Mehanika fluida za studente Gradjvinskog fakulteta

Mehanika fluida za studente Gradjvinskog fakulteta

Dusan Prodanovic

Contents

8 Otvoreni tokovi8.1 Osnovni pojmovi8.2 Jednoliko tecenje, normalna dubina8.3 Raspored brzina u preseku8.4 Specificna energija, kriticna dubina8.4.1 Specificna energija8.4.2 Kriticna dubina8.4.3 Kritican nagib dna kanala8.4.4 Miran i buran rezim tecenja8.5 Hidraulicki skok8.6 Kratka rekapitulacija najvaznijih pojmova8.7 Nejednoliko tecenje (blagopromenljivo)8.7.1 Diferencijalna jednacina linije nivoa8.7.2 Resavanje diferencijalne jednacine linije nivoa8.8 Moguci oblici linije nivoa kod nejednolikog tecenja8.8.1 Nagib linije energije jednak nagibu dna8.8.2 Dubina jednaka kriticnoj a razlicita od normalne8.8.3 Velika dubina u kanalu8.8.4 Nagib dna kanala manji od kriticnog nagiba8.8.4.1 Beskonacno dugacak prizmatican kanal malog nagiba8.8.4.2 Ustava u kanalu malog nagiba dna8.8.5 Nagib dna kanala veci od kriticnog nagiba8.8.5.1 Prelaz iz jezera u kanal sa nagibom vecim od kriticnog8.8.5.2 Ustava u kanalu sa nagibom dna vecim od kriticnog8.8.6 Spajanje linije nivoa kod promene nagiba dna ili hrapavosti8.9 Isticanje ispod ustave8.10 Prelivanje preko sirokog praga8.11 Merenje protoka u otvorenim tokovima

Chapter 8 Otvoreni tokovi

8.1Osnovni pojmovi

Otvoreni tok - takvo strujanje fluida gde proticajni presek nije unapred poznat

Figure 8.1: Pijezometarska i energetska linija kod otvorenih tokova

Uslovi za proucavanje fluidne struje u preseku A-A:

1. paralelno strujenje

2. upravno na presek

3. hidrostatska raspodela pritisaka

4. ustaljeni tok

jednoliko

h=const, [(h)/(x1)] = 0

nejednoliko

h const, [(h)/(x1)] 0

5. prizmatican kanal - nov uslov do sada nije koriiscen. Kod tecenja u cevi, koriscena je pretpostavka da fluidna struja u potpunosti ispunjava poprecni presek. Ako se zna precnik cevi, zna se i poprecni presek struje pa samim tim i veza izmedju protoka i brzine. Kod tecenja u otvorenim tokovima, poprecni presek fluidne struje nije u napred poznat (A const) ali se pretpostavlja da je izgradjeni poprecni presek duz celog kanala isti - nema usputne promene poprecnog preseka kanala (mada se dubina vode u kanalu menja).

Iz pretpostavki 1, 2 i 3 sledi da se kota vode poklapa sa kotom za presek (slika8.1).

Figure 8.2: Dubina d merena normalno na dno se aproksimuje vertikalnim presekom h

Kako se definise dubina vode u otvorenom toku? Na slici8.2 je nacrtan poduzni presek kanala, sa karikirano velikim nagibom1. Presek koji je upravan na strujnice je [AB]=d (d je debljina fluidne struje). U otvorenim tokovima je, medjutim, uobicajeno da se koristi vertikalno merenje dubina h=[AD]. Od ugla zavisi razlika izmedju d i h:

d=h cos

(8.1)

Ukupna energija (po jedinici tezine) u poprecnom preseku je:

E=+

V2

2g

= ZDNA +

pB

g

+

V2

2g

(8.2)

gde su pritisci pB=pC posto su na istoj koti, a visina pritiska [(pC)/(g)] = [AC] = d cos = h cos2 . Ukupna energija je:

E=ZDNA + h cos2 +

V2

2g

(8.3)

Sve dok je mali nagib kanala cos2 1.0 dubina se meri vertikalno (h) jer je tako zgodnije. Ako je cos2 < 1.0 (0.99 za = 6o, ID=1.0 %) tada treba meriti dubinu upravno na dno. Srecom to je veoma retko slucaj, i srece se uglavnom kod brzotoka.

Kod vecine kanala nagibi su mali. Za nagib dna od ID=2% (tan = 0.02), sto je vec jako strm kanal, ugao = 1.15 % a cos2 = 0.9996 1,0. Prema tome, dubine se mere i crtaju vertikalno u odnosu na poprecni presek, kao i brzinska visina. Poduzni profili se uvek crtaju u distordovanoj razmeri: za visine je krupnija razmera a za duzine sitnija, pa se ugao menja na crtezu (zato kanali izgledaju nagnutije na crtezu!).

8.2Jednoliko tecenje, normalna dubina

Jednoliko tecenje je poseban slucaj tecenja u kanalu. Uspostavlja se samo u prizmaticnom kanalu beskonacne duzine. To je slucaj koji retko postoji u prirodi ali je zgodan za analizu, jer pokazuje cemu fluid tezi ako ga "ne diramo".

Jednoliko tecenje znaci da se dubina ne menja duz kanala, odnosno, ne menja se poprecni presek fluidne struje. Ako je tecenje ustaljeno tada su i brzine u svim presecima iste, pa sledi da je linija nivoa paralelna sa linijom dna, a linija energije paralelna sa linijom nivoa.

Figure 8.3: Jednoliko tecenje: dubine i brzine u presecima 1 i 2 su iste

ID = tan =

Z

x

=

dZ

dx

(8.4)

gde je ID nagib dna kanala i Z=Z2Z1. U izrazu je moguce preci sa konacnih razlika [( Z)/(x)] na diferencijalne [dZ/dx] jer je kanal prizmatican.

ID =

dZd

dx

=

d

dx

=

dE

dx

(8.5)

odnosno, kod jednolikog tecenja vazi ID = I = IE.

Zasto je zgodno sto su nagibi energije i dna isti: u energetskoj jednacini "trosimo" nagib linije energije koji ne znamo u napred i koji se "ne vidi". U jednolikom tecenju je IE=ID, a nagib dna se zna jer se jednostavno meri geodetskim metodama.

Postavlja se dinamicka jednacina na konacnu masu fluida, izmedju posmatranih preseka. Posmatraju se sve sile izmedju preseka 1 i 2 (slicno kao i kod tecenja u cevi, poglavlje)

Figure 8.4: Sile na konacnu masu fluida izmedju preseka 1 i 2, pri jednolikom tecenju

h1 = h2 jednoliko tecenje, pa su sile pritiska P1=P2

(8.6)

Q=V A preseci su isti pa su brzine iste V1=V2 I1=I2

(8.7)

Jedine dve preostale sile su sila trenja i sila tezine. Sila trenja Kx1 uravnotezuje komponentu sopstvene tezine u pravcu kanala X1:

O x = Gx1 = g A x sin

(8.8)

Za jako male nagibe dna kanala sin tan, pa se ugao sin moze zameniti sa sin = tan = ID=IE. Za tangencijalni napon se tada dobija:

= g R IE gde je R hidraulicki radijus R=

A

O

(8.9)

odnosno:

C =

g R IE

1

2

V2

IE = C

V2

2gr

(8.10)

Slican obrazac je i ranije dobijen kod cevi (poglavlje) Tecenje pod iskljucivim uticajem trenja.

U izrazu za C, poznat je nagib energije IE = ID a za konstantan protok Q nepoznata je brzina:

V=

2g

C

R IE

(8.11)

gde je {[2g/(C)]}=Cc - Sezijev "koeficijen" (Chezy) trenja, koji je dimenzionalan, sa dimenzijom [L[1/2] T]

Protok kanalom je:

Q=Cc A

R IE

(8.12)

Sezijev koeficijent ima jednu veliku manu, jer je povezan sa C, a C=f(Re, [k/R]). Kod kruznih cevi je detaljno analizirana veza C(Re, [k/D]). Za hrapav turbulentan rezim dobijeno je C = C ([k/D]). To nije bio problem kod cevi jer je proticajni presek uvek isti ali kod kanala jeste problem jer se proticajni presek menja za isti protok!! To bi znacilo da se i Cc menja pri istom protoku (pretpostavlja se da je i u kanalu hrapav turbulentan rezim - sto je uglavnom i ispunjeno).

Figure 8.5: Kod tecenja u cevi, poprecni presek fluidne struje je konstantan pa je konstantan i hidraulicki radijus, dok kod otvorenih tokova, hidraulicki radijus (kao i relativna hrapavost) zavisi od dubine

Ako se "pozajmi" obrazac iz otpora trenja u cevi za koeficijenat :

= 0.185 (

k

D

)1/3

(8.13)

pa se zameni u izraz za C:

4C = 0.185 (

k

4R

)1/3 C=0.0297(

k

R

)1/3

(8.14)

dobija se brzina:

V=5.8 (

R

k

)1/6

2gR IE

(8.15)

V=5.8

2g

k1/6

R2/3

IE

(8.16)

Uradjenim smenama, postignuto je da se iz koeficijenta 5.8 [({2g})/(k1/6)] skloni hidraulicki radijus R koji zavisi od dubine. Uvodi se novi koeficijenat:

1

n

=5.8

2g

k1/6

(8.17)

gde je n - Manning-ov "koeficijent" (opet dimenzionalan) [L1/3 T1]

Primer 8.2.0Ako se zeli dva puta povecati Manning-ov koeficijenat hrapavosti, za koliko se efektivno povecava apsolutna hrapavost k?

Iz izraza za hrapavost

n=

k1/6

5.8

2g

sledi da za dva puta veci Manning-ov koeficijent, apsolutna hrapavost se poveca 26 puta, odnosno 64 puta.

Brzina se dobija iz jednacine:

V=

1

n

R2/3

IE

(8.18)

i ova jednacina se naziva Sezi-Manning-ova jednacina.

Veza Sezijevog i Manning-ovog koeficijenta je:

Cc =

1

n

R1/6

(8.19)

Koja je prednost primene Manning-ovog koeficijenta:

n ne zavisi od hidraulickog radijusa R vec samo od k (ali k nije isto za razlicite dubine h)

vrednosti za n se daju opisno, iz tablice. Na primer:

1. dobro zagladjen beton 0.011 - 0.013

2. lose odrzavan zemljani kanal 0.035 - 0.050

3. neobradjeni beton 0.015 - 0.018

Osnovni nedostatak Manning-ovog koeficijenta je sto nije "pravi" koeficijent, jer ima dimenziju (m1/3s). Ogranicenje je i u uslovu da se moze primenjivati samo za razvijeno turbulentno tecenje. Prakticno ogranicenje je za opseg brzina od 0.3 do 3 m/s. Takodje, postoji i ogranicenje po nagibu: sme da se koristi samo za male nagibe jer je koriscen uslov sin tan.

Protok u kanalu se dobija iz:

Q = V A =

1

n

AR2/3

IE

(8.20)

Kako je tecenje u kanalu jednoliko, odnosno dubina h=const, umesto nagiba energije IE moze se staviti nagib dna IE=ID.

Za odredjeni kanal (ID, n, A=f(h), R=f(h)) protok Q tece jednom dubinom h koja se naziva normalna dubina i oznacava se indeksom N hN. Normalna dubina je dubina pri kojoj su uravnotezene sile tezine i sila trenja. U prirodi je ovo retko slucaj. Lokalni poremecaji cesto nametnu neku drugu dubinu pri istom protoku, dok fluidna struja tezi normalnoj dubini (stabilnom stanju).

Normalna dubina se dobija resavanjem Sezi-Manning-ove jednacine(8.20) uz zamenu IE=ID i stavljanje indeksa N uz sve velicine koje zavise od dubine:

Q =

1

n

ANRN2/3

ID

(8.21)

Primer 8.2.0Kroz pravougaoni kanal sirine B, hrapavosti n, nagiba dna ID, tece protok Q. Izracunati kolika je normalna dubina?

Figure 8.6: Kanal pravougaonog poprecnog preseka

Protok u kanalu je dat Sezi-Manning-ovom jednacinom:

Q =

1

n

AR2/3

IE

koja vazi za bilo koju dubinu. Ako je nagib linije energije jednak nagibu dna, tada se jednacina vazi samo za normalnu dubinu:

Q =

1

n

AN RN2/3

ID

Potrebno je napisati izraz za povrsinu kanala A i hidraulicki radijus R u funkciji dubine:

AN=B hN RN=

AN

ON

=

B hN

B+2hN

Protok Q, Manning-ov koeficijenat n i nagib dna kanala ID su konstante, pa ce se napisati sa leve strane izraza:

n Q

ID

=B hN

B hN

B+2hN

2/3

Const=

(B hN)5/3

(B+2hN)2/3

Izraz se resava numericki, ili graficki, ili probanjem ...

Primer 8.2.0Kroz pravougaoni horizontalni kanal tece protok Q. Kolika je normalna dubina?

U prethodnom primeru je dobijen izraz za pravougaoni kanal:

n Q

ID

=B hN

B hN

B+2hN

2/3

cijim resavanjem treba da se dobije normalna dubina hN.

Kod horizontalnog kanala, nagib dna je ID=0. Tada je leva strana izraza beskonacno velika. Sa desne strane izraza, u brojiocu je normalna dubina na stepen (5/3) a u imeniocu na 2/3. Odatle sledi da ce normalna dubina biti beskonacno velika. Drugim recima, kod kanala sa horizontalnim dnom, ne postoji jednoliko tecenje, jer se nikada nece uspostaviti ravnoteza izmedju sile trenja i komponente gravitacione sile u pravcu toka kanala, jednostavno zato sto je vrednost komponente sile tezine nula!

8.3Raspored brzina u preseku

U poprecnom preseku raspored brzina nije jednolik. Uz zidove kanala, brzina tezi nuli. Takodje, na povrzini fluida tangencijalni napon izmedju fluida i vazduha vazd se cesto zanemaruje u analizama, ali on postoji, pa brzina Umax nije na slobodnoj povrsini.

Figure 8.7: Raspored brzina u preseku kod otvorenog toka - zbog delovanja tangencijalnog napona izmedju fluida i vazduha, na povrsini nije maksimalna brzina

V=

Q

A

=

B

u(x2)d(x2)

A

(8.22)

Zbog toga se srednja brzina V definise preko protoka, koji je jednak povrsinskom integralu rasporeda brzina po preseku A. Ta srednja brzina se cesto nalazi na dubinama 0.2 i 0.8 od h.

8.4Specificna energija, kriticna dubina

Posmatra se jednostavan slucaj promene kote dna izmedju dva preseka, pri cemu se u presecima ostvaruje hidrostaticka raspodela pritisaka (lokalna promena - trenje nije dominantno!).

Figure 8.8: Kako odrediti dubinu u preseku 2 kada energetska jednacina nudi dva resenja

Ako je poznat protok i dubina u preseku 1, kolika ce biti dubina u preseku 2?

U analizi se moze pretpostaviti da je fluid idealan (nema gubitaka energije) - postavlja se energetska jednacina (Bernuli-jeva jednacina):

E1=E2

ZD1+h1+

V21

2g

=ZD2+h2+

V22

2g

(8.23)

gde je leva strana poznata a desnu treba odrediti. Da bi resili jednacinu, potrebna je i jednacina kontinuiteta:

Q1 = Q2

V1 A1 = V2 A2 V1 h1 B1 = V2 h2 B2

(8.24)

koja kad se zameni u gornju energetsku jednacinu, daje:

h1 +

Q2

2g B2 h12

= Z + h2 +

Q2

2g B2 h22

(8.25)

Dubina h2 je nepoznata velicina i moze se sracunati iz jednacine, koja je oblika:

h2+

const2

h22

=const1

(8.26)

Jednacina je treceg stepena i ima tri resenja: prvo resenje je negativno h2,1 < 0 i sigurno ne odgovara zadatku. Druga dva resenja su pozitivna 0 < h2,2 < h2,3 < h1

Kako su oba resenja moguca, pitanje je koje je tacno resenje? Da bi se ova dilema razresila, potrebno je uvesti jos uslova i objasniti ponasanje fluida u razlisitim rezimima tecenja!

8.4.1Specificna energija

Uvodi se pojam specificna energija - pojam je uveo Boris Bahmecev (Rus, 1912-te). Specificna energija je energija u odnosu na dno kanala:

e=h+

V2

2g

[m]

(8.27)

pa je ukupna energija u preseku:

E=+

V2

2g

= ZD + h +

V2

2g

= ZD +e

(8.28)

Cemu sluzi ovaj novi pojam? Objasnjenje se moze dobiti ako se analizira izgled funkcije e=e(h). Prvo ce se napisati izraz sa protokom Q umesto brzinom V:

e=h +

V2

2g

= h +

Q2

2g A2(h)

(8.29)

Figure 8.9: Dijagram specificne energije

Ako dubina h tezi u beskonacno, h e=h+0 a ako dubina h tezi nuli, h 0 e=h + . Odatle sledi da funkcija ima dve asimptote, pa postoji i minimum funkcije. Dubina pri kojoj funkcija ima minimum se odredjuje iz uslova:

de

dh

= 0

de

dh

= 1 +

Q2

2g

2

A3

dA

dh

(8.30)

gde je iskoriscena pretpostavka da je protok Q konstantan, a da je povrsina A slozena funkcija.

Figure 8.10: Uz obracun izvoda povrsine preseka po dubini

Koliki je izvod [dA/dh]=? Povrsina kanala A se menja i po dubini h, ali i po duzini kanala x1:

dA=

A

h

dh +

A

x1

dx1

(8.31)

U polaznim pretpostavkama je receno da se posmatra tecenje samo u prizmaticnim kanalima gde je [(A)/(x1)] = 0. Tada je moguce [(A)/(h)] zameniti sa [dA/dh]. Sa slike8.10 se vidi da je dA = B dh [dA/dh] = B, pa se izvod specificne energije po dubini moze napisati:

de

dh

= 1

Q2

g

1

A3

B

(8.32)

Uslov da je prvi izvod jednak nuli daje sledece:

de

dh

=1

Q2 B

g A3

= 0

Q2 B

g A3

= 1

(8.33)

Slican izraz je vec koriscen u varijanti sa brzinama, u poglavlju Opisivanje strujanja bezdimenzionalnim velicinama. Ako se umesto protoka Q stavi V A:

Q2 B

g A3

=

V2 A2 B

g A3

=

V2

g

A

B

=

V2

g H

=1

(8.34)

gde je odnos AB zamenjen nekom reprezentativnom duzinom H, dobija se potpuno isti izraz koji je izveden u poglavlju, za bezdimenzionalnu gravitaciju. Ta velicina je tada nazvana Froude-ov broj:

Fr =

V2

g H

(8.35)

pa nema nikakvog razloga da se i ovde ne napise da je:

Fr=

Q2 B

g A3

(8.36)

odnosno, da je uslov za minimum specificne energije da je Froude-ov broj jednak jedinici:

Fr=1

(8.37)

8.4.2Kriticna dubina

Dubina pri kojoj fluid ima minimalnu specificnu energiju se zove kriticna dubina. Kao oznaka, koristi se hKR. Na slici8.11 je prikazana zavisnost Froude-ovog broja od dubine, za pravougaoni kanal. Sa dijagrama se moze grafickim putem odrediti kriticna dubina.

Figure 8.11: Zavisnost Froude-ovog broja od dubine

Primer 8.4.0Kolika je kriticna dubina za pravougaoni kanal, sirine B=12cm, kroz koji protice Q=3L/s?

Za pravougaoni kanal, proticajna povrsina je: A=B h. Uslov za kriticnu dubinu je:

Q2 B

g A3

= 1

Q2 B

g B3 hKR3

=1 hKR=

3

Q2

g B2

Zamenom vrednosti, dobija se kriticna dubina:

hKR=

3

0.0032

9.81 0.122

=0.0399m

Vrednost minimuma specificne energije e je:

e=h+

V2

2g

=h +

Q2

2gB2 h2

= 0.0399 +

0.0032

2 9.81 0.122 0.03992

=0.0599m

Komentar primera: U ovom primeru, kriticna dubina je mogla analiticki da se odredi. U opstem slucaju, kod slozene geometrije korita, to nije moguce, pa se resenje dobija bilo graficki, kao na slici8.11 ili numericki.

Interesantno je uporediti vrednost kriticne dubine i vrednost minimuma specificne energije. Za pravougaoni kanal, moze se napisati sledece:

Q2 B

g A3

=

V2 B

gA

=

V2 B

g B hKR

=

V2

g hKR

= 1

(8.38)

odakle sledi da je kriticna dubina hKR=[(V2)/g] odnosno da je [(V2)/2g]=[1/2] hKR. Ako se to zameni u izraz za specificnu energiju, dobija se da je njen minimum:

emin = hKR +

VKR2

2g

= hKR +

1

2

hKR =

3

2

hKR

(8.39)

sto je i dobijeno u prethodnom primeru: kriticna dubina je bila hKR=0.0399m a specificna energija e=0.0599 = [3/2]0.0399.

Figure 8.12: Geometrija trougaonog kanala

Za kanal trougaonog poprecnog preseka (slika8.12), kriticna dubina se kao i za pravougaoni kanal moze odrediti analiticki:

Q2 B

gA3

=

Q2 2h

g h6

= 1 hKR =

5

2Q2

g

(8.40)

V2

g

A

B

=

V2

g

h2

2h

=

2V2

gh

= 1 hKR =

2V2

g

(8.41)

odakle se dobija [1/4] hKR = [(V2)/2g] pa je specificna enerfija u trougaonom kanalu:

emin = hKR +

VKR2

2g

= hKR +

1

4

hKR =

5

4

hKR

(8.42)

8.4.3Kritican nagib dna kanala

Kriticna dubina zavisi od protoka i geometrije poprecnog preseka kanala, dok normalna dubina zavisi od protoka i geometrije, ali i od hrapavosti i nagiba dna. Za konstantan protok u kanalu u kome se moze menjati nagib dna (na primer, na laboratorijskom kanalu) kriticna dubina ce biti konstantna a normalna dubina ce biti manja za vece nagibe a veca za manje nagibe dna. Nagob dna kada se postigne da su normalna i kriticna dubina iste, zove se kritican nagib.

Iz Sezi-Manning-ove jednacine(8.21) napisane za normalnu dubinu se lako moze odrediti koliki je kritican nagib dna:

Q =

1

n

ANRN2/3

ID

ID,KR =

n Q

AKR RKR2/3

2

(8.43)

gde su AKR i RKR proticajna povrsina i hidraulicki radijus za kriticnu dubinu hKR.

Primer 8.4.0U prethodnom primeru je odredjena kriticna dubina za pravougaoni kanal, pri protoku od Q=3L/s. Koliki je kritican nagib dna, ako je Manning-ov koeficijenat trenja n=0.014m1/3s? Da li taj kritcni nagib zavisi od Manning-ovog koeficijenta trenja?

Kriticna dubina se dobija iz uslova da je Fr=1 (izracunata u prethodnom primeru):

hKR=0.0399m

Za tu dubinu, proticajna povrsina je:

AKR=hKR B=0.0399 0.12 = 0.004788m2

a hidraulicki radijus:

RKR=

AKR

OKR

=

hKR B

2 hKR+B

=frac0.0399 0.122 0.0399 + 0.12=0.02396m

pa je kriticni nagib (prema jednacini(8.43)):

ID,KR =

n Q

AKR RKR2/3

2

=

0.014 0.003

0.004788 0.023962/3

2

=0.0111m/m=1.11%

Povecanjem koeficijenta trenja (na primer, za losije odrzavan kanal, sa travom koja se probija kroz betonsku oblogu), kriticni nagib se takodje povecava, sa kvadratom odnosa hrapavosti.

8.4.4Miran i buran rezim tecenja

Figure 8.13: Kriticna dubina deli dijagram specificne energije na dve oblasti: a) za dubine manje od kriticne, Froude-ov broj je veci od 1, dominantna je brzinska visina i takav tok se zove buran tok; b) za dubine vece od kriticne, Froude-ov broj je manji od 1, dominantna je dubina i takav tok se zove miran tok

Dijagrami specificne energije, dati na slikama8.9 i8.13, pokazuju da je kriticna dubina (uslov Fr=1) ona dubina koja razdvaja tok na dve karakteristicne oblasti. Zasto je to tako, moze se videti i ako se Froude-ov broj dat izrazom(8.35) napise u obliku sila. Ako se izraz prosiri sa A dobija se:

Fr =

V2

g H

=

V2 A

g AH

=

Q V

g V

=

I

G

(8.44)

izraz koji pokazuje da je Froude-ov broj odnos inercijalnih sila i gravitacionih sila. Veci Froude-ov broj znaci da su u toku dominantni inercijalni, brzinski uticaji, a manji broj znaci da u toku preovladjuju mirni gravitacioni uticaji.

Takodje, Froud-ov broj se moze shvatiti i kao pokazatelj kinematicnosti toka, kao odnos izmedju kineticke ([(V2)/2g]) i potencijalne (h) energije: veci je sto je dubina manja a brzina veca.

Dve karakteristicne oblasti na slici8.13 su:

(a)

oblast levo od kriticne dubine, u kojoj je veci deo energije u brzinskoj visini,

kada dubina h opada (potencijalni deo energije) naglo raste brzinska visina [(V2)/2g] (kineticki deo energije),

Froude-ov broj je Fr > 1 jer su velike brzine (brojilac u razlomku(8.36)) a male dubine (imenilac razlomka), odnosno, inercijalne sile su jace od gravitacionih (jednacina(8.44)),

posto su brzine (inercijalne sile) dominantne, ovakav rezim tecenja se zove buran rezim ili silovit rezim2,

kad dubina h raste opada specificna energija e, tok se protivi povecanju dubine jer mu to smanjuje energiju;

(b)

i oblast desno od kriticne dubine, u kojoj je veci deo energije u potencijalnoj energiji (dubini).

kada dubina h raste (potencijalni deo energije) opada brzinska visina [(V2)/2g] (kineticki deo energije),

Froude-ov broj je Fr < 1 jer su slabiji inercijalni uticaji u odnosu na gravitacione,

zbog malih brzina a velikih dubina, ovakav rezim tecenja se zove miran rezim3,

tok se ne protivi povecanju dubine jer mu to povecava energiju.

Interesantna je i kriticna brzina fluida - brzina pri hKR. Ta brzina odgovara brzini prostiranja poremecaja, analogno sa stisljivim fluidima i kriticnoj brzini zvuka koja razdvaja dve oblasti razlicitog ponasanja fluida (odnosno, Froude-ov broj kod otvorenih tokova je analogan Mach-ovom broju kod stisljivih fluida).

Kod pravougaonog kanala, kriticna brzina je:

V2

gh

= 1 V = c =

gh

(8.45)

a kod ostalih kanala je c={g [A/B]}. Upravo zbog shvatanja kriticne brzine kao granicne brzine, Froud-ov broj se cesto pise i kao odnos trenutne i granicne brzine Fr=[(V2)/(c2)]4.

Primer 8.4.0Posmatra se tok u dva kanala, gde su isti protoci ali su nagibi dna razliciti. U prvom kanalu je nagib dna manji od kriticnog (jednacina(8.43)), pa je normalna dubina veca od kriticne, a drugom kanalu je nagib dna veci od kriticnog pa je normalna dubina manja od kriticne. Ako se u kanal unese poremecaj (baci kamen), kako ce se prostirati talasi duz kanala?

Figure 8.14: U mirnom rezimu (leva slika) brzina V je manja od brzine prostiranja talasa, pa poremecaj putuje uzvodno; u burnom rezimu (desna slika) velika brzina "nosi" poremecaj samo nizvodno

U prvom slucaju je miran rezim tecenja, dubina je veca od kriticne, pa je brzina toka V manja od kriticne brzine, odnosno, od brzine c kojom putuju poremecaji kroz tok. Zbog toga se poremecaji prostiru i uzvodno.

U drugom slucaju, gde je buran rezim, brzina toka je veca od brzine prostiranja poremecaja, tako da poremecaj ne moze da utice na uzvodne preseke, vec putuje samo nizvodno.

Kao zakljucak iz datog primera, moze se izvuci opste pravilo o prostiranjima uticaja u mirnom i burnom rezimu tecenja:

Mirno tecenje je podlozno nizvodnoj kontroli jer poremecaj moze da putuje uzvodno - kazemo da u mirnom rezimu nizvodni granicni uslovi odlucuju o uzvodnim dubinama.

Kod burnog tecenja poremecaj se prostire nizvodno pa fluid ne zna sta se desava nizvodno. Uzvodni granicni uslov je kontrolni, odlucuje o nizvodnim dubinama.

Figure 8.15: Ako se stavi ustava u tok sa normalnom dubinom (jednoliko tecenje), ukoliko je bilo mirno tecenje, ustava ce izazivati promene dubina uzvodno (leva slika) a u burnom tecenju, nizvodno (desna slika)

Na slici8.15 je ilustrovan primer kako tok razlicito reaguje na prepreku, u zavisnosti od rezima tecenja. U oba primera se u tok, koji je bio jednolik (sa normalnom dubinom), stavlja ostroivicna prepreka. U prvom slucaju, u mirnom rezimu, napravice se uspor uzvodno od prepreke koji ce se prostirati daleko uzvodno od ustave, dok ce nizvodno tok prakticno odmah da se vrati na normalnu dubinu5, jer tu dubinu "kontrolise" neki daleki nizvodni presek.

U drugom slucaju (desni deo slike8.15) tok je u burnom rezimu, pa se poremecaj ustave oseca samo nizvodno. Uzvodno, tok ce lokalno da "udara" u prepreku, da se podigne pretvarajuci veliku kineticku energiju u potencijalnu, ali se to nece osecati u uzvodnim deonicama kanala.

Primer 8.4.0Posmatra se tecenje idealnog fluida, ulaz iz jezera (H=const.) u kanal. Koliki je protok u kanalu? Kolika je dubina na pocetku kanala, ukoliko nije pod usporom sa nizvodne strane?

Figure 8.16: Prelaz iz jezera u kanal sa nagibom dna vecim od kriticnog

Za presek na samom pocetku kanala, moze se napisati energetska jednacina:

E=Z + h +

Q2

2gb2 h2

= Z+e = const. /

d

dt

dZ

dx

+

de

dx

= 0

dZ

dx

+

de

dh

dh

dx

=0

dZ

dx

+ (1 + Fr)

dh

dx

=0

Na samom prevoju je:

dZ

dx

=0 1Fr=0 h=hKR

Uzvodno od prevoja su dubine:

dZ

dx

> 0 (1Fr) > 0 h > hKR

dh

dx

< 0 h1 > h2

Nizvodno od prevoja:

dZ

dx

< 0, ostaje

dh

dx

< 0 (1Fr) < 0 h < hKR

Presek na prevoju se zove kontrolni presek i tu se javlja kriticna dubina.

Primer 8.4.0Za pravougaoni kanal sirine 12cm, nacrtati dijagram zavisnosti protoka od dubine, za konstantnu specificnu energiju eo=5.99cm.

Funkcija Q(h) se dobija iz jednacine za specificnu energiju, stavljajuci da je ona konstantna e=eo (za pravougaoni presek):

eo = h +

Q2

2gB2h2

Q2 = 2gB2h2 (eoh)

Figure 8.17: Za konstantnu specificnu energiju eo protok je maksimalan pri kriticnoj dubini hKR

Da bi se analizirala funkcija, posmatra se ponasanje funkcije za:

h=eo Q=0

h=0 Q=0

posto postoji maksimum funkcije, trazi se prvi izvod protoka po dubini:

2Q

dQ

dh

= 4gB2heo 6gB2h2

dQ

dh

= 0 4heo 6h2 = 0 h=

2

3

eo

odakle se dobija da je ekstremna vrednost protoka pri dubini h=[2/3]e, a to je upravo pri kriticnoj dubini h=hKR.

Za date podatke u zadatku, moguce je konstruisati dijagram, prikazan na slici8.17. Sa dijagrama se vidi da je maksimalan protok Qmax=3L/s, sto je i bilo dato u prethodnim primerima.

Na pocetku ovog poglavlja8.4 je postavljeno pitanje kako ce izgledati nivo vode u preseku 2 kod blagog podizanja dna (slika8.8).

Figure 8.18: Resenje problema postavljenog na slici8.8: u preseku 2 rezim tecenja ne moze da se promeni, tako da se usvaja ono resenje u kome je h2 > hKR

E1 = E2

(8.46)

e1 = Z +e2 e2 = e1 z

(8.47)

Dilemu da li je resenje dubina h2,2 koja je u burnom rezimu ili h2,3, u mirnom rezimu, resava dijagram specificne energije: uzima se ono resenje koja ima isti rezim tecenja kao polazna dubina h1.

Figure 8.19: Ako je dubina u preseku 1 bila u burnom rezimu, tada ce i dubina u preseku 2 ostati u burnom rezimu

Za isto podizanje kote dna z, ako je u preseku 1 bilo burno tecenje (slika8.19), dubina u preseku 2 ce biti h2,2 > h1 (jer je Fr2,2 > 1).

Sta ce se dogoditi u slucaju velikog podizanja dna, ako je podizanje dna z toliko da se u jednacini(8.47) dobije specificna energija u preseku 2 manja od minimalne, e2 < emin? Takvo podizanje dna vise nije blago, vec se sada uspostavlja novi kontrolni presek u toku (slika8.20 - nivoi u preseku 1 sa varijantom blagog podizanja dna su prikazani tackastom linijom). Sada se u preseku 2 formira kriticna dubina, odnosno e2=emin, a ukupna energija u preseku 2 ce biti veca nego u slucaju malog podizanja kote dna.

Figure 8.20: Ako se kota dna mnogo podigne, u preseku 2 se formira kriticna dubina: to ne pravi probleme u mirnom toku (levi deo slike), ali u burnom je pitanje kako ce izgledati linija nivoa vode (desni deo slike)

U uzvodnom preseku dolazi do promene u dubini, jer se ne ostvaruje pretpostavljena dubina h1, vec se nova dubina mora izracunati iz energetske jednacine. Kao resenje se uzima dubina h1,Novo u oblasti mirnog tecenja (opet ce biti na raspolaganju tri resenja, jer se dobija kubna jednacina), bez obzira da li je dolazni tok bio u mirnom ili burnom toku.

Sta se dogadja uzvodno od preseka 1? Ako je kanal bio sa malim nagibom dna, u mirnom rezimu, povecanje dubine h1,Novo ce se propagirati uzvodno, u skladu sa pravilom da se u mirnom toku uticaji prostiru uzvodno (levi deo slike8.20). Ako je u dovodnom kanalu bio buran tok, doci ce do "sukoba uticaja": uzvodni tok bi trebalo da "gospodari" kanalom jer se uticaji u burnom toku prostiru niz fluidnu struju, dok je resenje sa h1,Novo nametnulo sada miran tok sa uzvodnim prostiranjem uticaja (desni deo slike8.20). Kako ce izgledati linija nivoa za sada nije moguce odrediti. Ta dilema ce se razresiti u narednom poglavlju.

8.5Hidraulicki skok

U analizi dijagrama specificne energije e(h) receno je da je miran rezim tecenja (Fr1) uticaji se prostiru niz fluidnu struju. Sta se dogadja kada dodje do "sukoba uticaja", kao sto je to prikazano u primeru na slici8.20 desno? Kako izgleda linija nivoa u tom slucaju?

Posmatra se horizontalni prizmaticni kanal, u kome se na neki nacin (ustavom, ...) formira buran tok (h1 < hKR), a sa nizvodne strane se diktira miran tok (h2 > hKR). Takav tok se ostvaruje u veoma dugackom kanalu sa malim nagibom dna, kada se u nekom presku spusti ustava tako da njen otvor bude manji od kriticne dubine (slika8.21).

Figure 8.21: Ako je otvor ustave ispod kriticne dubine, ona namece nizvodno buran tok u kanalu gde bi inace bio miran tok, odredjen nekim nizvodnim uslovom: prelaz iz nametnutog burnog toka u miran je iskljucivo kroz hidraulicki skok, gde se gubi veliki deo energije

...objasni kako dolazi do podizanja nivoa ispred ustave... E jednacina...u preseku se skupila velika energija, mnogo veca nego sto treba nizvodno...

Slika8.21 je prikazana u pravoj razmeri za duzine. Duzina skoka LSK je oko 4-5 h2 (Hajdinova nova knjiga...). Uobicajeno je da se crta u distordovanoj razmeri (na primer slika8.22).

Burni tok diktira uslove tecenja niz struju dok nizvodni mirni tok tezi da kontrolise uzvodne dubine. Dolazi do hidraulickog skoka - diskontinuitet u prelazu iz burnog u miran rezim.

Hidraulicki skok:

se uvek formira na prelazu iz burnog u miran rezim,

sluzi da oduzme visak energije fluidu kroz vrtloge (ne zna se unapred gubitak energije E pa se ne moze resavati preko energetske jednacine),

skok kod idealnog fluida nema smisla,

racunamo ga kao lokalni fenomen,

dogadja se namaloj duzini pa je trenje zanemarljivo,

koristi se dinamicka jednacina, uz pretpostavku o horizontalnom dnu (sila tezine ne ucestvuje) i o prizmaticnom kanalu (sila konture ne ucestvuje), a sila trenja se zanemaruje jer je mala na tako kratkoj deonici.

Figure 8.22: Sile koje deluju na konacnu masu fluida, za preseke ispred hidraulickog skoka (h1 < hKR) i iza skoka (h2 > hKR)

Iz uslova da skok "stoji" na jednom mestu, dobija se ravnoteza horizontalnih sila:

P1 + I1 = P2 + I2 pri cemu su sile tezine Gx=0 i trenja T 0

(8.48)

Figure 8.23: Uz proracun hidrostaticke sile pritiska za presek 1

Koristi se pretpostavka da u presecima 1 i 2 vazi hidrostatska raspodela pritisaka, tako da je sila pritiska:

P1 = pT1 A1 = g (ZT1) = g hT1

(8.49)

Komentar za proracun hidrostaticke sile pritiska: ovo je vec detaljno radjeno u poglavlju bf Hidrostatika. Na zalost, ovde se cesto gresi jer se clan ( zT) menja sa hT, pa to neki studenti obracunavaju kao visina od dna do tezista! Visina hT se meri od povrsine vode do tezista.

Ako se proizvod visine tesista i povrsine preseka oznaci kao staticki momemnat, dobija se:

P1 = g hT1 A1 = g S1

(8.50)

Inercijalna sila u preseku 1 je:

I1 = Q V1 =

Q2

A1

(8.51)

Ako se napravi suma svih sila u horizontalnom pravcu, dobija se:

g S1 +

Q2

A1

= g S2 +

Q2

A2

/ g

(8.52)

S1 +

Q2

g A1

= S2 +

Q2

g A2

(8.53)

gde je S + [(Q2)/g A] = - funkcija hidraulickog skoka (ili specificna sila - jer je doslo do sume sila), funkcija dubine jer je S(h) i A(h). Jednacina hidraulickog skoka glasi:

(h1) = (h2)

(8.54)

je dvoznacna funkcija: dve dubine zadovoljavaju jednacinu. Te dubine se zovu spregnute (ili konjugovane) dubine. Dubini h1 odgovara samo jedna dubina h2. Kaze se da se dubine h1 i h2 sprezu u skok.

Kako izgleda funkcija (h)? Za h - nema asimptote, za h 0 - asimptota je h=0. Minimum funkcije se dobija iz:

d

dh

= 0 minza h=hKR

Primer 8.5.0Nacrtati funkciju skoka za pravougaoni kanal, sirine 12cm kojim tece voda gustine = 1kg/dm3 protokom Q=3L/s.

Figure 8.24: Funkcija hidraulickog skoka, data u formi zbira inercijalne sile i sile pritiska (sa leve strane dijagrama) i u formi specificne sile (desna strana): sa dijagrama se lako odredjuju spregnute dubine h1 i h2

Sila pritiska za date uslove, u funkciji dubine h je:

P = g hT A = g

h

2

B h = 98100.12

h2

2

= 588.6 h2

Inercijalna sila za dati protok, u funkciji dubine h je:

I = Q V =

Q2

A

=

Q2

Bh

=1000

0.0032

0.12 h

=

0.075

h

Crta se dijagram P+I u funkciji od h:

P+I=588.6 h2 +

0.075

h

Na dijagramu su upisane i vrednosti funkcije skoka , kao i minimum funkcije (hKR).

Dubina hKR je minimum funkcije skoka. To znaci da se kriticna dubina ne moze spregnuti ni sa jednom dubinom u skok. Takodje, dubine h1 i h2 moraju biti u burnom (h1) i mirnom rezimu (h2).

Kada se odrede spregnute dubine h1 i h2, koristeci energetsku jednacinu za preseke 1 i 2, moze se odrediti gubitak energije E:

h1 +

V12

2g

= h2 +

V22

2g

+ E12

(8.55)

Gubitak energije mora biti pozitivan. Ako se pokusa primeniti jednacina skoka u "pogresnom" smeru, od h1 koja je u mirnom rezimu ka h2 u burnom rezimu, dinamicka jednacina(8.54) ce dati resenje, koje je brojcano uredu. Srecom, energetska jednacina(8.55) ce pokazati da je to nemoguce, jer ce se dobiti negativan gubitak energije, odnosno, dobitak energije u skoku!

Primer 8.5.0U kanalu trapeznog preseka za poznato Q i h1 < hkr, odrediti spregnutu dubinu.

Figure 8.25: Odredjivanje tezista za trapezni presek

Ovde u ovom primeru daj konkretne brojke, racunati konkretan trapez, dati polozaj tezista, pokazati kako se resava pomocu dijagrama...

= S +

Q2

gA

= hT A +

Q2

gA

(8.56)

slozena funkcija od h koja ne moze analiticki da se resi. Za razlicite vrednosti h se prvo crta (h), zatim se za h1 odredi (h1) pa se sa dijagrama procita h2.

U prethodnom primeru je pokazano da se funkcija skoka obicno resava graficki ili numericki. Kod pravougaonog kanala je moguce izvesti analiticki obrazac za spregnute dubine.

Figure 8.26: Hidraulicki skok u pravougaonom horizontalnom kanalu

U pravougaonom horizontalnom kanalu sirine B, za poznati protok Q i dubinu u burnom rezimu h1, treba odrediti spregnutu dubinu h2. Sila pritiska u preseku je:

P1 = g hT1A1 = g

h1

2

B h1

a inercijalna sila:

I1 = Q V1 =

Q2

h1 B

Iz uslova sume horizontalnih sila, dobija se:

P1 +I1 = P2 + I2

Q2

B

1

h1

1

h2

= g

B

2

( h22 h12 )

Ako se izraz podeli sa gustinom, dobija se:

Q2

B

h2 h1

h1 h2

=

gB

2

(h2 h1) (h2 + h1)

a deljenjem sa sirinom kanala:

Q2

B2

1

h1 h2

=

g

2

(h2 + h1)

(8.57)

U daljem sredjivanju izraza, pomnozice se sa [2/g] h1 h2:

2 Q2

gB2

= h1 h22 + h12 h2

(8.58)

Ako se zeli izracunati spregnuta dubina h2, potrebno je prethodni izraz podeliti sa [1/(h13)], pa se dobija:

2 Q2

gB2 h13

=

h2

h1

2

+

h2

h1

(8.59)

U preseku 1, uz koriscenje uslova da je poprecni presek pravougaoni, Froude-ov broj je:

Fr1=

Q2 B

g A3

=

Q2 B

g B3 h13

=

Q2

g B2 h13

pa se prethodna jednacina(8.59) moze napisati u obliku kvadratne jednacine:

2Fr1=

h2

h1

2

+

h2

h1

h2

h1

2

+

h2

h1

2Fr1=0

(8.60)

Resenje kvadratne jednacine je:

h2

h1

=

1

2

1+8 Fr1

1

odakle se dobija spregnuta dubina h2:

h2 =

h1

2

1+8 Fr1

1

(8.61)

Na slican nacin je moguce dobiti iz izraza(8.58) dubinu h1 ako je poznata dubina h2, samo je potrebno izraz podeliti sa [1/(h23)]. Sredjivanjem, dobice se:

h1 =

h2

2

1+8 Fr2

1

(8.62)

Do potpuno istih izraza bi se doslo da je jednacina(8.57) podeljena sa [(h2)/(h1)] i u nju uvrscena brzina V1 (ili podeljena sa [(h1)/(h2)] i uvrscena brzina V2):

Vi =

Q

Ai

=

Q

B hi

V12 =

g h2 (h1 + h2)

2h1

(8.63)

V22 =

g h1 (h1 + h2)

2h2

(8.64)

Sredjivanjem izraza, uz uslov da je (samo za pravougaoni kanal) Froude-ov broj Fr1=[(V12)/(g h1)], dobija se kvadratna jednacina kao i(8.60), cije je resenje izraz(8.61)

Cesto se u izrazu za spregnutu dubinu u pravougaonom kanalu, umesto Froudeovog broja u preseku 1 (ili preseku 2), koristi sledeci odnos:

Fr1 =

Q2B

g A13

=

hKR

h1

3

(8.65)

Fr2 =

Q2B

g A23

=

hKR

h2

3

(8.66)

Ako se zna da je Froude-ov broj za kriticnu dubinu hKR jednak jedinici, moze se napisati:

Q2B

gA3

=

Q2B

gB3hKR3

=

Q2

g B2 hKR3

= 1

(8.67)

hKR3 =

Q2

gB2

(8.68)

Za dubinu u preseku 1, h1, sada se Froude-ov broj moze napisati kao:

Fr1 =

Q2B

gB2 h13

Fr1 =

hKR3

h13

=

hKR

h1

3

(8.69)

8.6Kratka rekapitulacija najvaznijih pojmova

8.7Nejednoliko tecenje (blagopromenljivo)

Do sada je posmatrano samo jednoliko tecenje, sa sledecim uslovima:

trapezni kanal,

ista dubina - normalna,

isti protok,

sila trenja je u ravnotezi sa komponentom tezine u pravcu toka T=Gx.

U vecini slucajeva, u prirodi se javlja nejednoliko blagopromenljivo tecenje. To je tecenje kod koga se duz toka fluida postepeno menjaju neke od velicina: dubina, povrsina, hrapavost, nagib dna ili hidraulicki radijus. Jedino je protok duz toka konstantan.

8.7.1Diferencijalna jednacina linije nivoa

Osnovna pretpostavka kod nejednolikog tecenja je da nagib linije energije odgovara Sezi-Manningovoj jednacini za istu dubinu i protok bez obzira na trend promene dubine6:

Q=

1

n

A1 R12/3

IE1

(8.70)

Figure 8.27: Pri nejednolikom tecenju u kanalu, u jednom preseku nagibi dna, pijezometarske linije i energetske linije nisu isti

Nagib dna kanala ID se moze jednostavno izmeriti na svakoj deonici kanala. Problem kod jednacine(8.79) je sto je potreban nagib energije IE koji je prakticno nemoguce izmeriti.

Da bi se analizirala linija nivoa vode, potrebno je definisati funkcionalnu zavisnost h=h(x) odnosno dubine vode od duzine. Pri tome vazi da je protok Q=const..

Bez obzira na nejednoliko tecenje, u bilo kom preseku gde su strujnice paralelne i upravne na presek vazi energetska jednacina:

E = zD + h +

V2

2g

= zD + e

(8.71)

Trazi se promene ukupne energije duz kanala pa se diferencira E po x:

dE

dx

=

dzD

dx

+

de

dx

(8.72)

gde je [dE/dx] = IE, [(dzD)/dx] = ID, a promena specficne energije duz kanala:

de

dx

=

de

dh

dh

dx

(8.73)

U poglavlju8.4.1 Specificna energija, dobijen je izraz [de/dh] = 1Fr (jednacina(8.33) i(8.36)). Sredjivanjem jednacine(8.82) dobija se izraz koji opisuje promenu dubina duz kanala pri nejednolikom ustaljenom tecenju:

dh

dx

=

IDIE

1Fr

(8.74)

Dobijena je obicna diferencijalna jednacina prvog reda koja vazi pod sledecim uslovima:

nagib dna u deonici je konstantan ili blagopromenljiv,

svaka velicina mora biti diferencijabilna, kontinualna (blagopromenljiva),

u svakom preseku je hidrostaticka raspodela pritisaka,

vazi Sezi-Manning-ova jednacina u jednom preseku, bez obzira na trend promene dubine.

Dobijena diferencijalna jednacina linije nivoa je:

nelinearna,

nema analitickog resenja,

mora se ispitati, videti svojstva, pa se upoznati sa mogucim resenjem,

resava se pribliznim numerickim metodama, metodom konacnih prirastaja.

8.7.2Resavanje diferencijalne jednacine linije nivoa

Diferencijalna jednacina linije nivoa nema analiticko resenje, tako da se mora resavati numericki, priblizno. Uobicajeno je da se koristi metoda konacnih prirastaja, gde se diferencijalni prirastaj menja konacnom razlikom:

dh

dx

h2 h1

x2 x1

=

h

x

= f(h) kada

lim

x 0

(8.75)

Sa f(h) je oznacen desni deo diferencijalne jednacine(8.83) f(h)=[(IDIE)/(1Fr)], jer su nagib energije IE=IE(h) i Froude-ov broj Fr=Fr(h) funkcije samo dubine h a ne i duzine kanala x.

Figure 8.28: Prirastaj dubine niz tok se aproksimuje promenom dubine u dva susedna preseka

Iz izraza [dh/dx] = f(h) potrebno je u metodi konacnih prirastaja proceniti vrednost funkcije f(h). Pitanje je za koju dubinu h to uraditi? Jedna mogucnost je da se izracunaju vrednosti funkcije za dubine h1 i h2, f(h1) i f(h2), pa uzeti njihovu srednju vrednost:

f(h)

1

2

(f(h1) + f(h2))

(8.76)

Diferencijalna jednacina linije nivoa obliku konacnih prirastaja je tada:

h2 h1

x2 x1

=

1

2

(f(h1) + f(h2))

(8.77)

Pitaj Marka Ivetica da li je ovo Krank-Nikolsonova metoda aproksimacija centralnih razlika II-gog reda? Ili Ojlerova metoda drugog reda?

Figure 8.29: Diferencijalna jednacina linije nivoa se priblizno resava u obliku konacnih prirastaja, u izabranim presecima, pri cemu je dubina u preseku "0" pocetna dubina

Kako se koristi dobijena jednacina? Na slici8.29 je dat pocetak toka u kanalu velikog nagiba dna ID, gde je pocetna dubina h1 na mestu x1=0 poznata7. Za poznati protok Q moze se izracunati Froude-ov broj za presek 1:

Fr(h1) =

Q2 B(h1)

g A3(h1)

i nagib linije energije za isti presek:

IE(h1)=

nQ

A(h1) R2/3

(h1)

2

Nepoznata dubina h2 na mestu x2 (koje korisnik sam bira) se racuna iz jednacine(8.86):

h2 =

f(h1) f(h2)

2

(x2 x1) + h1

(8.78)

U ovom izrazu postoji samo jedan "mali" problem: dubina h2 je nepoznata, ona tek treba da se izracuna, a sa desne strane izraza treba izracunati vrednost funkcije f(h) za dubinu h2.

Resenje je u iterativnom postupku. Prvo se pretpostavi nizvodna dubina8 h2[0] (indeks [0] oznacava nultu iteraciju), pa se izracuna vrednost funkcije f(h2[0]). Resavanjem jednacine(8.87) dobija se nova vrednost za dubinu h2[1]. Pomocu te vrednosti se ponovo izracuna funkcija f(h2[1]), pa nova iteracija dubine h2[2]. Ceo postupak ponavlja sve dok razlika izmedju dve sukcesivne iteracije resenja dubine h2 bude manja od neke zadate greske.

Iterativan proracun je veoma zahtevan, ali je pogodan za programiranje. Povoljno u proracunu je sto korisnik sam odredjuje mesta gde zeli resenje dubine.

Za "rucni rad" pogodnije je da se resava inverzan oblik jednacine(8.86), gde se ne zadaje x1 i x2 a racuna h2, vec se zadaje h1 i h2 a racuna mesto x2 gde se ostvaruje h2:

x2 x1 =

h2 h1

1

2

(f(h1) + f(h2))

(8.79)

pa je nepoznato mesto gde se ostvaruje zadata dubina h2:

x2 =

h2 h1

1

2

(f(h1) + f(h2))

+ x1

(8.80)

U napisanoj varijanti resavanja diferencijalne jednacine, sada su poznate dubine h1 i h2, pa samim tim i vrednosti funkcija f(h1) i f(h2), tako da se direktno dobija mesto x2 gde se ostvaruje zadata dubina h2.

Naravno, postoji i odredjeni nedostatak ovakvog pristupa: mora se tacno znati oblik linije nivoa koji se racuna. Trazeno h2 mora biti takvo da ima fizickog smisla u datim granicnim uslovima. Ovaj oblik resavanja je zato pogodan za rucno racunanje, gde se prvo obavi analiza moguceg oblika linije nivoa i gde se u napred zna kako izgleda resenje.

8.8Moguci oblici linije nivoa kod nejednolikog tecenja

Diferencijalna jednacina koja opisuje liniju nivoa kod blagopromenljivog tecenja je:

dh

dx

=

IDIE

1Fr

(8.81)

gde su Froude-ov broj u nekom preseku sa dubinom h:

Fr(h) =

Q2 B

g A3

(8.82)

i nagib linije energije u tom preseku

IE(h)=

nQ

A R2/3

2

(8.83)

Analizom ove jednacine(8.90), pri konstantnom protoku Q=const., dobija se moguci spektar resenja u zavisnosti od rezima tecenja (h je razlicito od hKR) i odnosa prema normalnoj dubini (h je razlicito od hN).

8.8.1Nagib linije energije jednak nagibu dna

Kada su nagibi linije energije i nagib dna isti IE = ID, to je slucaj jednolikog tecenja sa normalnom dubinom h=hN = const.. Diferencijalna jednacina8.90 je:

dh

dx

=0

bez obzira na rezim tecenja.

Za razlicite odnose nagiba linije energije(8.92) i nagiba dna ID, dubine u kanalu su:

IE ID h hN

IE < ID h > hN

IE > ID h < hN

8.8.2Dubina jednaka kriticnoj a razlicita od normalne

U poglavlju8.4.3 Kritican nagib dna kanala je definisan kriticni nagib dna, nagib dna kada je hN=hKR, ID=IKR (jednacina(8.43)).

Za h=hKR i ID \not = IKR (slucaj kada je ID=IKR je slucaj iz prethodnog poglavlja8.8.1 gde je ID=IE), Fr=1 pa je:

dh

dx

=

ID IE

1 Fr

=

ID IE

0

=

(8.84)

Linija nivoa ima vertikalnu tangentu, pa izlazi iz pretpostavke o blagopromenljivom strujanju i hidrostatickoj rasopdeli pritisaka. U ovoj zoni se ne moze resavati jednacina!

Kada linija nivoa prilazi kriticnoj dubini:

za h > hKR, miran rezim 1Fr > 0

za h < hKR, buran rezim 1Fr < 0

8.8.3Velika dubina u kanalu

Figure 8.30: Pri velikim dubinama, u nizvodnom pravcu, nivo vode tezi ka horizontali

Kada dubina u kanalu raste h + tada brzina opada V 0 pa Froude-ov broj tezi nuli Fr 0 kao i nagib linije energije IE 0. Diferencijalna jednacina(8.90) ima oblik:

dh

dx

=ID

sto znaci da dubina ima horizonatalnu tangentu.

8.8.4Nagib dna kanala manji od kriticnog nagiba

Za nagib dna kanala koji je manji od kriticnog ID < IKR normalna dubina je veca od kriticne hN > hKR. Analiziraju se tri moguce vrednosti dubina, za raspone h < hKR, hKR < h < hN i h > hN

Figure 8.31: Moguci oblici linije nivoa pri nagibu dna manjem od kriticnog nagiba, odnosno pri hKR < hN VAZNO: Popravi oznake poglavlja na slici, u finalnoj verziji teksta!

Na slici8.31 je dat poduzni presek kanala, sa ucrtana tri moguca opsega nivoa vode.

Linija tip (I)

Dubine vece od normalne dubine. Miran rezim. Liniju namece visoka kota sa nizvodne strane i uticaj te kote se prostire uzvodno. Uzvodno, dubina tezi normalnoj dubini, sa gornje strane.

Linija tip (II)

Dubine izmedju kriticne i normalne. Miran rezim. Liniju namece nizvodna strana i uticaj se prostire uzvodno. Granicni slucaj je kada sa nizvodne strane kota padne ispod kriticne dubine - tada je najnizvodnija kota u kanalu jednaka kriticnoj. Uzvodno, dubina tezi normalnoj dubini, sa donje strane.

Linija tip (III)

Dubine manje od kriticne. Buran rezim u kanalu sa malim nagibom dna. Ovaj tip linije namece neki uzvodni granicni uslov (isticanje ispod ustave, prelivanje preko praga, ...) a uticaj tog uslova se prostire nizvodno. Dubina nizvodno postepeno raste, ali ne moze glatko da predje kroz kriticnu dubinu, vec ce se negde formirati hidraulicki skok.

Figure 8.32: Za horizontalno dno kanala (leva slika) i dno kanala u kontra nagibu (desna slika) ne postoji normalna dubina, pa su moguca samo dva oblika linije nivoa

Ako je nagib dna kanala horizontalan ID=0 ili ako je kontra nagib dna ID < 0, normalna dubina hN je beskonacno velika(slika8.32). U takvom slucaju linija (I) ne postoji, a ostaju moguce jedino linije (II) i (III).

8.8.4.1Beskonacno dugacak prizmatican kanal malog nagiba

Posmatra se tok u kanalu malog nagiba dna ID < IKR koji se nizvodno zavrsava jezerom, u kome je diktirana kota vode. Kako utice kota vode u jezeru na dubine u kanalu?

Za dati protok Q i geometriju, mogu se izracunati kriticna i normalna dubina:

Fr=1 hKR

Q=

1

n

AN RN2/3

ID

hN

pri cemu ce se dobiti da je hN > hKR.

Figure 8.33: Resenje linije nivoa za kote jezera u slucajevima (A), (B) i (C) direktno slede iz tablice date uz sliku8.31, pitanje je kako ce izgledati linija nivoa za slucaj (D)?

Posmatraju se cetri moguca slucaja kote vode u nizvodnom jezeru (slika8.33). Za slucajeve (A), (B) i (C), resenje linije nivoa se dobija direktno na osnovu slike8.31. Pitanje je sta ce se dogoditi u slucaju (D), kada je nivo u jezeru h < hKR?

Figure 8.34: Dilemu oko linije nivoa za slucaj (D) na slici8.33 resava dijagram specificne energije, odakle sledi da je na kraju kanala dubina jednaka kriticnoj dubini

Sledeci logiku postepenog obaranja nizvodnog nivoa i postepenog spustanja linije (II), ocekivalo bi se da ce se u slucaju (D) formirati linija nivoa koja uzvodno tezi normalnoj a nizvodno se glatko spaja sa kotom u jezeru (na slici8.34 je takvo resenje prikazano isprekidanom linijom). Ako se pogleda linija specificne energije (na desnoj strani slike), vidi se da to znacilo da specificna energija e postepeno pada dok je tok u mirnom rezimu, do kriticne dubine hKR, a da nizvodno pocinje da raste, uz promenu rezima tecenja.

U poglavlju8.4.4 Miran i buran rezim tecenja je na osnovu analize pravaca prostiranja uticaja, zakljuceno da se ne moze promeniti rezim toka u okviru jedne deonice sa konstantnim nagibom dna. Takodje, analiza diferencijalne jednacine linije nivoa ovo potvrdjuje, jer se za dubine manje od kriticne h < hKR formira linija tip (III), a tada nivo u kanalu mora da raste u smeru toka a ne da opada.

Iz analize linije nivoa, mogu se izvuci sledeci zakljucci:

Na kraju kanala, u slucaju kada je nivo u jezeru nizi od kriticne dubine, formira se kriticna dubina9, sa minimumom specificne energije10.

Nivo vode u jezeru utice na tecenje u kanalu samo ako je dubina u jezeru veca od kriticne dubine.

Za linije (I) i (II) kota jezera utice na dubine u kanalu, pa je smer prostiranja uticaja uz fluidnu struju (jer je tok miran). Nizvodni presek je kontrolni presek.

Figure 8.35: Diferencijalna jednacina linije nivoa se moze resavati i u uzvodnom i u nizvodnom smeru: ako se primeni smer resavanja suprotan od smera prostiranja uticaja, medjutim, greske u proracunu se u svakom koraku povecavaju pa dovode do pogresnog resenja (na levoj slici), dok u korektnom smeru proracuna se greske smanjuju i dobija se bolje resenje (desni deo slike)

Poslednji zakljucak o smeru prostiranja uticaja u kanalu ujedno definise i smer resavanja diferencijalne jednacine linije nivoa. Ako se jednacina resava u smeru prostiranja uticaja, dobijaju se resenja koja konvergiraju ka resenju, koja su stabilna i konzistentna (desni deo slike8.35). Male numericke greske koje se prave u svakom koraku proracuna nemaju uticaj na finalno resenje.

U principu, diferencijalna jednacina linije se moze resavati u oba smera. Ako se diferencijalna jednacina resava u suprotnom smeru, kao sto je to pokazano na levom delu slike8.35 i najmanja racunska greska se "pojacava" i vodi ka pogresnom resenju.

8.8.4.2Ustava u kanalu malog nagiba dna

U kanalu sa nagibom dna manjim od kriticnog, tok ce teziti normalnoj dubini preko linje (I) ili (II). Ako je nizvodni granicni uslov dovoljno daleko od nekog preseka koji se posmatra, moze se slobodno pretpostaviti da se u tom preseku normalna dubina. Ako se u takav kanal postavi ustava, sa otvorom u dnu takvim da bude manji od kriticne dubine u < hKR, pitanje je kako ce izgledati linija nivoa?

Figure 8.36: U kanalu sa malim nagibom dna u kome je linija nivoa bila definisana nizvodnim uslovima (linije (A), (B) ili (C)) je stavljena ustava cime se formira nizvodno buran tok i hidraulicki skok (u presecima 1...3)

Na slici8.36 je prikazan takav deo kanala. Da nema ustave, tok bi bio sa normalnom dubinom, koju namece trenje i nagib dna. Kada se stavi ustava, u tok se unese poremecaj koji treba savladati. Za to je potrebna dodatna energija, koju ce fluid "obezbediti" tako sto ce podici kotu ispred ustave, smanjiti brzinu i smanjiti gubitak energije na trenje. Ta nova dubina ispred ustave H > hN je sada nova granicna dubina za uzvodni deo kanala, te se formira linija tipa (I).

Nizvodno od ustave se formira suzeni presek koji je za stepen kontrakcije mlaza manji od visine otvora ustave, a istovremeno manji od kriticne dubine hS < hKR. Usled nametnute dubine hS, formira se buran tok sa linijom tipa (III) i sa nizvodnim smerom prostiranja uticaja.

Jedini nacin spajanja linije (III) u burnom i nizvodne dubine u mirnom rezimu je hidraulicki skok (poglavlje8.5). Polozaj skoka zavisi od nizvodne dubine, jer treba naci mesto gde se formiraju dve spregnute dubine h i h.

8.8.5Nagib dna kanala veci od kriticnog nagiba

U kanalu gde je nagib dna veci od kriticnog ID > IKR normalna dubina je manja od kriticne hN < hKR i moguce su tri vrednosti dubina, u rasponima h < hN, hN < h < hKR i h > hKR.

Figure 8.37: Moguci oblici linije nivoa pri nagibu dna vecem od kriticnog nagiba, odnosno pri hKR > hN VAZNO: Popravi oznake poglavlja na slici, u finalnoj verziji teksta!

Na slici8.37 je dat poduzni presek kanala, sa ucrtana tri moguca opsega nivoa vode:

Linija tip (IV)

Dubine vece od kriticne. Miran rezim u kanalu sa velikim nagibom. Ovaj tip linije namece nizvodni granicni uslov (ulivanje u jezero sa visokom kotom, nizvodni kanal sa malim nagibom dna, nizvodna ustava, ...) a uticaj ovog uslova se prostire uzvodno. Uzvodno, linija nivoa tezi ka kriticnoj, ali pre no sto dodje do kriticne dubine, formirace se hidraulicki skok.

Linija tip (V)

Dubine izmedju kriticne i normalne. Buran rezim. Liniju namece uzvodna pocetna dubina i uticaji se prostiru nizvodno. Nizvodno, dubina tezi normalnoj sa gornje strane.

Linija tip (VI)

Dubine manje od normalne. Buran rezim. Liniju namece neki uzvodni granicni uslov (ustava, uzvodni kanal sa vecim nagibom, ...) i uticaji se prostiru nizvodno. Nizvodno, dubina tezi normalnoj sa donje strane.

Kako ce izgledati linija nivoa u kanalu, zavisi od uzvodnih i/ili nizvodnih granicnih uslova. U nastavku ce se analizirati dva karakteristicna slucaja: slobodan ulazak iz jezera u kanal sa velikim nagibom, i uticaj ustave na tok u kanalu sa velikim nagibom.

8.8.5.1Prelaz iz jezera u kanal sa nagibom vecim od kriticnog

Posmatra se pocetak kanala, sa nagibom dna vecim od kriticnog ID > IKR, u koji se izliva jezero. Takav slucaj je vec radjen u poglavlju8.4.4 Miran i buran rezim tecenja, u primeru8.4.4, gde je zanemaren gubitak energije na ulazu u kanal.

Figure 8.38: Na pocetku kanala se formira kriticna dubina, koja nizvodno tezi normalnoj

Za presek A koji se nalazi na samom pocetku kanala, postavlja se energetska jednacina:

EA = zD + hA +

VA2

2g

= zD + eA

(8.85)

Trazi se promena energije u okolini preseka A:

dEA

dx

=

dzD

dx

+

deA

dx

=

dzD

dx

+

deA

dh

dhA

dx

=

dzD

dx

+ (1FrA)

dhA

dx

(8.86)

Moze se pretpostaviti da je u okolini preseka A ukupna energija konstantna EA = const. pa je jednacina(8.95) jednaka nuli:

dzD

dx

+ (1FrA)

dhA

dx

= 0

Za tacku A koja je na samom prevoju dna, promena kote dna u pravcu x je:

dZ

dx

=0

pa se dobija (1FrA)=0 odakle sledi da je dubina u presku A jednaka kriticnoj dubini hA=hKR.

Presek A je kontrolni uzvodni presek. Nizvodno od preseka A dolazi do formiranje linije nivoa (V) koja asimptotski sa gornje strane tezi normalnoj dubini, dubini koju namece trenje.

U primeru8.4.5 je pokazano da ja pri kriticnoj dubini maksimalan protok kanalom. Ovde se to moze shvatiti i kao teznja toka da sam formira dubinu na pocetku kanala takvu da ima minimumom specificne energije eA a maksimum proka Q.

Kota vode u uzvodnom jezeru se dobija iz energetske jednacine, za preseke u jezeru i za presek u tacki A:

EJEZ=EA + E JEZ+

VJEZ2

2g

=zD + hA + (1+)

VA2

2g

Dubina hA=hKR a brzina u jezeru se moze zanemariti, tako da je pijezometarska kota u jezeru:

JEZ=zD + hKR + (1+)

VKR2

2g

8.8.5.2Ustava u kanalu sa nagibom dna vecim od kriticnog

U kanalu sa nagibom dna vecim od kriticnog, postavlja se ustava sa otvorom u < hN. Kako ce izgledati linija nivoa uzvodno i nizvodno od ustave?

Figure 8.39: U kanalu sa velikim nagibom dna u kome je linija nivoa bila definisana uzvodnim uslovima (linije (A), (B) ili (C)) je stavljena ustava cime se formira uzvodno miran tok i hidraulicki skok (u presecima 1, 2 ili 3)

Pre postavljanja ustave, uzvodni kontrolni presek namece liniju nivoa, koja tezi normalnoj dubini11 bilo sa gornje (linija (V)) ili donje strane (linija (VI)). Kada se postavi ustava (slika8.39), formira se nizvodno suzena dubina hs (manja od otvora ustave u zbog kontrakcije mlaza). Ta dubina je sada nova granicna dubina za nizvodnu liniju nivoa, koja sada tezi normalnoj dubini sa donje strane (linija (VI)).

Uzvodno od ustave ce se formirati velika dubina, veca od hKR, koja se racuna iz energetske jednacine Euzv=Esuz + E. Ta uzvodna dubina ce biti u mirnom rezimu, sa smerom prostiranja uticaja od ustave ka uzvodnom kraju. Linija nivoa koja se javlja je (IV), i definisana je samo do kriticne dubine hkr.

Negde u zoni koja je na slici8.39 oznacena presecima A, B i C, formirace se hidraulicki skok. Mesto skoka je tamo gde se zadovolji funkcija skoka (h1) = (h1) odnosno tamo gde se postigna ravnoteza sila sa uzvodne i nizvodne strane skoka (P+I)1 = (P+I)1.

Figure 8.40: Linija spregnutih dubina pokazuje kolika treba da bude dubina sa nizvodne strane da bi se u nekom preseku formirao hidraulicki skok

Mesto skoka se odredjuje tako sto se u kanalu odredi linija spregnutih dubina za liniju u burnom rezimu (odnosno, odredi se linija potrebnih dubina da bi se na odredjenom mestu formirao skok sa postojecom dubinom u burnom, uzvodnom rezimu). Tamo gde se preseku linije spregnutih dubina i linija nivoa izracunata za miran rezim (linija tip (IV)), dolazi do skoka.

Moze se desiti, medjutim, da se uzvodno od ustave uopste ne formira skok. Ako je tok sa velikim Froude-ovim brojem, a ustava ne poremeti mnogo tok, linija spregnutih dubina ce biti iznad linije nivoa u mirnom rezimu (linija tip (IV)). Tada ne dolazi do skoka (kaze se da je skok "odbacen"), vec je kompletna deonica kanala u burnom rezimu. Samo lokalno, neposredno uz ustavu, tok udara u ustavu i podize kotu pretvarajuci veliku brzinsku visinu u potencijalnu.

8.8.6Spajanje linije nivoa kod promene nagiba dna ili hrapavosti

Do sada je analizirana linija nivoa u jednom kanalu, konstantnog preseka i nagiba dna, i analizirani su uticaji uzvodnih i nizvodnih granicnih uslova. Na osnovu tih analiza, moze se skicirati izgled linije nivoa u dva spojena kanala, razlicitih nagiba dna ili razlicitih hrapavosti. Kada se odredi moguc izgled linije nivoa, odredjuju se i opsezi mogucih vrednosti dubina, u okviru kojih treba resavati diferencijalnu jednacinu linije niva, kao i smer proracuna.

Figure 8.41: Moguci oblici linije nivoa pri promeni nagiba dna

Na slici8.41 su prikazani svi moguci slucajevi spajanja dva kanala, istih poprecnih preseka a razlicitih nagiba dna. Strelicama iznad toka je pokazan i pravac prostiranja uticaja.

Figure 8.42: Promenu rezima tecenja moze izazvati i promena hrapavosti dna kanala

Promena nagiba dna, uz zadrzavanje istih svih ostalih parametara, rezultuje samo u promeni normalne dubine, dok kriticna dubina ostaje ista. Promenu normalne dubine u kanalu moze da izazove i promena hrapavosti dna. Na sledecoj slici je prikazana varijanta prelaska toka iz kanala sa vecom hrapavoscu u kanal sa manjom, pri cemu je ta promena toliko velika, da dolazi i do promene rezima tecenja.

Primer 8.8.0Dati neki primer sa rucnim izracunavanjem linije nivoa, sa skokom.

8.9Isticanje ispod ustave

Do sada je par puta ustava spominjana kao organ kontrole ili kontrolni element - granicni uslov za uzvodne ili nizvodne dubine.

Figure 8.43: Isticanje ispod ostroivicne ustave (levo) i odgovarajuci dijagram specificne energije (desno) za slucajeve idealnog i realnog fluida

Ustava se standardno analizira kao ostroivicni otvor. Ostra izlazna ivica primorava mlaz da se odvoji od ustave, da formira stabilan nizvodni suzeni presek tako da je koeficijenat kontrakcije mlaza (odnos suzenog mlaza i otvora ustave) relativno konstantan u sirem dijapazonu protoka. To sve daje stabilan, ponovljiv granicni uslov.

Velicine koje su bitne kod ustave:

u - visina otvora ustave,

Vu = [Q/u B] - brzina ispod ustave, koja nije reprezentativna za proracun jer tu tecenje nije sa hidrostatickom raspodelom pritiska (nije ispunjen uslov da strujnice budu paralelne i upravne na presek),

hS B = CA U B - suzeni proticajni presek za koji se moze postaviti energetska jednacina jer su tu strujnice paralelne i upravne na presek, CA je koeficijent kontrakcije i ima vrednosti u opsegu 0.6-0.65,

VS = [Q/(hS B)] - brzina ispod ustave

H - visina ispred ustave, dok se sa H0 obicno oznacava zbir visine i brzinske visine ispred ustave.

Ustava je "lokalni elemenat" u toku i na tecenje kroz ustavu ne uticu normalna i kriticna dubina. U zavisnosti od uslova u kanalu, kao i dubina H i hS, Cesto se dogadja da ustava svojim prisustvom nametne promene rezima tecenja u kanalu, kao sto je to pokazano u dosadasnjim primerima.

Ako se pretpostavi idealan fluid, gubitak energije na ustavi je E = 0, pa na dijagramu (slika8.43) specificne energije e(h) se moze videti par H/hS. Do istog resenja se dolazi postavljanjem energetske jednacine:

EUZV = ES HUZV+

VUZV2

2g

=hS +

VS2

2g

gde je pretpostavljeno horizontalno dno u zoni ustave a dubina hS = u CA. Resavanjem po dubini H koja je nepoznata, dobija se jednacina treceg stepena. Resenje je dubina H koja je u mirnom rezimu.

Za realan fluid postoji gubitak energije E, koji se obicno izrazava preko koeficijenta UST. Suzena dubina hS ostaje ista (jer ona zavisi samo od visine otvora ustave) a raste uzvodna dubina HUZV.

Ustava kontrolise tecenje u kanalu, ona je kontrolni (regulacioni) element. Do sada je razmatrana pretpostavka da je protok kanalom konstantan i da ce se uzvodna dubina prilagoditi ulovima koje nametne ustava. U realnosti, uzvodno od ustave je obicno kanal ili jezero koji su za red velicine veci od dimenzija kanala i dubina ispred ustave HUZV se moze smatrati da je konstantna. Tada protok kanalom nije konstantan, vec zavisi od otvora ustave:

HUZV+

VUZV2

2g

=hS + (1+)

VS2

2g

HUZV=hS + (1+)

Q2

2g B2 hS2

gde je brzinska visina ispred ustave zanemarena. Resavanjem po protoku, dobija se:

Q=

B hS

1+

2g(HhS)

Q = CA CV B u

2g(HhS)

(8.87)

U jednacini8.96 uveden je koeficijenat brzine CV koji u sebi nosi gubitak energije na ustavi. Za idealan fluid CV=1 dok je za realan fluid CV < 1. Cesto se u litreaturi koristi i koeficijenat protoka CQ koji je proizvod koeficijenta kontrakcije i koeficijenta brzine CQ=CA CV12

Primer 8.9.0Za datu ustavu i dubine ispred i iza odrediti protok i silu na ustavu. Dato je suz i CA.

Figure 8.44: Isticanje ispod ostroivicne ustave

Euzv = Es + E

(8.88)

Huzv +

Vuzv2

2g

= hs +

Vs2

2g

+ s

Vs2

2g

(8.89)

Huzv + [(Vuzv2)/2g] se obicno obelezava sa Ho:

Ho = hs + (1+ s)

Vs2

2g

(8.90)

Vs =

1

1+ s

2g (Ho hs)

(8.91)

gde je:

1

1+ s

=CV

sto je vec vidjeno kod ostroivicnog otvora.

Q=Vs As = Vs CA Aotvora = CA CV Aotvora

2g (Ho hs)

(8.92)

gde je proizvod CA CV = CQ. Vrednost koeficijenta kontrakcije CA je prilicno konstantno 0.6 - 0.65 a koeficijenat protoka je CQ oko 0.55 - 0.60

Figure 8.45: Isticanje ispod ostroivicne ustave - sile na ustavu

Sila na ustavu:

I1

+

P1

+

I2

+

P2

+

K

=0

(8.93)

gde je [K\vec] opterecenje ustave.

Primer 8.9.0U kanalu sa ID voda tece normalnom dubinom sa konstantnom specificnom energijom e=const.. Stavljanjem ustave, ispred ustave i iza ustave dolazi do povecanja energije - odakle?

Figure 8.46: Ako se postavi ustava u tok koji je ranije bio jednolik, na racun cega poraste energija?

Pre stavljanja ustave voda je isla dubinom h1 i imanla je specificnu energiju e1 (u primeru je to slucajno h1 > hKR - isto vazi i za buran rezim)

Stavljanjem ustave dobijaju se dubine h2 (funkcija otvorenosti ustave) i odgovarajuca H2 sa specificnom energijom E2 (idealan fluid).

Uzvodno od ustave se smanjuju brzine pa se smanjuje i trenje - smanjilo se IE. h raste, IE pada pa se cuva energija ovo je sustina rada akumulacija!

8.10Prelivanje preko sirokog praga

Siroki prag - pravougaona prepreka u dnu toka cija je duzina oko dva puta veca od visine vode na pragu.

Figure 8.47: Siroki prag (u sredini slike) sa dijagramima specificne energije za preseke 1 i 3 (levo) i za presek 2, na pragu, gde se ostvaruje kriticna dubina (desno)

Kada se stavi prag u tok, uzvodno se mora povecati energija da bi se savladala prepreka. Povecanje se ostvaruje smanjenjem gubitaka na trenje, smanjenjem brzine odnosno nagiba energije IE. To povecanje je taman toliko da se na pragu formira kriticna dubina (odnosno minimum specificne energije) ako to nizvodni uslovi dozvoljavaju. Slicno je pokazano u poglavlju8.4.4 Miran i buran rezim tecenja primer8.4.4 i u poglavlju8.8.5.1 Prelaz iz jezera u kanal sa nagibom vecim od kriticnog.

h2 = hKR

(8.94)

Za preseke 1 i 2 se moze postaviti energetska jednacina:

E1 = E2+E12 h1 +

V12

2g

= p + h2 + (1+1 )

V22

2g

(8.95)

kao i za preseke 2 i 3 (presek na pragu i nizvodno od praga):

E2 = E3+E23 p+h2 +

V22

2g

= h3 + (1+2 )

V32

2g

(8.96)

pri cemu gubici energije na uzvodnom 1 i nizvodnom delu praga 2 po pravilu nisu isti.

Ako nizvodni uticaji dozvoljavaju, u nizvodnom preseku dubina h3 ce biti u burnom rezimu. Na pragu dolazi do prelaska iz mirnog rezima kroz kriticnu dubinu u buran rezim. Taj prelaz je nametnut prisustvom praga.

Figure 8.48: Dijagram specificne energije u preseku 1 i 3, za slucaj kada se poveca visina praga na p'

Ako se poveca visina praga (slika8.48) sa p na p, dubina na samom pragu i dalje ostaje kriticna, a uzvodne i nizvodne se menjaju u skladu sa dijagramom specificne energije: uzvodna dubina ce porasti dok ce se nizvodna smanjiti.

Primer 8.10.0U kanalu sa malim nagibom dna ID < IKR i sa nizvodnom kotom vode jednakom nuli kDV=0, postavi se prag. Skicirati liniju nivoa.

Figure 8.49: Siroki prag pretstavlja novi (unutrasnji) kontrolni uslov, pa se linija nivoa prilagodjava u uzvodnom i nizvodnom smeru

Zakljucak: Dubina h1 uzvodno od praga ne zavisi od nizvodnih uslova sve dok postoji deonica sa burnim tokom iz praga. Ne zavisi ni od uzvodnih uslova.

h1=(Q, geometrija, 1)

(8.97)

gde su geometrija i 1 konstantni pa onda ostaje:

h1=f(Q)

(8.98)

Merenjem h1 odredjuje se protok u kanalu!!

Primer 8.10.0Za poznati protok Q i geometriju kanala, izracunati dubinu nizvodno od praga h3 za idealan fluid.

Figure 8.50: Od dva pozitivna resenja energetske jednacine izmed u preseka 2 i 3, na dijagramu specificne energije prikazanih kao A i B, uzima se ono resenje koje je u burnom rezimu, hA < hKR

U resavanju zadatka, gde se trazi samo h3, pozvati se na sliku8.47, varijanta za idealan fluid. Energetsku jednacinu napisati u takvom obliku da se vidi da je E3=e2+p, pa se dobijaju dva pozitivna resenja, na slici8.50 oznacena kao A i B ...

Od dva resenja, uzmima se ono u burnom rezimu h3 < hKR. Kada se jednacina resava za uzvodni deo, preseke 1 i 2, onda se za dubinu 1 uzima veca dubina jer je ispred praga miran rezim.

Primer 8.10.0Dati podaci: ID > IKR, 1=0.1 od brzinske visine u nizvodnom preseku (2), a 2 je 0.15 od brzinske visine u nizvodnom preseku (3)

Figure 8.51: Siroki prag u kanalu sa velikim nagibom: formira se hidraulicki skok uzvodno od praga

Tok proracuna:

hN i hkr

na pragu je hkr

h1 iz E1=E2+12

h2 iz E2=E3+23

nizvodno: [dh/dx] = [(IDIE)/(1Fr)] od h3 prema hN sa donje strane

uzvodno: za hN iz (hN) = (hN" hN" spregnuta dubina od h1 do hN" linija nivoa i tako se nalazi mesto skoka. Smatra se da je duzina skoka mala u odnosu na duzinu kanala.

.

Primer 8.10.0ID < IKR - velika dubina u jezeru, Q poznato.

Figure 8.52: Ako je nivo vode u nizvodnom jezeru visok, siroki prag je potopljen pa ne dolazi do formiranja kriticne dubine na pragu ni burnog rezima nizvodno

.

8.11Merenje protoka u otvorenim tokovima

VAZNO - iz standarda koji je revidovan januara 2003 uzeti od Bojana Palmara sve pobrojena metode merenja u otvorenim tokovima.

U poglavlju Ostroivicni preliv je opisan obican pravougaoni preliv, na bazi strana 135/136 iz Massey-a. Ovde daj Thompsona, par tabela za koeficijente preliva i slicno.

Prednost V preliva u odnosu na pravougaoni je sto je oblik preseka prelivnog mlaza isti za sve dubine pa je manja varijacija u koefcijentu protoka (Massey - strana 137).

Dati detalj prelivne ivice. Dati uslove potapanja sa nizvodne strane.

Footnotes:

1Ovo je standardna praksa u prikazivanju poduznih preseka kanala. Razmera za visine i razmera za duzine se obicno razlikuju za red velicine, jer treba prikazati kanale dugacke nekoliko stotina ili hiljada metara, dok se kota dna promeni za par metara. Takva razmera se zove distordovana razmera. U distordovanoj razmeri se menjaju uglovi na slici.

2Na engleskom: rapid flow.

3Na engleskom: tranquil flow, traquil:calm, quiet.

4U anglosaksonskoj literaturi koristi se koren iz Froude-ovog broja: Fr=[V/c].

5Pod uslovom da nije promenjen rezim tecenja, da ustava nije napravila toliki poremecaj da se nizvodno od nje ne pojavi buran tok.

6Ova pretpostavka je prihvatljiva samo u uslovima blagih promena sa ustaljenim protokom. U slucajevima naglih promena protoka, kao sto je slucaj putovanja talasa kanalom, za istu dubinu razlikuju se protoci u periodu porasta talasa i u periodu opadanja talasa.

7Kasnije, u narednim poglavljima ce se videti da je pocetna dubina jednaka kriticnoj dubini.

8Pretpostavljena dubina mora biti fizicki moguca. U narednom poglavlju ce se analizirati moguci oblici linije nivoa, u zavisnosti od granicnih uslova.

9U stvarnosti, na samom izlazu ce se formirati takozvana ivicna dubina koja je nesto manja od kriticne, ako nema aeracije sa donje strane, pa pritisak na dnu nije nula nego je negativan (nije hidrostatski raspored pritisaka u izlaznom preseku)

10Uobicajeno je da se poduzni presek kanala crta u distordovanoj razmeri, tako da na slikama obicno izgleda kao da voda na izlazu iz kanala naglo pada, da nije kontinualna linija nivoa.

11Samo kao potsetnik: normalna dubina je ravnoteza gravitacione sile i sile trenja.

12Slican obrazac izvdenom za protok ispod ustave, je dobijen i kod isticanja kroz ostroivicni otvor, u poglavlju Primeri pisanja energetske jednacine.

File translated from TEX by TTH, version 3.60.On 25 Apr 2005, 09:56.