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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

E.S.I.M.E ZACATENCO

Escuela Superior de Ingeniera Mecnica yElc!rica

"EPO"TE

METODO DE GAUSS-JORDAN

P"O#ESO"$

TERESA AMARA GUTIERREZ NAVARRO

MATE"IA$

ANALISIS NUME"ICO

INTE%"ANTES

CAMPOS MELEN&EZ '"UNO ALE(IS

ISAAC ZA)ALA &E LA "OSA

MEN&OZA 'AZA &ETZANI S*E"EZA&A

MOLINA OLI)E"A +OS, LUIS

%"UPO$ -C) #EC*A$ /01OCTU'"E1/23

No. E4UIPO$ 3

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&ESA""OLLO

Dentro del mbito de ingeniera e !om"n e!#!$ar a!er!a de la ol#!i%n dee!#a!ione lineale& la !#ale toman #na gran 'ariedad de a(li!a!ione)Teniendo en !laro *#e e+iten m#!$o m,todo lo !#ale no a#daran a

reol'er di!$o itema)En ete a(artado en!ontraremo la ol#!i%n (or Ga#-Jordn) Ete m,todo e#tili.a (ara reol'er #n itema de e!#a!ione lineale) A (artir de #na matri.a#mentada& e $alla otra matri. e*#i'alente en /orma e!alonada& eta "ltimamatri. e en!#entra (or medio de la ig#iente o(era!ione elementalea(li!ada a la /ila 0o !ol#mna1

O(era!ione

Ri -------------2Ri 3Indi!a #n n#e'o rengl%n i de la matri. a#mentada4

Ri---------Ri 5 2R6 % 2R6 7 Ri 3indi!a n#e'o rengl%n 6 de la matri. a#mentada4

Ri-------R6 3inter!ambio de rengl%n i !on el rengl%n 64)

De manera *#e e (#edan obtener e!#a!ione de #na ola in!%gnita& el !#al #'alor e ig#al al !oe/i!iente del mimo rengl%n de la matri.)

8ara (oder lle'ar a !abo ete (ro!eo e ne!eario a(oarno en #n algoritmo*#e no (ermita die9ar el dearrollo del m,todo de #na manera ade!#ada& inre!aer en errore *#e (#edan alterar n#etro re#ltado& e #n m,todo *#ene!eita !ierta 'i'e.a (ara $a!er #o la o(era!ione& la !#ale (odremoada(tar a !ierta !on'enien!ia1 a *#e $a momento en lo *#e la matri. nom#etra 'alore /ra!!ionario eto o!aionado (or la o(era!ione a(li!ada&enton!e la me6or manera m /!il era tener lo 'alore en # /orma entera)De tal manera *#e a !ontin#a!i%n e m#etra #n algoritmo de ol#!i%n (ara elm,todo Ga#-Jordn)

Algoritmo

:) El !oe/i!iente a::de la matri. no debe er !ero& i e !ero e inter!ambia!on otro *#e no tenga)

;) Si el !oe/i!iente a::e di/erente de :& a(li!ar la o(era!i%n& (ara $a!er #no al!oe/i!iente a::)

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Estas son las operaciones que se utilizaran para resolver el ejemplo que semostrara ms adelante. Tmelas en cuenta.

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Enton!e (ara ete !ao tendramo la ig#iente ol#!i%n1

A$ora i de(e6amo a B e obtiene lo ig#ienteC

A*# e !#m(le el SOU2ION MUTI8E& a *#e (ara !ada'alor *#e tome Z $abr #n 'alor (ara & B)

Sin soluci5n

A$ora bien i en!#entra ete otro !ao de la matri. red#!ida1

No $a ne!eidad de eg#ir red#!iendo& a *#e el rengl%n do no m#etra #nae!#a!i%n de +77.F -=& (or lo tanto eto no !#m(le la ig#aldad) De modo *#eno tiene ol#!i%n)

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Esta sera la solucinobtenida de nuestramatriz reducida

Tenemos a X y Y,pero ntese quedependen de lavairbale Z.

Ntese que el regln sus coe!cientes soncero, esto tambi"nuede ocurrir para

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*o6ogneos 8sie6pre !iene soluci5n9

Re!ordemo *#e #na e!#a!i%n $omog,nea e la *#e eta ig#alada a !ero : (or lotanto e (oible en!ontrar #na matri!e red#!ida de la ig#iente manera1

8or lo tanto el itema tiene UNI2A SOU2ION al tener#na e+(rei%n ig#iente + F F . F )

8or lo tanto el itema tiene MUTI8E SOU2ION& (or loig#iente1

Una 'e. motrado en ete dearrollo lo*#e !onlle'a o!#(ar ete m,todo& # !lai/i!a!i%n& algoritmo la !ara!terti!are/erente a ete m,todo& (ro!ederemo a motrar en lo ig#iente a(artadoe6em(lo e6er!i!io& lo !#ale a#daran al al#mno a reol'er lo itema dee!#a!ione lineale (or el m,todo de Ga# 5 Jordn)

E;e6plo 6os!rado en clase

Reol'er el itema de e!#a!ione lineale (or el m,todo de Ga# 5 Jordn)

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Ntese que lamatriz estareducida en #ormaescalonada, perolos coe!cientes dela cuarta columnason cero, $sistema

%omog"neo&

El ultimo rengln todossus coe!cientes soncero, pero aun a si tiene

solucin, ya que elsistema es %omog"neo.

Ntese que para cada valor de z, %abr' un valor de ( y d

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;+ 7

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N#e'a matri. a#mentada

Pas5 /

Se (ro!ede a $a!er !ero el !oe/i!iente a;:&m#lti(li!ando el rengl%n : (or -

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Teniendo a #na n#e'a matri. a#mentada !on lo do!oe/i!iente a;: a

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Teniendo n#etra n#e'a matri. a#mentada)

Pas5 0

8ara ete (ao (ro!edemo $a!er !ero el!oe/i!iente a:

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2omo #ltimo (ao (ro!edemo $a!er !ero al!oe/i!iente a:;& m#lti(li!ando el renglon ; (or -

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"esuela el sis!e6a de ecuaciones u!iliBando el 6!odo de %auss +ordn.

;+ - 7.F ;

.F ->

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a

b

c

Se (ro!ede a (oner la matri. a#mentada& e de!ir& !ada #no de lo !oe/i!iente)

8ao :C e $a!er 3el !oe/i!iente a33 de "3& m#lti(li!ando "3 / @3 3 / "3 3Regl%n :4

< 3 @/ ? "/ 3Regl%n ;4 R: --------K 2R:

@3 / @ "< 3Regl%n

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Enton!e no *#edaC

3 @ 3

2 1/ @01/ =@3 / @

8ao R;

2

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8ao >C e $a!er !ero el !oe/i!iente a

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2 3 @01 3/1 R:---------K :0;R; 7 R:

2 2 3 @3

Enton!e no *#edaC 3 2 @31 331

2 3 @01 3/1

2 2 3 @3

8ao LC e $a!er !ero el !oe/i!iente a3

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2 3 @01 3/1 R;---------K H0>R< 7 R;

2 2 3 @3

Enton!e no *#edaC

3 2 2 /

2 3 2 3

2 2 3 @3

El re#ltado del itema de e!#a!ione e el ig#ienteC

D/

y 3

B @3

E+E"CICIO P"OPUESTO

2#atro !ir!#ito el,!tri!o etn !om(#eto (or !#atro reiten!ia !one!tadaen erie& lo !#ale on ometido a (r#eba de !ada de 'olta6e) En !ada !ir!#itoe regitr% la ig#iente 'aria!ione e m#etran en la ig#iente tabla& !on bae

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a lo re#ltado obtenido tomando en !#enta *#e e obt#'o #n 'olta6e total en!ada !ir!#ito& reali.ar el itema de e!#a!ione reol'erlo (or el m,todo dega#- Jordn)

!ir!#ito R: R; R< R= Volta6e total2to) : : 'olt < 'olt = 'olt 'olt ;2to); ; 'olt -: 'olt < 'olt 'olt =2to)< > 'olt : 'olt 'olt ; 'olt L2to)= 'olt = 'olt -: 'olt L 'olt

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Sol#!i%n

R=F ;

R

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AL%O"ITMO

Un algoritmo e #n !on6#nto /inito de intr#!!ione o (ao *#e ir'en (arae6e!#tar #na tarea o reol'er #n (roblema)

AL%E'"A LINEAL

El lgebra ineal e la rama de la matemti!a *#e !on!ierne al et#dio de'e!tore& e(a!io 'e!toriale& tran/orma!ione lineale& itema dee!#a!ione lineale)

C

COE#ICIENTE

E+(rei%n n#m,ri!a im(li/i!ada& m o meno !on'en!ional (ara e+(rear

di'era realidade)

COLUMNA

E #n arreglo de n"mero o !ara!tere (oi!ionada #na obre la otra)ta e #na !ol#mna de n"meroC

:;;>:H

& H& ::& ;& ;;

M

MAT"ICES

a (alabra Matri. e re/iere al !on6#nto de n"mero o mbolo algebrai!o!olo!ado en lnea $ori.ontale 'erti!ale di(#eta en /orma de re!tng#lo

Ma!riB de coeFicien!es

a matri. deri'ada de lo !oe/i!iente del itema de e!#a!ione lineale& *#e no

in!l#e lo t,rmino !ontante e la matri. de !oe/i!iente del itema)Aeg"ree& *#e !ada e!#a!i%n et, e!rita en la /orma etndar !on el t,rmino!ontante a la dere!$a)

Ma!riB au6en!ada

Una matri. deri'ada de #n itema de e!#a!ione lineale e la 6a!riBau6en!ada del itema)

a (rimera tre !ol#mna de la matri. a#mentada m#etran lo !oe/i!ientedex,y, z en el itema lineal) a !#arta !ol#mna en la matri. a#mentadam#etra lo t,rmino !ontante en el itema lineal) 2#ando e /orma tanto la

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matri. de !oe/i!iente !omo la matri. a#mentada de #n itema& !omien!e (oralinear 'erti!almente la 'ariable en la e!#a!ione #e lo P (ara la'ariable *#e /altan)

LA MAT"IZ ESCALONA&APO" "EN%LONES "E&UCI&A

e a*#ella matri. en la *#e !ada /ila tiene #n olo #no ditinto de !ero& adem de*#e !ada /ila tienen m !ero a la i.*#ierda del n"mero *#e e en!#entra en eta/ila& *#e la /ila anterior) 8or e6em(loC

Q: : :

P

PI)OTEEl (rimer elemento no n#lo de !ada /ila& llamadopivote& et a la dere!$a del(i'ote de la /ila anterior 3eto #(one *#e todo lo elemento deba6o de #n (i'oteon !ero4

S

SISTEMA &E ECUACIONES LINEALES

E #n !on6#nto de e!#a!ione *#e deben reol'ere im#ltneamente) En lo#!ei'o e !oniderarn "ni!amente itema de e!#a!ione algebrai!a

lineale& o ea !on6#nto de e!#a!ione de la /ormaC

a33 ( 3 G a 3/ (/ G a3< ( < G... G a 3n ( n C 3 8a9

a /3 ( 3 G a // ( / G a /< ( < G... G a /n ( n C / 8H9 8/9

a n3 ( 3 G a n/ ( / G a n< ( < G... G a nn ( n C n 8c9

)

)A"IA'LE

Una 'ariable e #n elemento de #na /%rm#la& (ro(oi!i%n o algoritmo *#e (#edead*#irir o er #tit#ido (or #n 'alor !#al*#iera)

'iHliograFa

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Algebra& El m,todo de Ga#- Jordn (reliminare de algebra lineal1

!#adernillo Ingeniera t,!ni!aen in/ormti!a de itema geti%n& Uni'eridad

Re J#an 2arlo& E(a9a)

Algebra lineal # a(li!a!ione& Da'id 2) a)

J) Ro6o& Algebra ineal) M!-Gra-@ill& ;:)

J) de #rgo& Algebra ineal) M!-Gra-@ill& ;)

Anlii N"m