ıslatmayan sıvı (civa)
Yüzey gerilim kuvveti, Fσ Fσ=2πR σ cosθ Sıvının ağırlığı, W W=m g m=ρ V V=p R2h W=ρ p R2h g ΣFnet=(2πRσ cosθ) - (ρ g p R2 h)=0 2πRσ cosθ = ρ g p R2 h 2 σ cosθ = ρ g R h h = 2 σ cosθ / ρ g R
θ
hh
θ
σ
W
h
R
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
20 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Ï 20°C’deki suyun kapiler aksiyon sonucu 1 mm yükselmesi için hangi çapta bir cam tüp kullanılmalıdır?
20°C’de su için; σ=0.0728 N/m, γ=9.789 kN/m3 Ð θ ≈ 0° olduğundan, h=1 mm =0.001 m
h = 2 σ cosθ / ρ g R
R = 2 σ cosθ / γ h R = (2)(0.0728 n/m)(1)/(9.789 x 103 N/m3)(0.001 m) R = 0.0149 m D = 2R = 0.0298 m = 29.8 mm
Tablo 1.4. Akışkanların bazı özellikleri ve birimleri Sembol Birim (SI)
Yoğunluk ρ kg/m3 m/L3
Özgül ağırlık γ N/m3 m/t2L2 or N/m3
Özgül gravite SG # boyutsuz #
Özgül hacim ν m3/kg L3/m
Viskozite µ N.s/m2 Ft/L2
Yüzey gerilimi σ N/m F/L
Sıkıştırılabilirlik Eν N/m2 F/L2
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
21 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
MODÜL 3 : AKIŞKAN STATİĞİ
Statik Akışkanlarda Basınç-Yön İlişkisi Statik bir akışkan içerisinde, üçgen kesit yüzeyine sahip sonsuz küçük bir akışkan elemanı ele alalım. Bu akışkan elemanı yüzeyine dik olarak P büyüklüğünde bir basınç varsayalım.
x
y
z
dz
dy
dx θ
P
P.cosθ
dl
mg Pz
θ
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
22 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Akışkan elemanı üzerine etki eden kuvvetler
0F =Σ (statik akışkan)
Akışkan elemanının kütlesi
dxdydz21dm
2dxdydzdV
dVdm
ρ=
=
ρ=
Sisteme z yönünde etkiyen kuvvetler;
0g . dxdydz . ρ21-cosθ . dxdl . Pdxdy . PΣF zz =−=
dldycosθ =
0g . dxdydz . ρ21-
dldy . dxdl . Pdxdy . PΣF zz =−=
0ρgdz21-PPz =−
Bu eşitliğin dz→0 iken limiti alınırsa;
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
23 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
PP
0PP
0ρgdz)21-P(P lim
z
z
z0dz
=
=−
=−→
Benzer şekilde x ve y yönlerindeki kuvvetler için çözümlendiğinde
Py=P ve Px=P elde edilir.
Sonuç: Basıncın yönü yoktur.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
25 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Varsayımlar:
1. 0F =Σ (Akışkan statik)
2. sabit=ρ (Akışkan sıkıştırılamaz)
Manometre denkliği :
γdzdP
ρgdzdP
ρghPP
0)z(z ρg)P(P
0dzρgdP
0ρgdzdP
0g . dxdydz . ρdxdy . dP-
0g . dxdydz . ρdxdy . dP)(P-dxdy . PΣF
12
1212
2
1
2
1
=
=
=−
=−+−
=+
=−−
=−
=−+=
∫∫
Manometre eşitliği sıkıştırılamaz akışkanlarda basınç ölçümünde kullanılır.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
26 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Varsayımlar:
1. 0F =Σ (Akışkan statik)
2. sabit≠ρ (Akışkan sıkıştırılabilir)
Barometre denkliği :
)zz(RTgM
1
2
121
2
2
1
2
1
12ePP
)zz(RTgM
PPln
dzRTgM
PdP
gdzRTPMdP
RTPM
RTPMVmMmn
nRTPV
dz ρgPd
−=
−=
=
=
=ρ
ρ=
=ρ
=
=
=
∫∫
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
27 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Barometre eşitliği sıkıştırılabilir akışkanlarda basınç ölçümünde kullanılır.
Basınç Ölçümü
Piezometre
geçerli durumunda PP
hP
ise 0PP
hPP
ghPP
gdhdP
o
atmo
o
o
>
γ=
==
γ=−
ρ=−
ρ=
h
P
P0
Boru veya kap
Piezometrik tüp
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
28 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Basit U tüpü manometre
Manometre sol kolu için:
Px = P1 + ρg(h+a)
Manometre sağ kolu için:
Px' = P2 + ρga + ρmgh
Px = Px' olduğundan,
P1 + ρg(a+h) = P2 + ρga + ρmgh
P1 - P2 = ρmgh - ρgh
P1 - P2 = (ρm - ρ)gh
Ölçülebilen maksimum basınç farkının (P1P2)
büyüklüğü manometre kollarının uzunluğu ile
sınırlıdır. Büyük basınç farklarını ölçmek için
yüksek yoğunluklu manometre kullanılır.
Küçük basınç farklarının duyarlı bir şekilde
ölçülebilmesi için manometre sıvısının
yoğunluğu, ölçülen sıvı yoğunluğuna yakın
olmalıdır.
ρm
ρ
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
29 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Ters çevrilmiş U tüpü manometre
Ters çevrilmiş U tüpü manometreler sıvılarda basınç
farkını ölçmek için kullanılır. Sıvı üzerinde kalan
boşluk hava ile doldurulur. Manometrede sıvı
seviyesi epedeki musluk ile ayarlanır.
Manometre sol kolu için:
Px = P1 - ρg(a+h)
Manometre sağ kolu için:
Px' = P2 - (ρga + ρmgh)
Px = Px' olduğundan,
P1 - ρg(h+a) = P2 - (ρga + ρmgh)
P1 - P2 = (r - rm)gh
Eğer manometre sıvısı rm << r olacak şekilde
seçilmişse,
P1 - P2 = ρgh.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
30 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
İki sıvılı U tüpü manometre
İki sıvılı U tüpü manometre gazlarda
küçük basınç farklarını ölçmek için
kullanılır.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
31 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Bir kolu genişletilmiş manometre
Endüstriyel uygulamalarda U tüpü manometrenin her iki kolundaki sıvı hareketinin ölçülmesi zorunludur. Ancak manometre kollarından birinin diğerine göre genişletilmesi ile bu zorunluluk ortadan kaldırılabilir. Böylelikle sadece tek bir koldaki sıvı hareketi ölçülerek basınç farkıl belirlenir. Yandaki şekilde O-O’ basınç farkının “0” olduğu durumu simgelemektedir. Basınç farkı (P1-P2) sonucu sol koldan sağ kola transfer olan sıvının hacmi, V= h(pd2/4)
Burada d manometrenin ince kolunun çapıdır. Eğer D manometrenin geniş kolunun çapı ise, sol koldaki sıvının seviyesindeki azalma
L= Transfer olan sıvı hacmi / Sol kolun kesit alanı
L= (h(pd2/4) / (pD2/4)
L= h(d/D)2
Sol kol için, Px = P1 + ρg(h+a) + ρgh(d/D)2
Sağ kol için, Px' = P2 + ρga + ρmg(h+h(d/D)2)
P1 + ρg(h+a) + ρg h(d/D)2 = P2 + ρga + ρmg(h+h(d/D)2)
P1 - P2 = ρmg(h + h(d/D)2) - ρgh - ρgh(d/D)2
Eğer D>>d ise, h(d/D)2 terimi ihmal edilebilir (yaklaşık “0”).
P1 - P2 = (ρm - ρ)gh
Eğer sıvı yoğunluğu manometre sıvısı yoğunluğuna göre ihmal edilebilir ise,
P1 - P2 = ρmgh
D
d a
L
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
32 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Eğik manometre
θγ
−=
θγ=−
θρ=−
ρ>>ρρ>>ρ
ρ−ρ+θρ=−
=ρ−θρ−ρ+
sinPPl
sinlPP
singlPP
ve ise, gaz 2 ve 1
ghghsinglPP
PghsinglghP
2
21
221
221
3212
1133221
2332111
P1
ρ1
P2
ρ3
θ
h2 h1 ρ2 l
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
33 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Daldırılmış Cisimler Üzerine Etki Eden Kuvvetler
Patm
h
ρ
FR
P
Tank alt duvarına etki eden bileşke kuvvet;
FR = P.A
P = rgh
FR = rgh.A
h.A = Vtank
FR = rg .Vtank
FR =γ Vtank
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
34 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
h
φ=D
ρ
FR
Vana kesit merkezinde basınç, P
)2Dh(gP +ρ=
Vana kesit alanı, A
4DA2π
=
Vana kesit merkezine etki eden kuvvet; FR
4D)
2Dh(gFR
2π+ρ=
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
35 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
y
x
z h
ρ Füst
Fyan
Pgauge=0
dz dx
dy
Akışkan içindeki cismin üst yüzeyinde hidrostatik basınç; Püst
Püst = ρgh
Cisim üst yüzeyine etki eden kuvvet; Füst
Füst = ρgh Aüst
Füst = ρgh (xz)
Cisim yan yüzeyine etki eden kuvvet; Fyan
Fyan = ρg(h+0.5y) (yz)
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
36 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
y
x
z h
ρ Füst
Fyan
Pex
dz dx
dy
Akışkan yüzeyinden bir piston ile Pex büyüklüğünde bir basınç uygulandığında;
Püst = Pex + ρgh
Füst = (Pex + ρgh)(xz)
Fyan = (Pex + ρgh) (yz)
Not: Akışkana uygulanan Pex, cisim üzerine gecikmesiz olarak ve aynı büyüklükte etki eder. Bu durum yüksek hidrostatik basınç ile gıda muhafazasının temelini oluşturmaktadır.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
37 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
MODÜL 4 : AKIŞKANLAR DİNAMİĞİ
Boru
İdeal akış Gerçek akış
u=umax u=0
u=umax
u=umax u=0
Basit sınıflandırma § Ideal (inviscid, potential) / Real (viscous) § Laminar / Turbulent § Compressible / Incompressible § Steady / Unsteady § Uniform / Nonuniform
laminar türbülant
AKIŞ TİPİ
ideal gerçek
AKIŞKAN TİPİ
(µ=0) (µ>0) (NRe<2100) (NRe>4000)
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
38 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Steady Flow (Yatışkın Akış)
Akım içindeki herhangi bir noktada tüm koşullar zamanla sabittir. Koşullar başka noktalarda farklı olabilir. Uniform flow (Tekdüze akış) Hız büyüklük ve yün olarak akışkanın her noktasında aynıdır (Sadece laminar akış için doğrudur!). Pathline (Yol çizgisi) Akışkan içerisinde tek bir partikülün belli bir zaman boyunca izlediği yol.
Akış Hız
Yol
Streamline (Akış çizgisi) Aynı noktadaki partiküllerin herhangi bir andaki ortalama yönünü gösterir.
V
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
39 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Osborne Reynold Deneyi
1880s by Osborne Reynolds
Valf
Jet
Cam tüp
Boya
LAMİNAR
TÜRBÜLANT
Boya Akış
Boya Akış
Boya
µDuρNRe =
Reynolds Sayısı, NRe
NRe < 2100
NRe > 4000
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
40 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Akış hızı
Birim zamanda akan akışkan miktarı.
Hacimsel (Q): Q ft s cfs⇒ 3 / ( ) (L3/t)
Kütlesel (.m): Q ft s cfs⇒ 3 / ( ) (m/t)
Ağırlık (G): Q ft s cfs⇒ 3 / ( ) (F/t) veya (mL/t2)
Akış çizgisi
Alan, dA
θ X
Z
Y
u
u.cosθ
Partiküle ait çizgisel hız, u dQ U dA= ⋅! !
Partiküle ait hacimsel akış hızı, u dQ U dA= ⋅! !
Partiküle ait kütlesel akış hızı, u dQ U dA= ⋅! !
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
41 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Ortalama hız (Türbülans durumunda)
Not: Gerçek akışkanlarda akışkanın her noktasında çizgisel hız (u) farklıdır.
Bu durumda ortalama hacimsel akış hızı;
Q udA A VA
= =∫
U kesit boyunca ortalama çizgisel hız.
t
u’ (+)
u’ (-)
u
u
u u’
Kesit alan, A
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
42 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Eğer u A’nın bilinen bir fonksiyonu ise, u dAA∫ hesaplanabilir.
Hacimsel akış hızı, Q
Q A V A V A VAVa a b b n n= + +
=
.....
Kütlesel akış hızı, .m
m udA AV QA
⋅ = = =∫ρ ρ ρ
Ağırlıksal akış hızı, G
m udA AV QA
⋅ = = =∫ρ ρ ρ
Kesit alan
UB
UA AA
AB
Partikül A
Partikül B
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
43 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
MODÜL 5 : SINIR KATMANLARI Sınır Katmanı
Bir akışkan sabit bir yüzey üzerinden akarken (nehir yatağı, boru duvarı vb.), yüzey
ile temas eden akışkan duvardaki kayma kuvveti (τo) etkisiyle sabit kalır. Akışkan
hızı duvardan uzaklaştıkça dereceli olarak artar ve ana akım içerisinde maksimum
değere ulaşır. Bu hız profili akışın başladığı noktada oluşur ve duvar boyunca belli
bir noktaya kadar gelişir. Bu süreç “tam gelişmiş akış” (fully developed flow) olarak
adlandırılır.
Sınır katmanı, akışkanın bir katı sınır varlığı nedeniyle hareketinin etkilendiği kısmı olarak
tanımlanır.
u0
umax
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
44 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Prandtl sınır katmanı teorisi (1904)
u: bulk (yığın) akış hızı Sınır katmanı kalınlığı, duvar ile akışın 0.99u hızına eriştiği nokta arasındaki mesafedir.
a a’ a’’
u∞ u∞ u∞
b
b’
b’’
c c’ c’’
plaka
u’
u’’
u
X
u
Zx Z’x
Z’’x
Sınır katmanı sınırı
Zx
X
Sınır katmanında türbülant akış Sınır katmanında
laminar akış
Tampon tabaka
Viskoz tabaka
Geçis bölgesi
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
45 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Düz Boruda Sınır Katmanı
Geçiş bölgesi mesafesi; Xt
Laminar akış
Ret N.DX
050=
Türbülant akış
{ }Ret NfX ≠
Laminar ve Türbülant Akış Rejimlerinde Sınır Katmanı
u u u
u u u
Laminar sınır katmanı Türbülant sınır katmanı
Tam gelişmiş türbülant hız profili
Tam gelişmiş laminar hız profili
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
46 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Sınır Katmanı Seperasyonu I. Daralan akış (convergent flow): Negatif basınç farkı Eğer akış yönünde bir basınç düşmesi varsa, sınır katmanı incelir. Akışkan hızı daralan bölgede artar. Akış stabil kalır, türbülans azalır. Sınır katmanı seperasyonu gerçekleşmez. II. Genişleyen akış (Divergent flow): Pozitif basınç farkı Sınır katmanı dışında kalan akışkan pozitif basınç farkını artışını aşacak momentuma sahiptir, ancak sınır katmanı içerisindeki momentum daha düşük olduğundan, akışkan ya hareket yeteneği kaybeder ya da yön değiştirir. Bu fenomen sınır katmanı seperasyonu olarak adlandırılır.
U1 U2
P1 P2
P1>P2 U1<U2
u1
Sınır katmanı sınırı
u2
P1 P2
Genişleme noktası
Seperasyon zonu
P1<P2 u1>u2
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
47 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Vorteks (Girdap) oluşumu
Sınır katmanı seperasyonunun gerçekleştiği yerde vorteks (girdap) oluşur ve sistemde büyük enerji kaybına neden olur. Bu nedenle akış sistemlerinde sınır katmanı seperasyonuna minimize edilmeye çalışılır. Bu amaçla çoğunlukla sistem üzerinde ani kesit alanı değişimlerinden kaçınılır.
Bazı temel işlemlerde (ısı aktarımı, karıştırma gibi) ise sınır katmanı seperasyonu istenebilir.
III. Silindir üzerinden akış
Vorteks
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
48 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
MODÜL 6 : TEMEL EŞİTLİKLER
Reynolds Transport Teorisi
Sistem (CS) Sistem (S), kapalı bir yüzey ile tanımlanan sınırlar içerisinde yer alan akışkandır. Sistemin şekli zamanla değişebilir. Kontrol Hacmi (CV) Kontrol hacmi (CV), uzayda tanımlı sabit bir bölgedir, hareket etmez ve şekil değiştirmez.
“X” akışkanın herhangi bir özelliğinin sistem (S) içerisindeki toplam miktarını
simgelesin (kütle, enerji, momentum).
CV içinde S
t anında akışkan sistemi
T+Δt anında akışkan sistemi
Δ∇inCV
Δ∇outCV
CV
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
49 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Herhangi bir t anında anında, sistem (S) ve kontrol hacmi (CV) sınırları tamamen aynıdır.
( ) ( )∴ =X Xs t cv t (1)
t+Dt anında S, CV boyunca yer değiştirir, ve bu sırada şekil de değiştirebilir. Küçük
bir miktar yeni akışkan inCVΔ∇ CV’ye girerken, küçük bir miktar da out
CVΔ∇ CV’yi
terk eder. CV’ye giren ve çıkan bu akışkan içerisinde, belli miktarda X
( )Δ ΔX and Xcvin
cvout taşınmaktadır.
( ) ( )( ) ( )X X X X
X Xs t t cv t t cv
outcvin
s t cv t
+ += + −
=
Δ ΔΔ Δ
(2)
(2)’den (1) çıkarılıp;
( ) ( ) ( ) ( )∴ − = − + −
= + −
+ +X X X X X X
X X X X
s t t s t cv t t cv t cvout
cvin
s cv cvout
cvin
Δ ΔΔ Δ
Δ Δ Δ Δ
Δt’ye bölünür ve limit alınırsa (Δt→ 0),
dXdt
dXdt
dXdt
dXdt
s cv cvout
cvin
= + − (3)
elde edilir.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
50 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Süreklilik Denkliği (Kütlenin Korunumu) (.m=ρ1u1A1=ρ2u2A2)
U1 Streamtube Hacim=∇
U2
A1
A2
Akım çizgilerinden (streamlines) oluşan bir akım tüpü ele alalım. Akışkan streamtube içerisine u1 hızında ve A1 kesit alanından girip, u2 hızında A2 kesit alalnından çıksın. Reynolds Transport Teorisi’ne göre;
dXdt
dXdt
dXdt
dXdt
s cv cvout
cvin
= + −
X=kütle, m için eşitlik
dmdt
dmdt
dmdt
dmdt
s cv cvout
cvin
= + −
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
51 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
dmdt
s = 0 (Kütlenin korunumu) (a)
mcv cv= ∀ρ ( ) (b)
ρ cv : CV içinde ortalama yoğunluk
∴ = ∀dmdt
ddt
cv cvρ
0dtd
=∀
∴ = ∀dmdt
ddt
cv cvρ
Δ Δ∀ Δm A V tcvout = =ρ ρ2 2 2 2 2 (c)
∴ =dmdt
A Vcvout
ρ 2 2 2
dmdt
AVcvin
= ρ1 1 1 (d)
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
52 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
∴ − = ∀ρ ρ∂ρ
1 1 1 2 2 2V A V Adtcv
Yatışkın akış için;
∂ρ
ρ ρcv
dtAV A V m= ∴ = =0 1 1 1 2 2 2,
.
222111 muAuA =ρ=ρ
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
53 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Özet (Transport Teorisi):
∫∫∫ ρ+∇ρ=∇ρcscvs
dA.uddtdd
dtd
0ddtd
s=∇ρ∫ ( 0
dtdmsys = , kütlenin korunumu)
0ddtd
cv=∇ρ∫ (ρ=0, yatışkın akış)
in.
out.
csmmdA.u Σ−Σ=ρ∫
t-dt t t+dt
Sistem Kontrol Hacmi
∫ ∇ρ=s
dm
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
54 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Süreklilik Denkliği Uygulamaları
Vm ρ=in.
m out.
m
acc.
gen.
out.
in.
mmmm =+−
outoutout.
)Q.()A.u.(m ρ=ρ=
ininin.
)Q.()A.u.(m ρ=ρ=
reaction) (no 0mgen.
=
state) (steady 0dtdV
dtdV
dt)V(d
dtdmmacc
.=ρ+
ρ=
ρ==
outin mmdtdm
−=
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
55 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Boş bir tankın dolması/boşalması için geçen süre;
Vtank
Qin
in
ktan
in
in
in
outin
QVt
QdtdV
QdtdV
dtdV
mdt)V(d
mmdtdm
=
=
ρ=ρ+ρ
=ρ
−=
Qout
Vtank
out
ktan
out
out
out
outin
QVt
QdtdV
QdtdV
dtdV
mdt)V(d
mmdtdm
=
−=
ρ−=ρ+ρ
−=ρ
−=
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
56 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Lineer Momentum Eşitliği (Momentumun Korunumu)
(S: sistem, CV: kontrol hacmi, CS: kontrol yüzeyi)
Newton 2nd Kanunu : )um(dtdF
.=Σ : Akışkana etkiyen net kuvvet lineer momentumun
değişmesine neden olur.
)um(dtdd.u
dtdM
dtdF
.
sss =∇ρ===Σ ∫∫
∫∫∫ ρ+∇ρ=∇ρcscvs
dA.u.ud.udtdd.u
dtd
0d.udtd
cv=∇ρ∫ (Yatışkın akış)
inoutcs
MMdA.u.u Σ−Σ=ρ∫
t-dt t t+dt
Sistem Kontrol Hacmi
∫ ∇ρ== d.uu.mM
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
57 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Euler Eşitliği
P W
P+ΔP
dL
dx
dz θ
A
(+)
Varsayım : potansiyel akış (µ=0)
θ−+−= sinWA).dPP(A.P)mu(dtd
dLdzmgdP.A
dtdmu
dtdum −−=+ 0
dtdm
=
dLdzVgdP.A
dtduV ρ−−=ρ
dLdzAdLgdP.A
dtdL
dLduAdL ρ−−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ρ
( ) gdzdPudu ρ−−=ρ ( ) 0udugdzdP =ρ+ρ+
0udugdzdP=++
ρ Euler eşitliği
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
58 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Bernoulli Eşitliği (Mekanik Enerji Eşitliği) Euler eşitliğinin integrali:
0udugdzdP 2
1
2
1
2
1
u
u
z
z
P
P=++
ρ ∫∫∫
02)uu()zz(g)PP( 21
22
1212 =
−+−+
ρ
−
2ugzP
2ugzP 2
22
221
11 ++
ρ=++
ρ
2ugzP
2ugzP 2
22
221
11 ++
ρ=++
ρ Bernoulli eşitliği
Basınç (akış) terimi ρ
P
Potansiyel enerji terimi gz
Kinetik enerji terimi 2u2
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
59 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Bernoulli Eşitliğinde Düzeltmeler I. Kinetik Enerji Düzeltme Faktörü, α Bernoulli eşitliği hız gradyanının olmadığı ideal akış durumu için türetilmiştir. Ancak gerçek akış problemlerinde, akışkan viskozitesinden dolayı sınır katmanları oluşumu ve dolayısı ile hız gradyanı oluşumu söz konusudur. Bu durumda, akışkana ait
kinetik enerji teriminde (2u2 ) çizgisel hızı (u), ortalama çizgisel hız (u) ile
değiştirmek ve kinetik enerji terimini (2u2
)düzeltme faktörü (α) ile çarpmak gerekir.
Bu durumda Bernoulli eşitliği aşağıdaki hali alır.
2ugzP
2ugzP 2
222
2211
11 α
++ρ
=α
++ρ
Kinetik enerji düzeltme faktörü;
Au
dAu
3s
3∫=α
Laminar akış için; α=2.0 Türbülant akış için; α=1.05
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
60 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
II. Bernoulli Eşitliğinde Sürtünme Kaybı (hf)
gz2uPhead Total
2++
ρ=
Bir akım çizgisi boyunca toplam mekanik enerji (total head) sabit değildir. Mekanik enerji akış yönünde sürekli azalır. Enerjinin korunumuna göre, kaybolan mekanik enerjiye eşdeğer büyüklükte ısı enerjisi açığa çıkar. Sürtünme kaybını göz önüne aldığımızda, Bernoulli eşitliğinin sağ tarafına sürtünme terimi (hf) ilave edilir. Bu durumda eşitlik aşağıdaki hali alır.
f
222
22
211
11 h
2ugzP
2ugzP
+α
++ρ
=α
++ρ
Skin friction (üniversal kayıplar): Sürtünme, sınır katmanları içerisinde kayma kuvvetlerinin işe dönüşmesi sonucu hem laminar, hem de türbülant akış rejiminde ortaya çıkar. Sınır katmanı seperasyonunun olmadığı bu tür sürtünmeye "skin friction" denir. Form friction (minor kayıplar: Eğer sınır katmanı seperasyonu varsa, bu durumda oluşacak vorteksler nedeniyle ilave enerji kayıpları söz konusudur. Bu sürtünmeye ise "form friction" denir. Form friction sınır katmanı seperasyonuna neden olan objenin şekil ve pozisyonuna bağlıdır.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
61 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
III. Bernoulli Eşitliğinde Pompa İşi (Ws) Pompa akış halindeki bir akışkanın mekanik enerjisini artımak için kullanılır. Pompa akışkanın kinetik enerjisini artırır ve sürtünme kayıplarını kompanse eder, ve bazen potansiyel enerjiyi de artırır. Wp : Pompa tarafından yapılan iş η : Pompa verimi hfp : Pompa içinde sürtünme kaybı
1
WhW
WhW
p
fpp
pfpp
<η
−=η
η≡−
Pompa işi ve verimi dikkate alındığında Bernoulli eşitliği aşağıdaki hali alır:
f
222
22
p
211
11 h
2ugzPW
2ugzP
+α
++ρ
=η+α
++ρ
Not: Bu eşitlik sıkıştırılamaz akışkanların akışında kullanılır.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
62 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
MODÜL 7 : SÜRTÜNME KAYIPLARI (SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ) Viskoz bir akışkanın yatay bir boru içerisinden yatışkın akışını (dρ=0) ele alalım.
P P+dP
τ
τ
r rw
dL Disk element etrafında yatay kuvvetler: A.PA).dPP(A. =++τ
0A.dPA. =+τ
0)r(dP)rdL2( 2 =π+τπ
0dLdP
r2
=+τ
L2r.P
Δ
Δ=τ (shear force distribution)
τ=0 r=0 τ=τmax=τw r=rw
rw
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
63 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
I. Üniversal Kayıplar: Skin Friction (hfs)-Shear (τ) İlişkisi
P P-ΔP
ΔL
D
Bernoulli denklemi:
f
222
22
211
11 h
2ugzP
2ugzP
+α
++ρ
=α
++ρ
1. z1=z2 2. u1≅u2 3. hf=hfs
fshPPP+
ρΔ−
=ρ
fshP=
ρΔ
D
L4r
L2P veya 0dLdP
r2 w
w
w Δτ=
Δτ=Δ=+
τ
DL4h w
fs ρ
Δτ=
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
64 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
2w
2w
u
2
2uf
ρ
τ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ρ
τ= f: fanning friction factor
2u
DLf4h2
fsΔ
=
Fanning friction factor, f § Laminar akış (Newtonian akışkan):
ReN16f =
§ Türbülant flow (Newtonian akışkan): Moody Chart (p. 99, Figure 5.9 in McCabe, Smith and Harriot)
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
65 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
I. Minor Kayıplar: a. Ani Genişleme
Süreklilik denkliği
A.u.mmm.
2.
1.
ρ=== 2211 A.u.A.u. ρ=ρ
2
112 AAuu =
Bernoulli denkliği
f
222
22
211
11 h
2ugzP
2ugzP
+α
++ρ
=α
++ρ
α1=α2=1.0, z1=z2, hf=hfe,
fe
21
2221 h2uuPP
+−
=ρ− (P1≅P2)
2
2
122
122
fe AA1
2u
2uuh ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−=
2
2
1e A
A1K ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2uKh21
efe =
U1 U1D1D2
P1
P1
Akım çizgileri
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
66 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
b. Ani Daralma
2uKh22
cfc =
c. Fitting ve Valf Etkileri
2uKh21
fff =
Toplam Sürtünme Kaybı, hf
2u)KKK
DLf4(h
hhhhh2
fcef
fffcfefsf
+++=
+++=
U1 U2D1 D2
P2
P1
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
67 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
MODÜL 8 : AKIŞ ÖLÇERLER VE POMPALAR
PİTOT TÜPÜ
Pitot tüpü bir akışkan akımının herhangi bir noktasındaki lokal hızı ölçmek için kullanılır. Akış hattı üzerine yerleştirilen U tüpünün bir ucu akışa karşı açık olacak şekilde monte edilir. Tüp girişinde (nokta 2) akışkan kinetik enerjisini kaybeder (u=0).
Sıkıştırılamaz akışkan için 1 ve 2 noktaları için Bernoulli denkliği:
2ugzP
2ugzP 2
22
221
11 ++
ρ=++
ρ
z1=z2, u2=0, u1=u, hf=0
ρ
=+ρ
22
1 P2uP
ρm
1 2
Δh
ρ
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
68 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
ρ
−=
)PP(2u 21
Gerçek durumlar için yukarıdaki eşitlikten sapmalar olur. Bu sapma deneysel verilere göre belirlenerek pitot tüpü eşitliği düzeltilmelidir. Bu durumda yukarıdaki eşitliğe boyutsuz düzeltme katsayısı çarpanı (Cp) ilave edilir. Cp 0.98 ile 1.0 arasında değişir.
ρ
−=
)PP(2Cu 21p
Basınç farkı (P1-P2) manometre denkliğinden elde edilirse; h.g).(PP m21 Δρ−ρ=−
ρ
Δρ−ρ=
h.g).(2Cu mp
Not: Bu eşitlik akışkanın ortalama hızını değil, lokal hızını belirlemede kullanılır.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
69 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
VENTURİ METRE Venturi metre boru hattınaaşağıda görüldüğü gibi doğrudan monte edilir. Ölçülebilir bir basınç farkı, boru kesit alanında kademeli bir daralma ve tekrar genişleme yolu ile sağlanır. Bu sırada ani daralma ve genişleme sonucu enerji kaybı meydana gelse de, venturi eşitliğinin türetilmesi için bu kayıp ihmal edilir.
1 ve 2 noktaları için Bernoulli eşitliği
2ugzP
2ugzP 2
22
221
11 ++
ρ=++
ρ
z1=z2, hf=0
2uP
2uP 2
22211 +
ρ=+
ρ
2uP
2uP 2
22211 +
ρ=+
ρ
ρ 1 2
ρm
Δh
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
70 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
ρ
−=−
)PP(2uu 2121
22
1 ve 2 noktaları için süreklilik denkliğinden
4Du
4Du
22
2
21
1π
=π
2
1
221 DDuu ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
u1 Bernoulli denkliğinde yerine konulduğunda,
ρ
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
)PP(2DDuu 21
4
1
222
22
ρ
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
)PP(2DD1u 21
4
1
222
ρ
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=)PP(2
DD1
1u 214
1
2
22
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
71 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
ρ
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=)PP(2
DD1
1u 214
1
2
2
Eğer küçük enerji kaybı için venturi eşitliği düzeltilecek olursa, boyutsuz venturi düzeltme katsayısı (Cv) eşitliğe çarpan olarak ilave edilir. Cv her durum için deneysel olarak saptanabilir. Cv Re>104 durumunda, D<0.2 m borular için 0.98, daha geniş borular için ise 0.99 olarak alınabilir.
ρ
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=)PP(2
DD1
Cu 214
1
2
v2
Venturi metre fazla yer kaplaması ve pahalı olması gibi dezavantajlara sahiptir. Ayrıca sabit bir geometriye sahip olduğundan, akış hızındaki önemli sayılabilecek değişiklikler, doğru olmayan basınç farkı okumalarına neden olabilmektedir.
ρ
−
β−=
=β
)PP(21Cu
iseDD
214
v2
1
2
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
72 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
ORİFİS METRE Orifis metre, venturi metreye göre daha ucuz bir yatırımdır. Ancak akış hattında kalıcı enerji kaybına neden olur.
Orifis eşitliği, venturi eşitliğine benzer. Burada Co boyutsuz orifis düzeltme katsayısıdır ve herzaman deneysel olarak saptanır. Eğer orifis için Re>20 000 ve Do/D1<0.5 ise Co 0.61 olarak sabit alınabilir.
ρ
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=)PP(2
DD1
Cu 214
1
o
o2
0
1 2
Δh
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
73 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
POMPALAR
Pompa giriş (a) ve çıkış (b) istasyonları için Bernoulli eşitliği
f
222
22
p
211
11 h
2ugzPW
2ugzP
+α
++ρ
=η+α
++ρ
f
211
11
222
22
p h2ugzP
2ugzPW +⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α++
ρ−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α++
ρ=η
Pompa
Wp
2 1
Z1 Z2
2’
1’
Z1’
Z2’
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
74 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
f
211
11
222
22
p h2ugzP
2ugzPW +⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α++
ρ−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α++
ρ=η
Belli bir noktada akışkanın sahip olduğu toplam enerji (H: total head)
2ugzPH2α
++ρ
=
Eğer hf=0 varsayarsak abp HHW −=η
η
Δ=
η
−=
HHHW abp
olur. Not: Pompa için Bernoulli eşitliğinde, pompa giriş ve çıkış istasyonları arasındaki seviye farkı genellikle ihmal edilebilir düzeydedir (z1=z2). Türbülant akış için a=1.0 alınabilir. Pompa Güç Gereksinimi, Wp Pompanın çalışması için dışarıdan bir güç uygulanması gerekir. Bu güç PP ise;
η
Δ==
HmWmP.
p
.
p
Burada .m kütlesel akış hızıdır.
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
75 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Akışkana aktarılan güç Pf ise;
η
Δ==
HmWmP.
p
.
f
İşte pompa verimi pompaya dışarıdan sağlanan güç ile pompanın akışkana aktardığı güç arasındaki bir ilişkidir.
p
f
PP
=η
GMÜ 242 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Vural GÖKMEN
76 GMÜ 242 Akışkanlar Mekaniği
Net Pozitif Emiş Yüksekliği (Net Positive Suction Head-NPSH) Pompaların verimli çalışabilmesi için pompa emiş hattında akışkanın sıvı formda olması gerekir. Eğer pompa emiş hattında akışkanın basıncı, buhar basıncının altına düşerse, akışkan buharlaşmaya başlar ve pompa içine buhar dolar. Bu pompa kapasitesini etkiler, ömrünü kısaltır. Bu olaya kavitasyon denir. Kavitasyona engel olmak için, pompa girişinde basınç sürekli olarak buhar basıncından belli bir oranda yüksek tutulmalıdır. Buna net pozitif emme yüksekliği (NPSH) denir. Küçük santrifüj pompalar için NPSH 2-3 m düzeyindedir.
Şekildeki gibi bir sistem için pompanın NPSH değeri aşağıdaki formül ile hesaplanabilir:
guzhPP
g1NPSH
2
1fsv α
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ρ
−=
Pompa
Wp
2 1
Z1 Z2
2’
1’
Z1’
Z2’
P