Əmirova Rəna

Diskret riyaziyyat və riyazi məntiq

Dərs vəsaiti

BAKI - 2017

AZƏRBAYCAN RESPUBLİKASI TƏHSİL NAZİRLİYİ

AZƏRBAYCAN TEXNİKİ UNİVERSİTETİ

R.A.Əmirova

“Diskret riyaziyyat və riyazi məntiq”

(İPF-B08)

Dərs vəsaiti

Azərbaycan Respublikası Təhsil Nazirliyi

Azərbaycan Texniki Universiteti

17 may 2017-ci il tarixli 82-müx saylı

əmri ilə dərs vəsaiti kimi təsdiq edilmişdir.

Bakı-2017

Elmi redaktor: dos. Şıxəliyev N.İ.

dos.BabayevM.Ə.

Rəy verənlər: dos. İslamov M.M.

dos. Hüseynov Ə.Ə.

dos. Əhmədova J.B.

dos. ŞahverdiyevM.Ə.

Rəna Ağamir qızı Əmirova. Diskret riyaziyyat və riyazi məntiq.

Dərs vəsaiti. Bakı. 2017.

Dərs vəsaiti müəllifin Azərbaycan Texniki Universitetinin

Avtomatika və kompüter texnikası fakültəsinin Kompüter

elmləri ixtisası üzrə təhsil alan tələbələr üçün oxuduğu

mühazirələr və apardığı seminar məşğələləri əsasında topladığı

təcrübəyə əsasən tərtib olunmuşdur. Bu vəsait tələbələr,

magistrantlar, doktorantlar, alimlər və mütəxəssislərin istifadəsi

üçün nəzərdə tutulmuşdur

I Fəsil

MÜLAHİZƏLƏR CƏBRİ

§1.1. Obyektlər, obyektlər sinfi və onların xassələri

Bizi əhatə edən aləm müxtəlif obyektlərdən – canlı var-

lıqlar, çaylar, dağlar, evlər və s. ibarətdir. Bu obyektləri

tədqiq edərkən onların müəyyən xassələri (ölçüsü, rəngi,

forması, kütləsi və s.) haqqında məlumat toplayırıq. Xassələr

ədədlərlə və ya hər hansı başqa qayda ilə ifadə oluna bilər. Bu

obyektlər arasında müxtəlif münasibətlər mövcuddur (çay öz

məcrası ilə axır, insan evdə yaşayır və s.). Obyekt və onun

xassəsi haqqında danışarkən müəyyən təsdiqləmələr və yaxud

inkarlamalar söyləyirik, məsələn, “Tələbə yaxşı oxuyur”,

“Sərdar bu gün dərsə gəlməyib” və ya “Tələbə yaxşı

oxumur”, “Sərdar bu gün dərsə gələ bilər”.

Bir çox hallarda qərarlar ayrıca obyektə deyil, obyektlər

dəstinə (sinfinə) aid ola bilər. Obyektlərin sinifdə (dəstdə) bir-

ləşməsi onların qohumluğunu, xassələrinin oxşarlığını əks

etdirir.

Ayrı-ayrı obyektlərin siniflərdə birləşdirilməsi və uyğun

anlayışların yaradılması – əhəmiyyətli təfəkkür prosesidir.

İnsanlığın ilkin mərhələlərində obyektlərin dar sinfini əhatə

edən anlayışlar yaradılmışdır. Məsələn, ağac növlərindən

“şam”, “küknar”, “palıd” və s. ümumi “ağac” anlayışı altında

birləşdirilmişdir. Lakin bu anlayış daha ümumi “bitki” anlayı-

şının xüsusi halıdır.

Aləmin dərk edilməsi üçün atılan hər bir addım daha

ümumi anlayışların daxil edilməsi, bu anlayışlar arasında

qarşılıqlı münasibətlərin və onların əhatə etdiyi xassələrin

öyrənilməsilə əlaqədardır. Elmi tədqiqatlar üçün “kütlə”,

“enerji”, “kimyəvi element”, “ədəd”, “həndəsi fiqur” və s.

kimi abstrakt anlayışlardan istifadə etmək səciyyəvidir.

Abstrakt anlayışlar insanlıq təcrübələrinin ümumiləşmiş anla-

yışı olub, maddi aləmin özül xassəsini əks etdirir. İstənilən

belə anlayışın daxil edilməsində real obyektlərin bir çox

xassələrindən uzaqlaşılır (məsələn, həndəsi fiqura fiziki cisim

kimi baxdıqda onun rəngi, kütləsi, sıxlığı kimi xassələri

nəzərə alınmır, yalnız forması və ölçüsü əhəmiyyət kəsb edir).

Baxılan obyektin dərk olunması zamanı onun ideallaşdırıl-

ması zərurəti yaranır. Məsələn, real cismin atomlardan ibarət

olması fikrindən, yəni cismin istənilən qədər kiçik hissələrə

bölünməsinin qeyri-mümkünlüyündən uzaqlaşaraq, həndə-

sədə parçanın sonsuz olaraq bölünənliyini qəbul edirik. Belə

ideallaşdırılmış obyektlərin xassələrini müəyyənləşdirmək

üçün təcrübəyə deyil, məntiqi mühakimələrə istinad etmək

lazım gəlir.

Hər bir anlayış onun həcmi, yəni bu anlayışla əhatə

olunan real və ideallaşdırılmış obyektlər külliyyatı ilə təyin

olunur. Əgər bir anlayışın həcmi digər anlayışın hissəsi

olarsa, onda ikinci anlayışa birincinin ümumiləşməsi, birin-

ciyə isə ikincinin hissəsi deyilir. Məsələn, “paraleloqram”

anlayışı “dördbucaqlı” anlayışının xüsusi halıdır (hissəsidir).

İstənilən anlayışı öyrənmək üçün əvvəlcə onu təyin etmək

lazımdır. Bunun üçün isə adətən, ümumi anlayış verilir və

sonra xüsusi hala baxılır.

İki müxtəlif təyin eyni həcmli anlayış verə bilər. Məsələn,

bərabərtərəfli üçbucaq anlayışı və bərabərbucaqlı üçbucaq

anlayışı müxtəlif cür təyin olunur. Belə ki, birinci təyində

tərəflərin bərabərliyi nəzərdə tutulduğu halda, ikinci təyində

bucaqların bərabərliyindən danışılır. Lakin asanlıqla isbat

olunur ki, istənilən bərabərtərəfli üçbucaq bərabərbucaqlı

üçbucaq, istənilən bərabərbucaqlı üçbucaq isə bərabərtərəfli

üçbucaqdır. Ona görə də “bərabərtərəfli üçbucaq” və

“bərabərbucaqlı üçbucaq” anlayışları müxtəlif cür təyin

olunsalar da, onların həcmi eynidir.

İndi isə obyektlərin anlayış və xassələri arasındakı

müxtəlif əlaqələrə baxaq. Əgər a anlayışının həcminə daxil

olan obyektlərin hər biri xassəsinə malikdirsə, onda -ya bu

anlayışın təbii xassəsi deyilir və zəruri şərt adlandırılır.

Verilmiş anlayışın təbii xassələri arasından onun səciyyəvi

xassəsini (uyğun sinif obyektlərində olub, başqa obyektlərdə

olmayan) ayırırlar.

Əgər xassəsi verilmiş sinfin hər hansı obyektlərinə

(hamısı üçün məcburi deyil) xasdırsa və bu sinifə mənsub

olmayan obyektlərin heç birinə xas deyilsə, onda həmin

xassəyə uyğun anlayışın kafi şərti deyilir. Məsələn, tərəfləri-

nin uzunluqlarının bərabərliyi – dördbucaqlının paraleloqram

olması üçün kafi şərt olsa da, zəruri şərt deyil, belə ki, əgər

dördbucaqlının tərəflərinin uzunluqlarının bərabərliyi müəy-

yənləşdirilibsə, o, paraleloqramdır, lakin bunun tərsi doğru

deyil – paraleloqramın tərəfləri müxtəlif uzunluqda da ola

bilər.

§1.2. Doğru və yalan mülahizələr

Riyaziyyat, fizika, biologiya, kimya və s. elmlərdə, ümu-

miyyətlə, gündəlik həyatımızda müxtəlif deyimlərlə (mülahi-

zələr, hökmlər, qərarlar, təsdiqləmələr və s.) rastlaşırıq. Bir

neçə təsdiqləməyə baxaq:

1) Gəncə – Azərbaycanın paytaxtıdır.

2) Rombun diaqonalları qarşılıqlı perpendikulyardırlar.

3) X ədədi vahidi aşmır.

4) Əzim Əzimzadənin rəsmləri hədsiz mücərrəddir.

Bu təsdiqləmələrdən biri (2) doğru, biri isə (1) yalandır.

3-cü qərarda X ədədi haqqında məlumat olmadığından, 4-cü

qərarda isə “hədsiz mücərrəd” sözü öncədən dəqiqləşdirilmə-

diyindən bu iki deyimin doğru və ya yalan olması haqqında

fikir söyləmək olmaz. Doğru və ya yalan olduğunu söyləmək

mümkün olan nəqli cümləyə mülahizə deyilir. İstənilən

mülahizə doğru və yalan olur. Heç bir mülahizə eyni zamanda

həm doğru, həm də yalan ola bilməz. Doğru mülahizənin

məntiqi qiyməti 1 və ya D – doğru, yalan mülahizənin mən-

tiqi qiyməti isə 0 və ya Y – yalan şəklində olur. Elementar

mülahizələr böyük hərflərlə işarə edilir. Mülahizənin işarə

olunduğu hərfi simvol məntiqi atom adlanır. Qeyd olunmuş

X={A, B, C,...} çoxluğu və Y={doğru, yalan} olarsa, onda U

funksiyası X çoxluğunu Y çoxluğuna inikas etdirən interpre-

tasiya adlanır, yəni U:X→Y. Başqa sözlə, interpretasiya hər

bir atomun doğruluq qiymətlərinin göstəricisidir. Atom

mülahizədən ibarətdirsə, məsələn, A: = ”22=4”, B: = “3<2”,

onda interpretasiya U:A→Doğru və ya U(A)=1, U:B→Yalan

və ya U(B)=0 şəklində verilir.

Mülahizələr çoxluğu və bu çoxluqlar üzərində məntiqi

əməllər, eynigüclü qanunauyğunluqlar mülahizələr cəbrini

təyin edir. Mülahizələr cəbrinin əsas məntiqi əməlləri inkar,

dizyunksiya, konyunksiya, implikasiya, ekvivalensiya əməllə-

rindən ibarətdir.

§1.3. İnkar əməli

Hər bir elementar mülahizə üçün onun yalan olmasını

təsdiqləyən məntiqi mülahizə söyləmək olar. Belə təsdiqləmə

doğru və yalan ola bilər.

Tərif. Əgər A mülahizəsi yalan (0) olarsa, onda onun

doğru olmasını təsdiqləyən yeni mülahizəyə A mülahizəsinin

inkarı deyilir.

Bu tərifin əksi də doğrudur.

Tərif. Əgər A mülahizəsi doğru (1) olarsa, onda onun

yalan (0) olmasını təsdiqləyən yeni mülahizə A mülahizəsinin

inkarı adlanır.

A mülahizəsinin inkarı A və yaA kimi işarə olunur.

Tutaq ki, A – hər hansı mülahizədir. Onun A inkarı da

mülahizə olacaq. Onda A mülahizəsinin A inkarına A

mülahizəsinin ikiqat inkarı deyilir:

A A A 0 1 0

1 0 1

Məsələn, A:= “4 tək ədəddir” olarsa, onda A=Yalan (0),

A =Doğru (1) olar.

Ümumiyyətlə, istənilən A mülahizəsi A mülahizəsi ilə

eynigüclüdür, yəni AA . A mülahizəsinin doğruluq qiymət-

lərini |A| ilə işarə etsək, onda |A|1|A| olar.

A mülahizəsinin və onun inkarının verilməsi a), b) və

realizasiyası c) aşağıdakı sxemlə təyin olunur.

a) b) c)

§1.4. İki mülahizənin dizyunksiya əməli

Tərif. İki A və ya B elementar mülahizələrinin birləşmə-

sindən alınan yeni mürəkkəb mülahizəyə həmin mülahizələrin

dizyunksiya əməli deyilir.

A və B mülahizələrinin dizyunksiyası elə C mülahizəsinə

deyilir ki, bu mülahizə A və B mülahizələrindən heç olmazsa

biri doğru qiymət aldıqda doğru olsun. A və B mülahizələri-

nin dizyunksiyası AB kimi işarə olunur və “A və ya B” kimi

oxunur. İki A və B mülahizələrinin dizyunksiyası aşağıdakı

dizyunksiya doğruluq cədvəli ilə təyin edilir.

A B AB BA

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

Doğruluq cədvəlindən görünür ki, iki elementar

mülahizənin dizyunksiyası olan yeni mülahizə mülahizə-

lərdən heç olmasa biri doğru olduqda doğru mülahizə (2, 3, 4-

cü sətirlər) və yalnız hər iki mülahizə yalan mülahizə olduqda

yalan mülahizə olur.

|AB| ifadəsi iki mülahizənin dizyunksiya əməliyyatının

ədədi qiyməti olarsa, onda |AB| aşağıdakı kimi təyin olunur:

|AB|=|A| + |B||A| |B|=max(|A|,|B|),

|01|= |0| + |1||0| |1|=max (|0|,|1|).

Misal 1. A: = “Kompüterdə matrisli printer olur”,

B: = “Kompüterdə şırnaqlı printer olur”,

C: = “Kompüterdə lazerli printer olur”,

D: = “Kompüterdə literli printer olur”

mülahizələrindən ibarət olarsa, onda F=(ABCD) ifadəsi

F: = “Kompüterdə matrisli və ya şırnaqlı

və ya lazerli və ya literli printer olur”

şəklində mülahizəni təyin edir.

Misal 2. Tutaq ki, A:=“Şahmat üzrə birinci dərəcə almaq

üçün 15 xaldan 11,5 xal yığmaq lazımdır” və B:=“Birinci də-

rəcə almaq üçün birinci yeri tutmaq lazımdır” elementar

mülahizələri verilib. Bu mülahizələrin dizyunksiyası

AB:= “Birinci dərəcə almaq üçün 11,5 xal yığmaq

və ya birinci yeri tutmaq kifayətdir”

mülahizəsi olur. Dərəcənin alınma qaydasına əsasən A müla-

hizəsi və B mülahizəsi doğru mülahizələrdir. Deməli, verilmiş

mülahizələrin dizyunksiyası da doğru mülahizədir.

Misal 3. A: = “x>7” və B: = “x=7” elementar mülahizə-

lərindən dizyunksiya quraq:

AB: = “x>7 və ya x=7”.

Bu dizyunksiyanın doğruluğu asanlıqla görmək olar. Adətən,

{x>7 və ya x=7} mülahizəsi x7 kimi yazılır. Deməli, yeni

mülahizəyə daxil olan mülahizələr doğru mülahizələrdir.

Beləliklə, qeyri-ciddi ədədi bərabərsizlik ciddi bərabərsiz-

liyin və bərabərliyin dizyunksiyasıdır. Bundan istifadə edərək

22, 23 bərabərsizliklərinin doğru və yalan olmasını təyin

etmək olar.

22 bərabərsizliyi doğrudur, çünki o, 2=2 və ya 2<2

mülahizələrinin dizyunksiyasıdır. Bu dizyunksiyada 2=2

mülahizəsi doğru, 2<2 mülahizəsi isə yalandır, doğruluq

cədvəlinə əsasən dizyunksiya doğru mülahizədir, yəni 10=1.

23 dizyunksiyası isə yalandır. Çünki 2>3 və 2=3

mülahizələrinin hər ikisi yalandır, yəni 00=0.

İstənilən A, B və C mülahizələrinin dizyunksiya əməli

üçün aşağıdakı eynigüclülüklər doğrudur:

1) AB=BA (dizyunksiyasının kommutativlik xassəsi);

2) (AB)C=A(BC) (dizyunksiyasının assosiativlik

xassəsi);

Əgər A:=“İndi günəşli havadır”, B:=“İndi yağışlı havadır”

mülahizələri olarsa, onda AB:=“İndi günəşli və ya yağışlı

havadır” və BA:=“İndi yağışlı və ya günəşli havadır”

eynigüclü mülahizələrdir.

Dizyunksiyanın assosiativlik xassəsi isə (AB)C əvə-

zinə ABC yazmağa imkan verir.

A mülahizəsi ilə onun inkarı olan A mülahizəsinin

dizyunksiyasını, yəni AA mülahizəsini quraq. Məlumdur

ki, A və A mülahizələrindən biri doğru, digəri isə yalandır.

Əgər AA mülahizəsi üçün doğruluq cədvəlini qursaq,

görərik ki, bu mülahizənin qiy-

mətlər sütunu yalnız “1”-dən

ibarətdir. Bu halda AA düstu-

runa eyniliklə doğru düstur

deyilir və 1AA ( DAA ) kimi yazılır.

“x2+5=0 tənliyinin həqiqi kökləri var və ya yoxdur”

mülahizəsinə baxaq. “x2+5=0 tənliyinin həqiqi kökləri var”

mülahizəsini A ilə işarə etsək, onda “x2+5=0 tənliyinin həqiqi

kökləri yoxdur” mülahizəsi A olar. Beləliklə, A mülahizəsinin

ixtiyari qiymətinə eyniliklə doğru olan AA düsturu uyğun ol-

duğundan verilmiş mürəkkəb mülahizə eynilik kimi doğrudur.

A mülahizəsinin duzyunksiyasının xassələrini aşağıdakı

cədvəllə verək.

A 1 0 A˅A=A A˅0=A A˅1=1

0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 1 1

A və B mülahizələrinin dizyunksiya əməlinin verilməsi

a), b) və onun realizasiyası c) aşağıdakı sxemlə təyin olunur.

A A AA

0 1 1

1 0 1

a) b) c)

§1.5. İki mülahizənin konyunksiya əməli

Tərif. İki A və B elementar mülahizələrinin kəsişməsin-

dən alınan yeni mürəkkəb mülahizəyə həmin mülahizələrin

konyunksiya əməli deyilir.

İki A və B mülahizələrinin konyuksiyası AB kimi işarə

olunur və “A və B” kimi oxunur. İki elementar mülahizənin

konyuksiyası yalnız onu təşkil edən elementar mülahizələrin

hər ikisi doğru (sətir 4) olduqda doğru olur, qalan hallarda isə

yalan olur (1-ci, 2-ci, 3-cü sətirlər).

A B AB BA

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 1 1

Misal 1. A:=“Kompüterdə prosessor var”, B:=“Kompü-

terdə operativ yaddaş var”, C:=“Kompüterdə kontroller var”,

D:=“Kompüterdə giriş-çıxış portalları var” mülahizələrindən

ibarət olarsa, onda “F=(ABCD) ifadəsi F:=“Kompüterdə

prosessor və operativ yaddaş və kontroller və giriş-çıxış

portalları var” şəklində mülahizəni təyin edir.

Misal 2. AB:=“7–4=3 və 4 cüt ədəddir” mülahizəsinə

baxaq. Bu mülahizə A:=“7–4=3” və B:=“4 cüt ədəddir”

elementar mülahizələrinin konyuksiyasıdır. Hər iki mülahizə

doğru olduğundan konyuksiya doğrudur.

Misal 3. “3<8” və “8<11” mülahizələrinə baxaq. Bu ele-

mentar mülahizələrin konyuksiyası “3<8 və 8<11” mülahizəsi

olar. Bu mülahizə doğrudur. Adətən “3<8 və 8<11” mülahi-

zəsi qısa şəkildə 3<8<11 kimi yazılır. Beləliklə, ikiqat ədədi

bərabərsizlik iki bərabərsizliyin konyunksiyadır (11=1).

Bunu bilərək 9<8<11 bərabərsizliyinin yalan olduğunu söylə-

mək olar, çünki bu mülahizəyə daxil olan mülahizələrdən biri

yalandır (01=0).

AB konyunksiyasında A və B mülahizələrinin yerini

dəyişsək, BA şəklində konyunksiya alarıq. Hər iki kon-

yunksiyanın doğruluq cədvəlinə əsasən A və B mülahizə-

lərinin müxtəlif qiymətlərində AB və BA düsturları ya

eyni zamanda doğru, ya da eyni zamanda yalandır.

|AB| ifadəsi iki mülahizənin konyunksiya əməliyyatının

ədədi qiyməti olarsa, onda |AB| aşağıdakı kimi təyin olunur:

|AB|= |A| |B| = min (|A|, |B|),

|01|= |0| |1| = min (|0|, |1|).

Əgər A:=“12 ədədi 4-ün mislidir”, B:=“12 ədədi 3-ün

mislidir” olarsa, onda AB:=“12 ədədi 4 və 3-ün misilləridir”

mülahizəsi ilə BA=“12 ədədi 3 və 4-ün misilləridir”

mülahizəsi eynigüclü mülahizələrdir.

Hər hansı A mülahizəsilə onun inkarı olan A mülahi-

zəsinin konyunksiyasına, yəni AA mülahizəsinə baxaq. Bu

halda A-nın doğru və ya yalan olmasından asılı olmayaraq

AA mülahizəsi həmişə yalan olur.

A mülahizəsi üçün xassələri aşağıdakı cədvəl ilə verək:

A 1 0 A AA=A A1=A A0=0 0AA

0 1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

A və B mülahizələri üçün konyunksiya əməlinin verilməsi

a), b) və onların realizasiyası c) aşağıdakı sxemlə təyin

olunur. a) b) c)

§1.6. İki mülahizənin implikasiya əməli

Tərif. A elementar mülahizəsi doğru olub B mülahizəsi

yalan olduqda yalan, digər hallarda doğru olan mülahizəyə

A və B mülahizələrinin implikasiya əməli deyilir.

A və B mülahizələrinin implikasiyası AB şəklində

yazılır və {Əgər A olarsa, onda B olar} kimi oxunur. Bu

oxunuş A və B mülahizələrinin implikasiyasının təyini kimi

də qəbul olunur.

İmplikasiya doğruluq cədvəlinin köməyilə aşağıdakı

şəklidə təyin olunan yeni mülahizədir:

A B AB BA

0 0 1 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 1 1 1

İmplikasiya cədvəlində A və B sütunlarının yerini

dəyişdikdə doğruluq cədvəli dəyişir (ABBA).

AB implikasiyasında A mülahizəsi mühakimə və ya

şərt, B mülahizəsi isə nəticə (qərar, hökm, təsdiqləmə) adla-

nır. Doğruluq cədvəli göstərir ki, implikasiyada yalan mülahi-

zə yalnız mühakimə doğru, nəticə isə yalan olduqda (3-cü

sətir) olur. Qalan hallarda implikasiya doğru olur (1-ci, 2-ci,

4-cü sətirlər). İmplikasiya doğruluq cədvəlinin 1-ci və 2-ci

sətirlərindən görünür ki, əgər A mülahizəsi yalandırsa, onda B

mülahizəsinin necə olmasından asılı olmayaraq AB qərarı

doğru hesab olunur. Başqa sözlə, düzgün olmayan qərardan

nə istəsən almaq olar. AB mülahizəsinin doğru olması A və

B mülahizələrinin hər ikisinin doğru olması və ya AB yalan

olması A və B mülahizələrinin hər ikisinin yalan olması

demək deyil.

|AB| ifadəsi iki mülahizənin implikasiya əməliyyatının

ədədi qiyməti olarsa, onda |AB| aşağıdakı kimi təyin olunar:

|AB|= 1 |A| + |A| |B| ={ | | | |

| | | |

|01|= 1 |0| + |0| |1| =1, |1 |= 1- |1| + |1| |1| =0,

|00|= 1 |0| + |0| |0| =1, |1 1|= 1- |1| + |1| |1| =1,

İki mülahizənin implikasiya əməli həmin mülahizələrin

inkar və dizyunksiya əməliyyatları vasitəsilə ifadə oluna bilər,

beləki, istənilən A və B mülahizələri üçün AB= A B

münasibəti doğrudur:

A B A AB AB

0 0 1 1 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 1 0 1 1

Tutaq ki, AB mülahizəsi (implikasiyası) verilib. Bu

mülahizədə şərt ilə nəticənin yerini dəyişməklə alınan BA

mülahizəsi verilmiş implikasiyaya tərs implikasiya adlanır.

Məsələn, {Əgər 138 ədədinin rəqəmlərinin cəmi 3-ün

misli olarsa, onda 138 ədədinin özü də 3-ün misli olar}

implikasiyasının tərsi {Əgər 138 ədədi 3-ün misli olarsa, onda

138 ədədinin rəqəmlərinin cəmi də 3-ün misli olar}

implikasiyasıdır. Bu halda həm verilmiş implikasiya, həm də

onun tərsi olan implikasiya doğrudur. Lakin bu həmişə belə

olmur. Məsələn, {Əgər 5>2 olarsa, 5 ədədi cüt ədəd olar}

implikasiyası yalandır, onun tərsi {5 ədədi cüt olarsa, onda

5>2 olar} implikasiyası doğrudur. Çünki, onun şərti yalandır.

Misal 1. A : = “Naqildən elektrik cərəyanı keçir”,

B: = “Naqilin ətrafında maqnit sahəsi var”

mülahizələri üçün F=(AB) ifadəsi F: = “Əgər naqildən

elektrik cərəyanı keçirsə, onda naqil ətrafında maqnit sahəsi

yaranır” şəklində mülahizəni təyin edir.

A mülahizəsinin implikasiyasının xassələrini aşağıdakı

cədvəl vasitəsilə verək:

A A AA=1 A1=1 A0= A AA = A

0 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 0

A və B mülahizələrini onların inkarı ilə əvəz edib AB

implikasiyasından başqa implikasiya da almaq olar. Bu impli-

kasiya BA şəklində olur və AB implikasiyasına əks

implikasiya adlanır. Əgər A və B mülahizələrini onların inkarı

ilə əvəz edib, yerlərini dəyişsək, AB implikasiyası alınar.

AB və AB mülahizələrinin doğruluq cədvəlini quraq:

A B AB A B AB

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1

1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 1

Cədvəldən görünürki AB və AB implikasiyaları

eynigüclüdürlər, yəni AB= AB . Bu isə hər bir implika-

siya üçün onunla eynigüclü olan implikasiya qurmağa imkan

verir. Məsələn, {Əgər 140 ədədinin onluq yazılışında sonuncu

rəqəm 0 olarsa, onda bu ədəd 5-ə bölünər} implikasiyası ilə

{Əgər 140 ədədi 5-ə bölünməyən olarsa, onda onun onluq

yazılışının sonuncu rəqəmi 0-dan fərqlidir} implikasiyası

eynigüclüdür. Hər iki implikasiya doğrudur. Birinci impli-

kasiya həm şərt, həm də nəticə doğru olduğuna görə doğru,

ikinci implikasiya isə həm şərt, həm də nəticə yalan olduğuna

görə doğrudur.

BA və BA implikasiyaları da eynigüclüdür, yəni

BA= BA . Doğru və ya yalan qiymətləri qeyd edilmiş A

və B mülahizələrindən tərtib olunmuş A B və AB

mürəkkəb mülahizələri eyni zamanda doğru və ya yalan

mülahizələrdir: AB= AB .

Misal 2. ( A B)AB düsturunun doğruluq qiymətlər

cədvəlini qurun.

A B A AB AB ( AB)AB

0 0 1 1 0 0

0 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 1

1 1 0 1 1 1

Xarakterik riyazi teorem və elmi mülahizə AB implika-

siyası şəklində verilir. AB düz teoremi üçün BA tərs teo-

rem olur. AB implikasiyası B (əgər A varsa, onda B də var)

mülahizəsinin varlığı üçün kafi şərt, A (B mülahizəsi A müla-

hizəsi olmadan mümkün deyil) mülahizəsinin varlığı üçün zə-

ruri şərt adlanır. məntqi ifadəsi “əgər B yoxdursa, onda

A da yoxdur” mülahizəsinə uyğundur, yəni = A B.

Teoremin şərti onun hökmü üçün kafidir, hökümü isə

onun şərti üçün zəruridir.

§1.7.İki mülahizənin ekvivalensiya əməli

Tərif. A və B elementar mülahizələrinin hər ikisi eyni mən-

tiqi qiymət aldıqda doğru, digər hallarda isə yalan olan mü-

lahizəyə A və B mülahizələrinin ekvivalensiya əməli deyilir.

A və B mülahizələrinin ekvivalensiyası AB (A~B)

şəklində yazılır və {A yalnız o halda olur ki, B olsun} oxunur.

A B AB BA

0 0 1 1

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 1 1

Cədvəldən görünür ki, ekvivalensiya işarəsinin köməyilə

qurulan yeni mürəkkəb mülahizə yalnız o halda doğru olur ki,

hər iki elementar mülahizə ya doğru olsun, ya da hər ikisi

yalan olsun.

|A~B| ifadəsi iki mülahizənin ekvivalensiya əməlinin

ədədi qiyməti olarsa, onda |A~B| aşağıdakı kimi təyin olunur:

|A~B|= 1 |A| |B| ={ | | | |

| | | |

|01|= 1 ||0| |1|| ={ | | | |

| | | |

A mülahizəsinin ekvivalensiyasının xassələrini cədvəl ilə

verək:

A 1 0 A AA=1 A1=A A0= A AA =0

0 1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 1 0 0

AB implikasiyası düz teoremi və B A tərs teoremi

eyni vaxtda yerinə yetirilə bilər.Bu hal hər iki mülahizə üçün

biri digərinə nəzərən zəruri və kafi şərt olur. Teorem isə

AB şəklində yazılır, yəni AB=(AB)˄(B ).

A B məntiqi düsturu “A mülahizəsi üçün B mülahizısi

zəruri və kafidir və ya A mülahizəsi yalnız və yalnız o vaxt baş

verir ki, B mülahizəsi də baş versin” mülahizəsinə uyğundur.

Misal 1. A:=“Ədədin cüt olması”, B:="2-yə bölünən

ədədlər” mülahizələri üçün F=(AB) ifadəsi F:=“Ədədin cüt

ədəd olması üçün onun 2-yə bölünməsi zəruri və kafidir”

şəklində mülahizəni təyin edir.

Daxil edilən beş məntiq əməliyyatlarının inkar, diz-

yunksiya, konyunksiya, implikasiya, ekvivalensiya əməliy-

yatlarının köməyilə verilmiş mülahizələrdən yeni mürəkkəb

mülahizələr düzəltmək olar.

Misal 1. F=((AB)∧C)(B C ) mürəkkəb mülahizəsi

üçün doğruluq cədvəli quraq:

A B C AB (AB)∧C C BC F

0 0 0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1

0 1 1 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 0 0 0

Yekun olaraq mülahizələr hesabının əməlləri ilə bağlayı-

cılar arasında əlaqəni cədvəl ilə verək:

Bağlayıcılar Əməllərin

işarələri

Uyğun

əməlin adı

Yox, doğru deyil, heç bir , () İnkar

Və, isə, amma, lakin ˄ Konyunksiya

Və ya, ya da ˅ Dizyunksiya

əgər ... , onda İmplikasiya

Ekvivalentlik,eynigüclülük,

zəruri və kafi, yalnız və yalnız , , Ekvivalensiya

Qeyd 1: Verilmiş mülahizələrinin ala bi-

ləcəyi ( ) doğruluq qiymətləri yığımlarını tapmaq

üçün onluq N=0, 1, 2, ... , ədədinin rəqəmlərinin ikilik

sistemdə N=

ayrılışını

yazmaq lazımdır. Bu ayrılışdakı ( ) əmsalları

N=0,1,2,..., ədədlərinin ikilik sistemdə uyğun yazılışıdır.

Belə yığımlar saydadır (burada n mülahizələrin sayıdır).

Məsələn, n=2 olduqda N=0, 1, 2, 3 üçün N=

olur: 0=0 ), 1=0 (0,1),

2=1 (1,0), 3=1 (1,1).

n=3 olduqda isə 0(0,0,0), 1(0,0,1), 2(0,1,0),

3(0,1,1), 4(1,0,0), 5(1,0,1), 6(1,1,0), 7(1,1,1).

Onluq sistemdə verilmiş N ədədini ikilik sistemdə yaz-

maq üçün

n

1i

in

i 2dN ifadəsində ( ) əmsallarını

aşağıdakı alqoritmlə tapaq:

1) N ədədini 2-yə bölək , qalıq qismət

2) ədədini 2-yə bölək, qalıq , qismət

3) bu qayda ilə (n=1) addımdan sonra olur.

n ədədini (ikilik say sistemində vektorun uzunluğunu)

tapmaq üçün ifadəsindən istifadə olunur.

N=325 ədədini ikilik sistemdə vektor şəklində yazaq:

1) 325 : 2= =162, =1; 2)162 : 2= =0;

3) 81 : 2= =40, 1; 4) 40 : 2= =20, =0;

5) 20 : 2= =10 , =0; 6) 10 : 2= =5, =0;

7) 5 : 2= =2, =1; 8) 2 : 2= =1, =0;

9) = =1,

ifadəsindən n=9 alınır, yəni ikilik sistemdə vektorun uzunluğu

9 ədədinə bərabərdir və N=(101000101) olur.

n

1i

in

i 2dN ifadəsindən di koordinatını tapmaq üçün ve-

rilmiş alqoritmdən istifadə olunur. Əvvəlcə N ədədini

) ədədinə bölməklə ri qalığı, sonra N ədədini

ədədinə bölməklə qalığı tapılır. fərqi -ə

bölünür və tapılan ədəd koordinatına bərabər olur.

Verilən alqoritmə əsasən 325 ədədi üçün -ü tapaq:

=325: , qalıq =69,

=325: , qalıq =5,

,

=

=1, =1.

Qeyd 2: Mülahizələr cəbrində verilən beş məntiqi ∧, ∨,

, , əməlləri ilə yanaşı daha üç köməkçi əməl təyin edək.

1.Şeffer ştrixi (antikonyunksiya). Konyunksiya əməlinin

inkarı olan əmələ Şeffer ştrixi deyilir və AB şəklində yazılır.

2. Pirs ibrəsi (antidizyunksiya). Dizyunksiya əməlinin

inkarı olan əmələ Pirs ibrəsi deyilir və AB işarə olunur.

3.İki modula görə cəmləmə (həlqəvi cəm). A və B müla-

hizələrinin həlqəvı cəmi elə C mülahizəsinə deyilir ki, C

mülahizəsi A və B mülahizələrinin yalnız biri doğru olduqda

doğru olsun və C=AB kimi işarə edilir.

A B A˅B A˄B AB AB A|B AB

0 0 0 0 1 1 1 0

0 1 1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1 0 0 0

Misal 1. ((A|B)( AC))(AB ) mürəkkəb mülahizə-

si üçün doğruluq cədvəlini aşağıdakı alqoritmlə quraq:

1) A|B; 2) A ; 3) AC;

4) (A|B)( AC); 5) B ; 6) AB ;

7) ((A|B)( AC))(AB ).

A B C 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

0 0 0 1 1 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 0 1 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 0 0 1 1

§1.8. Mülahizələr hesabına aid nümunələr Misal 1. Əgər A:= “İl ərzində investisiya dəyişməyəcəksə”,

onda B:=“Budcənin əlavə xərcləri artar” və ya C:=“İşsizlik

əmələ gələr” və yaxud B:=”Büdcənin əlavə xərcləri artarsa”,

onda D:=“Vergilər aşağı olmayacaq” və nəticədə D:=”Əgər

vergilər aşağı olmayacaq” və A:=”İnvestisiya dəyişməyəcək-

sə”, onda C:=”İşsizlik əmələ gəlməyəcək”.

Verilmiş mülahizənin məntiqi düstur ifadəsi

F= (A(BC))(BD)((DA)C )

şəklindədir. Bu mülahizənin doğruluq cədvəlini quraq:

1)BC; 2) A1); 3) BD; 4) 2)3);

5) C ; 6) D˄A; 7) 6)5); 8) 4)˄7).

A B C D 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1

0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1

0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1

0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0

0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1

0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0

1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0

1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0

Cədvəldən görünürki, mülahizənin doğruluq qiyməti

(1111010100100100) vektoru şəklindədir.

Misal 2. Əgər A:=“Qiymətlər artırsa”, onda B:=“Əmək

haqqı mütləq yuxarı olmalıdır”. Qiymətlər artır və ya

C:=“Qiymət artımı tənzimlənir”. Əgər qiymət artımı tənzim-

lənirsə, onda inflyasiya olmayacaq, lakin D:=“inflyasiya var”.

Nəticədə əmək haqqı mütləq yuxarı olmalıdır.

F=((A ) ) ) )

Mülahizənin doğruluq qiymətləri cədvəlini quraq.

1) AB; 2) AC; 3) ; 4) ;

5) ) ) 6) (AB)(AC) );

7) ) ) ) ; 8) F.

A B C D 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1

0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1

0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1

0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1

Cədvələ əsasən mülahizənin vektor ifadəsi

F=(1111111111111111)

şəklindədir.

§1.9. Mülahizələr məntiqində düsturlar

Tutaq ki, A={ } atomlar çoxluğu verilmişdir. A

çoxluğuna əlifba, bu çoxluğun Ai atomlarının müəyyən ardı-

cıllığına isə söz deyilir. Məntiqin əlifbasına dəyişən mülahizə-

lərin simvolları, məntiqi əməllərin simvolları və ( ) simvolu

daxildir.

Məntiqin əlifbasında sözə düstur deyilir. Düsturun

induktiv tərifini verək.

Tərif. 1) İnduktiv bazis. Hər bir atom düsturdur;

2) İnduktiv keçid. A və B düsturdursa, onda (A˄B),

(A˅B), (AB), (AB), (A) ifadələri də düsturdur.

Düstura daxil olan atomların, məntiqi əməllərin, kiçik

mötərizələrin köməyi ilə düzəldilən məntiqi ifadə altdüstur

adlanır. Lakin hər məntiqi ardıcıllıq düstur deyil. Məsələn,

ifadəsi düstur deyil. Düsturda məntiqi

tamlıq olmalıdır. Hər bir mürəkkəb düsturun doğruluq qiy-

mətləri onun ibarət olduğu altdüsturlara nəzərən tərtib olunur.

Misal. (AB) )) düsturu

1) AB; 2) ; 3) ;

4) ) 5) ))

altdüsturlarından ibarətdir.

Mülahizələr cəbrinin mətiqi dilinin sintaksis, semantika

və proqmatikasına baxaq.

Tərif. Mülahizələr cəbrində dilin konsturuksiyasını (onun

formasını) təyin edən qaydalar çoxluğuna sintaksis deyilir.

Sintaksis düsturların düzgün yazılışını məntiqi cəbrin

düsturlarının tərifinə görə öyrənir. Hər məntiqi ardıcıllıq

düstur deyil. Məsələn, ifadəsi düstur

deyil. Düsturda məntiqi tamlıq olmalıdır.

Tərif. (Sintaktik korekt) Mülahizənin elementləri və

qiymətləri arasında məntiqi uyğunluğu müəyyən edən

qaydalar çoxluğuna dilin semantikası deyilir.

Semantika mülahizələr məntiqində düsturun (dilin sözü)

mənasını öyrənir.

Tərif. Məntiqi dil və ondan istifadə edən insan arasında

münasibəti öyrənən qaydaya proqmatika deyilir.

Proqmatika mülahizələr cəbrinin məqsədini öyrənir. Proq-

matika məsələsi kibernetik və intelektual sistemlər çərçivə-

sində aparılır, yəni mülahizələr cəbrinin bütün qaydalarına

əməl olunur.

§1.10. Eynigüclü düsturlar

Həm nəzəriyyədə, həm də praktikada müxtəlif mülahizə-

lərin eynigüclü olmasını araşdırmaq bacarığı mühüm əhəmiy-

yət kəsb edir. Mürəkkəb mülahizələrin eynigüclü olub-olma-

masını bilavasitə onların doğruluq cədvəlini yazıb, müqayi-

səsi üsulu ilə yoxlamaq olar. Lakin bu üsul mülahizələrin sayı

çox olduqda əlverişli olmur. Əgər mürəkkəb mülahizə n

sayda sadə mülahizədən ibarət olarsa, onda belə mülahizənin

doğruluq cədvəli sətirli olur. Məntiq cəbrinin tətbiqində,

xüsusi halda, avtomatik idarəetmə nəzəriyyəsində yüzlərlə,

hətta minlərlə sadə mülahizə ilə işləmək lazım gəlir. Aydın-

dır ki, belə hallarda eynigüclülüyü doğruluq cədvəlinin kömə-

yilə araşdırılmaq mümkün deyil.

Mülahizələrin eynigüclülüyünü başqa üsulla da müəyyən-

ləşdirmək olar.

Yoxlanması çətinlik törətməyən aşağıdakı eynigüclü-

lükləri (mülahizələr cəbrinin qanunları) qeyd edək:

1. Dizyunksiyanın kommutativliyi:

AB=BA;

2.Konyunksiyanın kommutativliyi:

AB=BA;

3. Dizyunksiyanın assosiativliyi:

A(BC)=(AB)C;

4. Konyunksiyanın assosiativliyi:

A(BC)=(AB)C;

5. Birinci distributiv qanun:

A(BC)=(AB)(AC);

6. İkinci distributiv qanun:

A(BC)=(AB)(AC);

7. De Morqan qanunları:

= ;

8. İki qat inkar qanunu :

AA ;

9. İdempotentlik qanunu:

AA=A, A˄A=A;

10. AA =1, AA =0, A1= A1 =A, A0=A,

A0=0;

11. AB= AB;

12. AB=(AB)( AB ), AB=( AB)(A B ),

AB=(A B)˄(B );

13.A˅B=( ), A˄B=( ) ;

14. Udulma qanunu:

A˄(A˅B)=A , A˅(A˄B)=A;

15.Parçalanma qanunu:

A=(A˄B)˅(A˄ ), A=(A˅B)˄(A˅ ).

Mülahizələr hesabında 5 əməliyyatın hamısı asılı olmayan

deyil. Onlardan bəziləri digərləri vasitəsilə ifadə oluna bilər.

Xüsusi halda, ekvivalensiya və implikasiya əməliyyatları diz-

yunksiya, konyunksiya və inkar əməlləri vasitəsilə ifadə olu-

nurlar.

Lemma. AB və C - ixtiyari düstur olarsa, onda aşağıdakı

düsturlar eynigüclüdür:

1) ; 2)A˅CBC; 3) A˄CB˄C;

4) ACBC; 5) CACB; 6) ACBC.

Misal 1. )CB()CA()BA()CB()BA(

eynigüclülüyünü isbat edin.

De Morqan qanunlarından istifadə edərək

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B B C A B B C A B B C

yazmaq olar. İkiqat inkar qanununa əsasən ( )˄( ).

İndi birinci distributivlik qanunundan istifadə edərək alınmış

ifadəni çevirək:

(( ) ) (( ) ) (( ) ( ))A B B A B C A B A C .

Dizyunksiyasının assosiativliyi imkan verir ki, mötəri-

zənin ikisini yazmayaq

( ) ( ) ( ) ( )A B B B A C B C .

AA =0 və A0=A qanunlarına əsasən

( ) ( ) ( )A B A C B C düsturunu alarıq. Bununla da eynigüclülük isbat olunur.

Misal 2. F=(AB)((BC)(A˅BC)) düsturunu

sadələşdirək. Əvvəlcə işarəsini ləğv edək:

F=( A ˅B)(( B ˅C)( ˅C))=

) ) ˅ ( ˄ ˅C))=(A˄ ) ˅((B˄ ) ˅( ˄ ) ˅C)).

Distributivlik qanununa görə

F=(A˅ )˄ ˅B˄ ˅C=1 olur.

Misal 3. (AB)((AB)(BA)) düsturunu sadələşdirin.

(AB)((AB)(BA))=

=1001(11011011)=10011001=1111.

Misal 4. F=( )˄( ˅ )˅( )˄( ) düsturunu

sadələşdirək:

F= ) ˄( ˅ ) ˅( ) ˄( ˅ )= ˄ ( ˅ ).

Misal 5. Doğrudur ki, A universitetə qəbul olub, doğru

deyil ki, A qəbul olmayıb və B qəbul olmayıb və ya A və C

qəbul olub və ya hətta A və C və B qəbul olub. A, B, C-dən

hansı universitetə qəbul olub?

Verilmiş mətnin düstur ifadəsini yazaq:

F=A˄ )˅(A˄C)˅(A˄B˄C)=A˄(A˅B)˅(A˄C)(A˄B˄C),

F=A˄((A˅B)˅A˄C˅B˄C)=

=A˄((A˅B)˅C˄(A˅B))=(A˅B) ˄(A ˅C)=A ˅(B ˄C),

F=A˅(B˄C).

Burada A=doğru =1, (B ˄C)=yalan=0 olarsa, F=1 olar

(3 nəfərdən biri qəbul olarsa, yəni 1=1˅0).

Misal 6.

AB(AB)(BA)( AB)( B A)(AB)( AB ).

1) AB; a) (AB); b) (BA);

2) a)b); 3) ( AB)( B A); 4) (AB)( AB ).

A B 1) a) b) 2) A B A ˅B B ˅A 3) A˄B A ˄B 4)

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1

0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1

§1.11. Eyniliklə doğru və eyniliklə yalan

olan düsturlar

Tərif 1. Əgər A1,A2,...,An dəyişənlərinin bütün (d1,d2,...,dn)

(di{0,1}) qiymətlər yığımında verilmiş düsturun aldığı

qiymət yalnız doğru olarsa, onda düstura eyniliklə doğru

mülahizə və ya tavtologiya deyilir.

Mürəkkəb mülahizəyə daxil olan elementar mülahizələr-

dən asılı olmayaraq doğru olan mürəkkəb mülahizəyə də tav-

tologiya deyilir. Deməli,

ABBA və ABBA

mülahizələri tavtologiyadır.

Misal 1. A˅A =1.

A A A˅A

0 0 1 1

1 1 0 1

Qeyd edək ki, teorem yalnız doğru (1) məntiqi qiymətlər

alır, yəni teorem təklif olaraq tavtologiyadır. Yalan (0)

məntiqi qiymət alan teorem olmur. Bəzi hipotezlər ənənəyə

görə teorem adlandırılır. Məsələn, Ferma teoremi tavtologiya

deyil. Tavtologiya olmayan teorem yalnız doğruluq qiyməti

məlum olmayan mülahizədir.

Misal 2. F=( )( ˄ )=(1111) olduğunu isbat edək.

1) A˅B; 2) 3) A ; 4) B ; 5) A ˄B .

A B 1) 2) 3) 4) 5) F

0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0 1

1 1 1 0 0 0 0 1

Misal 3. (AB) ( BA ) mürəkkəb mülahizəsi üçün

doğruluq cədvəli quraq.

A B A B B A BA (AB) ( BA )

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

Əhəmiyyətli bir nəticə alırıq:

(A B)( BA )

mülahizəsi onu təşkil edən A və B mülahizələrinin doğru və

ya yalan qiymətlərinin istənilən dəstində doğrudur. Eyniliklə-

doğru olan bu mülahizənin doğruluq cədvəlinin sonuncu

sütunu 1 yaxud D ilə doldurulduğundan həmin sütunu

(A B)( BA )=G

ilə işarə edək, G – mülahizənin gerçək olduğunu göstərir.

Eyniliklə doğru mülahizə ilə yanaşı eyniliklə yalan müla-

hizəni də qeyd edək. Eyniliklə yalan mülahizə elə mürəkkəb

mülahizəyə deyəcəyik ki, onu təşkil edən mülahizələrin doğru

və ya yalan olmasından asılı olmayaraq həmişə yalan (Y

yaxud 0) qiymət alsın. Onu S ilə işarə edək (S – mülahizənin

yalan olduğunu göstərir).

Tərif 2. Əgər A1,A2,...,An dəyişənlərinin bütün (d1,d2,...,dn)

(di{0,1}) qiymətlər yığımında verilmiş düsturun aldığı qiy-

mət yalnız yalan olarsa,onda düstura eyniliklə yalan mülahizə

deyilir.

Misal 4. AA =S.

A A AA

0 0 1 0

1 1 0 0

Misal 5. F=( AB)(AB )=(0000) olduğunu isbat edək.

1) A ; 2) B ; 3) ( AB); 4) AB altdüsturlarının doğruluq cədvəlini quraq.

A B 1) 2) 3) 4) F

0 0 1 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

Misal 6. F=(AB)˄((A B )A) eyniliklə yalan olmasını

isbat edək.

AB; 2) B ; 3) AB ; 4) (AB )A

altdüsturlarının doğruluq cədvəlini quraq.

A B 1) 2) 3) 4) F

0 0 1 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 1 1 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Tərif 3. Əgər A1,A2,...,An dəyişənlərinin müəyyən qiymət-

lərində verilmiş düstur doğru (yalan) qiymət alarsa, onda

düstur gerçəkləşə bilən (təkzib oluna bilən) mülahizə adlanır.

Verilən təriflərdən aşağıdakı nəticələr alınır.

Mülahizə 1. A düsturunun tavtologiya olması üçün zəruri

və kafi şərt onun inkarının eyniliklə yalan olmasıdır.

Mülahizə 2. A düsturunun təkzib oluna bilməsi üçün zə-

ruri və kafi şərt onun inkarının eyniliklə doğru olmamasıdır.

(AB)(AB)=(0001).

Mülahizə 3. A düsturunun gerçəkləşən ola bilməsi üçün

zəruri və kafi şərt onuninkarının eyniliklə yalan olmamasıdır:

AB və BC olarsa, onda AC.

A B C AB BC AC

0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Mülahizə 4. A düsturunun eyniliklə yalan ola bilməsi üçün

zəruri və kafi şərt onun inkarının eyniliklə doğru olmasıdır.

Teorem. Əgər A - eyniliklə doğru, B - eyniliklə yalan, C

və D düsturları ixtiyari olarsa, onda

1)(C˄A)C; 2) (C˄B)B;

3)(C˅A)A; 4)(C˅B)C;

5)((C˄D)C)A; 6)(C(CD))A;

7)(CA) ; 8)(CB)C

düsturları doğrudur.

Bu mülahizələrin hər birini qiymətlər verməklə isbat

etmək olar. Eyniliklə doğru və eyniliklə yalan mülahizələr

məntiqi nəticələr prosesində mühüm əhəmiyyət kəsb edir.

Bəzən onlara məntiq qanunları da deyilir.

Məntiq qanunları mülahizələr cəbrinin müxtəlif düsturla-

rının nəticəsidir. Məntiqi nəticələri təyin edən qrafın təpə

nöqtəsində bütün məntiq qanunlarından ibarət olan sinfi ifadə

edən D (doğru) simvolu durur. Bu təsvir Doğruluq qiyməti D

(doğru) olan məntiq qanunları bütün movcud varlıqlardan

yüksəkdədir mülahizəsini gostərir.

Hər bir düsturdan D (doğru) sinfinə (təpəyə-eyniliklə

doğru düsturlar sinfinə) qədər yol var, yəni həqiqilik qiyməti

D (doğru) olan məntiq qanunları sinfi sadəcə maksimal

(parçada ən böyük) element olmayıb, müəyyən münasibət ilə

nizamlanmış sinifdir.

Məntiqi nəticələri təyin edən qrafın ən aşağı nöqtəsində

bütün məntiq qanunlarından ibarət olan sinfi ifadə edən Y

(yalan) simvolu durur. Bu təsvir “Doğruluq qiyməti Y (yalan)

olan məntiq qanunları bütün movcud varlıqlardan aşağıdadır”

mülahizəsini göstərir. Hər bir düsturdan Y (yalan) sinfinə

(aşağı təpəyə eyniliklə yalan düsturlar sinfinə) qədər yol

var, yəni doğruluq qiyməti Y (yalan) olan məntiq qanunları

sinfi sadəcə minimal (parçada ən böyük) element olur.

D

D

§1.12. Düzgün mühakimələr

Tərif. Əgər şərtlərin konyunksiyasından nəticə alınırsa,

yəni hər dəfə bütün şərtlər doğru olduqda nəticə doğru olar-

sa, onda belə mürəkkəb mülahizə düzgün mühakimə adlanır.

F1, F2, …, Fn şərtlər, D – bu şərtlərdən çıxan doğru nəti-

cə olarsa, onda düzgün mühakimə D

F,...,F,F n21 sxemi və ya

(F1F2…Fn)D düsturunun eyniliklə doğru olması ilə

təyin olunur.

Misal 1. A:=“Qiymətli kağızların məzənnəsi qalxarsa” və

ya B:=“Faiz dərəcəsi düşərsə”, onda C:=“Səhm məzənnəsi

enər” və ya D:=“vergi qalxmaz”. Səhmlərin məzənnəsi yalnız

o vaxt düşər ki, qiymətli kağızların məzənnəsi və vergi artsın.

Əgər faiz dərəcəsi enərsə, onda nə səhmlərin məzənnəsi, nə

də qiymətli kağızların məzənnəsi qalxmayıb. Nəticədə əgər

vergi düşərsə, onda qiymətli kağızların məzənnəsi yüksəlmə-

yib və səhmlərin məzənnəsi qalxıb.

1. (A˅B)(CD); 2. C(A˄D );

3. B( AC ); 4. D ( ).

Tərifə görə

və ya

olmalıdır. Mühakimələrin

hansının düzgün olduğunu aydınlaşdıraq.

1) A˅B; 2) CD; 3) (A˅B)(CD);

4) D ; 5) (A˄D ); 6) C(A˄D );

7) ((AB)(CD))(C(AD )); 8) C ;

9) , 10) ; 11) B ); 12) 11˄7;

13) 410; 14) 12 13; 15) 7˄13; 16) 1511.

Alqoritmə əsasən doğruluq qiymətləri cədvəlini quraq:

A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1

1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1

1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1

(((A˅B)(CD))˄(C(A˄D ))(B ))) ( ))

düsturunun doğruluq qiymətlər cədvəlində 14-cü sütunda 0

(yalan) qiyməti var, yəni mühakimə düzgün deyildir. Verilmiş

mühakimənin düzgün olması üçün

(((A˅B)→(C˅D))˄(C~(A˄D ))˄( D( )))( B ))

olmalıdır (16-cı sütun).

§1.13. Mülahizələr hesabına aid misallar

1. A, B, C, D hərfləri ilə verilmiş mülahizələri işarə edək:

a) A"Bu gün hava aydındır", B"Bu gün yağış yağır",

C"Bu gün qar yağır", D"Bu gün yağmurludur".

Aşağıdakı məntiq düsturlarını mülahizə şəklində verin:

A⇒( ∨ ), D , D(CB), D ∧ ) ) ∧ .

b) A “Bu ədəd tamdır”, B “Bu ədəd müsbətdir”,

C“Bu ədəd sadə ədəddir”, D“Bu ədəd 3-ə bölünür”.

, (ABC)D.

2. Doğruluq cədvəlini yazın.

a) (A⇒B)∧A⇒B; b) A∧B⇒A∨B;

c) A⇒B⇔A∨B; d) A⇒(A⇒B);

e) (A∨B)∧((A⇒B)⇒C); f) (A∨B⇒C)⇒A;

g) A∨B⇒(A⇒B∧C); h) A⇒(B∧C);

i) (A∧B)⇒(C∧C⇒A∨C); j) A∨B⇒D∧C;

k) (A∨C)∧(B(DA)).

3. A və B-nin verilmiş qiymətində məntiqi düsturu hesab-

layın:

a) (A⇒¬B)∧(B⇒¬C)∨(C⇒¬A)⇔

⇔ (¬A⇒B)∨(¬B⇒C)∧(¬C⇒A), |A|=|B|=1;

b) ((B ⇒ C) ⇒ A) ⇒ ¬D, |A| = 0, |B| = 1;

c) ((¬A ⇔ C) ⇔ D) ⇒ (B ∧ C ⇔ ¬E), |A| = |B| = 0.

4. Verilmiş düsturların tavtologiya olmasını yoxlayın.

a) (¬A ⇒ A) ⇒ A; b) (A ⇒ B) ∧ A ⇒ B;

c) (A⇒B)⇔(¬B ⇒ ¬A); d) ¬(A⇒B)⇔(A∧ ¬B);

e) (A ⇒ B) ⇒ (A∧C⇒B∧C);

f) (A⇒B)∧(C⇒D) ⇒ (A∧C ⇒ B∧D);

z) (A(AB)A); x) (A(AB)B);

l) (A(AB)~A); k) (A(AB)~A).

5. Verilmiş düsturların eyniliklə doğru, eyniliklə yalan,

gerçəkləşə bilən, təkzib oluna bilən olduqlarını müəyyən edin:

a) A ⇔ A; b) A ⇒ ¬A; c) A∨B ⇔ A∧B;

d) ((A⇒B)⇒B) ⇒ B; e) (A ⇒ B) ⇒ C;

f) (A ⇒ B)∧(B ⇒ C)∧ ¬(A⇒C).

6. Düsturların ekvivalent olduğunu isbat edin:

a) A∨B ∼ ¬A ⇒ B; b) A ∧ B ∼ ¬(A ⇒ ¬B);

c) (A∨B)∧(A∨ ¬B)∼A; d) A⇔B ∼ (¬A∨B)∧(A∨¬B);

e) (A∧B)⇒C ∼ A⇒(B ⇒ C).

7. Düsturların ekvivalent olmadığını isbat edin:

a) A ⇒ B və ¬A ⇒ ¬B; c) A⇒(B⇒C) və (A⇒B)⇒C;

b) A ⇒ B və B ⇒ A; d) A⇒(B⇒C) və A⇒(B⇔C).

8. Eynigüclü çevirmə aparmaqla yalnız ¬ və ∨ əməllərin-

dən ibarət olan düsturlar yazın:

a) ¬A ∧ ¬B ⇒ A∨B; c) (¬A∧¬B)∨C⇒C∧¬B;

b) (A⇒B) ⇒ B∧C; d) ((A⇒B∧C)⇒(¬B⇒¬A))⇒¬B.

9. Eynigüclü çevirmə aparmaqla yalnız ¬ və ∧ əməllərin-

dən ibarət olan düsturlar yazın:

a) (¬A ⇒ B) ∨ ¬(A ⇒ B); c) (A∨B∨C⇒A)∨C;

b) A ∨ B ⇒ (¬A ⇒ C); d) ((A ⇒ B) ⇒ C) ⇒ ¬A.

10. Verilmiş düsturların inkarını yazın:

a) (A ∧ (B ∨ ¬C)) ∨ (¬A ∧ B);

b) ((A ∧ (¬B ∨ (¬C ∧ D))) ∨ ¬E) ∧ F;

c) ((¬A ∧ ¬B ∧ ¬C) ∨ D) ∧ ¬E ∧ ¬F ∧ ¬G;

11. Sadələşdirin:

a) A ⇒ ¬A; b) A ⇔ ¬A; c) (A ⇒ A) ⇒ A;

d) ¬A ⇒ (A ⇒ B); e) ((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ B;

f) (A ⇔ B) ⇒ (A ⇒ B); g) (A⇒B)∧(B⇒A) ⇒ A∨B.

12. Eynigüclü çevirmə aparmaqla isbat edin ki, verilmiş

düsturlar eyniliklə yalandır:

a) (A ⇒ B) ∧ (A ⇒ ¬B) ∧ A;

b) (A ∧ B) ∧ (A ∨ B ⇒ C) ∧ ¬C;

c) (A ⇔ B) ∧ ((A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)).

13. Düsturların eynigüclü olduğunu isbat edin:

a) (A ⇒ B) ⇒ B ∼ A ∨ B;

b) ¬(A ∧ ¬B) ⇒ (¬B ⇒ A) ∼ ¬(A ⇒ B) ∨ A ∨ B;

c) ¬(¬A ⇒ ¬B) ⇔ A ∼ (A ⇔ B) ∧ ¬A;

d) ¬(¬A∨¬B)∨¬(A ⇒ B)∨B ∼ ¬(A∧ ¬B) ⇒ (¬B ⇒ A).

14. İsbat edin:

a) A ⇒ B, C ⇒ B, (B ∧ C) ⇒ A;

b) A ⇒ B, A ⇒ B ∨ C, B ⇒ C;

c) A ⇒ B ∨ C, B ⇒ A ∨ C, A ∧ B ⇒ C;

d) C ⇒ A ∨ B, B ∧ C ⇒ A, A ∧ B ⇒ C;

e) A ⇒ B ∨ C, D ⇒ E ∨ F, C ⇒ B ∨ ¬A, D ∧ F ⇒ ¬E.

15. Eynigüclü çevirmələr aparmaqla yalnız ¬, ,

əməllərindən ibarət olan düsturlar yazın:

a) (A ⇒ B) ⇒ ¬(B ⇒ A); b) (A↓B)∨(B∧(B ⇔ B));

c) (A ⊕ B) ∨ (A ⊕ C); d) (A ⇒ B) ∨ (B ⇔ C);

e) (A ⇒ B) ∧ (A ↓ C); f) (A⇒(B∧¬C))∧(A⇒C).

16. Tənlikləri həll edin:

1) {

2) {

3) x→y=0;

4) { →

5) { →

6) { ~

7) {

8) { →

9){

→

10) .

17. Mühakimələrdən hansı düzgündür?

a) (AB) AB)→A; b) (AB) AB)→A;

c) (AB)(AB)→A; d) (AB)(AB)→A;

e) (AB)(AB)→A; f) AB) AB)→A;

g) AB)(AB)→A; k) (AB)(AB)→A;

j) (AB)(AB)→A; s) (AB)(AB)→A;

h) (A~B)(AB)→B; i) (A~B)→B;

l) (A~B)(AB)→A; z) (A~B)(AB);

t) (A~B)(AB)→B; m) (A→B)(AB).

18. Doğruluq cədvəli vasitəsi ilə verilmiş düsturu vektor

şəklində yazın:

1) x(xy); 2) x(xy); 3) )yx()yx( ;

4) )zy(x ; 5) )zy(x ; 6) z)yx( ;

7) )z~y(~x ; 8) (x~y)~z;

9) ))zy(x())zy(x( ;

10) ))zy(x())zy(x( ;

11) ))zy(~x(~))zy(~x( ;

12) z~yxzyyx .

19. Doğruluq cədvəli vasitəsi ilə verilmiş düsturların

eyniliklə doğru olduğunu isbat edin:

1) x~x; 2) xx; 3) xx ; 4) x~x ;

5) x(yx); 6) x (x y);

7) ((xy)x)y; 8) ((x y) ) ;

9) ((xy) x )y; 10) ((xy)x)y;

11) (xy)~(yx); 12) ((xy)(yz))(xz);

13) (x(yz))((xy)z);

14) ((xz)(yz))((xy)z).

20. Doğruluq cədvəli vasitəsi ilə verilmiş düsturların

eynigüclü olduğunu isbat edin:

1) xyyx; 2) xyyx;

3) x(yz)(xy)z; 4) x(yz)(xy)z;

5) x(yz)(xy)(xz); 6) x(yz)(xy)(xz).

II Fəsil

MƏNTİQ CƏBRİ

§2.1. Ümumi anlayışlar

Məntiq cəbri (m.c.) – riyazi məntiqin bölməsi olub, müla-

hizələr və onların məntiqi qiymətləri (doğru və yalan) üzə-

rində məntiqi əməliyyatlar aparmaqla yaranan mülahizələri

öyrənir.

Məntiq cəbrinin əsası XIX əsrin ortalarında C.Bul tərəfin-

dən qoyulmuş və sonralar başqaları tərəfindən inkişaf etdiril-

mişdir. Məntiq cəbrinin yaradılması məntiq məsələlərinin

həllinin riyazi üsullarla öyrənilməsinə yol açdı.

AB dekart hasilinin altçoxluğu olan fAB münasibəti

aşağıdakı iki şərti ödəyərsə, onda f münasibəti funksiya

adlanır:

1) xA yB (x,y)f

2) x, y1, y2 üçün (x,y1)(x,y2)f y1=y2.

Tutaq ki, A, B, C,... fərdi, x, y, z,... isə dəyişən müla-

hizələri göstərir. Deməli, 0 və 1 qiymətləri alan kəmiyyətlər

üzərində əməliyyatlar aparılıb və nəticədə yenə 0 və ya 1

qiyməti alınıb. M.c.-də yeni bir anlayışın daxil edilməsi üçün

zəmin yaranır. Bu məlum funksiya ilə onun arqumenti

arasındakı münasibətdir. Beləliklə, m.c.-nin anlayışlarından

biri də m.c. funksiyasıdır. Doğruluq cədvəllərinə diqqət

yetirsək görərik ki, cədvəllərin hər birində U*V düsturuna

daxil olan mülahizələrin verilmiş qiymətlərində həmin düstur

0 və 1 qiymətlərindən birini alır. Deməli, hər bir düstura həm

də m.c. funksiyasının reallaşması və ya verilmə qaydası kimi

baxmaq olar. {0;1} çoxluğunda təyin olunub, 0 yaxud 1

qiyməti alan funksiyaya m.c.-nin funksiyası deyilir, yəni bul

funksiyası }1;0{}1;0{:f n , n

2Bf şəklində verilmiş müna-

sibətdir. Burada n}1;0{ çoxluğu Bul kubu adlanır. Deməli,

məntiq cəbrinin tədqiqat obyekti m.c.-nin funksiyaları və on-

lar üzərində aparılan müxtəlif əməllərdir. Məntiq cəbrinin

funksiyalar sinfi genişləndirilərək elə funksiyalar sinfinə çat-

dırılıb ki, bu funksiyalar və onların arqumentləri qeyd olun-

muş sonlu çoxluğun elementlərini qiymət olaraq alır. Funksi-

yalar üzərində əməliyyatlar ehtiyatı da genişləndirilib. Bəzən

məntiq cəbri dedikdə məhz sonuncu konsepsiya nəzərdə

tutulur.

Məntiq cəbrinin funksiyalarını vermək üçün doğruluq

cədvəlindən istifadə edirlər. Məsələn, x , x∨y, x∧y, xy,

xy funksiyalarının cədvəli aşağıdakı kimidir:

x y x x∧y x∨y xy xy

0 0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 0

1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 1 1

Məntiq cəbrinin ixtiyari funksiyası üçün analoji qayda ilə

cədvəl qurmaq olar. Bərabər düsturların çevrilməsində eyni-

güclü bərabərliklərin mühüm əhəmiyyəti var. Eynigüclü

bərabərliklər cədvəlin köməyi olmadan başqa bərabərliklər

almağa imkan verir. Bərabər düsturların bu şəkildə alınması

üsuluna eynilik çevirmələri deyilir. Bu üsulda ifadə dəyişir,

lakin ifadənin reallaşdırdığı funksiya dəyişmir. Məsələn, ud-

ma qanununun köməyi ilə x∨x=x idempotentlik qanunu alınır.

Çevirmələr nəticəsində məntiq cəbri bul cəbrinə çevrilir.

Deməli, m.c. funksiyası da bul cəbri funksiyasına çevrilir və

bu funksiyaya bul funksiyası deyilir. Onda deyə bilərik ki, bul

funksiyası təyin oblastı T1={0;1}, qiymətlər çoxluğu isə

Q={0;1} olan funksiyadır. Çoxluqlar arasında qurulmuş bu

funksiya birdəyişənli funksiyadır. İkidəyişənli funksiyaya

baxmaq üçün nəzərə almaq lazımdır ki, hər dəyişən 0 və 1

qiymətini alır, onda qiymətlər çoxluğu Q={0;1} olan ikidəyi-

şənli funksiyanın təyin oblastını T2={{0;1}, {0;1}} kimi yaza

bilərik. Oxşar şəkildə digər çoxdəyişənli funksiyaları təyin

etmək olar. Göründüyü kimi ikidəyişənli funksiyanın təyin

oblastı dörd (22) elementli çoxluqdur. Onda qiymətlər çox-

luğu Q={0;1} olan n dəyişənli funksiyanın (n yerli funksiya)

Tn təyin oblastı 2n elementdən ibarət çoxluq olacaq. Belə bir

sual yaranır: Ti ( ) çoxluğu ilə Q çoxluğu arasında neçə

funksiya yaratmaq olar? Bu suala cavab vermək üçün ümumi

şəkildə olan aşağıdakı məsələyə baxaq.

Tutaq ki, T={x1, x2, ..., xn} və Q={y1, y2, ..., yn} çoxluq-

ları və T çoxluğunu Q çoxluğuna inikas etdirən münasibət

verilmişdir. Bu halda deyirlər ki, T çoxluğunda qiymətlər

çoxluğu Q olan funksiya verilib. T çoxluğuna funksiyanın

təyin oblastı (daxil olma), Q çoxluğuna isə qiymətlər oblastı

(çıxış oblastı) deyilir. Təyin oblastı T və qiymətlər çoxluğu Q

olan neçə müxtəlif funksiya ola bilər? Hər bir funksiyanı

x1 x2 ... xs ... xn

... si

y ... ni

y

cədvəl şəklində vermək olar, burada si

y – Q çoxluğundan xs

elementinə qarşı qoyulmuş elementdir. , ,..., ele-

mentlərinin hər biri Q çoxluğunun elementlərindən biridir.

Onda sayda müxtəlif funksiya almaq olar. Beləliklə,

qiymətlər çoxluğu Q və təyin oblastı T olan nk sayda müxtəlif

funksiya ola bilər.

Baxdığımız hallarda Q qiymətlər çoxluğu dəyişməz olub

n=2 sayda elementi var. Təyin oblastı isə funksiyanın arqu-

mentlərindən asılı olaraq dəyişir. Məsələn, birdəyişənli

funksiya üçün n=2, k=2 və funksiyaların sayı =4-dür.

İkidəyişənli funksiyada isə n=2, k=4 və deməli, funksiyaların

sayı =16-dır. Eyni qayda ilə 3, 4 və daha çox dəyişənli

funksiyaların sayı təyin edilir. Beləliklə, bul funksiyalarının

sayı onun arqumentlərinin sayından asılıdır. Dəyişənlərin

qiymətlərinin ixtiyari qeyd olunmuş dəsti üçün funksiya

vektor-sütun vasitəsilə təyin olunur. Buna görə də müxtəlif

məntiqi funksiyaların sayı uzunluğu 2n olan vektor-sütunların

sayına, ədədinə bərabərdir.

Teorem. məntiqi dəyişənlərdən asılı bul

funksiyaları çoxluğu Bn olarsa,onda onun gücü | |

olar.

Məsələn, n=3 olduqda, yəni üç dəyişəndən | |

qədər bul funksiyası düzəltmək olar.

Bul funksiyasına diskret

tipli qurğuda informasiyanın

emalının riyazi modeli kimi

baxmaq olar.

İş prosesində hər bir giriş qiymətləri bu qurğuda ancaq

iki vəziyyətdə (0 və 1) yerləşə bilər. Sıfır və birlərin kombina-

siyalarından asılı olaraq girişdə verilmiş qurğuda çevrilmələr

apararaq çıxışda sıfır və birlərin kombinasiyalarına uyğun

fəaliyyət göstərən obyekt alınır. Bu fəaliyyəti göstərən obyekt

dəyişənlərinin funksiyasıdır.

§2.2. Bul funksiyalarının qiymətinin təyini

Tutaq ki, =( ) qiymətlər yığımı verilmişdir

və burada ∈{ }. =( ) vektoruna n-ölçülü bul

vektoru deyilir. Bu vektorların di koordinatlarının sayı onun

uzunluğu adlanır. Belə vektorlar çoxluğuna vahid kubun

təpələri çoxluğunu qarşı qoymaq olar. ∈ yığımları Bn

hiperkubunun təpələridir. Kubun qonşu təpələri bir di koor-

dinatı ilə fərqlənir. Məsələn, 3-ölçülü hiperkubda (0,0,0)

təpəsinə { ) ) )} təpələr çoxluğu, (0,1,0)

təpəsinə isə {(0,1,1), (1,1,0), (0,0,0)} təpələr çoxluğu qonşu-

dur. Hər bir ikilik nd yığımına

n

1i

in

i

n 2d)d(N onluq ədədi

qarşı qoyulur. nd yığımın nömrəsi və )d(N n

-nin ayrılışı

adlanır. d və e təpələri arasındakı məsafə

n

1iii |ed|)e,d(

şəklində təyin olunur.

=( )∈ =( )∈ qonşu təpə-

lər olduqda ( )=1, əks halda ( )=n.

Şəkildə , hiperkubları verilib.

Bu cür təyin olunma bul funksiyasının həndəsi şəkildə

verilməsidir.

f(x1, x2, ..., xn) məntiq funksiyasını f=(1, 2, ..., n)

vektoru vasitəsilə vermək olar ki, burada i koordinatı

f(x1, x2, ..., xn) funksiyasının dəyişənlərin i-ci qiymət dəstinə

uyğun qiymətidir.

x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

f 0 0 0 1 1 0 1 1

B0

n=0, 2n=1

B1

n=1, 2n=2

B2 B3 B4

B5

) ) ),

yəni

f(0,0,0)=0, f(0,0,1)=0, f(0,1,0)=0, f(0,1,1)=1,

f(1,0,0)=1, f(1,0,1)=0, f(1,1,0)=1, f(1,1,1)=1.

Bu cür təyin olunma bul funksiyasının cədvəl şəkildə

verilməsidir. Cədvəl şəklində verilmiş funksiyanı matris və

qraf şəklində də vermək olar.

x1 x2 x3 y

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

x3

x2

x1

001 101

111

100

110 010

000

011

(0,0,0)

(0,0,1)

(0,1,0)

(0,1,1)

(1,0,0)

(1,0,1)

(1,1,0)

(1,1,1)

0

1

=(

)

=(

)

Karno kartı vasitəsi ilə Bul funksiyasının verilməsi

f(x1,x2,x3) mx1x2x3=0(1)

Ədədlər vasitəsi ilə Bul funksiyasının verilməsi

x y z F

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 1

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1

=[1,4,5,7] , [0,2,3,6]

Məntiq cəbrinin istənilən funksiyası ∧, ∨,,

işarələrinin köməyilə yazılmış məntiqi düsturla verilə bilər.

Məsələn, f(x1,x2,x3)=(11001001)= ∨ .

§2.3. Elementar Bul funksiyaları

A və B mülahizələri üzərində əsas əməliyyatlar apararkən

məlum olur ki, alınan hər yeni mülahizə, yəni ikidəyişənli

funksiya cədvəl şəklində verilə bilər. Üç dəyişənli funksiya

üçün də uyğun cədvəl vermək olar.

Daha mürəkkəb mülahizələrin də doğruluq cədvəli

analoji qayda ilə verilir, yəni əgər x1, x2, ..., xn mövqeli dəyi-

şənlər (mülahizələr), n dəyişənli f(x1, x2, ..., xn) funksiyası isə

bu dəyişənlər üzərində aparılan əməliyyatlardan alınan müla-

hizə forması olarsa, onda doğruluq cədvəli

x1 x2 ... xn f(x1, x2, ..., xn)

1 1 ... 1 v1

1 1 ... 0 v2 ...

... ...

...

...

0 0 ... 0 vn

şəklində göstərilə bilər. Cədvəlin hər bir sətri n sayda müla-

hizənin (dəyişənin) 2n sayda mümkün doğruluq qiymətləri

kombinasiyalarından biridir. Cədvəldə vi – f(x1, x2, ..., xn)

funksiyasının (mülahizəsinin) x1, x2, ..., xn dəyişənlərinin

(mülahizələrinin) i-ci sətirdəki doğruluq qiymətlərinə uyğun

qiymətidir. Cədvəlləri ümumiləşdirərək demək olar ki,

yuxarıda yazılan cədvəldə sonuncu sütundan əvvəlki sütun-

larda dəyişənlərin 2n sayda qiymətlər dəsti, sonuncu sütunda

isə funksiyanın həmin dəstlərə uyğun qiymətlər dəsti durur.

Dəyişənlərin ixtiyari qeyd olunmuş qiymətlər dəsti üçün

funksiya vektor-sütun vasitəsilə təyin olunur. Buna görə də

müxtəlif məntiqi funksiyaların sayı uzunluğu 2n olan vektor-

sütunların sayına,yəni n22 ədədinə bərabərdir.

Tutaq ki, U universal çoxluğu verilmişdir. U universal

çoxluğunun istənilən M çoxluğunu verilən oblastların birləş-

məsi kimi göstərmək olar. M çoxluğunu uzunluğu 2n olan ikili

vektora qarşı qoyaq. Bu vektorun i-ci dərəcəsinə onluq

ekvivalenti i olan oblast uyğun gəlir. Çoxluğu təyin edən

vektoru

12

1i

i

i

n

2c)M(d

( }1,0{ci ) onluq ekvivalenti şəklin-

də göstərək. Məsələn, üç ölçülü U fəzasında M çoxluğunun

onluq ekvivalenti d(M)=217 olsa, onda alarıq:

217=127+126+025+124+123+022+021+120.

Deməli, M çoxluğu (11011001) vektoruna uyğun gəlir.

Bul funksiyasının sayı n=0 olduqda )22(02 ikidir: f0=0,

f1=1. Birdəyişənli funksiya üçün (n=1 və 4212 ) d(M)=0,

d(M)=1, d(M)=2, d(M)=3, yəni belə funksiyaların sayı 4-dür

(f0,f1,f2,f3):

0=0 +0 , 1=0 +1 , 2=1 +0 , 3=1 +1 .

f0 və f3 funksiyaları uyğun olaraq 0 və 1 sabitləridir. f1(x)

funksiyası x-i “təkrarladığı” üçün f1(x)=x və f2(x)= inkar

funksiyası olur. Birdəyişənli funksiyanın doğruluq cədvəli

aşağıdakı kimidir.

X f0 f1 f2 f3

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

İkidəyişənli funksiya üçün (n=2 və 16222 ) d(M)=0,

d(M)=1, d(M)=2, d(M)=3, ... , d(M)=15, yəni belə funksiya-

ların sayı 16-dır:

.2121212115;2021212014

;2120212113;2020212112

;2120202111;2021202110

;212020219;202020218

;212121207;202121206

;212021205;202021204

;212120203;202120202

;212020201;202020200

01230123

01230123

01230123

01230123

01230123

01230123

01230123

01230123

Bul funksiyaları

x1 x2 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Doğruluq cədvəli ilə verilmiş iki dəyişənli bul funksiya-

larını düsturla də vermək olar:

)=0 – eyniliklə sabit 0 olan bul funksiyası;

)= ∧ – konyunksiya funksiyası;

)= ; )= ;

)= ; )= ;

) – iki moduluna görə cəmləmə funksiyası;

)= ∨ – dizyunksiya funksiyası;

)= = – Pirs ibrəsi funksiyası;

)= – ekvivalensiya funksiyası;

) ;

)= ;

) ;

)= – implikasiya funksiyası;

)= | = ∧ – Şeffer ştrixi funksiyası;

)=1 – eyniliklə sabit 1 olan bul funksiyası.

Misal. Rabitə xətti ilə 3 xəbər ötürülür. Məlum olur ki, bu

zaman aşağıdakılar baş verir:

1) A və B xəbərlərindən biri ötürülür;

2) A xəbəri o vaxt ötürülə bilər ki, B və C də ötürülsün;

3) A və C xəbərlərindən heç olmazsa biri ötürülə bilər.

Həlli. A, B, C xəbərlərini uyğun olaraq x, y, z ilə işarə

edək. x=1 (uyğun qaydada y=1 və z=1) o vaxt ola bilər ki, A

xəbəri rabitə xətti ilə ötürülsün. Verilmiş halları bul funksiyası

ilə ifada edək. 1) ; 2) x ; 3) x˅y. Onda bul funksiyası

) ) ) )

=( )∧( ˅xyz)∧(x˅z)=

=( ˅ xyz ∨ ∨ xyz) (x∨z)=

∨ ( ∨ ))∧(x∨z)= (( ∨ )(1∨ ))(x∨z)=

(( ∨ )x∨ (( ∨ )z= (( ∨ )z= z∨ z= z.

f(x,y,z)= z, f(x,y,z)=1 olması üçün x=0, y=0, z=1 , yəni

A=0, B=0, C=1.

Verilmiş misalın şərtinə baxsaq, B xəbəri ötürülməyib, C

isə ötürülüb ( z), yəni f(x,y,z) . Doğrudan da

z z = ( ( z))∨ z=x∨( ))∨ z=x∨1=1.

§2.4. Bul funksiyasının fiktiv və əsas dəyişənləri

Qiyməti funksiyanın qiymətinə təsir etməyən arqumentə

fiktiv arqument deyilir. Başqa sözlə, əgər

f( , , ..., , , , ..., )=

=f( , , ..., , , , ..., )=

=f( , , ..., , , , ..., )=

=f( , , ..., , , , ..., )

olarsa, onda arqumentinə f(x1, x2,..., xn) funksiyasının fiktiv

arqumenti deyilir. Fiktiv dəyişənlər funksiyanın qiymətinə təsir

etmədiyindən onları funksiyadan kənar etmək olar, yəni onu

f( , , ..., , , , ..., )=

=g( , , ..., , , ..., )

şəklində yazmaq olar. Əks halda, xi əsas (əhəmiyyətli) dəyi-

şən adlanır. Lakin bir çox hallarda fiktiv arqumentlərin funk-

siyaya daxil edilməsi daha əlverişli olur. Doğrudan da fiktiv

dəyişənlərin köməyilə müxtəlif sayda dəyişənlərdən asılı olan

funksiyaların dəyişənlərinin sayını eyniləşdirmək olar, yəni

baxılan bütün funksiyalar üçün dəyişənlər çoxluğu eyni bir

çoxluq olur.

Misal. F( )=(1100001111000011) funksiyasının fiktiv

dəyişənlərini təyin edək.

F(0,0,0,1)=F(0,0,0,1)=F(0,1,1,0)=F(0,1,1,1)=

=F(1,0,0,0)=F(1,0,0,1)=F(1,1,1,0=F(1,1,1,1)=1,

yəni x4 fiktiv arqumentdir.

F(0,0,0,0)=F(1,0,0,0)=F(0,1,1,0)=F(1,1,1,0)=

=F(0,0,0,1)=F(1,0,0,1)=F(0,0 ,1,0)=F(1,0,10)=1,

yəni x1 fiktiv arqumentdir.

F0,0,0)F(0,1,0,0), F(0,0,0,1)F(0,1,0,1),

F(1,0,0,0)F(1,1,0,0), F(1,1,1,1)F(1,0,1,1),

yəni x2 əsas arqumentdir.

F(0,0,0,0)F(0,0,1,0), F(0, 0,0,1)F(0,0,1,1),

F(0,1,0,0)F(0,1,1,0), F(0,1,0,1)F(0,1,1,1),

yəni x3 əsas arqumentdir.

F( )=F( )=

alınır.

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

F 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1

Misal. F(x3)=(10101010) funksiyasının fiktiv dəyişən-

lərini təyin edək.

F(0,0,0)=F(0,1,0)=F(1,0,0)=F(1,1,0)=1,

yəni fiktiv dəyişəndir.

F(0,0,1)=F(0,1,1)=F(1,0,1)=F(1,1,1)=0,

yəni fiktiv arqumentdir, əsas arqumentdir.

F( )=(10101010)= .

Misal. F( )=(01100110) funksiyasının fiktiv dəyişən-

lərini təyin edək.

F(0,0,0)=F(0,1,1)=F(1,0,0)=F(1,1,1)=0,

yəni fiktiv dəyişəndir.

F(0,0,1)=F(0,1,0)=F(1,0,1)=F(1,1,0)=1,

yəni və əsas arqumentdir.

Misal. F( )=(11110011) funksiyasının fiktiv dəyişənlə-

rini təyin edək.

F(1,0,0)=f(1,0,1)=0,

yəni fiktiv dəyişəndir.

F(0,0,0)=F(0,0,1)=F(0,1,0)=F(1,1,1)=F(0,1,1)=F(1,1,0)=1,

yəni və əsas arqumentdir.

Misal. ) ))) ∨

funksiyasının fiktiv dəyişənlərini təyin edək.

Doğruluq cədvəlinə əsasən

) ))) ∨ ) ,

yəni fiktiv dəyişəndir.

§2.5. Bul funksiyasının düsturlarla realizəsi

Hər bir düstur ona daxil olan məntiqi dəyişənlərin və ya

altdüsturların funksiyasıdır.

Tutaq ki, ={f1, f2, …, fm, …} Bul funksiyaları çoxluğu

verilib. o vaxt düstur adlanır ki,

1) (induktiv bazis) 0 və 1 sabitləri və x1, x2, …, xn mən-

tiqi dəyişənləri düsturdur;

2) (induktiv keçid) F1, F2, …, Fn düsturlar, fi(x1, x2, …, xn)

isə çoxluğunda n dəyişənli funksiya olarsa, onda

F=fi(F1, F2, …, Fn) funksiyaları çoxluğunda düsturdur, yəni

, , , , məntiqi ifadələri də

düsturdur.

Məsələn, f(x,y,z)=(x y) ) (z ) funksiyası

düsturla realizə edilmişdir.

Tərif. f1(x1, x2, …, xn), f2(x1, x2, …, xn), ..., fn(x1, x2, …, xn)

funksiyaları verilibsə, onda mürəkkəb

F(f1(x1, x2, …, xn), f2(x1, x2, …, xn), ..., fn(x1, x2, …, xn))

funksiyasına f1, f2, …, fn funksiyalarının superpozisiyası deyi-

lir və F(x1, x2, …, xn) ilə işarə olunur.

Məsələn, ) ))) mürəkkəb funksi-

yası f1(x1,x2), f2(x1,x3), f3(x2,f2(x1,x2)), altdüstur-

larından ibarətdir. ∨ , , )

olarsa, onda F=( ∨ ) )) olar.

Hər düstur bir funksiya ifadə edir, lakin funksiyanı ifadə

edən düstur yeganə deyil. Pirs ibrəsi əməlini ifadə edən

funksiya aşağıdakı şəkildə ixtiyari düsturla ifadə oluna bilər:

= ∨ = ∧ , | ∧ ∨ ,

=x =x|x, ) ),

∨ = ( ) ( ).

Yoxlanması çətinlik törətməyən aşağıdakı eynigüclü-

lükləri (Bul cəbrinin qanunları) verək:

1. Kommutativlik: ∈ {∧ ∨ ∼ | };

2. Assosiativlik: ) ) ∈ {∧ ∨ ∼},

3. Birinci distributiv qanun: (yz)=(xy)(xz);

4. İkinci distributiv qanun x(yz)=(xy)(xz);

5. Üçüncü distributiv qanun: (yz)=(xy)(xz);

6. De Morqan qanunları: ;

8. İkiqat inkar qanunu:

9. İdempotentlik qanunu: xx=x, x˄x=x;

10. x =1, =0, 1=1, 1= , 0= , 0=0;

11. = ; ;

12. =( )( ), =( )( ),

x =( y)˄( );

13. ˅ =( ), ˄ =( );

14. Udulma qanunu: ˄( ˅ )= , ˅( ˄ )= ;

15. Parçalanma qanunu: =( ˄ )˅( ˄ ), =( ˅ )˄( ˅ ).

§2.6. İkili bul funksiyaları

Tutaq ki, f(x1, x2, …, xn)Bn bul funksiyası verilib.

( )= )

funksiyasına ) -ə ikili olan funksiya deyilir.

(x)=f(x) xassəni ödəyən bul funksiyası özünə ikilidir.

Məsələn,

) ) ) );

) ) ) )

funksiyaları özünə ikilidir.

f( )= ∨ , )= ∧ ;

f ) = ∧ , )= ∨ .

Beləliklə, 0-ın ikilisi 1-ə, 1-in ikilisi 0-a, x-ın ikilisi x-ə,

∧ -nin ikilisi ∨ -ya, ∨ -nın ikilisi ∧ -ya

bərabərdir.

Misal. ∨ )) ∨ ∨ ) funksiyasının ikilisini

yazaq.

∨ ) ) ∨

) ∨ ) ) )

)) ∨ ) )

↓ ,

∨ ∨ ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

∨

∨ ∨ ∨ )

f( , , ..., ) funksiyası doğruluq qiymətlər cədvəli şək-

lində verilərsə, onda ikili funksiyanın doğruluq qiymətlər

cədvəlini almaq üçün 0-ları 1-lərlə, 1-ləri isə 0-larla əvəz edib

alınan qiymətləri 1800 çevirmək lazımdır.

Misal. f( , , ..., )=(00101101),

( ) = (01001011).

Misal. ) ∨ ) ) funksiyasının ikilisini ta-

pın. Burada ∧-nı ∨ ilə, ∨-nı ∧ ilə əvəz edək:

) ∧ ∨ )) ∨ ∨ ) ∨ ))

Misal. f(x,y,z)=(01110011) funksiyasının ikilisini tapın.

Əvvəlcə funksiyanın qiymətini inkar edək, sonra qiymət-

ləri tərsinə köçürək:

) ), ) )

§2.7. Bul funksiyalarının dəyişənlər üzrə ayrılışı

Bul və çoxluqlar cəbrinin izomorfluğundan istifadə edərək

çoxdəyişənli bul funksiyasını dəyişənlər üzrə ayırmaq olar.

Müəyyənlik üçün f( ) bul funksiyasının k dəyişə-

ni üzrə dizyunksiya, konyunksiya və inkar vasitəsilə ifadəsinə

(ayrılışına) baxaq. Bunun üçün aşağıdakı teorem və onun

nəticələrindən istifadə edək.

Tərif.n

n

2

2

1

1 iii x...xx

konyunksiyalarına elementar

konyunksiya, n ədədinə isə, yəni literaların sayına onun ranqı

deyilir və r ilə işarə olunur: rn.

n

n

2

2

1

1 iii x...xx

dizyunksiyalarına isə elementar

dizyunksiya deyilir.

Yalan və doğru olan mülahizənin “qüvvəti” anlayışını

verək:

,1)()(,)x()x(x

α∈{0,1}, x ∈{0,1}.

Burada x ifadəsinə litera deyilir.

,x

,xx

i

i

ii

əgər i=1 olarsa,

əgər i=0 olarsa.

Tərif. Elementar konyunksiyaların dizyunksiyasına diz-

yunktiv normal forma (D.N.F), elementar dizyunksiyaların

konyunksiyasına konyunktiv normal forma (K.N.F) deyilir.

Teorem. İstənilən f( , , ..., ) bul funksiyasını

f( , , ..., )=

⋁ ∧

∧ ∧ ) f( ) (*)

şəklində göstərmək olar, burada i=0;1.

(*) ayrılışına Şennon ayrılışı deyilir.

k=1 olduqda

f( , , ..., )= f(0, , ..., )∨

f(1 , , ..., )=

f(0, , ..., ) ∨ f(1, , ..., ),

n=4, k=2 olduqda (*) bərabərliyi

) ) ∨ )

∨ ) ∨ )

ayrılışı şəklində yazılar,

k=n olduqda (*) ayrılışı bütün dəyişənlərinə

görə aşağıdakı kimi yazılır:

f( , , ..., )=

⋁ ∧

∧ ∧ ) f( ).

Misal. ) funksiyasının ayrılışın yazaq.

f(0, )= =1, f(1, )= =0, f(0,0)=1,

f(0,1)=1, f(1,0)=0, f(1,1)=0,

)

)

)

)

) ∨ (D.N.F).

Misal. )=(00111011) funksiyasının D.N.F.-nı yazın.

0,0,0 0,f 0,0,1 0,f

0,1,0 1,f

0,1,1 1,f

1,0,0 1,f

1,0,1 0,f

1,1,0 1,f

1,1,1 1,f

Verilənlərə əsasən D.N.F.-nı aşağıdakı şəkildə yazaq.

0 0 0 0 0 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3

0 1 0 0 1 1 1 0 0

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 3 1 2 3 1 2 3

, , 0,0,0, 0,0,1

0,1,0 0,1,1 1,0,0

1,0,1 1,1,0 1,1,1

f x x x x x x f x x x f

x x x f x x x f x x x f

x x x f x x x f x x x f

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,f x x x x x x x x x x x x x x x x x x (D.N.F)

) bul funksiyasının Şennon ayrılışında

D.N.F.-nı funksiyanın vahid qiymətlərinə uyğun dizyunktiv

hədlər şəklində yazmaq kifayət edir.

f( , , ..., )=⋁ ∧

∧ ∧ ) )

burada dizyunksiya f( )=1 bərabərliyini təmin

edən bütün ( ) dəsti üzrə aparılır.

Tərif. f( , ,.., ) bul funksiyasının Şennon ayrılışının

f( )=1 şərtini ödəyən formasına onun mükəmməl

dizyunktiv normal forması (M.D.N.F.) deyilir.

Misal. ) ∨ funksuyasının M.D.N.F-ı yazın.

f(0,0)=0, f(0,1)=1, f(1,0)=1, f(1,1)=1,

)

∨

∨

∨ ∨ .

Teorem. İstənilən ) bul funksiyasını

K.N.F. adlanan Şennon (ikili) ayrılışı

)

⋀ ∨

) )

şəklində göstərmək olar və bu ayrılış yeganədir. Burada ∧

əməli bütün ) dəsti üzrə aparıldığı nəzərdə

tutulur və

∨ {

kimi təyin olur.

Misal. f( , )= funksiyasının ayrılışını yazaq.

f(0, )= =1, f(1, )= =0, f(0,0)=1,

f(0,1)=1, f(1,0)=0, f(1,1)=0,

) ∨

∨ )) ∧ ∨

)) ∧

∧ ∨

∨ )) ∧ ∨

∨ ))

= ∨ ∨ ) ∨ ∨ )( ∨ ∨ )( ∨ ∨ ) =

= ( ∨ )( ∨ ) (K.N.F)

Burada əməliyyat f( )=0 bərabərliyini təmin

edən bütün ( ) dəsti üzrə aparılır:

) ⋀ ( ∨

∨ ∨ ) )

şəklində olur.

Tərif. f( , ,.., ) bul funksiyasının Şennon ayrılışının

f( )=0 şərtini ödəyən formasına onun mükəmməl

konyuktiv normal forması (M.K.N.F.) deyilir.

Misal. f( )= funksıyasının ayrılışını yazaq.

f(0,0)=1, f(0,1)=1, f(1,0)=0, f(1,1)=1,

f(x1, x2)= ∨

= ∨ (M.K.N.F).

Misal. Doğruluq cədvəli şəklində verilmiş

f( , , )=(01001011)

bul funksiyası üçün MDNF və MKNF qurun.

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

f( , , ) 0 1 0 0 1 0 1 1

Verilmiş funksiya üçün M.D.N.F. və M.K.N.F. uyğun olaraq,

f( , , )= ∨ ∨ ∨ ;

f(x1,x2,x3)= ) ) ) )

şəklində olur.

M.D.N.F-sı olmayan yeganə funksiya 0 sabitidir.

Dəyişənlərdən və mötərizələrdən əlavə dizyunksiya, kon-

yunksiya və inkar funksiyaları daxil olan düsturlar bul

düsturları adlanır.

Teorem. Bul funksiyaları çoxluğunda istənilən

funksiyanı dizyunksiya, konyunksiya və inkar elementar

funksiyalarının iştirak etdiyi düstur şəklində göstərmək olar.

Əgər ) olarsa, onda bul funksiyasını xi

arqumentinin köməyi ilə ) ∧ şəklində

göstərmək olar.

Əgər ) olarsa, onda bul funksiyasını xi

arqumentinin köməyi ilə f( ) = ∨ şəklində

vermək olar.

Əgər ) bul funksiyası eyniliklə sabit de-

yilsə, onda onu M.D.N.F və M.K.N.F-ya gətirmək lazımdır.

§2.8. Bul funksiyalarının eynigüclü

çevrilmələr vasitəsi ilə normal formaya gətirilməsi

Eynigüclü düsturlardan istifadə edərək istənilən funksi-

yanı normal formaya gətirmək olar.

Teorem. Məntiq cəbrində istənilən düstur müəyyən

D.N.F-ya və K.N.F-ya ekvivalentdir.

Düsturun D.N.F-ya gətirilməsi alqoritmini quraq.

Addım 1. A ∨B, A B=( ∨B)∧(A∨ ),

A|B=( ∧ ), A B=( ∨ ), (AB)= ( )

düsturlardan istifadə edərək verilən məntiqi əməlləri üç əmələ

gətirməli.

Addım 2. ( ∨ )= ∧ , ( ∧ )= ∨ , =A düstur-

ları vasitəsi ilə inkar əməlini düsturun üzərindən hərfi simvo-

lun üzərinə keçirməli.

Addım 3. (A∧(B∨C))=((A∧B)∨(A∧C)) qanunundan isti-

fadə edərək elə etməli ki, bütün konyunksiyalar dizyunksi-

yalardan əvvəl yerinə yetirilsin.

Misal. ) ) ) )∨

funksiyasını D.N.F-ya gətirmək üçün verilmiş alqoritmdən

istifadə edək: ,

∨

∨ )∨ ) )

∨ ) ∨ )∨ )

∨ ) ∨ )∨ ) ∨

∨ ∨ ∨ )∨ ∨

∨ ∨ ) ∨

∨ )∨ ∨ ∨ ) ∨ ∨ )∨

∨ ∨ ∨ ) ∨ ∨ )∨

∨ ∨ ∨ ∨ ∨

( ) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ (D.N.F).

K.N.F-ya gətirilməsi alqoritmində addim 1 və addim 2

eyni, addim 3 isə aşağıdakı kimidir.

Addim 3. (A∨(B∧C))=((A∨B)∧(A∨C)) qanunundan elə

istifadə etməli ki, bütün dizyunksiyalar konyunksiyalardan

əvvəl yerinə yetirilsin.

Misal. ( ) ∨ ∨ funksiyasını K.N.F-ya

gətirin.

∨ ∨ ∨ ∨

∨ ∨

( ) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

∨ ∨ ∨ ∨ ,

∨ ∨ ) ∨ ), ∨ ∨

∨ ∨ ) ∨ ) ∧ ∨ )

∨ ∨ )∨ ∨ ∨ ) ∨ ∨ )

∨ ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ .

Tərif. Əgər elementar konyunksiyalarda hər bir xi dəyi-

şəni və onun inkarı yalnız bir dəfə iştirak edərsə, onda

elementar konyunksiya düzgün adlanır.

Məsələn, düzgün, düzgün

olmayan konyunksiyadır.

Əgər elementar konyunksiyalarda dəyişənin

hər biri və onların inkarları yalnız bir dəfə iştirak edərsə, onda

elementar konyunksiya dəyişənlərinə nəzərən

tam elementar konyunksiya adlanır.

Məsələn, )= tam elementar

konyunksiyadır, f( )= isə tam deyildir.

Eyni qayda ilə tam elementar dizyunksiya anlayışını

vermək olar.

Misal. ) ∨ ∨ -D.N.F.-ni düzgün

formaya gətirin.

Düzgün formaya gətirmək üçün ∨ ∨

qanunlarından istifadə olunur:

)

) ) ) )

.

§2.9.Məntiqi cəbrin funksiyasına

aid misallar

1. Ekvivalent çevrilmələr vasitəsi ilə M.D.N.F-ya gətirin.

a) (A∧B)∨(B∧C); b) A∨(B∧C);

c) (A∧B)∨(C∧D); d) (¬A∨C)∧(B∨C);

e) ((A∧¬B)∨C)∧(¬A∨C); f) A∨B∨C;

g) ((A∨B)∧(A∨C))∨¬B; h) (AB)∨(AC)∨(BC).

2. Ekvivalent çevrilmələr vasitəsi ilə M.K.N.F-ya gətirin:

a) (A∨B)∧C; b) (¬A∨B)∧(A∨C);

c) (¬A∧B)∨(B∧C); d) (A∧B)∨C;

e) A∧B∧C; f) A∨B∨(¬C∧D);

g) (¬A∧B)∨(C∧D).

3. Doğruluq cədvəllərinə uyğun M.D.N.F. və M.K.N.F.-

ları yazın:

a) A ⇒ B; b) (A | B)⇒(A↓B);

c) (A∧B)∨C; d) (A⇔C)⇒A∧¬B;

e) A∧(B⇒(C(A∧B))).

4. a) Verilmiş funksiyalardan hansında x, y – fiktiv, z –

əsaslı dəyişəndir:

f(11010100), f(10101010), f(11000011),

f(10010011), f(11100001)?

b) Verilmiş funksiyalarda hansında x – fiktiv, y, z – əsaslı

dəyişəndir:

f(10011001), f(11100100), f(10001011),

f(11001101), f(10000111)?

c) Verilmiş funksiyalardan hansında x, y – əsaslı, z –

fiktiv dəyişəndir:

f(11100010), f(00111100), f(11001100),

f(10010011), f(01010101), f(11110011),

f(10011000), f(10100100), f(11001100),

f(10001110), f(11110011), f(10011000),

f(10100100), f(11001100), f(10001110)?

e) Verilmiş funksiyalarda hansında x, y, z – əsaslı dəyi-

şəndir:

f(10101010), f(10110010), f(11100100),

f(00011001), f(10010011), f(00110011),

f(10101011), f(11100001), f(01101011)?

g) Hansı funksiya üçün dəyişəni fiktiv dəyişəndir:

f=(1100), f=(1001), f=(1010),

f=(1000), f=(1110)?

j) Hansı funksiyada x əsas z, y fiktiv dəyişəndir:

f=(00001111); f=(10110011); f=(00011111);

f=(00110011); f=(01010101)?

l) Hansı funksiyada y əsas x, z fiktiv dəyişəndir:

f=(01011010), f=(00110011), f=(00001111),

f=(01010101), f=(01011111)?

k) Hansı funksiyada z əsas x, y fiktiv dəyişəndir:

f=(00001111), f=(00110011), f=(01010101),

f=(11001100), f= (00111100)?

5. Vektor şəklində verilmiş bul funksiyalarının MDNF-ni

yazın:

1) )10000101()x,x,x(f 321 , 2) )00101010()x,x,x(f 321 ,

3) )00101000()x,x,x(f 321 , 4) )00010100()x,x,x(f 321 ,

5) )01001010()x,x,x(f 321 , 6) )00100100()x,x,x(f 321 ,

7) )00010001()x,x,x(f 321 , 8) )10001000()x,x,x(f 321 ,

9) )11010110()x,x,x(f 321 , 10) )01101100()x,x,x(f 321 ,

11) )11001100()x,x,x(f 321 , 12) )10001110()x,x,x(f 321 ,

13) )10010011()x,x,x(f 321 , 14) )10001010()x,x,x(f 321 .

6. Vektor şəklində verilmiş bul funksiyalarının MKNF-ni

yazın:

1) )11111000()x,x,x(f 321 , 2) )11111010()x,x,x(f 321 ,

3) )00111111()x,x,x(f 321 , 4) )10011111()x,x,x(f 321 ,

5) )10101111()x,x,x(f 321 , 6) )11100111()x,x,x(f 321 ,

7) )01111110()x,x,x(f 321 , 8) )01110110()x,x,x(f 321 ,

9) )11011000()x,x,x(f 321 , 10) )10010001()x,x,x(f 321 ,

11) )11001100()x,x,x(f 321 , 12) )10011011()x,x,x(f 321 ,

13) )11010111()x,x,x(f 321 , 14) )01101100()x,x,x(f 321 .

7. Verilmiş funksiyaları düsturla yazın:

) ), ) )

) ) ) )

) ), ) )

) ), ) )

) ), ) ),

) ) ) ),

) ), ) ).

8. Funksiyaların ikilisini tapın.

1) )zxxy)(zyx()z,y,x(f ;

2) )01110011()z,y,x(f ; 3) )11110001()z,y,x(f ;

4) )10101000()z,y,x(f ; 5) ) ;

6) ) ; 7) ) ;

8) )=x∨y; 9) ) xy;

10) ) ; 11. ) .

9. Verilmiş düsturla eyniliklə bərabər olan düsturu tapın:

1) ) ); 2) ) );

3) ) ) ; 4) yxyxy,xf ;

5) ))xx(x(x,xf 21121 ;

6) 212121 xxxxx,xf ;

7) 212121 xxxxx,xf .

10. Funksiyanın fiktiv dəyişənlərini tapın:

) ) )

) ) )

) ) )

) ) )

) ) )

) ) )

Cavab: 1) x1, x2; 3) x3; 5) .

11. Verilmiş funksiyalarda x1 dəyişəninin fiktiv olduğunu

göstərin (elementar çevrilmələr vasitəsi ilə funksiyada x1

dəyişənini yox edin):

) ) ) )

) ) ) ∨ )

) ) ) ) )

) ) ∨ ) )) ∨ )

) ) ∨ ) )) )

) ) ∨ ∨ ) )) )

) ) ) )) )

) ) ∨ ) ∨ ) ))

) ) ∨ ) )

)∨ )

) ) ) ) ))) ) )

12. Funksiyanın əsas dəyişənlərini tapın:

) ) ∨ ) ) ) )

) ) ) )) ∨ )

) ) ))) ∨

) ) )) )

) ) ))

) ) ) ) ∨ )

) ) ) )) )

) ) ∨ ) )) ∨ )

) ) )) ))) )

) ) )∨ ) )∨

Cavab: 1) yoxdur; 3) x2; 9) x1, x2; 10) x2, x3, x4.

13. Ekvivalent çevrilmələr vasitəsi ilə M.D.N.F-ya gətirin:

) ) ∨ ∨ ) ∨ )

) ) ) )

) ) ) ∨ ))

) ) ) ) )

) ) ) ))

) ) ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ) ∨ ∨ )

) ) ) ) )

) ) ) ) ∨ ) ))

Cavab: 4) ( ) ) ) )

) ) ;

10) ) ) ) )

) .

14. Ekvivalent çevrilmələr vasitəsi ilə M.K.N.F-ya gətirin:

) ) ) )) ))

) ) ∨ ∨ )))

) ) ∨ ∨ )

) ) ))

) ) )) ∨ )

) ) ∨ ∨ ∨

) ) ) ∨ ) ∨

Cavab: 1) ( ) ( ) )( ))

) ) ) )

) ) ) ),

3) ( ) ,

6) ) ) ).

15. və düsturlardan istifadə etməklə

funksiyaları M.D.N.F-ya gətirin:

) ) ∨ ) ) ∨ ∨

) ) ∨ ∨ ; ) ) ∨ ∨

) ) ∨ ∨ ) ) ∨

) ) ∨ ∨ ) ) ∨ ∨

Cavab: 2) )

;

5) )

.

16. ) ), düsturlardan istifadə etmək-

lə funksiyaları M.K.N.F-ya gətirin:

) ) ∨ ) ;

) ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ∨ ∨ )

Cavab:1) ( ) ) ) ) )

) ) ) ) )

5) ( ) ) ) ) )

) ) ) )

17. Verilmiş düsturlardan istifadə etməklə funksiyaları

M.K.N.F-dan M.D.N.F-ya gətirin:

) )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ∨ ∨ ) ∨ ∨ ) ∨ )

Cavab: ) ( ) ) )

,

) ) ) )

18. Verilmiş düsturlardan istifadə etməklə funksiyaları

M.D.N.F-dan M.K.N.F-ya gətirin:

) ∨ ∨

∨ ∨ )

) ) ∨ ; ) ) ∨ ∨

) ) ∨ ∨ ; ) ) ∨ ∨

) ) ∨ ∨

) ) ∨ ∨ ∨

) ) ∨ ∨

) ) ∨ ∨ ∨

Cavab: 2) ( ) ) ) ) )

) ) ) )

) ) ) ) )

) ); ) ( ) ) )

) ) )

19. ∨ ) ∨ ∨

∨ qanunlarından istifadə edərək, ) funksiyasını

M.K.N.F-dan M.D.N. F-ya gətirin:

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ )

) ) ∨ ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ) ∨ ∨ ∨ ) ∨ ∨ ) ∨ )

Cavab: 3) ) ∨ ) ∨ ∨ )

∨ ∨ ∨ ) ∨ ∨ ∨

6) ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ )

∨ ∨ ∨ ∨

20. ∨ ∨ ) ∨ ) ∨ ∨ ∨

∨ ) qanunlarından istifadə edərək )

funksiyasını M.D.N.F-dan M.K.N.F-ya gətirin:

) ) ∨ ) ) ∨ ∨

) ( ) ∨ ∨ ; ) ) ∨ ∨

) ) ∨ ∨ .

Cavab:1) ) ) ) ) )

) ) ) );

2) ) ) ) );

3) ) ) )

) ) ) ) )

) ).

21. Bul tənliklərini həll edin və X(A,B,C) bul funksiya-

sının M.D.N.F-ın yazın.

1)

2)

3)

4) C=AB+C,

5)

6) ,

7) X+B ,

8) ,

9) ,

10) .

§2.10. Jeqalkin cəbri. Bul funksiyasının

Jeqalkin çoxhədlisinə ayrılışı

Mülahizələr çoxluğunda ∧, ∨, , 0, 1 əməllərinin köməyi

ilə düzəldilən cəbr bul cəbri adlandırılır, yəni B=(∧,∨,,0,1).

Mülahizələr çoxluğunda ∧, əməllərinin köməyi ilə düzəl-

dilən cəbrə Jeqalkin cəbri deyilir. Jeqalkin cəbrində aşağıdakı

qanunlar doğrudur:

1) A ∧A=A, AA=0;

2) A∧(B∧C)=(A∧B)∧C, A(BC)=(AB)C;

3) A∧(BC)=(A∧B)(A∧C);

4) A0=A, A1=A, A∧0=0,

A∧1=A, AA=0, A∧A=A.

Tərif. Məntiqi 0, 1 sabitlərindən və , ... , dəyişənlə-

rindən ∧, əməllərinin köməyi ilə düzəldilən

)

(1)

ifadəsinə Jeqalkin çoxhədlisi deyilir.

Xüsusi halda, (1) çoxhədlisi

F( , , ..., )= ... (2)

şəklində olarsa, onda F( ..., ) bul funksiyasına xətti

funksiya deyilir. (1), (2) ifadəsində əmsallar məntiqi sabitlər-

dir, =(0,1), i=0,1,2,..., -1.

Teorem. İstənilən Bul funksiyasını Jeqalkin çoxhəd-

lisinə ayırmaq olar və bu ayrılış yeganədir.

Misal. )= funksiyasını Jeqalkin çoxhəd-

lisinə ayırın.

f( )= ,

əmsallarını qeyri-müəyyən əmsallar üsulu ilə

tapaq:

1=f(0,0)= 0 0 00=1, =1;

0=f(0,1)= 0 1 01=1 = , =1;

0=f(1,0)= a0 a11 a20 a310=1a1= , a1 =1;

1=f(1,1)=a0 1 1 11=

= =111 = =1, =0,

f( )= =1 .

Misal. Verilmiş misalları eynigüclü düsturların köməyi

ilə Jeqalkin çoxhədlisinə ayıraq:

1) ) ) );

f( )= ∧ ) )))=

=(1(1( ))(1((1 )(1 ))))= 1 .

2) ) ∧ )

=1(1 )(1 )=1(1 )= ;

3) )= ∨ = ∧ ) =1 =

(1 )1= 1 .

Misal. ) ) )= ∨ ∨

∨ ∨ ) ) )

.

Misal. f( )= | ∧ )=1

Misal. ) ∨ )

=(1 )(1 )= 1 ;

) ∨ ∨ )

= )( ∨ )))=

=1((1 (1 )))(1 (1 ) ) )))

(1 )(1 )=1 .

Bul funksiyası vektor şəklində verildikdə Jeqalkin çox-

hədlisi aşağıdakı kimi təyin olunur.

F( ) bul funksiyasını ardıcıl nömrələnmiş

cütlərinə ayıraq:

( ), =( ), ..., ).

T( )=( ), T( )=( ),

T( )=( ), ... , T( )=( , )

funksiyalarını təyin edək:

T( )=( ) ) ))

T( )=(T( ) ) )), ... ,

T( )=(T( ),T( ) )),

T( )=(T( ), T( ) ), ...,

T( ), T( )T( ))=

=(

)

alınır.

.

Qeyd: Vektorların həlqəvi cəm əməli ),

=( ) vektorları üçün

=( )

şəklində təyin olunur.

Misal. f( )= ∨ =(0111) funksiyası üçün Jeqalkin

çoxhədlisini yazaq:

=(01), =(11), T( )=(0,0 )=(01) ,

)=(1,1 )=(10), T( )=((01),(01) ))=(0111),

f( )=0 1 1 ,

f( )= .

Misal. f( )= =(1001) funksiyası üçün Jeqalkin

çoxhədlisini yazaq:

=(10), =(01), T( )=(1,10)=(11),

T( )=(0,01)=(01), ))=(11,1101)=1110,

f( )=1 =1 .

Misal. f(x,y,z)=(00011011) funksiyası üçün Jeqalkin çox-

hədlisini yazaq:

( ), =( ), (10), ).

T( )=(0,00)=(00), T( )=(0,01)=(01),

T( )=(1,10)=(11), T( )=(1,11)=(10)

funksiyalarını təyin edək:

T( )=( ) ) ))=(00,0001)=0001,

T( )=(T( ) ) ⊕ ))=(11,1110)=1101,

T( )=(T( ),T( ) ))=

=0001,0001⊕ =00011100,

f( , )=0 =

=z .

Misal. f(x,y,z)=(01101011) funksiyası üçün Jeqalkin

çoxhədlisini yazın.

Verilmiş funksiyanın M.D.N.F.-sını yazaq:

f(x,y,z)= ∨ z∨ ∨ ∨ ,

burada qanunlarından istifadə etsək,

f(x,y,z)=(x1)(y1)zx(y1)zx(y1)(z1)xy(z1)xyz=

= alarıq.

Misal. ) funksiyasının Jeqalkin çoxhəd-

lisini yazın.

olduğundan

) ) ∨ ) ) .

§2.11. Jeqalkin çoxhədlisinə aid misallar

1. Funksiyaların Jeqalkin çoxhədlisini yazın:

a) 2121 x~xx,xf ; b)

2121 xxx,xf ;

c) 2121 xxx,xf ; d)

2121 x|xx,xf ;

e) 2121 xxx,xf ; f) 01101011x,x,xf 321 ;

g) 10001110x,x,xf 321 ;

h) f(x,y,z)=(11110011); i) ) );

j) f(x,y,z)=(01100000); k) ) ).

2. Qeyri-müəyyən əmsallar üsulu ilə funksiyaları Jeqalkin

çoxhədlisinə ayırın:

) ) ; ) ) )

) ) ∨ ); ) ) );

) ) ); ) ) )

) ) ); ) ) );

) ) );

) ) ).

Cavab: 1) 3)

6)

10)

3. Vektor şəklində verilmiş funksiyaları Jekalkin çoxhəd-

lisinə ayırın:

) ) ) ; ) ) );

) ) ); ) ) );

) ) ); ) ) );

) ) );

) ) );

) ) );

) ) ).

Cavab: 1)x1x2x1x21; 4) x1x2x3x1x3x2x3x2x3;

7)

4. Verilmiş düsturlardan istifadə etməklə funksiyaları

Jeqalkin çoxhədlisinə ayırın :

)

.

) ) ); ) ) )

) ) ) ); ) ) ∨ ) );

) ) )∨ );

) ) )) ) );

) ) )∨ );

) ) ) );

) ) ∨ ) )).

Cavab: 1) ) ∨ ∨ ∨

3) ( ) ∨ ∨ ∨ ∨ ) ) )

;

9) ) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ) .

§2.12. Bul funksiyalarının minimumlaşdırılması

Teorem. n məntiqi dəyişəndən düzəldilmiş müxtəlif

dizyunktiv formaların sayı n32 qədərdir.

Dizyunktiv formalar içərisində f( ... ) funksiyasını

realizə edən forma mükəmməl D.N.F.-dır. Mükəmməl

D.N.F.-ı təşkil edən elementar konyunksıyalara f( ... )

funksiyalarının implikantları deyilir.

Əgər K konyunksiyası ilə f( ... ) funksiyasının ala

biləcəyi qiymətlərdə K f( ... ) = 1 və ya K∨f=f şərti

ödənərsə, onda K konyunksiyası f ( ... ) funksiyasının

implikantı adlanır.

Misal. f( )= funksiyasının implikantlarını tapın.

= , = , = , , ,

F

0 0 1 1 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 1 0

1 1 0 0 1 0 0 1

= f=1101, =xf=1011, = f=1011,

1101, 1111,

,

yəni , implikantdır.

Misal. ) funksiyasının implikantlarını

tapın.

, , , ,

, , , .

İmplikantlar ) ) şərtindən

alınır. Elementar konyunksiyaların doğruluq cədvəlini tərtib

edək.

K1=x1 K2=x2 F K3 K4 K5 K6 K7 K8

0 0 1 1 1 0 0 0 1

0 1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 1 0 0 0

Cədvələ əsasən, K2=x2, = , = , K6= ,

K5= konyunksiyaları f(x1,x2)=x1x2 funksiyasının impli-

kantlarıdır, yəni K( )=1.

Tərif. Əgər ∧

∧ ∧ elementar konyunksi-

yaları f( ,… ) funksiyasının implikantlarıdırsa və bu

konyunksiyalardan ən azı bir hərfi simvolu atdıqda alınan

konyunksiya f( ,… ) funksiyasının implikantı olmazsa,

onda belə elementar konyunksiyaya funksiyanın sadə impli-

kantı deyilir.

Məsələn, , konyuksiyaları )

funksiyasının sadə implikantlarıdır, = , ,

isə sadə implikantları deyildir.

Tərif. ) funksiyasının bütün sadə implikant-

larının dizyunksiyasına onun qısaldılmış D.N.F.-ı deyilir.

Verilmiş misallarda funksiyanın qısaldılmış D.N.F.-ı

f( )= = ) ∨ ),

f( )= = ∨

şəklində olur.

Tərif. f( ,… ) funksiyasının qısaldılmış D.N.F.-ın-

da onun qiymətlərinə xələl gətirmədən implikantları atdıqda

qalan D.N.F. yenə f( ,… ) funksiyasını realizə edirsə,

onda D.N.F.-ya funksiyanın son D.N.F.-i deyilir.

Eyni Bul funksiyasının bir neçə son D.N.F.-i ola bilər.

Bul funksiyasını realizə edən D.N.F.-lar içərisində eləsini

tapmaq olarmı ki, o, müəyyən əlamətinə görə digər D.N.F.-

lara nisbətən minimal olsun? D.N.F.-nın minimallığını üç

haldan biri təmin edə bilər:

1. Bul funksiyasını realizə edən D.N.F.-da iştirak edən

hərfi simvolların sayı ən azdır.

2. Bul funksiyasını realizə edən D.N.F.-da iştirak edən

inkar əməlinin sayı ən azdır.

3.Bul funksiyasını realizə edən D.N.F.-da iştirak edən

elementar konyunksiyaların sayı ən azdır.

Bu hallardan belə nəticə alınır ki, Bul funksiyasını realizə

edən D.N.F.-lar içərisindən elementar konyunksiyalarının,

hərfi simvollarının sayı minimal olan, yəni ranqı

n

1i

irranq minimal olan D.N.F.-ı tapmaq lazımdır. Bul

funksiyasının D.N.F-ları minimal, ən qısa, sadələşməyən olur.

Hərfi simvollarının sayı az olan D.N.F. minimal,

konyunksiyaların sayı az olan D.N.F-lar ən qısa, bir hərfi

simvolu və ya konyunksiyanı atdıqda öz əvvəlki vəziyyətinə

ekvivalent olmayan D.N.F. isə sadələşməyən adlanır. Bul

funksiyasının D.N.F.-lar sinfində minimumlaşdırılmasının

ümumi sxemi belədir .

Sxem üzrə minimumlaşdırmanın alqoritmini verək:

1. Əgər f( ,… ) funksiyası doğruluq qiymətlər

cədvəli ilə verilmişsə, onda onun mükəmməl D.N.F.-ı yazılır.

2. D.N.F. düzgün formada deyilsə, o, tam düzgün for-

maya gətirilir.

3. Mükəmməl D.N.F.-dan f( ,… ) funksiyasının

qısaldılmış D.N.F.-nı almaq üçün aşağıdakı mülahizələri verək:

1) Bleyk metodu: Əgər f( ,… ) funksiyasının mü-

kəmməl D.N.F-na

a) ∨ və ya ∨ ∨ ∨ nata-

mam yapışdırma əməli;

b) ∨ udulma qaydası ardıcıl tətbiq edilərsə,

onda mükəmməl D.N.F.-dan alınan D.N.F. onun qısaldılmış

D.N.F.-ı olar.

Misal. ) = funksiya-

sının qısaldılmış D.N.F.-nı yazın.

Mükəmməl D.N.F.-da udulma qaydasından istifadə etsək,

) ) )

qısaldılmış D.N.F.-ı alarıq.

Misal. Verilmiş funksiyanın Q.D.N.F-nı yazın:

f= ∨ ∨ .

Birinci mərhələdə ∨ ∨ ∨ yapışdırma

düsturundan istifadə edək:

∨ ∨ ∨ ,

∨ ∨ ∨ ,

f= ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ .

∨ ∨ ∨

f= ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ .

İkinci mərhələdə f= ∨ (Q.D.N.F.)

Misal.Verilmiş funksiyanın Q.D.N.F.-nı yazın:

∨ ) ∨ ∨ )

∨ ∨ ∨ ∨ ∨ .

, xxK=xK, ∨ qanunlarına görə

∨ ∨

f= ∨ .

Misal. f(x3)

funksiyasının Q.D.N.F-ı yazın.

xK∨ K=K∨ ∨ K qanununa görə

∨ , ∨ ,

∨ = , ∨ = ,

∨ = olar.

)= ∨ ∨ ∨ ∨ .

İkinci mərhələdə

∨ , ∨ , ∨

olur. Onda Q.D.N.F. ) ∨ şəklində olar.

2) ) funksiyasının Q.D.N.F-ı onun M.K.N.F-

sından almaq olar. M.K.N.F yazılır və mötərizələri vurub aç-

dıqdan sonra ∨ ∨ =A qanunlarını tətbiq etməklə

funksiyanın Q.D.N.F-ı yazılır. Bu metod Nelson alqoritmi

adlanır.

Misal. ) ) funksiyasının

Q.D.N.F-ı yazın.

f(0,0,0)=f(0,1,0)=f(0,1,1)=f(1,0,1)=0 qiymətlərinə görə

) ∨ ∨ ) ∨ ∨ )

∨ ∨ ) ∨ ∨ )

∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ )

∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

∨ ∨ ) ∨ ∨ ∨∨ ) ∨ ∨ )

∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

∨ ) ∨ ∨ ,

f(x1,x 2, )= ∨ ∨ (Q.D.N.F.).

4.Bul funksıyasının son D.N.F.-larının alınması.

Tutaq ki, ) funksiyasının qısaldılmış D.N.F.-ı

verilmişdir. burada Ki-lər sadə impli-

kantlardır.

Tərif. Əgər sadə implikantlardan hər hansı Ki üçün

1KK j

n

1ji

şərti ödənirsə, onda deyilir ki, Ki sadə implikantı )

funksiyasının nüvəsinə daxildir.

Məsələn,

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

normal formasıqısaldılmış D.N.F.-dır. (0,0,0,0) yığımında

implikantının qiyməti 1-ə bərabərdir.

0)xxxxxxxxxxxxx(xx 321431432214142 ,

yəni implikantı ) funksiyasının nüvəsinə

daxildir.

implikantı da nüvəyə daxildir. (1,1,0,1) yığımında

0)xxxxxxxxxxxxx(xx 321431432414221 .

Digər implikantlar nüvəyə daxil deyil.

Teorem. ) funksiyasının hər hansı sadə

Ki implikantının onun bütün son D.N.F.-larına daxil olması

üçün zəruri və kafi şərt Ki implikantının nüvə olmasıdır.

Nəticə. ) funksiyasının nüvəsi , , ...,

sadə impikantlarından ibarətdirsə, onda 1KKji

k

1ji

şərtini ödəyən implikantı ) funksiyasının heç

bir son D.N.F.-na daxil deyil.

Qısaldılmış D.N.F.-dan funksiyanın bütün son D.N.F.-

larını almaq üçün aşağıdakı alqoritmi verək :

a) Qısaldılmış D.N.F.-da hər bir sadə impikantın

) funksiyasının nüvəsinə daxil olub-olmamasını

yoxlamalı. Nüvə olmayan sadə implikantları qeyd etməli.

b) Qeyd olunmuş sadə impikantlar üçün yuxarıda verilmiş

nəticəni yoxlamalı və nəticəni ödəməyən nüvə olmayan

implikantları qısaldılmış D.N.F.-dən atmalı.

c) Alınan D.N.F.-da atılmış nüvə olmayan sadə impli-

kantları yoxlamalı, belə ki, qalan D.N.F. verilən funksiyanı

realizə etməlidir. Onda alınan D.N.F.-lar )

funksiyasının son D.N.F.-larıdır.

d) ) funksiyasının son D.N.F.-ları alınır. Bu

son D.N.F.-lar içərisində hərfi simvollarının sayı ən az olan

D.N.F. funksiyanın minimal D.N.F.-dır.

) funksiyasının Q.D.N.F-dan minimal

D.N.F-nı almaq üçün Kvayn matrisindən istifadə olunur.

Kvayn matrisinin köməyi ilə aşağıdakı alqoritmlə minimal

D.N.F tapılır.

1) Matrisin sütunları M.D.N.F-ı təşkil edən elementar

konyunksiyalar olur;

2) M.K.N.F-dan Q.D.N.F alınır. Matrisin sətirləri

Q.D.N.F-nı təşkil edən sadə impilikantlar olur;

3) Matrisin i-ci sətri ilə j-ci sütununun kəsişməsində * işa-

rəsi (i-ci sətrə daxil olan impilikant j-ci sütuna daxil olan

konyunksiyaya daxil olarsa) yazılır;

4) * işarəsinin sayı ən az olan sütunlara uyğun sətirlərdə

olan sadə impilikantların dizyunksiyası son D.N.F-dır.

Misal. ) (10011010) funksiyasının minimal

D.N.F-nı Kvayn matrisi vasitəsi ilə tapın.

1) Funksiyanın M.D.N.F-ı yazaq:

f(0,0,0)=f(0,1,1)=f(1,0,0)=f(1,1,0)=1,

f( )= ∨ ∨ ∨ .

2) M.K.N.F-dan Q.D.N.F alaq:

f(0,0,1)=f(0,1,0)=f(1,0,1)=f(1,1,1)=0.

Onda M.K.N.F. aşağıdakı şəkildə olar:

) ) ) ) )

= )

)

= ) )=

∨ .

3) Kvayn matrisində * işarəsin yazaq:

* *

* *

4) * işarə hər sütunda eynidir. Onda

f( )= ∨

ifadəsi minimal D.N.F olur.

Misal. f( )=(00110110) funksiyasinin minimal

D.N.F-nı Kvayn matrisi vasitəsi ilə tapın.

f( )= (M.D.N.F)

M.K.N.F-dan Q.D.N.F alaq:

f(0,0,1)=f(0,1,0)=f(1,0,1)=f(1,1,1)=0.

Onda M.K.N.F aşağıdakı şəkildə olar.

f ) ) ) )=

= ∨ )

)=

= ) )=

∨ ∨ .

*

* *

* *

Cədvələ görə minimal D.N.F aşağıdakı şəkildə olar.

f( )= ∨ ∨ .

Funksiyanın minimal D.N.F. yazmaq üçün aşağıdakı al-

qoritmdən də istifadə etmək olar:

1) Funksiyanın M.K.N.F-ı yazılır.

2) = , burada (i=1,...,s) funksiyanın

sadə implikantıdır.

D)f(K ifadəsində mötərizələri

açdıqdan sonra Nelson metoduna əsasən AA=A,

tətbiq etməklə K(f)-dən minimal D.N.F.-ı alınır.

Misal. f( )=(01111110) S.D.N.F-ı yazaq.

f(0,0,0)=f(1,1,1)=0 olduğundan

) ) )

= .

001 010 011 100 101 110

0 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0

K(f)=( )( )( )( )( )( )=

=( )( )

( )=(

)

.

Funksiya 2 ən qısa və ya minimal formaya, 3 sadələşməyən

normal formaya malikdir. Ən qısa D.N.F. hasilinə

uyğundur, yəni minimal D.N.F.

f( )= ∨ ∨ şəkilindədir.

Sadələşməyən D.N.F.-nın verilmiş nümunəyə uyğun olan

alqoritmini tərtib etmək olar.

Misal. ) (00110110) funksiyasının sadələşməyən

D.N.F.-ı yazın.

Elementləri funksiyanın vahid qiymətlər aldığı yığımlar

çoxluğundan ibarət olan M matrisi yazılır. matrisinin

sətirləri M matrisinin sətirlərindən = ,

a12=m11m13=00=0 a13=m12m13=10=1 üsulu ilə alınır

(digər sətirlər də eyni qayda ilə tapılır).

(

) (

).

M2 matrisinin vahidlərdən ibarət elementlərinə uyğun

K.N.F. yazılır:

f=(1˅2˅3)(2˅4)(1˅3˅4),

burada 1, 2, 3, 4 -sətirlərin nömrəsidir. K.N.F-da mötərizələri

vurub açdıqdan sonra A˅AB=A qanununu tətbiq etməklə

f=(1˄2)˅(1˄4)˅(2˄4)˅(3˄4)˅(2˄3)

D.N.F-ı alınır.

1˄2= , 1˄4= ,

2˄4= , 3˄4= ,

2˄3= ,

yəni sadələşməyən D.N.F.

f= .

§2.13. Bul funksiyasının minimumlaşdırması

məsələsinin həndəsi qoyuluşu

{ )∈

} çoxluğu

n-ölçülü vahid kubun üzləri adlanır. Burada ∈{ } ,

{ } çoxluğu vahid kubun üzlərinin istiqaməti, k ranqı,

nk üzlərin ölçüsüdür. çoxluğunun kodu uzunluğu n

olan ) şəklində verilmiş vektora deyilir. Vektorun

koordinatları olur və qalan koordinatlar

“” şəklində verilir. Məsələn,

)=(01).

) { ∈ } } çoxluğu interval adlanır.

, kubunun təpələri ), ) ədədi intervalın

ölçüsüdür.

Tutaq ki, elementləri {0,1} çoxluğundan olan M matrisi

verilmişdir. O vaxt “ sətiri bir neçə sütununu örtür”

deyilir ki, onların kəsişməsində 1 ədədi durur. A çoxluğu M

matrisinin sətirləri çoxluğunun altçoxluğudursa və A çoxlu-

ğunda matrisin hər bir sütununu örtən sətir varsa, onda A

çoxluğuna M matrisinin örtüyü deyilir. M matrisində ən az

sütun örtən sətrinə matrisin ən qısa örtüyü və ən qısa örtük-

lərin sayına M matrisinin dərinliyi deyilir. Bütün sütunları

örtən sətirlərə çəkisi olan sətirlər deyilir və g( ) işarə olunur.

g(A)= ) ∈ ) A çoxluğunda M matrisinin çəkisi

olur. M matrisinin bütün sütunlarını örtən A çoxluğunun mi-

nimal çəkisi matrisin minimal örtüyüdür. İstənilən bir sətri

atdıqda A çoxluğu örtük olmazsa, örtük sadələşməyən

adlanır.

Misal. ) = (0001001001001000) funksiyasının vahid

qiymətlər aldığı yığımları M=(

) matrisi şəklində yazaq.

Kəsişməsində vahid qiymətlər olan sətirlər

( )

sütunlarını örtür (1-ci indeks 2-ci indeksi örtür). Ən qısa örtük

2-ci və 4-cü sətirdir. Matrisin dərinliyi 2-dir. 2-ci və 4-cü

sətirlər çəkisi olan sətirlərdir, yəni g(A)=2. Sadələşməyən

örtüyün sayı da 2-yə bərabərdir (2-ci və ya 4-cü sətiri atsaq

örtük sətirlərin sayı 3 olur).

Misal. (

) matrisində 1-ci sətir 1-ci, 2-ci, 3-cü

sütunları, 2-ci sətir 4-cü sütunu, 3-cü sətir 5-ci sütunu, 6-cı

sətir 6-cı sütunu örtür. Ən qısa örtük 2-ci, 3-cü, 4-cü sətirlər

olduğundan matrisin dərinliyi 3, ən qısa örtük 1-dir. Bütün

sətirlər çəkisi olan sətirlərdir, yəni g(A)=4. Sadələşməyən

örtüyün sayı 1-dir.

Tutaq ki, ) bul funksiyası, isə bul funk-

siyasının vahid qiymət aldığı doğruluq qiymətlər çoxluğudur,

yəni ) . çoxluğuna görə )

funksiyasını təyin etmək olar. ) (10010111) funk-

siyası və ={(0,0,0), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)} çoxlu-

ğu arasında uyğunluğa baxaq:

)=(10010011)=

= ∨ ∨ ∨ ∨ .

M.D.N.F-nı sadələşdirək.

f( )= ∨ ,

= ={(0,0,0),(0,1,1)},

= ={(1,0,1),(1,1,1)},

= ={(1,1,0), (1,1,1)}.

hiperkubunun (nr) ölçülü üzü onun (nr) ölçülü

altkubu olur. Verilmiş misalda n=3. = konyunksiyasında

ranq r1 və ona uyğun intervalı (3-1)-ölçülü üzdür, yəni

{(0,0,0), (0,1,1)} tilidir. üzü (3-2)-ölçülüdür və {(1,0,1),

(1,1,1)} tilidir. üzü (3-2)-ölçülüdür və {(1,1,0), (1,1,1)}

tilidir.

Əgər ) funksiyası D.N.F-ya ayrılmışsa,

onda N= və = ... olar, yəni

çoxluğunu intervalları (hiperüzləri)

örtür. çoxluğunun hər bir örtüyünə )

funksiyasının müəyyən D.N.F-ı uyğundur və tərsinə,

) funksiyasının hər bir D.N.F-na ona uyğun

çoxluğunun müəyyən örtüyü uyğundur.

Tərif. Əgər ∈ və çoxluğunda elə bir üzü

yoxdursa ki, 1) , 2) üzünün ölçüsü

üzünün ölçüsündən böyük olsun, onda üzü çoxluğunun

maksimal üzü adlanır.

Tərif. çoxluğunda maksimal olan üzünə uyğun

elementar K konyunksiyasına ) bul funksiyası-

nın sadə implikantı deyilir və sadə impilikantların dizyunk-

siyası ) funksiyasının Q.D.N.F-ı adlanır, yəni

çoxluğunda təyin olunan maksimal üzlər )

funksiyasının Q.D.N.F-ı ola bilər.

Misal. Cədvəl şəklində verilmiş funksiyanın Q.D.N.F.-ını

və ona uyğun maksimal üzləri tapın.

Misal. f=(00011111) funksiyasının Q.D.N.F-ı tapın.

={(0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}.

f( )=(00011111)=

=

= ,

= ={(1,1,1), (1,1,0)};

= { ) )};

= ={(1,1,1), (0,1,1)}.

∨ = olduğundan maksimal üzlər {(1,1,1),

(1,0,0)}, {(1,1,1), (0,1,1)} olur və Q.D.N.F

f( )= ∨

şəklində alınır.

təpələr çoxluğundan maksimal intervalların kodları

{(1,1,1), (1,0,0)} (1, ) ( , ),

{(1,1,1), (0,1,1)} ( , ) ( , ).

Misal. f( )=(1110010101001101) funksiyası-

nın Q.D.N.F-ın yazaq.

={(0,0,0,0), (0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,1,0,1), (0,1,1.1),

(1,0,0,1), (1,1,0,0), (1,1,0,1), (1,1,1,1)}.

Maksimal intervalların kodunu yazaq:

{(0,0,0,0),(0,0,0,1)} (0 ) ( ),

{(0,0,0,0),(0,0,10,)} (0,0, ) ),

{(0,1,0,1),(1,0,0,1)} ) ),

{(1,1,0,0),(1,1,1,1)} (1,1, ) ),

{(0,1,1,1),(1,1,0,1,)} ( ,1, ) ).

Onda Q.D.N.F aşağıdakı şəkildə olur.

f( )= ∨ ∨ ∨ ∨ .

Qısaldılmış D.N.F-nın tapılmasının başqa üsuluna baxaq.

Bu üsul minimumlaşdıran kart və ya Karno kartı və ya Veyça

diaqramı adlanır.

Misal. Vektor şəklində verilmiş

)=(1110010101001101)

funksiyasının Q.D.N.F-ı yazın.

Verilmiş funksiyanı düzbucaqlı cədvəl şəklində verək.

Cədvəldə funksiyanın vahid qiymətlərinə uyğun maksi-

mal intervallar əyri xətlər vasitəsilə göstərilir. Maksimal inter-

vallara uyğun maksimal kodlar təyin olunur və kodlara əsasən

Q.D.N.F. yazılır. Maksimal intervallar {(0000), (0001),

(0010), (0101), (0111), (1100), (1101), (1111), (1001)} çoxlu-

ğundan, maksimal kodlar isə {(000), (000), (01), (11),

(110)} çoxluğundan ibarətdir. Maksimal kodlara əsasən

) )

düsturu Q.D.N.F-dır.

Misal. Verilmiş cədvələ əsasən minimumlaşdıran kart

üsulu ilə funksiyanın Q.D.N.F-ı yazın.

(000), (010) ⇒ ) ⇒

(011), (111) ⇒ ) ⇒

(011), (010) ⇒ ) ⇒ ,

(101), (111) ⇒ ) ⇒

) = .

Tərif. ) funksiyasına uyğun çoxluğundan

hər hansı bir maksimal üzü atdıqda alınan çoxluğu

) funksiyasının vahidlərinə uyğun çoxluq

olmazsa, onda çoxluğu maksimal üzlərin sadələşməyən

örtüyü adlanır və sadələşməyən örtüyünə uyğun D.N.F-ə

) bul funksiyasının son D.N.F-ı deyilir.

Son D.N.F.-ların qurulması alqoritmini yuxarıda verilmiş

misalın üzərində yazaq.

Funksiyanın vahid qiymətlərinə uyğun yığımların

örtüyünü təşkil edən maksimal hiperüzlər

{(0,0,0,0), (0,0,0,1)}, {(0,0,0,0), (0,0,10,)},

={(0,1,0,1), (1,0,0,1)}, ={(1,1,0,0), (1,1,1,1)},

={(0,1,1,1), (1,1,0,1,)}

sistemi və { } ={(0,0,0,0),

(0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,1,0,1), (0,1,1.1), (1,0,0,1), (1,1,0,0),

(1,1,0,1), (1,1,1,1)} nöqtələr çoxluğudur. Maksimal üzləri

uyğun olaraq 1, 2, 3, 4, 5 kimi adlandıraq. Funksiyanı realizə

edən S.D.N.F-ı cədvəl vasitəsi ilə tapaq:

.

Maksimal

interervallar

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

2 1 0 1 0 0 0 0 0 0

3 0 1 0 1 0 1 0 1 0

4 0 0 0 0 0 0 1 1 1

5 0 0 0 1 1 0 0 1 1

Qeyd edək ki, cədvəlin hər bir sütununda ən azı bir vahid

olmalıdır. Sütunların sətirlərlə örtüklərini tapmaq üçün

vahidlər duran sütunlara uyğun sətirlərin K.N.F-ı tapaq.

(1 )(1 )2(3 )534(3 )(4 )=

=2534(1 )(34 )(3 )=

=2534(134

)(3 )=

=2534(134 )(3 )=2345,

yəni funksiyanın S.D.N.F-ı

N=

şəklindədir.

§2.14. Bul funksiyasının minimumlaşdırılmasına

aid misallar

1. A çoxluğunda verilmiş elementar konyunksiyalardan

funksiyanın sadə implikantlarını seçin:

) { } ) )

) { } ) )

) { }

) )

) { } ) )

) { } ) )

) { } ) )

Cavab: 1) , 2) 3) , 4) .

2. Verilmiş D.N.F.-dan Bleyk metodu vasitəsi ilə Q.D.N.F.-ı

qurun:

) ∨ ∨

) ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

Cavab: 1) Yapışdırma qanununa görə

D=

Yoxetmə qanununa görə 1) D=

2) D=

3) ;

4)

3. Verilmiş K.N.F.-dan Q.D.N.F.-ı qurun.

) ∨ ∨ ) ∨ ∨ ) ∨ )

) ∨ ) ∨ ∨ )

) ∨ ∨ ) ∨ ) ∨ ∨ )

) ∨ ∨ ) ∨ ∨ )

) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ∨ ) ∨ ) ∨ ) ∨ )

) ∨ ∨ ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ )

) ∨ ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ ) ∨ )

Cavab: 1) 2) 3) ;

4) ; 5) ;

6) .

4. Kvayn alqoritminin köməyi ilə Q.D.N.F-ı yazın.

) ); ) );

) ); ) );

) )

) )

) )

) )

Cavab: 1) ; 2)

3) ; 4) ;

5) ;

6) .

5. çoxluğundan maksimal intervallar üsulu ilə Q.D.N.F-ı

yazın:

) ); ) )

) ); ) );

) )

) )

) )

) )

Cavab: ) ; 2) ; 3)

; 4)

5) .

6. Q.D.N.F-ı yazın (maksimal intervallar üsulu ilə):

) ); ) );

) ); ) );

) )

) )

) )

) )

Cavab: 1) ; ) ;

3) ; 4) ; 5)

; 6)

7. Hissə-hissə verilmiş funksiyanın Q.D.N.F.-ı yazın:

) – – – ); ) – – – );

) – – – – ); ) – – – – );

) – – – – – – )

) – – – – – – – – – )

) – – – – – – – – – )

) – – – – – – – – – )

Cavab: 1) ; 2) 3) ;

4) , 5)

8. D.N.F.-nın a) çıxışı olmayan, b) qısaldılmış, c) minimal

olmasını aydınlaşdırın:

) ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

9. D.N.F.-ı sadələşdirin:

) ∨ ∨ ;

) ∨ ∨ ∨ ∨ ;

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨

10. Q.D.N.F.-dan D.N.F.-a alın:

) ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

11. QG.D.N.F.-dan minimal D.N.F.-a alın:

) ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

12. Q.D.N.F.-dan D.N.F.-a alın:

) ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨

13. Kvayn cədvəlinə əsasən Q.D.N.F.-ı yazın:

) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

14. Minimal D.N.F.-ı yazın.

) ) ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

) ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ )⊕ ⊕ ⊕

) ) ∨ ∨ ) ∨ ∨ ) ⊕ ⊕ )

) ) ).

§2.15. Qapalı Bul funksiyalar sistemi.

Tutaq ki, { } bul funksiyalar çoxluğu

verilib. K çoxluğunun (i=1,...,n) funksiyalarının iştirak

etdiyi düsturlarla realizə olunan bul funksiyaları çoxluğuna K

çoxluğunun qapanması deyilir və [K] kimi işarə olunur.

K çoxluğuna daxil olan məntiqi cəbrin funksiyalarının

superpozisiyası da K çoxluğuna daxil olarsa, onda K çoxluğu-

na qapalı çoxluq deyilir.

Əgər { } çoxluğunun [K] qapanması bu

çoxluqla üst-üstə düşürsə, yəni [K]=K ödənirsə, onda K

çoxluğu funksional qapalı sistem adlanır.

M∈P məxsusi altçoxluğu üçün olarsa, onda P

tam və qapalı K çoxluğunda bazis adlanır.

Əgər funksiyasında bir dəyişəni əvəz etməklə f2

funksiyası alınırsa, onda və konqruyent funksiyalar

adlanır. Məsələn, və konqruyent funksiyalardır, xy və

zz isə konqruyent funksiyalar deyil. Verilmiş funksiyalar

sinfində funksiyalar çoxluğu cüt-cüt konqruyent olarsa,

funksiyalar sinfi qapalı olur.

Bul funksiyalar çoxluğunda beş qapalı sinif var. Bu

siniflər aşağıdakılardır.

1. Eyniliklə sabit sıfrı özündə saxlayan bul funksiyaları

sinfi. f( ) bul funksiyalar çoxluğunda f(0,0,...,0)=0

olarsa, onda f( ) funksiyası eyniliklə sabit sıfrı

özündə saxlayan bul funksiyası adlanır və bu sinif ilə işarə

edilir. Bu sinfin gücü | |=

kimidir.

= və { ⊕ }.

Misal. ) ) | )) ) )

funksiyasının çoxluğuna daxil olub-olmadığını aydınlaşırın.

) ( ) | ))( ) )

yəni ) ∈ .

Teorem. Eyniliklə sıfrı saxlayan funksiya-

larının superpozisiyasından alınan

)= f( )

funksiyası da sıfrı saxlayandır.

İsbatı. Şərtə görə f(0,0,...,0)=0 və ) ).

)= f( ) ) ))=

= ) .

2. Eyniliklə sabit vahidi özündə saxlayan bul funksiyaları

sinfi. ) bul funksiyalar çoxluğunda f(1,1,...,1)=1

olarsa, onda ) bul funksiyası eyniliklə sabit

vahidi özündə saxlayan bul funksiyası adlanır və ilə işarə

edilir. | |=

olur.

= və {1, ∧ }= .

Teorem. Eyniliklə vahidi saxlayan funksi-

yalarının superpozisiyasından alınan

)= f( )

funksiyası da vahidi saxlayandır.

İsbatı. Şərtə görə f(1,1,...,1)=1 və ) ).

)=f( ) ) ))=1.

Misal. ) ∨ ∨ ) funksiyasının çoxlu-

ğuna daxil olub-olmadığını araşdırın.

) ) ) ) , ) ∈ .

[{ ⊕ }]= , [{ , }]= , [{ }]= .

3. Özünə ikili bul funksiyaları sinfi. f( ) bul

funksiyalar çoxluğunda ) ) şək-

lində funksiyalara f( ) funksiyasına ikili funksiya

deyilir.

Əgər ) ) )

şərti ödənilərsə, onda f( ) bul funksiyası özünə ikili

adlanır və S ilə işarə olunur. Bu sinfin gücü |S|= √ –dir.

=S , { , }= S.

Teorem. Əgər ∈ və g= )

olarsa, onda = (

)∈S olar.

Lemma. Özünə ikili olmayan f( )bul funksi-

yasında və arqumentlərinin köməyi ilə özünə ikili olmayan

sabit funksiyanı almaq olar.

) ∨ funksiyasından ) ∨

) ∧ funksiyasından ) ∧

) funksiyasından ) alınır.

Bul funksiyasında arqumentinin yerinə qoyduqda funk-

siyanın qiyməti bərabər olarsa, onda funksiya özünə ikili deyil.

Məsələn, ) (10100111), (00011010) .

Verilmış

) ), ) ),

f( )=f( ), f( ) ).

dörd şərtdən biri ödənirsə, funksiya özünəikili deyil.

) funksiyasının özünə ikilisi

( ,..., ) şəklində yazılır. Düstur şəklində verilmiş

funksiyanın özünə ikili olması üçün f(0,0,0) f(1,1,1),

) ) ) ) ) )

şərtləri ödənməlidir.

Misal. f= ∨ ∨ funksiyası özünə ikilidirmi?

0=f(0,0,0)f(1,1,1)=1, 0=f(0,0,0)f(1,1,0)=1,

0=f(0,1,0)f(1,0,1)=1, 1=f(0,1,1)f(1,0,0)=0

f=(00010111), =(00010111), (özünə ikilidir).

Məsələn, f(x,y)=x∨y funksiyası üçün

f(0,0)=0 f(1,1)=1, f(0,1)=1=f(1,0)=1

olduğundan bu funksiya özünə ikili deyil:

=(0111), =(0001) .

4. Monoton bul funksiyaları sinfi. ) bul

funksiyalar çoxluğunda ,… məntiqi dəyişənlərinin

ala biləcəyi (1,2,...,n) qiymətlər yığımında ixtiyari iki

=( ) və ) yığımlarının

koordinatları üçün (i=1,...,n) şərti ödənirsə, onda

yığımı yığımından əvvəl gəlir. Əgər yığımı yığımından

əvvəl gəlirsə və f()f( ) olarsa, onda ) funk-

siyası monoton Bul funksiyası adlanır və M ilə işarə olunur.

Teorem. Əgər ∈M və

)= f( )

olarsa, onda ,… )∈M.

Misal. f(x,y,z)=xyz funksiyasının monoton olub-olma-

dığını yoxlayaq. Funksiyanın doğruluq cədvəlini quraq:

X y yz xyz

0 0 0 0

0 0 0 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1 0 1

1 1 1 0

Cədvələ əsasən f(1,1,0)=1, f(1,1,1)=0. Bu isə monotonluq

şərtinə ziddir, yəni funksiya monoton deyil.

f(x,y)=xy(xy) funksiyası üçün f(x,y)=xy(xy)=xyxy=0

olduğundan monotondur.

Əgər funksiya vektor şəklində verilibsə, onda monoton-

luğun təyini alqoritmi aşağıdakı kimi olur:

1) Vektorun koordinatları yarıya bölünür:

) =( ), =( )

Əgər şərti ödənilərsə, onda ikinci addım yoxlanılır.

2) =( ) funksiyası =( ) , =( )

şəklində, =( ) funksiyası isə = ), =( )

şəklində yarıya bölünür. və şərtləri ödənilirsə,

funksiya monotondur.

Məsələn, f=(00011110) funksiyasında

=(0001), =(1110), =(00), =(01), =(11), =(10).

Burada , olduğundan funksiya monoton

deyil.

f(00110111) funksiyasında isə =(0011), =(0111)

şərti ödənilir. =(00), =(11), =(01), =(11) və

, münasibəti ödənildiyindən funksiya mono-

tondur.

Funksiya düstur şəklində verilərsə, eynigüclü cevrilmələr

vasitəsi ilə funksiyanı monoton əmələ (∧, ∨) gətirmək lazımdır .

Misal. ∨ ∨ z funksiyasının monotonluq şərtini

yoxlayaq.

∨ ∨ )= ∨ (( ∨ ) ∨ ))=

= ∨ ∨ )=( ∨ )( ∨ ∨ )= ∨ ∨ .

Dizyunksiya əməli monoton olduğundan funksiya mono-

tondur.

Misal. )= ( )=( )( )=

=(1110) olduğundan funksiya monoton deyil.

Lemma. Monoton olmayan ) bul funk-

siyasında 0,1, , arqumentlərinin köməyi ilə monoton olma-

yan bul funksiyasını almaq olar.

Məsələn,

f( )= )= ,

f( )= )= ,

) )= alınır.

5. Xətti bul funksiyaları sinfi. Bul funksiyası

) = ...

şəklində olarsa, onda ) funksiyasına xətti funk-

siya deyilir və L ilə işarə olunur.

Məsələn ⊕ ⊕ ⊕ və ya ⊕

funksiyaları xətti, ⋀ ⊕ funksiyası isə xətti

deyildir.

Teorem. ∈ funksiyalarının superpozisi-

yasından alınan

,… )= f( )

funksiyası da xəttidir.

Lemma. Xətti olmayan ) bul funksiyasın-

dan 0, 1, və funksiyanın inkarının köməyi ilə xətti

olmayan konyunksiya funksiyasını almaq olar.

Misal. f( ) = ⊕ ⊕ ⊕1 funksiya-

sında =1, arqumentlərinin yerinə qoysaq,

f( ) = ⊕ ,⊕ ⊕1=

=( ⊕ ) ⊕ ) ⊕ ⊕ ) ⊕ ⊕ )) ⊕ =

=1⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

olar.

Misal. ) ⊕ ⊕ ⊕ funksiyasından xətti

olmayan konyunksiyanı aşağıdakı kimi olmaq olar:

) Ekvivalent

funksiya realizasiyası

0 0 0 )

0 0 1 (xy) )

0 1 0 )

0 1 1 ( ) = )

1 0 0 )

1 0 1 ( ) )

1 1 0 )

1 1 1 ) )

§2.16. Funksional tam bul funksiyalar sistemi

Tutaq ki , K={ } bul funksiyalar çoxluğu very-

lib. Əgər K çoxluğunun [K] qapanması bul funksiyalar

çoxluğuna bərabər olarsa, yəni ödənirsə, onda K

çoxluğu funksional tam sistem adlanır.

Misal. K={ } tam sistemdir.

Teorem (Post.E.) Bul funksiyalarının { }

sisteminin tam olması üçün zəruri və kafi şərt onun beş

mühüm qapalı T0, T1, S, M, L siniflərindən heç birinə

tamamilə daxil olmamasıdır.

Bul funksiyalarının müəyyən sistemi verildikdə onun tam

olmasını yoxlamaq üçün Post cədvəlindən istifadə olunur.

Bunun üçün cədvəlin sütunları beş mühüm qapalı T0, T1, S,

M, L sinifləri ilə, sətirləri isə tam olması yoxlanılan sistemin

funksiyaları ilə adlandırılır. Sətir və sütunun kəsişdiyi xanada

funksiya qapalı sinfə daxil olduqda "+" işarəsi, olmadıqda isə

"" işarəsi yazılır. Post teoreminə görə sistemin tam olması

üçün zəruri və kafi şərt hər bir sütunda ən azı bir ""

işarəsinin olmasıdır.

Misal. { } sistemi tamdırmı?

S M L

+ +

+ +

{ ⊕ ⊕ ⊕ }-sistemi tamdır. Post

cədvəlində hər bir sütunda "-" işarəsi var.

Misal. A={ ) )} sistemi tam-

dırmı?

S M L

+

+ +

Cədvələ əsasən sistem tam deyil.

Misal. A={ }

sistemi tamdırmı?

Sistemdə ) ) qəbul etsək,

onda sistem A={ } şəklində

olar. Bu sistem tam sistemdir.

Misal. A={ }

sistemi tamdırmı?

S M L

+ + +

+ + +

+ +

+ + + +

A={ } siste-

mi tam deyil. A sistemi sinfinə tamamilə daxildir.

Misal. A={ } sistemi

tamdırmı?

S M L

+ + +

+ + +

+ +

A={ } - tam sistemdir.

Misal. A={ }

sisteminin tam olmasını göstərin.

T0 T1 L S M

+ + +

+ + +

+ + +

+ + + +

Cədvələ əsasən verilmiş A sistemi tam sistemdir.

Misal. Cədvəl i=6 sətir və j=6 sütundan ibarətdir. Birinci

sətir və birinci sütunda qapalı funksiyalar sinfi verilmişdir.

(Cədvəlin i=j xanaları boşdur). i-ci sətir üzrə yerləşən

funksiyalar həmin sətirdə olan sinfə daxildir. j sütunu üzrə

yerləşən funksiyalar isə həmin sütunda olan sinfə daxil deyil.

T0 T1 L S M

T0 0

T1 1

L 1 0

S

M 1 1

§2.17. Məntiq cəbrində bazis funksiyalar sistemi

Tutaq ki, K çoxluğu Bul funksiyaları çoxluğunda qapalı

sistemdir. Əgər K çoxluğunun istənilən məxsusi altçox-

luğunun qapanması K çoxluğunun qapanmasından fərqlidirsə,

yəni [ ] olarsa, onda funksiyalar sistemi sadələş-

məyən sistem adlanır. K qapalı funksiyalar sistemində sadələş-

məyən tam funksiyalar sisteminə K sinfinin bazisi deyilir.

Misal. { }, { } sistemləri bul funksiya

larının bazisləridir.

Tam funksiyalar sistemində hər hansı bir funksiyanı

atdıqda sistem tam olmazsa, belə sistem minimal tam sistem

adlanır. Məntiqi cəbrin bul funksiyalarının minimal tam

sistemi bazis adlanır.

Misal. A={ } sistemi bul funksiyaları çox-

luğunda bazis təşkil edirmi? Sistemdən funksiyasını atsaq,

alınan A1={ } və A1 sistemi tam olduğundan A

sistemi minimal tam sistem olmur. Beləliklə, sistem bazis

təşkil etmir.

Post teoreminə görə eyniliklə sıfrı saxlamayan, eyniliklə

vahidi saxlamayan, özünə ikili olmayan, monoton olmayan,

xətti olmayan funksiyalar sistemi tam sistemdir. Bu funksiya-

ların sayını bir vahid azaltsaq, aşağıdakı teorem doğru olar.

Teorem. Hər bir bazis sistemi dörd bul funksiyasından

çox deyildir.

Tərif. Bir funksiyadan ibarət bazis təşkil edən məntiq cəb-

rinin bul funksiyalarına ümumiləşmiş Şeffer funksiyası deyilir

və ümumiləşmiş Şeffer funksiyasının sayı

qədərdir.

Bir funksiyadan ibarət minimal bazislər bunlardır:

) və ) .

Dörd funksiyadan ibarət minimal bazislər aşağıdakılardır:

}, { },

{ }.

Dörd funksiyadan ibarət minimal bazisin Post cədvəli

aşağıdakı kimidir:

S M L

+ + +

+ + +

, k + + + +

+ + +

Misal. {f1=xy, f2=xyz, f3=xyz1, f4=xyyzzx}

sistemindən mümkün bazisləri düzəldin.

S M L

+ +

+

+ +

+ + + +

Verilmiş cədvəldə "" işarələrinin yerləşdiyi sətrə uyğun

K.N.F-ı yazaq:

K= ) ) )( ) =

= ) )( )= )( )= =D

Alınmış D.N.F-da elementar konyunksiyalar axtarılan

bazislərdir:

={ , }, ={ },

buradan

={ = 1},

={ }

alınır.

§2.18. Bul funksiyasının qapalı və funksional tam

sisteminə aid misallar

1. f funksiyasını {A} çoxluğu ilə ifadə edin:

) { } ) ⊕ { }

) { ⊕ } ) ⊕ ⊕ { }

) { ⊕ }; ) { }

) ∨ { ∨ } ) { ∨ ∨ }

) { ⊕ }

) ∨ ∨ ∨ ) { ∨ ∨ }

) ⊕ ⊕ { ∨ ∨ }

) ⊕ ⊕ { ∨ ∨ }

) ⊕ { ∨ }

) ∨ { } ) { ∨ ⊕ }

Cavab: 1) ; 2) x) ) );

3) ) ; 4) ) ; 5) ;

6) ), 7) ) ).

2. {A} çoxluğuna daxil olan və cüt-cüt konqruyent olma-

yan ) funksiyaları yazın:

) { }; ) { };

) { } ) { ∨ ∨ };

) { }; ) { ∨ ∨ };

) { }; ) { ∨ };

) { }; ) { ∨ ) ∨ ) ∨ )}.

Cavab: 1) {0,1, }; 2) {x,y,xyz}; 3) { };

4) { }; 5) { , x }.

3. Tam funksional sistemdən bazis sistem seçin:

) { }; ) { ⊕ };

) { } ) { ∨ ∨ }

) { ∨ }; ) { };

) { ⊕ ⊕ ∨ ∨ }

) { };

) { ∨ };

) { ∨ ∨ ∨ ∨ }.

Cavab: 1) {0, }; 2) { }; 3) { }; 4) {xy, x˅y};

5){ }.

4. f funksiyasının özünə ikili olmasını aydınlaşdırın:

) ∨ ∨ ; ) ∨ ;

) ; ) ∨ ∨ ) ∨

) ∨ ∨ ) ∨ ) )

) ⊕ ); ) ∨

) ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

) ⊕ ⊕ ∨ ∨ )

) ⊕ ∨ )

) ⊕ ⊕ ⊕

) ⊕ ⊕ ⊕

) )⊕ )⊕ )⊕

) )⊕ )⊕ )

Cavab: 1), 3), 4), 9), 10)∈ 2), 5), 6), 7), 8) .

5. Vektor şəklində verilmiş funksiyasının özünəikili

olmasını aydınlaşdırın.

) ) ) )

) ) ) )

) ) ) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

Cavab: 1), 3), 5), 6), 7), 8) ∈ ) ) ) ) S.

6. "" simvolunun əvəzinə 0 və ya 1 elə yazın ki, vektor

özünə ikili olsun:

1) ) ) )

) ) ; 4) )

) )

Cavab: 1) (1100), 2) (0011), 3) (0101), 4) (01101001),

5) (00010111).

7. "" simvolunun əvəzinə 0 və ya 1 elə yazın ki, vektor

xətti olsun. Funksiyanı çoxhədli şəklində yazın:

) – ); ) – )

) – – – ) ) –– – )

) – – – – ) ) – – – – )

) – – – – ) ) – – – – )

) – – – – – – – – – )

) – – – – – – – – – – – )

) – – – – – – – – – – – )

) – – – – – – – – – – – )

) – – – – – – – – – – – )

) – – – – – – – – – )

) – – – – – – – – – – – )

Cavab: 1) =(1001), ; 2) (0011), ;

3) və 4) =(10010110), ;

5) =(10101010), = ; 6) =(00111100), =

7) =(11000011), = ; 8) =(10011001),

= ; 9) =(1010010101011110), = ;

10) =(1001100001100110), = .

8. f funksiyasının xətti olmasını aydınlaşdırın:

) )

) ) ) ∨ ∨

) ∨ ) ∨ ∨ ) ) ∨

) ) )) )

) ) ) ∨ )

) ∨ )⊕

) ∨ )⊕ ⊕ )

) ⊕ )⊕ ∨ )

) ⊕ )∨ ⊕ )

) ) )

Cavab: 1), 4), 6), 10) ; 2), 3), 5), 7), 8), 9)∈L.

9. Vektor şəklində verilmiş f funksiyasının xətti olmasını

aydınlaşdırın:

) ) ) )

) ) ) )

) ) ) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

Cavab: 1), 3), 5), 7), 8), 9), 10)∈ ; 2), 4), 6) L.

10.Qeyri-xətti funksiyaların dəyişənlərinin əvəzinə

{0,1,x,y} çoxluğunun elementlərini elə yerləşdirin ki, ,

funksiyaları alınsın:

) ) ∨ ∨ ) )

) ) ) )

) )

) )

) )

) )

) )

) )

) ∨ ∨ ) ∨ ∨ ∨ )

) ∨ ∨ ∨ ) ∨ ∨ ∨ ) ∨ )

) ∨ ∨ ∨ ∨

∨ ∨ ∨

Cavab: 1) ) ) ;

) ) )

3) ) ) ;

4) ) ) ;

5) ) )

6) ) ) ;

11) ) )

12) ) )

11. Qeyri-xətti funksiyaların dəyişənlərinin əvəzinə

{ } çoxluğunun elementlərini elə yerləşdirin ki,

funksiyası alınsın:

) ) )

) ) ) )

) ) ) )

) )

) ∨ )⊕

) ∨ ∨ ) ) )

) )

) )

) )

) )

) )

Cavab: 1), 4), 7), 9) misallarında “0”-ların sayı 2 və ya 2-dən

az olduğundan onları xy şəklinə gətirmək olmaz;

2) ) ) ; 3), 8), 11) ∈ .

12. L sinfində A sisteminin tam sistem olmasını və bazis

sistem olmasını aydınlaşdırın:

) { } ) { }

) { ⊕ } ) { }

) { }

) { }

) { }

) { }

) { } ) ∩ )

) ∩ )∩{ } )

) { }

) { ∨ } ) )∩ )

Cavab: 1) x1x2 funksiyasını hər zaman

şəklində verilmiş funksiyadan almaq mümkün olduğundan

sistem tam və bazis sistemdir; 2)-5) və 7)-9) sistemləri bazis

sistemlərdir; 6) və 10) sistemləri bazis sistem deyil.

13. {A} çoxluğuna daxil olan ) funksiyalarının sayını

yazın:

) ∩ ; ) ∪ ; ) ∩

) ∩ ) ∪ )

) ∪ )∩ ) ∩ ∩

) ∪ ∪ ) ∪ )

) )∩ ) ∩

) ∩ )∪ ) ∩ )

) )∩ ) )∩

) ∪ )∩ ) ∪ )∩

) ∩ ∩ ) ∩ ∩ )

) ∩ ) ) ∩ ) ∩ )

) ∩ ) ∪ ) ) )∩

) ∪ ) ) ∩ )

) ∪ ) ) ∩ ∩

) ∪ ) ) ∪ ))∩

) )

) )∩ ) ) )

) ∩ ) ) ) ∩ )

) ∩ ) ∩ ) ) ∩ ) ∩ )

) ∩ ) ) ∩ ∩ )

) ∩ ∩ ) ) ∪ ∪

) ∪ ∪ ∪ ) ∪ ∪

Cavab: =k işarə edək: 1) 2k2

; 2)

k24

3

; 3) k; 4) 1

2

k

2

;

5) k21

2

k

; 6) k; 7) 2

k2

12

k

; 8) 2

k

9) 2

k22

12

k

1k

;

10) k2

2

1 12/k

.

14. funksiyası çoxluğuna daxildirmi

) ) ) )

) )

) ))

) ∨ ∨

) ∨ ) ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨

) ) ) )

) ) ) )

Cavab: 1), 3), 4), 6), 8), 9)∈ ) ) ) ) .

15. İsbat edin:

) { ∨ ⊕ } ) { ∨ }

) { } ) { ⊕ }

) { ⊕ ⊕ } ∩ ) { ⊕ ⊕ } ∩

) { ⊕ } ∩ ) { } ∩

) { ⊕ ⊕ } ∩ ∩

) { ) ⊕ ⊕ } ∩

) { )} ∩ ) { } ∩

) { )} ∩

) { ∨ )} ∩

) { ) ⊕ }

16. {A} çoxluğunun K sinfində bazis sistem olduğunu

yoxlayın:

) { }

) { ∨ }

) { ∨ }

) { ⊕ ⊕ )} ∩

) { ⊕ ⊕ )} ∩

) { )} ∩

) { ⊕ )} ∩

) { ∨ }

) { ⊕ ⊕ } ∩

Cavab: )

xy=xy1, bazisdir; 2) bazis deyil, A ∩ ; 3) bazis deyil,

A tam sistem deyil; 4) bazis deyil; 5) bazis deyil; 6) bazisdir.

17. vektoru şəklində verilmiş funksiyanın monoton ol-

masını yoxlayın:

) ) ) )

) ) ) )

) ) ) )

) )

) )

Cavab: 1), 4), 6), 7) M; 20, 3), 5), 8) M.

18. Funksiyanın monoton olmasını yoxlayın:

) ) )

) ) ) )

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ ∨ ∨

) ) )

)

Cavab: 1) hə, f=0; 2) hə, f=1; 3) yox, f(x,0)= ; 4) hə,

f=x1x2x3; 5) yox, f(1,0,z)= ; 6) hə; 7) hə; 8) yox.

19. Verilmiş monoton olmayan funksiyalar üçün iki qon-

şu yığımda olduqda ) ) olmasını yoxlayın:

) ∨ ) )

) ) ∨ )

) ) )

20. "" simvolunun əvəzinə 0 və ya 1 elə yazın ki, vektor

monoton olsun və belə vektorların sayın tapın:

) –) ) ––)

) – –) ) – –)

) ––––– –) ) ––– –– –)

) – –– –––) ) –––––– )

Cavab: 1) iki vektor, (001), (011); 2) üç vektor, (00), (01), (11),

3) iki vektor, (0001), (0000), 5) iki vektor, (00000000), (00000001).

21. "_" simvolunun əvəzinə 0 və ya 1 elə yazın ki, vektor

MS çoxluğuna daxil olsun (monoton və özünəikili) və belə

vektorların sayını tapın:

) – – ) ) – – – )

) – – – ) ) – – – – – )

) – – – – – – )

) – – – – – – – – – – – – – )

) – – – – – – – – – – – – – )

) – – – – – – – – – – – – – – )

Cavab: 1) bir vektor, (01); 2) bir vektor, (0011); 3) iki vektor,

(0011), (0101); 4) bir vektor, (00001111); 5) bir vektor,

(01110001); 6) bir vektor, (01010101).

22. Sistemin tam funksiyalar sistemi olmasını yoxlayın.

) { }

) { }

) { ) ) }

) { ) }

) { ) ) }

) { ) }

) { ) }

) { ) }

) { }

) { }

23. Vektor şəklində verilmiş funksiyaların tam funksiya-

lar sistemi olmasını yoxlayın:

) { ) ) )}

) { ) ) )}

) { ) )}

) { ) ) )}

) { ) )}

) { ) ) )}

) { ) )}

) { ) ) )}

) { ) ) )}

) { ) ) )}

24. Bul funksiyalar çoxluğuna daxil olan {A} çoxluğunun

bazis sistem olmasını yoxlayın:

) { } ) { }

) { } ) { }

) { }

) { }

) { } ) { }

§2.19. Bul funksiyasının törəməsi

) funksiyasında dəyişənlərin aradan çıxarıl-

ması üçün optimal üsul bul funksiyasının törəməsinin tapıl-

masından ibarətdir. Bul funksiyasının törəməsi bul fərqi (iki

modul) vasitəsi ilə təyin olunur.

Bul funksiyasının xi arqumentinə nəzərən törəməsi

) )

funksiyasına deyilir.

) funksiyasının ) dəyişənlə-

rinin yığımına görə törəməsi aşağıdakı səkildə olur.

.)x...,,0,...,0,0,...,x(f)x...,,1,...,1,1,...,x(f

)x...,,x,,...x,x,...,x(f)x...,,x,,...x,x,...,x(f

)x...,,x,x(

)x...,,x,x(f

n1n1

niii1niii1

iii

n21

n21n21

n21

n=1olduqda

.)x,...,x,0,x,...,x,x(f)x,...,x,1,x,...,x,x(f

)x,...,x,x,x,...,x,x(f)x,...,x,x,x,...,x,x(f

x

)x...,,x,x(f

n1i1i21n1i1i21

n1ii1i21n1ii1i21

i

n21

Burada ) vahid qalıq funksiya,

) isə sıfır qalıq funksiya adlanır.

Bul funksiyasının

törəməsi xi arqumentinin müəyyən

qiymətindən qiymətinə keçməsi şərtini təyin edir.

Misal. f(x,y,z)=x(yz) funksiyasının

və

törəmə-

lərini tapın.

zyzy1)zy())zy(1())zy(0(x

f

,

.x1x)zz(x

)zx()zx())z0(x())z1(x(y

f

Misal. ) funksiyasının dəyişə-

ninə görə törəməsin tapaq:

)

) )

) .

Bul funksiyasının aşağıdakı xassələri var:

(

*

(

)

(

*

⊕ )

⊕

)

⊕

⊕

∨ )

⊕

⊕

Misal. ) bul funksiyasının

törəməsini

tapın.

) ),

) ⊕ ) ⊕ )

)

qarışıq k-tərtibli törəməsi

)

(

)

kimi təyin olunur, yəni ) funksiyasının

dəyişənlərinə görə törəməsi k dəfə törəmə

almaqla alınır. Yüksək tərtibdən xüsusi törəmə üçün aşağıdakı

münasibət doğrudur:

)

) ∑

∑

∑

⊕ )

Misal. ) ∨ funksiyasının xüsusi

törəmələrini hesablayaq:

∨ ) ⊕ ∨ ) ⊕

∨ ) ⊕ ∨ )

∨ ) ⊕ ∨ )

)

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

∨ )

⊕

Xassə 1. ) ) şərti ödənirsə,

onda bul funksiyası simmetrik funksiya adlanır.

0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0

1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0

1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0

Xassə 2. n dəyişənli ) bul funksiyasının

) arqumentləri əsas dəyişənlər

olarsa (k ), onda

0 olar.

Xassə 3. Bul funksiyası üçün

şərti ödənilir.

Xassə 4. Bul funksiyası üçün aşağıdakı münasibət doğrudur:

(

∨ *

(

∨ *

f f

x1∨x2

f

x1∨x1

x1( f

x1∨x1*

0 0 1 0 0 1

0 1 1 1 1 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

Teorem. ) bul funksiyası üçün

)

∨ ∨

(M.D.N.F) ayrılışı doğrudur.

f f

0 0 0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1

Cədvələ uyğun M.D.N.F-ı yazaq:

) ∨ ∨ ∨ ∨ ,

∨

∨

∨

∨

∨

∨ ∨ ∨ ∨ ∨

) ∨ ∨ .

§2.20. Bul funksiyasının sıraya ayrılışı

Əgər ) ) olarsa, onda ) ) funksiyaları

qarşılıqlı ortoqonal funksiyalar adlanır. Əgər funksiyanın

vahid qiymət aldığı yığımlar çoxluğu (f( )=1)

cüt-cüt qarşılıqlı ortoqonaldırsa, onda ) funksiya-

sının M.D.N.F-ya

) ⋁

)

ayrılışında dizyunksiya əməlini ⊕ əməli ilə əvəz etməkləonda

M.D.N.F-ya eynigüclü düstur alarıq. M.D.N.F-da

olduğunu nəzərə alsaq,

)

)∑

∑

∑

⊕∑ ⊕

olar, burada ∈ { }.

Alınmış ifadəni arqumentlərinə görə diferen-

siallayaq və alınan törəmələrin (0,0,...,0) yığımında qiymətini

hesablayaq. Onda )

olar.

Teorem. İstənilən ) bul funksiyasının

(0,0,...,0) nöqtəsində aşağıdakı şəkildə ayrılışı var:

) ) ⊕∑

⊕

⊕∑ )

⊕∑ )

⊕

⊕∑ )

⊕

⊕ ⊕ )

Bu ayrılış Makloren sırası adlanır.

Teorem. İstənilən ) bul funksiyasının

( ) nöqtəsində aşağıdakı şəkildə ayrılışı var:

) ) ⊕∑ )

⊕ ) ⊕

⊕∑ )

⊕ )( ⊕ ) ⊕

⊕ ∑ )

⊕ ) ⊕ ) ⊕

⊕ )

⊕ ) ⊕ ) ⊕ )

Bu ayrılış Teylor sırası adlanır.

Misal. ) = ) ˅ funksiyasının ( )

nöqtəsində Teylor sırasına ayırın:

)∨ )⊕ ) )

∨ ⊕ ∨ ⊕ ∨ ,

( ) ∨ ) ⊕ ( ) )

= )⊕ ) ) ⊕ ,

( )∨ )⊕( ) ) ) ⊕

⊕ ∨ )⊕ ⊕ ∨ )

∨ )⊕ )⊕( ∨ )⊕ )

⊕ ∨ ) ⊕ ⊕ ∨ ) ⊕

⊕

Funksiyanın ) nöqtəsində Teylor sırasına

ayrılışını yazaq:

) ) ∨

) )

)

)

)

)

)

)

) )

)

) )

)

)

) )

) ) ).

)

⊕ ∨ ,

)

,

)

)⊕ ,

)

,

)

)⊕ ,

)

,

)

olarsa , onda

( ) ) ) ) )

( ) ) )( ) ) )

) ) ) )

) ) ) ) )

olar.

Misal. ) ) funksiyasının )

yığımının müxtəlif nöqtələrdə Teylor sırasına ayrılışını yazın.

f(0,0,0) =1⊕ ⊕ ⊕ ,

f(0,0,1)=1⊕ ⊕ ⊕ ,

f(0,1,0)=1⊕ ⊕ ⊕

f(0,1,1)=1⊕ ⊕ ,

f(1,0,0)= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ,

f(1,0,1)=1⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ,

f(1,1,0)=1⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ,

f(1,1,1)=1⊕ ⊕ ⊕ .

§2.21. Bul funksiyasının törəmələrinin

hesablanmasına aid misallar

1.Verilmiş funksiyanın x, y, z dəyişənlərinə nəzərən

törəmələrini tapın:

a) xyx)y,x(f , b) yx~yxy,xf ,

c) yxyxy,xf , d) yxxy,xf ,

e) xyxy,xf , f) x~yzz,y,xf ,

g) zyxz,y,xf , j) z~y~xz,y,xf .

Cavab: a) xy

f,y

x

f

; b) 0

y

f,0

x

f

; c) 0

x

f

, 0

y

f

;

d) xy

f,y

x

f

; e) x

y

f,y

x

f

; f) z

x

f

, z

y

f

,

y~xz

f

; g) xy

z

f,zx

y

f,zy

x

f

; j) 1

z

f,1

y

f,1

x

f

.

2. Verilmiş funksiyanın x, y, z dəyişənlərinə nəzərən

ikinci tərtib törəmələrini tapın:

1) ) ∨ ; 2) ) ;

3) ) ); 4) ) );

5) ) ) ); 6) ) ) ;

7) ) ); 8) ) ).

§2.22. Elementar Bul funksiyalarının

cədvəllə xarakteristikası

x y x˄y 0 x y y xy

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 0 1 0

+ + + + + + +

+ - - + - + -

S - - - + - + -

M + + - + - + -

L - + - + + +

x y x˅y x x y x x 1

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1

+ - - - - - - - -

+ - + - - - + - +

S - - - + - + - - -

M + - - - - - - - +

L - - + + - + - - +

Bul düsturu Uyğun Jeqalkin Düsturun

çoxhədlisi superpozisiyası

x˄y xy xy=f(x,y)

1 =N(f(x,y))

y y ˄y=f(N(x),y)

x˅ 1 x˅ =f(x,N(y))

x˄ x x =f(x,N(y))

˅y 1 =f(N(x),y)

x˅y x x˅y=f(x,y)

1 =N(f(x,y))

x 0 x =f(x,N(x))

x˅ 1 x˅ =f(x,N(x))

x =f(x)

y =f(y)

1x =f(N(x))

1 =f(N(y))

x y xy x y=f(x,y)

=N(f(x,y))

y 1y =f(x,y)

=f(x,y)

x x x =f(xy)

x|y 1 x| =f(x,y)

x y x y=f(x,y)

=N(f(x,y))

x =f(N(x),y)

x =f(N(x),y)

(x˅y)( ) (x˅y)( )=f(y)

(x˅y)( ) y (x˅y)( )=f(x,y)

(x y)(xy) 1 (x y)( )=f(x,y)

Bul düsturu M.D.N.F. M.K.N.F. Q.D.N.F.

y

y

( ) )

xy xy ( )( )( ) xy

( )( )( )

⊕ ( )( )

( )( )( )

§2.23. Məntiq cəbrinin funksiyalarının

tətbiqi haqqında

Məntiqlər cəbri rele-kontakt və elektron-lampa sxemlə-

rinin təhlilində uğurla tətbiq olunur. Belə sxemlərin (onları

çeviricilər adlandıraq) fiziki təbiəti çox müxtəlif olsa da,

onların bu cəhəti bizi maraqlandırmır. Çevirici sxem olaraq

hər hansı qurğunun sxemli təsviri başa düşülür. Qurğu yalnız

iki mövqeli çeviricidən ibarətdir, yəni çevirici yalnız iki

haldan birində ola bilər: qapalı halda (cərəyan keçir) və açıq

halda (cərəyan keçmir). Çevirici sxem ilə mülahizələr cəbri

arasında əlaqə belə müəyyənləşdirilir: hər bir çeviriciyə

uyğun mülahizə (şəkil 1) qoyulur. Çevirici qapalı olduqda

mülahizə doğru (1), açıq olduqda isə yalan (0) hesab olunur.

Paralel birləşdirilmiş çeviricilər mülahizələrin dizyunksiya

sxemi kimi (şəkil 2), ardıcıl birləşdirilmiş çeviricilər isə

mülahizələrin konyunksiya sxemi kimi (şəkil 3) təyin olunur.

Əgər iki çevirici elə işləsə ki, onlardan biri qapalı olduqda

digəri açıq olsun, onda onlara A və mülahizələri uyğun

qoyulur.

Şəkil 1. Şəkil 2. Şəkil 3.

Beləliklə, hər çevirici sxemə mürəkkəb mülahizə qarşı

qoyulur. Sxemdən cərəyan keçdikdə mülahizə doğru, əks

halda isə yalan olur. Hər bir mürəkkəb mülahizə riyazi

məntiqin üsulları ilə araşdırıla bilər. Əgər bu mürəkkəb

mülahizəni sadələşdirmək mümkün olarsa, onda uyğun sxem

də analoji olaraq sadələşə bilər. Təbii olaraq qəbul etmək olar

ki, çeviricisi az olan sxem daha sadədir. Məntiqi mülahizə və

ya informasiya ilə çevirici sxemlər arasında əlaqə izomorfdur.

Bu izomorfluqdan 2 tip məsələlərin həllində istifadə olunur.

Belə məsələlər şərti olaraq analiz və sintez sxemləri adlanır.

Şəkil 4. Şəkil 5.

1. Analiz sxemi. Verilmiş sxem (şəkil 4) məntiq qanunla-

rını və elektrik xassələrini saxlamaqla daha sadə sxem halına

gətirilir. Bu sxemə uyğun düsturu yazaq və məntiq qanun-

larına əsasən sadələşdirək:

( )) ) ) )

) ) ) ) )

)

Sonuncu düstura uyğun sxem şəkil 5-də göstərilmişdir.

2. Sintez sxemi. Bu sxem verilmiş elektrik xassələrinə

əsasən qurulmuş sxemdən ibarətdir. Elektrik xassələrinə

əsasən məntiqi mülahizənin və ya informasiyanın düsturu

yazılır və uyğun sxem qurulur.

Aşağıda verilmiş məsələnin sxemini quraq.

Misal. Üç tələbə gizlin səsvermənin qeydiyyatını apar-

maq üçün elektrik sxemi düzəltmək istəyir, belə ki, “hə” səsi

üçün verilmiş düymə basılır, "yox" səsi üçün düymə basıl-

mır. Məsələnin həlli üçün (qeydiyyatın baş tutması üçün)

siqnal lampası yanmalıdır.

Həll. A,B,C-ilə uyğun olaraq " 1-ci hə","2-ci hə", "3-cü

hə" təsdiqlərini işarə edək və ) funksiyasının doğru-

luq cədvəlini tərtib edək (hə - 1, yox - 0):

A B C ) 0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Cədvələ əsasən M.D.N.F-nı yazaq:

) ) ) )) ).

Alınmış düstura uyğun sxemi quraq (şəkil 6) və

M.D.N.F-ı sadələşdirək:

) ) ) )) ))

)) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) ) ) ) )

)) ) ) ))=

) ) ( ) ) ( ) ))

) ) ).

) ) ) düsturunun sxemini quraq (şəkil 7).

Şəkil 6. Şəkil 7.

Misal. Verilmiş sxemə (şəkil 8) uyğun mülahizələri yazın

və onu sadələşdirin.

F= ((A1A3)A2)(A1 A3)(

A3)=

=((A1A3)A2) A3(A1 )=(A1A2)(A3A2)(

A3)=

=(A1A2)(A3(A2 )=(A1A2)A3

F=(A1A2)A3.

A1

A3

A2

M

A1

N

2A

A3

2A

A3 1A

M A1

N A2

A3

Şəkil 8. Şəkil 9.

Misal. Verilmiş sxemə uyğun mülahizələri yazın və onu

sadələşdirin.

Şəkil 10. Şəkil 11.

( ) ( ) ))

) ))) ))

)

düsturunun sxemi şəkil 11-ə uyğundur.

Misal. (Analiz) Verilmiş

sxemə uyğun mülahizələri ya-

zın və onu sadələşdirin.

∧ , ∨

, ∧ ∧

, ,

, , ,

, , . 4-cü sətir 3-cü sətir 2-ci sətir 1-ci sətir

∧ ∧ ) ∨ ∧ ∧ ), ∧ ∧

∧ ∧ )∨ ∧ ∧ ) ∧ ∧

Misal.Verilmiş sxemə uyğun düsturu yazın.

1) ) ,

2) ) - .

) ) ⊕ ⊕ .

III Fəsil

k-QİYMƏTLİ MƏNTİQ

§3.1. k-qiymətli məntiqin elementar funksiyası

Tutaq ki, {0,1,…,k-1} çoxluğunda təyin olunmuş

n dəyişənli f( ) funksiyası verilmişdir. k ədədi k>2

şərtini ödəyən tam ədəddir. ∈ { } Verilmiş

doğruluq cədvəli ilə təyin olunan funksiya k-qiymətli məntiq

funksiyası adlanır.

)

0 ... 0 0

0 ... 0 1

0 ... 0 k1

0 ... 1 0

k1 ... k1 k1

)

)

)

)

)

Teorem. n-dəyişənli ) k-qiymətli funk-

siyaların sayı bərabərdir.

n-dəyişənli ) k-qiymətli məntiqi funksi-

yaları ) ilə işarə edək. İki dəyişənli 3-qiymətli funksiya-

ların sayı ) = olar.

Tərif. ) funksiyası k-qiymətli

məntiq funksiyası olarsa və ∈ olduqda

)

)

şərti ödənilərsə, onda arqumenti ) funksiyasının

fiktiv arqumenti adlanır. Əks halda arqumentinə əsas

arqument deyilir.

n-dəyişənli ) k-qiymətli məntiq funksiya-

ları çoxluğuna daxil olan funksiyalara (elementar funksiyalar)

baxaq.

1. Sabit funksiyalar: ) , i= .

2. Posta inkarı: ilə işarə olunur və ) ilə

təyin olunur: .

3. Lukaçeviç inkarı: Nx və ya ilə işarə olunur və

) kimi təyin edilir.

Məsələn, k=4 olduqda bu funksiyanı növbəti cədvəl

şəklində vermək olar.

0 1 3

1 2 2

2 3 1

3 0 0

4. i ədədinin xarakterik funksiyası (birinci növ):

) {

( )

5. i ədədinin xarakterik funksiyası (ikinci növ):

) {

( )

X ) ) ) ) ) )

0 2 0 0 1 0 0

1 0 2 0 0 1 0

2 0 0 2 0 0 1

6. Konyunksiyanın ümumiləşməsi funksiyası:

min( ) minimum və .

7. Dizyunksiyanın ümumıləşməsi funksiyası:

max( ) maksimum və .

8. k moduluna görə cəm funksiyası: (mod k) və

ya ⊕ (k moduluna görə plyus )

cəmini k-ya böldükdə alınan qalıq.

9. k moduluna görə hasil funksiyası (ikinci ümumi kon-

yunksiya): (mod k) və ya (k moduluna görə

-in -yə hasili)

hasilini k-ya böldükdə alınan qalıq.

10. İmplikasiya funksiyası:

{ )

11. Kəsik fərqi funksiyası:

{

12. k moduluna görə fərq funksiyası:

) { )

13. Vebba funksiyası:

) max( )⊕1(mod k)

k=2 olduqda

) max( )+1(mod k)=

=( )⊕ ) = .

14. Şeffer funksiyası:

) min( )⊕ (mod k)

k=2 olduqda

) ) ⊕ .

15. x-ın əksi funksiyası:

{

n=2 , k=3 olduqda doğruluq cədvəli aşağıdakı kimi olar:

) max( ) ⊕

0 0 1 2 0 0 0 0

0 1 1 2 0 1 1 0

0 2 1 2 0 2 2 0

1 0 2 1 0 1 1 0

1 1 2 1 1 1 2 1

1 2 2 1 1 2 0 2

2 0 0 0 0 2 2 0

2 1 0 0 1 2 0 2

2 2 0 0 2 2 1 1

0 0 1 1 0 0 2 0

0 1 2 1 2 0 2 0

0 2 0 1 1 0 2 0

1 0 2 1 1 1 1 2

1 1 2 2 0 0 2 2

1 2 0 2 0 0 2 2

2 0 0 1 2 2 0 1

2 1 0 2 1 1 1 1

2 2 0 0 0 10 2 1

k-qiymətli məntiq funksiyaları aşağıdakı qanunauyğun-

luğa malikdir:

1. Kommutativlik qanunu:

burada ∈ { ⊕ }.

2. Assosiativlik qanunu:

) )

burada ∈ { ⊕ }.

3. Distributivlik qanunu:

⊕ ) ⊕ ,

) ) ) )),

) ) ) )).

4. İdempotentlik qanunu:

max( )=max(max( ), ), n

min( )=min(min( ), ), n .

5.Transportizasiya qanunu:

(x)={ ∈ { }

(i, j ∈ { } , i j).

Misal. İsbat edin: ) ) .

Həlli: ) ) )) ) ))

) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ).

Bul funksiyalarında M.D.N.F.-nın analoqu k-qiymətli

məntiqdə birinci forma adlanır. k-qiymətli məntiq funksiyala-

rına daxil olan ixtiyari funksiyanın aşağıdakı şəkildə ayrılışı

doğrudur:

)

{ ) ) ) ))},

burada maksimum bütün ) yığımı üzrə aparılır.

) ∑ ) ) )

ayrılışı isə ikinci forma adlanır. Burada cəmləmə bütün

( ) yığımı üzrə aparılır.

Misal. ) ) ) ) )) funksiya-

sının birinci və ikinci formalarını yazın.

Y x

0 1 2

0 1 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

Cədvələ əsasən

) { ( ) )) ( ) ))

( ) )) ( ) )) ( ) ))

( ) )) ( ) ))

( ) )) ) ))},

) { ( ) )) ( ) ))

( ) )) ( ) )) ) ))}

(birinci forma),

) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) )

) ) ) )

(ikinci forma)

1) ) , k = 3, { },

) ),

) ) .

x y f(x,y)

0 0 2 0 1 1

0 1 2 0 2 2

0 2 2 0 0 0

1 0 1 2 1 0

1 1 2 0 2 2

1 2 2 0 0 0

2 0 0 1 1 2

2 1 1 2 2 1

2 2 2 0 0 0

) )

) ) ) ) ) )

) ) ) ).

Funksiyalar

(mod3) M.D.NF-nın analoqu (birinci və ikinci formalar)

min( )

)=max{min( ) ) ),

min( ) ) ), min ) ) ),

min( ) ) )}

)= ) )+ ) )+ ) ) 2

) ),

max( )

)=max{min( ) ) ),min( ) ) ),

min ) ) ),

min( ) ) ),min( ) ) ),min(

) ) ),

min( ) ) ), min( ) ),2)}

)= ) ) 2

) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) )

⊕

)=max{min( ) ) ),min( ) )

), min ) ) ),

min( ) ) ),

min( ) ) ) ) ) )}

( ) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) )

)=max{min( ) ) ),min(

) ) ),min ) ) ),

min( ) ) )}

) ) )+2 ) )+

) ) 2 ) )

Funksiyalar

(mod3) M.D.NF-nın analoqu (birinci və ikinci formalar)

)=max{min( ) ) ),

min( ) ) ), min ) ) ),

min( ) ) ), min( ) ) ),

min( ) ) )

min( ) ) ), min( ) ),2)},

)= ) ) ) ) ) )

) ) ) )

) ) ) )

) )

)=max{min( ) ) ),min( ) )

), min ) ) ),

min( ) ) ) ) ) )},

)= ) ) ) ) ) )

) ) ) )

)=max{min( ) ) ),min( ) )

), min ) ) ),

min( ) ) ),

min( ) ) ),min( ) ) ),

min( ) ) ), min( ) ),2)}

)= ) ) 2 ) )

) ) ) )

) ) ) )

) ) ) )

)=max{min( ) ) ),min( ) )

), min ) ) )}

§3.2. k-qiymətli qapalı və tam funksiyalar sistemi

Tutaq ki, çoxluğu { } çoxluğunun altçox-

luğudur. Əgər ixtiyari ) yığımı ( ∈ ,

) üçün ) ∈ funksiyası ) qiymətlərini

alarsa, onda )funksiyası çoxluğunda çoxluğunu saxla-

yan funksiya adlanır. çoxluğunu saxlayan k-qiymətli funksi-

yalar çoxluğu qapalı sinif adlanır və T() işarə olunur ( çoxlu-

ğunu saxlayan sinif). Əgər çoxluğu { } çox-

luğunun məxsusi altçoxluğudursa,onda T( ) .

Tutaq ki, D= { } – çoxluğu çoxluğunun

hissələrindən ibarət çoxluqdur ( və olduqda

∩ , i,j=1,2,...,s). çoxluğuna daxil olan a və b

elementləri D bölgüsündə eyni j altçoxluğuna daxil olarsa, on-

da a və b elementləri D bölgüsündə nisbi ekvivalent elementlər

adlanır və a ) işarə olunur. Əgər (mod D)

( ) olarsa, onda və yığımları D bölgüsündə nisbi

ekvivalent yığımlar olur və (mod D) kimi işarə

olunur. (mod D) olduqda ) ) (mod D)

olarsa, çoxluğuna daxil olan ) ( ) funksiyası D

bölgüsünü saxlayan adlanır.

D={ } bölgüsünü saxlayan bütün k-qiymətli

məntiq funksiyaları çoxluğu qapalı sinif adlanır və U(D) ilə

işarə olunur. k-qiymətli məntiq funksiyaları çoxluğuna daxil

olan n-dəyişənli funksiyanın ⊕ ⊕ ⊕ şəklin-

də ayrılışı varsa, bu ayrılışa k moduluna görə çoxhədli deyilir.

Burada ∈ ), cəmləmə və hasil k moduluna görə

aparılır.

Əgər ) a ⊕ ⊕ ⊕ olarsa, onda )

funksiyası çoxluğunda xətti funksiya adlanır. çoxlu-

ğunda təyin olunmuş bütün k moduluna görə çoxhədlilər bu

çoxluqda qapalı sinif təşkil edir.

Teorem. çoxluğuna daxil olan ixtiyari funksiya yalnız

və yalnız k sadə ədəd olduqda k moduluna görə çoxhədli

şəklində göstərilə bilər.

Aşağıda verilmiş funksiyalar isə k-nın ixtiyari qiymətində

k moduluna görə polinom şəklində ayrıla bilər:

; ) ) )

; ; )

; ) .

Yalnız k sadə ədəd olduqda k moduluna görə polinom

şəklində ayrıla bilən funksiyalar isə bunlardır:

) i∈ ; ) i∈ ; );

– ; ; ).

k sadə ədəd olmadıqda max(x,y) .

Misal. ) funksiyasını k=5 olduqda polinom

şəklində yazın.

Polinom ) ⊕ ⊕ ⊕

⊕ (mod5)

şəklində olur. Burada əmsalları qeyri-müəy-

yən əmsallar üsulu ilə təyin olunur ( (mod5)):

)

)

)

)

)

Sistem tənliyin həlli

) ⊕ ⊕ ⊕

Misal. ) funksiyasını k=5 olduqda polinom şək-

lində yazın (qeyri-müəyyən əmsallar üsulu):

{

)

{

Tənliklər sistemini Qauss üsulu ilə həll edək:

(

) (

)

(

) (

)

{

{

) .

Funksiyanın ikinci formasını yazmaqla da funksiyanı

polinom şəklində ayırmaq olar. Bu zaman verilmiş düsturlar-

dan istifadə olunur (k=p sadə ədəddir):

) ), ) –

) ) ,

) ) ) )

) – – ) ) – – ) ) – ) )

) –

– .

Misal. Vebb funksiyasını k=3 olduqda polinom şəklində

yazın.

Ek={0,1,2}, ) a a a a a

a a

a a

,

X 0 0 0 1 1 1 2 2 2

Y 0 1 2 0 1 2 0 1 2

V3=max(x,y)+1 1 2 0 2 2 0 0 0 0

{

Sistem tənliyin həlli

olur. Onda polinom aşağıdakıkimi olacaq:

) .

Funksiyanın ikinci formasını yazmaqla da onu polinom

şəklində ayırmaq olar (k=p sadə ədəddir):

) ) ) ) ) ) ) ) ,

burada

) , ) ) )

,

) , ) ) )

,

) ) ) ) ) )

) )

Misal. ) ) )) funksiyasını k=4 olduq-

da polinom şəklində yazın.

Ek={0,1,2,3}

Polinom ) ⊕ ⊕ ⊕a (mod 4) şəklində olur.

Burada əmsalları qeyri-müəyyən əmsallar üsulu ilə

təyin olunur.

g(0) = d = 0;

g(1) = a + b + c + d = 2;

g(2) = 2c + d = 2;

g(3) = 3a + b + 3c + d = 0,

buradan alınır.

g(x)=2( ) )) ∈ .

Misal. ) )∈ k=3 olduqda polinom

şəklində yazın.

Ek={0,1,2}, ) ) ) ,

) ,

) ,

) ) ) )

) ) )) )

) ∈ .

Verilmiş funksiyaları polinom şəklində yazın:

а) ) ) ) ;

b) ) ) ;

c) ) ) ) .

çoxluğunda funksiyalar sisteminin

tam sistem olması haqqında:

Tərif. -dan olan ixtiyari funksiya { ,..., ,...}

funksiyalar sisteminin funksiyaları vasitəsi ilə ifadə oluna

bilərsə, funksiyalar sistemi -da tam sistem adlanır.

Aşağıdakı funksiyalar sistemi tamdır.

1) =

2) ={0,1,...,k1, ) - ) ) (x,y)}

Rosser-Turkett sistemi;

) ={ ,max(x,y)} Post funksiyalar sistemi;

4) ={ )} Vebb funksiyalar sistemi;

5) ={0,1,...,k-1, ) - ) ) ⊕ };

6) ={0,1,...,k-1, ) - ) ⊕ }.

7) Teorem (k moduluna görə çoxhədlinin tamlıq krite-

riyası). k sadə ədəd olarsa, k moduluna görə çoxhədli

çoxluğunda tamdır.

8) çoxluğunda təyin olunmuş əsas dəyişənlərinin sayı

ikidən az olmayan funksiyaya əhəmiyyətli funksiya deyilir

∈ { } ) . bir dəyişəndən asılı

çoxluğuna daxil olan bütün müxtəlif qiymətli funksiyalar

çoxluğu, -ya daxil olan biryerli funksiyalar çoxluğu

və C \ olarsa, onda

a) Teorem (Slupeysk). ∪ { )} sistemi yalnız və

yalnız ) əhəmiyyətli funksiya olduqda Pk-da tam

sistemdir;

b) Teorem (Yablonski). C ∪{ )} sistemi yalnız və

yalnız ) əhəmiyyətli funksiya olduqda Pk-da tam

sistemdir;

c) Teorem (Salomaa). ∪{ )} sistemi yalnız və yalnız

) əhəmiyyətli funksiya olduqda Pk-da tam sistemdir.

ƏDƏBİYYAT

1. Hüseynov Ə.Ə. Diskret riyaziyyat. Bakı, 2010.

2. Mənsimov K.B., Həmidov S.İ. Riyazi məntiq və diskret

riyaziyyatın əsasları. Bakı, 2010.

3. Mənsimov K.B., Əhmədova J.B., Əliyeva S.T. Diskret

riyaziyyatdan məsələlər. Bakı, 2010.

4. Acлaновa H.X., Maнcимoв K.Б. Лекции по дискретной

математикe. Баку, 2011.

5. Виноградова М.С., Ткачев С.Б. Булевые функции. М.,

2007.

6. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения

по дискретной математике. M., 2013.

7. Кулабухов С.Ю. Дискретная математика. Шахты, 2006.

8. Липкина З.С., Милевский А.С. Дискретная матема-

тика. М., 2004.

9. Пономарев В.Ф. Математическая логика.

Калининград, 2005.

10. Cелезнева C.H. Лекции: функции конечно-значной

логики. M., .

11. Соволева Т.С. Дискретная математика. М., 2006.

12. Фоминых Е.А. Лекции по дискретной математикe:

функциональные системы с операциями.

13. Фролов И.С. Задачи по математической логике.

Cамарa, 2000.

14. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику.

М., 1986.

MÜNDƏRİCAT

səh.

GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I fəsil. MÜLAHİZƏLƏR HESABI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.1. Obyektlər, obyektlər sinfi və onların xassələri . . . . . . . . . .

§1.2. Doğru və yalan mülahizələr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.3. İnkar əməli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.4. İki mülahizənin dizyunksiya əməli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.5. İki mülahizənin konyunksiya əməli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.6. İki mülahizənin implikasiya əməli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.7. İki mülahizənin ekvivalensiya əməli . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.8. Mülahizələr hesabına aid nümunələr . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.9. Mülahizələr məntiqində düsturlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.10.Eynigüclü düsturlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.11.Eyniliklə doğru və eyniliklə yalan olan düsturlar . . . . . . . .

§1.12.Düzgün mühakimələr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1.13. Mülahizələr hesabına aid misallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II fəsil. MƏNTİQ CƏBRİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.1. Ümumi anlayışlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.2. Bul funksiyalarının qiymətinin təyini . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.3.Elementar Bul funksiyaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.4. Bul funksiyasının fiktiv və əsas dəyişənləri . . . . . . . . . . . .

§2.5. Bul funksiyasının düsturlarla realizəsi . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.6. İkili bul funksiyaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.7. Bul funksiyalarının dəyişənlər üzrə ayrılışı . . . . . . . . . . . . .

§2.8. Bul funksiyalarının eynigüclü çevrilmələr

vasitəsi ilə normal formaya gətirilməsi . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.9. Məntiqi cəbrin funksiyasına aid misallar . . . . . . . . . . . . . . .

§2.10. Jeqalkin cəbri, Bul funksiyasının

Jeqalkin çoxhədlisinə ayrılışı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.11. Jeqalkin çoxhədlisinə aid misallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.12. Bul funksiyalarının minimumlaşdırılması . . . . . . . . . . . . .

§2.13. Bul funksiyasının minimumlaşdırması

məsələsinin həndəsi qoyuluşu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.14. Bul funksiyasının minimumlaşdırılmasına

aid misallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.15. Qapalı Bul funksiyalar sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.16. Funksional tam bul funksiyalar sistemi . . . . . . . . . . . . . . .

§2.17. Məntiq cəbrində bazis funksiyalar sistemi . . . . . . . . . . . .

§2.18. Bul funksiyasının qapalı və funksional

tam sisteminə aid misallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.19. Bul funksiyasının törəməsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.20. Bul funksiyasının sıraya ayrılışı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.21. Bul funksiyasının törəmələrinin

hesablanmasına aid misallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.22. Elementar Bul funksiyalarının

cədvəllə xarakteristikası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§2.23. Məntiq cəbrinin funksiyalarının tətbiqi haqqında . . . . . . .

III fəsil. k-QİYMƏTLİ MƏNTİQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§3.1. k-qiymətli məntiqin elementar funksiyası . . . . . . . . . . . . . .

§3.2. k-qiymətli qapalı və tam funksiyalar sistemi . . . . . . . . . . .

ƏDƏBİYYAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .