Mehanika fluida za studente Gradjevinskog fakulteta

Mehanika fluida za studente Gradjevinskog fakulteta

Dusan Prodanovic

Contents

5 Tecenje kroz cevi5.1 Pretpostavke i uslovi5.2 Osnovne jednacine5.2.1 Jednacina kontinuiteta5.2.2 Dinamicka jednacina5.2.3 Energetska jednacina5.2.4 Razlika izmedju realnog i idealnog fluida5.2.5 Primeri pisanja energetske jednacine5.2.6 Brzinska visina, zaustavni pritisak5.3 Trenje u cevima5.4 Lokalni gubici energije5.4.0.1 Naglo prosirenje cevi5.5 Primeri primene dinamicke i energetske jednacine5.5.1 Primer sa energetskom jednacinom5.5.2 Primer sa dinamickom jednacinom5.5.3 Dinamicka ili energetska jednacina?5.6 Hidraulicke masine5.6.1 Pumpe (crpke)5.6.2 Turbine5.6.3 Reverzibilne masine5.7 Merenje protoka u sistemima pod pritiskomChapter 5 Ustaljeno turbulentno tecenje homogenog fluida kroz cevi

Stari naslov: Osnove za proucavanje ustaljenih tecenja uporedjujuci stanja u dva poprecna preseka toka

OVO SE DRASTICNO MENJA..... Teorijski deo je vec obradjen (vidi poglavlje 4) - ovde samo malo dati. Vecu paznju posvetiti konkretnim zadacima i primerima. Uvesti Pijezometarsku i Energetsku liniju. Obraditi lokalne i linijske gubitke u turbulentnom tecenju. Hidraulicke masine. Merenje protoka u cevima (terijski deo Venturimetra i Pitot-a je vec obradjena) 5.1Pretpostavke i uslovi

P.1. Celokupno strujanje prolazi kroz odredjenu povrsinu koja se moze postaviti normalno na pravac strujanja.

Ovo je najprostiji slucaj kretanja fluida, jer se unapred zna proticajna povrsina i pravac strujanja. Ovakvo strujanje naziva se fluidna struja.

Nacin izucavanja fluidne struje je uspostavljanje dva preseka u kojima su ispunjeni potrebni zahtevi: paralelno i pravolinijsko strujanje koje je upravno na izabrani presek.

Figure 5.1: Kontrolni presek se postavlja na mestu gde su strujnice medjusobno paralelne i upravne na presek

Jednacine se pisu od preseka 1 do preseka 2 (slika5.1), ne razmatrajuci deo izmedju preseka. To ce uci u gubitke energije ili konturne sile, u zavisnosti od fenomena koji se izucava.

P.2. Posmatra se iskljucivo nestisljiv fluid, kod kojeg je = const.

P.3. Sile koje deluju na zapreminu izmedju preseka 1 i 2 su:

Zapreminske sile - tezina u vertikalnom pravcu na dole.

Povrsinske sile - sila pritiska, tangencijalna i konturna sila. Kod idealnog fluida tangencijalna sila je jednaka 0.

P.4. Proucavaju se samo ustaljena strujanja, kod kojih je [()/(t)]=0.

Lokalne vrednosti (u jednom preseku) se ne menjaju kroz vreme, dok se mogu menjati po prostoru.

Posledice navedenih pretpostavki su sledece:

POS.1. Hidrostaticka raspodela pritisaka u poprecnom preseku struje (preseci 1 i 2 na slici5.2).

Figure 5.2: U kontrolnom preseku je hidrostatska raspodela pritisaka

Pijezometarska kota 1 vazi za ceo presek.

x2=0

(

p

g

+z)

x2=0

(

z

x2 0)

Njena vrednost nam je potrebna za proracun sile pritiska.

P1=pT A1=g (1zT) A1

POS.2. Brzina se vezuje za poprecni presek. Ali, po preseku brzina nije konstantna.

Samo malo ponoviti ovde o koeficijentima, dati njihov opseg vrednosti za razlicite rezime tecenja (u poglavlju prethodnom je slika).

Figure 5.3: Stvarni raspored brzina u(x2) se menja srednjom profilskom brzinom V

Raspored brzina U=U(x2) uz zid je U(0)=U(x2=D)=0, dok je u sredini U(R)=Umax. Ovo je posledica postojanja tangencijalnih napona ( = [dU/(dx2)]). Potrebna nam je jednostavnija zamena, tj. jedna brzina koja je reprezentivna za ceo presek.

Ako je strujanje paralelno i upravno na presek, onda u ravni preseka nema komponente brzine, ni ubrzanja. Posledica je da ne postoje dodatne sile, vec deluju samo tezina G i sila pritiska P koja se racuna po zakonima hidrostatike.

Figure 5.4: Strujanje u pravoj cevi i u krivini

Ako su strujnice zakrivljene, a presek upravan na njih, opet ne postoji komponenta brzine u pravcu preseka, ali postoji ubrzanje, jer brzina menja smer. Kao posledica se javlja razlicita pijezometarska kota po preseku. Sa unutrasnje strane je niza, a sa spoljasnje strane preseka je visa.

Protok kroz proticajni presek se dobija tako sto se saberu sve brzine Ui pomnozene sa elementarnim povrsinama (odnosno, sabiraju se elementarni proticaji).

Q =

A

Ui dA

Protok se definise kao zapremina fluida koja prodje kroz povrsinu A u jednici vremena. Na osnovu protoka se moze definisati srednja profilska brzina V:

V =

Q

A

Za vecinu zadataka se umesto rasporeda brzine po preseku U(x2) moze koristiti srednja profilska brzina V. Ako je neophodno za proracun, neravnomernost brzine po preseku se uzima u obzir pomocu koeficijenta - Koriolisov koeficijent i - Businesov koeficijent (slika5.5).

Figure 5.5: Primer kada se mora uzeti u obzir neravnomernost brzine po preseku

Naravnomernost brzine po preseku se najcesce uzima u obzir kod zakrivljenih fluidnih struja.

5.2Osnovne jednacine

U glavi Osnove dinamike fluida su izvedene osnovne tri jednacine koje ce se koristiti u nastavku. Ovde se ukratko ponavljaju u formi zgodnoj za tecenje u cevi.

5.2.1Jednacina kontinuiteta

Posmatra se konacna masa - zapremina fluida izmedju dva kontrolna preseka. Na tu masu se primenjuju osnovni zakoni odrzanja mase (a kasnije i kolicine kretanja i energije.

Ovde se nalazi slika koja pokazuje kontrolne preseke - mozda je u nekom drugom poglavlju. Da li ovde hoces konacnu masu ili konacnu zapreminu? Ako ide konacna masa:

Konacna masa fluida je u trenutku t izmedju preseka 1 i 2. Fluid potpuno ispunjava prostor, tj. neprekidan je i nestisljiv ( = const.). U trenutku t+t, kada se fluidni delici pomere, "napustena" i "osvojena" zapremina je jednaka:

V1 = V2

V1 = Q1 t V2 = Q2 t } Q1=Q2

(5.1)

Jednacina(5.1) se naziva jednacina kontinuiteta.

Iz nje sledi sledeca relacija:

Q1 = V1 A1

Q2 = V2 A2

V1 A1 = V2 A2

Ako posmatramo jedan delic, on menja brzinu kroz vreme, pa je sa tog stanovista strujanje neustaljeno! Ovaj problem se prevazilazi na taj nacin sto se posmatra samo sta se desava u jednom preseku, gde je strujanje ustaljeno (slika5.6).

Figure 5.6: Primer primene jednacine kontinuiteta

VAZNO:

V1 A1 = V2 A2

a ne

V1 = V2

Qi = 0

5.2.2Dinamicka jednacina

Jednacina kontinuiteta kaze da se brzina izmedju dva preseka promenila. Ako se menja brzina, mora postojati neka sila da to sprovede.

Ustaljeno tecenje podrazumeva da se u jednom preseku brzina kroz vreme ne menja. Ali, iz jednacine kontinuiteta(5.1) sledi da se fluidni delici ubrzavaju (slika5.7):

V1 A1 = V2 A2

V1 V2

Iz gore navedenog sledi da je promena brzine fluidnog delica posledica delovanja odredjenih sila.

Figure 5.7: Izmedju preseka 1 i 2 fluidni delic menja brzinu - to se moze uraditi samo ako deluje neka sila

Slika5.7 treba da ostane ovde - dobar je uvod u poglavlje - zasto postoje sile ... sta ocekujemo od jednacine odrzanja kolicine kretanja.

Napomenuti da se radi sa srednjom profilskom brzinom a da je Businesov koeficijenat za korekciju .....

Posmatramo sve sile koje deluju na konacnu masu izmedju preseka 1 i 2 u trenutku t (slika5.8).

Figure 5.8: Sve realne sile i fiktivne, inercijalne, koje deluju na posmatranu masu fluida, izmedju preseka 1 i 2, moraju biti u ravnotezi

Primenjuje se stav da je prirastaj kolicine kretanja posmatrane mase u vremenskom intervalu t jednak impulsu sila:

m V(t+t) m V(t) =

F t

ili je prirastaj kolicine kretanja posmatrane mase u vremenskom intervalu t jednak rezultanti sila koje na tu masu deluju.

Sile koje deluju na masu fluida izmedju preseka 1 i 2 su:

Zapreminska sila, tj. tezina fluida ( = const.).

G=gV

Povrsinska sila K kojom cvrsta (nepokretna) kontura deluje na fluid (obuhvata silu trenja i uticaj geometrije).

Povrsinska sila na poprecnim presecima. To su sile pritiska P1 i P2 koje se racunaju prema nacelima hidrostatike, uzimajuci da je pijezometarska kota konstatna po preseku ( = const.)

P1 = pT1 A1

Kolicina kretanja je proizvod mase i brzine (m[V\vec]), dok je promena kolicine kretanja jednaka razlici kolicina kretanja za trenutke t i t+t.

Problem se javlja u sledecem: u posmatranoj masi izmedju preseka 1 i 2 svi delici imaju razlicite brzine. Medjutim, za svaki delic unutar preseka vazi da, kada on napusti svoje mesto i promeni kolicinu kretanja, na njegovo mesto dolazi drugi delic koji ima istu kolicinu kretanja kao prethodni na tom mestu. Jedina prava promena kolicine kretanja dogadja se na krajevima mase, tj. u presecima 1 i 2. Ovo nam omogucava da posmatramo samo preseke, a ne i citavu masu fluida.

Figure 5.9: Kolicina kretanja se menja sa delicem

U kontrolnim presecima desavaju se sledece promene:

U preseku 1 oduzima se deo mase m

m = V= Q t

odnosno smanjuje se kolicina kretanja

m

V1

= Q t

V1

U preseku 2 se dodaje ista masa m, odnosno kolicina kretanja

m

V2

= Q t

V2

Na osnovu gore navedenog, promena kolicine kretanja u vremenskom intervalu t moze se napisati kao:

Q t

V1

+ Q t

V2

odnosno

Q t

V2

V1

(5.2)

Jednacina(5.2) predstavlja impuls sila, pa se moze napisati:

Q t

V2

V1

=

F t

odnosno

Q t

V2

V1

= t

G

+

P1

+

P2

+

K

(5.3)

Sredjivanjem jednacine(5.3) dobija se dinamicka jednacina(5.4):

Q t

V2

V1

Promena kolicine kretanja

u jednici vremena

=

G

+

P1

+

P2

+

K

Sile na konacnu zapreminu

izmedju preseka 1 i 2

(5.4)

To je vektorska jednacina, na osnovu koje se mogu napisati tri skalarne jednacine za pravce (X, Y i Z).

Sa desne strane jednacine(5.4) su sile, pa i izraz sa leve strane mozemo nazvati fiktivnom silom. Ova fiktivna sila ce se zvati sila inercije(5.5).

I

= Q

V2

V1

(5.5)

Ukupna inercijalna sila, predstavljena jednacinom(5.5), mo]vze se razdvojiti na preseke 1 i 2:

I1

= Q

V1

I2

= Q

V2

Inercijalne sile uvek deluju u tezistu preseka i ka zapremini vode.

Figure 5.10: Sile na zapreminu

Zadatak odredjivanja sila koje deluju na kontrolnu zapreminu resava se primenom Dalamberovog principa (d'Alembert, 1717-1783) , kojim se dinamicki problem svodi na statiku (ravnotezu sila).

I1

+

P1

+

K

+

G

+

I2

+

P2

= 0

Posto je I "sila", mozemo je razloziti na pravce IX i IY.

Napomena uz inercijalnu silu:

Figure 5.11: Brzine u preseku

Kod jednacine kontinuiteta svejedno je da li koristimo V ili [1/A] A U dA. Pri proracunu inercijalne sile pise se I = Q V = A V2, ali V2 [1/A] A U U dA. Ispravno je proracun vrsiti pomocu povrsinskog integrala.

Razlika postaje sve veca sto je vece odstupanje maksimalne brzine po poprecnom preseku Umax od srednje profilske brzine Vsr. U tom slucaju uvodi se korekcija (Businesov koeficijent):

I = Q V

Koeficijent moze imati sledece vrednosti:

Za laminarni tok (V = 2 Umax) = 4/3 = 1.333

Za turbulentni tok = 1.01 1.10

Koeficijent se koristi kod preciznijih proracuna. U zadacima iz Mehanike fluida on se nece koristiti.

U dinamickoj jednacini figurise sila [K\vec], koja predstavlja silu kojom kontura deluje na fluid. U praksi se cesce trazi sila kojom fluid deluje na konturu, a to je [K\vec].

Figure 5.12: Slaganje sila

Primeri primene dinamicke jednacine

Zadatak 1. Za dati proticaj Q odrediti silu kojom fluid deluje na suzeni deo cevi - mlaznik.

Figure 5.13: Sile na mlaznik

Resenje:

Mora biti ispunjen uslov ravnoteze sila izmedju preseka 1 i 2. Sile koje deluju na izabranu zapreminu su:

P1 = pT,1 A1

P2 = 0 (p = 0)

I1 = Q V1

I2 = Q V2

G = g V= g

D2

4

H

3

1 +

d

D

+

d2

D2

Smer sile K je na dole, jer ona ne daje fluidu da izadje iz mlaznika.

Suma svih sila po Z pravcu je:

P1 + I1 = G + K + I2

Za resavanje zadatka potrebna je i jednacina kontinuiteta:

V1 A1 = V2 A2

Za proracun sile pritiska potreban je pritisak u preseku 1, a on se ne moze odrediti iz do sada pomenutih jednacina.

Sila kojom fluid deluje na konturu mlaznika odredjuje se graficki, slaganjem sila u poligon.

Zadatak 2. Mlaz bez kontrakcije udara u plocu. Kolika je sila na plocu? Potpitanje: Da li je ista sila i u slucaju vertikalnog mlaza, a horizontalne ploce?

Figure 5.14: Sila horizontalnog mlaza na plocu

Resenje:

Izdvaji se kontrolna masa fluida (definisanje preseka 1 i 2) i crtaju se sve sila koje na nju deluju. Kako u presecima 1 i 2 vlada atmosferski pritisak, sile pritiska su jednake nuli P1 = P2 = 0. Suma svih sila u horizontalnom pravcu je jednaka nuli, tako da je sila K jednaka inercijalnoj sili u preseku 1:

I1 = K

I1 = Q V1 = A1 V12 = d2

4

V12

Na ovaj nacin je izracunata sila kojom kontura deluje na fluid. U zadatku se trazi sila kojom mlaz deluje na plocu, a to je K.

Zadatak 3. Sud sa konstantnim nivoom vode je oslonjen na dva (ili cetiri) nosaca.

a)

Odrediti sile u nosacima kada je protok Qist = 0.

b)

Da li se promene sile u nosacima kada postoji isticanje (Qist 0)? Kako se manifestuje promena?

Sa ovom slikom ne znam sta da radim - staviti je mozda u primer?: - slika odgovara zadatku 3. iz skripti

Figure 5.15: Odredjivanje sile udara mlaza vode na vertikalnu plocu

Resenje:

a)

F1 + F2 = G = g V

b)

F1 + F2 + I = g V

F1 + F2 = g V I = g V Q Vist

5.2.3Energetska jednacina

Ovo je nekada bio naslov - sada je deo energetske jednacine... Pijezometarska i energetska linija za idealan i realan fluid

Pogledaj poglavlje 3.5.5 Energy transformation in a constant-density fluid - Massey, strana 113. Ovde treba pricati o Pi liniji i E liniji.

Proucavanje energije fluidnog delica ili konacne mase se vezuje za termodinamiku, sto dosta komplikuje jednacine. Ako se proucavanja ogranice samo na nestisljive fluide, prati se samo mehanicka energija.

Na masu koja u trenutku t zauzima prostor izmedju preseka 1 i 2 (slika5.16) primenjuje se sledeci stav:

Prirastaj kineticke energije

posmatrane mase=

Rad sila na toj masi

umanjen za energiju koja iz mehanicke

predje u neku drugu vrstu energije

Figure 5.16: Pijezometarska i energetska linija za idealan i realan fluid

Odredjivanje prirastaja kineticke energije

U vremenskom intrevalu t "napusten" zapremina jednaka je "osvojenoj" zapremini:

A1 V1 t = A2 V2 t

Isto vazi i za mase:

m = V= A1 V1 t

Kineticka energija je skalar i racuna se kao m [(V2)/2].

Promena kineticke energije posmatra se samo na granicama, odnosno na presecima 1 i 2. Sa konturom nema razmene energije, jer je ona nepokretna (osim kod hidraulickih masina). Medjutim, postoje gubici energije u fluidnoj struji.

E1 =

m V12

2

=

A1 V1 t V12

2

= Q t

V12

2

E2 = +

m V22

2

= + Q t

V22

2

Oduzimanjem gore navedenih jednacina (E2E1) dobija se prirastaj kineticke energije posmatrane mase za vreme t(5.6).

Q t

V22

2

V12

2

(5.6)

Odredjivanje sila koje deluju na posmatranu masu

Rad je skalarni proizvod sile i pomeranja pod dejstvom sile. Iako se rad obavlja na svim delicima celokupne zapremine, rezultat se svodi na premestanje "napustene" u "osvojenu" zapreminu.

A

Rad sile tezine

Figure 5.17: Rad sile tezine

G = m g = Q t g = g Q t

Rad se vrsi samo u Z pravcu:

G ( z10 z20 ) = g Q t ( z10 z20 )

B

Rad sile pritiska

Sila pritiska je povrsinska sila koja deluje u presecima 1 i 2.

Sile pritiska: P1 = p10 A1

Pomeranje: V1 t

Rad sile: p10 A1 V1 t = Q t p10

U preseku 1 rad sile pritiska je pozitivan, tako da je pomeranje u pravcu sile. U preseku 2 rad sile pritiska je negativan.

Q t ( p10 p20 )

(5.7)

Jednacina(5.7) predstavlja ukupni rad sila pritisaka u presecima 1 i 2.

C

Rad konturne sile

Konturna sila K je povrsinska sila izmedju konture i fluida. Ona se razdvaja na dva dela: normalne i tangencijalne napone (trenje). Deo konturne sile od normalnih napona ne daje rad jer nema pomeranja konture. Usled trenja nastaje "gubitak" energije. Energija se "trosi" na prelazak korisne mehanicke energije u toplotnu:

Eizg G

Jednacina mehanicke energije glasi:

Q t

V22

2

V12

2

= g Q t ( z10 z20 ) + Q t ( p10 p20 ) Eizg G

Ako se prethodna jednacina podeli sa G = g Q t, dobija se:

V22

2g

V12

2g

Prirastaj

kineticke energije

=

( z10 z20 )

Rad

sile tezine

+

p10

g

p20

g

Rad

sile pritiska

Eizg1 2

Izgubljena

energija

po jedinici tezine

(5.8)

Pijezometarska kota, koja je uvedena kao integralna konstanta u poglavlju Hidrostatika, javlja se i u jednacini enegrije(5.8) ( = const.).

z10 +

p10

g

= 1

(5.9)

Kaze se da pijezometarska kota predstavlja potencijalnu energiju fluida po jedici tezine, tj. sposobnost da se obavi rad. Potencijalna energija se moze podelita na dva dela:

Energija usled visinskog polozaja z

Energija usled delovanja pritiska [p/(g)]

Figure 5.18: Zbir potencijlane i kineticke energije

Ako je izraz(5.9) ubaci u jednacinu(5.8) dobice se:

V22

2g

V12

2g

= 1 2 Eizg1 2

1 +

V12

2g

Ukupna energija

u preseku 1

=

2 +

V22

2g

Ukupna energija

u preseku 2

+ Eizg1 2

E1 = E2 + Eizg1 2

Zbir i V2/2g je konstantan za idealan fluid - znaci, vece V2/2g, manje Pi. Pi moze da padne i ispod ose cevi - negativan pritisak, ali ne moze da padne ispod 0 apsolutnog pritiska (referenca na pritiske/hidrostatika) - matematicki je to moguce, ali fizicki nije ostvarivo strujanje - dolazi do kavitacije i kidanja fluidne struje.

5.2.4Razlika izmedju realnog i idealnog fluida

A.

Clan (Eizg1 2) je posledica trenja uz konturu. Ukoliko se posmatra slucaj "idelanog" fluida u kome nema trenja, tada je Eizg1 2 = 0, pa je E1 = E2.

Figure 5.19: Dijagrami za idealan i realan fluid

Clan [(V12)/2g] se naziva "brzinska visina". Pri konstantnoj energiji (E=const.) energetska jednacina se naziva Bernulijeva jednacina (Daniel Bernoulli 1700-1782).

B.

Kod realnog fluida Eizg1 2 > 0

C.

Pijezometarska i energetska kota se crtaju vertiklano iznad preseka. Kod realnog fluida energetska linija uvek pada niz fluidnu struju, dok pijezometarska linija moze i da pada i da raste (slika5.20).

Figure 5.20: Pijezometarska i energetska kota za idealan fluid pri naglom suzenju i prosirenju cevi

Prica o Venturimetru prilicno detaljna u Masssey-u strane 127 - 129. Giovani Battista Venturi (1746 - 1822) ... pogledaj komentare iz Massey-a! Pitanje je da li ovde ili u delu o merenju protoka?

5.2.5Primeri pisanja energetske jednacine

Primer 1. Racvanje fluidne struje

Figure 5.21: Racvanje fluidne struje

Uporedjuju se energije u presecima 1 i 2, i u presecima 1 i III, tako da se pisu dve jednacine:

E1 = E2 + E12

E1 = E3 + E13

Jednacine se pisu tako sto se prati jedan fluidni delic.

Treca jednacina koja se pise je jednacina kontinuiteta:

Q1 = Q2 + Q3

Postavlja se pitanje kako obracunati izgubljenu energiju izmedju izbranih preseka E (Eizg). Samo u malom broju slucajeva gubitak energije se moze odrediti analiticki, postavljanjem dinamicke jednacine tamo gde se znaju sve sile osim konturne sile [K\vec]. U opstem slucaju gubitak energije se odredjuje posredno, tj. eksperimentalno.

Izgubljena energija

Eizg = V2

2g

[m]

se razdvaja na:

Gubitak niz fluidnu struju = [L/D]

Lokalni gubitak = . Koeficijent lokalnog gubitka energije uvek se pise sa nizvodnom brzinom.

Primer 2. Isticanje iz suda sa ostroivicnim otvorom

Figure 5.22: Isticanje iz suda sa ostroivicnim otvorom

Na izlazu iz ostroivicnog otvora dolazi do suzenja mlaza zbog zakrivljenog kretanja delica. Presek "ml" je najuzi deo sa paralelnim strujnicama, i na tom mestu su ispunjeni uslovi za postavljanje kontrolnog preseka. Energetska jednacina se postavlja od rezervoara do suzenog preseka. Pri proracunu gubitaka energije zanemaruju se gubici na trenje, jer je rastojanje izmedju izabranih preseka malo.

ER = Eml + ERml

R +

VR2

2g

= ml +

Vml2

2g

+ Vml2

2g

Brzinska visina u rezervoaru se zanemaruje, tako da je [(VR2)/2g] = 0.

R ml

H

= (1+)

Vml2

2g

Iz prethodne jednacine dobija se:

Vml =

1

1+

2 g H

= CV

2 g H

gde je CV = [1/({1+})] koeficijent brzine, i za ostroivicni otvor vrednosti koeficijenta lokalnog gubitka i koeficijenta brzine krecu se u sledecem opsegu:

0.05 0.10

CV 0.95 0.98

Izraz {2 g H} predstavlja brzinu idealnog fluida VID.

Protok se racuna na sledeci nacin:

Q = Vml Aml = Vml Aotv CA

gde je CA = [(Aml)/(Aotv)] koeficijent kontrakcije mlaza. On je uvek veci od 1.0 i odredjuje se pazljivim merenjem. Vrednost CA za kruzni ostroivicni otvor je CA 0.65.

Proizvod koeficijenta brzine CV i koeficijenta kontrakcije mlaza CA je koeficijent proticaja CQ:

CQ = CV CA

pa se proticaj moze izraziti:

Q = CV CA Aotv

2 g H

= CQ Aotv

2 g H

Vrednost CQ za kruzni ostroivicni otvor je CQ 0.60.

Primer 3. Isticanje kroz kratku cev (otvor sa naglavkom)

Figure 5.23: Isticanje kroz kratku cev

Pretpostavlja se da nema kontrakcije mlaza (CA=1.0), i da se gubici na trenje zanemaruju. Zbog toga se uzima nesto veci koeficijent lokalnog gubitka energije , tako da se dobije koeficijent brzine CV 0.80.9. Kao rezultat dobija se da je protok kroz otvor veci nego kod ostroivicnog otvora istog precnika (CQ 0.80.9).

5.2.6Brzinska visina, zaustavni pritisak

Ovo ima veze sa Bernulijevoj jednacinom - ide se duz strujnice, idealan fluid! Proveri kod primera za Bernulijevu jednacinu! Nezgodno je sto to studenti ne vide, jer se taj deo preskace!!!

Pogledaj kod Hajdina Knjiga 2, strana 57.

Figure 5.24: Pito cev u kombinaciji sa pijezometrom za merenje brzinske visine fluidnog delica

Kombinacijom dve cevcice moguce je odrediti brzinu u odredjenoj tacki (tacka 3 na slici5.24). Ova kombinacija se naziva Pito-Prandtlova cev. Pito (Henry de Pitot, 1695-1771) je smislio zakrivljenu cev (1732. godine), a Prandtl (Ludwig Prandtl, 1875-1953) je dodao pijezometar.

Za cevcicu 1 (Pito cev) vazi da sve tacke u njoj imaju istu pijezometarsku kotu, pa je 3 = 1. Posto se zanemaruju gubici energije izmedju izabranih preseka, moze se smatrati da je 4 = 2. Dobija se da je razlika pijezometarskih kota u cevcicama 1 i 2 jednaka brzinskoj visini u tacki 3:

1 2 =

u42

2g

Brzina u4 je brzina u tacki na x2 rastojanju od zida.

Energetska jednacina se postavlja za tacke 4 i 3. Brzina u tacki 3 jednaka 0. Takodje se zanemaruju gubici energije izmedju preseka 4 i 3.

4 +

u42

2g

= 3 +

V32

2g

=0

+

E43

=0

p4

g

+ z4 +

u42

2g

=

p3

g

+ z3

z3 = z4p3 p4

g

=

u42

2g

Dobija se da je

p = p3 p4 = pu =

1

2

u2

gde je pu zaustavni pritisak, tj. povecanje pritiska zbog zaustavljanja delica. Koristi se kod bezdimenzionalnog pritiska ili kod veze pritiska i brzine.

5.3Proucavanje tecenja pod iskljucivim uticajem trenja (bez lokalnih poremecaja)

Posmatra se pravolinijska fluidna struja u cevi konstantnog poprecnog preseka, bez promene proticaja kroz vreme (jednoliko strujanje). Pad pijezometarske kote se moze povezati sa izgubljenom energijom pomocu energetske jednacine:

E1 = E2 + E12

1 +

V12

2g

= 2 +

V22

2g

+ E12

Za jednoliko strujanje V1 = V2, pa se dobija sledeca veza izmedju izgubljene energije i pada pijezometarske kote:

1 2 = E12

(5.10)

Energetska jednacina(5.10) nam ne daje resenje kako se racuna gubitak energije E. U razmatranje moramo uvesti i dinamicku jednacinu, jer su gubici energije povezani sa konturnom silom K. Crtaju se sve sile izmedju izabranih preseka (slika5.25).

Figure 5.25: U jednolikom strujanju komponenta sopstvene tezine u pravcu strujanja i sile pritiska na presecima se uravnotezuju sa silom trenja

Sile koje deluju su:

Sile pritiska

U presecima 1 i 2 je hidrostaticka raspodela pritisaka, pa se sila pritiska racuna kao:

P1 = p10 A1

P2 = p20 A2

Posto su povrsine poprecnih preseka jednake A1 = A2 = A, ukupna sila pritiska dobija se kao:

P1 P2 = A ( p10 p20 )

Inercijalne sile

Inercijalna sila se racuna kao:

I = Q ( V2 V1 )

Iz jednacine kontinuiteta Q1 = Q2, uz uslov jednakosti proticajnih povrsina A1 = A2, dobija se:

Q1 = Q2

V1 A1 = V2 A2

V2 = V1 I = 0

Sopstvena tezina

Tezina fluida se racuna kao:

G = g V= g A L

Ona se moze podeliti na komponente u pravcima x1 (pravac toka) i x2 (normalno na pravac toka). Za proracun je znacajna komponenta u pravcu toka:

Gx1 = G sin

sin =

z10 z20

L

Gx1 = g A (z10 z20 )

Sila konture K je sila trenja, i ona uvek deluje suprotno od smera vode. Za proracun je znacajna komponenta Kx1 po obimu cevi (u daljem tekstu Kx).

Sve sile koje deluju moraju biti u ravnotezi, pa pisemo dinamicku jednacinu:

A (p10 p20 ) + g A (z10 z20 ) = Kx

Kada se gornja jednacina podeli sa g A, dobija se:

p10

g

p20

g

+ (z10 z20 ) =

Kx

g A

Uz uslov da je = [p/(g)] + z, dobija se:

1 2 =

Kx

g A

(5.11)

Jednacina(5.11) je veza sile trenja sa razlikom (padom) pijezometarske kote u jednolikom strujanju.

Izjednacavanjem jednacina(5.10) i(5.11) dobije se:

E12 =

Kx

g A

(5.12)

Jednacina(5.12) pokazuje da celokupan gubitak energije fluidne struje odlazi na trenje.

Sila Kx je sila trenja po unutrasnjem omotacu cevi. Ona je direktno srazmerna sa unutrasnjom povrsinom cevi (obim x duzina) i tangencijalnim naponom (naponom trenja):

Kx = O L

gde je tangencijalni napon koji ima dimenziju pritiska, a O okvaseni obim (slika5.26).

Figure 5.26: Hidraulicki radijus je odnos proticajne povrsine i okvasenog obima

Ako se izraz za Kx ubaci u jednacinu za proracun gubitka energije(5.12) dobija se sledeci izraz:

E12 =

O L

g A

Odnos povrsine poprecnog preseka A i okvasenog obima O se naziva hidraulicki radijus:

R =

A

O

Ova velicina je bitna za gubitak energije jer oznacava pogodnost poprecnog preseka da propusta fluid. Sto je vrednost hidraulickog radijusa R veca to su manji gubici energije i povoljniji su uslovi za transport fluida.

Izraz za proracun gubitka energije sada moze da se napise kao:

E12

L

=

g R

gde je

E12

L

= Ie

Izraz Ie predstavlja nagib linije energije.

Kod jednolikog strujanja ( A1 = A2 V1 = V2 ) nagib linije energije je isti kao nagib pijezometarske linije Ie = I.

Ie = I =

g R

= const.

(5.13)

Izraz(5.13) je veza nagiba pijezometarske linije I i tangencijalnog napona .

U slucaju kada se ne znaju ni nagib pijezometarske linije ni vrednost tangencijalnog napona, uspostavlja se veza izmedju tangencijalnog napona i brzine, jer je sigurno da nije isti za razlicite brzine.

Prethodno je definisan zaustavni pritisak kao:

pu =

1

2

u2

Ovaj izraz se odnosi na brzinu u tacki u(x2).

Ovde se uspostavlja veza izmedju tangencijalnog napona , koji ima dimenziju pritiska, i zaustavnog pritiska za srednju profilsku brzinu V:

= C

1

2

V2

C je koeficijent i nema dimenziju.

C =

1

2

V2=

g

V2

2g

Izraz g [(V2)/2g] predstavlja povecanje pritiska u slucaju naglog zaustavljanja brzine fluida.

Postignuto je to da je fokus istrazivanja prebacen sa tangencijalnog napona na koeficijent C, koji se manje menja i lakse izucava.

Kada se izraz za tangencijalni napon stavi u jednacinu(5.13) dobija se:

Ie = I =

C

1

2

V2

g R

= C

V2

2g

1

R

Za cev kruznog poprecnog preseka hidraulicki radijus je:

R =

A

O

=

D2

4

1

D =

D

4

pa je:

Ie = I = 4 C

V2

2g D

= 1

D

V2

2g

Izraz = 4 C predstavlja Darsijev koeficijent trenja (Henri-Philibert-Gaspard Darcy, 1803-1858) ili koeficijenat linijskog gubitka energije.

Na osnovu gore izvedenog, gubici energije u kruznoj cevi mogu se izracunati kao:

Ie =

E

L

= 1

D

V2

2g

Eizg = L

D

V2

2g

(5.14)

Izraz(5.14) predstavlja Darcy-Weisbach-ovu jednacinu za proracun gubitka energije na trenje.

Koeficijenat trenja nije konstantan, vec zavisi od rezima tecenje i karakteristika zida cevi:

= f ( , , V, D, k ) = Re,

k

D

Vrednost koeficijenta trenja se uglavnom odredjuje eksperimentalno, i izrazava preko empirijskih formula, kao sto je:

= 0.115

k

D

[1/4]

5.4Lokalni gubici energije

Energetska jednacina glasi:

E1 = E2 + E12

gde su E12 gubici energije, koji se mogu podeliti na:

Linijske gubitke ili gubitke na trenje

Elin = L

D

V2

2g

Lokalne gubitke

Elok = V2

2g

Lokalni gubici energije se javljaju na mestima gde dolazi do naglih promena u fluidnoj struji (slika5.28). Obicno se izrazavaju uz nizvodnu brzinu, ali to je stvar dogovora. Koeficijenat se naziva koeficijenat lokalnog gubitka energije. Za mali broj primera oni su odredjeni analiticki, inace se odredjuju eksperimenatlno pomocu merenja.

5.4.0.1Naglo prosirenje cevi

Ovaj deo se uklapa u skripte, pogledaj!!!!

Ovo napravi tako da ne koristi energetsku jednacinu!!!

Figure 5.27: Sila usled naglog prosirenja cevi

Pretpostavka je da kod naglog prosirenja pritisci ... teorema Bordoa 1 ..... itd...

Figure 5.28: Primeri nekih lokalnih koeficijenata gubitka energije

Napomena uz sliku5.28: Kada imamo slucaj potpoljenog ulaska cevi u rezervoar, odstupa se od pravila da se koristi nizvodna brzina, jer je to brzina vode u rezervoaru, koja je priblizno jednaka nuli VR 0. Zato se u ovom slucju lokalni gubitak energije racuna sa uzvodnom brzinom.

Tvoja napomena: kada ovo budem pisao - pogledati i Idelchick-a - njegova objasnjenja.

5.5Primeri primene dinamicke i energetske jednacine

5.5.1Primer sa energetskom jednacinom

Figure 5.29: Dva rezervoara spojena cevima razlicitog precnika - pijezometarska i energetska linija

a)

Odredjivanje proticaja

Trazi se proticaj Q ako su dati sledeci podaci: L1, L2, 1, 2, d, D, . Problem se resava postavljanjem energetske jednacine izmedju preseka A i B:

EA = EB + EAB

EA = A +

VA2

2g

EB = B +

VB2

2g

Brzine vode u rezervoarima se zanemaruju, pa je VA = 0 i VB = 0.

Gubici energije su:

EAB = ul

V12

2g

+ 1

L1

d

V12

2g

+ PR

V22

2g

+ 2

L2

D

V22

2g

+ iz

V22

2g

Nepoznate velicine su brzine u cevima V1 i V2. Zato se u proracun uvodi i jednacina kontinuiteta:

V1 A1 = V2 A2

V1

d2

4

= V2

D2

4

V1 = V2

D2

d2

Kada se izraz za V1 iz jednacine kontinuiteta uvrsti u energetsku jednacinu, resavanjem se dobija brzina vode u cevi V1. Na osnovu nje se dobija proticaj u cevi:

Q = V1 A1

b)

Odredjivanje minimalnog pritiska

Da bi se odredio minimalni pritisak, prvo se mora odrediti pijezometarska kota na prosirenju PR. Ona se odredjuje postavljenjem energetske jednacine izmedju preseka A i PR:

EA = EPR + EAPR

A = PR +

V12

2g

+ ul

V12

2g

+ 1

L1

d

V12

2g

PR

Na osnovu izracunate pijezometarske kote PR pritisak se racuna upotrebom osnovne jednacine hidrostatike:

pPR0 = v g ( PR zPR0 )

Ovaj pritisak mora biti veci od 100 kPa.

5.5.2Primer sa dinamickom jednacinom

Ovog nema u skriptama - staviti odredjivanje sile na zatvarac ako se znaju Pi kote ispred i iza, uz ukljuceno i trenje

Figure 5.30: Primer sa dinamickom jednacinom

5.5.3Dinamicka ili energetska jednacina?

U Liggett-ovom CD ima poglavlje 4.2.4. koje govori o zadacima koji se mogu resiti i jednacinom sila i energetskom - ali jedno od dva pristupa nije dobro! Tu ide i primer racvanja struje!

DA LI DA SE STAVI TAKVO POGLAVLJE OVDE???

Naci silu fluida na kraj cevi, zanemarujuci gubitke energije (slika5.31).

Prikazana racva se nalazi u X, Y ravni. Precnici cevi su takvi da je:

A1 = A2 + A3

A2 = A3

B.

Dinamicka jednacina

Figure 5.31: Da li se zadatak resava primenom dinamicke ili energetske jednacine

Iz jednacine kontinuiteta Q1 = Q2 + Q3 i gore navedenog odnosa povrsina poprecnih preseka dobija se:

V1 = V2 + V3

V1 = V2

U presecima 2 i 3 je atmosferski pritisak, pa su sile pritiska u njima:

P2 = P3 = 0

Posto se presek 1 nalazi blizu preseka 2 i 3, moze se uzeti da je:

p1 = 0 P1 = 0

Na osnovu dinamicke jednacine sila fluida na kraj cevi se dobija kao:

F = I1 = Q V1 = V2 A1

B.

Energetska jednacina

Na slici5.31 nije ucrtan presek 4 (kraj cevi)!!!

Postavlja se energetska jednacina izmedju preseka 1 i 4, uz zanemarivanje gubitaka energije. Trazi se zaustavni pritisak u preseku 4:

E1 = E4

E1 =

1

=0

+

V12

2g

=

V12

2g

E4 = 4 +

V42

2g

=0

=

p40

g

+

z40

=0

p40

g

=

V12

2g

Na osnovu energetske jednacine sila fluida na kraj cevi se dobija kao:

F = p0 A1 =

1

2

V2 A1

Ovako dobijena sila je duplo manja u odnosu na vrednost dobiju upotrebom dinamicke jednacine.

Koje resenje je tacno?

Tacno reenje daje energetska jednacina. Kod dinamicke jednacine nije se uzela u obzir konturna sila kojom voda deluje na naglavke (slika5.32). Tu dolazi do skretanja struje, pa mora postojati i odgovarajuca sila.

Figure 5.32: Da bi se zadatak resio primenom dinamicke jednacine treba uzeti u obzir sve sile

5.6Izmena energije izmedju fluida i pokretne cvrste granice (hidraulicke masine)

Mada je na pocetku poglavljaResenje integralne jednacine odrzanja energije i njeno poredjenje sa Bernulijevom jednacinom, strana receno da kontrolne preseke1 i2 treba tako izabrati da izmedju njih nema pokretnih mehanickih sistema, hidraulickih masina, u jednacinu() odnosno() se lako moze dodati clan kojim se dodatna energija po jedinici tezine dodaje ili oduzima...

EM = 1

g V A

d

^

w

M

dt

energija se dodaje

EM =

1

g V A

d

^

w

M

dt

energija se uduzima

U dosadasnjim razmatranjima, cvrsta granica strujnog polja je bila nepokretna, pa nije postojala razmena energije izmedju konture i fluida. Razmena energije se dogadja kod hidraulickih masina, a to su:

Pupme, one dodaju energiju fluidnoj struji, i

Turbine, one oduzimaju energiju fluidnoj struji i pretvaraju je u mehanicku energiju.

U okviru kursa "Mehanika fluida" ne ulazi se u detalje procesa razmene energije, vec se samo posmatra uticaj masina na fluidnu struju.

5.6.1Pumpe (crpke)

(raspitaj se sta je ispravno? Pitaj masince, kao i SavZavZaStand

Pumpe su hidraulicke masine koje dodaju energiju fluidnoj struji.

Posmatra se sledeci problem: kako iz rezervoara A prebaciti vodu u rezervoar B ? Postoje dva moguca resenja (slika5.33):

Rezervoar A je na visoj koti od rezervoara B

Precnik cevovoda od rezervoara A do rezervoara B se bira tako da je moguce obezbediti zahtevani proticaj

Rezervoar A je na nizoj koti od rezervoara B

Vodi se mora dodati odredjena kolicina energije, tako da se dimenzionise pumpa i precnik cevovoda.

Figure 5.33: Kako dopremiti vodu u grad: a) iz rezervoara koji se nalazi iznad grada, i b) iz rezervoara koji se nalazi ispod grada

Figure 5.34: Pijezometarska i energetska linija za slucaj kada se pumpom prebacuje voda iz rezervoara A u rezervoar B

Objasnjenje osnovnih pojmova sa slike5.34:

HGEOD - geodetska razlika izmedju pijezometarskih kota u rezervoarima A i B

Hp - energija po jedinici tezine koja se mora dodati fluidu da bi se zahtevani proticaj Q prebacio iz rezervoara A u rezervoar B. Zove se visina dizanja pumpe ili napor pumpe, izrazava se u metrima [m]

Hp G = Hp Q t g = Ep - ukupna energija, izrazava se u Dzulima [J], ovaj podatak nam treba kada se placa utrosena energije

Za dimenzionisanje pumpe potrebna je snaga koju primi fluid:

Ep

t

= Hp g Q

U odnosu na nju, snaga pumpe Np je veca za stepen iskoriscenja :

Np =

1

pHp g Q

gde je:

Np angazovana snaga pumpe

p koeficijenat korisnog dejstva celog agregata (pumpa i motor), i uvek je manji od 1.0 (p 0.5 0.8)

U izrazu za snagu pumpe javljaju se slozene zavisnosti Hp=f(Q), Np=f(Q) i p=f(Q). One se daju u formi dijagrama, a dobijene krive se nazivaju karakteristike pumpe ili Q-H krive (slika5.35).

Figure 5.35: Proizvodjaci pumpi karakteristike daju u formi standardnog Q/H dijagrama, sa ucrtanim i stepenom korisnog dejstva P

Pumpa trosi energiju

E = Np T =

1

pHp g Q T

Za vece sisteme nije jedna cena jedinicne energije, vec zavisi od duzine rada i maksimalne vrsne snage angazoavne za 15 minuta.

5.6.2Turbine

Turbina je hidraulicka masina koja oduzima energiju i pretvara je u mehnicku ili elektricnu energiju.

Figure 5.36: Pijezometarska i energetska linija za slucaj kada se na samom kraju cevovoda nalazi turbina, pa gubici od nizvodnog preseka 2 do rezervoara (jezera) B se pripisuju koeficijentu korisnog dejstva T

Velicina HT (slika5.36) naziva se pad turbine i ona se racuna kao:

HT = E1 E2 = E1 B

Gubici energije od preseka 2 do preseka B ulaze u koeficijenat T.

Energija koju voda preda turbini je:

ET = HT g QT t

Snaga turbine je:

NT =

ET

t

T = T g Q HT

Turbina primi manju snagu nego sto je oduzeto vodi, i ta razlika se izrazava preko koeficijenta T, koji je uvek manji od 1.0 (T 0.750.93).

Drugi primer je kada se ne moze zanemariti duzina izlaznog dela iza turbine (slika5.37).

Figure 5.37: Pijezometarska i energetska linija za slucaj kada se nizvodno od turbine nalazi cevovod

U tom slucaju se mogu napisati sledece jednacine:

Energetska jednacina

EA = EB + Eizg + HT

EA = A

EB = B

Eizg = ul

V12

2g

+ 1

L1

D1V12

2g

+ 2

L2

D2V22

2g

+ izl

V22

2g

Jednacina kontinuiteta

V1 A1 = V2 A2 = Q

Snaga turbine

NT = T g Q HT

Za poznati proticaj Q, na osnovu energetske jednacine racuna se pad turbine HT, a na osnovu njega i snaga turbine NT. Druga mogucnost je da se pad turbine HT izracuna iz poznate snage turbine NT, a zatim da se na osnovu zavisnosti HT=f(Q) i energetske jednacine odredi proticaj Q.

5.6.3Reverzibilne masine

Figure 5.38: Reverzibilne masine mogu da rade kao pumpe i kao turbine

Reverzibilne masine mogu da rade i kao pumpe i kao turbine (slika5.38):

A.

Kada radi kao pumpa:

Hp = 2 1 + ETR

Np =

1

pg Q Hp

B.

Kada radi kao turbina:

HT = 2 1 + ETR

NT = T g Q HT

Iz gornjih jednacina moze se videti odnos snaga turbine i pumpe:

NT

Np=

T g Q HT

1

pg Q Hp=

T

< 1.0

p

< 1.0

E

+ E

< 1.0

< 1.0

Uslov je da je Vp = VT.

Razlog zasto se postrojenja prave kao reverzibilna lezi u tome sto cena energije nije ista tokom 24 casa. Ako se energije turbine i pumpe racunaju kao:

ET = NT TT

Ep = Np Tp

onda je ET dobit (skupa struja), a Ep trosak (jeftina struja). Na osnovu ove cinjenica vrsi se balansiranje proizvodnje i potrosnje elektricne energije (slika5.39). U doba vrsnog opterecenja moguce je ostvariti da protok kroz turbinu bude veci od protoka kroz pumpu QT > Qp.

Figure 5.39: Zahtev za elektricnom energijom nije konstantan u toku 24 sata pa reverzibilna postrojenja mogu da koriste nocne sate da rade u pumpnom rezimu a kao turbine da pokriju vrsno opterecenje

5.7Merenje protoka u sistemima pod pritiskom

Ovaj deo nema u skriptama

Uh ala mi ovo lezi!!!

Vec ima primer Venturimetra, dati ovde ukratko razne metode i objasnjenja.

U poglavlju koje daje primere iz Bernulijeve jednacine, opisana je Pito cev. Ovde se ponavlja samo osnovno, a daje se slika Pito-Prantl-ove komercijalne cevi sa bocno rasporedjenim rupama za Pi kotu (Masey strana 126, slika 3.17) Prokomentarisi polozaj rupa za staticku Pi kotu. Takodje napomenuti da postoji sa vise rupa Pito cev, da se meri 3D brzina.

Vazno: na slici 3.16 pijezometar C pokazuje manju Pi kotu zbog ubrzanja delica koji izlaze iz cevi... Pazi da u slici ne pogresis!!!

...Za Pito cev (iz Masey-a) : dobro napravljena cevka im gresku brzine manjeu od 1% za greske u uglu do 15%. Pito se nesme koristiti za tok sa izrazenom turbulencijom jer vremenski osrednjem pritisak nije isto sto i osrednjena brzina (zbog kvadrata brzine!).

Vazno: Rupa za merenje statickog pritiska na Pito=Prantlovoj cevi je 3d nizvodno od vrha cevi, jer je tu pritisak jednak neporemecenom pritisku.

Figure 5.40: Polozaj mesta za merenje statickog pritiska na etalon Pito-Prantl-ovoj sondi

NE ZABORAVI OVO DA UKLJUCIS 1 U KNJIGU O MERENJIMA. Detalje trazi od Masinaca!!!

Footnotes:

1Jean Charles Borda (1733 - 1799) francuski matematicar, kao vojnik ucestvovao je u naucnim i istrazivackim pohodima, a u americkom ratu za nezavisnost je imao zapazenu ulogu. Bavio se mehanikom fluida, proucavajuci kretanje brodova, topovskih granata, rad pumpi i slicno. Konstruisao je instrumente kojima je premerio duzinu meridijana i napravio je poznate trigonometrijske tablice. Bio je veliki zagovornik decimalnog racunskog sistema.

File translated from TEX by TTH, version 3.60.On 25 Apr 2005, 11:14.