Modulo Matematica Veterinaria 2012

7/27/2019 Modulo Matematica Veterinaria 2012

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Facultad de Agronoma y Veterinaria

NGRESO 2013Universidad Nacional de Ro Cuarto

MEDICINA VETERINARIA

REA MATEMTICAS


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UNI VERSIDAD NACIONAL DE RO CUARTOFACULTAD DE AGRONOMA Y VETERINARIAMEDICINA VETERINARIAREA MATEMTICAS

INGRESO 2013


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I NTRODUCCIN

Todo alumno interesado en las Ciencias Agropecuarias muestra afinidad con asignaturasrelacionadas con biologa, fisiologa, morfologa, anatoma, patologa, maquinariasagrcolas, produccin vegetal o animal. Sin embargo, al comienzo de esta nueva etapa deformacin y crecimiento, la pregunta ms frecuente es Matemti ca, Por qu?, Paraqu?si yo quiero estudiar Medicina Veterinaria o Ingeniera Agronmica.El objetivo de este material es satisfacer esta inquietud pensando en que la transmisin delos conocimientos bsicos de la asignatura debe hacerse a travs de situaciones aplicadasy contextualizadas a las Ciencias Agropecuarias aumentando el inters y la motivacin

para as de esta manera comprender la necesidad de adquirir dichos conocimientos.En este material, cada concepto matemtico es explicado y ejemplificado a travs desituaciones contextualizadas que introduce al alumno en problemas que encontrar a lolargo de su vida acadmica y profesional.Esto se ha logrado por la experiencia adquirida en estos ltimos aos participando enproyectos de articulacin curricular con el Nivel Medio e interactuando con docentes dedistintas asignaturas de la Facultad de Agronoma y Veterinaria donde se utiliza lamatemtica como una herramienta fundamental.Pretendemos que este mdulo sirva como una gua de estudios que permita reflexionar,analizar, discutir resultados e incorporar conceptos sin reemplazar los libros de texto.


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NDICE ANALTI CO

INTRODUCCIN 2

CAPITULO I: NMEROS1.1- Nmeros Naturales: Propiedades. 51.2- Nmeros Enteros: Propiedades. 51.3- Nmeros Racionales: Propiedades. 61.4- Nmeros Irracionales: Definicin. 71.5- Nmeros Reales: Propiedades. 81.6- Operaciones en R: Multiplicacin, Regla de los Signos, Propiedades;

Potenciacin, Potencia de Exponente Natural, Potencia deExponente Negativo, Propiedades; Radicacin,Propiedades.

8

1.7- Notacin Cientfica. 141.8- Ejercicios de Aplicacin. 14

CAPITULO II: RAZN Y PROPORCIN NUMERICA2.1- Razn Entre dos Nmeros. 172.2- Proporcin Numrica. 172.3- Magnitudes Directamente Proporcionales. 172.4- Regla de Tres Simple Directa. 182.5- Porcentaje. 202.6- Ejercicios de Aplicacin. 21

CAPITULO III: ECUACIONES3.1- El Misterio de las Ecuaciones. 233.2- Definicin. 233.3- Resolucin de Ecuaciones. 243.4- Tipos de Ecuaciones. 263.5- Sistema de Ecuaciones. 273.6- Resolucin de Ecuaciones Racionales. 283.7- Ejercicios de Aplicacin. 29

CAPITULO IV: UNIDADES4.1- Sistema de Unidades. 34

4.2- El Patrn de Longitud. 354.3- El Patrn de Masa. 354.4- El Patrn de Tiempo. 354.5- Introduccin al Anlisis Dimensional. 374.6- Cambios de Unidades. 384.7- Ejercicios de Aplicacin. 41


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CAPITULO V: FUNCIONES5.1- Introduccin. 435.2- Funciones: Definicin. 44

5.3- Funciones Numricas: Definicin. 455.4- Representacin Grafica de Funciones. 475.5- Clasificacin para Funciones Reales: Funciones Crecientes y Decrecientes;

Funciones Pares e Impares.49

5.6- Funcin Lineal. 505.7- Funcin Cuadrtica. 535.8- Ejercicios de Aplicacin. 69

BIBLIOGRAFA 62


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CAPI TULO I : NMEROS

1.1- NMEROS NATURALES

Fue el primer conjunto numrico que se conoci y se lo utiliz fundamentalmente paracontar. Se lo identifica con N

N = 0, 1, 2, 3, 4,...........

PROPIEDADES

1.- Nes un conjunto formado por infinitos elementos2.- Nes un conjunto totalmente ordenado. Es decir, dados dos nmeros naturales, se puedeestablecer exactamente cual es el mayor y cual es el menor. O sea, si ay bson nmerosnaturales distintos, entonces:

ab o ba

3.- Ntiene primer elemento, pero no tiene ltimo elemento. Cualquiera sea el nmeronatural que se elija, siempre es posible hallar su siguiente; basta con sumar uno al nmeroelegido. Pero no siempre es posible hallar su anterior; el cero, por ejemplo, tiene siguientepero no tiene anterior. Por eso el cero es el primer elemento del conjunto.4.- Nes en conjunto discreto. Es decir, entre dos nmeros naturales hay un nmero finitode nmeros naturales.5.- La suma de dos nmeros naturales es un nmero natural.6.- El producto de dos nmeros naturales es un nmero natural.

1.2- NMEROS ENTEROS

El conjunto Nno basta para resolver todos los problemas que se plantean a diario Cmoharamos para resolver la ecuacin: x + 6 = 2? Para ello se crearon los nmeros enteros y selos identifica con Z

Z= ......., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,......

PROPIEDADES

1.- Zes un conjunto formado por infinitos elementos.

2.- Zes un conjunto totalmente ordenado.3.- Zno tiene primer elemento ni ltimo elemento. Es decir, todo nmero entero tiene suanterior y su siguiente.4.- Zes un conjunto discreto.5.- La suma de dos nmeros enteros, es un nmero entero.6.- El producto de dos nmeros enteros, es un nmero entero.7.- Todo nmero entero atiene su opuesto b, tal que:

a+ b= b+ a= 0


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1.3- NMEROS RACIONALES

Los nmeros fraccionarios se inventaron como respuesta a la necesidad de expresar partes

de la unidad, en especial, cuando se realizaban mediciones. Por este motivo, tuvieron undesarrollo apreciablemente anterior al de los nmeros enteros.Los enteros y las fracciones positivas y negativas forman el conjunto de los nmerosracionales. Este conjunto se indica porQ.Los nmeros racionales se pueden escribir como fraccin o como expresiones decimales.Por ej:

5

3se puede escribir como 6,0 71,2 se puede escribir como

100

271

Dentro de las expresiones decimales, podemos encontrar las exactas y las peridicas. Por

ej:

75,04

3 (expresin decimal exacta)

31,015

2 (expresin decimal peridica)

En las expresiones decimales peridicas, hay infinitas cifras decimales a la derecha de la

coma, que aparecen con determinada periodicidad (estas cifras se indican dibujndolasdebajo de un arco).Resumiendo:Los nmeros racionales son aquellos que se pueden expresar como el cociente o razn dedos nmeros enteros. De all su nombre. La nica condicin es que el denominador seadistinto de cero.

PROPIEDADES

1.- Qes un conjunto formado por infinitos elementos.2.- Qes un conjunto totalmente ordenado.3.-

Qno tiene primer elemento ni ltimo elemento.

4.- Entre dos nmeros racionales existen infinitos racionales. Por eso se dice que es unconjunto denso. Como consecuencia de esto, no tiene sentido hablar del anterior y delposterior de un nmero racional.


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SIMPLIFI QUEMOS NMERO RACIONALES

Simplificar una fraccin es sustituirla por otra equivalente con los trminos ms sencillos.Esto lo pods hacer cuando numerador y denominador se pueden dividir por un mismonmero:

60

3=

20

1;

12

15=

4

5;

120

180=

2

3

Para que te resulte ms fcil es conveniente que simplifiques dos fracciones en variospasos:

120

180

= 12

18

= 6

9

=

Cuando una fraccin no se puede simplificar ms, se dice que es irreducible.

Son fracciones irreducibles, por ejemplo:

4

5;20

1;2

3;20

17;15

16

Para ordenar nmeros enteros o por ejemplo nmeros decimales se usa la recta numrica.Si quers comparar dos expresiones decimales, es necesario que las mismas tengan lamisma cantidad de nmeros despus de la coma. Para comparar 0,5 y 0,04.Como 0,5 = 0,50 entonces comparo 0,50 > 0,04 y luego contesto 0,5 > 0,04.

Si quiero comparar 9,12 y 9,135 entonces:9,12 = 9,120 luego comparo 9,120 < 9,135 y contesto:9,12 < 9,135

Si quiero comparar 0,00135 y 0,005 entonces:0,005 = 0,00500 luego comparo 0,00135 < 0,00500 y contesto:0,00135 < 0,005

1.4- NMEROS IRRACIONALES

Los nmeros irracionales son aquellos que no pueden escribirse como el cociente o raznde dos nmeros enteros. Se caracterizan porque a la derecha de la coma decimal, poseeninfinitas cifras decimales no peridicas. A este conjunto se lo indica por I. Son nmerosirracionales las races de nmeros naturales que no son enteras, (la relacin entre elpermetro y el dimetro de una circunferencia), el nmero e(la base de los logaritmosnaturales), la raz cuadrada de 2, etc.


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1.5- NMEROS REALES

Es el conjunto formado por los nmeros racionales e irracionales. A este conjunto se lo

indica porR.

NNaturales

ZEnteros

Naturales QNegativos Racionales

Nmeros R

Fraccionarios Reales

IIrracionales

PROPIEDADES

1.- Res un conjunto formado por infinitos elementos2.- Rno tiene primer ni ltimo elemento

3.- Res un conjunto denso4.- Res un conjunto totalmente ordenado

1.6-OPERACIONES EN R`

MULTIPLICACION

vecesb

a...............aaaaa.b

Los nmeros ay bse denominan factores, y el resultado, producto. Por ej:

veces433333.4

veces2

552.5


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REGLA DE LOS SIGNOS

si se multiplican dos factores positivos o dos factores negativos, el producto es positivo

si se multiplican dos factores de signos distintos, el producto es negativo

PROPIEDADES1.- Conmutativa:

a.b = b.a

Por ej:

3.4 = 4.3 = 12

2.- La multiplicacin es distributiva respecto de la suma y la resta:

a.(b + c) = a.b + a.c

a.(bc) = a.ba.c

Por ej:

3.(4 + 5) = 3.4 + 3.53.9 = 12 + 1527 = 27

4.(53) = 4.54.3

4.2 = 20128 = 8

POTENCI ACIN

vecesn

n a.................a.a.a.aa

Al nmero ase lo denomina basey al nmero n, exponente. Al resultado, se lo denominapotencia.

Por ej:

veces3

2.2.22 3

veces2

2 5.55

POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL si el exponente es un nmero par, la potencia es positiva si el exponente es un nmero impar, la potencia lleva el signo de la base


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10

Por ej:32 = 9 33 = 27

(-5)2 = 25 (-2)3 = -8

POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO

n

nnn

a

b

a

b

b

a

Por ej:

9

16

3

4

3

4

4

32

222

PROPIEDADES

1.- La potencia primera de un nmero es ese mismo nmero

a1 =a

Por ej:

51 = 5 , 71 = 7

2.- La potencia cero de cualquier nmero (distinto de cero), es igual a uno

a0 = 1 (a 0)Por ej:

50 = 1 (-7)0 = 1

3.- La potencia no es distributiva respecto de la suma y la resta

(a + b)n an + bn(ab) n anbn

Por ej:

(3 + 5 )2 32 + 5282 9 + 2564 34

(3 - 5 )2 32 - 52(-2)2 9 - 254 -16


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RADICACIN

ran

La expresin anterior se lee la raz ensima de a es r, donde nse llama ndice, aradicandoy r raz. El smbolo se llama radical.

Aqu se deben diferenciar los casos en que n es par o impar:

Para n par y a 0: arra nn

Para n impar: arrann

Por ej:

392

283

283

PROPIEDADES

1.- La radicacin no es distributiva respecto de la suma y la resta:

nnn baba

nnn baba Por ej:

75

4325

169169

48

61064

3610036100

2.- La radicacin es distributiva respecto de la multiplicacin y la divisin

nnn baba

nnn baba


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13

Por ej:

66

3236

9494

22

5104

2510025100

3.- Races sucesivas

mnn m xx

Por ej:

22

648

6464

63

233 2

4.- Raz de exponente racionaln

mn m xx

Por ej:

232 3 44

5.- Simplificacin de radicales:

si n es impar: xxxn

nn n

Por ej: 222 3

33 3

si n es par:xxn n

Por ej:33)3( 2


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1.7- NOTACIN CIENTIF ICA

La notacin cientfica es una forma de expresar nmeros que resulta muy conveniente

cuando se necesita manipular nmeros muy grandes o muy pequeos. Consiste en expresaral nmero como un producto entre un nmero decimal, cuyo valor absoluto sea mayor oigual a uno y menor que diez, y una potencia de diez. Por ej:

700 = 7.102 0,0005 = 5.10-45600 = 5,6.103 0,0921 = 9,21.10-2

Qu es la notacin cientfica?

Para definir con total claridad lo que esto significa consideremos el siguiente ejemplo:La poblacin de cierto microorganismo en un determinado medio de cultivo es de6.000.000.000.Veamos si encontramos una forma ms abreviada para expresar este valor.Si te fijs, vers que 6.000.000.000 es lo mismo que multiplicar 6 por 1.000.000.000,

entonces,6.000.000.000 = 6 1.000.000.000 = 6 10 10 10 10 10 10 10 10 10 = 6 109 esteresultadose lee: seis por diez a la nueve

Otro ejemplo sera:Sabas que el tiempo que tarda la luz en atravesar el vidrio de una ventana es de0,000000000013 segundos?

0,000000000013 = 12

10

13

0001000000000

1313 . 10-12 = 1,3 .10. 10-12 = 1,3 . 10-11

A esta manera de escribir los nmeros se la llama notacin cientf ica.

Un nmero est expresado en notacin cientfica cuando se lo escribe de forma: p . 10k,donde p es un nmero entero o decimal, cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 ymenor que 10, y k es un nmero entero.

1.8- EJERCICIOS DE APLI CACIN

Ejercicio N1: Aplicando las propiedades correspondientes, halla:

a) 3 729 e) 4 64 =

b) 3 5 30x f)

81

16

c) 55 216 g) 312


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15

d) 34

3

8

5

h) 2

1

4

11

Ejercicio N2: Expresa el radical que corresponda:

a) 21

8 b) 32

5

c)

23

4

1d) 2

149

e) 43

2 f) 53

4

Ejercicio N3: Expresa como potencia

a) 5 27 b) 4x

c) 3 7 d) 3 5

e) 9x f) 3 125

Ejercicio N4: Calcular las siguientes potencias

a)

21

25

4b) 2

1121

c) 31

125 d) 32

8

e)

23

4

1f) 5

232

Ejercicio N5: Aplica propiedades para resolver los siguientes ejercicios:

a) 3333 52

221

b)

411

43

9

4

9

4

9

4


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16

c)

bbb 232

d) 51

54

44

e)

54

21

32 f)

21

425

g)

53

52

xx h)5

1

5

1 2/3-1-

Ejercicio N6: Resuelve:

a)

52

32

328 b) 32

638 ba

c)

5

2

3

2

24332

278 d) 329664 ba

Ejercicio N7: Resuelve aplicando las propiedades correspondientes:

a) 3 64 b) 1025

c) 4 64 d) 3 10 30x

e) 8116 f) 33 49

71

g) 55 216 h) 34

3

8

5

i) 2

1

4

11

Ejercicio N8: Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros:

a) 7980000000 = b) 0,00000000259 =c) 0,00000007 = d) 7000000000000 =e) 5789000 = f) 0,00015 =g) 5800 = h) 79 . 10-10 =i) 135 . 1010 =


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Ejercicio N9: Resuelve los siguientes clculos y expresa los resultados en notacincientfica:

a) 58 103101,2 b) 79 102108 c) 374 10151051012,3 d) 379 107,1106,2102,5


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CAPITULO I I : RAZN Y PROPORCIN NUMRICA

2.1- RAZN ENTRE DOS NMEROS:

La razn entre dos nmeros a y b es el cocienteb

a, por ejemplo la razn entre 10 y 2 es 5,

ya que 52

10 y la razn entre los nmeros 0,15 y 0,3 es

2

1

30,0

15,0

2.2- PROPORCIN NUMRICA:

Los nmeros a, b, c y d forman una proporcin si la razn entre a y b es la misma queentre c y d, es decir

d

c

b

a , esto se lee de la siguiente manera: a es a b como c es a d.

Por ejemplo, los nmeros 2:5 y 8:20 forman una proporcin, ya que la razn entre 2 y 5 es

la misma que la razn entre 8 y 20, es decir20

8

5

2

En la proporcind

c

b

a hay cuatro trminos; a y dse llaman extremos, c y bse llaman

medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es:

En toda proporcin, el producto de los extremos es igual al de los medios.

As en la proporcin anterior

20

8

5

2 se cumple que el producto de los extremos da 2 . 20

= 40 y el producto de los medios da 5 . 8 = 40

EN GENERAL: cbdad

c

b

a


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2.3- MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple ... cantidad de la primera corresponde doble,

triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamenteproporcionales.

Ejemplo 1:

Una bolsa de fertilizante (urea) pesa 20 Kg Cunto pesan 2 bolsas?

Un cargamento a granel de urea pesa 520 Kg Cuntas bolsas se podrn llenar?

Para pasar de la 1 fila a la 2 basta multiplicar por 20

Para pasar de la 2 fila a la 1 dividimos por 20

Observa que...

60

3

40

2

20

1

Las magnitudes nmero de bolsas y peso en Kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de nmero de bolsas a Kg es 20.

2.4- REGLA DE TRES SIMPLE D IRECTA

La regla de tres es una operacin que consiste en encontrar el cuarto trmino de unaproporcin, a la que solo se le conocen tres trminos.

Puede ser simple cuando solamente intervienen en ella dos variables o compuesta cuandointervienen tres o ms variables.

Toda regla de tres presenta una incgnita y una hiptesis. La hiptesis est constituida porlos datos del problema que se conocen y la incgnita por el dato que se busca. De acuerdo ala relacin con la incgnita, puede ser directa cuando los aumentos en una variable

Nmero debolsas

1 2 3 ... 26 ...

Peso en Kg. 20 40 60 ... 520 ...


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21

?85

1120

XKm

hKm

donde hX 708,0 , o lo que es equivalente min48,42X

Y ahora seguramente te nimas a calcular el tiempo que te insumira hacer los restantes 35Km. de camino de tierra a 90 Km/h,

Entonces tus clculos te tienen que haber dado como sigue:

?35

190

XKm

hKm

donde hX 38,0 o lo que es equivalente

?38,0

min601

Xh

h

donde minX 8,22 .

Ejemplo 4:

La produccin de materia verde de un campo en la zona de Ro Cuarto es deaproximadamente 42.500 kilogramos por hectrea y por ao.

El porcentaje de agua de esa materia verde es de un 81,5 %, Calcular los kilos de materiaseca (MS) presente en ella?

Interpretemos qu significa que la materia verde tenga un 81,5 % de agua, esto quiere decirque por cada 100 Kg de materia verde tenemos 81,5 Kg de agua y 18,5 Kg de materia seca.

Como nos piden los kilogramos de materia seca por hectrea y por ao caemos de nuevo enuna regla de tres:

?%5,18

500.42%001

X

Kg

donde KgX 5,7862 MS, este valor corresponde a la produccin de materia seca de lapradera.


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Ejemplo 5:

En un lote destinado a la siembra de maz se realiza un anlisis de suelo que tiene en tantos

resultados una deficiencia de fsforo, para ello un ingeniero agrnomo aconseja fertilizarponiendo 20 kilogramos de fsforo por hectrea, si el lote posee una superficie de 84hectrea, Cuntos kilogramos tendr que poner el lote?

?84

201

Xha

fsforodeKgha

donde KgX 1680 de fsforo.

2.5- PORCENTAJE

En casi todas las asignaturas que curses a lo largo de estos aos vas a tener que trabajar conporcentajes pero entonces Qu es porcentaje?

En lneas generales podemos decir que porcentaje es una parte de un todo, por ejemplo:

Si vos tens una pizza de 8 porciones y te comes 2 porciones, te ests comiendo el 25 % detu pizza.

Es muy comn que los porcentajes se representen en diferentes formas grficas ac temostramos una de ellas Diagrama de Torta:

Trabajar con porcentajes implica simplemente resolver una regla de tres. Te presentamosalgunos conceptos bsicos.

Ejemplo 6:

Un cabaero tiene 180 vacas de la raza Hereford y quedan preadas 140, el ndice depreez es el porcentaje de animales que quedaron preados respecto del total de animalesque fueron servidas y viene dado por:


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?140

%001180

XVacas

Vacas %7,77X

Mientras que para calcular el ndice de paricin se procede de forma similar a la anterior,pero ahora es el porcentaje de animales vivos nacidos respecto del total que nacieron, conlo que:

?130

%001140

XTerneros

Terneros

%85,92X ste ser el ndice de paricin.


Ejercicio N1:

Se necesita comprar herbicida, para pasar en un lote con yuyo colorado, el productocomercial est formulado al 42,5 % v/v, esto quiere decir que por cada 100 ml de solucin(herbicida) tenemos 42,5 ml del principio activo (soluto). Adems se sabe que el volumende principio activo recomendado a emplear es de 0,9 litro por hectrea, si el lote tiene 90hectreas cuntos litros de herbicida se necesitaran?

Ejercicio N2:

Las dimensiones de un lote son de 1x103 por 1x103 m o de 1Km por 1 Km, si la cantidad desurcos a sembrar es de 1923 y por cada pasada del tractor se siembran 14 surcos Podrascalcular cuntas veces tiene que pasar el tractor para cubrir todo el lote?.

Ejercicio N3:

Cul es el tiempo que demora en realizar una pasada el tractor del ejercicio anterior sisabemos que este avanza a 4,5 Km/h y la longitud de cada pasada (el largo del lote) es de 1

Km?

Ejercicio N4:

Un veterinario tiene que vacunar un grupo de 5 novillos, que poseen problemasrespiratorios, de 90 Kg de peso vivo cada uno. Para ello vacuna con un antibitico de lamarca Nuflor, las dosis recomendadas son dos con un intervalo de 48 horas y el volumen es


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de 1 ml por cada 15 Kg de peso vivo. Cuntas dosis tiene que poner el veterinario? Si elfrasco viene en una presentacin de 100 ml, Cuantos debo comprar?.

Ejercicio N5:Si tenemos un potrero de 20 metros por 36 metros, y se necesita alambrarlo con 5 hilosCuantos metros de alambre debemos compra? Tener en cuenta que el lote tiene unatranquera de 4 metros de largo.

Ejercicio N6:

Para saber la capacidad de un tanque australiano se aplica la siguiente formula:

4/)( 22 alturadiametroaguadelalturaradioltVolumen

Si queremos tener un tanque con una capacidad de 10.900 litros y un dimetro es de 3,74metros, Qu altura deber tener?

Ejercicio N7:

Cuando la mosca de los cuernos comienza a afectar a los vacunos, los veterinariosrecomiendan vacunar con una dosis de 10 centmetros cbicos por cabeza. Si el bidn en elcual viene este antiparsito es de 1,5 litros y se tiene una poblacin de 2149 vacunosCuantos bidones se tendrn que comprar?

Ejercicio N8:

En relacin al ejercicio anterior; si se gastan 925 cm3 del antiparsito Cul es el porcentajeque queda en el bidn?


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CAPI TULO I I I : ECUACIONES

3.1- EL M ISTERIO DE LAS ECUACIONES

Antes de hablar de ecuaciones necesitamos identificar el concepto de igualdad.

Llamamos igualdad a elementos que tienen el mismo significado, como podemos ver en lossiguientes ejemplos:

49)1(10523

En cada igualdad hay 2 miembros separados por el signo =

Primer miembro: en el primer ejemplo es 3 + 2; en el segundo, )1(105

Segundo miembro: en el segundo, 9 - 4.

Ahora que conocemos las igualdades, podremos desarrollar el concepto o la definicin deecuacin.

3.2- DEF INI CIN

Los mtodos para resolver ecuaciones datan de los tiempos de los babilonios (2000 a.C.).La forma que tenemos de enunciar que dos cantidades o expresiones son iguales esmediante una ecuacin (o igualdad). Podemos entonces definir a las ecuaciones como unaigualdad entre expresiones algebraicas (sucesin de trminos constituidos de nmeros yletras, cada trmino es separado del otro por un signo "+" "-"), en la que intervienen una oms letras llamadas incgnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que estn aambos lados del signo igual son los miembros de la ecuacin: primer miembro el de laizquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solucin de una ecuacin a unvalor o conjunto de valores de la incgnita (x), para los cuales se verifica la igualdad

Por ej. 2x - 3 = x + 5 que se denomina ecuacin en x

Por ejemplo:

5 + x = 12
http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htmhttp://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm


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26

La xrepresenta al nmero que sumado con 5 tiene como suma al 12. Para saber cul es eltrmino que falta, en este caso aplicamos la operacin inversa: sustraccin.

x = 12 - 5

x = 7

En esta ecuacin el valor de x es 7, porque5 + 7 = 12.

Observamos que este enunciado tiene dos partes o expresiones separadas por elsigno =, una en el lado izquierdo (LI), y otra en el lado derecho (LD).

Es una expresin de igualdad con una variable, la x.

La solucin, o raz, de la ecuacin es un nmero aque produce una expresin ciertaal sustituirlo por la x, es decirasatisface la ecuacin.

Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones que tienenexactamente las mismas soluciones.

Resolver una ecuacin consiste en hallar todas las soluciones de dicha ecuacin.

Una ecuacin algebraica en x contiene slo expresiones algebraicas comopolinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

Si todo nmero de los dominios de las expresiones de una ecuacin algebraica esuna solucin, la ecuacin se denomina identidad, por ej. x2+2x+1 = (x+1)2.

Si hay nmeros que no sean solucin, la expresin se llama simplemente

ecuacin, por ej. 5x-10 = 2x+8. Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambascarecen de solucin. As, la ecuacin 3x7 = x + 1 es equivalente a 2x8 = 0porque ambas tienen como solucin nica x = 4.

3.3- RESOLUCIN DE ECUACIONES

Resolver una ecuacin es hallar su solucin (soluciones), o podemos llegar a la conclusinque no tiene solucin. Para resolver una ecuacin, se pasa a otra equivalente cuyaapariencia sea ms sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incgnita.

Para ello nos valemos de una propiedad matemtica (propiedad uniforme) que nos permiteponer un mismo nmero en ambos miembros de la expresin algebraica, siempre y cuandose mantenga la igualdad.

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolucin se requieren tcnicas especiales.Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadrticas y bicuadradas.


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27

Generalmente, para resolver ecuaciones, elaboramos una lista de ecuaciones equivalentes(cada una ms sencilla que la precedente), terminando con una ecuacin cuya solucin

podemos hallar con facilidad.

- Podemos sumar o restar la misma expresin en ambos lados de la ecuacin.- Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una ecuacin por una expresin

que representa un nmero real distinto de cero.

MTODO :

- Eliminamos parntesis- Eliminamos denominadores- Agrupamos trminos semejantes- Despejamos la variable- Comprobamos la solucin

Si hay, eliminamos todos los niveles de parntesis que aparezcan comenzando porel ms interno, resolviendo las operaciones indicadas.

Si hay, eliminamos todos los denominadores multiplicando por el m.c.m.(de losdenominadores) ambos lados de la ecuacin.

Agrupamos las expresiones con la variable en un lado (generalmente el izquierdo) ylas expresiones numricas en el otro lado.

Despejamos la variable, obteniendo as la solucin.

Comprobamos si la solucin satisface la ecuacin propuesta, es decir si aparece unaidentidad verdadera.

Si una ecuacin contiene expresiones racionales, a menudo eliminamosdenominadores multiplicando ambos lados por el m.c.m. de estas expresiones. Simultiplicamos ambos lados por una expresin que es igual a cero para algn valorde x, quiz la ecuacin resultante no equivalga a la original.


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28

3

4

12

124

7526

5276

x

x

x

xx

xx

12

1

112

896269181224863224

)36()34()43()28(

22

x

x

xx

xxxxxx

xxxx

validaNox

x

xx

x

x

xx

x

x

xx

x

2

42

6)2(3

)2(2

6)2(1)2(

2

3

2

61

2

3

cuidado!!!!!!

No se permite la divisin por cero, x=2no es una solucin, por tanto la ecuacindada no tiene soluciones.

11

17

1711124201093

)62(2)42(5)3(3

2

2

3

5

42

3

x

xxxx

xxx

xxx

El m.c.m. es (2x-4)(x+3), luego losnmeros 2 y -3 si aparecen en la solucinno seran vlidos, pero no es el caso.

3.4- TI POS DE ECUACIONES

Las ecuaciones con una incgnita suelen tener un nmero finito de soluciones, mientras queen las ecuaciones con varias incgnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen serestudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.

A las ecuaciones polinmicas de primer grado, ax + b = 0, se las llama lineales.

5x + 7 = 3 (es lineal).

(x5)2 + 3 = x21 (No hay que dejarse engaar por las apariencias, esta ecuacin tambines lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene: 10x + 29 = 0).

A las ecuaciones polinmicas de segundo grado que responden a la estructura: ax2 + bx + c= 0, se las denomina cuadrticas. Son ecuaciones de este tipo: x2+5x+3, (x2)2 + 7x


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29

=5 + x. (En este caso, se despeja x de manera que al final queda una ecuacin cuadrtica, osea, un polinomio de grado dos).

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incgnita est bajo un signo radical,como

312 x

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; porejemplo:

1

5

1

2

1

12

xxx

En las ecuaciones exponenciales la incgnita est en un exponente: 2x = 8

En las ecuaciones logartmica (inversa de las de tipo exponencial) la incgnita se encuentraafectada por el logaritmo, acordarse que la solucin debe estar de acuerdo con el dominiode la funcin logartmica): Log (x + 1) = 10.

3.5- SISTEMA DE ECUACIONES:

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar quevarias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.

Sistemas de Ecuaciones Lineales:

Una ecuacin con varias incgnitas es lineal si es de la forma ax + by = c, ax + by + cz= d,, es decir, si las incgnitas aparecen elevadas a la potencia 1 (sin exponentes).

Un sistema de ecuaciones lineales compatible o bien tiene solucin nica (es determinado),o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).

Existen varios mtodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el mtodo desustitucin, el mtodo de igualacin y el mtodo de reduccin. A continuacin se aplican enla resolucin de sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas.

El mtodo de sustitucin consiste en despejar una de las incgnitas en una de lasecuaciones y sustituir su expresin en la otra, la cual se transformar en una ecuacin conuna incgnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incgnita seobtiene, de inmediato, el valor de la otra.
http://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.htmhttp://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.htm


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30

Para resolver el sistema

104

1652

yx

yx

por el mtodo de sustitucin conviene despejar la y de la segunda ecuacin:

xy 410 16)410(52 xx

Se resuelve la ecuacin resultante, pues slo tiene una incgnita:

322

6666221620502 xxxxx

Ahora el valor de x se sustituye en la expresin de y obtenida antes:

y = 104x = 104 3 = 1012 =2

Se ha obtenido as la solucin x = 3, y =2.

El mtodo de igualacin consiste en despejar la misma incgnita en las dos ecuaciones eigualar sus expresiones, obteniendo as una ecuacin con una incgnita. Una vez resuelta seobtiene fcilmente el valor de la otra incgnita.

Para resolver por igualacin el sistema anterior, se puede despejar x y en ambasecuaciones e igualar sus expresiones:

(despejamos x en cada una de las expresiones para igualarlas y de esa manera poder hallarel valor de y)

222

44

44226420220

2202064)10(2)516(44

10

2

516

4

10

2

516

yyyyy

yyyyyy

yx

yx

Por ltimo, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x y se obtiene lasolucin x = 3, y =2.

El mtodo de reduccin consiste en procurar que una de las incgnitas tenga el mismocoeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se eliminedicha incgnita, dando lugar a una ecuacin con slo la otra incgnita. Se resuelve dicha


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31

ecuacin y el valor de la incgnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y conello se puede obtener el valor de la otra incgnita.

3.6- RESOLUCIN DE ECUACIONES RACIONALES:

En este caso tenemos "fracciones" con polinomios. Se recomienda factorizar siempre eldenominador para poder buscar el denominador comn y reducir la operacin a unpolinomio (generalmente de primer o segundo grado) al que se lo resuelve como unaecuacin comn.

Pongamos un ejemplo:

1

51

21

12

xxx

Factorizando:

Como no se repite ningn binomio en la suma, tomamos ambos como "comndenominador". Se opera igual que en una suma de fracciones, se divide )1()1( xx porcada uno de los denominadores y el resultado se lo multiplica por el numerador.

Se simplifican los denominadores quedando una ecuacin lineal.

Se despeja x.

2

36

63

2153

5221

5)1(2)1(

)1()1(

5

)1()1(

)1(2)1(1

)1()1(

5

1

2

1

1

1

5

1

2

1

12

x

x

x

x

xx

xx

xxxx

xx

xxxx

xxx


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32


Ejercicio N 1: Hallar el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones lineales.

a)3.x + 2 = 7b)x + 3 = x + 3c)x + 5 = 0d)x + 73.x = 2.x +1e)x + 35 = xf) 5.x = 6

Ejercicio N 2: Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 35

2.4

x

x

b)

145

23

x

x

c)4

52

3

2

xx

d) 534

32

xx

e) 321

4

3

x

x

f) 21234

xxx

g) 14

1

3

2

xx

h) 52

32

4

13

xx

i) 12

3

6

1

5

42

xxx

j) 73

4

5

2

xx

k) 52

1

62

1

x

l) 01

1

1

1

1

3

2

2

x

x

x

x

x


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33

m)x

x

xx

x

21

21

14

10

12

12

2

Ejercicio N 3: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

144

032

yx

yx

b)

62

54

1

3

2

yx

yx

c)

xy

yx

xyx

33

7

7

5

16

4

10

1

d)

4

5

4

25

3

2

3

7

3

3

4

32

yxyx

yxyx

Ejercicio N 4:

El triplo de un nmero es igual al nmero aumentado en 8. Hallar el nmero.

Ejercicio N 5:

Cuatro veces un nmero es igual al nmero aumentado en 30. Hallar el nmero.

Ejercicio N 6:

En un gallinero hay gallinas y conejos. Cuntos animales hay de cada clase si hay 144

patas y 50 cabezas?

Ejercicio N 7:Un estanciero vendi los 5/7 de su tropilla de caballos; en seguida compr 12; teniendo

entonces 48 caballos menos que al principio. Cuntos tena antes de la primera venta?

Ejercicio N 8:


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34

La capacidad efectiva (Ce) de una maquinaria agrcola, que es el tiempo que tardara una

maquina en trabajar una superficie exacta y conocida, cuya ecuacin es la siguiente:

1,0)/()()/( rhorakmvmahorahaCe Donde a = ancho efectivo (ancho realmente cubierto por cada pasada), v = velocidad, r =

coeficiente de tiempo efectivo, 0,1 coeficiente para adecuar unidades.

Si v =1 m/s, Ce = 4,8 y a = 6 m. Cul ser el valor del coeficiente de tiempo efectivo?

Ejercicio N 9:

Uno de los insectos defoliadores ms importantes es la oruga lagarta, se alimenta de plantas

de sombra, de bosque y de rboles frutales. Una persona vive en un rea en la que oruga seha convertido en un problema y desea rociar los rboles de su propiedad antes de que

ocurra una mayor defolacin. Necesita 128 onzas de una solucin compuesta de 3 partes de

insecticida A y 1 parte de insecticida B. Despus de preparada la solucin se mezcla con

agua. Cuntas onzas de cada insecticida deben ser usadas?

Ejercicio N 10:

Existen varias reglas para determinar las dosis de medicina para terneros especificadas las

de los novillos. Tales reglas pueden basarse en el peso, la altura a la cruz, etc. Si A= edad

del ternero (aos) , D= dosis para novillo y C= dosis para terneros (en aos), a que edad la

dosis para terneros es la misma usando estas reglas? A continuacin se presentan dos reglas

para el clculo

12Re

DACYoungdegla

DA

CCovulinigdegla

24

1Re

Ejercicio N 11:

El permetro de un lote rectangular que va a ser alambrado es de 200 pies y su largo es 3

veces el ancho. Determine las dimensiones del lote?


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35

Ejercicio N 12:

Para regular su temperatura en relacin con el calor ambiental, las ovejas aumentan su

ritmo respiratorio r(por minuto) cuando la longitud de la lana l(en centmetros) disminuye.Supongamos que una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo (promedio)

respiratorio de 160, y aquellas con una longitud de lana de 4 cm tienen un ritmo respiratorio

de 125. Supongamos que ``r``y ``l``estn relacionadas linealmente (a) determine el ritmo

respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm y (b) determine la longitud de la

lana si el ritmo respiratorio es de 105.

Ayuda: 242

125160160,

42

125160

B

x

ydondeBl

x

yr

Ejercicio N 13:

En una granja de 1000 acres se siembra maz y soja. El costo por acre para cultivar maz es

de U$U 65 y para la soja de U$U 45. Si el presupuesto disponible es de U$U 54.325 y hay

que utilizar todo el terreno cuntos acres se deben asignar a cada cultivo?

Ejercicio N 14:

Un aspersor que roca agua con un patrn circular es colocado en el centro de un terreno

cuadrado con rea de 1250 pies2. Cul es el radio ms pequeo que puede usarse si el

campo debe estar totalmente contenido dentro del circulo?, Cul es la superficie de ms

que estoy fulmigando?

Ayuda: calculo de la hipotenusa de un tringulo rectngulo (cateto ms largo)

222 bahip


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36

CAPI TULO IV: UNIDADES

Cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en nmeros se sabe algo acerca de ello; pero nuestro

saber es deficiente e insatisfactorio mientras no seamos capaces de expresarlo en nmeros, lo otro puede significar elcomienzo del conocimiento, pero nuestros conceptos apenas habrn avanzado en el camino de la Ciencia...

Lord Kelvin.

4.1- SISTEMAS DE UNIDADES

Llamamos magnitud a cualquier propiedad fsica susceptible de ser cuantificadaobjetivamente en el proceso de medicin.Medir es comparar una magnitud con otra de su misma especie que se toma como unidad.En toda medicin intervienen necesariamente dos partes: el sistema que queremos medir yel aparato de medida. Es importante reconocer que por mucho cuidado que pongamos en

realizar una medida, nunca obtendremos el valorexacto de una magnitud, por ello todas lasmedidas estn afectadas por un error.En la XIV Conferencia General del Comit Internacional de Pesas y Medidas (1971) sedecidi adoptar un conjunto de magnitudes fundamentales (aquellas magnitudes que nopueden ser definidas o expresadas a partir de otras) de tal manera que todas las dems,llamadas magnitudes derivadas, pudieran expresarse en funcin de las primeras. Ademsse adoptaron tambin las unidades correspondientes a cada una de las magnitudesfundamentales, este proceso dio origen a lo que conocemos como Sistema Internacional,abreviadamente SI(del francs Systme International dUnits). El SI fue adoptado en casitodos los pases salvo los de lengua inglesa, donde se utilizan por norma las unidadesbritnicas. Cabe aclarar que en el trabajo cientfico se emplean en todo el mundo unidades

del SI aunque es necesario a veces realizar el pasaje de un sistema a otro, este mecanismoser descrito oportunamente en este captulo.A continuacin se muestran las magnitudes fundamentales junto a sus unidades bsicas enel sistema Internacional:

Magni tud Un idad Smbolo unidad Smbolo dimensin

Longitud metro m L

Masa kilogramo Kg M

Tiempo segundo s T

Intensidad elctrica amperio A ATemperatura kelvin K K

Cantidad de sustancia mol mol S

Tabla N1: Magnitudes Fundamentales del Sistema Internacional


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4.2- EL PATRN DE LONGITUD:

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaco por la luz durante un tiempo de

1/299.792.458 de segundo. El resto del sistema mtrico se puede derivar simplemente delmetro, las reas se miden en metros cuadrados, los volmenes se miden en metros cbicos,etc. El litro es una medida mtrica de volumen de uso comn. Equivale a la capacidad deuna dcima de un metro cbico. Hay por consiguiente 1000 litros en un metro cbico.

4.3- EL PATRN DE M ASA:

El kilogramo (Kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo. Laverdadera norma de peso est representada por el peso de una barra de una aleacin deiridio y platino que se conserva en Pars. Los pesos se definen tomando un volumenunitario y llenndolo con agua. Un metro cbico de agua es igual a una tonelada mtrica.

Un centmetro cbico de agua es igual a un gramo. Un decmetro cbico de agua esequivalente a un kilogramo. Un litro de agua es equivalente a un kilogramo, puesto que elvolumen de un litro es un decmetro cbico.

4.4- EL PATRN DE TI EMPO:

El segundo (s) es el tiempo ocupado por 9.192.631.770 vibraciones de la radiacin (de unalongitud de onda especfica) emitida por un tomo de cesio.

Adems de las unidades bsicas existen lo que se denomina Unidades SI derivadas sedefinen de forma que sean coherentes con las unidades bsicas. Varias de estas unidades SI

derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI bsicas. Otras han recibidoun nombre especial y un smbolo particular.

TABLAS

A continuacin se muestran tablas con las unidades derivadas y su representacin en elsistema internacional

Magnitud Nombre SmboloSuperficie Metro cuadrado mVolumen Metro cbico m

Velocidad Metro por segundo m/sAceleracin Metro por segundo cuadrado m/sMasa en volumen Kilogramo por metro cbico Kg/mVelocidad angular Radin por segundo Rad/sAceleracin angular Radin por segundo cuadrado Rad/s

Tabla N2: Magnitudes Derivadas del Sistema Internacional
http://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/problemadelagua/problemadelagua.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/problemadelagua/problemadelagua.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/problemadelagua/problemadelagua.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/problemadelagua/problemadelagua.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtml


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Tabla No 3: Las unidades del sistema internacional derivadas connombres y smbolos especiales.

Magnitud Nombre SmboloExpresin en otras

unidades SI

Expresin en

unidades SI bsicasFrecuencia Hertz Hz s-1Fuerza Newton N mKgs-2Presin Pascal Pa Nm-2 m-1Kgs-2Energa, trabajo, cantidad decalor

Joule J Nm m2Kgs-2

Potencia Watt W Js-1 m2Kgs-3Cantidad de electricidadcarga elctrica

Coulomb C sA

Potencial elctricofuerza electromotriz

Volt V WA-1 m2Kgs-3A-1

Resistencia elctrica Ohm VA-1 m2Kgs-3A-2Capacidad elctrica Farad F CV-1 m-2Kg-1s4A2Flujo magntico Weber Wb Vs m2Kgs-2A-1Induccin magntica Tesla T Wbm-2 Kgs-2A-1Inductancia Henry H WbA-1 m2Kg s-2A-2

Tabla N3: Magnitudes Derivadas del Sistema Internacional con Nombres Propios.

Los prefijos, como kilo, deci, etc., se usan mucho en el sistema mtrico. Un prefijo indica lamultiplicacin o divisin de la unidad bsica por 10 uno de sus mltiplos, 100, 1000, etc.Los prefijos utilizados se describen en la siguiente tabla:

Tabla N4: Prefijos del Sistema Internacional.

4.4- INTRODUCCIN AL ANLI SI S DIMENSIONAL.

Asociada con cada cantidad medida hay una dimensin, como lo muestra la tabla N1.Toda ecuacin debe serdimensionalmente compatible, es decir, las dimensiones en amboslados de la ecuacin deben ser las mismas.La atencin a las dimensiones puede a menudo evitar que se cometan errores al escribir lasecuaciones.

Aumentativos Diminutivosx 10 Deca da x 10-1 Deci dx 102 Hecto h x 10-2 Centi cx 10 Kilo K x 10- Mili mx 10 Mega M x 10- Micro x 10 Giga G x 10- Nano Nx 10 Tera T x 10- Pico Px 1015 Peta P x 10-15 Femto F


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Como ejemplo, consideremos que se dispone de la siguiente ecuacin para calcular la

superficie de un potrero:2

llll 2321 S

La representacin esquemtica del mismo puede verse en la figura N1:

Figura No 1

Si los lados (l) estn en metros y debido a que la dimensin correspondiente es Lpodramos expresar:

22

2

22

2

2321

2

mm

LS

LLS

LLLLmS

S

llll

Esto est de acuerdo con las unidades de superficie expresadas en la tabla N 2.

Si la ecuacin hubiese estado escrita de la siguiente manera:2

lll 321 S el anlisis

dimensional sera de utilidad para poner en evidencia el error, esto es:

ERROR

mmm

LLS

LLLmS

S

22

2

2

321

2

lll

l1

l2

l3

l1

l2

l3


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4.6- CAMBIO DE UNI DADESExisten dos formas de trabajar con el cambio de unidades, la primera de ella utiliza la reglade tres y en la segunda se recurre al hecho de que cualquier cantidad puede ser multiplicada

por 1 sin que sta cambie su valor. Explicaremos a continuacin esta segunda forma detrabajo.

Supongamos que un animal corre a una velocidad de 45 km/h y se desea convertir estevalor a m/min, veamos como es posible efectuar este cambio.Como kmm 11000 y adems min601 h podemos plantear:

min

h

mk

m

h

mkVelocidad

60

1

1

100045 notar que 1

1

1000

km

my que 1

min60

1

h

con lo que:min

mVelocidad 750

Aunque por lo general utilizamos unidades del SI, en ocasiones necesitamos cambiarunidades de ste al sistema de unidades britnicas o viceversa, para ello se debe disponerde una Tabla de Conversin de Unidades.A continuacin se adjuntan las principales tablas de conversin de unidades:

LONGITUD

Tabla N5: Tabla de conversin para longitud.

MASA

Tabla N6: Tabla de conversin para masa.

Centmetro Metro Kilmetro Pulgada (in) Pie (ft) Milla (mi)1 centmetro = 1 10-2 10-5 0,3937 3,281x10-2 6,214x10-6

1 metro = 100 1 10-3 39,37 3,281 6,214x10-41 kilmetro = 105 1.000 1 3,937x104 3281 0,6214

1 pulgada (in) = 2,540 2,540x10-2 2,540x10-5 1 8,333x10-2 1,578x10-51 pie (ft) = 30,48 0,3048 3,048x10-4 12 1 1,894x10-4

1 milla (mi) = 1,609x105 1.609 1,609 6,336x104 5.280 1

gramo kilogramo Onza (oz) Libra (lb) Tonelada (ton)1 gramo = 1 0,001 3,527x10-2 2,205x10-3 1,102x10-6

1 kilogramo = 1.000 1 35,27 2,205 3,125x10-51 onza = 28,35 2,835x10-2 1 6,250x10-2 1,830x10-301 libra = 453,6 0,4536 16 1 0,0005

1 tonelada = 1x106 1000 3,527x104 2.205 1


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FUERZA

Tabla N7: Tabla de conversin para fuerza.

ENERGA, TRABAJO, CALOR

Tabla N8: Tabla de conversin para energa, trabajo y calor.

PRESIN

Tabla N9: Tabla de conversin para presin

POTENCIA

Tabla N10: Tabla de conversin para potencia.

dina Newton (N) 1 kilogramo-fuerza (kgf)

1 dina = 1 10-5 1,020x10-61 Newton = 105 1 0,1020

1 kilogramo-fuerza = 9,807x105 9,807 1

Joule (J) Calora (cal) Kilowatt-hora (kW.h)1 Joule = 1 0,2389 2,778x10-7

1 calora = 4,186 1 1,163x10

-6

1 kilowatt-hora = 3,6x106 8,6x105 1

Atmsfera(atm)

Centmetro demercurio(cm Hg)

PascalLibra por pulgada2(lb/in2)

1 atmsfera = 1 76 1,013x105 2.116

1 centmetro de mercurio a0C = 1,316x10-2 1 1333 27,851 pascal = 9,869x10-6 7,501x10-4 1 2,089x10-2

1 libra por pulgada2 = 6,805x10-2 5,171 6,895x103 1

Libra-pie porsegundo(ft.lb/s)

Caballo defuerza(hp)

alora por segundo(cal/s)

Watt (W)(W=N.m/s)

1 libra-pie por segundo = 1 1,818x10

-3

0,3239 1,3561 caballo de fuerza = 550 1 178,1 745,71 calora por segundo = 3,088 5,615x10-3 1 4,186

1 watt = 0,7376 1,341x10-3 0,2389 1


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TEMPERATURA

Tabla N11: Tabla de conversin para temperatura.

UNIDADES AGRARIAS DE USO CORRIENTE:

1 hectrea (ha) = 10.000 m1 hectrea (ha) = 2,471 Acres100 hectreas = 1 km1 quintal = 100 kg1 hectrea = 2,471 acres = 107.640 pies1 cm = 0,00155 pulgadas1 pie = 929 cm = 144 pulgadas1 kg/cm = 14,223 libras/pulgadas1 atmsfera = 1,033 kg/cm

1 m = 1.000 litros1 legua = 5 km

Tabla N12: Tabla de unidades agrarias comunes.

A continuacin se ejemplifica su uso:

Un Ingeniero Agrnomo debe sembrar un lote de 100 ha con alfalfa, ste sabe que ladensidad de siembra de la misma es de 1,838 x10-3 lb/ft2. Cuntos kilogramos de semillasdebe comprar?

Solucin:

328,1 CF donde F = GradosFahrenheit y C = Grados Celsius

)32(555,0 FC

15,273 CK donde K = Grados Kelvin


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ha

Kg

ft

lbx

ha

m

m

tf

bl

Kg

tf

blx

ft

lbx

ha

m

m

ft

lb

Kg

ft

lbx

ft

lbx

73,8910838,1

1

000.10

0929,0

1

205,2

110838,110838,1

1

000.10

3048,0

1

205,2

110838,110838,1

2

3

2

2

2

2

3

2

3

2

2

2

2

3

2

3

Para 100 ha nos da un total de 8973 Kg de semillas.

4.7- EJERCICIOS DE APLI CACION

Ejercicio N 1:

La potencia necesaria para que un colibr pueda revolotear viene dada por la siguienteexpresin:

A

wP

2

3

donde:

P= potencia en Kg m2

/s3

w = Peso del pjaro.

= Densidad del aire en Kg/m3.

A = rea barrida por las alas del animal en m2.

a)En qu unidades debe estar expresado el peso del animal para que la ecuacin seadimensionalmente correcta?

Ejercicio N 2:

La temperatura aproximada Tde la piel en trminos de la temperatura Tedel medioambiente est dada por la siguiente ecuacin:

)20(27,08,32 eTT


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donde ambas temperaturas estn expresadas en grados centgrados.

a) Que trminos de la ecuacin debera modificar si se tiene el valor de la temperatura

ambiente en K?b) El primer trmino del segundo miembro es adimensional, o tiene unidades?, en caso detenerlas especifquelas.

Ejercicio N 3:

Suponga que un indicador radioactivo, como un tinte colorante, se inyectainstantneamente al corazn de un animal en el tiempo t = 0 y se mezcla de manerauniforme con la sangre dentro del corazn. Sea C0la concentracin inicial del indicador enel corazn y suponga que el corazn tiene un volumen constante V. Conforme sangre frescafluye al corazn suponga que la mezcla diluida (de sangre e indicador) sale a una raznconstante positiva r. La concentracin C(t) del indicador en el corazn en el tiempo testdada por la siguiente ecuacin:

Vtr

eCtC 0)(

a)El trmino

V

tr

e

.

deber tener unidades? Justifique con los clculos que considerenecesarios.

b)Si 0C est expresada en g.l-1, qu unidades tendr )(tC ?

c)Podra expresar )(tC en g/m3 si 0C tiene las mismas unidades que en el inciso b?,cmo quedara la ecuacin anterior?

Ejercicio N 4:

En un estudio sobre plantas arraigadas en cierta regin geogrfica, se determin que enterrenos de tamao A (en metros cuadrados), el nmero promedio de especies encontradasfue S y viene dado por:

AS 224,3

a)Qu unidades tiene la constante 3,224?b)Cuntas plantas se encontrarn en 0,10 ha? Si se ha encontrado un total de 8064plantas, cuntos acres se habrn estudiado?


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CAPTULO V: FUNCIONES.

En este tema se retomar el concepto de funcin que se incorpor en el secundario paraluego profundizar sobre algunas funciones de utilidad en las Ciencias Agropecuarias.

5.1- I NTRODUCCINPensemos en dos conjuntos, el conjunto A y el conjunto B, donde algunos elementos delconjunto A se relacionan con elementos del conjunto B. Esta situacin se esquematiza enla siguiente figura:

Figura N 1: Representacin esquemtica de una relacin.

Cuando necesitamos vincular relacionar elementos de dos conjuntos surge la idea de

Relacin.Como las flechas parten del conjunto A y llegan a B, estos conjuntos se llaman partida

y llegada de la relacin respectivamente.Observemos que pueden existir elementos del conjunto A que no estn relacionados conningn elemento de B.Entonces el conjunto de los elementos de la partida que estn asociados a algunos de lallegada, forman un subconjunto que se denomina Dominiode la relacin.As como hemos agrupado los elementos que son partida de alguna flecha, agrupamos los

elementos que son llegada o punta de alguna flecha en el conjunto B para formar elsubconjunto de la llegada llamado Imagende la relacin.

Formalizando:Una relacin R de A en B hace corr esponder a elementos del pr imer conjun to, elementosdel segundo conjunto.

El dominio y la imagen de la relacin quedan definidos por comprensin de la siguientemanera:

Dom (R) = xA / existe y B x R y

Img (R)=yB / existe x A x R y


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Esto se lee: el dominio de la relacin est formado por x que pertenece al conjunto A, talque existe un y que pertenece al conjunto B y x est relacionado por la relacin R con el

elemento y (del mismo modo se lee imagen de R).

Si ahora consideramos la siguiente figura:

Figura N 2: Representacin esquemtica de una funcin.

En este caso vemos que el dominio de esta relacin coincide con el conjunto de partida, esdecir de todos los elementos de la partida salen flechas.Vemos adems, que de cada elemento de la partida sale una sola flecha.Concentraremos nuestra atencin en estas relaciones particulares que tienen un nombreespecial, el de FUNCIN.

5.2- DEF INI CION DE FUNCIN

Una funcin de A en B es una relacin que asocia a cada elemento de A uno y solo unode B, l lamado su imagen.

En sntesis:De cada elemento de la partida salen flechas.De cada elemento de la partida sale una sola flecha.En base a la definicin, los siguientes diagramas representan funciones.

Figura N 3: Representacin esquemtica de diferentes funciones.


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A continuacin damos expresiones en lenguaje coloquial y la correspondiente notacin enlenguaje simblico:

1) f es una funcin de A en B f: AB2) f hace corresponder al x A, el y B f: xy3) y es la imagen por f de x y = f(x)

5.3- FUNCIONES NUMRICAS

Veremos ahora algunas funciones particulares, las funciones numricas, aquellas donde sudominio e imagen estn compuestos por nmeros.

Ejemplo 1:

La poblacin de vacas en un establecimiento ganadero segn los aos, a esta situacin lapodemos expresar mediante tablas:

Ao N de Vacas2000 1802001 1502002 2002003 180Tabla N1: Poblacin de vacas.

Ejemplo 2:La produccin de leche en un tambo. Esta puede variar segn la hacienda y tambin segnla poca del ao por lo tanto podemos tener as distintas funciones.

N de Vacas Cantidad promedio deLeche diar ia ( l t/da)

15 30020 400

Tabla N2: Poblacin de vacas versus produccin de leche.


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MesProduccin promedio

De leche diar ia de una vaca(lt/ da)

1 202 233 214 195 206 187 178 229 2310 19

11 2012 17

Tabla N3: Produccin de leche versus meses del ao.

Como vemos en estos ejemplos las funciones van desde un conjunto de nmeros (Reales oComplejos) a otro conjunto tambin formado por nmeros (Reales o Complejos). A estasfunciones que relacionan conjunto de nmeros las llamaremos funciones numricas, estoes:

DEFI NICIN:Una funcin numrica es una regla que asocia a cada nmero del primer conjun to uno

y solo uno del segundo conjunto.

Ejemplo 3:Si el conjunto A es igual al conjunto B y es igual al conjunto de los nmeros naturales (osea A = B = Naturales) y la regla que asocia a ambos conjuntos es a un nmero del primer

conjunto le asignamos su triplo.La representacin es la siguiente:

Figura N4: Representacin esquemtica de una funcin numrica.


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Vemos que es imposible completar los diagramas pues el conjunto de los nmeros naturalestiene infinitos elementos, por lo tanto es necesario especificar para un x genrico cual es ely que le corresponde:

f: x3x f (x) =3x y =3x

Observamos que y depende de x, por lo cual usualmente a x se la llama variableindependiente y a yvariable dependiente.En general suele darse solo la regla que asocia a un nmero x del dominio, uno de lallegada, expresada mediante una ecuacin sin especificar el dominio. En este caso, eldominio se debe tomar como el mayor conjunto donde, dado x, podamos resolver lasoperaciones indicadas.Ejemplo 4:

1) Si 23)( 32 xxfx 23 32 xxy Dom(f)= todos los nmerosreales

2) Si 52)( xfx 52 xy Dom(f)=x Reales / 2x-50o Dom(f)=x Reales / x5/2

ya que 2x-5 puede resolverse siempre, pero la 52 x existe solo si 2x-3 0 (no podemosresolver la raz cuadrada de un nmero negativo ya que el resultado sera un nmerocomplejo, no un nmero real).

5.4- REPRESENTACIN GRF ICASi consideramos ahora la funcin real dada por el siguiente diagrama:

2)( xfx o2xy

Figura N 5: Representacin esquemtica de 2xy

Vemos que la relacin2xy , permite vincular un par de nmeros, que es el par que

verifica la ecuacin. As, para cada x del dominio, tenemos el valor de y que le correspondeal calcular el cuadrado.


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Podemos indicar los pares: (1;1), (1/2 ; 1/4), (/2 ; 2/4), (2 ; 4) escribiendo como primerelemento uno del dominio y como segundo su imagen. Estos pares se denominan paresordenadosy los elementos que lo forman, sus coordenadas.

DEFI NICIN:Un par ordenado es una dupla de elementos, denotado por (a;b), tal que (a;b) = (c;d) si ysolo si a=c y b=d.Para representar grficamente una funcin se toma un sistema de ejes cartesianosortogonales (dos rectas que se cortan formando 4 ngulos iguales, graduados en unidadesno necesariamente iguales). El punto de interseccin es el origen del sistema y las flechasindican el sentido positivo de los ejes.En el eje horizontal llamado eje de las x eje de las abscisas, se ubican los puntos deldominio y en la recta vertical, llamada eje de las y eje de las ordenadas, los elementos dela imagen. Luego el par (a;b) corresponder al punto del plano que se obtiene al intersecar

la recta vertical que pasa por a y la recta horizontal que pasa por b.

Figura N 6: Representacin de un par ordenado.

Notar que estos dos ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes, numerados en sentidoantihorario.

Figura N 7: Cuadrantes de un plano cartesiano.

Ejemplo 5:

Teniendo un grfico Cmo sabemos si corresponde o no a una funcin?

x

y

1er Cuadrante

3er Cuadrante

2do Cuadrante

4to Cuadrante

x

y

1er Cuadrante

3er Cuadrante

2do Cuadrante

4to Cuadrante


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La respuesta se obtiene trazando una recta vertical, si sta corta al grfico mas de una vezentonces no representa una funcin ya que para un mismo valor de x tendamos ms de unvalor de y.

En la figura N 8 se dan diferentes representaciones donde algunas de ellas corresponden afunciones y otras no. Ahora, Cuales de los siguientes grficos corresponden a unafuncin?

Figura N 8: Grficos de relaciones y funciones.

5.5- CLASI F ICACIN PARA FUNCIONES REALES

Funciones crecientes y decrecientes.Decimos que f(x) es una funcin creciente cuando, para un a b se verifica quef(a) f(b).

Figura N 9: Representacin de una funcin creciente.


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Y decimos que f(x) es una funcindecreciente cuando, para un a b se verificaque f(a) f(b).

Figura N 10: Representacin de una funcin decreciente. Funciones pares e impares.

Decimos que f(x) es una funcin par si para todo x que pertenece al dominio severifica que

f(x) = f(-x).

Figura N 11: Representacin de una funcin par.

Y decimos que f(x) es una funcin impar si para todo x que pertenece al dominio severifica que f(x) = -f(-x).

Algunas funciones que se utilizan frecuentemente en las Ciencias Agropecuarias:

5.6- LA FUNCIN L INEAL

Si se sabe que un pollo para consumo pesa 2,100 kg. Cuntos pollos se deben comprar sise quiere tener en total 10,5 kg.? El problema podra plantearse con una regla de tres, cuyoresultado obvio sera 5 pollos. Pero si ahora si se compran por ejemplo 8 pollos, 9 pollos,10 pollos, etc. y se desea saber cuantos kilogramos se tiene sera muy poco prctico

plantear una regla de tres para cada situacin.Una solucin ms simple es encontrar la funcin que relacione la cantidad de pollos con loskg. Si recordamos lo que ya vimos sobre pares ordenados, podemos graficar los datos deeste problema de la siguiente forma:

Funcin par

y

x-x

ff (-x)

x

y

x-x

f (x)f (-x)


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Figura N 12: Peso total vs. Cantidad de pollos.

La lnea que une estos puntos ser la funcin que vos ests buscando y tendr la formay = mx, las ecuaciones de esta forma representan rectas que pasan por el origen, ya que sino se compra ningn pollo la cantidad de kg. es cero, significa que la funcin lineal en estecaso pasa por el punto (0;0).As si es necesario saber cuantos kg. se tiene se traza una recta vertical, por ejemplo por 8pollos, hasta cortar la grfica y desde all se traza una recta horizontal y se obtienen los kg.deseados, o sea 16,8 kg.

Figura N 13: Peso total vs. Cantidad de pollos para un valor particular de x.

Si ahora el peso de cada pollo fuera mayor Cmo sera la recta? Si se analiza el grfico severa que sta sera ms vertical, esto se debe a que en nuestro caso en la ecuacin, y = m x,m me da la inclinacin o pendientede la recta y representa el peso promedio decada pollo.Podemos pensar ahora en independizarnos del grfico, como ya sabemos que la funcin que

une estos dos puntos es:y = m x o sea x2,100y

vemos que sin hacer el grfico ni regla de tres, podemos saber los kg. que tenemossolamente reemplazando la cantidad de pollos en x.Por ejemplo si x =12 pollos:


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122,100y kg.25,2y

Este sencillo ejemplo ilustra claramente la utilidad de trabajar con funciones.

Cuando estudiamos algn fenmeno relacionado con la Ingeniera Agronmica o con laMedicina Veterinaria, contar con la funcin que lo describe significa disponer de unaherramienta poderossima para predecir o pronosticar que va a ocurrir.En general las ecuaciones de la forma, y = mx +b, representan rectas. La inclinacin deestas rectas viene dada por su pendiente m. Para valores positivos de m, la recta escreciente, y tanto ms inclinada cuanto mayor es el valor de m. Para valores negativos de m,la recta es decreciente, y tanto ms inclinada cuanto mayor sea m en valor absoluto.El corte de la recta con el eje y (cuando x = 0) viene dado por el valor de la ordenada alorigen, b. Cuando la recta pasa por el origen de coordenadas el valor de b es cero y laecuacin es de la forma y = mx.

La representacin grfica de esta funcin es:

Figura N 14: Representacin de dos funciones lineales.

Ejemplo 6:

Como se vio en el captulo de unidades, las escalas de temperatura Centgrada y Fahrenheitcumplen las siguientes relaciones:

FusinHielo

EbullicinAgua

C 0 100

F 32 212

Tabla N 4: Puntos de fusin y ebullicin del agua a presin atmosfrica.

Si llamamos x a la temperatura C e y a la temperatura en F, los puntos ( x;y) quetenemos para este ejemplo son x1= 0C e y1=32F o sea (0;32) y x2= 100C e y2=212F osea ( 100; 212). Representando grficamente estos pares ordenados tenemos:

m

y = m x

y = m x +b

b

x

y

m

y = m x

y = m x +b

b

x

y


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Figura N 15: C vs. F.

Como vemos, podemos unir estos puntos por medio de una recta, por lo tanto la funcinque relaciona estas dos temperaturas es una funcin lineal de la forma y = mx+b.Ahora explicaremos como encontrar los valores de m y b para armar la ecuacin. Se dijoque la pendiente daba la inclinacin de la recta (la variacin en y con respecto a lavariacin en x.), esto es:

8,10100

32212

12

12

xx

yy

x

ym

y la ordenada al origen es b =32, ya que es el corte con el eje de las y (o sea cuando x =0).

y = mx +b y = 1,8 x + 32 F = 1,8 C + 32

La utilidad de esta expresin es que podemos obtener el valor de la temperatura en Fpara cualquier valor de temperatura en C.

5.7- LA FUNCIN CUADRTICA

Analice el siguiente ejemplo:Se necesita averiguar el rea de un corral cuadrado sabiendo que tiene 2 metros decada lado.La solucin es inmediata:rea = lado por lado A= l l = l2 A1 = 2

2 = 4, Y si tuviera 3m de lado? 4m de lado?,etc.En este caso se podra calcular:

A2 = 32 =9

A3 = 42 = 16

Si se analizan los resultados obtenidos se podra pensar que ahora, para cualquier medidadel corral tendramos:

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120

Temperatura

enF

Temperatura en C

Relacin entre escalas termomtricas,


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y = x2

graficando los datos del ejemplo:

Figura N 16: rea del corral vs. longitud del lado.

Evidentemente, a estos puntos ya no los podemos unir con una recta, la lnea que los unetendr una forma particular llamada parbola que es la representacin grfica de lafuncin cuadrtica.

Definicin:Una funcin f (x) es una funcin cuadrtica si y solo si, se puede expresar en l a forma:

f(x) = ax2+bx+c, en donde a, b y c son constantes y a o

La grfica de una funcin cuadrtica queda determinada por los valores que toman losparmetros (a, b y c) y es simtrica respecto de un eje llamado eje de simetra.

Vamos a analizar ahora como es dicha grfica con respecto a cada uno de los parmetros:

Primer caso: anlisis del parmetro aSi consideramos la funcin y = x2, con unos pocos valores obtenidos de la tabla, daremossu grfica:

x -3 -2 -1 0 1 2 3y = x 9 4 1 0 1 4 9

Tabla N 6: Efecto del parmetro a para y= x2.


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Figura N 17: Grfico de la funcin y=x2.

Si ahora consideramos y = 2 x2, tenemos:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2 x 18 8 2 0 2 8 18Tabla N 7: Efecto delparmetro a para y= 2x2.

Figura N 18: Grfico de la funcin y=2x2.

Por ltimo podramos considerar y = -2 x2 en cuyo caso el grfico sera:

Figura N 19: Grfico de la funcin y=-2x2.


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Si ahora superponemos las tres grficas obtenemos:

Figura N 20: Grfico de las funciones y=x2, y=2 x2 e y =-2 x2.

Vemos que:

a) Si a 0 , la parbola tiene ramas hacia arriba y la funcin y = ax 2 toma el menor valor(valor mnimo) en el origen.

b) Si a 0 , la parbola tiene ramas hacia abajo y la funcin toma el mayor valor ( valormximo) en el origen.

Estos mnimos y mximos se toman sobre el eje de simetrade la parbola (de ecuacinx = 0) en un punto llamado vrtice.

c) El coeficiente del trmino cuadrtico a, produce:

Cierre de las ramas de la parbola hacia el eje y , si

a 1 por ejemplo si: a 1 a x2 x2 y si a -1 a x2 - x2

Apertura de las ramas hacia el eje x, si

a 1 por ejemplo si: 0 a 1 a x2 x2 y si -1 a 0 -x2 a x2 0

Segundo caso: anlisis del parmetro c.

Si consideramos la funcin y = ax2+c, vemos que el valor de y se obtiene sumndole c alvalor obtenido por la funcin y = ax2, lo que produce un desplazamiento de esta parbola ensentido vertical, hacia arriba o hacia abajo segn si c 0 c 0.


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Figura N 21: Efecto del parmetro c.

Realiza el grfico de la funcin cuadrtica y = ax2+c Si a 0 y c 0 y si a 0 yc 0

Tercer caso: analizamos el parmetro b.

Hasta ahora en las ecuaciones consideradas no hay trmino lineal o sea que b = 0 y el eje desimetra de la parbola coincide con el eje y. Nos preguntamos ahora Qu sucede si elparmetro b 0 ?Consideremos la siguiente funcin: y = x2 -2 x, graficndola tendramos:

Figura N 22: Efecto del parmetro b.

En este caso el eje de simetra no es el eje y.En el grfico anterior vemos que el vrtice se encuentra en el punto de coordenadas (1;-1).As es que nos interesa encontrar cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en ( xv;yv)y eje de simetra distinto del eje y.

Por medio del planteo de ecuaciones matemticas, que no desarrollaremos, se llega a queuna parbola cuya funcin cuadrtica es y = ax2+bx+c, tiene por coordenadas del vrticelos siguientes valores:


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60

a

bxv

2

a

bac

a

bcaxcy vv

4

4

4

222

Para la ltima funcin considerada, y = x2 -2 x, existen dos valores de x para los cuales lafuncin toma el valor cero o sea y = 0, estos puntos (0 y 2) son los puntos de corte de laparbola con el eje de las x.Que la parbola y = ax2+bx+c corte al eje xsignifica que existen valores de x que hacenque la ecuacin se iguale a cero, es decir:

a x2 + b x + c =0esto se expresa diciendo que los valores de x son la solucin a dicha ecuacin de segundogrado.La frmula para el clculo de los valores de x que hacen que y = 0 viene dada por:

a

acbbx

2

42

a travs de sta obtenemos los de x1 y x2 que son los puntos de corte de la parbola con eleje de las abscisas.Es interesante analizar por donde va a pasar la parbola mirando solamente los valores quetoma el discriminante (llamamos discriminante a acb 42 ):

1) Si el discriminante 0, la parbola corta al eje x en dos puntos.2) Si el discriminante = 0, la parbola corta al eje x en un solo punto.

3) Si el discriminante 0, la parbola no corta al eje x.

La utilidad que tienen todas estas herramientas es que se puede analizar la forma que tendruna funcin cuadrtica cualquiera y graficarla solamente con estos puntos particulares quehemos visto, sin necesidad de realizar punto a punto la tabla correspondiente.

Ejemplo 7

Dada la siguiente funcin cuadrtica:

y = x2-2x+2

Calcular:

1) Hacia donde van las ramas de la parbola?2) Dnde est el vrtice de la parbola?3) Cul es el corte con el eje x?4) Cul es el corte con el eje y?5) La parbola alcanza un valor mximo un mnimo?


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Solucin:

1) En esta parbola , tenemos que:

a = 1 ; b =-2 ; c =2

Como a 0, la parbola tiene ramas hacia arriba.

2)

112

2

vx y 12121

2vy

3) Para saber cuando la parbola corta al eje x, entonces y =0 calculamos:

2

42

12

214222

x

vemos que el discriminante es menor que cero, por lo tanto la parbola nunca corta al eje x.

4) De la misma manera que el inciso anterior, para determinar cuando la parbola corta aleje y, entonces x=0, y de la ecuacin:

y = 0-0+2 =2

Como la parbola tiene ramas que abren hacia arriba, entonces sta tiene un mnimo. Elvalor mnimo es yv =1

Con todos estos puntos ahora estamos en condiciones de ver la forma aproximada quetendr el grfico de la parbola.

Figura N 23: Grfico ejemplo N 7.


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5.8- EJERCICIOS DE APLI CACION

Funcin li neal

Ejercicio N1:Cul es la funcin que relaciona los litros de leche diarios producidos en funcin delnmero de vacas del establecimiento, teniendo presente la siguiente tabla de datos:

N de vacasCantidad promedio de leche diaria

(lt/da)150 3.000200 4.000250 5.000

300 6.000

Tabla N 5: Cantidad de leche obtenida vs. cantidad de vacas.

Ejercicio N 2:Grafique cada una de las siguientes rectas, decir adems cul es la pendiente y cul es laordenada en el origen.

a) y = 5x2b) y = 2xc) 2y = -6x + 2

d) y = 3

Ejercicio N 3:La energa del alimento consumido por un animal es el factor determinante para el tiempo desobrevivencia en inedia grave, pero bajo ciertas condiciones el calor puede prolongar lavida en la inedia.La siguiente figura muestra el efecto de la temperatura ambiente en el tiempo de sobrevivenciaen ratas en inedia grave (con agua solamente) a la edad aproximada de 100 das.

Figura N 15: Tiempo de sobrevida vs. Temperatura ambiente.

0

2

4

6

810

12

14

16

15 20 25 30 35 40

Tiempo

de

sobrevida(das)

Temperatura ambiente (C)


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a) Cul es la ecuacin que relaciona el tiempo de sobrevivencia en funcin de latemperatura ambiente en el intervalo [20;30] ?

b) Si el objetivo es prolongar la vida del animal Convendr aumentar la temperatura de

30 C hasta 35 C? Por qu?

Ejercicio N 4:El aire mantenido en la cavidad bucal de la anguila elctrica pierde O2 oxgeno gradualmente segnste va siendo utilizado por el pez.La siguiente tabla muestra los valores obtenidos de la presin parcial de O2 medida en mm Hg(PO2) para diferentes valores del tiempo entre respiraciones en segundos (t) durante la realizacin deun experimento:

PO 2 t

110 10100 2090 3080 4070 50

Tabla N 6: Presin parcial de oxigeno vs. tiempo.

Funcin cuadrtica

Ejercicio N 5:Graficar cada una de las siguientes funciones cuadrticas indicando el valor de a,b y

c, decir adems si poseen un valor mximo o un valor mnimo y dar ese valor: 32 xy a) 2)3( 2 xy

b) 732 xxy

c) xxy 82

d) 64 2 xxy

e) 2xy

Ejercicio N 6:En un medio caliente, la temperatura del cuerpo de un animal puede aumentar, pero seguirregulndose a este nivel superior. Este fenmeno se denomina hipertermia controlada.Cuando se introdujeron cerdos en un recinto con la temperatura del aire de 32,2 C sutemperatura corporal desde los 120 minutos hasta los 210 minutos evolucion segn lasiguiente funcin:

Te = 0,0003 ti2- 0,0912 ti + 30,788donde:Te = Temperatura rectal (C)ti = Tiempo de exposicin (min.).

Obtener la grafica de dicha funcin.

Encontrar la ecuacin para lapresin parcial de oxgeno enfuncin del tiempo entrerespiraciones.


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Ejercicio N 7:La siguiente grfica muestra la evolucin de la contraccin isotnica del msculosartoriusdel sapoBufo marinus. Obtenga los datos necesarios de manera tal que le permita escribir

la ecuacin cuadrtica que ajuste tales datos.

Figura N 24: Distancia de acortamiento muscular vs. fuerza aplicada.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Distancia

de

acortamiento

(cm)

Fuerza (g)

Contraccin isotnica del msculo Sartorius delsapo Bufo marinus.


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BIBL IOGRAFA:

Matemtica 1 COU; Autores: J. M. Martinez-Mediano, Cuadra Lpez Rafael,

Jimnez Villanueva J.L.; Editorial: Mc Graw-Hill, Ao 1996. Matemtica 2 COU; Autores: Fernado Garjo, Delgado Miguel, Tabuenca Jaime;

Editorial: Mc Graw-Hill, Ao 1995. Matemtica Bsica para las Ciencias de la Vida; Autores: Bocco Mnica; Editorial:

Trianfar, Ao 2001. Matemtica para Administracin, Economa, Ciencias Sociales y de la Vida;

Autores: Ernest F. Haeussler J.R., Pal Richard S.; Editorial: Prentice Hall, Ao1997, Octava edicin.

Clculo; Autores: Larson, Hostetler, Edwards; Editorial: Mc Graw-Hill, Ao 2001,Sexta edicin, Volumen 1.

Fsica; Autores: Resnick-Holliday, Kane; Editorial: Cecsa, Ao 1997, Cuarta

edicin, Volumen 1.


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NGRESO 2013

MEDICINA VETERINARIA

REA MATEMTICAS

Modulo Matematica Veterinaria 2012

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