MISAONE OPERACIJE I NAINI ZAKLJUIVANJA U MATEMATICI

CILJupoznati osnovne misaone operacije i naine zakljuivanja u matematici, te osvijestiti njihovu primjenu u konkretnim situacijama kako bi bolje razumjeli proces razmiljanja kod uenika u problemskoj situaciji

PROMISLITE TO ZNAE POJMOVIanalizasintezageneralizacijaapstrakcijaindukcijadedukcijaanalogija

MISAONE OPERACIJEZNANSTVENE METODE ISTRAIVANJA U MATEMATICI

ANALIZAmisaona operacija u kojoj ralanjujemo cjelinu na dijelove, prouavamo te dijelove i izvodimo zakljuke o njimacjelina je u matematici najee neki problem ije rjeenje traimoanalizom problem svodimo na jednostavnije probleme ili tvrdnje koje su oigledne ili lako dokaziveznanstvena metoda istraivanjapoetak analize kao znanstvene metode je u staroj Grkoj, a razvila se na geometrijskim problemima.

SINTEZAmisaona operacija u kojoj od pojedinanih dijelova (injenica i jednostavnijih tvrdnji) sastavljamo cjelinu (sloeniju tvrdnju)suprotna je analiziu sintezi uzimamo kao uinjeno ono to je u analizi bilo posljednje dostignuto te vraajui se unatrag koracima suprotnima analizi, dolazimo do konstrukcije onog to je bilo traenopraktiki je nedjeljiva od analize, tj. nadopunjuju se; analitiko-sintetika metoda

PRIMJER: Konstruirajmo kvadrat ako je zadan zbroj a + d, duljina a stranice i d dijagonale.ANALIZA: Nacrtajmo skicu kvadrata ABCD; crte treba nadopuniti tako da se na njemu pojavi pomona figura u kojoj je jedan element duina zadane duljine a + d; produimo dijagonalu AC za duinu CE duljine a. Promatrajmo trokute BCE i ABE. Trokut BCE je oito jednakokraan i kutovi su mu 135o i dva kuta po 22,5o. Trokut ABE ima s kvadratom zajedniku stranicu AB i dade se konstruirati jer mu je poznata stranica AE duljine a+d, kut BAE je 45o, kut AEB je 22,5o. Dakle u tom trokutu jedna stranica ima zadanu duljinu a+d, pa je taj trokut pomona figura koja omoguuje konstrukciju kvadrata ABCD.SINTEZA: Vidi skicu koja je napravljena i sintetiziraj dobivene rezultate te izvri konstrukciju

APSTRAKCIJAmisaona operacija izuzetno vana u matematici misaono odvlaenje opeg bitnog svojstva promatranog objekta ili pojave od ostalih svojstava, nebitnih za odreeno prouavanje i odbacivanje tih nebitnih svojstavakako se opa bitna svojstva nekog skupa objekata izdvajaju primjenom poopavanja, proizlazi da se poopavanje i apstrahiranje stalno se primjenjuju u procesu formiranju pojmova pri prijelazu od predodbi k pojmovimakonkretni objekti potrebni za formiranje novog pojma moraju biti paljivo odabrani tako da omoguavaju poopavanje, izdvajanje bitnih svojstava koja tvore sadraj pojma suprotnost je konkretizacija

ZADACI:Pokuajte analizirati ovu situaciju: Dijete pria majci da je nauio to je to kugla to su drveni objekti smee ili crne boje koje uiteljica dri u kolskom ormaru, a veoma su slini njegovoj lopti za igranje. Pokuajte prikazati kako dijete apstrahira pojam pravca. Prikaite taj postupak kroz nekoliko koraka.

GENERALIZACIJAjedna od osnovnih misaonih operacija u matematiciprijelaz s razmatranja danog skupa objekata na odgovarajue razmatranje njegova nadskupaprijelaz s konkretnog i pojedinanog k opem (djeci ponekad teko)metoda kojom se izgrauju openitiji pojmovi i openitije tvrdnjepolazi se od nekog skupa iji svi elementi imaju odreeno svojstvo, a onda se promatra neki njegov prirodni nadskup ijim se elementima prenose ista svojstvakako odmah nije jasno hoe li pri tome prenoenju svojstvo ostati sauvano, to se ono za sve elemente nadskupa nuno mora dokazati. Njena suprotnost je specijalizacija

PRIMJERZa kutove u trokutu vrijedi formula: + + = 1800Za kutove etverokuta vrijedi + + + = 3600Sada generalizacijom moemo doi do formule za zbroj kutova n-terokuta. k = (n 2) ovu bi formulu trebalo dokazati

OBLICI ZAKLJUIVANJA

INDUKCIJAnain zakljuivanja u kojem se iz dvaju ili vie pojedinanih sudova dobiva novi opi sudmisaoni proces kojim se stvaraju generalizacije (rasuuje se od pojedinanom k opem)latinska rije inductio - uvoenje, navoenje, pobuivanjepredstavlja i znanstvenu metodu dokazivanja, kojom se pri prouavanju nekog skupa objekata promatraju posebni objekti iz tog skupa i utvruju kod njih ona svojstva koja se zatim pripisuju itavom skupuRazlikujemo potpunu i nepotpunu indukciju

NEPOTPUNA INDUKCIJAOblik zakljuivanja koji se zasniva na razmatranju jednog ili vie, ali ne svih, pojedinanih sudova ili sluajeva zakljuak dobiven nepotpunom indukcijom moe biti i neistinit, pa ona nije metoda znanstvenog istraivanja NEISTINA: Jasna ima smeu kosu, Lana ima smeu kosu, ja imam smeu kosu. Sve djevojice imaju smeu kosu.ISTINA: Moj je tata manji od 5 metara, Raa je manji od 5 metara; svi su ljudi manji od 5 metara.Zadatak: Dokai da za prirodne brojeve vrijedi svojstvo komutativnosti.

POTPUNA INDUKCIJAOblik zakljuivanja koji se zasniva na razmatranju svih pojedinanih sudova ili sluajevaAko je S konaan skup sa n elemenata, i ako se neko svojstvo s ispita za svaki pojedini element skupa S, onda zakljuujemo da svi elementi skupa S imaju svojstvo sPrimjer: Neka je S skup svih ovdje prisutnih studenata. Tvrdim da svaki element skupa S posjeduje mobitel. Je li ova tvrdnja istinita?Zadatak: Dokai da meu prvih 20 prirodnih brojeva ima 8 prostih brojeva!

MATEMATIKA INDUKCIJAposebni sluaj indukcije koji ima snagu dokazazasniva se na Peannovim aksiomimaako neka tvrdnja vrijedi za prvi lan niza, te ako iz injenice da tvrdnja vrijedi za n-ti lan niza proizlazi i da vrijedi i za n plus prvi lan niza, tada tvrdnja vrijedi za svaki lan nizaprovodi se u tri koraka: baza indukcije; pretpostavka indukcije; korak indukcijeZADATAK: Dokai da je zbroj prvih n neparnih brojeva jednak n2

DEDUKCIJAnain zakljuivanja u kojem se istinitost nekog tvrenja izvodi iz istinitosti ranije utvrenih (ili ope prihvaenim) opih istinamisaoni proces ide od opeg prema pojedinanomnain zakljuivanja suprotan indukcijiujedno je i metoda znanstvene spoznaje kojom dokazujemo neke matematike tvrdnjeMatematika je deduktivna znanost, a matematika u nastajanju je eksperimentalna induktivna znanost

PRIMJER:Pravilo kae: Razlika se ne mijenja ako umanjeniku i umanjitelju dodamo ili oduzmemo isti broj.a b = (a + n) (b + n)Na temelju toga rijei zadatak: 435-198Koristei Pitagorin teorem rijei zadatak: Ako je hipotenuza 5cm, a kateta 3cm, kolika je duljina druge katete?

INDUKCIJA I DEDUKCIJA U NASTAVI MATEMATIKEDedukcija kao nastavni postupak dominirala je u praksi stare koleNastavni se proces odvijao tako da je uitelj najprije iznio neku opu tvrdnju koju su uenici uili napamet, a tek kasnije je primjenjivali u rjeavanju pojedinanih sluajevaRazlog tome je ekonominost deduktivnog postupka (vremena i energije) i injenica to zahtjeva manje nastavnikova stvaralatvau suvremenoj nastavi induktivno deduktivni postupak; uenik induktivno usvaja odreene sadraje matematike, a nakon toga ih deduktivno primjenjuje u rjeavanju pojedinanih zadataka.

ANALOGIJAoblik zakljuivanja pri kojem se iz opaanja da se dva objekta podudaraju u odreenom broju svojstava ili odnosa izvodi zakljuak da se oni podudaraju i u drugim svojstvima ili odnosima koji se kod jednog objekta nisu izravno opaaliObjekt A ima svojstva s1, s2,, sk-1, sk , objekt B ima svojstva s1*, s2*,, sk-1* . Svojstva s1*, s2*,, sk-1* analogna su svojstvima s1, s2,, sk-1. Zakljuujemo da B ima svojstvo sk*zakljuci mogu i ne moraju biti istiniti, pa analogija nema snagu dokazajako vana za matematiku, jer ona moe dati ideje za nove spoznaje koje se nakon toga dokazujuAnalogija je veoma korisna i u nastavi matematike. ("slino se izvodi", "ovo je zadatak slian prethodnom", )

Laplace"Glavna sredstva pomou kojih se otkrivaju istine u matematici su indukcija i analogija."Banach"Matematiar je ovjek koji umije nai analogiju meu tvrdnjama, bolji matematiar je onaj koji pronalazi analogije meu dokazima, najbolji matematiar je onaj koji uoava analogije teorija, no moe se zamisliti i onaj koji meu analogijama vidi analogije."

PRIMJERI i ZADACI:Znamo da je (ab)2 = a2b2 , pa po analogiji zakljuujemo da je (abc)2 = a2b2c2 . Ovu tvrdnju sada je lako dokazati. Pokuajte.Pravokutnik i kvadar imaju mnogo slinosti. Naime, pravokutnik ima nasuprotne stranice paralelne, a susjedne okomite. Nasuprotne stranice su sukladne. Isto vrijedi i za kvadar. Ako je duljina dijagonale pravokutnika d2 = a2 + b2 , koja bi mogla biti formula za duljinu prostorne dijagonale kvadra? Je li time dokazano da je to formula za dijagonalu kvadra?

PROVJERIMO NAUENOU sljedeim zadacima daj komentar na tvrdnju koja se izrie. O kojoj se metodi ili obliku zakljuivanja radi? Je li nain razmiljanja ispravan? Je li zakljuak ispravan?

ZADACI ZA RAZMILJANJENegativni brojevi imaju ispred sebe - . Broj ( -5) je negativan.23 32 , 45 54, 67 76 . Zakljuujemo da je am ma .Obujam kvadra izraunava se po formuli V=Bv=a b c , pa se obujam valjka rauna po formuli V = B v = r2 v .

U ovom opisu jedne situacije iz razreda prepoznajte misaone operacije o kojima smo uiliUiteljica ita zadatak "Ako se za 1 dolar dobije 5 kuna, koliko e se kuna dobiti za 150 dolara?". Uenici izdvajaju poznate i nepoznate podatke i zapisuju ih na plou. Nakon toga, Maja na osnovu zapisanih podataka ponavlja (prepriava) zadatak. Ona se sjetila da su na prolom satu rjeavali slian zadata koji je glasio "Ako jedna koko kota 30 kuna, koliko kota 5 koka?", pa odmah postavlja brojevni izrazx = kune1 : 5 = 150 : xx = 150 5x = 750Daje odgovor: Dobije se 750 kuna. Uiteljica kae: Djeco, sada ovaj izraz x = dolari 5 moemo uzeti kao formulu za preraunavanje dolara u kune.