Verdadero: según se demostró en el teorema 2.11

Suponiendo que AB = DE, AC = DF y que el ángulo CAB = EDF entonces si demostramos que el segmento CB = EF entonces los triángulos son congruentes.

Unimos los vértices de los ángulos y giramos hasta que coincida el lado AB con DE, de aquí se desprenden dos opciones:

- el segmento AC queda paralelo y encima del DF… entonces se comprueba que el segmento CB = EF

- el segmento AC no queda encima del DF… entonces 180° en el eje que forman los lados AB y DE y comprobamos que AC y DE igualmente se enciman y que por ende nos vuelve a dar que CB = EF

Verdadero: según se demostró en el teorema 2.11

Basta con que dos lados sean iguales y cualquiera de sus ángulos para que los triángulos sean congruentes. Es posible que nos den imágenes espejo pero estas pueden ser giradas igualmente

Falso: el triángulo isósceles como cualquier otro triángulo necesita dos lados congruentes y al menos un ángulo

A D

B C E F

El triángulo ABC sus lados miden 1 Los lados DE, DF miden 1, la lado EF mide

En el entendido que un equilátero es un tipo de isósceles y un triángulo rectángulo también lo es tenemos dos ejemplos donde suponiendo que

AB = DE y AC = DE se demuestra que BC <> EF.

Falso: si hay congruencia en los ángulos externos también la hay en los internos pero no en la dimensión de sus lados

a b

c d

Aunque a=b y c=d las dimensiones de los lados pueden ser diferentes y por ende no son congruentes

Verdadero: si dos ángulos son congruentes, estén o no entre ellos el tercer ángulo lo es ya que los 3 ángulos suman 180°. Entonces si los 3 ángulos son congruentes sólo falta la dimensión. Entonces con que uno de los lados sea congruente los otros lados los son.

a a’

b c b’ c’

Los ángulos bc forman el lado AB Los ángulos b’c’ forman el lado A’B’

Demostrando que DB=AE

Por el teorema 2.12 donde dos ángulos y un lado (AB) son iguales tenemos:

BAD=BEA que a=b y que AB es un lado compartido por los dos triángulos luego entonces

El triángulo AEB es congruente con el BAD y por lo tanto AD=BD y AE=DB que es lo que queremos comprobar

Dado que dos ángulos son iguales el tercer ángulo por ende lo es ya que los 3 suman 180°

Dado que un lado es igual (AB) por lo tanto los 3 lados son congruentes donde AD=BE y AE=DB como se demostró en el ejercicio anterior.

El triángulo ABC es un triángulo isósceles (demostrado en ejercicio 8) ya que tiene dos ángulos iguales (a y b).

Por lo tanto el segmento AC=BC

El complemento de a es igual al complemento de b

Entonces tenemos dos triángulos con al menos dos lados congruentes y un ángulo congruente. Los lados congruentes son AC=BC y AD=BE y el ángulo congruente es el complemento de a o de b ya que a=b.

Por lo tanto comprobamos que ADC=BCE

La afirmación del teorema 2.12 dice que “todo triángulo isósceles tiene los dos ángulos de la base congruentes.

Dado que la base es AB y los ángulos de la base del triángulo ABC son a y b.

Y dado que a=b…

ABC es un triángulo isósceles

Toda recta que corte un conjunto de rectas paralelas equidistantes la cortará en el mismo ángulo (a).

Toda recta perpendicular a las paralelas cortará a la recta transversal en un ángulo b(90° – a)

La dimensión equidistante entre las paralelas es la misma (pues es equidistante) mA.

Entonces tenemos triángulos congruentes ya que al menos dos ángulos son iguales (a y b) y un lado es igual mA y por lo tanto la dimensión de la recta intersectada es la misma

Para que se bisectaran el ángulo a tendría que ser de 90°

es menor a 90°/2

es menor a 90°/2

es equivalente a

es equivalente a

+ es menor a 180°2

Por lo tanto a es mayor a 90°

Y por lo tanto no se bisectan las diagonales

Dado que es un rectángulo sabemos que AB=CD y que DB=CA

Sabemos por las reglas de paralelismo que a=b

Entonces tenemos dos triángulos congruentes porque tienen dos lados congruentes y un ángulo congruente

Triángulos ADB=CAB

Por ende se implica finalmente AD=BC