mke_6

MKE: osnovne relacije i interpolacijaDiskretizacija graninog problema

METODA KONANIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Briemail: [email protected]

Departman za Tehnike naukeDravni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Bri Metoda konanih elemenata


Sadraj

1 MKE: osnovne relacije i interpolacijaFormulacija na bazi pomeranjaInterpolacija i funkcije oblikaKompatibilnost i kompletnost funkcija oblika

2 Diskretizacija graninog problemaDiskretizacija domena i diferencijalnih jednaina2D problemi: ravno stanje napona i deformacijaTrougaoni konani elementi



Formulacija na bazi pomeranjaInterpolacija i funkcije oblikaKompatibilnost i kompletnost funkcija oblika

Sadraj






Granini ili poetni problem

Granini ili poetni problem deformabilnog 3D telaStanko Bri Metoda konanih elemenata



MKE: osnovne relacije i interpolacija

Granini (poetni) problem

Granini ili poetni problem deformabilnog tela posmatrastanje napona i deformacija tela usled datih spoljanjih uticajaUkoliko su spoljanji uticaji znaajnije zavisni od vremena,problem je dinamike prirode i opisan je (naelno)odgovarajuim diferencijalnim jednainama kretanjaAko su vremenske promene optereenja i odgovora telazanemarljive, problem je statike prirode i definisan jeodgovarajuim diferencijalnim jednainama ravnoteeOsim diferencijalnih jednaina kretanja ili ravnotee, moraju dabudu definisani i odgovarajui granini i poetni uslovi (zadinamiki problem)





Formulacija na bazi pomeranjaMKE je najvie primenjivan numeriki postupak za priblinoreavanje graninih i poetnih problemaVeina pristupa u MKE u Primenjenoj mehanici zasnovana jena polju pomeranja kao osnovnim nepoznatimU razmatranju nekog problema bitno je da se usvojeodgovarajui konani elementi i interpolacione funkcije, aposebno da se izvedu matrice krutosti elemenataIzvoenje sistema jednaina kojima se dobija priblino reenjeproblema zajedniko je, naelno, za sve probleme





Formulacija na bazi pomeranjaZa neke od konanih elemenata relacije mogu da se formuliudirektnim putem, kao to su linijski konani elementi zareetkaste i pune tapove, u ravni ili u prostoruZa povrinske ili prostorne konane elemente polazi se odosnovnih relacija u mehanici, odn. u naponsko-deformacijskojanalizi i teoriji elastinosti:

- veza izmeu napona i deformacija- veza izmeu deformacija i pomeranja- uslova ravnotee (ili diferencijalnih jednaina kretanja)- graninih i poetnih uslova- odgovarajuih pricipa Mehanike





Veze napon - deformacijaNeka su i vektori napona i deformacija, a indeks 0oznaava poetnu vrednost vektora napona ili deformacijaPosmatraju se idealno elastini materijali, pa je Dkonstitutivna matrica koja sadri odgovarajue elastinekonstanteZa linearno elastine uslove veza napon - deformacija moe dase prikae u obliku

= D+ 0 ili = D( 0) (1)

gde je 0 = D0





Veze napon - deformacija

Veza (1) vai za jednu, dve ili tri dimenzijeZa jednoaksijalno naprezanje i bez poetnih napona, veza je

= E

gde je E modul elastinostiZa dve dimenzije i ravan x, y veza (1) data u je obliku

xyxy

= D11 D12 D13D21 D22 D23D31 D32 D33

xyxy

+

x0y0xy0





Veze napon - deformacijaKonstitutivna matrica D je simetrina: Dij = DjiMatrica D moe da prikazuje izotropne ili anizotropnematerijalne osobineZa izotropan materijal i za ravno stanje napona(z = xz = yz = 0), konstitutivna matrica D data je uobliku

D =E

1 2

1 0 1 00 0 12

gde je E modul elastinosti, dok je Poisson-ov koeficijent





Veze napon - deformacijaInverzna konstitutivna matrica jednaka je

D1 =

1E E 0 E 1E 00 0 1G

gde je G modul klizanja

G =E

2(1 )





Veze napon - deformacijaZa izotropan materijal i za ravno stanje deformacija(z = xz = yz = 0), konstitutivna matrica D data je uobliku

D =E(1 )

(1 + )(1 2)

1 1 01 1 00 0 122(1)

Inverzna relacija (1), odn. veza deformacija - napon, dobija seu optem obliku

= D1 + 0





Veze napon - deformacijaZa izotropan materijal i za ravno stanje napona vezedeformacija - napon glase (napisano skalarno)

x =xE y

E+ x0

y = xE

+yE

+ y0

xy =xyG

+ xy0





Veze napon - deformacijaPoetne deformacije 0 mogu da imaju razne uzroke, npr.temperaturne promene, bubrenje usled vlage, skupljanje iteenje betonaU sluaju da se posmatra poetna deformacija usled dva ili vieizvora, u vezu (1) mogu da se ukljue i poetni naponi 0 ipoetne deformacije 0Ako je materijal izotropan, a poetna deformacija je nastalausled promene temperature t, onda je

x0 = y0 = t xy0 = 0

gde je koeficijent temperaturne dilatacije materijala





Veze napon - deformacijaU tri dimenzije konstitutivna matrica D je simertina, reda 6, ipovezuje i (uz zanemarivanje poetnog napona ilideformacija) = D:

xyzxyyzzx

= [Dij ]66

xyzxyyzzx

(2)





Veze napon - deformacijaZa sluaj izotropije, kao i za poetne deformacije usledtemperaturne promene t, ne-nulti elementi u vezi (2) su dati sa

D11 = D22 = D33 = (1 ) cD44 = D55 = D66 = G

D12 = D21 = D13 = D31 +D23 = D32 = c

x0 = y0 = z0 = t

gde je

c =E

(1 + )(1 2) G =E

2(1 + )





Veze deformacije - pomeranjaVeze izmeu deformacija i pomeranja su znaajne, jer se, prekoveza napon - deformacija odreuju naponi na osnovuprethodno izraunatih priblinih vrednosti pomeranja kaoosnovnih nepoznatihKoriste se inenjerske definicije deformacija

- dilatacija je promena duine podeljena sa originalnom duinom- klizanje je promena prvobitnog pravog ugla izmeu dva pravca

Posmatraju se pomeranja u ravni u = u(x, y), v = v(x, y)




Veze deformacije - pomeranja

Deformacije elementarnog kvadrata dx dy u ravni i odgovarajuedilatacije i klizanje (za x 0 i y 0)






Ako su poznata pomeranja take u(x, y) i v(x, y) u dva pravcax i y, onda su dilatacije i klizanje definisani sa

x =u

xy =

v

yxy =

u

y+v

x(3)

Za sluaj 3D prostora, komponente pomeranja suu(x, y, z), v(x, y, z) i w(x, y, z)Dilatacije i klizanja su dati sa, osim sa izrazima (3), jo i sa

z =w

zyz =

v

z+w

yzx =

w

x+u

z(4)





Veze deformacije - pomeranjaU matrinom obliku veze deformacije - pomeranja mogu da seprikau, za 2D, kao

xyxy

= x 00 y

y

x

{ u(x, y)v(x, y)

}(5)





Veze deformacije - pomeranjaU matrinom obliku veze deformacije - pomeranja mogu da seprikau, za 3D, kao

xyzxyyzzx

=

x 0 0

0 y 0

0 0 zy

x 0

0 zy

z 0

x

u(x, y, z)v(x, y.z)w(x, y, z)

(6)






Veze izmeu deformacija i pomeranja (5) i (6) mogu da senapiu skraeno u obliku

= Lu (7)

gde je L diferencijalni operator za 2D ili 3D

L2D =

x 00 yy

x

odn. L3D =

x 0 0

0 y 0

0 0 zy

x 0

0 zy

z 0

x

(8)






Sa u u vezi (8) oznaen je vektor sa komponentamapomeranja u 2D ili 3D:

u2D =

{u(x, y)v(x, y)

}odn. u3D =

u(x, y, z)v(x, y.z)w(x, y, z)

(9)Ako se posmatra jednodimenzionalna deformacija i pomeranjeu pravcu ose x: u = u(x), onda je veza dilatacija pomeranjedata sa

x =du

dx(10)





Veze deformacije - pomeranjaDiferencijalni operator u ovom sluaju pomeranja u jednompravcu moe da se prikae kao matrica samo sa jednimelementom:

L =

[d

dx

](11)

Imajui ovo u vidu, mogue je da se i za 1D problem, odn. zajednoaksijalno naprezanje, veza napon - deformacija napiematrinom obliku

= D x = Ex





Veze deformacije - pomeranjaVeza izmeu deformacije i pomeranja u jednoaksijalnomnaprezanju u pravcu ose x moe da se prikae u matrinomobliku

= Lu x = dudx

Kompatibilnost pomeranja i deformacija, ili krae, uslovikompatibilnosti mora da postoji i u numerikom modeluukoliko se oekuju (dovoljno) tani i realni rezultatiUslovi kompatibilnosti znae da se tokom pomeranja idefrmacije ne javljaju pukotine, prekidi u materijalu, naboriprilikom savijanja, da nema meupenetracije pojedinih delova isl





Kompatibilnost pomeranja i deformacijaUslovi kompatibilnosti zahtevaju da su pomeranja u raunskommodelu kontinualne i jednoznane funkcije koordinata udomenuAko se posmatra 2D ravanski model, onda se uslovikompatibilnosti svode na relaciju izmeu deformacija

2xy2

+2yx2

=2xyxy

Analogne relacije pretstavljaju uslove kompatibilnosti i za 3Dsluaj





Uslovi ravnotee / Diferencijalne jednaine kretanja: 3D

Uslovi ravnotee u prostornom problemu postavljaju seposmatrajui elementarnu zapreminu dV = dxdydzNa povrinama elementarne zapremine deluju unutranje sileveze (naponi), a u sreditu elementarne kocke delujurezultujue zapreminske sileU statikom sluaju mirovanja tela, sve sile koje deluju na telo,ili na izdvojeni deo ( mali ili konani), nalaze se u ravnoteiU dinamikom sluaju postavlja se Zakon o promeni koliinekretanja (ili 2. Njutnov zakon) za posmatrani izdvojenielementarni deo tela




Elementarna zapremina dV = dxdydz

Naponi su unutranje sile veze na stranicama elementarnezapremine unutar 3D tela






Diferencijalne jednaine kretanja elementarne zapremine telamogu da se prikau u obliku

u =xx

+yxy

+zxz

+ fx

v =xyx

+yy

+zyz

+ fy

w =xzx

+yzy

+zz

+ fz

(12)

Komponente pomeranja sredita elementarne zapremine suu, v, w, dok su u, v, w komponente ubrzanja






U jedn. (12) sa je oznaena gustina mase

=dm

dV

Zapreminske sile u jedn. (12) mogu da se prikau kao vektorzapreminskih sila fb:

fb =

fxfyfz






Diferencijalne jednaine kretanja (12) mogu da se prikau umatrinom obliku kao

u = LT + fb (13)

gde je L diferencijalni operator (8), u ovom sluaju za 3DU sluaju mirovanja, ubrzanja i brzine su jednaki nuli, pajednaine kretanja (13) postaju jednaine ravnotee

LT + fb = 0 (14)






Ako se naponi u jedn. (13) prikau preko deformacija, (1), uz0 = 0, pa ako se deformacije izraze preko pomeranja, (7),dobijaju se diferencijalne jednaine kretanja izraene prekopomeranja

u = LTDLu+ fb (15)

Slino, jednaine ravnotee (14) mogu da se prikau prekopomeranja

LTDLu+ fb = 0 (16)






3D problem moe da se znaajno uprosti ako moe da seposmatra kao 2DU prikazivanju 2D solida (deformabilnog tela) naelno seukloni jedna koordinata, obino z, i problem se posmatra ux, y ravniSmatra se da su promenljive veliine problema nezavisne od zkoordinate, kao i da je spoljanje optereenje nezavisno od zProblemi 2D solida grupiu se, naelno, u dva tipa problema:

- ravno stanje napona- ravno stanje deformacija






Deformabilna tela u ravnom stanju napona su po svom obliku2D, odn. takva da su dimenzije u jednoj ravni (x, y) slinogreda veliine, dok je trea dimenzija, u pravcu ose z, za redveliine manjaSpoljanje sile deluju samo u x, y ravni i naponi u pravcu z sujednaki nuli

z = 0 xz = 0 yz = 0

Sva pomeranja i deformacije vre se samo u x, y ravni




Ravno stanje napona

Telo dvodimenzionalnog oblika u ravnom stanju napona(npr. zidno platno)






Deformabilna tela u ravnom stanju deformacija su po svomobliku 3D, odn. dimenzija u pravcu ose z za red veliine jevea od dimenzija u ravni (x, y)Spoljanje sile su ravnomerno raspodeljene u pravcu ose z (anaravno i u x, y ravni)Sva pomeranja i deformacije u pravcu ose z su spreenaKomponentalne deformacije u pravcu ose z su jednake nuli:

z = 0 xz = 0 yz = 0




Ravno stanje deformacija

Telo trodimenzionalnog oblika u ravnom stanju deformacija(npr. gravitaciona brana ili potporni zid)






Diferencijalne jednaine kretanja za 2D solid (ravno stanjenapona ili deformacije) mogu da se prikau u obliku

u =xx

+yxy

+ fx

v =xyx

+yy

+ fy

(17)

odnosno, u matrinom obliku:

u = LT + fb (18)

gde je L diferencijalni operator (8), u ovom sluaju za 2D






Vektor spoljanjih sila fb u jedn. (18) dat je sa

fb =

{fxfy

}U sluaju kada je 2D problem statiki, onda su jednaineravnotee date sa

LT + fb = 0 (19)

ili u obliku samo po pomeranjima:

LTDLu+ fb = 0 (20)





Granini ili poetni problem deformabilnog 3D tela






Posmatrano deformabilno telo zauzima neku zapreminuprostora V , dok je granina povr oko zapremine VNa konturi oblasti definisanosti problema zadati su graniniuslovi koji mogu da budu

- granini uslovi po pomeranjimagranini uslovi po silama

U takama konture povri na delu 1 zadata su pomeranjaU takama konture povri na delu 2 zadate su sile





Granini uslovi po pomeranjimaGranini uslovi po pomeranjima odnose se na konturu 1 i datisu u obliku:

x1 1 u(x1) = u (21)gde su u zadata pomeranja na konturi 1Najee su u pitanju spreena pomeranja, usled prisustvaodgovarajuih oslonaca, tako da je u = 0, odn. granini uslovipo pomeranjima su homogeni:

x1 1 u(x1) = 0 (22)





Granini uslovi po pomeranjimaPod izrazom pomeranja podrazumevaju se pomeranja ugeneralisanom smislu, dakle i obrtanjaObrtanja se, u velikom broju sluajeva, izraavaju kao prviizvodi komponenti pomeranja po odgovarajuim koordinatama,na osnovu usvojenih pretpostavki, kao to je, npr. Bernouli-evahipoteza ravnih presekaImajui to u vidu, granini uslovi po pomeranjima (21) ili (22)podrazumevaju i zadata obrtanja, npr. za uslove oslanjanjakoja sadre ukljetenja





Granini uslovi po silamaGranini uslovi po silama odnose se na konturu 2 ipretstavljaju vezu izmeu napona i povrinskih sila (Koijevejednaine)Neka je vektor spoljanje normale na tangencijalnu ravankonture gde su zadate spoljanje povrinske sile dat sa

~n = { cos cos cos } = { nx ny nz }

dok je vektor povrinskog optereenja dat sa

~p = { px py pz }





Granini uslovi po silama

Granini uslovi po silama (Koijeve jednaine) mogu da senapisu u obliku

px = x cos+ xy cos + xz cos

py = yx cos+ y cos + yz cos

pz = zx cos+ zy cos + z cos

(23)

Jednaine (23) mogu da se napiu u matrinom obliku kao

n = p (24)





Granini uslovi po silama

U jednaini (24) uvedene su oznake

n =

nx 0 0 ny 0 nz0 ny 0 nx nz 00 0 nz 0 ny nx

T = { x y z xy yz zx }pT = { px py pz }

(25)






U dinamikim problemima moraju da budu zadati, osimgraninih, jo i poetni uslovi:

- zadata poetna konfiguracija u poetnom trenutku t = 0- zadata poetna brzina (prvi izvod po vremenu) u poetnomtrenutku t = 0

Ako je u(t) vektor pomeranja u proizvoljnom trenutkuvremena, onda su poetni uslovi dati u obliku

- poetni poloaj . . . t = 0 : u(x, 0) = u0- poetna brzina . . . t = 0 : u(x, 0) = v0




Sadraj







Interpolacija i funkcije oblikaInterpolacija znai formiranje kontinualnih funkcija kojezadovoljavaju propisane uslove u konanom broju taakaU MKE konaan broj taaka su vorne take konanihelemenata, a propisani uslovi su vrednosti nepoznatih, aeventualno i njihovih izvoda, u vornim takamavorne vrednosti mogu da budu i tane (to obino nisu upotpunosti), ali interpolacija pretstavlja priblinu raspodelunepoznatih unutar posmatrane oblasti (unutar konanogelementa)





Interpolacija i funkcije oblikaNeka je domen posmatranog problema podeljen napod-oblasti, odn. na konane elementate sa odgovarajuimdomenima svakog elementa eProstornoj dimenziji domena odgovara i dimenzija konanihelemenata e: 1D, 2D ili 3DObino se domen opisuje u Dekartovom sistemu, tako da sekoriste koordinate (x), (x, y), ili (x, y, z)Diskretizacijom domena na konane elemente usvaja se oblikkonanih elemenata, kao i broj vornih taaka i broj nepoznatihparametara (generalisanih koordinata) u svakoj vornoj taki





Interpolacija i funkcije oblikaNeka je domen diskretizovan na nel konanih elemenata ineka svaki konani element ima nd vornih taaka, a u svakojvornoj taki nf vornih nepoznatihUkupan broj nepoznatih (broj stepeni slobode) jednogkonanog elementa je ndof = nd nfAko je u mrei konanih elemenata prisutno nnd vornih taakaza sve konane elemente, onda je ukupan broj stepeni slobodecelog domena, ili ukupan broj generalisanih koordinata, jednak

ntot = nnd nfpod uslovom da u svakom voru ima isti broj nepoznatih





Interpolacija i funkcije oblikaPosmatra se jedan konani element sa nd vornih taakaLokacije vornih taaka u globalnom koordinatnom sistemudate su sa vektorima xi, (i = 1, 2, . . . , nd)U zavisnosti od dimenzije domena, vektori poloaja vornihtaaka konanog elementa dati su sa

- za 1D . . .xTi = {x}i- za 2D . . .xTi = {x, y}i- za 3D . . .xTi = {x, y, z}i

Za svaku komponentu pomeranja konanog elementa potrebnoje da se definie nd interpolacionih funkcija





Interpolacija i funkcije oblika

Na primer, za prost tap (1D element), komponentapomeranja je aksijalno pomeranje uZa gredni nosa (1D element), komponenta pomeranja jetransverzalno pomeranje v, kao i obrtanje, odn. izvodpomeranja = v

Za ravno stanje napona ili deformacija (2D element),komponente pomeranja su u, vZa savijanje tankih ploa (2D element), komponentapomeranja je w, kao i obrtanja, odn. izvodi pomeranjax = w/y, y = w/xZa 3D element, komponente pomeranja su u, v, w





Interpolacija i funkcije oblikaPosmatra se, kao ilustracija postupka, samo jedna komponentapomeranja i njeno priblino prikazivanje (interpolacija) unutardomena konanog elementa sa nd vornih taakaNeka je komponenta pomeranja koja se interpolira unutarelementa komponenta pomeranja u = u(x)Ako konani element ima nd vornih taaka, prvo se prikaekomponenta pomeranja u = u(x) kao linearna kombinacija ndmeusobno nezavisnih baznih funkcija pi(x)

u u(x) =nd1

pi(x)i = pT (x) (26)






U izrazu (26) funkcije pi(x) su bazne funkcije koje se birajukao monomi (ili polinomi) prostornih koordinata x, dok su inepoznati koeficijenti koji treba da se odredeMonomi ili polinomi koji ine kompletnu bazu do stepena pdati su

za 1D domen pT (x) = {1, x, x2, x3, x4 . . . xp}za 2D domen pT (x) = {1, x, y, xy, x2, y2, . . . , xp, yp}za 3D domen

pT (x) = {1, x, y, z, xy, yz, zx, x2, y2, z3, . . . , xp, yp, zp}





Paskalov trougao - 2D domen

Kao opte pravilo, nd lanova polinoma p(x) koji se koristekao bazne funkcije u interpolaciji treba da se izaberu, odkonstantnog lana (nulti monom, odn. 1) do viih lanova,redom, iz tzv. Paskalovog trougla za 2D, odnosno iz Paskalovepiramide za 3D





Paskalova piramida -3D domen





Interpolacija i funkcije oblikaDa bi se odredili nepoznati koeficijenti i, odnosno izrazilipreko vornih vrednosti osnovnih nepoznatih qi, u ovomsluaju komponenti vornih pomeranja ui, koristeiinterpolaciju (26) piu se izrazi za vorna pomeranja ui upoznatim lokacijama vornih taaka xiTo moe da se prikae relacijama

ui = pT (xi) (i = 1, 2, . . . , nd) (27)

gde je ui vorna vrednost komponente pomeranja u u vorubroj i sa koordinatama xi






Svih nd jednaina (27) mogu da se napiu kao jedna matrinajednaina

u = P (28)

gde je u vektor sa komponentama vornih pomeranja ui, dokje vektor sa nepoznatim konstantama:

u =

u1u2...und

=

12...nd






Matrica P u jednaini (28) zove se momentna matrica i dataje u obliku kvadratne matrice

P =

p1(x1) p2(x1) pnd(x1)p1(x2) p2(x2) pnd(x2)

......

. . ....

p1(xnd) p2(xnd) pnd(xnd)

(29)Ako su bazne funkcije (monomi ili polinomi) pi(x) meusobnonezavisne regularnost matrice zavisi od rasporeda vorova ukonanom elementu






Koeficijenti i dobijaju se reavanjem matrine jednaine (28),uz uslov da postoji inverzna matrica P1:

= P1 u

Unosei ovo u (26) dobija se

u(x) u(x) = pT (x)P1 u = N(x)u (30)

gde je N(x) matrica interpolacionih funkcija:

N = pT (x)P1 = [ N1(x) N2(x) Nnd(x) ] (31)






Interpolaciona funkcija broj i, Ni(x), koja se odnosi na vor i ina jednu komponentu pomeranja u tom voru (komponentupomeranja ui kao ilustracija), data je, kao to se vidi, u obliku

Ni(x) = pT (x)P1i (32)

gde je P1i i-ta kolona matrice P1

Izvodi interpolacionih funkcija po prostornim koordinatama xmogu lako da se odrede, jer se interpolacione funkcijeizraavaju preko polinoma






m-ti izvod interpolacione funkcije Ni(x) jednak je

N(m)i (x) = [p

(m)(x)]T P1i (33)

Kod konanih elementata vektor pomeranja d = q moe daima vie komponentalnih pomeranja:

- linijski (1D) elementi . . .dT = {u} ili dT = {v}- povrinski (2D) elementi . . .dT = {u, v}- zapreminski (3D) elementi . . .dT = {u, v, w}

Osim komponenata pomeranja, vorne nepoznate konanogelementa mogu da budu i obrtanja





Interpolacija i funkcije oblikaObrtanja su definisana kao odgovarajui izvodi pomeranja, alise posmatraju kao nezavisne promenljive veliine, kao npr. uanalizi grednih konanih elemenata ili u analizi ploaAko konani element (1D, 2D ili 3D) ima nd vornih taaka, au svakom voru ima nf komponentalnih pomeranja, odn. nfstepeni slobode, onda je broj stepeni slobode (dof) konanogelementa jednak

ndof = nd nf






Vektor vornog pomeranja di i vektor pomeranja (vektorgeneralisanih koordinata) za ceo konani element del dati sukao

di = qi =

q1q2...qnf

del = qel =

q1q2...qnd

(34)






Ako konani element (1D, 2D ili 3D) ima nd vornih taaka,vektor pomeranja proizvoljne take unutar konanog elementaprikazuje se preko interpolacionih funkcija i vektorakomponentalnih vornih pomeranja di u obliku

d(x) =

ndi=1

Ni(x)di = N d (35)






Interpolacione funkcije Ni(x) za vor i u kome ima nf vornihnepoznatih, date su sa

Ni(x) = Ni(x) Inf (36)

gde su- Ni(x) . . . interpolacione funkcije odreene za jednukomponentu pomeranja u voru i

- Inf . . . jedinina matrica reda nfNaelno, mogue je da svaka komponenta pomeranja imarazliitu interpolacionu funkciju, ali se to (obino, osim ako nemora), ne radi, ve su interpolacione funkcije date kaoNi(x) Inf





Prost tap sa dva voraZa konani element prostog tapa odrediti funkcije oblika





Prost tap sa dva voraKonani element je u 1D domenu, sa dve orne take i sa pojednom komponentom pomeranja u voruBaznih funkcija ima dve i to su p1 = 1 i p2 = x, odnosno, umatrinom obliku

pT (x) = { 1 x }

Pomeranje u(x) na proizvoljnom mestu du konanog elementaprikazuje se u obliku (26), to je u ovom sluaju dato sa

u(x) = 0 + x1 = { 1 x }{01

}(37)





Prost tap sa dva voraKoordinate vornih taaka 1 i 2 su date sa

u1 : x1 = 0 u2 : x2 = `

Ako se relacija (37) napie za vorne take, dobija se

u1 = { 1 0 }{01

}= 0

u2 = { 1 ` }{01

}= 0 + ` 1

ili u matrinom obliku u = P





Prost tap sa dva voraU razvijenom obliku u = P postaje{

u1u2

}=

[1 01 `

]{01

}Inverzna matrica momentne matrice P se dobija u obliku

P1 =[

1 01` 1`

]pa su konstante date sa

= P1u





Prost tap sa dva vora

Sa ovim, prikaz pomeranja u(x) dat sa (37) dobija se u obliku

u(x) = pT (x)P1u = { 1 x }[

1 01` 1`

]{u1u2

}(38)

Interpolacione funkcije date su sa (33):

Ni(x) = pT (x)P1i (39)

odnosno, kao proizvod vektora baznih funkcija i odgovarajuegvektora kolone inverzne momentne matrice P1i





Prost tap sa dva voraDobijaju se interpolacione funkcije

N1(x) = { 1 x }{

11`

}= 1 x

`

N2(x) = { 1 x }{

01`

}=x

`

Sa ovim, interpolacija aksijalnog pomeranja du konanogelementa data je sa

u(x) =[N1(x) N2(x)

]{ u1u2

}





Gredni konani element u ravniZa gredni konani element u ravni sa dve take odreditifunkcije oblika





Gredni konani element u ravniGredni konani element u ravni sa dve take zahtevakontinuitet C1, jer su u vornim takama nepoznate veliine,osim transverzalnih pomeranja, jo i obrtanja, odn. prvi izvodipomeranjaHomogena diferencijalna jednaina savijanja tapa, izraenapreko pomeranja, data je sa

d4v(x)

dx4= 0

Opti integral ove jednaine je

v(x) = C1 + C2x+ C3x2 + C4x

3





Gredni konani element u ravniImajui sve ovo u vidu, interpolacija transverzalnog pomeranjadu ose konanog elementa usvaja se u obliku baznih funkcijado kubnog monoma:

pT (x) = { 1 x x2 x3 } (40)

Prvi izvodi baznih funkcija su

[p(x)]T = { 0 1 2x 3x2 } (41)





Gredni konani element u ravniInterpolacija transverzalnog pomeranja v(x) taaka du osekonanog elementa prikazuju se u obliku

v(x) = pT (x) = { 1 x x2 x3 }

0123

(42)Diferenciranjem baznih funkcija po x prikazuje se interpolacijaobrtanja

(x) =dv

dx





Gredni konani element u ravniInterpolacija obrtanja (x) du ose konanog elementa dobijase kao

(x) = [p(x)]T = { 0 1 2x 3x2 }

0123

(43)Koristei interpolaciju (42) i (43) mogu da se prikaupomeranja i obrtanja vornih taaka u zavisnosti odnepoznatih konstanti i





Gredni konani element u ravniImajui u vidu da je za vor 1 x = 0, dok je za vor 2 x = `,dobija se jednaina

v11v22

=

1 0 0 00 1 0 01 ` `2 `3

0 1 2` 3`2

0123

(44)ili u matrinom obliku

q = P (45)





Gredni konani element u ravniInverzna matrica momentne matrice P dobija se kao

P1 =

1 0 0 00 1 0 0 3`22` 3`2 1`

2`3

1`2 2`3

1`2

(46)Prema tome, nepoznate konstante izraavaju se prekovornih nepoznatih

= P1q

Unosei ovako izraene konstante u izraz za transverzalnapomeranja (42) dolazi se do interpolacionih funkcija





Gredni konani element u ravniInterpolacione funkcije date su kao proizvod vektora baznihfunkcija i odgovarajue kolone inverzne matrice P1i

Ni(x) = pT (x)P1i (47)

Interpolaciona funkcija N1(x) data je sa

N1(x) = { 1 x x2 x3 }

10 3`2

2`3

= 13x2

`2+2

x3

`3(48)





Gredni konani element u ravniInterpolaciona funkcija N2(x) data je sa

N2(x) = { 1 x x2 x3 }

012`

1`2

= 13x2

`2+ 2

x3

`3(49)

Interpolaciona funkcija N3(x) data je sa

N3(x) = { 1 x x2 x3 }

003`2

2`3

= 3x2

`2 2x

3

`3(50)





Gredni konani element u ravniInterpolaciona funkcija N4(x) data je sa

N4(x) = { 1 x x2 x3 }

001`

1`2

= x2

`+x3

`2(51)

Transverzalna pomeranja du ose konanog elementaizraavaju se preko vornih pomeranja i obrtanja:

v(x) = [ N1(x) N2(x) N3(x) N4(x) ]

v11v22





Gredni konani element u ravni




Sadraj







Kontinuitet interpolacionih funkcijaU primeni MKE prva stvar je diskretizacija raunskog domenana pod-domene, odn. na konane elementeUnutar svakog konanog elementa usvaja se lokalnainterpolacija nepoznatih veliina posmatranog problema, kojase izraava preko usvojenih interpolacionih funkcija i vornihvrednosti nepoznatih veliinaCilj diskretizacije domena i samog numerikog postupka uMKE je da se postigne to je bolje numeriko reenje problema





Kontinuitet interpolacionih funkcija

to bolje numeriko reenje znai da se postignekonvergencija priblinog reenja ka tanomKako je tano reenje, u principu, nepoznato, procena dobrekonvergencije nije jednostavnaNastoji se da se formuliu naelni zahtevi koji obezbeujukonvergenciju, koji se prvo (paljivo) testiraju na poznatimreenjima, pa se onda smatra da e takvi zahtevi da obezbedekonvergenciju i za nepoznato reenje





Kontinuitet interpolacionih funkcijaU MKE tanost reenja procenjuje se sa stanovitakonvergencije kada se mrea konanih elemenata profinjujePostoje dva pristupa u profinjenju (poboljanju) mreekonanih elemenata:

1 poveanje gustine mree (lokalno ili globalno), uz zadravanjeistog tipa konanih elemenata

2 zadravanje iste gustine mree, ali usvajanje sloenijihkonanih elemenata - uvoenje vie stepeni slobode u elemente





Kontinuitet interpolacionih funkcijaU prvom pristupu smanjuju se dimenzije konanih elemenata, uceloj mrei u domenu, ili samo na pojedinim delovima, gde jevei gradijent promene promenljivih veliinaSmanjenjem dimenzija konanih elemenata neminovno sepoveava ukupan broj konanih elemenata za isti domenPoveanje gustine mree konanih elemenata poveava ukupanbroj nepoznatih veliina i javljaju se problemi u reavanjuvelikog broja jednaina, odn. problemi u baratanju sa velikimvektorima i matricama





Kontinuitet interpolacionih funkcijaU drugom pristupu dimenzije konanih elemenata se nemenjaju, ali se poveava stepen interpolacionih polinomaU sluaju usvajanja kompleksnijih konanih elemenata, sa viestepeni slobode, opet se poveava ukupan broj nepoznatih (alimanje nego u prvom sluaju), ali je takoe i numerika analizai programiranje kompleksnijeOba pristupa imaju prednosti i mane, ali se, naelno, smatrada je efikasniji prvi pristup





Kontinuitet interpolacionih funkcijaU generalnom graninom problemu, gde je osnovna nepoznatapromenljiva problema prikazana unutar konanog elementapreko interpolacije

(x, y, z) = N(x, y, z) q,

za obezbeenje konvergencije prilikom profinjenja mree,interpolacione funkcije moraju da zadovolje dva uslova

1 uslove kompatibilnosti2 uslove kompletnosti





Kontinuitet interpolacionih funkcijaUslovi kompatibilnosti znae da promenljiva problema i sviparcijalni izvodi sve do jednog reda manje od najveeg izvodau integralnoj formulaciji problema moraju da budu kontinualnidu granica konanog elementaKod reetkastih konanih elemenata u Galerkinovoj formulacijijavljaju se prvi izvodi u integralnoj formulacijiPrema tome, za interpolacione funkcije treba da budezadovoljen C0 kontinuitetKod grednih nosaa u integralnoj formulaciji se javljaju drugiizvodi pomeranja, pa interpolacione funkcije treba da budu C1

kontinualne





Kontinuitet interpolacionih funkcijaUslovi kompletnosti znae da promenljiva problema i sviparcijalni izvodi sve do najveeg izvoda u integralnojformulaciji problema moraju da budu u stanju da dobijukonstantnu vrednost i kada se dimenzije konanih elemenatasmanjuju do nuleUslovi kompletnosti znae da polje pomeranja unutarkonanog elementa moe da ima konstantnu vrednost i daomogui prikazivanje pomeranja krutog telaSlino, konstanantan prvi izvod, odn. konstantan nagib kodgrednih konanih elemenata omoguava prikazivanje rotacijekrutog tela






Interpolacione funkcije (funkcije oblika) Ni definisane sulokalno unutar svakog konanog elementaKontinuitet raspodele nepoznatih obezbeen je unutar svakogkonanog elemenataMeutim, raspodela nepoznatih izmeu elemenata ne mora dabude kontinualnaKontinuitet Cm interpolacionih funkcija znai da postojikontinuitet izmeu elemenata sve do izvoda interpolacionihfunkcija reda m (ukljuujui i m)






Prema tome, kontinuitet C0 znai da su samo vrednostinepoznatih (x) u vornim takama iste za sve konaneelemente sa zajednikim voromKontinuitet C1 znai da su ne samo nepoznate (x), ve iodgovarajui prvi izvodi nepoznatih (x) u zajednikom voruza sve elemente istiZa kontinuitet C1 drugi izvodi (x) nisu kontinualni izmeuelemenata





Kontinuitet interpolacionih funkcijaKod konanih elemenata za grede, ploe i ljuske trai sekontinuitet C1 u kome je obezbeen i kontinuitet nagibaizmeu elemenataTo znai da, npr. kod grednih konanih elemenata, vrednostiM i T u zajednikom voru za dva konana elementa nisu iste,jer se M i T odreuju preko drugog i treeg izvoda ugibaDa bi bio ostvaren kontinuitet Cm, neophodno je da osimfunkcije (x) i svi izvodi do dm(x)/dxm budu ukljueni uvorne generalisane koordinateKod grednih elementata vorne nepoznate su ugibi i nagibi,ime je obezbeen kontinuitet C1





Funkcija 1(x) je C0 kontinualna, funkcija 2(x) je C1 kontinualna





Osobine interpolacionih funkcijaKonzistencija funkcija oblika unutar konanog elementa zavisiod stepena monoma (polinoma) u baznim funkcijama pi(x)Prema tome, konzistencija takoe zavisi i od broja vornihtaaka nd u konanom elementuAko su u baznim funkcijama pi(x) ukljueni kompletni (svi)monomi do stepena k, onda funkcije oblika Ni(x) posedujuCk konzistencijuPosmatra se neka veliina (neko polje funkcije) unutarkonanog elementa prikazana sa

f(x) =kj=1

pj(x)j gde je k nd





Osobine interpolacionih funkcijaImajui u vidu polaznu relaciju u interpolaciji komponentepomeranja datu sa (26), ako se usvoji da je

j =

{j za (j = 1, 2, . . . , k)0 za (j = k + 1, . . . , nd)

onda moe da se dobija da je

u(x) =

ndj=1

pj(x)j = f(x)

pod uslovom da postoji inverzija P1 momentne matrice P





Osobine interpolacionih funkcijaOsobina reprodukcije znai da bilo koja funkcija koja postojikao bazna funkcija pi(x) moe da se tano prikae uinterpolaciji preko funkcija oblikaOsobina konzistencije funkcija oblika zavisi o kompletnosti nizabaznih (polinomskih) funkcijaOsobina reprodukcije zavisi da li je eljena funkcija ukljuena ubazne funkcije prilikom izvoenja funkcija oblika





Osobine interpolacionih funkcija

Linearna nezavisnost baznih funkcija pi(x) je polazite uizvoenju funkcija oblika Ni(x)Posledica toga je da su i funkcije oblika linearno nezavisne, toje obezbeeno pod uslovom da postoji inverzija P1

momentne matrice PDrugim reima, u prostoru funkcija, funkcije oblika suekvivalentne sa baznim funkcijama





Osobine interpolacionih funkcijaLinearna nezavisnost je osnov za Osobinu delta funkcijefunkcija oblikaOsobina delta funkcije funkcije oblika znai da funkcija oblikabroj i ima vrednost jedan u voru broj i (u svom voru), avrednost nula u svim ostalim vorovima (u udaljenimvorovima):

Ni(xj) = ij =

{1 i = j j = 1, 2, . . . , nd0 i 6= j i, j = 1, 2, . . . , nd (52)

(ij je delta funkcija)





Osobine interpolacionih funkcijaOsobina delova jedinice interpolacionih funkcija znai sledeeAko je konstantan lan (monom nultog stepena, odn. 1)ukljuen u bazne funkcije, onda za izvedene funkcije oblika vai

ndi=1

Ni(x) = 1 (53)

za bilo koju taku x unutar konanog elementaDrugim reima, zbir svih interpolacionih funkcija u bilo kojojtaki oblasti konaog elementa jednak je jedinici(interpolacione funkcije su delovi jedinice)



Diskretizacija domena i diferencijalnih jednaina2D problemi: ravno stanje napona i deformacijaTrougaoni konani elementi

Sadraj






Diskretizacija graninog problema

Diskretizacija domena i diferencijalnih jednaina

Posmatrani problem Primenjene mehanike (Mehanike vrstogtela) definisan je odgovarajuim graninim problemom, toznai da je poznato sledee:

- domen definisanosti problema i granica domena - diferencijalne jednaine problema u oblasti : A(u) = 0- zadati granini uslovi na konturi domena : B(u) = 0

Domen definisanosti problema (1D, 2D ili 3D) prikazan je uDekartovim koordinatama x i osnovna nepoznata veliina jepomeranje taaka vrstog tela u(x)





Diskretizacija domena i diferencijalnih jednainaMKE je numerika metoda u kojoj se domen definisanostiproblema diskretizuje na pod-domene, odn. na konaneelementeSvaki konani element ima izabrani broj vornih taaka ukojima su nepoznate veliine vorna pomeranja, odn. vornegeneralisane koordinateNepoznate veliine problema (nepoznata pomeranja) prikazujuse unutar konanog elementa u obliku

u(x) = N(x) q (54)






U jednaini (54) sa N(x) oznaena je matrica poznatihinterpolacionih funkcija konanog elementa, dok je q vektornepoznatih vornih generalisanih koordinata posmatranogkonanog elementaInterpolacione funkcije su pogodno izabrane funkcije kojezadovoljavaju uslove kompletnosti i koje su posedujukontinuitet do eljenog nivoa mInterpolacione funkcije definisane su lokalno, unutarposmatranog konanog elementa, kao funkcije lokalnihkoordinata definisanih u odnosu na konani element




Domen problema i granica domena






Posmatra se diferencijalna jednaina ravnotee (16) unutardomena jednog konanog elementa e

LTDLu+ fb = 0

U ovu jednainu unosi se aproksimacija (54), pa se dobijaostatak (rezidijum), koji je jednak nuli samo za tano reenje,inae je 6= 0Primenjuje se Metoda teinskih ostataka u obliku MetodeGalerkina, pa je teinska funkcija jednaka probnoj funkciji,odnosno interpolacionoj matrici NT





Diskretizacija domena i diferencijalnih jednainaIntegracija rezidijuma pomnoenog sa teinskom funkcijom vrise unutar domena jednog konanog elementa e:

e

NTLTDLN de q +

e

NTfb de = 0 (55)

Integracija po zapremini domena zamenjena je saintegracijom po zapremini elementa e, jer se smatra dapretpostavljeno polje pomeranja zadovoljava uslovekompatibilnosti izmeu elemenataVektor vornih generalisanih sila q izvuen je izvan integralapo zapremini konanog elementa, jer su elementi vektora qnezavisni od integracije po konanom elementu





Diskretizacija domena i diferencijalnih jednainaUvodi se oznaka za matricu deformacije B, koja je proizvodmatrice operatora L i matrice interpolacionih funkcija N :

B = LN (56)

Struktura matrice B zavisi od matrice operatora L, kao i odizabranih interpolacionih funkcijaSa ovom oznakom, Galerkinova jednaina moe da se pie uobliku (

e

BT DB de

)q +

e

NTfb de = 0 (57)






Integral u zagradi u prvom lanu jednaine (57) oznaava sekao

Ke =

e

BT DB de (58)

i pretstavlja matrcu krutosti konanog elementaDrugi integral u jedn. (57) pretstavlja vektor ekvivalentnogoptereenja Qe

Qe =

e

NTfb de (59)





Diskretizacija domena i diferencijalnih jednainaSa ovim oznakama za matricu krutosti elementa i za vektorekvivalentnog optereenja, koji potie od zapreminskih sila,Galerkinova jednaina (57) moe a se prikae u obliku

Ke q +Qe = 0 (60)

Jednaina (61) pretstavlja jednainu ravnotee konanogelementaGranini uslovi





Diskretizacija domena i diferencijalnih jednainaSa ovim oznakama za matricu krutosti elementa i za vektorekvivalentnog optereenja, koji potie od zapreminskih sila,Galerkinova jednaina (57) moe a se prikae u obliku

Ke q +Qe = 0 (61)

Jednaina (61) pretstavlja jednainu ravnotee konanogelementa




Sadraj






2D problemi: ravno stanje napona i deformacija

Osnovne relacije za 2D problemOsnovne relacije na bazi kojih se formuliu numerika reenjaproblema Primenjene mehanike su

- veze izmeu napona i deformacija- veze izmeu deformacija i pomeranja- uslovi ravnotee (ili diferencijalne jednaine kretanja)- granini i poetni uslova- odgovarajui pricipi Mehanike

Problemi 2D solida grupiu se, naelno, u dva tipa problema:- ravno stanje napona- ravno stanje deformacija





Osnovne relacije za 2D problemDeformabilna tela u ravnom stanju napona su po svom obliku2D, odn. takva da su dimenzije u jednoj ravni (x, y) slinogreda veliine, dok je trea dimenzija, u pravcu ose z, za redveliine manjaSpoljanje sile deluju samo u x, y ravni i naponi u pravcu z sujednaki nuli

z = 0 xz = 0 yz = 0

Sva pomeranja i deformacije vre se samo u x, y ravni




Ravno stanje napona

Telo dvodimenzionalnog oblika u ravnom stanju napona(npr. zidno platno)





Osnovne relacije za 2D problemDeformabilna tela u ravnom stanju deformacija su po svomobliku 3D, odn. dimenzija u pravcu ose z za red veliine jevea od dimenzija u ravni (x, y)Spoljanje sile su ravnomerno raspodeljene u pravcu ose z (anaravno i u x, y ravni)Sva pomeranja i deformacije u pravcu ose z su spreenaKomponentalne deformacije u pravcu ose z su jednake nuli:

z = 0 xz = 0 yz = 0




Ravno stanje deformacija

Telo trodimenzionalnog oblika u ravnom stanju deformacija(npr. gravitaciona brana ili potporni zid)





Osnovne relacije za 2D problemPosmatra se idealno elastino ponaanje materijalaVeze izmeu napona i deformacija su u skladu sa Hooke-ovimzakonom

= D+ 0 ili = D( 0) (62)

gde je 0 = D0 i pretstavlja poetne naponeVektori napona i deformacija , za ravno stanje napona, kaoi za ravno stanje deformacija, u razvijenom obliku glase

=

xyxy

=

xyxy

(63)Stanko Bri Metoda konanih elemenata




Osnovne relacije za 2D problemZa izotropan materijal i za ravno stanje napona(z = xz = yz = 0), konstitutivna matrica D data je uobliku

D =E

1 2

1 0 1 00 0 12

(64)gde je E modul elastinosti, dok je Poisson-ov koeficijent





Osnovne relacije za 2D problemZa izotropan materijal i za ravno stanje deformacija(z = xz = yz = 0), vektori napona i deformacija dati sa(63), dok je konstitutivna matrica D data u obliku

D =E(1 )

(1 + )(1 2)

1 1 01 1 00 0 122(1)

(65)Veza napon-deformacija za ravno stanje napona i ravno stanjedeformacija razlikuju se samo u konstitutivnoj matrici D





Osnovne relacije za 2D problem

Komponente pomeranja u (x, y) ravni, za ravno stanje naponai za ravno stanje deformacija, oznaene su sa u(x, y) i v(x, y),odnosno, vektor pomeranja take u (x, y) ravni dat je sa

u(x, y) =

{u(x, y)v(x, y)

}Veze izmeu deformacija i pomeranja u oba sluaja su iste -date su u obliku

= Lu (66)






U relaciji (66) sa L je oznaena matrica - operator data sa

L =

x 00 yy

x

(67)Prema tome, veza (66) u razvijenom obliku glasi

xyxy

= x 00 y

y

x

{ u(x, y)v(x, y)

}(68)





Osnovne relacije za 2D problemKod ravnog stanja napona dilatacija z u pravcu upravno naravan (x, y) je 6= 0: z 6= 0Dilatacija z odreuje se iz uslova da je napon z jednak nuli:

z = 0 z = E

(x + y)

Kod ravnog stanja deformacija napon z u pravcu upravno naravan (x, y) je 6= 0: z 6= 0Napon z odreuje se iz uslova da je dilatacija z jednaka nuli:

z = 0 z = (x + y)





Osnovne relacije za 2D problemU sluaju ravnog stanja napona posmatra se 2D telo, odn.ploa napregnuta u svojoj ravniPovrina ploe oznaena je sa A, a debljina je t, koja je za redveliina manja od dimenzija u ravni ploeDomen razmatranja ravnog stanja napona je povrina A u(x, y) ravni, ograniena sa konturom





Osnovne relacije za 2D problemU sluaju ravnog stanja deformacija posmatra se 3D telo kodkoga je dimenzija u pravcu ose z za red veliine vea oddimenzija u poprenom preseku, odn. u ravni (x, y)Povrina poprenog preseka je A, a debljina izdvojenog sloja iz3D tela je t = 1.0mPrema tome, za oba 2D problema domen je povrina A, sakonturom i sa debljinom tZapreminske sile deluju u ravnima paralelnim sa srednjom ravni(x, y) i mnoei zapreminske sile sa debljinom t dolazi se dopovrinskih sila






Vektor povrinskih sila pA(x, y) dat je sa

pA(x, y) = { px(x, y) py(x, y) }

Po konturi oblasti A mogu da deluju linijske sile p date sa

p = { px py }

Vektor spoljanje normale na konturu , oznaen sa n,definisan je u odnosu na sistem (x, y) sa koordinatama

n = { cos cos } = { nx ny }





Osnovne relacije za 2D problemJednaine ravnotee posmatranog 2D problema mogu da seformuliu primenom Principa virtuelnih radova:

Ako telo miruje pod dejstvom ravnotenog sistema sila,ukupan virtuelni rad spoljanjih i unutranjih sila privirtuelnim pomeranjima taaka tela jednak je nuli

A = As + Au = 0 (69)





Osnovne relacije za 2D problemVirtuelna pomeranja su proizvoljna mala pomeranja koja suu skladu sa vezamaVirtuelna pomeranja su geometrijski mogua malapomeranja, to znai da su to neprekidne i diferencijabilnefunkcije koordinataVirtuelna pomeranja jednaka su nuli u svim takama konturegde su konturni uslovi zadati po pomeranjimaVirtuelni rad unutranjih sila jednak je negativnomdeformacionom radu: Au = U , tako da jedn. (69) moeda se napie u obliku

U = As (70)





Osnovne relacije za 2D problemPrincip virtuelnih radova moe da se napie u obliku

AT tdA =

AuT pA dA+

uT p d (71)

Sa u = {u, v} oznaen je vektor virtuelnog pomeranja, dokje vektor virtuelne deformacijeVektor virtuelne deformacije odreuje se na osnovu virtuelnihpomeranja u skladu sa relacijom deformacije - pomeranja (66):

= L u (72)






Stvarna pomeranja u(x, y) unutar konanog elementaprikazuju se preko interpolacionih funkcija i generalisanihkoordinata (vornih nepoznatih):

u(x, y) = N(x, y) q (73)

Sa N(x, y) su oznaene interpolacione funkcije, dok su qvorne nepoznate (generalisane koordinate)Prema tome, kako su virtuelna pomeranja proizvoljna malapomeranja u skladu sa vezama, onda se virtuelna pomeranjabilo koje take konanog elementa izraavaju preko malihvarijacija generalisanih koordinata:

u(x, y) = N(x, y) q (74)Stanko Bri Metoda konanih elemenata




Osnovne relacije za 2D problemPrema tome, virtuelna pomeranja i virtuelne deformacije, kojifiguriu u formulaciji Principa virtuelnih radova, izraavaju sepreko varijacija generalisanih koordinata (vorrnih nepoznatih)Virtuelna pomeranja:

u = N q

Virtuelne deformacije:

= L u = LN q






Imajui u vidu relaciju (AB)T = BTAT , transponovanivektori virtuelnih pomeranja i virtuelne deformacije dati su uobliku

uT = qT NT T = qT NT LT

U Principu virtuelnih pomeranja (71) vektor napona seprikazuje preko vektora deformacija, a vektor deformacija prekovektora pomeranja, tako da se dobija

= D = DLu = DLN q (75)





Osnovne relacije za 2D problemNajzad, uvedena je matrica deformacije B = LN , tako da je

T = qT BT kao i = DBq

Imajui u vidu da generalisane koordiate q, pa prema tome niq, ne zavise od integracije po oblasti konanog elementa,Princip virtuelnih pomeranja (71) dobija se u obliku

qT(

ABT DB tdA

)q =

qTANT pA dA+ q

T

NT p d

(76)






U jednaini (76) sa leve strane svih lanova javlja se zajednikifaktor qT , pa jednaina moe da se prikae u obliku:

qT ( ) = 0

Virtuelna pomeranja qT su proizvoljne male veliine, pa ejednaina (76) da bude zadovoljena samo ako je koeficijent uzvirtuelno pomeranje jednak nuliPrema tome, Princip virtuelnih pomeranja (76) postaje

ABT DB tdA q =

ANT pA dA+

NT p d (77)





Osnovne relacije za 2D problemAko se oblast integracije A i njena kontura posmatraju kaooblast i kontura jednog konanog elementa, jednaina (77)moe da se napie u obliku

K q = f (78)

Uvedena je oznaka za matricu krutosti K

K =

ABT DB tdA

kao i za vektor vornog optereenja f

f =

ANT pA dA+

NT p d




Sadraj







Trougaoni konani elementiZa 2D probleme ravnog stanja napona ili ravnog stanjadeformacija najpopularniji su trougaoni konani elementiTrougaoni konani elementi su popularni zato to su praktini,jer sa trouglovima moe (dovoljno) dobro da se opie (skoro)proizvoljna geometrijska oblast ATo je zato to kontinualna kriva linija moe da se dobroprikae poligonalnom linijom, odn. pravolinijskim segmentima




Trougaoni konani elementi - nepravilna mrea




Trougaoni konani elementi - pravilna mrea




Linearni trougaoni konani element





Trougaoni konani elementiPomeranje bilo koje take unutar elementa ima dve nezavisnekomponente u(x, y) i v(x, y)Trougaoni konani element ima tri vorne take i u svakojtaki ima po dve komponente vornih pomeranja ui, vi(i = 1, 2, 3), dakle, ukupno 6

mke_6

Documents

Transcript of mke_6