MODULO DE MATEMATICA

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FACULTAD DE EDUCACIÓN Y HUMANIDADES

ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN SECUNDARÍA

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN Y CAPACITACIÓN PERMANENTE

ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA 2012- 2014

COMPONENTE: CONOCIMIENTOS DISCIPLINARES

DEL ÁREA DE MATEMÁTICA CON ENFOQUE INTERCULTURAL

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El presente módulo tiene como principal objetivo lograr que el participante demuestre en

su práctica dominio del número y sus operaciones, a través de la resolución de

problemas en sus diversos niveles de complejidad, trabajando de manera creativa,

colaborativa y socializando los procedimientos con una actitud reflexiva e intercultural.

Este material, es fruto del trabajo y esfuerzo del equipo de especialistas de matemática

de la Universidad Nacional del Santa, adicionando un conjunto de experiencias en el

dictado de temas sobre sistemas numéricos en nuestra alma mater.

El Programa de especialización en Matemática, pretende desarrollar un enfoque

integrador: critico-reflexivo e intercultural-crítico, realizando un permanente seguimiento

a la labor diaria del docente para detectar la dificultades y deficiencias, para que a partir

de ella se elabore propuestas de mejora a su labor orientado en el área de su formación,

que permita el desarrollo de competencias pedagógicas y didácticas con orientación

intercultural, y establecer sólidos conocimientos disciplinares en el área de matemática,

lo que contribuirá en el logro de aprendizaje significativo en sus alumnos con enfoque

crítico-reflexivo, intercultural entendiéndose este como una diversidad de costumbres,

vivencias, hábitos, etc. lo que debe tenerse en cuenta en el primer módulo para la

elaboración del diagnóstico de la propuesta planteada y su aplicación real de la

matemática en su vida diaria y buscando la excelencia en su desarrollo personal.

Los Autores

MSc. Gustavo Reyes Carrera Msc. Julio Lecca Vergara

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El presente módulo formativo, será desarrollado en las clases presenciales que se efectuarán en

el aula, mediante talleres, discusiones, trabajos en equipos e individuales, aplicando técnicas y

métodos de enseñanza aprendizaje. Se enfatizará el dominio de contenidos en su práctica

docente, ofreciendo oportunidades para experimentar e integrar teoría, práctica y el intercambio

de experiencias con otros docentes y/o especialistas, respetando la lógica de aprendizaje del

participante. Metodológicamente, el proceso se caracteriza por tomar como punto de partida la

reflexión del docente participante sobre su práctica docente de manera que sea capaz de

mejorarlas y ampliarlas, permitiéndole profundizar conocimientos y estrategias de su área y

manejo del currículo. Promover la investigación y la oportunidad de innovar el propio desempeño

profesional y de sus pares, sustentado en la investigación acción. Los participantes son los

agentes que diseñan la investigación y buscan entablar una relación con la comunidad o con el

espacio de acción hacia donde se dirige el trabajo. El presente módulo formativo, está dirigido a

los participantes, quienes son docentes del área de Matemática del nivel de educación

secundaria; y busca lograr en ellos profundizar el manejo de la matemática en el aspecto

cualitativo, cuantitativo y de aplicación.

El presente módulo consta de tres unidades, la primera unidad contiene temas relacionados con

el álgebra moderna con tema centrales como; semigrupos, grupos, subgrupos, anillos; se

consideran también, algunos temas preliminares que permitirán la mejor comprensión de los

tópicos anteriormente mencionados, además se hace referencia al sistema de los número

naturales; la segunda unidad, continua con todo lo referente a los sistemas numéricos como el

sistema de los números enteros, sistema de los números racionales, el sistema de los números

reales, y valor absoluto; la tercera unidad, está orientada a un aspecto de la matemática para los

negocios donde se hace incidencia sobre proporcionalidad interés simple, interés compuesto y

modelos financieros con aplicaciones. Se sugiere al participante leer en forma minuciosa y revisar

exhaustivamente los ejemplos planteados, para así lograr los aprendizajes esperados. Cabe

recalcar que el desarrollo de los módulos, está compuesto por cuatro componentes;

Investigación desde la Acción Pedagógica, Conocimientos Disciplinares del Área de Matemática

con Enfoque Intercultural, Pedagogía y didáctica del área de matemática con orientación

intercultural y Desarrollo Personal.

Como competencia específica, se busca que demuestre en su práctica, domino del número y

sus operaciones, a través de la resolución de problemas en sus diversos niveles de complejidad,

trabajando de manera creativa, colaborativa y socializando los procedimientos con una actitud

reflexiva e intercultural. Al finalizar el módulo el participante estará en capacidad de: reconocer y

utilizar en forma adecuada axiomas de los sistemas numéricos. Construir sistemas numéricos a

través de definiciones y propiedades. Resolver problemas que involucran sistemas numéricos.

Demostrar propiedades fundamentales sobre sistemas numéricos. Contextualizar conocimientos

de número y operaciones con actitud reflexiva en el marco de la interculturalidad. Todos estos

procesos y logros se realizarán sin duda con el compromiso ineludible del participante que

obviamente es asumido con responsabilidad.

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COMPETENCIA GENERAL

Elabora un diseño metodológico para diagnosticar el problema de aprendizaje priorizado, en el área de matemática fortaleciendo el tratamiento del Numero y sus operaciones, su didáctica y el conocimiento del marco situacional educativo, valorando las diferencias individuales de sus estudiantes en su entorno socio cultural.

COMPETENCIA ESPECÍFICA/BLOQUE TEMÁTICO

Demuestra en su práctica dominio del Número y sus operaciones, a través de la resolución de problemas en sus diversos niveles de complejidad, trabajando de manera creativa, colaborativa y socializando los procedimientos con una actitud reflexiva e intercultural.

INDICADORES DE LOGRO

Aplica los conocimientos actualizados elaborando modelos didácticos para resolver ejercicios y operaciones relacionados a números y operaciones. Construye algoritmos apropiados para la resolución de problemas.

Desarrolla trabajos colectivos

PRODUCTO ESPERADO

Diseño metodológico para el diagnóstico del problema relacionado al conocimiento disciplinares del área de matemática con enfoque intercultural en números y operaciones.

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Esta primera unidad, se inicia tratando una parte esencial de la teoría de grupos; vale

decir, que se empieza por leyes de composición seguido por, semigrupo, grupos, anillos y

cuerpos; luego se aborda el sistema de nos números naturales, se define al sistema de

los números naturales junto con sus axiomas respeto a la adición, multiplicación, relación

de orden, junto con sus propiedades. Cabe recalcar que el manejo de esta parte es

meramente axiomático demostrativo, pues es necesario que el docente en el área de

matemática, conozca a plenitud el comportamiento cualitativo de los números,

considerándo que el manejo matemático no sólo es cuantitativo sino también cualitativo.

Para mejor compresión, se ha elaborado un organizador visual que permitirá tener un

panorama de los temas tratados.

PRIMERA UNIDAD

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LEY CONMUTATIVA

GRUPO ABELIANO

Definen un

Ambos definen un

se define una

CONJUNTO

LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA LEY ASOCIATIVA

ELEMENTO NEUTRO

GRUPO

SEMIGRUPO ELEMENTO INVERSO

GRUPO ABELIANO

SEMIGRUPO

ANILLO

(A,*,*’)

(A,*)

(A,*’)

ANILLO

(A, *, *’)

GRUPO

(A,*)

( )

CUERPO

GRUPO

(A,*’)

7

Si el elemento neutro de la adición es el 0 y el elemento

neutro de la multiplicación es el uno, se puede afirmar que el

elemento neutro de a*b=a+b-2 es dos?

DESDE LA PRÁCTICA:

Con esta pregunta se busca que el participante:

Reflexione respecto a su respuesta.

Uso correcto de axiomas.

Diferenciar los axiomas de los teoremas

PRIMERA UNIDAD:

Principios del álgebra

moderna.

El sistema de los

números naturales

PRIMERA SESIÓN

TEORÍA DE GRUPOS

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Analiza la teoría de

grupos y en forma crítica

los aplica en los

conjuntos numéricos.

CONTENIDOS

Leyes de

composición.

Estructuras: grupo,

sub grupo. Cuerpo

INDICADOR

1. Resuelve situaciones

problemáticas con

operadores.

2. Reconoce y resuelve

problemas sobre

teoría de grupos.

8

DESDE LA REFLEXIÓN:

1. LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA

Una ley de composición externa, definida en un conjunto no vacío A x B, y C un

conjunto no vacío, consiste en una operación que asigna a cada par ordenado de

elementos de AxB un único elemento de C. Esto significa que a cada objeto de A x B

le corresponde un único elemento de C.

Definición 1.- Ley de composición externa definida en un conjunto no vacío A y B,

es toda función de AxB en C.

Esto es

AxBC: ٭es una ley de composición externa en AxB ٭

Es decir

aA y bBa٭b C

Ejemplos:

La Sustracción es un ejemplo de ley de composición externa con los naturales.

La división con los enteros es una ley de composición interna.

¿La suma, resta, multiplicación es una ley de composición interna o externa

respecto a los números reales?.

2. LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA

Una ley de composición interna, definida en un conjunto no vacío A, consiste en una

operación que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de

A. Esto significa que a cada objeto de A x A le corresponde un único elemento de A.

Definición 2.- Ley de composición interna definida en un conjunto no vacío A, es toda

función de AxA en A.

Esto es

A2: ٭,es una ley de composición interna en A, si y sólo si ٭ A

Es decir:

a A y b A, entonces, a٭b A

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Ejemplos:

La adición es un ejemplo de ley de composición interna con los naturales.

La adición con los enteros es una ley de composición interna.

La multiplicación y los números naturales.

La multiplicación y los números enteros.

La división y conjuntos de los números racionales es una ley de composición

interna.

¿La suma, resta, multiplicación es una ley de composición respecto a los números

reales?

Responda si las siguientes operaciones son leyes de composición interna respecto al

conjunto A = {a, b, c}.

a b c ’٭

a

a

c

a b b

c a c

b c a

SEMIGRUPOS GRUPOS Y CAMPOS

a) Estructura de monoide

Definición3.-El par (M, ٭), donde M , y ٭ es una función, es un monoide si y sólo si

.es una ley de composición interna en M ٭

Ejemplo de monoide:

Los números naturales, enteros, racionales, reales, y complejos, con la adición

ordinaria de números.

La multiplicación y los números enteros es un monoide.

b) Estructura de semigrupo.

Definición 4.- El par (A, ٭), donde A y ٭ es una función, es un semigrupo si y

sólo si ٭ es una ley interna y asociativa en A.

a b c ٭

a

b

c

a b c

b c a

c a b

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Otra forma de caracterizar a un semigrupo es la siguiente: un semigrupo es un

monoide asociativo.:

Observación 1:

Si un semigrupo es conmutativo, toma el nombre de semigrupo conmutativo.

Si el semigrupo tiene elemento neutro, se dice que el semigrupo tiene unidad.

El elemento neutro suele llamarse identidad.

Ejemplo:

El par (N,+) es un semigrupo conmutativo, sin elemento neutro. En cambio (No,+)

tiene elemento neutro.

El par (N, ) es un semigrupo conmutativo, con elemento neutro o identidad igual a 1.

c) Estructura de Grupo

Definición 5.-Sea un conjunto no vacío G, y una función ٭. El par (G, ٭) es un grupo si

y sólo si ٭ es una ley Interna en G, asociativa, con elemento neutro, tal que todo

elemento de G admite inverso respecto a ٭.

En forma simbólica, se tiene:

Definición 6.- El par (G, ٭) es un grupo si y sólo si se verifican los axiomas.

G2:٭ .1 G

2. ab c: a ,b, c G (a٭b)٭c = a٭(b٭c)(Asociativa)

3. e G / a : a G a ٭ e = e ٭ a = a (Existencia de elemento neutro o

identidad).

4. a G, a’ G / a a’ = a’ a = e (Existencia de elemento inverso)

Si además cumple que es conmutativo, el grupo toma el nombre de abeliano.

Orden de un grupo: El número de elementos de G, denotado por G es denominado

orden de un grupo

Ejemplo:

En el conjunto de los enteros Z se define ٭ mediante a ٭ b = a + b + 3.

a) El par (Z, ٭) ¿es un grupo abeliano?.

b) ¿Es (N, +) un grupo abeliano?

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c) ¿Es (Z, +) un grupo abeliano?

d) ¿Es (Q, ) un grupo?

Propiedades de los grupos

Unicidad del elemento neutro y del inverso.

Regularidad. Esto es a ٭ b = a ٭ c b ٭ a = c ٭ a entonces b = c

e) SUBGRUPOS

Definición 7.- Sea (G, ٭) un grupo y H un subconjunto de G diferente del vacío, al

conjunto H con la operación * definido en G que constituye un grupo, es llamado un

subgrupo de (G, ٭).

Ejemplo:

Todo grupo (G, ٭) admite como subgrupo al mismo G con la operación *. Ambos se

llaman subgrupos triviales de (G, ٭)

Actividades de clase:

Ejemplo:

1) ¿(Z,+) es subgrupo de (Q,+)?

2) ¿El conjunto de los enteros pares, con la adición, es un subgrupo de (Z,+)?

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3) ¿El conjunto de los enteros impares con la suma es un subgrupo de (Z,+)?

4) Analice el siguiente conjunto A = {a, b, c, d} y la ley de composición que se

describe en la tabla siguiente.

a b c d ٭

a

b

c

d

a b c d

b a d c

c d a b

d c b a

A continuación presentamos una forma sencilla de poder identificar si un subconjunto

es o no un subgrupo.

Teorema1:Si H es un subconjunto no vacío del grupo (G, ٭) que verifica a H y b H

a ٭ b’ H donde b’ es el inverso de b.

Ejemplo:

H = {A Rnxn/ aij= aji} es un subgrupo de (Rnxn, +)

Resolución

i) La matriz nula N HH

ii) H Rnxn por definición de H.

iii) Sean A H y B Haij= aji y bij= bj iaij-bij = aji- bjiA+(-B) H

Se ha aplicado la definición de H, la sustracción en R y las definiciones de la suma de

matrices y de matriz opuesta.

(H,+) es el subgrupo de matrices simétricas nxn.

5) Anillo.- La terna (A,*,*’) es un anillo si y sólo si

a) El conjunto con la primera ley es un grupo abeliano

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b) El conjunto con la segunda ley es un semigrupo.

c) La segunda ley es doblemente distributiva respecto de la primera.

Otra forma de enunciar la definición anterior es la siguiente:

La terna (A,*,*’) es un anillo si y sólo si

a) (A,*) es un grupo abeliano.

b) (A,*’) es un semigrupo.

c) El producto (*’) es distributivo a la izquierda y a la derecha respecto de *.

Ejemplo

1. ( ) es un anillo

2. ( ) es un anillo

3. ( ) es un anillo

6) Cuerpo o campo1.-En álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura

algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación están bien definidas

y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la

existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten

efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas

propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

Los cuerpos son objetos importantes de estudio en álgebra puesto que proporcionan

la generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntos de

números racionales, de los números reales, o de los números complejos.

El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio

vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en

el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario.

La teoría de Galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas,

desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos

correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes.

1Sección tomado de la Wiki pedía. Visto el 10 de Julio 2012 [Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraica]

http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraica

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Ejemplos de cuerpos:

Racionales y algebraicos

Los números racionales

0,, bZbab

aQ donde está incluido el conjunto de los

números enteros, forman un cuerpo.

Los números reales con las operaciones usuales forman un cuerpo.

Los números hiperreales forman un cuerpo que contiene los reales, más los números

infinitesimales e infinitos. Los números surreales forman un cuerpo que contiene los

reales, a excepción del hecho de que son una clase propia, no un conjunto.

Los números reales contienen varios subcuerpos interesantes: los números reales

algebraicos, los números computables, y los números definibles.

Los números complejos consisten en expresiones del tipoa + bi donde i es la unidad

imaginaria, i.e., un número (no real) que satisface i2 = −1. Adición y multiplicación de

los números reales son definidos de tal manera para que todos los axiomas del

cuerpo se cumplen para C. Por ejemplo, la ley distributiva cumple

(a + bi)·(c + di) = ac + bci + adi + bdi2, que es igual a ac−bd + (bc + ad)i.

HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICA:

ACTIVIDADES DE REFLEXIÓN INDIVIDUAL

1. La adición es ley de composición interna en , , ℚ, .

2. definida en por es ley de composición interna en .

3. ¿La operación resta es una operación interna en ? .

4. Si es un conjunto y 𝑃( ) * +, entonces, la operación ⋃ definida en 𝑃( )

¿es ley de composición interna en 𝑃( )?

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5. Las siguientes tablas definen leyes de composición interna en el conjunto * +.

a) b)

6. Sobre el conjunto se considera la ley:

. Determine si se trata de una ley

de composición interna. De un contraejemplo.

7. Sea el conjunto * + de los valores de verdad de dos variables proposicionales.

Determine si la conjunción es una ley de composición interna en .

8. Considere la operación definida en por tal que es asociativa

con elemento neutro . ¿Qué elementos tienen inverso ?.

9. Sea ley de composición interna en tal que es asociativa y con elemento neutro

tal que tienen, respectivamente, elemento inverso , entonces:

a) ¿ ? b)

10. Considere la operación definida en por tal que es asociativa

con elemento neutro y

con

. Si es el inverso de , se desea:

a) Resolver la ecuación b) Resolver la inecuación .

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ACTIVIDADES DE REFLEXIÓN GRUPAL:

1. ( ) es un grupo conmutativo.

2. ( * + ) es un grupo conmutativo.

3. (ℚ ) tal que

es un grupo conmutativo.

4. Demuestre que las funciones ( ) , ( )

, (ℚ * +) tiene estructura de

grupo bajo la composición de funciones.

5. Sea ( ) tal que , . Demostrar que ( )es grupo.

6. Sea * +el conjunto de las aplicaciones biyectivas de * + en si

mismo definidas por: ( ) , ( )

, ( ) , ( )

, ( )

y

( )

. Probar que tiene estructura de grupo no abeliano con respecto a la

composición de funciones.

Extensión

1. En cada uno de los siguientes casos, determine si la operación binaria es ley de

composición interna en el conjunto dado.

a) en definida por ( ) .

b) en definida por .

c) en ℚ definida por ℚ.

d) en definida por (producto usual de matrices)

e) en * , - + y se define por ( )( )

( ) ( ) , -

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2. Complete la siguiente tabla de modo que la ley dada sea asociativa

# 1 2 3

1 3 1 2

2 1 2 3

3

3. En el conjunto * + se define la operación mediante la tabla:

a b c

a a b c

b b c a

c c a b

Demuestre que es conmutativa, tiene elemento neutro y que cada elemento de es

inversible.

4. Sea * + y sea

una ley definida en . Demostrar que ( ) es grupo

abeliano.

5. En el conjunto de los números reales se define la ley interna √ .

Averigüe si ( ) es grupo.

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6. Se definen las operaciones y definidas en mediante las tablas:

* m n o p q a ° m n o p q a m n o p q

m o p q m n m m n o p q m o p q m n

n p o n q m n n m p q o n p q m n o

o m n o p q o o p q m n o q m n o p

p p m q n o p q o m n p p m n o p q

q q p n o m q p q n o m q n o p q m

De acuerdo a las propiedades que debe satisfacer una tabla de doble entrada para

que un conjunto dado junto a la ley interna definida en el mismo tiempo tenga

estructura de grupo:

a) Indique en cuáles de los casos dados no se trata de un grupo y explique por qué.

b) Proponga una ley definida por tabla distinta de las anteriores de modo que

junto a esa ley tenga estructura de grupo.

7. En el conjunto * + definir una ley interna para que resulte un grupo de neutro 2.

8. Sea * + el conjunto de las clases residuales módulo 3, en el que se define la

ley suma del siguiente modo: ( es la suma en

). De este modo se construye la tabla de doble entrada que define la ley

a)

¿Es ( ) grupo abeliano?

b) Haciendo uso de la tabla, resuelva las siguientes ecuaciones:

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i) ( )

ii)

iii) ( )

iv) ( )

v)

vi) ( )

9. En se define el producto habitual ⊗ entre clases residuales módulo 3 del

siguiente modo:: ⊗ (. Es el producto en ).

¿Es ( ⊗) grupo? Construya la tabla y justifique.

10. Sea * + con la operación: {

a) Construya la tabla de doble entrada para esta ley.

b) Observando la tabla determine si ( ) es grupo.

c) ¿Es grupo cíclico? En caso de serlo, halle su generador y su orden.

11. Dado el conjunto 𝑃 ( ) (conjunto de polinomios de grado menor o igual que 1) y la

ley interna asociativa definida por: ( ) ( ) ( ) ( )

a) Pruebe que (𝑃 ( ),*) tiene estructura de grupo.

b) Determine si * + es un subgrupo de (𝑃 ( ),*)

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¿Es verdad que 2 x0 =0?

¿Si esto es verdad, qué procesos se debe tener en

cuenta para afirmarlo?.

Es necesario considerar el signo + o - en el cero.

DESDE LA PRÁCTICA:

Con esta pregunta se busca:




PRIMERA UNIDAD:


moderna.

El sistema de los números

naturales

SEGUNDA SESIÓN

SISTEMA DE LOS NÚMEROS

NATURALES

APRENDIZAJE ESPERADO:

Demuestra las propiedades de

los números naturales aplicando

axiomas de adición,

multiplicación.

CONTENIDOS

Sistemas de números

naturales.

Axiomas para la adición.

Axiomas para multiplicación

Principales teoremas.

INDICADORES

Reconoce y utiliza en forma

adecuada axiomas de los

sistemas de los números

naturales.

Define los sistemas

numéricos: Naturales.

Resuelve situaciones

problemáticas sobre

sistemas de los números

naturales.

Demuestra propiedades en

los números naturales.

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DESDE LA REFLEXIÓN

Adición, Multiplicación y relación menor o

igual.

Definición10.-Se llama sistema de los números naturales a un conjunto * +

provistos de dos operaciones totalmente definidas llamadas adición: ( )

multiplicación:( ) , y una relación de orden menor o igual: que satisfacen

los axiomas siguientes:

Axiomas para la adicción:

A1) ( ) ( ) (Asociativa)

A2)

A3) Existe un único número natural llamado cero o elemento neutro de la adición

denotado por 0, tal que: .

A4) implica

Axiomas para la multiplicación.

M1) ( ) ( ) (Asociativa)

M2) (Conmutativa)

M3) Existe un único número natural llamado cero o elemento neutro de la adición

denotado por 0, tal que: .

M4) implica (cancelación)

M5) ( ) , (distributiva)

Si A es un conjunto no vacío de números naturales, es decir , existe un único

elemento tal que . (Principio de buena ordenación).

I. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES

22

El elemento m recibe el nombre de mínimo del conjunto A.

Actividades de sesión

Teorema 4. para todo número natural .

Axiomas de Peano:

1. El cero es un número.

2. Si n es un número, el sucesor de n también es un número.

3. A números distintos corresponden distintos sucesores.

4. El cero no es sucesor de ningún número.

5. El principio de inducción: si una propiedad inductiva se cumple para el cero, entonces

se cumple para todos los números.

Demuestre que: si entonces

Demuestre: Si , entonces

Demuestre: ( ) ,


ACTIVIDADES DE REFLEXIÓN INDIVIDUAL:

1. Ejemplifique las propiedades sobre números naturales.

2. Represente geométricamente los números naturales.

3. Corolario 4. Si entonces


1. Demuestre: entonces .

2. Demuestre:Lema 2:

a) y

23

b) entonces que y y c entonces .

c) ( )

ACTIVIDADES METACOGNITIVAS:

1. ¿Qué aprendió sobre los números naturales?.

2. ¿Fue difícil aprender números naturales?.

3. Desde su práctica, ¿recuerda algunos eventos que se presentaron sobre números

naturales?.

4. ¿Crees que lo aprendido te será de utilidad en tu práctica pedagógica?.

5. Una empresa ofrece el alquiler de un ómnibus con capacidad para 50 pasajeros por

S/. 500 diarios. ¿Cuánto pagará cada uno de los excursionistas si todos deben pagar

lo mismo? ¿Cuánto costará el alquiler del ómnibus si la excursión dura 2, 3, 4, 5, 6 ó 7

días?

AUTOEVALUACIÓN:

1. Defina números naturales.

2. Que axiomas de los números naturales recuerda.

3. entonces o

24

Si a b ¿se pude afirmar que a c b c ?

¿Cómo representarías geométricamente este hecho?

DESDE LA PRÁCTICA:

Con esta interrogante se busca que el participante:

Identifique la relación de orden en los naturales.

Argumente su respuesta con fundamento matemático.

Reconozca los axiomas usados en sus procedimientos.

PRIMERA UNIDAD:


moderna.

El sistema de los

números naturales

TERCERA SESIÓN

DESIGUALDAD CON

NÚMEROS NATURALES

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Demuestra las

propiedades de las

desigualdades de los

números naturales.

.CONTENIDOS

Desigualdades con

números naturales.

INDICADORES

Reconoce y utiliza en

forma adecuada

propiedades de las


números naturales.

Resuelve problemas

que involucran

desigualdades con

números naturales.

Demuestra

propiedades

fundamentales de

losdesigualdades en

los sistemas números

naturales.

25


Se dice que es menor o igual que b o que b es mayor o igual que y se escribe o

si existe un número natural c tal que . En caso contrario se dice que no

es menor o igual que b, o que b no es mayor o igual que y se escribe o .

Si A es un conjunto no vacío de números naturales, es decir , existe un único

elemento tal que . (Principio de buena ordenación).

El elemento m recibe el nombre de mínimo del conjunto A.

Teorema 5: La relación “menor o igual que” es relación de orden total, es decir, goza de

las siguientes propiedades:

a) , .a a a

b) .a b y b a a b

c) .a b y b c a b

d) Dados a y b ,se cumple siempre a b o b a

Teorema 6 : Se verifica la alternativa siguiente: a,b N, a < b ∨ a = b ∨ a > b

(propiedad de tricotomía). (esto es lo mismo que afirmar que a,b N, a ≤ b ∨ b ≤ a , es

decir, que la relación de orden “≤" es un orden total)

Teorema 7: La relación menor o igual es compatible con la adición y la multiplicación, es

decir:

a) a b entonces a c b c y c a c b

b) a b entonces ac bc y ca cb

RELACION MENOR O IGUAL QUE EN LOS

NATURALES

26

Definición 11.- Dados los números naturales a y b , se dice que a es menor que b o

que b es mayor que a y se escribe a bo b a si a b y a b . En caso contrario, se

dice que a no es menor que b, o que b no es mayor que a y se escribe a b o b a .

Teorema 8: a b , si y sólo si existe , 0c c , tal que a c b .

Teorema9: La relación menor es compatible con la adición y la multiplicación, es decir:

a) a b entonces a c b c y c a c b .

b) 0a b y c entonces ac bc y ca cb

Corolario5: a b y c d entonces a c b d . En particular, 0 0a y b entonces

0 ab .

Teorema10: La relación menor goza de la propiedad de cancelación con respecto a la

adición y la multiplicación, es decir:

a) a c b c entonces a b

b) ac bc entonces y c >0 entonces a b

Definición12.- Se llama dos y se denota con 2 al número natural 1 + 1. Luego 2 = 1+1.

Se llama tres y se denota con 3 al número natural 2 + 1. Luego, 3 = 2 +

1.Analogamente se definen los siguientes números naturales: cuatro (4) cinco (5).

En virtud a la desigualdad se puede escribir: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 <…

Definición 13.- Dados los números naturales a y b se llama diferencia de a y b y se

denota a b al número natural c, si existe, tal que a b c .

Se llama sustracción a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números

naturales ( ,a b ) su diferencia a b .

RELACION MENOR EN LOS NATURALES

27

Lema 4: Si a b y si existen las diferencias a c y b c , entonces a c b c .

Definición 14.- Dados los números naturales a y 0b , se llama cociente de a y b y

se denota por a

bal número natural c, si existe tal que .a b c .

Se llama división a la operación que hace corresponder a ciertos pares ( ,a b ) de

números naturales su cociente a

b.



Lema 5: Si a b y si existen los cocientes a b

yc c

entonces a b

c c .

Teorema 11: Dados 0a y b , si el cociente a

bexiste, entonces es único


Teorema 12: Si a

cb , entonces se tiene:

a) am

cmb

b) a c

bm m

c) am

cbm

Teorema 13: Si a b entonces a b

c c

Corolario 6: Si a b entonces a b

c c

El conjunto ( )

con los axiomas de adición

multiplicación y relación de

orden se constituye en el

sistema de los

númerosnaturales

28


1. ¿Qué aprendió hoy?.

2. ¿Recuerda algún caso de sobre relación menor o igual en la vida real?

3. ¿Recuerda algún caso de sobre relación menor en la vida real?

4. Si en el año 2011 en Chimbote en el mes de diciembre, la temperatura mínima

alcanzó 10° centígrado y la máxima fue 25° centígrados, ¿cuál fue la temperatura en

grados Fahrenheit?.

ACTIVIDAD AUTOEVALUATIVA:

1. ¿Qué es una relación menor o igual?

2. ¿Qué propiedades recuerda de la relación menor o igual?

3. ¿Qué dice la ley de tricotomía?.

4. ¿Demuestre el teorema 6?.

5. ¿Qué es una relación menor?

6. ¿Qué propiedades recuerda de la relación menor?

¿Demuestre que Si a

cb , entonces se tiene:

a

m cb

m

?

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

1. Colección Schum (1991) “Álgebra lineal”. España.

2. PERELMAN, Yakov. (1978) "Álgebra recreativa", Editorial Mir Moscú.

3. POLYA, George. (1971) "El arte de resolver problemas", Editorial Trillas. Mexico

4. ROJO, Armando.(1981) “Algebra I”. Editorial “El Ateneo”. Argentina.

5. SMITH, Stanley A y otros (1990) Algebra Addison – Wesley Iberoamericana S.A. Delaware. U.S.A.

6. TOLA, José, REATEGUI, José “Funciones”. Instituto para la Promoción de la enseñanza de las

Matemáticas. Lima

29

PRESENTACIÓN

En la presente unidad, se tratan temas muy importantes como el sistema de

los números enteros, números racionales y números reales; estos temas

son tratados desde el punto de vista axiomático, veremos que el sistema de

números enteros es considerado una extensión del sistema de los números

naturales y son definidos como una clase de equivalencia, así mismo se

hace el estudio de los números racionales, tomándose este como un

sistema de números que surgen como una extensión de los números

enteros, de la misma forma que el sistema de los números reales aparecen

como una extensión de los números racionales, el estudio del sistema de

los números racionales y reales son analizados por medios de sucesiones.

Finamente, se hace el estudio del valor absoluto en los números reales,

junto con sus propiedades. Los temas son abordados en su parte teórica

como en su parte práctica para coadyuvar a la mejor comprensión.

SEGUNDA UNIDAD

30

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS NATURALES

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES

NÚMEROS REALES

n [(n,0)]

[( ,1)]

ℚ

[( ,1)]

ℚ

ℚ

31

En sesiones anteriores, se ha hecho el estudio de los números

naturales y sus propiedades; en las cuales hemos visto que

los números naturales son números positivos, pero que

explicación daríamos de la existencia de un número negativo

como por ejemplo -5.

E

DESDE LA PRÁCTICA:



Explique la necesidad de extender los números naturales

Defina un número entero.

SEGUNDA UNIDAD:

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS

RACIONALES

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS REALES

CUARTA SESIÓN

SISTEMA DE NÚMEROS

ENTEROS

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Demuestra las propiedades

de los números enteros

aplicando axiomas de

adición, multiplicación.

CONTENIDOS

Ampliación de los

números naturales.

El sistema de los

números enteros y sus

axiomas.

INDICADORES

Define el sistema de los

números enteros.

Demuestra

propiedades

fundamentales en el

sistema de los

números enteros.

32


Sabemos que en el sistema de los números naturales la adición y la multiplicación son

operaciones totalmente definidas, es decir la suma y el producto de dos naturales es

otro natural. En cambio la sustracción y la división son operaciones parcialmente

definidas. Por ejemplo: el resultado de la operación 3-8 no es un número natural puesto

que no existe ningún natural que sumado con 5 nos da 3.

Nos proponemos efectuar ahora una implicación del sistema de los naturales, es decir

considerar un conjunto de nuevos elementos definidos de manera que comprendan

como caso particular a los elementos de y que las operaciones que entre ellos se

definan, comprendan a las definidas sobre y gocen de las mismas propiedades que

éstas. Además, queremos que en este nuevo conjunto se pueda realizar sin restricciones

las operaciones de adición, sustracción y multiplicación como una extensión de los

números naturales.

Para resolver este problema, vamos a proceder de la siguiente manera. Consideremos

todas las posibles diferencias m – n de números naturales a las que representaremos

mediante pares ordenados (m, n). En el conjunto así formado definiremos una relación

de equivalencia, que por el teorema fundamental de la partición, determinará una

partición del conjunto, es decir, lo dividirá en clases disjuntas, no vacías y cuya reunión

sea el conjunto dado. Luego, en el conjunto cociente así construido definiremos

operaciones y relaciones, obteniendo así lo que llamaremos el sistema de los enteros, el

cual será la solución de nuestro problema.

Denotemos con S al conjunto de todos los pares ordenados de números naturales, es

decir S = x . Pertenecen a S por ejemplo (1, 2), (2, 1), (0, 3), (5, 5). Más generalmente

denotaremos a estos pares con los símbolos (a1, a2), (b1, b2).

EXTENSIÓN DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS

NATURALES

33

CONCEPTOS PREVIOS

Una familia de partes de un conjunto A diferente del vacío, ( ) …, se llama

cubrimiento de una parte B de A si, ⋃ .

En particular, si ( ) es un cubrimiento de A, se tiene ⋃ =A.

Se llama partición de un conjunto A a una familia ( ) de partes de A que cumple con

las siguientes propiedades

a) ,

b) ∩ ,

c) ⋃ =A.

Teorema fundamental de la partición.- Toda relación de equivalencia definida sobre un

conjunto A, determina una partición en A, recíprocamente toda partición de A determina

una relación de equivalencia.

El conjunto de las clases de equivalencia de A con respecto a una relación de

equivalencia , es llamado conjunto cociente, esto es,

Definiremos ahora en S una relación mediante la siguiente:

Definición 1.-Diremos que el par ordenado de número naturales (a1, a2), es equivalente

al par (b1, b2) y escribiremos:

(a1, a2) (b1, b2) si y sólo si a1 + b2 = a2 + b1

Así por ejemplo (2,3) (3, 4) pues 2 + 4 = 3 + 3.

Si (a1, a2) no es equivalente a (b1, b2) se escribirá (a1, a2) (b1, b2).

Teorema 1:

La relación (a1, a2) (b1, b2) es una relación de equivalencia, es decir goza de las

siguientes propiedades:

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS

34

a) (a1, a2) (a2, a1)

b) Si (a1, a2) (b1, b2) entonces (b1, b2) (a1, a2)

c) Si (a1, a2) (b1, b2) y (b1, b2) (c1, c2) entonces (a1, a2) (c1, c2).

Las tres propiedades enunciadas en el teorema nos aseguran que la equivalencia de

pares: es efectivamente una relación de equivalencia. Luego por el teorema fundamental

de la partición, determina una partición en el conjunto de los pares ordenados de

números naturales S en clases no vacías y disjuntas dos a dos. Cada una de estas

clases reúne a todos los pares equivalentes entre sí. Por ejemplo, los pares (1, 2), (2, 3),

(3, 4), . . . , (n, n + 1) pertenecen a una misma clase, análogamente los pares (1, 3), (2,

4), . . . , (n, n + 2), . . .

Por el teorema Fundamental de la participación, la relación de equivalencia determina

una partición en .

El sistema de los números enteros es el conjunto cociente con la relación de

equivalencia . Esto es

Definición 2.-Daremos el nombre de número entero cero a cada una de las clases de

pares ordenados equivalentes de números naturales. Así por ejemplo serán números

enteros las clases:

[(1, 2), (2, 3), (3, 4), . . . ], [(0, 0), (1, 1), (2, 2), . . .], etc.

De la definición resulta que a cada número entero le corresponde infinitos pares

equivalentes entre sí y que a cada par le corresponde un único número entero que es la

clase a la cual pertenece el par considerado.

En virtud de la definición anterior, queda bien determinado un conjunto de elementos

llamado números enteros, al que denotaremos con Z. A sus elementos los denotaremos

así:

a = [(a1, a2), (' '

1 2a ,a ), (' ' ' '

1 2a a ), . . . ], b = [(b1, b2), (' '

1 2b ,b ), (' ' ' '

1 2b b ), . . . ]. . .etc; o

simplemente: a = [(a1, a2)], b = [(b1, b2)], . . . etc.

En consecuencia el sistema de los números enteros es el conjunto cociente de

S = x por la relación de equivalencia dada en la definición anterior.

35

Definición 3.-Dados los números enteros a = [(a1, a2)], y b = [(b1, b2)] se llama suma

de a y b, y se denota a + b, al número entero determinado por la clase [(a1 + b1, a2 +

b2)], es decir:

a + b = [(a1, a2)] + [(b1, b2)] = [(a1 + b1, a2 + b2)]

De la definición se sigue que, la suma de números enteros siempre existe, puesto que la

suma de números naturales siempre existe.

La operación que hace corresponder a cada par de números enteros (a, b) recibe, el

nombre de adición, mientras que al resultado toma el nombre de suma.

Definición 4.-Definiremos al opuesto de a como: - a= -[(a1,a2)] = [(a2, a1)]

Definición 5.-Definiremos al cero: 0 = [(a1,a2)] = [(0,0)] siendo a1 = a2

Actividad de clase

Teorema 2: La adición de números enteros goza de las siguientes propiedades:

a) (a + b) + c = a + (b + c)

b) a + b = b + a

c) ! número entero llamado cero o elemento neutro aditivo, denotado con 0 tal que:

a + 0 = a aZ

d) a Z, existe un único número entero llamado el opuesto o simétrico de a,

denotado con –a tal que: a + (-a) = 0.

e) a + c = b + c a = b.

36



1. Definición.- Dados los números enteros y se llama diferencia de y y se denota

por al número c, si existe, tal que .

Se llama sustracción a la operación que hace corresponder a ciertos pares de

números enteros sus respectivas diferencias .

Demuestre que si entonces se tiene:

a) ( )

b) ( )


1. Demuestre que entonces

2. Demuestre que si entonces se tiene:

a) ( )

b) ( )


1. ¿Qué aprendió sobre los números enteros?.

2. ¿Tuvo alguna dificultad al abordar los número enteros?. ¿Por qué?

3. Desde su práctica pedagógica, que situaciones sobres números naturales le ha

tocado vivir.

4. Recuerda algún hecho real sobre números enteros. ¿Describa y justifíquelo

matemáticamente?.

5. Que puede comentar de la adición y sustracción de números enteros.

37

AUTOEVALUACIÓN:

1. ¿Defina los números enteros?

2. ¿Qué propiedades de los números naturales recuerda?

3. Demuestre que si entonces se tiene:

a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

38

¿Considera usted cierto que (-a)(-b) = ab?

¿Qué propiedades se cumplen en dicha igualdad?

¿Se cumple la igualdad para todos números enteros?

DESDE LA PRÁCTICA:



Utilice propiedades de números enteros.

Generalice propiedades.

SEGUNDA UNIDAD

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS

RACIONALES

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS REALES

QUINTA SESIÓN

NÚMEROS ENTEROS:

Multiplicación y División

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Resuelve problemas de

multiplicación y división

usando propiedades del

sistema de los números

naturales.

CONTENIDOS

Multiplicación y división de

números enteros y

propiedades

INDICADORES

Define la multiplicación

y división de los

sistemas de los

números enteros.

Demuestra las

propiedades y

teoremas.

39


Definición 6.-Dados dos números enteros a = [(a1,a2)] y b = [(b1, b2)] se llama

producto de a y b y se denota por a.b, al número entero determinado por la clase:

a b = [(a1,a2)] [(b1, b2)] = [(a1 b1+a2 b2, a1b2+a2b1)].

Teorema 3: La multiplicación de números enteros goza de las siguientes propiedades:

a) (ab)c = a(bc)

b) ab = ba

c) ! a Z diferente de cero, llamado elemento neutro de la multiplicación, denotado

con 1, tal que:

a.1 = a aZ

d) ac = bc y c 0 entonces a = b

e) a(b + c) = ab + ac

Teorema 4:Si a y b son números enteros, se tiene:

a) a. 0 = 0 a Z

b) a 0, b 0, si y sólo si ab 0.

Teorema 5: El opuesto –a de un número entero a goza de las siguientes propiedades:

a) a = -a si y sólo si a = 0

b) –(-a) = a

c) –(a + b) = (-a) + (-b)

d) –(ab) = (-a)b = a(-b)

e) (-a)(-b) = ab

MULTIPLICACIÓN EN NUMEROS ENTEROS

40

Definición 7.-Se dice que el número c = [c1,c2] es positivo o nulo (negativo o nulo) si se

cumple c1c2 ( c1c2) .

Si se cumple c1> c2 (c1< c2), se dice que c es positivo (negativo).

Notación:

Conjunto de los enteros positivos o nulos

Conjunto de los enteros negativos o nulos

Conjunto de los enteros positivos.

Conjunto de los enteros negativos.

Definición.- Dado dos números enteros , se llama cociente de y se le

denota por

, al número c, si existe, tal que .

Se llama división a la operación que asigna a ciertos pares ( ) de números enteros

sus respectivos cocientes

.



Teorema 6:Si a = [(a1,a2)] y b = [(b1, b2)] son números enteros se tiene:

a) a y b

entonces a + b y ab

b) a y b

entonces a + b y ab

c) a y b

entonces a + b y ab

41


1. Demuestre que:

a)

b)

2. Corolario 2:

a) a y b entonces a + b y ab

b) a y b entonces a + b y ab

c) a y b entonces a + b y ab


1. ¿Qué aprendiste con esta actividad?

2. ¿Es la división una ley de composición interna?

3. En que casos aplicarías la operación de multiplicación y división de enteros.

42

Si y entonces, ¿se puede afirmar que

?

DESDE LA PRÁCTICA:


Reflexione respecto a la suma de dos números naturales.


Qué otras posibilidades se pueden presentar.

SEGUNDA UNIDAD

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS RACIONALES

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS REALES

SEXTA SESIÓN

NÚMEROS ENTEROS:

Desigualdades

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Resuelve problemas de

desigualdades con

números enteros.

CONTENIDOS

Desiguales en el sistema

de números enteros.

INDICADORES

Define


de los números

enteros.

Demuestra

desigualdades de

números enteros.

43


Definición 8.- Dados los números enteros a y b, se dice que “a es menor o igual que b”

o que “b es mayor o igual que a ” y se escribe a b ó b a respectivamente, si existe

un número entero b, positivo o nulo, tal que a + c = b. En caso contrario se dice que “a

es no menor o igual que b” o que “b no es mayor o igual a” y se escribe respectivamente

a b ó b a.

Si a + c = b siendo c positivo se dice que “a es menor que b” o que “b es mayor que a”

y se escribe respectivamente a < b ó b > a.

En caso contrario se dice que “a no es menor que b” ó que “b no es mayor que a” y se

escribe respectivamente a b ó b a.

Lema.- Si ,( )-, ,( )- y si , entonces para cualquier par

( ) y cualquier par ( ) se tiene .

Teorema: Dados dos números enteros ,( )- y ,( )-, si y solo si

Corolario: Si ,( )- y ,( )-, si y solo si

Teorema: Un número entro ,( )- es positivo (o nulo) si y solo si o ( ).

En particular, 1 .

Corolario.- un número entero ,( )- es positivo o (nulo) si y solo si c>0 (c<0)

Teorema: Si a y b son números enteros se tiene:

a) Si y entonces y

b) Si y entonces y

c) Si y entonces y

Corolario.- Si y son números enteros se tiene:

a) Si y entonces y

DESIGUALDAD DE NÚMEROS ENTEROS

44

b) Si y entonces y

c) Si y entonces y



1. ¿Cómo representa los números naturales?.

2. Demuestre los siguientes.

Teorema: La relación menor o igual entre números enteros goza de las siguientes

propiedades:

a)

b) y entonces

c) y entonces

d) Dados y o

Lema.- Si ,( )- y ,( )- son números enteros, se tiene: si y solo

si .

En particular, si y solo si


1. Demuestre las siguientes propiedades:

a) Si implica .

b) Si y implica .

2. Demuestre las siguientes propiedades:

a) Si y entonces y .

b) Si y entonces y .

3. Demuestre que: Dados dos números enteros ,( )- y ,( )-, si y

solo si

45


1. ¿Qué aprendió en esta sesión?.

2. ¿Tuvo dificultades para el entendimiento de los contenidos de esta sesión?.

3. ¿Desde su práctica como abordaría el tema de desigualdades de números enteros?.

4. ¿Qué parte le pareció más dificultoso?.¿Por qué?.

5. ¿Propuso alguna actividad en el caso que fue difícil para superarlo?.

46

Que significa

DESDE LA PRÁCTICA:


Reflexione respecto a la suma de dos números racionales.


De una interpretación geométrica.

SEGUNDA UNIDAD

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS RACIONALES

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS REALES

SEPTIMA SESIÓN

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS

RACIONALES

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Resuelve problema en el


racionales.

CONTENIDOS

Números Racionales:

Definición y operaciones

INDICADORES

Define el sistema de

los números

racionales.

Demuestra las

propiedades y

teoremas aplicando

axiomas de los

números racionales.

47


Extensión del Sistema de los Números Enteros.

Es claro que en los enteros las operaciones de adición, sustracción y multiplicación son

totalmente definidas. En cuanto a la división es una operación es parcialmente definida,

pues hay cocientes cuyo resultado no pertenece a los naturales.

Es necesario, ampliar el sistema de los números enteros con nuevos elementos de tal

forma que los enteros sean un caso particular, de tal forma que las operaciones de

adición, multiplicación, sustracción y división sean totalmente definida. Este nuevo

conjunto, es denominado números racionales.

Definición 9.- Un par ordenado de números enteros 1 2,a a es equivalente a 1 2,b b y

se escribe 1 2,a a 1 2,b b si y sólo si 1 2 2 1a b a b

Si un par no es equivalente se escribirá ( ) ( ).

Teorema 7: La relación es una relación de equivalencia si cumple

con las siguientes propiedades:

a) 1 2,a a

b) Si entonces

c) y 1 2,c c entonces 1 2,c c .

1 2,a a 1 2,b b

1 2,a a

1 2,a a 1 2,b b 1 2,b b 1 2,a a

1 2,a a 1 2,b b 1 2,b b 1 2,a a

NÚMEROS RACIONALES

48

Definición 10.- Denominaremos número racional a cada una de las clases de pares

ordenados equivalentes de números enteros, siendo la segunda componente un número

entero positivo.

Ejemplo:

1. ,( ) ( )( ) -

2. ,( ) ( ) ( ) -

En consecuencia queda bien determinado un conjunto de elementos llamados números

racionales, al que denotaremos Q. Los elementos son denotados así:

1. ,( ) (

) (

) -

2. ,( ) (

) (

) -

Definición 11.- Dados los números racionales ,( )- y ,( )- se llama suma

de a y b, y se denota por a + b, al número racional determinado por la clase ,(

)- .

Es decir:

,( )- ,( )- ,( )-

Lema 1.-La suma a + b es independiente de los pares que se consideran para definirla.

Es decir, si ( ) ( ) Entonces( ) .

Teorema 8: La adición de números racionales goza de las siguientes propiedades:

a) (a+b) + c =a + (b+c)

b) a + b = b + a

c) Existe un único número racional llamado cero o elemento neutro de la adición

denotado con 0 tal que a + 0 = a

d) Para cada número racional a, existe un único número racional llamado opuesto de a,

denotado con –a tal que: a + (-a)= 0.

e) a + c = b + c entonces que a = b

NÚMEROS RACIONALES. ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN

49

Corolario 2: Si ,( )- y si entonces

Definición12.- Dados los números racionales ,( )-y ,( )- se llama

producto de a y b y se denota por ab al número racional determinado por la clase

1 1 2 2 1 2 2 1,a b a b a b a b ab

Lema 2: El producto ab es independiente de los pares que se consideran para definirlo.

Es decir, si ' '

1 2,a a a entonces ' '

1 2,b b b , entonces ' ' ' ' ' ' ' '

1 1 2 2 1 2 2 1,a b a b a b a b ab

Teorema 9: La multiplicación de números racionales goza de las siguientes

propiedades:

a) ( ) ( )ab c a bc

b) ab ba

c) Existe un único número racional diferente de cero llamado uno o elemento neutro de

la multiplicación denotado por 1 y tal que:

1a a a

d) 0a , existe un número racional llamado inverso de a, denotado por

tal que

.

e) Demuestre:

Si ac bc y 0c entonces a b .

f) ( )a b c ab ac



1. Como representa un número racional.

2. Cuál es la idea sobre la ampliación de los números enteros.

3. Definición.- Se dice que un número racional ,( )- es positivo o nulo

(respectivamente negativo o nulo) si ( ).

Demuestre que:

ℚ y ℚ

entonces ℚ y ℚ

50


Demuestre:

a) ℚ y ℚ

entonces ℚ y ℚ

b) ℚ y ℚ

entonces ℚ y ℚ



2. ¿Cómo lo realizó su aprendizaje?.

3. ¿En qué le ayuda desde su práctica, el estudio de los números racionales?

51

y implica .

DESDE LA PRÁCTICA:


Reflexione respecto al producto de dos números racionales.


SEGUNDA UNIDAD

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS RACIONALES

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS REALES

OCTAVA SESIÓN

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS

RACIONALES:

DESIGUALDADES

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Resuelve problema de

desigualdades en el


racionales.

CONTENIDOS

Números Racionales:

Desigualdades

INDICADORES

Define desigualdad

de los números

racionales.

Demuestra las

propiedades de

desigualdades en el

sistema de los

números racionales.

52


Definición: Dados los números racionales a y b se dice que “ es menor o igual que b” o

que “b es mayor o igual que a” y se escribe o , si existe el número racional c

positivo o nulo, tal que . En caso contrario se dice que “ no es menor o igual

que b” o que “b no es mayor o igual que ”.

Si y si c es positivo se dice que “ es menor que b” o que “b es mayor que ”.

En caso contrario se dice que “a no es menor o igual que b” o que “b no es mayor que

a”.

Teorema.- Dados los números racionales ,( )- y ,( )-, si y solo si

.

Corolario.- Si ,( )- y ,( )-, si y solo si

Teorema.- Un número racional ,( )- es positivo (o nulo) si y solo si (c ).

Corolario.- Un número racional ,( )-es positivo (o negativo) si y solo si c>0

(c<0).

Teorema.- S ,( )-i y ,( )- son números racionales, se tiene:

a) y entonces y .

b) y entonces y .

c) y entonces ℚ y .

Teorema.- La relación “menor o igual” entre números racionales es una relación de

orden total.

Teorema.- Si ,( )- y ,( )- son dos números racionales se tiene:

a) si y solo si

DESIGUALDAD EN LOS RACIONALES

53

b) si y solo si

Corolario.- Si ,( )- y ,( )- son dos números racionales se tiene:

a) si y solo si

b) si y solo si

Definición.- Dados los números racionales y , se llama diferencia de y y se denota

por – al número c, si existe tal que

Definición.- Dados dos números racionales y se llama cociente de y y se le

denota por

, al número racional c, si existe, tal que .



Demuestre:

Teorema.- Si y b son racionales, se tiene:

a) entonces

b) y entonces

c) y entonces

Teorema.- Dados dos números racionales y , si la diferencia – existe, entonces es

única.

Teorema.- Dados los números racionales y , si el cociente

existe, entonces es único.


1. Demostrar:

2. Demostrar:

a) entonces y

b) y implica

c) Si y implica .

54



2. ¿Qué dificultades se presentaron al momento de la sesión?

3. De ser afirmativo la sesión anterior, ¿qué acciones tomo para superarlo?

4. ¿Cómo se sintió al desarrollar la interrogantes?.

5. ¿Si se sintió incomodo al desarrollar las preguntas, a qué lo atribuye?.

55

Del gráfico siguiente se puede decir que el valor de x es:

¿Es un número racional?.

¿Cómo se encuentra la raíz cuadrada de un número qué

no es cuadrado perfecto?.

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

DESDE LA PRÁCTICA:


Reflexione respecto a su respuesta, con fundamento

matemático.

Defina un número real.

Establecer la diferencia de un número racional con un

número irracional.

SEGUNDA UNIDAD

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS RACIONALES

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS REALES

NOVENA SESIÓN

SISTEMA DE NÚMEROS

REALES

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Comprende la

construcción y los

axiomas de los números

reales

CONTENIDOS

Números reales:

Sucesiones-

Propiedades.

Sucesiones de

Cauchy

INDICADORES

Define sistema de

los números

reales.

Demuestra

propiedades de

los números

reales.

3 2

x

56

EXTENSIÓN DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES.

Se ha visto que en el sistema de los números racionales existen sucesiones de Cauchy

que no son convergentes, es decir sucesiones de Cauchy que no poseen límite.

Se necesita efectuar una ampliación del sistema de los números racionales ℚ, creando

un nuevo conjunto cuyos elementos correspondan como caso particular a los números

racionales y que sea tal que las operaciones que se definan en él gocen de las mismas

propiedades que estas. Además que toda sucesión de Cauchy sea convergente.

Esta extensión permitirá no tener dificultades con las operaciones fundamentales como

adición, multiplicación, diferencia, división y resolver el problema de radicación de

números racionales positivos.


Construcción de los números reales a partir de (ℚ )

Para construir los números reales utilizamos el concepto de sucesión de Cauchy enℚ.

Siendo así, definimos:

Sucesión de Números Racionales:

Una sucesión de números racionales es la aplicación de en ℚ:

ℚ

( )

Que se representa por: * + ≥ o simplemente * +, donde es el n-ésimo término de

la sucesión.

1. Operaciones:

a) Adición de sucesiones: * + * + * +

b) Multiplicación de sucesiones: * + * + * +.

NUMEROS REALES

57

2. Propiedades de las sucesiones:

a) Aditivas:

: Asociativa: * + ,* + *𝑧 +- ,* + * +- *𝑧 +.

: Conmutativa:* + * + * + * +.

Existencia del elemento neutro: ∃* + tal que * + * + * +.

Existencia del opuesto: ∃* + tal que * + * + * +.

b) Multiplicativas:

𝑀 : Asociativa: * + ,* + *𝑧 +- ,* + * +- *𝑧 +.

𝑀 : Conmutativa:* + * + * + * +.

𝑀 Existencia del elemento neutro: ∃* + tal que * + * + * +.

𝑀 Existencia del inverso de * + * +: ∃* + tal que * + * + * +.

c) Distributiva: * + ,* + *𝑧 +- * + * + * + *𝑧 +.

Para la construcción de números reales interesan dos tipos de sucesiones: las

sucesiones convergentes y las sucesiones de Cauchy, para ello previamente

definiremos:

Definición 13: (Límite de una Sucesión)Una sucesión * + ≥ se dice que tiene límite

𝐿 , si , ∃𝑁 / 𝑁 | 𝐿| .Denotamos: lim ∞ 𝐿.

Simbólicamente: 𝐥𝐢𝐦𝒏 ∞ 𝒙𝒏 𝑳⇔ 𝝐 , ∃𝑵 / 𝒏 𝑵 |𝒙𝒏 𝑳| 𝝐

Observaciones:

1. Para hallar el límite de una sucesión * + ≥ , basta calcular lim ∞ 𝐿 y para

ello se usan propiedades análogas a las de funciones reales.

2. Siendo | 𝐿| ⇔ 𝐿 𝐿 en el intervalo centrado en 𝐿 (de

extremos 𝐿 y 𝐿 ) se encuentran todos los términos de la sucesión salvo,

a lo sumo, un número finito de términos (los 𝑁 primeros).

A) Sucesión Convergente: Siuna sucesión * + ≥ tiene límite 𝐿 , entonces se dice

que es una sucesión convergente y converge a 𝐿. En caso contrario se dice que la

sucesión es divergente.

58

Ejemplos:

1. La sucesión {

} ≥

{

} es convergente y converge a cero, pues

𝐿 lim ∞

.

2. La sucesión * + ≥ * + es divergente, pues, 𝐿 lim ∞ no

existe.

3. La sucesión * + que resulta de la aplicación a 2 del

algoritmo de la raíz cuadrada tampoco es convergente, pues de ser así implicaría

que existe un 𝐿 / 𝐿 lo cual es absurdo porque no existe un número

racional cuyo cuadrado es igual a 2.

Definición 14.- (Sucesión de Cauchy) Una sucesión * + ≥ es de

Cauchysi

, ∃𝑁 / 𝑁 | 𝑚| .

Esto significa que los términos de la sucesión, salvo un número

finito de ellos, distan entre sí tan poco como se quiera. Las

sucesiones de los ejemplos 1 y 3 son sucesiones de Cauchy;

todos sus términos distan entre sí menos que 1, menos que

,

menos que

, etc.

Proposición 1: Toda sucesión convergente es de Cauchy.

Demostración:

Sea * + ≥ una sucesión convergente ⇨ , ∃ 𝑁 / 𝑁 | 𝐿| 𝜖

(definición)

Asimismo, si 𝑁 | 𝑚| | 𝐿 𝐿 𝑚| | 𝐿| | 𝑚 𝐿| 𝜖

𝜖

∴Toda sucesión convergente es de Cauchy.

Proposición 2: El límite de toda sucesión convergente es único.

Demostración:

Supongamos que la sucesión convergente * + ≥ converge a 𝐿 ℚy a𝐿 ℚ

59

Si 𝐿 ∃𝑁 / 𝑁 | 𝐿 | |𝐿 𝐿2|

Si 𝐿 ∃𝑁 / 𝑁 | 𝐿 | |𝐿 𝐿2|

Además: |𝐿 𝐿 | |𝐿 𝐿 | | 𝐿 | | 𝐿 | |𝐿 𝐿2|

|𝐿 𝐿2|

|𝐿 𝐿2|

,

tomando extremos se tiene: |𝐿 𝐿 | |𝐿 𝐿2|

lo cual es absurdo, que se obtuvo como

consecuencia de afirmar que el límite no es único, por lo tanto se concluye que 𝐿 𝐿 ,

consecuentemente; el límite de toda sucesión convergente es único.

Definición 15 .- (Sucesión Acotada) Una sucesión * + ≥ se dice que es acotada si

existe un 𝑀 tal que | | 𝑀 .

Es decir una sucesión es acotada cuando todos sus términos están dentro de un cierto

intervalo.


1. Probar que dado un número real cualquiera r siempre existe un número real natural ñ

tal que ñ>r.

2. Si * + ≥ y * + ≥ son dos sucesiones de números reales y si lim =x, e,

lim =y se tiene

a) Lim( ) =lim + lim =x+y

b) Lim( ) =lim lim =x.y

3. Si una sucesión de números reales es convergente, entonces toda subsucesión de

ella, es también convergente hacia el mismo límite.

4. Interprete geométricamente el teorema Cauchy.

60

Es verdad que lim

es una sucesión de Cauchy?



Es necesario considerar el signo + o - en el cero.

DESDE LA PRÁCTICA:





SEGUNDA UNIDAD

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS RACIONALES

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS REALES

DÉCIMA SESIÓN

PROPIEDADES DE LOS

NÚMEROS REALES

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Aplica propiedades de

números reales en la

solución de problemas.

CONTENIDOS

Números reales:

Propiedades

INDICADORES

Demuestra

propiedades de los

números reales

Resuelve ejercicios y

problemas con

números reales.

61


Proposición 3: Toda sucesión de Cauchy es acotada.

Demostración:

Sea * + ≥ una sucesión de Cauchy entonces dado , ∃𝑁 / 𝑁 | 𝑁|

Además:| | | 𝑁| | 𝑁| | | | 𝑁|,entonces si

𝑀 á *| | | | | 𝑁 | | 𝑁|+se cumple: | | 𝑀 .

∴Toda sucesión de Cauchy es acotada.

Proposición 4:Si * + ≥ converge a 𝐿 ℚy si * + ≥ converge a 𝐿 ℚ * + * +

converge a (𝐿 𝐿 ) y * + * + converge a (𝐿 𝐿 )

Demostración: Queda con ejercicio para el lector.

Definición 16.-Si Conjunto de todas las sucesiones de números racionales.

𝐶 Conjunto de todas las sucesiones de Cauchy.

𝐶 Conjunto de todas las sucesiones convergentes.

Entonces:

( )es un anillo conmutativo y unitario, (𝐶 ) es un subanillo y (𝐶 ) es un

subanillo del anterior.

Las sucesiones de Cauchy como herramientas nos permitirán definir los números reales.

Definición17.- (Sucesiones de Cauchy equivalentes)Las sucesiones de

Cauchy * +y * + ; se dice que son equivalentes y denotamos * + * + , cuando la

diferencia converge a cero.

Nota: Las sucesiones de Cauchy son sucesiones cuyos términos se encuentran en

algún sitio de la recta. Dos de ellos son equivalentes cuando se encuentran en el mismo

sitio.

62

1. Adición.-Si * + es una sucesiónde Cauchy de números racionales, entonces ,* +-

representa al número real formado por la sucesión y todas sus equivalentes. Así:

,* +-+,* +- ,* +-

Esta operación no depende de los representantes elegidos, es decir, si * + * + y

* +* + * +* +

En efectoPor hipótesis: * + ∧{

}

Siendo: |* + {

}| | | |

|

Por definición: ,

∃𝑁 / 𝑁 | | 𝜖

….. (1)

∃𝑁 / 𝑁 | | 𝜖

.…. (2)

Restando (1) y (2) se tiene: | | | | y considerando 𝑁 *𝑁 𝑁 +

Si* + ∧{

} * + + {

}

⇔* + - * +

Propiedades:

a) Asociativa: ,* +- (,* +- ,*𝑧 +-) (,* +-+,* +-) ,*𝑧 +-

b) Conmutativa: ,* +- ,* +- ,* +- ,* +-

c) Existencia de elemento neutro: ,* +- , - ,* +-

d) Existencia de elemento opuesto: ,* +- ,* +- , -

2. Multiplicación.-,* +- ,* +- ,* +-.

Esta operación no depende de los representantes elegidos, es decir, si* +* + y

* +* + * +* +

Propiedades:

a) Asociativa: ,* +- (,* +- ,*𝑧 +-) (,* +-.,* +-) ,*𝑧 +-

OPERACIONES EN NÚMEROS REALES

63

b) Conmutativa: ,* +- ,* +- ,* +- ,* +-

c) Existencia de elemento neutro: ,* +- , - ,* +-

d) Distributiva respecto a la adición:

,* +-(,* +- ,*𝑧 +-) ,* +-.,* +- ,* +-,*𝑧 +-

Para demostrar que todo número real no nulo tiene inverso se utilizará un lema

(resultado auxiliar) el mismo que será utilizado para definir la relación “menor que” en .

Lema 3:Si * + es una sucesiónde Cauchy de números racionales que no converge a

cero, entonces ∃𝑀 𝑁 tales que se cumple una y solamente una proposición:

𝑁 𝑀∨ 𝑁 𝑀.

|||

ó bien todos los están aquí, salvo un número finito de ellos. Un número finito de ellos.

Demostración:

Si * + ↛ , significa que ∃ / 𝑁 ∃n / | | {

Además, siendo* + de Cauchy 𝑁 / 𝑁 𝑂 | 𝑝 𝑞| 𝜖

, luego todos los

, salvo un número finito de ellos, están bien a la derecha de 𝜖

o bien a la izquierda de

𝜖

, es decir 𝑀

𝜖

.

Dado tal que 𝑁 y | 0| o bien 0

o bien 0

Supongamos que 0 0

𝜖

𝜖

Corolario 4:Si * + es una sucesiónde Cauchy no convergente a 0, entonces la sucesión

{

𝑛} es de Cauchy y está bien definida para casi todo , es decir, , salvo un

número finito de ellos.

Demostración:

Para está demostrado en el lema anterior.

Demostremos que{

𝑛} es de Cauchy. Nos ayudaremos de la igualdad:|

𝑝

𝑞|

| 𝑝 𝑞|

| 𝑝|| 𝑞|

64

En efecto:

Siendo * + una sucesiónde Cauchy no convergente a 0 ∃𝑀 ∃𝑁 / | | 𝑀

( 𝑁 ).

Además: 𝑁 / 𝑁 | 𝑝 𝑞| 𝑀 , luego si á *𝑁 𝑁 + se tiene

que: |

𝑝

𝑞|

𝜖𝑀2

𝑀2

Consecuentemente tenemos la siguiente:

Proposición 5: Todo número real distinto de 0 tiene inverso multiplicativo.

∴( , +, ·) Es un cuerpo.

1. Relación “menor que” en

Supongamos que ,* +- es un número real distinto de 0; se dice que ,* +-es positivo

(mayor que cero) si se da la primera de las dos posibilidades del lema. Es decir, si

∃𝑀 ∃𝑁 𝑁 𝑀.

Si se da la segunda posibilidad del lema ( 𝑀) diremos que el número es

negativo (menor que cero).

Luego definimos ,* +- ,* +- cuando ,* +- es positivo.



Demostrar que la equivalencia de sucesiones es una relación de equivalencia en el

Conjunto 𝐶 de todas las sucesiones de Cauchy de números racionales.

En efecto:

La equivalencia de sucesiones son relaciones:

a) Reflexiva: * + 𝐶 se cumple: * +* +

b) Simétrica: Si * + * + 𝐶 * + * + * + * + converge a 0 * + - * +

converge a 0 * +* +.

65

c) Transitiva: Si * + * + *𝑧 + 𝐶 * + * +y * + *𝑧 + (* + - * +) y (* + - *𝑧 +)

ambos convergen a 0 * + *𝑧 + converge a 0 * +*𝑧 +.


1. Demostrar que si * + 𝐿 y * +* + * + 𝐿.

Números reales.- Es el conjunto cociente 𝐶𝐶

⁄ donde a cada elemento se le llama

número real y son clases de equivalencia de la forma: 𝛼 ,* +- {* + ℚ * +ℛ* +}

donde * + es un representante de la clase 𝛼 ,* +-.

2. Probar que la definición de número real positivo (negativo) no depende de los

representantes del número real elegidos, es decir, si * + verifica la primera (segunda)

de las propiedades del lema y si * + * +, entonces, * + también verifica estas

propiedades.

3. Probar que la relación “menor que” en es transitiva, antisimétrica y total.


¿Qué puedes decir de la siguiente afirmación?

A partir de (ℚ, +, ·, <) se há construído ( , +, ·, <). Esta última estructura R tiene las

mismas propiedades que la de partida: la adición es asociativa, conmutativa, elemento

neutro y opuesto, la multiplicación es asociativa, conmutativa, elemento unidad e

inverso, el orden es transitivo, antisimétrico y total, la adición es distributiva respecto de

la multiplicación, hay compatibilidad entre el orden y la adición, y compatibilidad entre el

orden y la multiplicación.

¿En qué te ayuda desde tu práctica lo aprendido?

66

¿Se puede afirmar que √ ?



De no serlo, sustente su respuesta.

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

DESDE LA PRÁCTICA:



Uso correcto de las propiedades de valor absoluto.

Interpretar el valor absoluto.

SEGUNDA UNIDAD

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS RACIONALES

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS REALES

SESIÓN ONCE

VALOR OBSOLUTO

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Resuelve problemas con

valor absoluto.

CONTENIDOS

Valor absoluto:

Propiedades

INDICADORES

Demuestra

propiedades de valor

absoluto

Resuelve ejercicios y

problemas con valor

absoluto.

67


Definición.- Dado el número racional a, se llama valor absoluto de a y se denota por | |,

al número racional definido del modo siguiente:

| | y | |

De la definición se sigue que | | para todo número racional .

Teorema.- El valor absoluto | | de un número racional a, goza de las siguientes

propiedades:

a) | | 𝑙

b) | | | |

c) | | | |

d) | | | | | |

e) | | | || |

f) | | ⇔ , ( ). g) | | ⇔ ∨ .

1. Probar que si n on √

.

En Efecto:

i) Si : ⇰ n on

…. (1)

ii) Si : √ ……. (2)

iii) Siendo: ( )

( ) ⇰ √

√

……. (3)

De (1), (2) y (3) se cumple: √

.

2. Demostrar que: Si y , entonces, √ 2

(acotación superior de raíces).

En Efecto: se cumple:

(√ ) ⇔ √ ⇔ √

𝑙 3. Demostrar que ℚ que satisfaga , siempre se puede hallar un número

racional mayor ( ) tal que: ( )

VALOR ABSOLUTO

68

4. Probar que si √

.

En Efecto:

i) Si : ⇰

…,. (1)

ii) Si : √ ……. (2)

iii) Siendo: ( )

( ) ⇰ √

√

……. (3)

De (1), (2) y (3) se cumple: √

.

5. Demostrar que: Si y √ 2

(acotación superior de raíces).

En Efecto:

se cumple: (√ ) ⇔ √ ⇔ √ 2

𝑙



Resolver:

1) | |

2) | |

3) |

|

4) | | | |

5) | | | | | |

6) | |

7) | |

8) | |

9) | | |

| | |

69


Resolver:

1) | |

2) | 5 |

3) | |

| | |

|



2. ¿Fue difícil comprender los conceptos y propiedades?.

3. ¿Si tuvo dificultades en comprender que acciones tomó?

4. Cree que lo aprendido le servirá en algún momento. De ser así en que momento

sería.

5. ¿Qué procedimiento realizaste para desarrollar las actividades?.


1. CARRANZA, César. (1970). “Algebra I”. Editorial Librería Studium. Perú

2. LABRAÑA y otros (1995) “Álgebra Lineal”. Síntesis España.


4. POLYA, George. (1971) "El arte de resolver problemas", Editorial Trillas

5. ROJO, Armando.(1981) “Algebra I”. Editorial “El Ateneo”. Argentina.



Matemáticas. Lima

70

PRESENTACIÓN

La tercera unidad del presente módulo auto instructivo, tiene por

finalidad desarrollar en los participantes el logro de la capacidades

previstas, así mismo aborda temas de importancia propuestos en el

TDR, el presente módulo consigna temas de razones y proporciones

que es un aspecto fundamental en el entendimiento de las magnitudes

directa e inversamente proporcionales las cuales también son tratadas,

así se hace el estudio del interés simple y compuesto. Con el avance

económico que ha logrado el Perú la economía ha sufrido un

dinamismo de tal forma que las entidades crediticias, llámese bancos,

centros comerciales, etc. han aumentado sus ofertas y créditos los

mismos que generan intereses, motivo por el cual es necesario que se

tenga más conocimientos sobre la aplicación de la matemática en el

mundo financiero, en tal sentido se abordan también en este módulo el

estudio del interés simple y el interés compuesto la última parte trata

sobre modelización. Los temas que se tratan en esta unidad están

dotados de la parte teórica, acompañado de ejercicios y problemas qué

busca el análisis y reflexión de los participantes. Finalmente para

mejorar la comprensión se ha diseñado un organizador visual en

algunos temas qué se consideran básicos.

TERCERA UNIDAD

71

Razón aritmética

Proporción aritmética

= c- d

Proporción Geométrica

=

Magnitudes directamente

proporcionales Magnitudes inversamente

proporcionales

Reglas de tres

simple directa Reglas de tres

simple inversa

Razón Geométrica

Razones

Se clasifican en

Si comparamos dos R.A tenemos Si comparamos dos R.G tenemos

MAGNITUDES

Se clasifican en

72

Observe el siguiente cuadro:

¿Qué puede deducir?

Ambas figuras son semejantes.

Sus lados son proporcionales en algunos casos.

DESDE LA PRÁCTICA:

Generalice propiedades.


Interprete el gráfico.

Reflexione respecto a su respuesta sobre

proporcionalidad.

Deducir propiedades.

TERCERA UNIDAD

APLICACIONES DE LOS

REALES

SESIÓN DOCE

PROPORCIONALIDAD

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Resuelve problemas

que involucran

proporcionalidad

CONTENIDOS

Razones

Proporciones

Tipos de

proporciones.

INDICADORES

Establece diferencia

entre razones y

proporciones.

Aplica propiedades

en la solución de

problemas sobre

proporciones.

73


PROPORCIONALIDAD

1. RAZÓN: Es la comparación matemática de dos cantidades. En este contexto se

estudiará razones que involucren resta y división.

TIPOS DE RAZONES:

a) Razón aritmética:

Ejemplo: 57-19=38, 57 excede a 19 en 38 unidades.

b) Razón geométrica:

.

Ejemplo:

57 es el triple de 19.

Observaciones:

i) Cuando se menciona simplemente la razón de dos cantidades, se entenderá que

se trata de una razón geométrica.

ii) Para ambas razones se tiene que:

b: Consecuente, r: Valor de la razón.

2. PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones

TIPOS DE RAZONES:

a) Proporción aritmética:

b) Proporción geométrica:

Observaciones::

i) Para ambas razones:

PROPORCIONALIDAD

74

a y c: antecedentes , b y d: consecuentes, a y b:Términos de 1ra razón, c y d.

Términos de 2da razón

ii) a

iii) a y d: Términos extremos, b y c: Términos medios

3. CÁLCULO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN

a) Progresión aritmética discreta:

d es la cuarta diferencial de a, b y c.

b) Progresión aritmética continua:

c: Tercia o tercera diferencial de a y b

b: Media aritmética de a y c

c) Progresión geométrica discreta:

d: es la cuarta proporcional de a,b y c.

d) Progresión geométrica continua:

c: Tercia geométrica o tercera proporcional de a y b

b. Media geométrica o media proporcional de a y c

4. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES: Es la igualdad de dos o

más razones geométricas:

Aquí: n n , on n y on n p opo ion li .

PROPIEDADES:

a) 2

2

b) 2

2 (

) (

2

2) (

)

c) ( ) ( 2) ( )

( ) ( 2) ( )

75

d)

2

2 2

e)

2 2

2 2

f)

2 2

2

g) ( )( ) (√ √ √ )

A) Magnitudes directamente proporcionales.- Se dice que dos magnitudes son

directamente proporcionales si una de estas aumentan a doble, triple... la

segunda aumenta también al doble, triple....respectivamente.

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:

Magnitud 1ª a b c d ... Magnitud 2ª a’ b’ c’ d’ ...

Son directamente proporcionales si se cumple que:

Ejemplo

Un saco de arroz pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?. Un cargamento de arroz pesa 250 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Número de sacos

1 2 3 ... 26 ...

Peso en kg 20 40 60 ... 520 ... Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20

Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

Observa que

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 1/ 20.

MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE

PROPORCIONALES

76

B) Magnitudes inversamente proporcionales.- Se dice que dos magnitudes son

inversamente proporcionales si una de estas aumentan a doble, triple... la

segunda disminuye a la mitad, la tercera parte.....respectivamente.

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:

Magnitud 1ª a b c d ... Magnitud 2ª a’ b’ c’ d’ ...

Son inversamente proporcionales si se cumple que:

Ejemplo Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?.

Solución

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple

número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las

magnitudes son inversamente proporcionales.

Formamos la tabla:

Hombres 3 6 9 ... 18

Días 24 12 8 ... ?

Vemos que los productos 3.24=6.12=9.8=72

Por tanto 18.x=72

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

A) Regla de tres simple directa.- Consiste en que dados dos cantidades

correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad

de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra

magnitud.

Se tiene dos cantidades A y B directamente proporcionales, y otra cantidad Cde otra

magnitud, se pide hallar la otra magnitud (x), entonces se puede expresar:

𝐶

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA E INVERSA

77

por ser directamente proporcionales se tiene

luego:

Ejemplo

En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar

contendrán 5200 gramos de sal?.

Solución

Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple,

triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente

proporcionales.

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y

formamos la siguiente tabla:

Litros de agua 50 x

Gramos de sal 1300 5200

Se verifica la proporción:

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos,

resulta:

50.5200=1300.x

Es decir

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

En 50 litros hay 1300 g de sal

En x litros habrá 5200 g de sal

52001300

50 x

𝐶

𝐶

78

5 5

Ejemplo 2

Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros,

¿cuántos kilómetros podrá recorrer el coche?.

Luego con 6 litros el coche recorrerá 120 km

B) Regla de tres simple inversa.- Consiste en que dadas dos cantidades

correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad

de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra

magnitud.

Se tiene dos cantidades A y B inversamente proporcionales, y otra cantidad C de otra

magnitud, se pide hallar la otra magnitud (x), entonces se puede expresar:

por ser inversamente proporcionales se tiene

Ejemplo 1

Un ganadero tiene pasto suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días.

¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

Solución

Vemos que con el mismo pasto, si el número de vacas se duplica, tendrá para la

mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto son

magnitudes inversamente proporcionales.

x= número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas 220 450

Nº de días 45 x

Se cumple que: 220.45=450.x, de donde:

1205

100.6

______6

100______5

xkmxl

kml

22450

45.220x

𝐶

𝐶

79

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días

Ejemplo

Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de

capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32

toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?.

Solución

Pues la cantidad de vino=8.200=32.x

Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma

cantidad de vino.



1. Si cuatro entradas para el cine han costado S/. 15,2 , ¿cuánto costarán cinco

entradas?.

2. El dueño de un supermercado ha abonado S/.180 por 15 cajas de ajos. ¿Cuánto

deberá pagar por un nuevo pedido de 13 cajas de ajos?.

3. Un tren ha recorrido 240 km en tres horas. Si mantiene la misma velocidad,

¿cuántos kilómetros recorrerá en las próximas dos horas?.

22450

45.220

_____450

45____220

450

45220

xdíasxvacas

díasvacas

díasxparatienenvacas

díasparatienenvacas

5032

200.8

____32

200_____8

x

litrosxtoneles

litrostoneles

80

4. Un grifo, abierto durante 10 minutos, hace que el nivel de un depósito suba 35 cm.

¿Cuánto subirá el nivel si el grifo permanece abierto 18 minutos más? ¿Cuánto

tiempo deberá permanecer abierto para que el nivel suba70 cm?.

5. Ocho obreros construyen una pared en 9 días. ¿Cuánto tardarían en hacerlo seis

obreros?.


1. Cuatro palas excavadoras hacen un trabajo de movimiento de tierras en14 días.

¿Cuánto se tardaría en hacer ese mismo trabajo si se dispusiera de7 palas

excavadoras?.

2. Por 3,5 kg de chirimoyas he pagado S/ 6,3 . ¿Cuánto pagaré por cinco kilos?.

3. Dos poblaciones que distan 18 km están, en un mapa, a una distancia de 6 cm.

¿Cuál será la distancia real entre dos ciudades que, en ese mismo mapa, están

separadas 21 cm?.

4. Un automovilista llega a una gasolinera con el depósito vacío y 54673 km en su

cuentakilómetros. Echa 39 litros de gasolina y continúa su viaje. Cuando vuelve a

tener el depósito vacío, su cuentakilómetros marca 55273 km. ¿Cuál consumo de

combustible cada 100 kilómetros?.

5. El radio de una circunferencia mide 2 m. ¿Cuál es su longitud?. Sabiendo que la

circunferencia completa abarca 360°, ¿cuál es la longitud de un arco de 90°? ¿Y la

de un arco de 25°?.

Pregunta (reto)

6. Cincuenta terneros de engorde consumen 4200 kg de alfalfa a la semana.

a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día?

b) ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros durante15

días?.

c) ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de600

kg de alfalfa?

81


1. ¿Cree usted que su aprendizaje a sido óptimo ?

2. ¿Qué aprendió?. ¿De un ejemplo sobre los contenidos estudiados?.

3. ¿Sólo existen cantidades que son directamente proporcionales e inversamente

proporcionales?. ¿Sustente su respuesta?.

82

Se pone al banco un capital de S/.2 000 cuyo pago de interés

es de 1%. El Banco al término de los tres años entrega el

siguiente reporte.

Año Interés

2010

Capital 2000

Interés 2000(0,100)=20

Monto acumulado

2020

2011

Capital 2000

Interés 2000(0,100)=20

Monto acumulado

2020+20 = 2040

2012

Capital 2000

Interés 2000(0,100) = 20

Monto acumulado

2040 + 20 = 2060

¿Qué concluye del cuadro?


DESDE LA PRÁCTICA:


Analice el comportamiento del interés simple.

Comprenda el interés simple.

Aplique el interés simple.

TERCERA UNIDAD

APLICACIONES DE LOS

REALES

SESIÓN TRECE

INTERÉS SIMPLE

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Resuelve problemas

de interés simple a

partir de situaciones

reales de corte

financiero

CONTENIDOS

Interés simple.

Propiedades.

INDICADORES

Aplica propiedades

de interés simple.

Demuestra

propiedades de la

formula fundamental

de interés simple.

83


Es importante anotar que en realidad, desde el punto de vista teórico existen dos

tipos de interés el Simple y el compuesto. Pero dentro del contexto práctico el interés

compuesto, es el que se usa en todas las actividades económicas, comerciales y

financieras. El interés simple, por no capitalizar intereses resulta siempre menor al

interés compuesto, puesto que la base para su cálculo permanece constante en el

tiempo, a diferencia del interés compuesto. El interés simple es utilizado por el

sistema financiero informal, por los prestamistas particulares y prendarios. En este

capítulo, se desarrollaran los conceptos básicos del interés simple.

Definición 1.- (interés simple) Es aquel que se paga al final de cada periodo y por

consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad

recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los

intereses.

La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder

adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no

equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del

capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de

una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo

que dure el préstamo o la inversión, el interés simple varía en forma proporcional al

capital (P)y al tiempo(n).El interés simple, se puede calcular con la siguiente relación:

……………….(3.1)

En concreto, de la expresión se deduce que el interés depende de tres elementos

básicos:

1. El capital inicial(P),

2. la tasa de interés(i)

3. y el tiempo(n).

En la ecuación (3.1) se deben tener en cuenta dos aspectos básicos:

a) La tasa de interés se debe usar en tanto por uno y/o en forma decimal; es decir, sin

el símbolo de porcentaje.

b) La tasa de interés y el tiempo se deben expresar en las mismas unidades de

tiempo. Si la unidad de tiempo de la tasa de interés no coincide con la unidad de

tiempo del plazo, entonces la tasa de interés, o el plazo, tiene que ser convertido

I = P . i . n

84

para que su unidad de tiempo coincida con la del otro. Por ejemplo, si en un

problema específico el tiempo se expresa en trimestres, la tasa de interés deberá

usarse en forma trimestral. Recuerde que si en la tasa de interés no se específica la

unidad de tiempo, entonces se trata de una tasa de interés anual.

Ejemplo

Si se depositan en una cuenta de ahorros S/.5.000.000 y la corporación paga el 3%

mensual. ¿Cuál es el pago mensual por interés?.

P=S/. 5.000.000

n=1mes

i= 3%/mes

I=P*i*n; I= 5.000.000*1* 0.03= S/.150.000/mes

El depositante recibirá cada mes S/.150.000 por interés.

CLASES DE INTERÉS SIMPLE

El interés se llama ordinario cuando se usa para su cálculo 360 días al año, mientras

que será exacto si se emplean 365 o 366 días. En realidad, se puede afirmar que

existen cuatro clases de interés simple, dependiendo si para el cálculo se usen 30días

al mes, o los días que señale el calendario. Con el siguiente ejemplo, seda claridad a

lo expuesto con anterioridad.

Ejemplo

Una persona recibe un préstamo por la suma de S/.200.000 para el mes de marzo, se

cobra una tasa de interés de 20% anual simple. Calcular el interés (I), para cada una

de las clases de interés simple.

Solución:

b) Interés ordinario con tiempo exacto. En este caso se supone un año de 360días

y se toman los días que realmente tiene el mes según el calendario. Este interés, se

conoce con el nombre de interés bancario; es un interés más costoso y el que más se

utiliza.

31I pin 200.000x 0.20 x / .3.444.44

360S

b) Interés ordinario con tiempo aproximado. En este caso se supone un año de 360

días y 30 días al mes. Se conoce con el nombre de interés comercial, se usa con

frecuencia por facilitarse los cálculos manuales por la posibilidad de hacer

85

simplificaciones

30I pin 200.000 x 0.20 x S/. 3 333,33

360

c) Interés exacto con tiempo exacto. En este caso se utilizan 365 o 366 días al año y

mes según calendario. Este interés, se conoce comúnmente con el nombre de interés

racional, exacto o real, mientras que las otra clases de interés producen un error

debido a las aproximaciones; el interés racional arroja un resultado exacto, lo cual es

importante, cuando se hacen cálculos sobre capitales grandes, porque las diferencias

serán significativas cuando se usa otra clase de interés diferente al racional. Lo

importante, es realizar cálculos de intereses que no perjudiquen al prestamista o al

prestatario.

31 I pin 200.000 x 0.20 x / 3 397,26

365S

d) Interés exacto con tiempo aproximado. Para el cálculo de éste interés se usa 365

o 366 días al año y 30 días al mes. No se le conoce nombre, existe teóricamente, no

tiene utilización y es el más barato de todos.

30 I pin 200.000 x 0.20 x / 3287,71

365S

Ejemplo

Calcular el interés comercial y real de un préstamo por S/. 150.000al30% por 70 días.

Solución

Interés comercial.

70I pin 150.000 x 0.30 x / . 8.750

360S

Interés real o exacto

70I pin 150.000 x 0.30 x / . 8.630,14

365S

Se observa que el interés comercial resulta más elevado que el interés real para el

mismo capital, tasa de interés y tiempo. Esta ganancia adicional hace que el año

comercial sea muy utilizado en el sector financiero y en el sector comercial que vende

a crédito. Hay que recordar y dejar claro, que cuando el tiempo en un préstamo esta

dado en días, es indispensable convertir la tasa de interés anual a una tasa de interés

por día. Cuando la tasa anual se convierte a tasa diaria usando el año de 365 días o

366 si es bisiesto como divisor en la fórmula del interés simple o del monto, el interés

obtenido se llama interés real o interés exacto. El año de 365 días o366 se conoce

como año natural.

86

Cuando se lleva a cabo la conversión usando como divisor 360 días, se dice que se

está usando el año comercial. En este caso, el interés obtenido se llama interés

comercial o interés ordinario.

Si un problema no menciona de forma explícita cuál tipo de interés debe calcularse,

entonces se supone que se trata del cálculo de un interés comercial.

DESVENTAJAS DEL INTERÉS SIMPLE

Se puede señalar tres desventajas básicas del interés simple:

a) Su aplicación en el mundo de las finanzas es limitado

b) No tiene o no considera el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente el valor

final no es representativo del valor inicial.

c) No capitaliza los intereses no pagados en los períodos anteriores y, por

consiguiente, pierden poder adquisitivo.

MONTO O VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE

A la suma del capital inicial, más el interés simple ganado se le llama monto o valor

futuro simple, y se simboliza mediante la letra F. Por consiguiente,

(3.2)

Al reemplazarla ecuación (3.1) en la(3.2), se tiene,(3.3)

El uso de la ecuación (3.3), requiere que la tasa de interés (i) y el número de

períodos(n) se expresen en la misma unidad de tiempo, es decir; que al plantearse el

problema

Ejemplo

Hallar el monto de una inversión de S/. 200.000, en 5 años, al 25% EA.

Solución

i= 25%

0 5 años

F=? S/. 200.000

F=P(1+in)=200.000(1+0,25x5)=S/.450.000

F=P+ I

F=P+Pin=P(1+in)

87

VALOR PRESENTE O ACTUAL A INTERÉS SIMPLE

Se sabe que: F=P (1+in), y multiplicando a ambos lados por el inverso de (1+in), se

tiene que

in( )

Ejemplo:

Dentro de dos años y medio se desean acumularla suma de S/.3.500.000 a una tasa

del 2.8% mensual, ¿Cuál es el valor inicial de la inversión?

Solución:

F=$ 3.500.000

0 i=2,8%m 30meses

P=?

𝑃

( )

( )=S/. 1902 173.91

De acuerdo al cálculo anterior, el valor presente, simbolizado por P, de un monto o

valor futuro F que vence en una fecha futura, es la cantidad de dinero que, invertida

hoy a una tasa de interés dada producirá el monto F. Encontrar el valor presente

equivale a responder la pregunta: ¿Qué capital, invertido hoy a una tasa dada, por un

período determinado, producirá un monto dado? En caso de una obligación el

contexto, es exactamente el mismo, la pregunta sería:¿Qué capital, prestado hoy a

una tasa dada, por un período determinado, producirá un monto futuro a pagar?.

Ejemplo

Hallar el valor presente de S/. 800.000 en 4 años y medio, al 3% mensual.

Solución:

a) De forma mensual

n= 4.5x12= 54meses

F=S/. 800.000

88

i= 3%m

0 54meses

P=?

𝑃

( )

( 5 ) 5 5

b) De forma anual

i= 0,03x12= 36%anual

F=S/.800.000

i=36% anual

0 4,5 años

P=?

𝑃

( )

( 5) 5 5

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERES SIMPLE

Partiendo que se tiene:

11

Fi

P n

(3.5)

Ejemplo

Una persona le prestó a un amigo la suma de S/.2.000.000 y paga después de

8meses la suma de S/.2.400.000 ¿Qué tasa de interés mensual simple le cobraron?.

Solución

S/. 2.000.000

89

11

Fi

P n

=0.025 m=2,5%m

CÁLCULO DEL TIEMPO(n)

11

Fn

P i

Ejemplo

¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al 20% de interés anual simple?

Solución:

S/2

i= 20% anual

n años

0



1. En cuánto tiempo se acumularían S/. 8.000.000 si se depositan hoy S/. 2.500.000

en un fondo que paga al 3% simple mensual?

2. Una empresa maneja una cuenta de cheques que paga mensualmente un interés

del 14,4% anual sobre el saldo promedio. Si el primero de junio el Banco de Oro le

abona a la empresa S/. 3 580,45 como pago del interés del mes de mayo, ¿cuál

fue el saldo promedio, en mayo, de la empresa?.

3. El papá de Alberto, observando una revista, decide comprar una cámara digital. Si

este modelo de cámara es ofrecida a crédito por dos tiendas, A y B, a una tasa de

interés mensual del 5% en 4 y 8 meses, respectivamente:

a. ¿Cuánto pagará de interés el papá de Alberto al final de los periodos dados por

c/u de las tiendas?

b. ¿En qué tienda le conviene comprar al papá de Alberto?

90


Resuelve las siguientes situaciones planteadas. Presenta un informe escrito con los

procedimientos

empleados. Comparte con tus compañeros tus procesos de solución y verifica tus

resultados.


¿Cómo se sintió en el desarrollo de la clase?

¿Fue fácil el aprendizaje de los temas desarrollados?.

¿De no haber comprendido que has hecho para superarlo?

¿Qué parte te pareció más dificultoso?.

¿Qué aprendiste en esta sesión?

¿Crees que es importante los temas desarrollados?

91

Se pone al banco un capital de S/. 3 000 cuyo pago de interés

es de 3,7%. El Banco al término de los tres años entrega el

siguiente reporte.

Año Interés

2010

Capital 3000

Interés 3000(0,037)=111

Monto acumulado

3000+111=3 111

2011

Nuevo Capital

3 111

Interés 3 111(0,037)=115,1007

Monto acumulado

3 111+115,157+20 = 3226,107

2012

Nuevo Capital

3226,107

Interés 3226,107(0,037) = 119,36595

Monto acumulado

3226,107 + 119,36595= 3 345,4729


DESDE LA PRÁCTICA:


Analice el comportamiento del interés compuesto.

Comprenda el interés compuesto.

Aplique el interés compuesto.

TERCERA UNIDAD

APLICACIONES DE LOS

REALES

SESIÓN CATORCE

INTERÉS COMPUESTO

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Resuelve problemas

de interés

compuesto a partir

de situaciones reales

de corte financiero

CONTENIDOS

Interés compuesto.

Propiedades.

INDICADORES

Aplica propiedades

de interés

compuesto.

Demuestra

propiedades de la

formula fundamental

de interés

compuesto.

92


El interés compuesto, es un sistema que capitaliza los intereses, por lo tanto, hace

que el valor que se paga por concepto de intereses se incremente mes a mes, puesto

que la base para el cálculo del interés se incrementa cada vez que se liquidan los

respectivos intereses. El interés compuesto es aplicado en el sistema financiero; se

utiliza en todos los créditos que hacen los bancos sin importar su modalidad. La

razón de la existencia de este sistema, se debe al supuesto de la reinversión de los

intereses por parte del prestamista.

DEFINICIÓN DE INTERÉS COMPUESTO

Es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo,

debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un

nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a

calcular intereses, es decir, hay capitalización de los intereses. En

otras palabras se podría definir como la operación financiera en la

cual el capital aumenta al final de cada periodo por la suma de los intereses vencidos.

La suma total obtenida al final se conoce con el nombre de monto compuesto o valor

futuro.

El interés compuesto es más flexible y real, ya que valora periodo a periodo el dinero

realmente comprometido en la operación financiera y por tal motivo es el tipo de

interés más utilizado en las actividades económicas.

Lo anterior, hace necesario una correcta elaboración del diagrama de tiempo y lo

importante que es ubicar en forma correcta y exacta el dinero en el tiempo.

Por último, es conveniente afirmar que el interés compuesto se utiliza en la Ingeniería

Económica, Matemática Financieras, Evaluación de Proyectos y en general por todo

el sistema financiero mundial.

INTERÉS COMPUESTO

93

Ejemplo

Una persona invierte hoy la suma de S/.100.000 en un CDT que paga el 7%

cuatrimestral, se solicita mostrar la operación de capitalización durante dos años

En la tabla, se aprecia que los intereses cuatrimestrales se calculan sobre el monto

acumulado en cada periodo y los intereses se suman al nuevo capital para formar un

nuevo capital para el periodo siguiente, es decir, se presenta capitalización de

intereses, con el objeto de conservar el poder adquisitivo del dinero a través del

tiempo.

Para el cálculo del interés se usó la fórmula:

I=Pin, mientras que para el monto se utilizó: F=P+I; ecuaciones que fueron definidas

con anterioridad.

SUBDIVISIÓN DEL INTERÉS COMPUESTO.

El interés compuesto se puede sub dividir de la siguiente manera:

a. Interés compuesto discreto: Se aplica con intervalos de tiempos finitos.

b. Interés compuesto continuo: Se aplica en una forma continua, es decir, que los

intervalos de tiempo son infinitesimales.

Sin importar el hecho de que el interés sea discreto o continuo y para dar una definición

precisa del interés compuesto, es conveniente indicarlos siguientes aspectos.

TASA DE INTERÉS: Es el valor del interés que se expresa como un porcentaje. Ej. 5%.

10%,20%.

PERIODO DE APLICACIÓN: Es la forma como se aplicará el interés. Ej. 2% mensual,

20% anual compuesto trimestralmente, 18% anual compuesto continuamente.

Periodo Cap. Inicial (P) Interés Monto(F)

0 100,000.0000 100,000.0000

1 100,000.0000 7,000.0000 107,000.0000

2 107,000.0000 7,490.0000 114,490.0000

3 114,490.0000 8,014.3000 122,504.3000

4 122,504.3000 8,575.3010 131,079.6010

5 131,079.6010 9,175.5721 140,255.1731

6 140,255.1731 9,817.8621 150,073.0352

94

BASE DE APLICACIÓN: Es la cantidad de dinero sobre la cual se aplicará el interés

para cada periodo. Ej.20% anual compuesto trimestralmente sobre el saldo mínimo

trimestral.

FORMA DE APLICACIÓN: Es el momento en el cual se causa el interés. Ej. 2% mensual

por adelantado, 18% anual por trimestre vencido.

COMPARACIÓN ENTRE EL INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

La comparación entre el interés simple e interés compuesto, se hará a partir del

siguiente ejemplo.

Ejemplo

Suponga que una persona invierte $ 1.000 a un interés del 2.5% mensual durante 12

meses, al final de los cuales espera obtener el capital principal y los intereses obtenidos.

Suponer que no existen retiros intermedios. Calcular la suma final recuperada.

Periodo Capital Inicial o Presente Intereses Monto final o Futuro

Simple Compuesto Simple Compuesto Simple Compuesto

1 1.000 1.000,00 25 25,00 1.025 1.025,00

2 1.000 1.025,00 25 25,63 1.050 1.050,63

3 1.000 1.050,63 25 26,27 1.075 1.076,90

4 1.000 1.076,90 25 26,92 1.100 1.103,82

5 1.000 1.103,82 25 27,59 1.125 1.131,41

6 1.000 1.131,41 25 28,29 1.150 1.159,70

7 1.000 1.159,70 25 28,99 1.175 1.188,69

8 1.000 1.188,69 25 29,72 1.200 1.218,41

9 1.000 1.218,41 25 30,46 1.225 1.248,87

10 1.000 1.248,87 25 31,22 1.250 1280,09

11 1.000 1.280,09 25 32,00 1.275 1312,09

12 1.000 1.312,09 25 32,80 1.300 1.344,89

En la tabla se observa que el monto a interés simple crece en forma aritmética y su gráfica

es una línea recta. Sus incrementos son constantes y el interés es igual en cada periodo

de tiempo. El monto a interés compuesto, en cambio, crece en forma geométrica y su

gráfica corresponde a la de una función exponencial. Sus incrementos son variables.

Cada periodo presenta un incremento mayor al del periodo anterior. Su ecuación es la de

una línea curva que asciende a velocidad cada vez mayor.

En el diagrama anterior se puede observar que los flujos ubicados en el periodo 3,5 y n-2,

son valores futuros con respecto al periodo 1 o 2, pero serán presente con respecto a los

periodos n-1o n

95

PERIODO

El tiempo que transcurre entre un pago de interés y otro se denomina periodo y se

simboliza por “n”, mientras que el número de periodos que hay en un año se representa

por “m” y representa el número de veces que el interés se capitaliza durante un año y se

le denomina frecuencia de conversión o frecuencia de capitalización.

A continuación se presenta una tabla que muestra las frecuencias de capitalización más

utilizadas o comunes.

Capitalización Intereses

Frecuencia conversión

Diaria 365

Semanal 52

Quincenal o Bimensual 24

Mensual 12

Bimestral 6

Trimestral 4

Cuatrimestral 3

Semestral 2

Anual 1

En un ejercicio o problema de interés compuesto al especificar la tasa de interés se

menciona inmediatamente el periodo de capitalización. Por ejemplo:

30% Anual capitalizable o convertible diariamente.

28% Liquidable o capitalizable semanalmente.

24% Capitalizable Quincenalmente.

36% Anual convertible mensualmente.

32% Anual liquidable bimestralmente.

40% Anual capitalizable Trimestralmente.

20% Anual compuesto cuatrimestralmente.

35% Anual convertible semestralmente.

18% Anual liquidable anualmente.

Si no se especifica el periodo de referencia, éste se debe entender de forma anual. Es

decir, 28% Liquidable o capitalizable semanalmente, es lo mismo, que si se manifestara

28% Anual Liquidable o capitalizable semanalmente.

El periodo de capitalización es un dato indispensable en la solución de problemas de

interés compuesto. Al realizar un cálculo de interés compuesto es necesario que la tasa

96

de interés esté expresada en la misma unidad de tiempo que el periodo de

capitalización.

Ejemplo

Si un documento ofrece pagos semestrales y tiene una duración de 3 años. ¿Cuánto vale

m y n?

Solución:

Un año tiene 2 semestre, por lo tanto, m=2

Teniendo que la obligación financiera dura 3 años, el número de veces que el

documento paga interés por año será 2, por consiguiente en 3 años, pagará 6 veces, lo

que indica que n=6

VALOR FUTURO EQUIVALENTE A UN PRESENTE DADO.

El valor futuro, se puede encontrar a partir de un valor presente dado, para lo cual, se

debe especificar la tasa de interés y el número de períodos, y a partir de la siguiente

demostración, se determina la fórmula que permite calcular el valor futuro.

PERIODO CAPITAL INICIAL INTERES CAPITAL FINAL

1

2

3

4

:

:

N

P P(1+i) P(1+i)2

P(1+i)3

:

:

P(1+i)n-1

Pi P(1+i)i

P(1+i)2i

P(1+i)3i

:

:

P(1+i)n-1

F1=P+Pi=P(1+i)

F2=P(1+i) +P(1+i)i = P(1+i)(1+i) =P(1+i)2

F3=P(1+i)2+P(1+i)2i= P(1+i)2(1+i)= P(1+i)3

F4=P(1+i)3+P(1+i)3i= P(1+i)3(1+i)=P(1+i)4

:

:

Fn = P(1+i)n-1+ P(1+i)n-1i=P(1+i)n-

1(1+i)=P(1+i)n

Se concluye entonces que:

Donde:

F= Monto o valor futuro. P= Valor presente o valor actual. I = tasa de interés por periodo de capitalización.

n= Número de periodos ó número de periodos de capitalización.

F=P (1+i)n

97

La anterior fórmula se puede expresar mnemotécnicamente de la siguiente manera: F=

P (F/P,i,n); que se lee así: hallar F dado P, una tasa i y n periodos. La forma

nemotécnica se emplea cuando se usan las tablas financieras que normalmente se

encuentran al final de los libros de ingeniería económica o de matemáticas financieras.

El término (F/P,i,n) se conoce con el nombre de factor y es un valor que se encuentra en

las tablas financieras. El factor corresponde al elemento (1+i) n de la fórmula, que se

conoce con el nombre de factor de acumulación en pago único.

En las matemáticas financieras toda fórmula tiene asociada un diagrama económico,

para la expresada anteriormente seria:

FD=?

i %/periodo(conocido)

1 2 3 4 5 n-2 n-1 n (periodos)

PD (Conocido)

Ejemplo

¿Cuánto dinero se tiene dentro de seis meses en una cuenta de ahorros que reconoce el

2% mensual si hoy se invierte en una corporación S/. 400.000?

Solución:

i=2%mensual

F=? 0 1 2 3 4 5 6meses

P=$ 400.000

F= P (1+i)n ; por consiguiente: F= 400.000(1+0.02)6=S/ 450.465,

Ejemplo

El 2 de enero se consignó S/. 150.000 en una cuenta de ahorros y deseo saber cuánto

puedo retirar al finalizar el año, si me reconocen una tasa de interés mensual igual a

3%?.

Solución:

98

ï ïï// 3 4 5 12 meses

ï ï 1 2

F=?

Enero 2 i=3%mensual

ï ï

P=$ 150.000

F= P (1+i) n; por lo tanto: F = 150.000(1+0.03)12= S/. 213.864

Ejemplo

Al iniciar los meses de julio y septiembre me propongo ahorrar S/. 150.000 y S/. 210.000

respectivamente y deseo consignar los en una corporación que me reconoce el 4%

mensual. ¿Cuánto dinero tengo el primero de noviembre?.

Ft= F1+F2

Jul Agosto Sept Oct Nov

0 1 2 3 4

S/. 150.000S/. 210.000

F1= P1 (1+i)n; F1=150.000(1+0.04)4 ; F1=150.000(1.04)4= $ 175.479

F2= P2 (1+i)n

; F2= 210.000(1+0.04)4

; F2=210.000(1.04)2=$ 227.136

Ft= F1+ F2= 175.479+ 227.136= $402.615;

CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE EQUIVALENTE DE UN FUTURO DADO.

Sabemos que F= P (1+i)n ; por lo tanto,

El valor presente se puede definir, como el capital que prestado o invertido ahora, a una tasa de interés dada, alcanzará un monto específico después de un cierto número de periodos de capitalización.

La anterior fórmula se puede expresar mnemotécnicamente de la siguiente manera: P=F

(P/F,i,n); que se lee así: hallar P dado F, una tasa i y n periodos. La forma mnemotécnica

P=F(1+i)-n

99

se emplea cuando se usan las tablas financieras que normalmente se encuentran al final

de los libros de ingeniería económica o de las matemáticas financieras.

El término (P/F,i,n) se conoce como el nombre de factor y es un valor que se encuentra

en las tablas financieras. El factor corresponde al elemento (1+i)-n de la fórmula, se

conoce con el nombre de factor de descuento o factor de valor presente para pago

único.

El diagrama económico para la fórmula expresada anteriormente seria:

FD=conocido i %/periodo (conocido)

1 2 3 4 5 n-2 n-1 n (periodos) PD

=?

Ejemplo

Dentro de dos años y medio deseo cambiar mi actual maquinaria empacadora por una

de mayor capacidad. En esa fecha, estimo que puedo venderla por S/.300.000 y la de

mayor capacidad estará costando S/. 1.200.000 ¿Cuánto capital debo consignar en una

entidad financiera que paga el 3%mensual, si deseo adquirir la nueva maquinaria?

Solución:

Como la actual maquinaria la vendería por S/.300.000 dentro de dos años y medio y la

nueva tendría un costo de S/.1.200.000, realmente debo tener consignado en la entidad

financiera en esa fecha S/.900.000.

F=S/. 900.000

i= 3%mensual

0 30meses

Se tiene que: P=?

P=F(1+i)-n

=900.000(1+0.03)-30

=S/. 370.788,08

100

Ejemplo

Calcule P en el siguiente diagrama de flujo si i= 10%.

Solución:

P=?

P1=S/. 150.000 P2=S/. 210.000i=.04 mensual.

Hay que considerar que cada valor que está a la derecha de P, es un valor futuro (F). Según el

diagrama se tendrá:

P=F(1+i)-n=500(1+0.10)-2+700(1+0.10)-4+900(1+0.10)-6=413,22+478,10+508,02

P=S/. 1.399,36

Ejemplo

¿Qué capital es necesario invertir hoy en una institución que capitaliza el 3% mensual a

fin de obtener en dos años S/. 2.000.000?

Solución:

F=S/. 2.000.000

i= 3% mensual

0ï ï ï ï ï// ï

1 2 3 4 5 23 24 meses

P=? entonces, P=F (1+i)-n=2.000.000 (1+0,003)-24=$983.867,47;

Ejemplo

Una persona desea invertir hoy una suma de dinero en una institución financiera para

retirar $2.500.000 dentro de 2años ¿Cuál será la suma a depositar si el rendimiento

reconocido es de 7,01 trimestral?

101

Solución:

Como el interés que se da en el ejercicio es trimestral, y teniendo en cuenta que debe

haber una relación de homogeneidad entre i y n, los dos años se hacen equivalentes a 8

trimestres.

$2.500.000

i= 7,01% trimestral

0 1 2 3 8 Trimestres

P=?

P=F(1+i)-n

=2.500.000(0,0701)-8

=$1.453.935,35;

CALCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS.

Sabemos que: F=P(1+i)n; despejando se tiene:

Ejemplo

¿A cuánto tiempo S/. 1.500.000 es equivalente a S/. 700.000 hoy, sabiendo que el interés que

gana el dinero es del 2.5% mensual?

Solución:

Como la tasa de interés está dada en término mensual, entonces el número de periodos será

también en meses.

F=S/. 1.500.000

i= 2,5%mensual

0 1 2 3 n meses

P=S/. 600.000

Rpta. 37,10 meses

ln

ln (1 )

Fn

P i

102

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERES (i).

Se sabe que: F=P(1+i)n, despejando se obtiene:



1. Hace un año se hizo un depósito de S/. 500.000 en una corporación y hoy el saldo

en dicha cuenta es de S/. 750.000.¿Cuál es la tasa de interés mensual que

reconoce la corporación?.

2. Un capital de S/ 10 000.00 se impuso al 6% de interés compuesto durante 3 años.

Calcular los intereses producidos.

3. Cuántos años estuvo impuesto, a interés compuesto al 5% un capital de 3 2000

000 soles que se convirtió en 4 084 101 soles?.


1. En cuanto se convertirá 25 000 soles, impuestos al 4% anual, durante 2 años,

capitalizándose los intereses cada trimestre?

2. Dos capitales iguales han estado impuestos al mismo tiempo a intereses

compuesto y han producido iguales intereses. El primero al 4, 04%, capitalizando

los intereses al fin de cada año. ¿A qué % estuvo impuesto el segundo capital,

cuyos intereses se capitalizaron semestralmente?.


1. Establece la diferencia entre interés simple y compuesto.

2. En tu práctica cotidiana crees que te es útil el interés simple?

3. En tu práctica cotidiana crees que te es útil el interés compuesto?.

4. En que casos reales crees que aplicarías estos conocimientos.

5. Te fue difícil aprender cada uno de los intereses.

6. De haberte parecido difícil, que acciones tomaste.

1nF

iP

103

DESDE LA PRÁCTICA:


Identifique el comportamiento del listado de números.


Diferencie una sucesión aritmética de una geométrica.

Dada la secuencia de números:

1) 2, 4, 6, 8, 10,… 2) 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384,...

3) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

4) 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,..

Analice el comportamiento de cada una de las secuencias y opine

sobre cada una de ellas

TERCERA UNIDAD

APLICACIONES DE LOS

REALES

SESIÓN QUINCE

PROGRESIONES

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Resuelve problemas

de progresiones a

partir de situaciones

reales.

CONTENIDOS

Progresiones

aritméticas.

Progresiones

geométricas.

INDICADORES

Diferencia

progresiones

aritméticas y

geométricas.

Demuestra

propiedades de

progresiones

aritméticas y

geométricas.

104


PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una progresión aritmética es una sucesión en que cada

término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior

una cantidad fija , llamada diferencia de la progresión.

Observación:

- Si ⇰ la sucesión se dice que es creciente y sus elementos son cada

vez mayores.

- Si ⇰ la sucesión se dice que es decreciente y sus elementos son cada

vez menores.

a) Término general:En una progresión aritmética cada término es igual al

anterior más la diferencia. Así:

.

.

.

( ) .

∴Termino general de una progresión aritmética.

Donde:{ 𝑃

( )

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Cuadro.01

105

b) Suma de 𝒏 términos:En una progresión aritmética finita de términos, la suma

de términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de ellos:

Esto es:

A partir de esta propiedad se obtiene que la suma de los

primeros términos de una progresión aritmética es:

Ejemplo: Calcular la suma de los 70 primeros términos de la progresión

aritmética: 2, 4,6, 8,10,...

Solución

1° Determinación del término :

( ) ⇰ ( ) ⇰

2° Cálculo de la suma:

( 𝑛)

( )

.

II. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el

primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija , llamada

razón de la progresión.

La razón se obtiene al hacer el cociente entre dos términos consecutivos:

a) Término General: En una progresión geométrica cada término es igual al anterior

por la razón.

Así:

( )

106

.

.

.

.

∴Término general de una progresión geométrica.

Donde:{ 𝑃 é

𝑧ó

b) Suma de n términos: La suma de los primeros términos de una progresión

geométrica de razón es:

o

c) Suma de todos los términos: La suma de los infinitos términos de una

progresión geométrica de razón , es:

d) Producto de n términos: En una progresión geométrica el producto de los

términos equidistantes de los extremos es igual al producto de ellos:

Esto es:

A partir de esta propiedad se obtiene que el producto de los primeros

términos de una progresión geométrica de razón es:

𝑃 √( )

(

)

Cuadro: 2

107



1. Determina la razón de la siguiente progresión geométrica: 1,2,4,8,16….

2. Escribe el término general de la siguiente progresión geométrica:4,12,36,108,…

3. Calcula la suma de todos los términos de la progresión geométrica: 8, 4, 2,1,...

4. Hallar la razón de una progresión aritmética si se sabe que la suma de n términos

es (5 ).

5. En una P.A. ...5…47…159, el número de términos que hay entre 47 y 159 es el

triple del número de términos que hay entre 5 y 47. Hallar la razón de esta

progresión.

6. El guardián de un pozo de una hacienda ha plantado a partir del pozo, cada 5

metros y en la dirección norte un total de 27 árboles y puedes sacar agua del pozo

cada vez para el riego de un solo árbol. ¿Cuánto tiene que andar para regar los 27

árboles, sabiendo que del pozo al primer árbol hay 8 m. de distancia?.

7. En una P.G. el primer término es 7, el último es 448 y la suma 889. Hallar la razón

y el número de términos.

8. Una P.A. y otra P.G. de tres términos cada una, tiene el mismo primer término (4) y

también el segundo es el mismo, pero desconocido. El tercer término de la P.G. es

del tercer término de la P.A. Hallar los números.


1. En una P.A. se conoce que ; ; 5 . Calcular el valor de

2. Hallar la razón de una P.A. si la suma de n términos es (5 ).

3. Se deja caer una bola desde una altura de 17 m.; en cada rebote la bola se eleva

los 2/3 de altura desde la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia recorre la bola

hasta que queda teóricamente en reposo?.

108

Un profesor decide alquilar un auto cuyas

condiciones son las siguientes:

a) S/. 20.00 sólo por concepto de alquiler.

b) Por cada kilómetro recorrido debe pagar S/. 0,50

céntimos.

El modelo matemático es 𝒙

¿Será este el modelo matemático?.

Cuanto pagará si recorre 100 kilómetros.

¿Cuántos kilómetros habrá recorrido si pago al final

del alquiler S/. 200.00?.

DESDE LA PRÁCTICA:

Con esta pregunta se busca qué el participante:

Reconozca la utilidad de un modelo matemático.

Dado una situación real, esta se puede modelar.

Conociendo el modelo matemático, se puede manejar

resultados anticipadamente.

TERCERA UNIDAD

APLICACIONES DE LOS

REALES

SESIÓN DIECISEIS

MODELIZACIÓN

APRENDIZAJE

ESPERADO:

Encuentra el modelo

matemático de un

hecho real simple.

CONTENIDOS

Modelos.

INDICADORES

Define modelo.

Interpreta un hecho

real simple.

109


Modelización: el sentido de la matemática

En la vida real, existen muchos problemas que para ser resueltos, es necesario

conocer el modelo que lo gobierna y por lo tanto controlarlo. Obviamente, que en

este caso abordaremos problemas sencillos. En este sentido se usa la modelización

en el aspecto pedagógico como una técnica didáctica pedagógica que consiste en

interpretar un fenómeno que se produce pudiendo ser este fenómeno físico, químico,

biológico, social, económico, etc. y buscar su solución.

La modelización es una nueva visión de la matemática, ligada a la vida cotidiana y

con más énfasis en el significado que en las técnicas. A continuación presentamos

algunos ejemplos que ilustraran lo anteriormente dicho, para posteriormente

considerar algunos ejemplos.

EJEMPLO:

A partir de una pieza cuadrada de cartón de 18 por 18 pulg2, quitando un pequeño

cuadrado de cada esquina y plegando las alas para formar los lados, se construirá

una caja abierta. Exprese el volumen de la caja resultante como una función de la

longitud x de un lado de los cuadrados eliminados (Hallar el modelo matemático).

Elabore la gráfica.

Solución

En el gráfico se puede apreciar el

Cartón cuadrado de 18 pulgadas cuadradas

y cada esquina un pequeño cuadrado de

lado x los mismos que serán quitados para

formar la caja requerida.

Es fácil ver que al quitar cada cuadrado de

Lado x queda una proción de lado 18 – 2x.

Luego al doblar las alas se formará una caja

MODELIZACIÓN

110

abierta .

En el siguiente gráfico se puede apreciar la caja construida pudiéndose visualizar la

forma de calcular el volumen.

Sabemos que:

LargoxanchoxalturaV

Del gráfico tenemos:

2

(18- )(18- )

(18- )

V x x x

V x x

Que es el volumen en función de la longitud de lado x desechado.

EJEMPLO (Modelamiento matemático)

En un triángulo de 10 unidades de base y altura 6 unidades está inscrito un

rectángulo. Expresar la superficie S de dicho rectángulo en términos de su base.

Solución

Área del triángulo ABC es

(6)(10)

2

30

A

A

Por semejanza de triángulos ABC es

semejante al triángulo AED de lo que

se tiene que

6 10

6 y x

x

18 - x

18 - x

H

111



Ahora resolveremos

Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es p dólares está dado

por 200 3p x . El costo de producir x unidades al mes del artículo es

(650 5 )C x dólares. ¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y

venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2 200 dólares?.

Solución

El ingreso obtenido por vender x unidades al precio de p dólares por unidad es

I = …….x……

El costo de fabricar x unidades es C = ……………..

La utilidad mensual obtenida es U = …………..

U = ………….

Como la utilidad mensual debe ser al menos $2 200, se tiene

……………..……

Luego se tiene la siguiente desigualdad


Problema 1

Un envase cilíndrico tendrá una capacidad (volumen) de 24 pulg3. El costo del

material utilizado en las partes superior e inferior del envase es 3 céntimos de sol por

pulg2 y el costo del material utilizado en la parte lateral es 2 céntimos de sol por pulg2.

Exprese el costo de construcción del envase como una función de su radio (hallar el

modelo matemático).

112

Problema 2

Los biólogos han determinado que, en condiciones ideales, el número de bacterias

en un cultivo crece exponencialmente. Suponga que en principio hay 2 000 bacterias

en cierto cultivo y que 20 minutos después hay 6 000. ¿Cuántas bacterias habrá al

final de una hora?.


¿De lo estudiado, que hecho te pareció más interesante?

¿Fue fácil asimilar la idea de modelamiento?.

¿Qué otros modelos recuerdas desde tu práctica?

¿Para solucionar un problema, crees que será necesario hacer un modelo

matemático?


1. SANTIESTEBAN, Mario. (2000). “Aritmética teoría y práctica”. Editorial San Marcos. Perú


3. POLYA, George. (1971) "El arte de resolver problemas", Editorial Trillas



Matemáticas. Lima

6. VILLÓN, Máximo. (1987). “Álgebra curso teórico práctico”. Editorial Mantaro. Perú

MODULO DE MATEMATICA

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