Mesh Teknikleri

ONKNC BLM

K BOYUTLU PROBLEMLER N SONLU ELEMANLAR AI OLUTURULMASI

1. GR

Sonlu elemanlar metodunun temel prensibi,ncelikle bir elemana ait sistem zelliklerini

ieren denklemlerin kartlp tm sistemi temsil edecek ekilde eleman denklemlerini

birletirerek sisteme ait lineer denklem takmnn elde edilmesi olduu daha nceki

blmlerde anlatlmt. Yntemde genel olarak kullanlan temel basamak vardr.

Bunlar; hazrlk ilemleri (preprosesing),zm (prosesing) ve deerlendirme ilemleri

(postprosesing) olarak sralanabilir. Hazrlk ilemleri,dm koordinatlar,elemanlarn

birbirleri arasndaki sreklilik,snr artlar ykler ve malzeme bilgileri ile ilgili datalarn

hazrlanmas safhasdr. zm safhas, problemin zelliine gre gerekli hesaplamalarn

yaplarak zmlerin elde edilmesini,deerlendirme safhas ise, elde edilen alan

deikenlerinin grafik izimi (gerilme,scaklk hz dalm vs),deforme ekillerin elde

edilmesi,deikenlerin zm blgesindeki dalmlarnn grsel olarak elde edilmesini

iermektedir.

n ve son ilemler sonlu elemanlar metodunda nemli bir arl vardr. Bu nedenle

zellikle sonlu eleman a bilgilerinin (dm koordinatlar ve eleman sreklilii) otomatik

olarak hazrlanmas byk neme sahiptir. ou zaman problemin doru ve yeterince

hassas zmnn elde edilmesi iin bir ok deiik sonlu eleman ann denenmesi

gerekebilmektedir. Sonlu elemanlara ayrma ilemi ve problemin giri bilgilerinin

hazrlanmas eleman says arttka hem zaman alc olmakta hem de hata yapma orann

artrmaktadr. Bu yzden elemanlara blme ileminin bilgisayarla yaplmas iin yntemler

gelitirilmitir. Sonlu elemanlar metodu 1920li yllardan itibaren kullanlmaya balanm

olmakla beraber bilgisayar teknolojisindeki gelimelerle ancak 1960l yllardan itibaren

geni bir kullanm alan bulabilmitir. Otomatik a oluturma yntemleri de bunlara

Mhendisler in Sonlu Elemanlar Metodu,M. TOPCU,S. TAGETREN

duyulan ihtiyala beraber 1970lerden itibaren gelitirilmeye balanmtr. Yaplan

almalar iki boyutlu ve boyutlu problemler iin sonlu eleman a gelitirilmesi,eleman

tipine gre a optimizasyonu ve ele alnan problemin zelliklerine gre sonlu eleman

alarnn dzenlenmesi eklinde genel bir snflandrmaya tabi tutulabilir. stenen

blgelerde daha sk bir sonlu eleman a oluturulmas iin ve sonlu eleman ann alan

deikenlerinin gradyanna gre daha hassas oluturulmas iin bir ok alma yaplmtr.

Bu blmde, Zienkiewicz ve ark. (1971) tarafndan nerilen a oluturma yntemi

aktarlacaktr. Blmn sonunda 3 dml gen; 4,8 ve 9 dml drtgen elemanlar

iin a bilgilerini oluturan ve elde edilen a ekranda grntleyen bir program

verilecektir.

2. YNTEM

2.1. Blge ve Blok emas A oluturma ileminin temel mant,az saydaki anahtar noktalar iin girilmi olan

elemanlarn sreklilik ve dm koordinat bilgilerinden yola karak ilem yaplan blgeyi

istenen incelikte elemanlara ayrma olarak tanmlanabilir. Bu blm,sistemin ileyii

hakknda teorik bilgileri ve a oluturma ileminde bilgisayar zmn iermektedir.

Bu yntemde genel olarak kompleks bir blge,kk dikdrtgen bloklardan

olumu,dikdrtgen model olarak ele alnr. Dikdrtgen bloklardan bazlar boaltlr ve

baz kenarlar birletirilerek istenen ekil elde edilir. ekil 1' de verilen blge gz nne

alnrsa; blok emasn oluturmak iin daha kk dikdrtgen bloklardan oluan bir

dikdrtgen blok modeli ekil 2 de grld gibi elde edilir. Blgelerin tanmlanabilmesi

iin 1,3,5,

17 19 12 14 11 15

6 10 7 9

2 4

ekil 1. Ortasnda delik bulunan dikdrtgen levha iin rnek alt blok blnts.

Blm-12-22


8,13,16,18 ve 20 numaral bloklar bo blok olarak alnmal ve koyu izgi ile belirtilen

kenarlar karlkl olarak birletirilmelidir. ekil 3' de dikdrtgen bloklardan olumu bir

tm dikdrtgen modelin genel konfigrasyonu grlmektedir.

D 25

16

26 17

D21

27 18

28 19

D22

29 20

30

19 11

20 12

D15

21 13

22 14

D16

23 15

24

13 6

14 7

D9

15 8

16 9

D10

17 10

18

7 1

8 2

D3

9 3

10 4

D4

11 5

12 Y

1 2 3 4 5 6

ekil 2. ekil 1 iin blge ve blok diyagram.

Model,yatay (Y)-dey (D) eksen takmna yerletirilmitir. Aralk numaralar deydeki

aralk says (ND) ve yataydaki aralk says (NY) olarak adlandrlmtr. A olutururken

her aralk alt blmlere ayrlr. Aralklarnn alt blmleri KD ve KY olmak zere

deydeki toplam aralk (NDD(KD)) ve yataydaki toplam aralk (NYD(KY)) olarak

adlandrlmtr.

Dmler numaralandrlrken ilk noktadan balanarak Y ynnde ilerlemek artyla

numaralar verilir. lk sra bittiinde D ynndeki sonraki srann ilk dmnden itibaren

ayn ilem tekrar edilir. Sonlu eleman modeli koordinat eksenine yerletirilirken dikkat

edilecek nokta,aralk says az olan tarafn Y ekseni zerine oturmasdr. Bunun nedeni,bir

blok zerinde bulunan dmlerin numaralar arasndaki farkn minimum olmasn

salamaktr. Sonlu elemanlar metodunda,elemanlar iin hesaplanm rijitlik matrisleri

genel rijitlik matrisi iine yerletirilirken dm numaralarna bal sistematik iinde

yerletirilmektedir. Bir elemann dmleri arasndaki farkn bymesi,genel matriste

yerletirilen deerlerin dank olmasna sebep olmakta,bu da bilgisayar kapasitesinin

artmasn gerektirmekte ve zm zamannn uzamasna yol aarak yaplacak hesaplar

zorlatrmaktadr. Program, numaralandrmay yatay eksenden balayarak yaptndan az

sayda dm bulunan kenarn yatay eksene yerletirilmesi elde edilecek matrisin daha

dzgn olmasn salamaktadr.

Blm-12-33


D

D1

D2

D3

Y1 Y1 2 Y 2 3

NY+1

N

Blok no

2 1

KY blou alt blnts

KD blou alt blnts

Yatay kenar Dey kenar Ke

ekil 3. Dm,blok ve kenarlarn numaralandrlmas. Y ve D ynndeki toplan dm says: (1)

=+=

NY

KYKYNYDNNY

1

)(1

(2)

=+=

ND

KDKDNDDNND

1

)(1

mmkn olan maksimum dm says ise: (3) NNDNNYNNT = olarak ifade edilir. Problemdeki dmlerin tanmlanmas iin bir dizi oluturulur. Ayrca bloklarn

tanmlanmas iin de bir dizi kullanlmaktadr. Bu dizi bloklarn malzeme numaralarn

iermektedir. Eer bir blok iin bu deer sfr olursa o blok boaltlm demektir. Normalde

mevcut bloklar iin bu deer 1'dir. Farkl zelliklerdeki malzemelerden olumu bir blge

zerinde inceleme yapyorsak,farkl blgeler iin farkl malzeme numaralar vermemiz

gerekmektedir.

Blok emas zerinde tanmlam olduumuz tm blok ke dmlerinin x ve y

koordinatlar ile alt bloklarn herbirinde bulunmas muhtemel eri kenarlarn orta nokta

koordinatlar da bilgi olarak verilmelidir. lk olarak tm kenarlar orta dmleri,ke

dmleri arasndaki dorunun orta noktasnda bulunan dorusal kenarlar olarak kabul

Blm-12-44


edilerek,orta dmlerin x ve y koordinatlar hesaplanr. Daha sonra erisel kenarlar iin

orta dm koordinatlar girildiinde,bu gerek deerler dizideki daha nceden kabul

edilmi bulunan deerlerin yerini alr. Daha sonra birletirilecek kenarlar nceden verilen

bilgilere gre ilenir.

2.2 Dmlerin Numaralandrlmas

Dmlerin numaralandrln bir rnek zerinde aklamak yerinde olacaktr. ekil 4'de

bir rnek problem iin blge ve ona ait blok emas grlmektedir. Dmlerin

numaralandrlm ekli ise ekil 5'te verilmitir. Yatayda 2 ve deyde de 2 blok vardr. 4

Numaral blok ise boaltlmtr. Oluabilecek en byk dm numaras 30 dur. 18-20

kenar ile 18-28 kenar birletirilecek kenarlar olmaktadr. Dm numaralarn ieren

dizindeki her deikene nce -1 deeri verilir. Bunun anlam her dmn mevcut ve

bamsz olduudur. Daha sonra bo blok zerinde mevcut olmayan noktalar varsa,bu

noktalarn dizideki yerlerine 0 deeri konur. rnekte 24, 25, 29 ve 30 numaral dmler

mevcut deildir. Bu dmlerin dizideki yerleri sfrlanr. Birletirilmi kenarlarn varl

kontrol edilir. Eer byle kenarlar varsa,birletirilecek iki kenardan dm numaralar

byk olan kenar zerindeki her bir dmn dizideki yerine,birletirilecek olan dier

kenar zerindeki karlk dmnn numaras konur. Dm numaralar kk olan

kenar iin bir ilem yaplmaz. Sonu olarak,dm numaralar byk olan kenar,dieri

zerine tanm olur.

Dmlerden bazlar yok edildii iin dm numaralar arasndaki ardklk

bozulmutur. Bu yzden mevcut dmlerin yeniden numaralandrlmas gerekmektedir.

ekil 4. Dm numaralandrlmas iin rnek problem.

Blm-12-55


Numaralandrma ilemine 1'den balanr,dm numaralar dizisinde deeri negatif olan

dmler 1'er artrlarak numaralandrlr. Eer dmn deeri sfr ise o dme numara

verilmez,dizideki yeri sfr olarak kalr. Deeri pozitif olan dmn ise birletirilmi

(tanm) bir dm olduu bilindiinden,karlk dmnn dizideki yeni deeri verilir.

Numaralandrma ilemi bu ekilde tamamlanr. ekil 5.a'da dm numaralar dizisinin

genel hali grlmektedir. Buradaki deerler blok emasndaki dmlere hi bir ilem

yaplmadan nce verilmi numaralardr. ekil 5.b'de ise dizinin tm dmler iin (-1)

deeri verildikten sonra,olmayan dmler iin sfr,tanm dmler iin ise karlk

dmnn numaras verilmi durumu grlmektedir. Son basamakta yaplan ilemden

sonra dmlerin ald gerek numaralar ekil 5.c'de grlmektedir.

2. 3. Koordinatlarn Bulunmas

Blge zerindeki herhangi bir blou alt blmlere ayrdmzda oluan kesiim

noktalarndaki alt dmlerin koordinatlarnn hesaplanmas gerekmektedir. ncelenen

blok iin 8 temel dmn (4' ke,4' orta) X ve Y koordinatlar tarafmzdan girilmi

olduu iin bilinmektedir. Y-D koordinat sisteminde blok zerinde bulunan bir N1 alt

dmnn,dier 8 dmle olan ilikisi biliniyorsa,ekil fonksiyonlar yardmyla bu

dmn X ve Y koordinatlar bulunabilir. Blge zerindeki bir blok alt blmlere

ayrldnda,alt blmler Y-D dzleminde eit aralklarla oluturulur. Bu bilgi,

dmlerin X ve Y koordinatlarnn hesaplanabilmesi iin yeterlidir.

26 27 28 29 3021 22 23 24 2516 17 18 19 2011 12 13 14 156 7 8 9 101 2 3 4 5

1 1 20 0 01 1 19 0 01 1 18 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1

23 24 20 0 021 22 19 0 016 17 18 19 2011 12 13 14 156 7 8 9 101 2 3 4 5

(a) (b) (c)

ekil 5 Dmlerin numaralandrlmas. Bu veriler dorultusunda N1 dmnn X ve Y koordinatlar

X SH I X II

== ( ). ( )

1

8

(4)

Y SH I Y II

== ( ). ( )

1

8

Blm-12-66


yardmyla hesaplanabilir. Burada,SH(I),X(I),Y(I), I=1,2,3,....,8 olmak zere srasyla ekil

fonksiyonlarn ve blok iindeki 8 temel dmn koordinatlarn gstermektedir. 8

dml izoparametrik eleman iin ekil fonksiyonlar

4)1).(1).(1()1( srsrSH ++= (5)

2)1).(1()2(

2 srSH = (6)

4)1).(1).(1()3( srsrSH ++= (7)

2)1).(1()4(

2srSH += (8)

4)1).(1).(1()5( srsrSH ++= (9)

2)1).(1()6(

2 srSH += (10)

4)1).(1).(1()7( srsrSH ++= (11)

2)1).(1()8(

2srSH = (12) eklindedir. Burada r ve s lokal koordinatlarda bir eleman iin eksen takmdr (ekil 6).

Alt blmlere ayrlm bir blok zerindeki bir N1 dmnn r ve s koordinatlar yukarda

verilmi olan formllerle bulunur. Bu deerler N1 dmnn Y-D dzleminde,8 temel

dm ile olan uzaklk ilikisini gstermektedir. Altblmlerden dolay oluan bu alt

dmlerin X ve Y koordinatlarnn hesaplanmasyla,blge zerindeki tm dmlerin

koordinatlar bulunmu olur. Son ilem olarak ilgili noktalar birletirilir ve a oluturulur.

1 (-1,-1)

3 (1,1)

8

74

6

25

s

r

ekil 6. 8 dml izoparametrik eleman

Blm-12-77


3. RNEKLER

Program girdi dosyasnda u bilgileri istemektedir:

Eleman Tipi (gen veya Drtgen) Dm says (gen=1,4 Dml=2,5 Dml=3,8 Dml=4,9 Dml=5) Yataydaki blnt says,Deydeki Blnt Says Malzeme says Malzeme eidi 1 den farkl olan bloklar (Bo bloklar iin 0) Bloklarn yatayda alt blnt says Bloklarn deyde alt blnt says Dm says X koordinat,Y koordinat Yatayda eri kenar says (Kenardaki ara dmn yeri deitirilmek istendiinde de bu kullanlr) X koordinat,Y koordinat Deyde eri kenar says X Koordinat,Y koordinat Birleecek kenar says lk kenarn iki dm kinci kenarn iki dm kt dosyas ad

Bu bilgiler girildikten sonra program kt dosyasnda u bilgileri oluturur

Dm says,Eleman says, Malzeme says,Boyut,Eleman dm says,Yarbant genilii,Tutulu dm says (0),Yk says (0) Dmlerin X ve Y koordinatlar Eleman dm bilgileri Malzeme Numaralar (Tutulu dm says ve Yk says herhangi bir editrle yazldktan sonra bu dosyann altna Serbestlik derecesi numaras,Tanml deplasman Serbestlik derecesi numaras,Yk eklinde ekleme yaplr.)

Bu blmde sonlu elemanlar ann oluturulmas ile ilgili baz rnek zmler

verilecektir. lk rnekte, incelenecek blge iin blok emasnn oluturulmas,

koordinatlarn bulunmas, bo bloklarn tespiti, birletirilecek kenarlarn tanmlanmas gibi

konular ayrntl olarak anlatlacaktr. Daha sonraki rneklerde ise yalnzca hesaplanm

veriler sunulacaktr. Ayrntl anlatlacak bu rnek iin, bir ok erisel kenar, bo blok ve

birletirilmi kenar ieren, dolaysyla konunun tm ayrntlarn kapsayan zincir baklas

seilmitir (ekil 7). eklin orta noktasna gre simetrik olmas dolaysyla, yalnzca lk

blmnn incelenmesi mmkndr. Fakat konunun ayrntl anlatlabilmesi iin eklin

tamamn incelemek yerinde olacaktr.

Blm-12-88


ekil 7. Zincir baklasnn geometrisi

lk nce blgenin ekli izilerek muhtemel dmler tasarlanr. Tasarlanm dmler

ekilde grlmektedir. Dikkat edilecek nokta, her drt dmn oluturduu her bir

elemann kendi bana -daha baka bir blnmeyi gerektirmeden- incelenebiliyor

olmasdr. Bunun iin kenarlar tek bir fonksiyonla ifade edilebilir olmaldr. Dorusal olan

kenarlar bunu salamaktadr. Erisel kenarlarn bu art salayabilmesi iin, tek bir tepe

noktas bulunan erisel kenarlar elde edilene kadar ilgili kenarn blnmesi gerekir.

rnekteki 21 ve 13 dmleri arasndaki erisel kenar, tek bir elemann kenar olarak

tanmlayamayz. Bu yzden erinin dnm noktas olan yere bir dm konularak kenar

ikiye blnmtr. Oluan her iki kenar da birer dairesel yaydr. Dolaysyla tanmlanmas

mmkndr.

Daha sonra oluturulan elemanlara gre blok emas tasarlanr. rnekteki blge iin,

ayrlan elemanlara gre, ekil 8'deki gibi 3x6'lk bir blok emas uygun olacaktr. 2, 5, 8,

11, 14 ve 17 numaral bloklar boaltlp 1-2 ile 3-4, 10-14 ile 11-15, 14-18 ile 15-19 ve 25-

26 ile 27-28 kenarlar birletirilirse blok diyagram sreklilik asnda blgemizdeki

tasarlanan elemanlara benzeyecektir. Yani 1 ve 3 numaral bloklarn komuluu salanm

olacaktr. Benzer ekilde 7 ve 9, 10 ve 12, 16 ve 18 numaral bloklar da komu olacaktr.

Blm-12-99


ekil 8. Zincir baklasna ait blok diyagram.

Srada dmlerin koordinatlarnn bulunmas gelmektedir. Koordinatlar izim yoluyla ya

da analitik metotla bulunabilir. Birletirilmi kenarlardan dolay akan dmlerin

koordinatlar da ayn olacaktr. Hesaplanm olan koordinatlar (Dm numaras, X

koordinat, Y koordinat) yledir:

1 0 12 2 8 12 3 8 12 4 0 12 5 12 0 6 12 8 7 12 16 8 12 24 9 19.71 2.8 10 16 12 11 16 12 12 19.713 21.192 13 27 5 14 27 12 15 27 12 16 27 19 17 34.286 2.807 18 38 12 19 38 12 20 34.3 21.2 21 42 0 22 42 8 23 42 16 24 42 24 25 54 12 26 46 12 27 46 12 28 54 12

Son olarak, erisel kenarlarn tanmlanabilmesi iin tepe nokta koordinatlarnn da

bulunmas gerekmektedir. Bunlar da erileri ikiye blen noktalar olacaktr (eriler dairesel

olduu iin). Eer eriler bir fonksiyonla ifade edilmi olsayd; eri fonksiyonunun birinci

trevi, iki u nokta arasndan geen dorunun eimine eitlenerek koordinatlar

bulunabilirdi. Erisel kenarlarn orta nokta koordinatlar ise (W Aralk Numaras, X

koordinat, Y koordinat) yledir:

1 3.51 3.51 2 9.17 9.17 3 9.17 14.82 4 3.51 20.48 5 16.1 0.72 6 14.83 9.17 7 14.83 14.83 8 16.1 23.28 9 22.9 4.28 12 22.9 19.7 13 31.1 4.28 16 31.1 19.72 17 37.9 0.7 18 39.17 9.17 19 39.17 14.8 20 37.9 23.3 21 50.5 3.5 22 44.8 9.1 23 44.8 14.8 24 50.5 20.5 Birletirilecek olan kenarlara ait dm numaralar ise (birinci kenar 1 ve 2 dm-ikinci

kenar 1 ve 2 dm):

Blm-12-1010


10 14-11 15 14 18-15 19

Bo bloklarn numaralar ise unlardr: 2, 5, 8, 11, 14 ve 17.

Bundan sonra istenen eleman tipi ve alt blnt saylar belirlenerek istenen sklk ve

eleman tipinde a elde etmek mmkndr. Ortasnda ilave bir delik bulunan zincir baklas

iin elde edilmi olan 3 deiik a ekil 8de verilmitir. Btn alar iin dm says 658

olup eleman saylar,gen elemanlarla oluturulmu a iin 1152, 4 dml elemanlarla

oluturulmu a iin 576 ve 9 dml elemanlarla oluturulmu a iin 144 dr. Yar bant

genilii ise srasyla 314, 314 ve 315 olmaktadr.

4 dml elemanlarla oluturulmu a iin kt dosyas u ekilde elde edilmitir: 658 576 1 2 4 314 2 2 0 12 1.6 12 3.2 12 4.8 12 6.4 12 8 12 .80896 8.00896 ................. 53.18976 15.9904 54 12 52.4 12 50.8 12 49.2 12 47.6 12 46 12 1 2 8 7 3 4 10 9 ............... 395 396 401 402 397 398 399 400 ................. 1 1 1 1 ......... 257 0 258 0 571 -1000 572 2000

ekil 9 Eri d kenarlara ve eitli sayda deliklere sahip bir levhann gen ve 4 ve 9 dml drtgen elemanlarla hazrlanm sonlu eleman alar

Blm-12-1111


kinci bir rnek olarak ortasnda dairesel bir delik bulunan bir dikdrtgen kesit (ekil 1)

incelenmitir. Geometri iin tasarlanan a yaps ve blok emas ekil 10 ve 11 de

verilmitir. Bu rnek iin gerekli data dosyas u ekildedir:

2 2 Drt dml drtgen eleman 5 4 2 Malzeme says 1 0 3 0 5 0 8 0 13 0 16 0 18 0 20 0 Bo bloklar 3 3 1 3 3 Alt blnt saylar istenen hassasiyete gre deitirilebilir. Fakat 3 3 3 3 birletirme nedeniyle 2. Yatay aralkla 4. Dey araln saylar uygun

olmaldr 30 Dm says (Blok emasnda bulunan fakat bo bloklar sebebiyle gerekte

olmayan dmlerin tanmlanmasna gerek yoktur) 2 10 0 3 10 5 4 10 5 5 10 0 7 0 0 8 5 0 9 7.8 5.8 10 12.1 5.8 11 15 0 12 20 0 13 0 8 14 5 8 15 7 8 16 13 8 17 15 8 18 20 8 19 0 16 20 5 16 21 7.8 10.1 22 12.1 10.1 23 15 16 24 20 16 26 10 16 27 10 11 28 10 11 29 10 16 0 biti 0 la yaplmaktadr 0 yatayda eri kenar yoktur 8 3 8.8 5.23 4 11.15 5.23 9 7.23 6.8 10 12.7 6.8 15 7.3 9.15 16 12.7 9.15 21 8.8 10.7 22 11.15 10.7 0

ekil 10 Delikli levha iin tasarlanan a

Blm-12-1212


ekil 11 Delikli levhaya ait blok emas.

2 birleecek kenar says 2 3 5 4 26 27 29 28 kt.mes dosya ad

Bu rnek iin hazrlanm deiik eleman sklklarna sahip rnek ekil 12 de

verilmitir. Bu datalardan yalnzca eleman dm says deitirilerek an eleman yaps

deitirilebilecei gibi,yatay ve dey bloklarn blnt saylar deitirilerek de istenen

blgede istenen sklkta a oluturulabilmektedir. Hazrlanan program sonlu eleman

modellemesindeki boyut sorununa yardmc olmak iin yar bant geniliini de

hesaplamaktadr.

ekil 12 Ortas delikli dikdrtgen levha iin elde edilen,eitli sklklara sahip alar.

Bu rnekte ise biri merkezde olmak zere 3 adet dairesel delik bulunan bir dairesel kesit

iin model hazrlama ve girdi dosyas bilgileri verilmitir (ekil 13, 14). Burada, simetrik

bir yapya sahip olan kesitin, yars incelenmitir. Gerekte kesit, her iki eksende de

simetrik olduundan, bu kesitin yalnzca lk bir dilimini incelemek yeterli olacaktr.

Blm-12-1313


Girdi dosyas bilgileri aada verilmitir. Buna gre ilgilenenler istedii ekilde bir sonlu

eleman a oluturabilirler.

1 1 dml gen eleman 4 6 2 5 0 8 0 9 0 12 0 13 0 16 0 17 0 20 0 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

ekil 13 eitli sayda delik bulunan dairesel kesit iin taslak a

Blm-12-1414


35 1 13 8 2 14.414 7.414 3 15 6 4 14.414 4.585 5 13 4 6 13 0 7 14.5 10.401 8 17 6 9 19.5 1.741 10 13 0 12 15.5 11.5 13 19 9 14 24.25 6.5 17 16 13 18 19 13 19 26 13 22 11.598 14.5 23 19 17 24 24.258 19.5 26 13 16 27 14.5 15.5 28 17 20 29 19.5 24.25 30 13 26 31 13 18 32 14.4 18.5 33 15 20 34 14.4 21.4 35 13 22 0 12 Yatayda eri kenar says 1 13.765 7.847 2 14.847 6.765 3 14.847 5.234 4 13.765 4.152 5 13.776 10.12 8 16.36 0.42 21 13.776 15.897 24 16.364 25.557 25 13.765 18.152 26 14.847 19.234 27 14.84 20.76 28 13.76 21.87 0 8 Deyde eri kenar says 7 15.121 10.878 9 22.192 3.807 12 15.897 12.223 14 25.557 9.63 17 15.897 13.776 19 25.557 16.364 22 15.121 15.121 24 22.192 22.192 0 0 Birleecek kenar yoktur. kt.mes

rnekte birletirilecek kenar ifti bulunmadndan, aralklarn altblm saylar, arzu

edilen hassasiyete gre rahata seilebilir.

ekil 14 ekil 13 iin blok emas

ekil 15 de krlma mekanii analizi iin hazrlanm sonlu eleman alar verilmitir.

Burada da dm saylar her a iin de 705 olup eleman saylar srasyla 1280, 640 ve

160 tr. Yar bant genilii ise 91, 91 ve 109 olmaktadr.

Blm-12-1515


ekil 15 Krlma mekanii analizi iin hazrlanm sonlu eleman alar. gen,4 dml

ve 9 dml drtgen elemanlar 4. SONU

Bu almada nmerik yntemlerle yaplan analizin ilk basama olan zm blgesi iin

a gelitirme zerinde durulmu ve bu amala gelitirilen yntem kullanlarak bir

bilgisayar program hazrlanmtr. almada ele alnan geometrinin mmkn olduu

kadar iyi modellenmesinin yannda analiz srasnda meydana gelecek denklem sistemi ve

bu sistemde oluan genel matrislerin de homojen hale getirilmesi ve zm zamannn

azaltlmas dnlmtr. Gelitirilen yntemle her trl geometrinin gen ve 4 veya 9

dml drtgen elemanlara blnmesi mmkn olduu gibi, alan deikenlerinin zm

blgesindeki dalm da dikkate alnarak eitli a inceltme ilemleri de yaplabilmektedir.

(*)Zienkiewicz,O. C.,Philips,D. V. 1971,An automatic mesh generation scheme for plane and curved surfaces by isoparametric coordinates. Int. J. Numerical Methods in Engineering (3) 519-528 1000 REM**************** AOLUTURMA ************************ REM* IKI BOYUTLU HER TR PROBLEM N * REM* 3 DML GEN * REM* 4,5,8,9 DML DRTGEN ELEMANLARLA * REM* SONLU ELEMAN MODELINI OLUSTURUR * REM* 3,4 VE 9 DM N EKRANA ZER * REM* ADAPTE EDEN SLEYMAN TAGETREN * REM******************************************************* 1001 CLS : DEFINT I-N: NDIM=2 INPUT "AG OLUTURMAK N DOSYA ADI="; FILE1$ OPEN FILE1$ FOR INPUT AS #2 REM"ELEMAN TP VE DM SAYISININ BELRLENMES" INPUT #2,NTMP IF NTMP=2 THEN NEN=4 ELSE NEN=3: DS=1: GOTO 1010 REM DS


'------------- Altblmler --------------- 1030 NNS=1: NNW=1 FOR KS=1 TO NS INPUT #2,NSD(KS) NNS=NNS+NSD(KS): NEXT KS FOR KW=1 TO NW INPUT #2,NWD(KW) NNW=NNW+NWD(KW): NEXT KW '------------ Dmler ve koordinatlar --------------- 1040 NSR=NS*(NW+1) NWR=NW*(NS+1) DIM XB(NGN,2),SR(NSR,2),WR(NWR,2) 1050 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1060 INPUT #2,XB(NTMP,1),XB(NTMP,2) GOTO 1050 '-------- D kenarlar orta nokta koordinatlar -------- 1060 FOR I=1 TO NW+1: FOR J=1 TO NS IJ=(I-1)*NS+J SR(IJ,1)=.5*(XB(IJ+I-1,1)+XB(IJ+I,1)) SR(IJ,2)=.5*(XB(IJ+I-1,2)+XB(IJ+I,2)) NEXT J: NEXT I '-------- Y kenarlar orta nokta koordinatlar -------- 1070 FOR I=1 TO NW: FOR J=1 TO NS+1 IJ=(I-1)*(NS+1)+J WR(IJ,1)=.5*(XB(IJ,1)+XB(IJ+NS+1,1)) WR(IJ,2)=.5*(XB(IJ,2)+XB(IJ+NS+1,2)) NEXT J: NEXT I '------ Eri kenarlar ve orta nokta koordinatlar ------ 1080 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1090 INPUT #2,SR(NTMP,1),SR(NTMP,2) GOTO 1080 1090 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1100 INPUT #2,WR(NTMP,1),WR(NTMP,2) GOTO 1090 '------------------ Birleik kenarlar ---------------------- 1100 INPUT #2,NSJ IF NSJ=0 GOTO 1120 DIM MERG(NSJ,4) FOR I=1 TO NSJ INPUT #2,L1,L2 I1=L1: I2=L2: GOSUB 2100: II1=IDIV INPUT #2,L3,L4 I1=L3: I2=L4: GOSUB 2100: II2=IDIV IF II1=II2 THEN 1110 PRINT "Altblm saylar farkl." PRINT "Kontrol edip yeniden balaynz.": END 1110 MERG(I,1)=L1: MERG(I,2)=L2 MERG(I,3)=L3: MERG(I,4)=L4 NEXT I '------- Temel dmlerin global koordinatlar --------- 1120 NTMPI=1 FOR I=1 TO NW+1 IF I=1 THEN IINC=0 ELSE IINC=NNS*NWD(I-1) NTMPI=NTMPI+IINC: NTMPJ=0 FOR J=1 TO NS+1 IJ=(NS+1)*(I-1)+J IF J=1 THEN JINC=0 ELSE JINC=NSD(J-1) NTMPJ=NTMPJ+JINC

Blm-12-1717


NGCN(IJ)=NTMPI+NTMPJ: NEXT J: NEXT I '---------------- Dm noktalar dizisi -------------------- 1140 NNT=NNS*NNW DIM NNAR(NNT) FOR I=1 TO NNT NNAR(I)=-1: NEXT I '--------- Mevcut olmayan dmler --------- 1160 FOR KW=1 TO NW: FOR KS=1 TO NS KSW=NS*(KW-1)+KS IF IDBLK(KSW) > 0 GOTO 1200 '-------- Bos bloklar -------- 1170 K1=(KW-1)*(NS+1)+KS N1=NGCN(K1) NS1=2: IF KS=1 THEN NS1=1 NW1=2: IF KW=1 THEN NW1=1 NS2=NSD(KS)+1: IF KS=NS GOTO 1180 IF IDBLK(KSW+1) > 0 THEN NS2=NSD(KS) 1180 NW2=NWD(KW)+1: IF KW=NW GOTO 1190 IF IDBLK(KSW+NS) > 0 THEN NW2=NWD(KW) 1190 FOR I=NW1 TO NW2: IN1=N1+(I-1)*NNS FOR J=NS1 TO NS2: IJ=IN1+J-1 NNAR(IJ)=0: NEXT J: NEXT I IF NS2=NSD(KS) OR NW2=NWD(KW) GOTO 1200 IF KS=NS OR KW=NW GOTO 1200 IF IDBLK(KSW+NS+1) > 0 THEN NNAR(IJ)=-1 1200 NEXT KS: NEXT KW '-------- Birleik kenarlar ------ 1210 IF NSJ=0 GOTO 1230 FOR I=1 TO NSJ I1=MERG(I,1): I2=MERG(I,2): GOSUB 2100 IA1=NGCN(I1): IA2=NGCN(I2): IASTP=(IA2-IA1)/IDIV I1=MERG(I,3): I2=MERG(I,4): GOSUB 2100 IB1=NGCN(I1): IB2=NGCN(I2): IBSTP=(IB2-IB1)/IDIV IAA=IA1-IASTP FOR IBB=IB1 TO IB2 STEP IBSTP IAA=IAA+IASTP IF IBB=IAA THEN NNAR(IAA)=-1: GOTO 1220 IF IBB > IAA THEN NNAR(IBB)=IAA ELSE NNAR(IAA)=IBB 1220 NEXT IBB: NEXT I '---------- Dmlerin gerek numaralar -------- 1230 NODE=0 FOR I=1 TO NNT IF NNAR(I)=0 GOTO 1250 IF NNAR(I) > 0 GOTO 1240 NODE=NODE+1 NNAR(I)=NODE GOTO 1250 1240 II=NNAR(I) NNAR(I)=NNAR(II)*(-1) 1250 NEXT I LAS=NODE IF DS=1 THEN 1260 ON DS-1 GOSUB 2600,2800,2800 '----------------------------- Koordinatlar --------------- 1260 NN=NODE NELM=0 DIM X(LAS*2,2),XP(8,2),NOC(2*NNT,NEN*2) DIM MAT(2*NNT),PMN(2*NNT,2) FOR I=1 TO LAS X(I,1)=-1:X(I,2)=-1 NEXT

Blm-12-1818


FOR KW=1 TO NW:FOR KS=1 TO NS KSW=NS*(KW-1)+KS IF IDBLK(KSW)=0 GOTO 1330 '------------------------------- Alt dmler ---------- 1270 NODW=NGCN(KSW+KW-1)-NNS-1 FOR JW=1 TO NWD(KW)+1 ETA=-1+2*(JW-1)/NWD(KW) NODW=NODW+NNS: NODS=NODW FOR JS=1 TO NSD(KS)+1 XI=-1+2*(JS-1)/NSD(KS) NODS=NODS+1 NODE=NNAR(NODS) 1280 GOSUB 2200: GOSUB 2300 FOR J=1 TO 2 C1=0 FOR I=1 TO 8 C1=C1+SH(I)*XP(I,J) NEXT I X(NODE,J)=C1 NEXT J '------------------------------------------- 1290 IF JS=NSD(KS)+1 OR JW=NWD(KW)+1 GOTO 1320 N1=NODE: N2=NNAR(NODS+1) N4=NNAR(NODS+NNS): N3=NNAR(NODS+NNS+1) NELM=NELM+1: IF NEN=3 GOTO 1310 '------------------- Drtgen eleman -------------------- 1300 NOC(NELM,1)=N1: NOC(NELM,2)=N2: MAT(NELM)=IDBLK(KSW) NOC(NELM,3)=N3: NOC(NELM,4)=N4: GOTO 1320 '------------------- gen eleman ------------------- 1310 NOC(NELM,1)=N1: NOC(NELM,2)=N2 NOC(NELM,3)=N3: MAT(NELM)=IDBLK(KSW) NELM=NELM+1: NOC(NELM,1)=N3: NOC(NELM,2)=N4 NOC(NELM,3)=N1: MAT(NELM)=IDBLK(KSW) 1320 NEXT JS: NEXT JW 1330 NEXT KS: NEXT KW NE=NELM: IF NEN=4 GOTO 1360 '---------------------------------------------------- 1340 NE2=NE/2 FOR I=1 TO NE2 I1=2*I-1 N1=NOC(I1,1): N2=NOC(I1,2) N3=NOC(I1,3): N4=NOC(2*I,2) X13=X(N1,1)-X(N3,1):Y13=X(N1,2)-X(N3,2) X24=X(N2,1)-X(N4,1):Y24=X(N2,2)-X(N4,2) IF (X13*X13+Y13*Y13)


XP(2,1)=SR(KSW,1): XP(2,2)=SR(KSW,2) XP(3,1)=XB(N1+1,1): XP(3,2)=XB(N1+1,2) XP(4,1)=WR(N1+1,1): XP(4,2)=WR(N1+1,2) XP(5,1)=XB(N1+NS+2,1): XP(5,2)=XB(N1+NS+2,2) XP(6,1)=SR(KSW+NS,1): XP(6,2)=SR(KSW+NS,2) XP(7,1)=XB(N1+NS+1,1): XP(7,2)=XB(N1+NS+1,2) XP(8,1)=WR(N1,1): XP(8,2)=WR(N1,2) RETURN '============== Sekil fonksiyonlar ================ 2300 SH(1)=-(1-XI)*(1-ETA)*(1+XI+ETA)/4:SH(2)=(1-XI*XI)*(1-ETA)/2 SH(3)=-(1+XI)*(1-ETA)*(1-XI+ETA)/4:SH(4)=(1-ETA*ETA)*(1+XI)/2 SH(5)=-(1+XI)*(1+ETA)*(1-XI-ETA)/4:SH(6)=(1-XI*XI)*(1+ETA)/2 SH(7)=-(1-XI)*(1+ETA)*(1+XI-ETA)/4:SH(8)=(1-ETA*ETA)*(1-XI)/2 RETURN '=============== Yar bant genilii =================== 2400 ST=1: ED=NEN IF DS=2 THEN ST=0 IF DS=3 THEN ED=ED*2 IF DS=4 THEN ST=0: ED=ED*2 NBW=0 FOR N=1 TO NE CMIN=NN+1: CMAX=0 FOR J=ST TO ED IF CMIN > NOC(N,J) THEN CMIN=NOC(N,J) IF CMAX < NOC(N,J) THEN CMAX=NOC(N,J) NEXT J C=(CMAX-CMIN+1) IF NBW < C THEN NBW=C NEXT N '=============== Verilerin Kaydedilmesi =================== INPUT #2,FILE$ OPEN FILE$ FOR OUTPUT AS #1 ND=0: NL=0 PRINT #1,LAS; NE; DS; NM; NDIM; NEN; NBW FOR I=1 TO LAS FOR J=1 TO NDIM PRINT #1,X(I,J); NEXT J PRINT #1, NEXT I FOR I=1 TO NE FOR J=ST TO ED PRINT #1,NOC(I,J); NEXT J: PRINT #1,: NEXT I FOR I=1 TO NE PRINT #1,MAT(I); NEXT I PRINT #1, CLOSE #1 RETURN 2500 '-------- Eleman orta dm koordinatlar -------- VI=1: TJ=0: TM=0 FOR I=1 TO NW FOR K=1 TO NWD(I) FOR J=1 TO NS IF IDBLK((I-1)*NS+J)=0 THEN 2520 JM=(NSD(J)*(K-1)) FOR JI=1 TO NSD(J) WI=JM+JI+TJ+TM IF MAT(WI) 1 THEN 2510 P1=NOC(WI,1): P2=NOC(WI,2):P3=NOC(WI,3): P4=NOC(WI,4)

Blm-12-2020


PN(VI)=WI PMN(VI,1)=((X(P1,1)+X(P2,1))/2+(X(P4,1)+X(P3,1))/2)/2 PMN(VI,2)=((X(P1,2)+X(P4,2))/2+(X(P2,2)+X(P3,2))/2)/2 2510 VI=VI+1 NEXT JI TJ=TJ+(NSD(J)*NWD(I)) 2520 NEXT J TG=TJ: TJ=0 NEXT K TM=TM+TG: TJ=0 NEXT I: GOSUB 2710 2530 RETURN 2600 TB=0: B=1 FOR J=1 TO NS IF IDBLK(J) 0 THEN B=B+NSD(J) NEXT B=B+1 FOR I=1 TO NW JM=0 FOR J=1 TO NS IF IDBLK((I-1)*NS+J)0 THEN JM=JM+NSD(J) NEXT FOR K=1 TO NWD(I) FOR J=1 TO NNS IF NNAR(B)


NEXT TN(L)=BC+TB-2 L=L+1 KDS=1 IF DS=4 THEN KDS=2 FOR R=1 TO NS IF IDBLK((I-1)*NS+R) 0 THEN BC=BC+NSD(R)*KDS NEXT R TB=BC+TB: BC=0 NEXT: NEXT RETURN 2900 II=NNAR(B)*(-1) NNAR(B)=NNAR(II): GOTO 2810 REM"---------------------------------SEKIZ DGM 3000 L=1: VI=1: TJ=0: TM=0 FOR I=1 TO NW FOR K=1 TO NWD(I) FOR J=1 TO NS IF IDBLK((I-1)*NS+J)=0 THEN 3030 JM=(NSD(J)*(K-1)) FOR JI=1 TO NSD(J) WI=JM+JI+TJ+TM IF MAT(WI) 1 THEN 3020 P1=NOC(WI,1): P2=NOC(WI,2) P3=NOC(WI,3): P4=NOC(WI,4) P6=TN(L)+VI: P7=P6+1 P5=P1+1: P8=P4+1 P10=P6: P11=P8: P8=P3: P3=P2: P2=P5 P5=P7: P7=P11: P1=P1: P6=P4: P4=P10 IF DS=4 GOTO 3010 NOC(WI,1)=P1: NOC(WI,2)=P2: NOC(WI,3)=P3 NOC(WI,4)=P4: NOC(WI,5)=P5: NOC(WI,6)=P6 NOC(WI,7)=P7: NOC(WI,8)=P8 X(P2,1)=(X(P1,1)+X(P3,1))/2:X(P2,2)=(X(P1,2)+X(P3,2))/2 X(P4,1)=(X(P1,1)+X(P6,1))/2:X(P4,2)=(X(P1,2)+X(P6,2))/2 X(P5,1)=(X(P3,1)+X(P8,1))/2:X(P5,2)=(X(P3,2)+X(P8,2))/2 X(P7,1)=(X(P6,1)+X(P8,1))/2:X(P7,2)=(X(P6,2)+X(P8,2))/2 GOTO 3020 REM"----------------------------------DOKUZ DUGUM 3010 P9=P8: P5=P4+1: P6=P5+1: P7=P9-2: P8=P9-1 VI=VI+1 NOC(WI,0)=P1: NOC(WI,1)=P2: NOC(WI,2)=P3 NOC(WI,3)=P4: NOC(WI,4)=P5: NOC(WI,5)=P6 NOC(WI,6)=P7: NOC(WI,7)=P8: NOC(WI,8)=P9 X(P2,1)=(X(P1,1)+X(P3,1))/2:X(P2,2)=(X(P1,2)+X(P3,2))/2 X(P4,1)=(X(P1,1)+X(P7,1))/2:X(P4,2)=(X(P1,2)+X(P7,2))/2 X(P6,1)=(X(P3,1)+X(P9,1))/2:X(P6,2)=(X(P3,2)+X(P9,2))/2 X(P8,1)=(X(P7,1)+X(P9,1))/2:X(P8,2)=(X(P7,2)+X(P9,2))/2 X(P5,1)=(X(P4,1)+X(P6,1))/2:X(P5,2)=(X(P2,2)+X(P8,2))/2 VI=VI+1 3020 NEXT JI TJ=TJ+(NSD(J)*NWD(I)) 3030 NEXT J VI=1: TG=TJ: TJ=0: L=L+1 NEXT K TM=TM+TG: TJ=0 NEXT I RETURN:RETURN 4000 '************** SEMAGCZ **************** '======== EKRAN DZENLEME =========

Blm-12-2222


KEY OFF SCREEN 11: F$="####.##" ASP=.46 LOCATE 16,25 OPEN FILE$ FOR INPUT AS #3 INPUT #3,NN,NE,NM,NDIM,NEN,NBW,ND,NL DIM X(NN,NDIM),X1(NN,NDIM),NOC(NE,NEN),DEP(NN,NDIM),K(NN,NDIM) '============= DATALAR =============== 4010 FOR I=1 TO NN: FOR J=1 TO NDIM DEP(I,J)=0: X(I,J)=0 NEXT J: NEXT I FOR I=1 TO NN: FOR J=1 TO NDIM INPUT #1,X(I,J) NEXT J: NEXT I FOR I=1 TO NE: FOR J=1 TO NEN INPUT #1,NOC(I,J): NEXT J: NEXT I FOR I=1 TO NN FOR J=1 TO NDIM X1(I,J)=X(I,J) NEXT J: NEXT I XMAX=X(1,1): YMAX=X(1,2): XMIN=X(1,1): YMIN=X(1,2) FOR I=2 TO NN IF XMAX < X(I,1) THEN XMAX=X(I,1): IF YMAX < X(I,2) THEN YMAX=X(I,2) IF XMIN > X(I,1) THEN XMIN=X(I,1): IF YMIN > X(I,2) THEN YMIN=X(I,2) NEXT I CLS XL=(XMAX-XMIN): YL=(YMAX-YMIN) X0=XMIN-XL/10: Y0=YMIN-YL/10 LINE (80,1)-(80,350): LINE (80,350)-(639,350) VIEW (82,1)-(639,348) AA=538*ASP/167 IF XL/YL > AA THEN YL=XL/AA: IF XL/YL < AA THEN XL=YL*AA XMAX=X0+1.3*XL: YMAX=Y0+1.3*YL WINDOW (X0,Y0)-(XMAX,YMAX) LOCATE 1,3: PRINT USING F$; YMAX LOCATE 23,73: PRINT USING F$; XMAX LOCATE 23,10: PRINT USING F$; X0 LOCATE 22,3: PRINT USING F$; Y0 4015 IF NEN=9 GOTO 4100 '=========== ELEMAN ZM ================ 4020 CLS FOR IE=1 TO NE FOR II=1 TO NEN X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) IF II=NEN GOTO 4030 X2=X1(NOC(IE,II+1),1): Y2=X1(NOC(IE,II+1),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) GOTO 4040 4030 X2=X1(NOC(IE,1),1): Y2=X1(NOC(IE,1),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) 4040 NEXT II: NEXT IE 4100 CLS FOR IE=1 TO NE FOR II=1 TO 2 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+1),1): Y2=X1(NOC(IE,II+1),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II FOR II=7 TO 8 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+1),1): Y2=X1(NOC(IE,II+1),2)

Blm-12-2323


LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II FOR II=1 TO 6 STEP 3 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+3),1): Y2=X1(NOC(IE,II+3),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II FOR II=3 TO 8 STEP 3 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+3),1): Y2=X1(NOC(IE,II+3),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II CIRCLE (X1(NOC(IE,5),1),X1(NOC(IE,5),2)),.2 NEXT IE '================ DM NUMARALARI =============== 4200 LOCATE 24,20: INPUT ; " DM NUMARALARINI STERMSN > ",A$ IF A$="H" OR A$="h" GOTO 4300 FOR I=1 TO NN ICOL=(100+(538*(X1(I,1)-X0)/(1.2*XL)))/8 IROW=(168-167*(X1(I,2)-Y0)/(1.2*YL))/8 LOCATE IROW,ICOL: PRINT I; : NEXT I: LOCATE 24,20 INPUT ; "DMSZ ZM STERMSN < E/H > ",A$ IF A$="E" OR A$="e" GOTO 4015 4300 END

Blm-12-2424

Mesh Teknikleri

Documents

Transcript of Mesh Teknikleri