Matrice

1

Osnovni pojmovi: matrice i determinante

Operacije sa matricama

Primena matrinog rauna

2

Svaku tabelu moemo prikazati u obliku pravougaone eme podataka poznate pod nazivom matrica, u oznaci:

Turistike

agencije

Turistike ponude

S1 S2 S3 S4 S5

D1 20 30 40 50 60

D2 22 28 40 45 61

D3 19 32 40 50 60

D4 18 26 42 52 61

20 30 40 50 60

22 28 40 45 61

19 32 40 50 60

18 26 42 52 61

3

Osnovni pojmovi

Matricu zapisujemo u optem obliku

ili krae

gde je opti lan (i=1,2,...,m j=1,2,...,n)m broj vrsta

n broj kolona

ija

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

4

ij m x nA a

Krai prikaz matrice

Red (tip) matrice oznaava broj vrsta i kolona matrice.

Na primer, matrica A je tipa 3x2:

Matrica B je tipa 2x3:2 3

2 -1 6

1 1 -1x

B

3x2

1 2

A= 5 -9

3 -2

5

Kvadratne

Jedinine

Matrica vrsta

Matrica kolona

Nulta matrica

Transponovana matrica

6

Matrica koja ima isti broj elemenata u vrsti i koloni naziva se kvadratna matrica i to je matrica tipa nxn.

U okviru kvadratne matrice mogu se uoiti glavna i sporedna dijagonala matrice. Elementi , ine glavnu dijagonalu matrice, a elementi sporednu dijagonalu matrice.

7

11 22, ,..., nna a a

1 2 -1 1, ,..., n n na a a

Kvadratna matrica kod koje su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0 , a elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1 naziva se jedinina matrica i obeleava se simbolom gde je broj vrsta i kolona.

Jedinina matrica tipa :

8

( , 0)ijza i j a

( , 1)ijza i j a

n x nI nn n

1...00

............

0...10

0...01

Matrica koja ima samo jednu vrstu naziva se matrica vrsta (1xn)

9

1 4 0 2 1 4xA

Na primer:

Matrica koja ima samo jednu kolonu naziva se matrica kolona (mx1)

Na primer:

10

3 1

1

2

2

xA

Kvadratna matrica koja ima sve elemente jednake 0 naziva se nula matrica i obeleava se simbolom 0.

11

Transponovana matrica AT ili A matrice A se dobija tako to se kolone matrice A prelaze u vrste matrice AT.

Ako je matrica A tipa mxn, onda je transponovana matrica AT tipa nxm.

12

13

1 2 1 3

3 4 2 4

T

Jednakost matrica Sabiranje (oduzimanje) matrica Mnoenje matrica realnim brojem Mnoenje matrica Inverzna matrica

A B

A B

14

r AA B

1A

Dve matrice su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajui elementi meusobno jednaki.

15

1, 1,ij ij ij ijmxn mxnA a B b a b i m j n

Da li su jednake matrice?

16

1 0

2 1

3 2

A i 1 2 3

0 1 2B

Nisu, jer nisu istog tipa.

Zbir dve matrice istog tipa je matrica, takoe istog tipa iji je svaki element jednak zbiru elemenata obe matrice sa iste pozicije.

17

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n n

m m mn m m mnmxn mxn

a a a b b b

a a a b b b

a a a b b b

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

...

...

... ... ... ...

...

n n

n n

m m m m mn mn mxn

b a b a b a

b a b a b a

b a b a b a

=

.

18

2 1 2 0

0 1 5 0

3 2 0 1

2 2 1 0 0 1

0 5 1 0 5 1

3 0 2 1 3 1

Matrica se mnoi realnim brojem tako to se svaki element matrice pomnoi datim realnim brojem.

19

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n n

m m mn m m mn

a a a ra ra ra

a a a ra ra rar

a a a ra ra ra.

20

2 3 2 6 9 6

3 0 1 0 0 3 0

1 5 1 3 15 3

Proizvod dve matrice, gde je broj kolona jedne matrice jednak broju vrsta druge matrice, je matrica iji je broj vrsta jednak broju vrsta prve matrice, broj kolona je jednak broju kolona druge matrice, a elemeni nove matrice se izraunavaju

21

ijc

n

k

kjikij bac1

22

11 12 111 12 1

21 22 221 22 2

1 21 2

......

......

... ... ... ...... ... ... ...

......

qn

qn

n n nqm m mn mxn nxq

b b ba a a

b b ba a a

b b ba a a

11 12 1

21 22 2

1 2

11 11 11 12 21 1 1

1 1 2 2

...

...

... ... ... ...

...

...

...

q

q

m m mq mxq

n n

ij i j i j in nj

c c c

c c c

c c c

c a b a b a b

c a b a b a b

.

23

1 02 0 3

2 51 1 0

0 3

A i B

1 0 1 2 0 1 1 0 0 1 1 3 0 02 0 3

2 5 2 2 5 1 2 0 5 1 2 3 5 01 1 0

0 3 0 2 3 1 0 0 3 1 0 3 3 0

A B

2 0 3

9 5 6

3 3 0

A B

Izraunati proizvod matrica

Proizvod matrica je definisan jer je matrica A tipa 3x2 a matrica B tipa 2x3

Mnoenje matrica nije komutativno

A B B A

24

Neka je data kvadratna matrica . Kvadratna matrica koja ima svojstvo

gde je E jedinina matrica, zove se inverzna matrica matrice .

Regularna matrica ima jednoznano odreenu inverznu matricu

gde je transponovana matrica matrice kofaktora matrice .

Kofaktor se definie isto kao kod determinante, tj.

gde je minor elementa .

.

Reiti matrinu jednainu , gde

su .

Mnoimo obe strane jednaine s leva sa

pa dobijamo sledee:

.