Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas - Wikiversidad.pdf

8/10/2015 SistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasWikiversidad

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Sistemalinealdedosecuacionescondosincgnitas

Unidad: lgebra

Departamento:Departamentodematemtica

SistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasDeWikiversidad

Unsistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasesunsistemalinealdeecuacionesformadoporslodosecuacionesqueadmiteuntratamientoparticularmentesimple,juntoconelcasotrivialdeunaecuacinlinealconunanicaincgnita,eselcasomssencilloposibledesistemasdeecuaciones,yquepermitensuresolucinempleandotcnicasbsicasdellgebracuandoloscoeficientesdelaecuacinseencuentransobreuncuerpo(sobreunanillolasolucinnoestansencilla).

Unainfinidaddeproblemaspuedenserresueltosconunsistemadedosecuaciones.Veamoslasdistintasformasenlasquesepuedenencontrarsussoluciones.

Contenido

1Tiposdesolucin1.1Sistemacompatible

1.1.1Sistemacompatibledeterminado1.1.2Sistemacompatibleindeterminado

1.2Sistemaincompatible1.3Anlisisdetipos

2Mtodosderesolucin2.1Mtododereduccin2.2Mtododeigualacin2.3Mtododesustitucin2.4RegladeCramer

3Solucindeunproblema4Bibliografa5Enlacesexternos

Tiposdesolucin

Consideremosunsistemacomoelsiguiente:



Enunsistemadeecuacionessepuedendarlossiguientescasos:

Sistemacompatible

Siadmitesoluciones.

Lacompatibilidaddeunsistemasedeterminaapartirdeldeterminantedelamatriz2x2queconstituyeelsistemaoequivalentementedeloscocientesdelaprimeraecuacinylasegunda.

Sistemacompatibledeterminado

Siadmiteunnmerofinitodesolucionesenelcasodedosecuacioneslinealescondosincgnitas,sielsistemaesdeterminadosolotendrunasolucin.Surepresentacingrficasondosrectasquesecortanenunpuntolosvaloresdexeydeesepuntosonlasolucinalsistema.

Unsistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasescompatibledeterminadocuando:

Enelejemplodelafigura,dadoelsistema:

Podemosver,que:



Loquedalugaraquelasdosrectassecortenenunpunto,devalores:

siendoestalasolucindelsistema.

Sistemacompatibleindeterminado

Elsistemaadmiteunnmeroinfinitodesolucionessurepresentacingrficasondosrectascoincidentes.Lasdosecuacionessonequivalentesyunadeellassepuedeconsiderarcomoredundante:cualquierpuntodelarectaessolucindelsistema.

Unsistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasesindeterminadosi:

Porejemploconelsistema:

Sepuedever:

Conloquepodemosdecirquelaprimeraecuacinmultiplicadaportresdalasegundaecuacin,porlotantonosondosecuacionesindependientes,sinodosformasdeexpresarlamismaecuacin.

Tomandounadelasecuaciones,porejemplolaprimera,tenemos:

Tomandolaxcomovariableindependiente,ylaycomovariabledependiente,segnlaexpresinanterior,asignandovalorasaxobtendremoselcorrespondientedey,cadapar(x,y),ascalculadoserunasolucindelsistema,pudiendoasignaraxcualquiervalorreal.

Sistemaincompatible



Elsistemanoadmiteningunasolucin.Enestecaso,surepresentacingrficasondosrectasparalelasynotienenningnpuntoencomnporquenosecortan.Elcumplimientodeunadelasecuacionessignificaelincumplimientodelaotrayporlotantonotienenningunasolucinencomn.

Unsistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasesincompatiblesi:

Porejemplo,dadoelsistema:

Sepuedeverque:

Laigualdad:

Determinalaproporcionalidadentrelasincgnitas,dosrectasparalelas,peroladiferenteproporcionalidadconlostrminosindependientesdeterminauncorteconelejeydisiento,ydosrectasparalelasnosecortanenningnpunto.Dandolugaralaincompatibilidaddelassoluciones.

Anlisisdetipos

Parapoderdeterminarsi,unsistemadedosecuacionescondosincgnitas,correspondeaunodeesoscasos,podemosver,segnlovistoanteriormente,elsiguientecriterio,partiendodelsistema:

Podemosaplicarelsiguienterboldedecisin,paradeterminareltipodesistemaquees:



Paraello,comparamosenprimerlugarlarelacinentreloscoeficientesdelasincgnitas,silarelacinentreloscoeficientesdelaxylayeselmismo,elsistemaescompatibleindeterminadooincompatible,siestecoeficientetambinesigualalarelacioneentrelostrminosindependienteselsistemaescompatibleindeterminado,ysiesdistintoenincompatible.Silarelacinentreloscoeficientesdelaxylaysondistintoselsistemaescompatibledeterminado.

Estecriterioesequivalentealanlisisdelosdeterminantesdelasecuaciones,aplicadoaunsistemadedosecuaciones.

Mtodosderesolucin

Partiendodeunsistemalinealcompatibledeterminadodedosecuacionescondosincgnitas:

Sielsistemaanteriorescompatibleydeterminado,entoncesresolverelsistemaconsisteenencontrarlosvaloresdexydeyquesatisfacenlasdosecuacionessimultneamente.

Podemosdiferenciardostiposdemtodosderesolucindesistemasdeecuaciones,losbsicos,basadosenoperacionesalgebraicasencaminadosadespejarelvalordecadaunadelasincgnitas,ylosavanzados,basadosenpropiedadesdelossistemasquedeterminanlosdistintosvaloresdelasincgnitasquecumplenlasecuacionesdelsistema.

Dentrodelosmtodosbsicos,estneldereduccin,igualacinysustitucinquemediantedistintasoperacionesalgebraicasdespejaelvalordexeydelsistema.Sielsistemafueraincompatibleocompatibleindeterminadolosmtodosanterioresnoconducenaunasolucindelsistema.

EntrelosmtodosavanzadosestnRegladeCramer,EliminacindeGaussJordan,ymediantelaMatrizinvertible,entreotrosestosmtodossonmssofisticadosquelosbsicosysonnecesariosconocimientosdelgebralinealenocasioneselevados,ydestinadosalaresolucindesistemasdegrandimensincongrannmerodeecuacionesquedanlugar,normalmente,alempleodeordenadorespararealizarlasoperacionesnecesarias.



AquveremoslaRegladeCramerensuformaparadosecuacionescondosincgnitas,comocomplementoalasformasbsicasderesolucin.

Mtododereduccin

Elmtododereduccinconsisteenmultiplicarcadaunadelasecuacionesporlosvaloresnecesarios,deformaqueloscoeficientesdeunadelasincgnitasseanlosmismoscambiadosdesigno.Conseguidoesto,sesumanlasdosecuacionesylaincgnitaquetieneloscoeficientesopuestosseelimina,dandolugaraunaecuacinconunaincgnita,queseresuelvehaciendolasoperacionesnecesarias.Conocidaunadelasincgnitassesustituyesuvalorenunadelasecuacionesoriginalesycalculamoslasegunda.

tenemoscomoejemploelsistema:

Enestecasolax,yatieneelmismocoeficienteenlasdosecuacionescambiadodesignoynoesnecesariohacerningunaoperacinparalograrlopodemossumarlasdosecuacionesdirectamente:

comoresultadodelasumatenemosunasolaecuacinconunaincgnita:

despejandolay,tenemos:

quehaciendolaoperacinda:

Paracalcularelvalordex,sustituimoselvalordeyenunadelasecuaciones,porejemplolaprimera:

despejandox,tenemos:

querealizandolaoperacindacomoresultado:



elresultadodelsistemaeselvalordexeyquesatisfacelasdosecuacionessimultneamente,quecomoyasabamoses:

Enestecasoeramuyfcildadoquelaxyatenaelmismocoeficientecambiadodesignoenunayotraecuacin.Podemosresolverelmismosistema,peroestavezeliminandolay:

vemoselcoeficientedelaydelaprimeraecuacines1yeldelasegunda,2simultiplicamoslaprimeraecuacinpor2,ylasegundalacambiamosdesigno,tendremos:

conloquetenemosquelaytieneelmismocoeficienteenlasdosecuacionescambiadodesigno.Sumandolasdosecuaciones:

astenemosunaecuacinconunaincgnita:

despejandolax:

elvalordexqueobtenemoses:

paracalcularysustituimoselvalorobtenidodexenunadelasecuaciones,laprimeradeellasporejemplo:

quedespejandolaytendremos:

conloquetenemos:



Comopuedeverseenelejemploresuelto,elmtododereduccinconsisteenoperarelsistemademodoqueunadelasincgnitastengaelmismocoeficienteenlasdosecuacionesperocambiadodesignoalsumarlasdosecuacioneselsistemasereduceaunaecuacinconunaincgnitaquedespejamos.Conestevalorsustituidoenunadelasecuacionesinicialescalculamoslasegundaincgnita.Esindistintoquesehagaconlaxoconlay,enlosdoscasosobtendremoselmismoresultado.

Mtododeigualacin

Elmtododeigualacinpararesolverunsistemadedosecuacionescondosincgnitasconsisteendespejarunadelasdosincgnitasenlasdosecuaciones.Seacualseaelvalordeestaincgnita,hadeserelmismoenlasdosecuaciones,portantopodemosigualarlasdosexpresionesobteniendounaecuacinconunaincgnita,quepodemosresolverconfacilidad.Unavezconocidoelvalordeunadelasdosincgnitaslosustituimosenunadelasecuacionesinicialesycalculamoslasegunda.Aprovechandoelmismoejemploanterior,veamoscmoseresuelveporigualacin:

despejamosenlasdosecuacionesunadelasincgnitas,porejemplolax:

elvalordexhadeserelmismoenlasdosecuaciones,porlotantotenemos:

Pasandotodoslostrminosconyaunmiembrodelaecuacin,ylostrminosindependientesalotro:

Operandotenemos:

Conloquetenemoselvalordey.Sustituyendoestevalorenlaprimeraecuacinydespejadalax,tenemosquesi:



Resultaquexvale:

lasolucindelsistemaes:

Comopuedeverse,elmtododeresolucindelsistemadeecuacionesnoafectaalresultado,porquetodosellosnosllevanalasolucin.Veamosqupasarasienestemismosistema,envezdedespejarlaxparadespusigualar,hubiramosdespejadolay:

layvalelomismoenunaecuacinqueenlaotra,porloquepodemosigualar:

operando:

conloqueyatenemoselvalordex,sustituyendoestevalorenlaprimeraecuacindespejadalaytenemos:

luegoyvaldr:



Sienlugardeenlaprimeraecuacinlohicisemosenlasegundaelresultadoseraelmismo:

queresultara:

Comopuedeverse,podemosresolverelsistemaindependientementedequincgnitadespejemosprimerooenquecuacinsustituyamosdespussuvalor,porloquepodemoshacerlodelmodoquenosresultemscmodo,segnloscoeficientesquetenganlasincgnitas.

Mtododesustitucin

Elmtododesustitucinconsisteendespejarunadelasincgnitasenunadelasecuacionesysustituirloenlaotra,dandolugarasaunaecuacinconunaincgnita.Unavezresueltasustituimossuvalorenlaecuacindespejadaycalculamoslasegundaincgnita.

Empleandoelmismoejemplodesistemaveamoscmoseresolveraporelmtododesustitucin:

podemosdespejarcualquieradelasdosincgnitasencualquieradelasdosecuaciones.Probemosprimerodespejandolaxdelaprimeraecuacin:

siahorasustituimoselvalordexdespejadodelaprimeraecuacinenlasegunda,tenemos:

resultandounasolaecuacineny,quepodemosresolver:



conloqueyatenemoselvalordey.Conestevalordeyenlaprimeraecuacin,despejamoslax:

queresulta:

lasolucindelsistemaes,portanto:

Naturalmentehabramosllegadoalamismasolucin,despejandotantolaxcomolayencualquieradelasdosecuacionesysustituyndolaenlaotraecuacin.

Veamosculseraelresultadosidespejramoslaydelasegundaecuacin:

siahorasustituimoselvalordespejadodeydelasegundaecuacinenlaprimera:

resultandounasolaecuacindeprimergradoconlaincgnitax,queresolvemosas:



conloquetenemoselvalordex.Paracalcularysustituimosestevalorenlasegundaecuacindespejadaeny:

conloquetenemos:

Conloqueobtenemoselmismoresultado:elsistemasolotieneunasolucinytodosloscaminosnosllevaneella,porqueelmtododeresolucinnoafectaelresultado,sloalasoperacionesquehayquehacerparaencontrarla.

RegladeCramer

LaRegladeCrameresunmtododelgebralinealpararesolversistemasdeecuaciones.Subasetericanoestansencillacomolosmtodosvistoshastaahorayempleaelcalculodedeterminantesdematricesmatemticas,ydalugaraunaformaoperativasencillayfcilderecordar,especialmenteenelcasodedosecuacionescondosincgnitas.

Aqusloveremossuformadeusopararesolverdosecuacionescondosincgnitas,sinentraradiscutirelorigendeestemtodo.Primeroveremosuncasogeneralyluegoresolveremosunejemplo.

Partiendodeunsistemageneraldedosecuacionescondosincgnitas:

Lamatrizdeloscoeficientesdelasincgnitassonunatablade2*2enlaqueseencuentranloscoeficientesdelasincgnitas,ordenadosporfilasycolumnas.Enlaprimerafilalosdelaprimeraecuacinyenlasegunda,losdelasegundaecuacin.Enlaprimeracolumnalosdelaprimeraincgnitayenlasegunda,los



delasegundaincgnita.

Elcoeficientedeunaincgnitaenunaecuacinocupaunafilaycolumnadeterminadaselcambioenelordendentrodelamatrizsuponelamodificacindelsistemadeecuaciones,lasmatricesserepresentanentreparntesis,comoenelejemplo:

EldeterminantedeunamatrizesunaoperacinsobreesamatrizquedacomoresultadounescalarE,quedependedelostrminosdelamatrizyellugardondeestnsituados:

Enelcasodeunamatrizde2*2,tenemosqueeselproductodelostrminosdeladiagonalprincipalmenoselproductodelosdeladiagonalsecundaria:

Estareglatansencillanosecumpleenmatricesdemayordimensinyparasucalculohayquetenerciertosconocimientosdelgebralineal.

PartiendodetodoestotenemosquelaRegladeCramerdiceque,enunsistemadeecuacioneslineales,elvalordecadaincgnitaeslarelacinqueexisteentreeldeterminantedelamatrizdeloscoeficientesdelasincgnitas,dondesehasustituidolacolumnadelaincgnitaaresolverporlacolumnadetrminosindependientes,entreeldeterminantedelamatrizdeloscoeficientesdelasincgnitas.

Assipartimosdelsistema:

Tendremosquelasincgnitasvaldrn:

Desarrollandolosdeterminantestendremoslasoperacionesarealizarparacalcularlax:



yparaelcalculodelay:

Hayquesealarquesieldeterminantedeloscoeficientesdelasincgnitasvalecero:

elsistemaesincompatibleocompatibleindeterminado,yslosercompatibledeterminadosiestedeterminanteesdistintodecero.

Comoejemplovamosaresolverelsistema:

Calculamosprimerolax:

yahoracalculamoslay:

Conloquetenemoslasolucinalsistemaque,naturalmente,es:



Solucindeunproblema

Laresolucindeunsistemadeecuacionesnoesunatareaensmisma,sinoqueformapartedelaresolucindeunproblema,tericooprctico.Veamoscomo,partiendodeunproblemaexpresadodemodotextual,podemostranscribirloaecuacionesyluegoresolverlo.

Elproblemaes:

Enunagranjahayconejosypatos.Sientretodossuman18cabezasy52patas,cuntosconejosypatoshay?

Tenemosunproblemaexpresadotextualmente.Pararesolverlotenemosquepasarloaformadeecuaciones,porloquetenemosquedeterminar:

1. Culessonlasincgnitas.2. Qurelacinhayentreellas.

Enestecasolapropiapreguntadiceculessonlasincgnitas:elnmerodeconejosyelnmerodepatos.Llamaremosxalnmerodeconejoseyalnmerodepatos:

Sabemosquecadaconejoycadapatotienenunasolacabeza.Portanto:elnmerodeconejosporunacabeza,mselnmerodepatosporunacabezatambin,tienenquesumar18:

Porotraparte,losconejostienencuatropatasylospatosslotienendos.Portanto:elnmerodeconejosporcuatropatascadauno,mselnmerodepatospordospatas,tienenquesumar52:

Lacuestines:quvaloresdexeycumplenlasdosecuacionesalmismotiempoestoes,lasdosecuacionesformanunsistemayelvalordelaxydelayeslasolucindeunsistemadedosecuaciones:

Yatenemoselsistemadeecuacionesperfectamenterepresentado,primeroveremosqueclasedesistemaes,ysiadmitesolucinono,podemosverque:

Luegoelsistemaescompatibledetermina,porloquetendrunanicasolucinypodemossolucionarloporcualquieradelosmtodosyavistos.Porejemplo,eldereduccin.

Todosloscoeficientesdelasegundaecuacinsonparesyportantodivisiblespordos:



Siahoralaprimeraecuacinlacambiamosdesigno,(multiplicndolapor1),tendremos:

sumamoslasdosecuaciones:

Conloquetenemosquex=8.Sustituyendoestevalorenlaprimeraecuacin,tenemos:

conloqueyatenemoslasolucindelproblema:

Podemoscomprobarestosresultadosenelenunciadodelproblemaparacomprobarquesoncorrectos.

Enresumen:partiendodeunproblemaenformadetexto,hemosidentificadolasincgnitasyhemosestablecidolasrelacionesquehayentreellas,dandolugaraunsistemaquetienetantasecuacionesindependientescomoincgnitas.Resueltoelsistema,tenemoslasolucin,quepodemoscomprobarqueescorrectaeneltextooriginal.

Bibliografa

lgebrayfunciones2,ecuacionesdesegundogrado,sistemadeecuaciones,ESO(2004)

Editor:Santillana,S.L.ISBN8429494928

Ecuacioneslineales(1992)

Editor:EdicionesPirmide,S.A.ISBN8436806972

Ecuaciones,matemticas,ESO.Cuaderno(1998)

Autor:BailoiMompart,C.Casals,RafaelGom,AntoniEditor:EditorialTeide,S.A.ISBN843074312X



Sistemasdeecuaciones(1989)

Autor:GallegoPalomero,A.Editor:EdicionesSMISBN8434828685

Sistemasdeecuaciones(1987)

Autor:Lowy,ErnestoEditor:EdicionesSMISBN8434822784

EcuacioneslinealesenEGByEEMM(1989)

Autor:RodrguezCano,NatalioJessEditor:CentrodeProfesoresdeBazaISBN8460081095

Sistemasdeecuacioneslineales(2005)

Autor:IglesiasGutirrezdellamo,ManuelEditor:InstitutoJuandeHerreraISBN8497281764

Matemticas,ecuacionesnolinealeseinecuaciones,4ESO.Cuaderno3(2007)

Autor:GarcaMuoz,JulioAlcaideGuindo,FernandoGonzlezFernndez,JosLuisEditor:EdicionesSMISBN8467515430

Enlacesexternos

Sistemalinealdedosecuacionescondosincgnitas(http://www.ematematicas.net/sistecuaciones.php?a=1)SISTEMASLINEALESDEDOSECUACIONESCONDOSINCGNITAS(http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99004501/ed99004501.html)Sistemaslinealesdedosecuacionescondosincgnitas.(http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/matematicas14.html)SISTEMADEECUACIONESLINEALESCONDOSVARIABLES(http://student_star.galeon.com/ecuacio.html)SistemaLinealdeDosEcuacionesconDosIncgnitas(http://www.elosiodelosantos.com/dosecuaciones.html)Sistemadedosecuacionescondosincgnitas(http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad2/Sistemas/u2sisecte20.pdf)

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