Sistema de Ecuaciones Represntacion Lineal Matematica Modulo 5 Ingreso2013

8/13/2019 Sistema de Ecuaciones Represntacion Lineal Matematica Modulo 5 Ingreso2013

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ndice

MDULO CINCO

Presentacin..3

Objetivos.4

Desarrollo

Ecuaciones de primer grado o lineales...5Resolucin de problemas mediante ecuaciones.11

Ejercitacin Propuesta..14Sistemas de Ecuaciones Lineales..15

Clasificacin....15Mtodos de resolucin desistemas de Ecuaciones Lineales...18Resolucin y Representacin Grfica de sistemas de ecuaciones

lineales.......................24Clasificacin de Sistemas de Ecuaciones.26Problemas que se resuelven mediante sistemas de ecuaciones....................28

Ejercitacin Propuesta..29

Bibliografa.32


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Presentacin

La matemtica es una ciencia que pertenece al igual que la lgica al grupo de lasciencias formales, cuyo objeto y entes son ideales, a diferencia de otras ciencias que tienenobjetos concretos de los que se puede experimentar.

Con esto podemos aclarar que para conocer y aprender la matemtica solonecesitamos el uso del razonamiento, esta es la nica herramienta que debemos considerar.Por ello, estudiar la matemtica significa ejercitar, practicar haciendo ejercicio del procesolgico que eso implica.

El siguiente material est constituido por ejes temticos. Cada uno de ellos seencuentra presentado con las definiciones y propiedades pertenecientes al marco terico.Adems se encuentran ejemplos con sus respectivas resoluciones y ejercicios que servirnpara realizar la prctica.

Los elementos mencionados anteriormente: definiciones, propiedades y ejercicios sonclaves para el proceso de aprendizaje de la matemtica, y de estos contenidos en particular.

Desde el CENT 35 es nuestro deseo que se encuentren con estos contenidos y lespueda ser de utilidad para lograr un desarrollo cognitivo lgico indispensable para alumnosde todas las carreras que ofrece el CENT 35.

Les damos la bienvenida y les deseamos a todos xitos en esta etapa y la mayorpredisposicin de ustedes y de nosotros para este proceso que denominamos enseanza-aprendizaje.


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Objetivos

Lograr que el alumno aprenda a pensar, relacionar, reconocer y aplicar las leyes de lamatemtica a los problemas cotidianos, fijar algunos principios bsicos y adquirir unametodologa de trabajo que pueda aplicar posteriormente a la solucin de problemasespecficos de su carrera.

Adquirir herramientas matemticas para fortalecer el pensamiento lgico considerando queno hay pensamiento matemtico que no se origine de la experiencia de la realidad.

Considerar a la matemtica como una actividad genianamente humana con el uso delrazonamiento de la vida cotidiana.


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Ecuaciones de Primer Grado o Lineales

Una ecuacin es una igualdad donde por lo menos hay un nmero desconocido, llamado incgnita ovariable, y que se cumple para determinado valor numrico de dicha incgnita.Se denominan ecuaciones linealeso de primer gradoa las igualdades algebraicas con incgnitascuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).La forma general de una ecuacin de 1 grado o lineal es: a x + b = 0, siendo ay bnmerosreales y a 0.

Resolver una ecuacin es encontrar, si existen, el o los valores de las variables que verifican laigualdad planteada. Dichos valores determinan el conjunto solucin de la ecuacin.

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se debenseguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los trminos semejantes, cuando es posible.2. Se hace la transposicin de trminos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los quecontengan la incgnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.3. Se reducen trminos semejantes, hasta donde es posible.4. Se despeja la incgnita, dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de laincgnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolucin de Ecuaciones de Primer Grado con una Incgnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incgnita, aplicamos el criterio del operadorinverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuacin: 2x 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los nmeros al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevarel 3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de 3 es +3, porquela operacin inversa de la resta es la suma).Entonces hacemos:

2x 3 + 3 = 53 + 3En el primer miembro 3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 32x = 56

Ahora tenemos el nmero 2 que est multiplicando a la variable o incgnita x, entonces lo pasaremosal otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es) a ambos lados de la ecuacin:

2x = 56


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Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2x = 28

Entonces el valor de la incgnita o variable "x" es 28.

Resolucin de Ecuaciones de Primer Grado paso a paso

El objetivo es hallar el valor de la incgnita (x habitualmente) que haga que la igualdad dada seacierta. Para ello se ira convirtiendo la ecuacin dada a otras equivalentes hasta llegar a una igualdaddel tipo x=nmero.

Pre-requisitos: Conocer todas las diferentes formas de obtener ecuaciones equivalentes, operar conmonomios, operar con fracciones (incluyendo reduccin a comn denominador) y sacar factorcomn.

Ejemplo:

Reducimos todos los trminos a comn denominador.

Eliminamos los denominadores al multiplicar todos lostrminos por 20.

Imaginamos que cada lnea de fraccin es un parntesis que envuelve al polinomio o monomio yquitamos parntesis teniendo cuidado con el signo de delante.

Sumamos o restamos los monomios semejantes.

Pasamos 45x al lado izquierdo de la ecuacin (en realidad restamos 45x a ambos miembros de laecuacin).

Pasamos el 20 al lado derecho de la ecuacin.

Sumamos y restamos monomios.


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Pasamos el "-13" al otro lado dividiendo (en realidad dividimos ambos miembros de la ecuacin entre13).

Simplificamos la fraccin (en este caso dividimos)

ESTA ES LA SOLUCIN A LA ECUACIN

Podemos comprobarla solucin sustituyendo este valor en la ecuacin inicial:

simplificamos ambas expresiones de ambos lados del igual obtenemos:

que paso a paso llega a.........

Al ser cierta esta igualdad queda demostrado que la solucin (x=3) es correcta

Resolvamos otros ejemplos:

Llevamos los trminos semejantes a un lado de la igualdad y lostrminos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicadooperaciones inversas donde era necesario).

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

(pasamos todos los trminos con x a la izquierda, cambiado el signo 8x pasacomo 8x)

(redujimos los trminos semejantes en el primer miembro: 5x 8x = 3x)

(dividimos ambos trminos por 3 para despejar la x)

( 15 dividido 3 es igual a 5. Nmero negativo dividido por un nmeronegativo, el resultado es positivo)


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(pasamos a la derecha los trminos conocidos, en este caso slo +1 que pasacomo 1)

(reduccin de trminos semejantes: 2 1 = 1)

(dividimos ambos trminos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la xsola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derechacomo divisor el 4 que en la izquierda est multiplicando.

Este es el resultado.

(pasamos a la izquierda los trminos desconocidos y a la derecha losconocidos, + 3y pasa como 3y; y -5 pasa como + 5).

(reduccin de trminos semejantes: y 3y = - 2y , y 25 + 5 = - 20)

(pasamos el 2 que est multiplicando al otro miembro como divisor: - 20 / - 2= 10).

Este es el resultado.

(pasamos a la izquierda los trminos desconocidos y a la derecha losconocidos, + 10x pasa como 10x; y + 6 pasa como - 6).

(reduccin de trminos semejantes: 5x 10x = - 5 x , y + 5 - 6 = - 1)

(pasamos el 5 que est multiplicando al otro miembro como divisor: - 1 / - 5 =1 / 5). Este es el resultado.

(lase, menos un tercio). La fraccin es negativa pues se divide un positivo, el1, con un negativo, el 3.


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Resolucin de Ecuaciones con Agrupaciones de Signos

Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupacinconsiderando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentrohacia afuera las operaciones.Veamos el siguiente ejemplo:

Primero quitamos los parntesis.

Reducimos trminos semejantes.

Ahora quitamos los corchetes.

Transponemos los trminos, empleando el criterio deoperaciones inversas.

Nuevamente reducimos trminos semejantes

Despejamos x pasando a dividir a 2, luego simplificamos.

Advertencia

Para suprimir los signos de agrupacin debemos tener en cuenta que:a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupacin no afecta en nada a lo que est dentro deeste signo. Por ejemplo: +(3x 5) = 3x 5b) Si por el contrario, tenemos un signo antes del signo de agrupacin, este signo afectar a todo loque est dentro del signo. Todos los trminos dentro del signo de agrupacin cambiarn designo. Por ejemplo: (3x 5) = 3x + 5.


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Resolucin de Ecuaciones con Productos Incluidos

Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectan los productos incluidos y luego se sigue elprocedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).

Observemos un ejemplo:

Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamoslos parntesis.

Llevamos los trminos semejantes a un lado de la igualdad, ylos trminos independientes al otro lado (empleamosoperaciones inversas.)

Reducimos trminos semejantes en ambos lados de la igualdad.

Despejamos x pasando 3 a dividir.


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Resolucin de Problemas mediante Ecuaciones

Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemtica y luego realizar lasoperaciones correspondientes para hallar el valor de la incgnita (el dato que deseamos conocer).Entonces, los pasos para resolver un problema mediante una ecuacin, son los siguientes:

1. Determinar la incgnita.2. Expresar el enunciado del problema en lenguaje algebraico, es decir, escribir una ecuacin en laque intervenga la incgnita.3. Resolver la ecuacin, es decir, hallar el valor de la incgnita.4. Dar la solucin del problema, a partir del valor obtenido de la incgnita.

Ejemplos:

1) Luca se dirige a ver un partido de ftbol de su equipo favorito. Al trmino del partido sabe que seha gastado 40 euros en comprar una bufanda de su equipo y adquirir la entrada del partido. Laentrada del partido ha costado 7 veces ms que la bufanda. Cunto vale la bufanda y cunto cuestala entrada?

Para resolver cualquier ecuacin de primer grado debemos seguir el mtodo general para laresolucin de ecuaciones de primer grado.

Eliminar denominadores Quitar parntesis Reducir trminos semejantes Transponertrminos Despejar la incgnita.

Solucin: x + 7 x = 408 x = 40

x = 5 bufanda

40 5 = 35 entrada

Respuesta: La bufanda vale 5 euros y la entrada cuesta 35 euros.

2) Laura tiene 24 aos menos que su padre, y ste tiene el cudruple de los aos de su hija. Hallarla edad de cada uno.

Solucin:

Edad del padre = xEdad de Laura = x 24

x = 4 ( x 24 )x = 4 x 96

x 4 x = - 96

- 3 x = - 96x = - 96 / - 3x = 32


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Entonces: Edad del padre = 32 aosEdad de Laura = 32 24 = 8 aos

Respuesta: La edad del padre es de 32 aos y la de su hija Laura, es 8 aos.

3) La suma de un N con su tercera y su quinta parte es 276. Calcular dicho N.

Solucin:

Nmero = x

x + x / 3 + x / 5 = 27615 x + 5 x + 3 x = 276 * 15

23 x = 4140x = 4140 / 23x = 180

Respuesta: El N es el 180.

4) Pedro es 3 aos menor que lvaro, pero es 7 aos mayor que Mara. Si la suma de las edadesde los tres es 38, qu edad tiene cada uno?

Digamos que las edades de los tres son:

x edad de Pedroy edad de lvaroz edad de Mara

Sabemos que la edad de lvaro es igual a la edad de Pedro ms 3 aos (Pedro es tres aos menorque lvaro):

y = x + 3

Tambin sabemos que la edad de Mara es igual a la edad de Pedro menos 7 aos (Pedro es 7 aosmayor que Mara):

z = x 7

Ahora tenemos que:

edad de Pedro: xedad de lvaro: x +3edad de Mara: x 7

La suma de las tres edades es 38:


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x + x +3 + x 7 = 38

Resolviendo est ltima ecuacin tendremos:

x = 14 (esta es la edad de Pedro)

Finalmente:

edad de Pedro: x = 14 aosedad de lvaro: x + 3 = 17 aosedad de Mara: x 7 = 7 aos


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Ejercitacin Propuesta:


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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones linealeses un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a11x1+ a12x2+ .....................+a1nxn= b1

a21x1+ a22x2+ .....................+a2nxn= b2

...............................................................

am1x1+ am2x2+ .....................+amnxn= bm

donde:

xison las incgnitas, (i = 1,2,...,n).

aijson los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).

bison los trminos independientes, (i = 1,2,...,m).

aijy b i .

m, n ; m > n, , m = n, , m < n.

Entonces, un sistema de ecuaciones lineales, tambin conocido como sistema lineal deecuacioneso simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo.Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sera el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2y x3que satisfacen

las tres ecuaciones.


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Clasificacin

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar segn el nmero de soluciones que puedenpresentar. La solucin de un sistema de ecuaciones lineales es cada conjunto de valores quesatisface a todas las ecuaciones. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientescasos:

Sistema incompatible:si no tiene ninguna solucin. Sistema compatible:si tiene alguna solucin, en este caso adems puede distinguirse entre:

o Sistema compatible determinado:cuando tiene un nmero finito de soluciones(solucin nica).

o Sistema compatible indeterminado:cuando admite un conjunto infinito de

soluciones.Quedando as la clasificacin:

Sistemas compatibles determinados

Un sistema es compatible determinadocuando posee una nica solucin. Si tenemos un sistemade ecuaciones lineales con 2 incgnitas, la solucin es el punto donde las rectas se intersectan, esdecir es un punto de coordenadas x e y.

Sistemas compatibles indeterminados

Un sistema es compatible indeterminado cuando posee un nmero infinito de soluciones. Porejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuacin se corresponden con la recta cuya pendiente es

y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta.El sistema es compatible por haber solucin o interseccin entre las rectas, pero es indeterminado alocurrir esto en infinitos puntos.

En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede

hallar como combinacin lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.


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Sistemas incompatibles

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solucin. Por ejemplo,supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden grficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al serparalelas, no se cortan en ningn punto, es decir, no existe ningn valor que satisfaga a la vezambas ecuaciones.


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Mtodos de Resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Mtodo de Sustitucin

El mtodo de sustitucin consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incgnita,preferiblemente la que tenga menor coeficiente, y a continuacin, sustituirla en la otra ecuacin porsu valor.

EJEMPLO: Tenemos que resolver el sistema:

Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primeraecuacin):

Y la reemplazamos en la otra ecuacin:

Operamos para despejar la nica variable existente ahora:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente laprimera):

Hallamos la respuesta x = 4 e y = 2.


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Para verificar si la respuesta es correcta, hay que reemplazar estos valores de x e y en ambasecuaciones y verificar si se cumple la igualdad.

Entonces, verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2) :

Ahora s, podemos asegurar que la solucin del sistema de ecuaciones es : x = 4 e y = 2.

Mtodo de Igualacin

El mtodo de igualacin se puede entender como un caso particular del mtodo de sustitucin en el

que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y a continuacin se igualan entre s la partederecha de ambas ecuaciones.

EJEMPLO: Seguimos con el mismo sistema de ecuaciones:

Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistemaequivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundostambin lo son, por lo tanto:

Luego:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):


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Operamos para hallar el valor de y:

y=2

Entonces, hallamos la respuesta x = 4 e y = 2.

Obviamente, el resultado coincide con el encontrado por el Mtodo de Sustitucin. No haremos la

verificacin porque ya fue realizada en el Mtodo anterior.

Mtodo de Reduccin

Este mtodo suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos enque se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseado para sistemas con dosecuaciones e incgnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, medianteproductos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incgnita aparezcacon el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacin, se suman ambas ecuacionesproducindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con

una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple.

EJEMPLO: Seguimos con el mismo sistema de ecuaciones:

Entonces, el objetivo es eliminar una de las incgnitas, dejndolas inversas aditivas, sabiendo queuna igualdad no cambia si se la multiplica por un nmero. Tambin sabemos que una igualdad no secambia si se le suma otra igualdad.

Si se quiere eliminar la x, por qu nmero debo multiplicar a la segunda ecuacin, para que alsumarla a la primera se obtenga cero?La respuesta es por (-2). Veamos:

Con lo que obtenemos:

Y la sumamos la primera obtenindose:


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-7y = -14y = 2

Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuacin:

Y finalmente hallar el valor de x:

Vemos nuevamente, que la solucin coincide con la encontrada en los mtodos anteriores.

Vemos otros ejemplos aplicando los mtodos de resolucin analtica para los Sistemas deEcuaciones Lineales o de 1 Grado.


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Resolucin y Representacin Grfica de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Resolvemos grficamente el sistema: x + y = 6

x - y = 2

1. Despejamos y en las dos ecuaciones.

x+ y= 6y= 6 - xx- y= 2y= x 2

2. Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos ecuaciones.

y= 6 x

x0 1 2 3 4y6 5 4 3 2

y= x 2

x0 1 2 3 4

y-2 -1 0 1 2

1. Representamos estos puntos sobre un sistema de ejes.

Uniendo los puntos de cada ecuacin, obtenemos dos rectas que representan todas las solucionesde cada una de las ecuaciones


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Puede ocurrir uno de los siguientes casos:

o Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, notiene solucin.

o Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solucin nica. Decimos que es

compatible determinado.o Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones.

Es un sistema compatible indeterminado.

En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solucin del sistema es:x= 4 e y= 2.


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Clasificacin de Sistemas de Ecuaciones

Ejemplos

Clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a) 2 x + y = 6 ; 2 x - y = 2

b) x + y = 3 ; 2 x + 2 y = 6

c) x + y = 3 ; x + y = - 1

a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin:

Dos soluciones de la primera ecuacin son:x= 1 , y= 4 ; x= 2 , y= 2Dos soluciones de la segunda ecuacin son:x= 1 , y= 0 ; x= 2 , y= 2Las rectas se cortan en un punto que ser la solucin: x= 2 , y= 2.

Por tanto, el sistema ser compatible determinado. Vemos la representacin ms abajo.

b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin:

Dos soluciones de la primera ecuacin son:x= 0 , y= 3 ; x= 3 , y= 0Dos soluciones de la segunda ecuacin son:x= 1 , y= 2 ; x= 2 , y= 1Las rectas coinciden, toda la recta es solucin del sistema (infinitas soluciones).

Por tanto, el sistema ser compatible indeterminado. Vemos la representacin ms abajo.

c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin:

Dos soluciones de la primera ecuacin son:x= 0 , y= 3 ; x= 3 , y= 0Dos soluciones de la segunda ecuacin son:x= 0 , y= - 1 ; x= - 2 , y= 1Las rectas son paralelas, no tienen ningn punto en comn, luego el sistema no tiene solucin.

Por tanto, el sistema ser incompatible. Vemos la representacin siguiente:


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Representacin Grfica de los Sistemas


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Problemas que se resuelven mediante Sistemas de Ecuaciones


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Ejercitacin Propuesta

Sistemas de Ecuaciones Lineales o de 1 grado

1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los mtodos de:a) Igualacinb) Sustitucinc) Reduccin

Graficar.

a - 3.x - 2.y = -165.x + 4.y = 10

f - x/5 - y = -24.x + y/4 = 41

k - 3.x - 4.y = 12.x - 3.y = 0

p - -7.x + 4.y = 3y = x

b - 4.x - y = 122.x + 3.y = -5

g - 2.x - y/2 = 9/2x - y/5 = 9/5

l - 4.x + 3.y = 276.x + 3.y - 3 = 0

q - y = 22.x + 2.y -1 = 0

c - 3.x + y = -82.x - 5.y = -11

h - 4.x - 8.y = 442.x + 4.y = 22

m - x + y = 50x/y = 4

r - x - 2.y -1 = 0y - 2.x + 2 = 0

d - 4.x - 3.y = 65.x + y = 17

i - 22.x - 3.y = 04.x - y/3 = 14

n - x + y = 5-x + y = -2

s - x - 1 = 01 - y = 0

e - 5.x - 4.y = 22.x + 3.y =17/4

j - x + 2.y = 05.x + 10.y = 14

o - 2.x - 3.y = 04.x + y = 14

t - 3.y + 8.x -1 = 0y = 5 - 2.x

Respuestas

a - P(-1;5) f - P(10;4) k - P(3;2) p - P(-1;-1)

b - P(31/14;-20/7) g - P(0;-9) l - P(-12;25) q - P(-1/2;2)

c - P(-3;1) h - P(11;0) m - P(40;10) r - P(1;0)

d - P(3;2) i - P(9;66) n - P(7/2;3/2) s - P(1;1)

e - P(1;3/4) j - Sin solucin o - P(3;2) t - P(-7;19)


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Ecuaciones Enteras de Primer Grado con una Incgnita

1) x (2x + 1) = 8 (3x + 3)

2) 15x 10 = 6x (x + 2) + (-x + 3)

3) (5 3x) (-4x + 6) = (8x + 11) (3x 6)

4) 30x (-x + 6) + (-5x + 4) = -(5x + 6) + (-8 + 3x)

5) 15x + (-6x + 5) 2 (-x + 3) = -(7x + 23) x + (3 2x)

6) 3x + [-5x (x + 3)] = 8x + (-5x 9)

7) 16x [3x (6 9x)] = 30x + [-(3x + 2) (x + 3)]

8) x [5 + 3x {5x (6 + x)}] = -3

9) 9x (5x + 1) {2 + 8x (7x 5)} + 9x = 0

10) 71 + [-5x + (-2x + 3)] = 25 [-(3x + 4) (4x + 3)]

11) -{3x + 8 [-15 + 6x (-3x + 2) (5x + 4)] 29 } = -5

12) x + 3(x 1) = 6 4(2x + 3)

13) 5(x 1) + 16(2x + 3) = 3(2x 7) x

14) 2(3x + 3) 4(5x 3) = x(x 3) x(x + 5)

15) 184 7(2x + 5) = 301 + 6(x 1) 6

16) 7(18 x) 6(3 5x) = -(7x + 9) 3(2x + 5) 12

17) 3x(x 3) + 5(x + 7) x(x + 1) 2(x 2+ 7) + 4 = 0

18) -3(2x + 7) + (-5x + 6) 8(1 2x) (x 3) = 0

Respuestas

1) 3 ; 2) 1 ; 3)2

9 ; 4)

7

3 ; 5) -1 ; 6) 1 ; 7)

2

1 ; 8) 4 ; 9)

3

2

10) 3 ; 11) -5 ; 12)4

1 ; 13) -2 ; 14) 3 ; 15) -7 ; 16) -4 ; 17) 5 ; 18) 5


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Problemas aplicando Sistemas de Ecuaciones

1. Hallar dos nmeros cuyo cociente sea 4/5 y su producto 80.

Solucin: (8, 10) y (-8, -10)

2. Hallar dos nmeros tales que su producto sea 245 y uno es el quntuplo del otro.Solucin: (7, 35) y (-7, -35)

3. Hallar dos nmeros cuya suma es 40 y su producto 256.Solucin: (8, 32)

4. Encontrar dos nmeros cuya suma sea 12 y la suma de sus cuadrados 104.Solucin: ( 2, 10)

5. Encontrar dos nmeros cuya diferencia es 8 y la suma de sus cuadrados 104.Solucin: (2, 10) y (-10, -2)

6. Encontrar dos nmeros cuyo producto sea 184 y al dividirlos da 2 de cociente y 7 de resto.Solucin: (8, 23)

7. Hallar un nmero de dos cifras cuya suma de las mismas es 7 y el nmero es 2 unidades menorque el triplo del producto de sus cifras.

Solucin: 34 y 16

8. Hallar dos nmeros enteros tales que su suma sea 7 y la suma de sus cuadrados sea 25.Solucin: 3 y 4

9. Hallar un nmero de dos cifras sabiendo que el doble de las decenas ms las unidades es 8 y elproducto del nmero con el que resulta de invertir sus cifras es 736.Solucin: 32

10. El permetro de un rectngulo es 28 m y la diagonal excede en 2 m al lado mayor. Hallar el readel rectngulo.

Solucin: 12 m2


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Bibliografa

MATEMTICA. Funciones y Estadstica de Irene Marchetti de De Simone yMargarita Garca de Turner aZ Editora S.A.

MATEMTICA. Funciones 1 de Silvia V. Altman, Claudia R Comparatore yLiliana Kurzrok Editorial Longseller S.A.

MATEMTICA. Nmeros y Sucesiones de Silvia V. Altman, Claudia RComparatore Liliana E. Kurzrok Editorial Longseller S.A

Profesores:Julio Aguiar- Adrian Alvarado- Dario Galvan.

Sistema de Ecuaciones Represntacion Lineal Matematica Modulo 5 Ingreso2013

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