1

PODSETNIK

VEKTORI

Poznato nam je da postoje skalarne i vektorske veličine. Skalarne veličine određene su samo brojnom vrednošću (temperatura, masa, vreme...), i sa njima se računa po pravilima obične algebre, dok su vektorske veličine određene smerom, pravcem i intenzitetom (brzina, ubrzanje, sila...) i sa njima se računa po pravilima vektorske algebre.

Vektor se grafički predstavlja orijentisanom duži – to je duž sa strelicom na kraju. Mesto na kome je strelica je kraj vektora a suprotna strana mu je početak.

Označava se slovom sa strelicom iznad a

.

Vektor ima: a) intenzitet koji je skalarna veličina, određen je brojnom vrednošću i jedinicom, a grafički ga

predstavlja dužina vektora u nekoj razmeri, b) pravac, određen pravom na kojoj se nalazi vektor, međutim, isti pravac nemaju samo vektori

koji se nalaze na istoj (jednoj) pravoj već i svi vektori koji se nalaze na njoj paralelnim pravama. Dakle, vektor se ne menja ako se pomera paralelno samom sebi – translira.

c) smer, koga grafički označava strelica.

Jedinični vektor 0a

je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici 100 aa

. Jedinični vektori se

prvenstveno uvode da bi definisali pravac i smer neke vektorske veličine. Pomoću njih se neki vektor

a

može zapisati kao 0aaa

, gde je a intenzitet vektora (skalar).

Sabiranje vektora cba

pravilo trougla pravilo paralelograma

Oduzimanje vektora

Promenimo samo orijentaciju (smer) vektora b

tako da sada imamo vektor b

Množenje vektora skalarom

Množenjem vektora a

nekim skalarom s samo

se povećava intenzitet tog vektora

Množenjem npr. negativnim brojem, vektor menja i smer i intenzitet

Neka pravila vektorskog sabiranja

abba

(komutativnost)

c)ba()cb(a

(asocijativnost)

bsas)ba(s

)b(abac

asc

ac

2

a

a

a

a

a

b

c

a

b c

a

b

c

a

c

a

c

2

Skalarni priozvod vektora i b

između kojih je ugao daje skalar s:

Intenzitet nekog vektora dobija se skalarnim množenjem tog vektora samima sobom:

Projekcija vektora b

na vektor a

(i obrnuto) iznosi:

Vektorski proizvod vektora i b

između kojih je ugao daje treći vektor c

čiji je pravac uvek normalan

na ravan koju obrazuju vektori i b

, a smer se određuje pravilom desnog zavrtnja idući najkraćim

rastojanjem od prvog ka drugom vektoru.

Zapamtiti da je kod vektorskog proizvoda bitno koji je vektor prvi a koji drugi jer njihov redosled određuje orijentaciju trećeg vektora (proizvoda).

Intenzitet vektora c

jednak je površini osenčenog paralelograma

Razlaganje vektora

Razlaganje vektora na komponente je proces suprotan sabiranju vektora: Iz početne i krajnje tačke vektora povuku se pravci na koje se on razlaže; početak komponenti je u početku vektora koji se razlaže, a krajevi su u tačkama preseka pravih koje polaze iz početka sa pravama koje polaze iz kraja vektora i paralelne su pravcima razlaganja

(kao na slici). Pravci razlaganja vektora su 1-1 i 2-2. U

opštem slučaju, pravci razlaganja vektora ne moraju da su pod pravim uglom.

Ukoliko pravci razlaganja među sobom zaklapaju prav ugao,

sa horizontalna i vertikalna komponenta vektora koji zaklapa ugao

horizontalnim pravcem iznose

Ako je dato ( , ) tada je

cosaax i sinaa y

Ugao izražen radijanima: Radijan predstavlja ugao koji odgovara kružnom luku

čija je dužina jednaka dužini poluprečnika kružnice ( = r). Obim kruga poluprečnika r

iznosi 2 r te je Ili

1 rad = 57,3

Hodograf vektora predstavlja skup tačaka po kome se kreću ( hodaju ) vrhovi datog vektora.

a

a

a

a

a

a

b

c

O

a

bac

cosbaabbas

aaaaaaa 0cos

rad22

3600

r

rr

sinbacc

a

b

a

b

ab

cosbba

2

1

2a

a

1a2

1 1

a

cosa

sina

r r

3

MEHANIKA

Mehanika je grana fizike koja proučava kretanje materijalnih tela kao i uzroke koji dovode do promene stanja kretanja. Kretanje je promena položaja posmatranog tela u odnosu na koordinatni sistem vezan za neko telo – referentno telo. Ako je referentno telo nepokretno kretanje je apsolutno, a u suprotnom – relativno. Podela mehanike

Prema logičkoj strukturi deli se na:

(a) KINEMATIKU (geometrijski deo mehanike i ne vodi računa o uzrocima koji dovode do kretanja) (b) DINAMIKU (izučava kretanje materijalnih tela pod uticajem sila kao uzroka koji izazivaju to kretanje)

Prema objektu kretanja deli se na:

(a) MEHANIKU SISTEMA (proučava kretanje materijalnih tela koja se mogu smatrati sistemom čestica npr. kruta tela)

(b) MEHANIKU KONTINUUMA (proučava kretanje tela koja se aproksimativno mogu smatrati kontinualnim npr. fluidi, elastična tela)

U klasičnoj mehanici pojmovi prostora i vremena se shvataju apsolutno. Njutnovi principi mehanike podrazumevaju da vreme u celoj vasioni jednako teče kao i da postoji sistem koji apsolutno miruje u vasioni. Pretpostavke Njutnove mehanike koje se podrazumevaju su:

1. sva tela se kreću brzinama mnogo manjim od brzine svetlosti 2. mase tela koja se kreću su mnogo veće od mase mikroobjekata (atoma, protona...)

Ako prva pretpostavka nije zadovoljena klasičnu mehaniku zamenjuje teorija relativnosti, a ako druga pretpostavka nije zadovoljena primenjuje se kvantna mehanika.

Celokupno izučavanje mehanike se svodi na dva modela: 1. model materijalne tačke (svako telo određene mase zanemarljivih dimenzija) 2. model krutog tela (realno telo koje ne menja svoj oblik prilikom kretanja)

Opisati kretanje znači da treba odrediti: 1. položaj tela u svakom trenutku 2. pravac i smer kretanja 3. brzinu i ubrzanje tela 4. trajektoriju (geometrijsko mesto tačaka u prostoru kroz koje telo sukcesivno prolazi pri kretanju).

KINEMATIKA

Za opisivanje kretanja materijalne tačke u prostoru potrebno je znati njen položaj u svakom trenutku vremena prema unapred izabranom (referentnom) koordinatnom sistemu.

Postoje dva načina opisivanja kretanja: 1. vektorski način opisivanja kretanja 2. prirodan način opisivanja kretanja

Vektorski način opisivanja kretanja

Zamislimo u prostoru trajektoriju neke tačke M (bilo kakvu) i u nekom trenutku tačka se na toj trajektoriji našla u položaju kao na slici. U prostoru izaberemo koordinatni početak (tačka O) u koji smeštamo odgovarajući koordinatni sistem (Dekartov, polarni, cilindrični, sferni).

Vektor položaja tačke M )t(r

(radijus vektor) spaja koordinatni početak sa položajem tačke M u nekom

trenutku vremena t. Očigledno je da se pri kretanju tačke M menja vektor položaja )t(r

i po pravcu i po

intenzitetu što znači da on predstavlja neku funkciju vremena. Pri vektorskom opisivanju kretanja jednačina predstavlja osnovnu kinematsku jednačinu kretanja.

)t(rr

M

)t(r

O

4

Vrh vektora )t(r

sa fiksnim početkom (tačka O) određuje hodograf vektora položaja tačke M. Jasno je da

hodograf vektora položaja predstavlja trajektoriju materijalne tačke M.

Vektor položaja u Dekartovom desnom koordinatnom sistemu

Ose u Dekartovom koordinatnom sistemu su određene jediničnim vektorima ,i

j

i .k

Jedinični vektori ili

ortovi su vektori čiji je intenzitet jednak jedinici. Za jedinične vektore važi: Vektor položaja se u Dekartovom sistemu može razložiti

na komponente ixrx

, jyry

i kzrz

. Sa slike

je očigledno: U Dekartovom koordinatnom sistemu jednačine x = x(t), y = y(t) i z = z(t) predstavljaju osnovne kinematske jednačine kretanja i pokazuju kako se svaka od koordinata menja u toku vremena.

Projekcija vektora r

na x-osu1)

se dobija skalarnim množenjem vektora r

sa jediničnim vektorom i

:

)),(( irirxikzijyiixir

cos

Projekcije na y-osu i z-osu dobijene su na identičan način, skalarnim množenjem vektora r

sa jediničnim

vektorima j

i k

, respektivno.

Ravansko kretanje Za kretanje tela u jednoj ravni npr. xy-ravan, vektor položaja posmatrane materijalne tačke se dobija isključivanjem z-ose: Za kretanje u jednoj ravni često je pogodno koristiti polarni koordinatni

sistem. Veza sa polarnim sistemom koji je definisan sa (r, ) je:

Kod pravolinijskog kretanja (duž x-ose, na primer): у = z = 0 pa je ixr

i intenzitet vektora položaja je

xr .

1) Odgovarajuće projekcije bilo kog vektora dobijaju se skalarnim množenjem sa odgovarajućim jediničnim vektorima.

x

y

z

i

j

k

r

xr

yr

zr

22yx rr

222zyx rrrrr

1kji

)(kkjjii 12cos1

)02/(0 cosikkjji

0222 zyxrrrkzjyixr

1)),(()),(()),((

)),((

)),((

)),((

222

222

222

222

krjrir

zyx

z

r

zkr

zyx

y

r

yjr

zyx

x

r

xir

coscoscos

cos

cos

cos

jik;ikj;kji

022 yxrrrjyixr

x

y;ryx

ryr

rxr

y

xarctg

sin

cos22

x

y

i

j

M

r

xr

yr

5

Brzina

Brzina je vektorska veličina koja daje informacije o intenzitetu brzine i pravcu i smeru kretanja.

Vektor brzine pri vektorskom opisivanju kretanja tačke

Neka se neko telo u početnom trenutku t nalazi u položaju M1 koji je

određen vektorom položaja )t(r

, a u trenutku t+ t u položaju M2 koji je

određen vektorom položaja )tt(r

. Pomeranje tela za neki vremenski

interval t određeno je vektorom pomeraja2)

r

: Kod krivolinijskog kretanja očigledno je da vektor pomeraja nije jednak pređenom putu – puna linija. Samo je kod jednosmernog pravolinijskog kretanja pomeraj jednak pređenom putu.

Odnos vektora pomeraja i odgovarajućeg vremenskog intervala predstavlja srednju brzinu:

Srednja brzina ima isti pravac kao i vektor pomeraja (kao na slici), a drugačijeg je intenziteta. Ono što je odavde očigledno je i činjenica da srednja brzina ne zavisi od pređenog puta, već samo od početnog i krajnjeg položaja tela tj. zavisi samo od vektora pomeraja.

Trenutna brzina

(brzina u nekom trenutku t). Zamislimo da se

vremenski interval t smanjuje do beskonačno malog intervala dt3)

. Tada se tačke 1 i 2 postepeno približavaju jedna drugoj sve dok se gotovo ne poklope, tako da se vektor pomeraja smanjuje do

beskonačno male vrednosti r

d . Odnos pomeraja r

d i proteklog

vremena dt predstavlja srednju brzinu u bekonačno malom

vremenskom intervalu tj. trenutnu brzinu. Dakle, trenutna brzina

predstavlja graničnu vrednost srednje brzine kada vremenski interval

t teži nuli: Vektor trenutne brzine u svakom trenutku vremena ima pravac tangente na trajektoriju u datoj tački i usmeren je u smeru kretanja (pogledati i sliku iznad).

Prema matematičkoj definiciji – granična vrednost odnosa promene funkcije (u ovom slučaju )t(r

) i njoj

odgovarajuće promene nezavisno promenljive (u ovom slučaju t) jeste prvi izvod te funkcije po toj promenljivoj. Na osnovu ove definicije i gornje jednakosti zaključujemo:

Brzina materijalne tačke je prvi izvod njenog vektora položaja po vremenu.

Vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu

Na potpuno identičan način kao i vektor položaja, tako se i

vektor brzine može razložiti na komponente ixx

,

jyy

i kzz

u Dekartovom koordinatnom

sistemu. Ovaj rezultat se jednostavno dobija formalnim izvođenjem:

2)

Pravite razliku između vektora položaja i vektora pomeraja! 3)

U fizici i matematici se oznakom “ ” označavaju konačno male promene, a oznakom “d” beskonačno male promene.

M1

)t(r

O

)tt(r

M2 r

)t(

)tt(

sr

)t(r)tt(rr

t

rsr

s

m

d

dlimlim

00 t

r

t

r

tsr

t

O

M1

)t(r

)tt(r

M2 r

s

Op

О

2

1

r

d

zdt

kdk

dt

dzy

dt

jdj

dt

dy

dt

idi

dt

dx

)kzjyix(dt

d

dt

rd

kzjyixr

0 0 0 x

y

z

i

j

k r

x

22yx

222zyx

y

z

6

Promene jediničnih fiksnih vektora

4) u prostoru su jednake nuli, pa je brzina:

Kod ravanskog kretanja (xy-ravan npr.) je 0z

, a kod pravolinijskog kretanja duž x-ose je 0zy

.

Promena položaja vrha vektora brzine predstavlja hodograf brzine.

Vektor brzine pri prirodnom opisivanju kretanja tačke (opciono)

Ovaj način opisivanja kretanja je zgodan kada je putanja tačke unapred poznata. Na putanji se izabere koordinatni početak, tačka Op. U odnosu na tu tačku odredi se pozitivan i negativan smer kretanja. Lučna koordinata s kod prirodnog opisivanja kretanja je vezana za putanju i meri se u odnosu na koordinatni početak Op.

Jedinični vektor ѕ koordinate kod prirodnog opisivanja kretanja je vektor u

pravcu tangente (u bilo kojoj tački putanje)

. Ako je pomeraj beskonačno

mali onda je rs

dd , pa elementarni pomeraj (beskonačno mali pomeraj),

koji je kao i brzina uvek u pravcu tangente je

sr dd . U tom slučaju brzina

može da se izrazi kao:

tj. jednaka je proizvodu jediničnog vektora tangente i intenziteta brzine t

s

d

d

.

Podela kretanja prema brzini

= const. – pravolinijsko kretanje

= х = const – ravnomerno pravolinijsko kretanje

= х const – neravnomerno pravolinijsko kretanje

const. – krivolinijsko kretanje = const – ravnomerno krivolinijsko kretanje

const – neravnomerno krivolinijsko kretanje

Srednje ubrzanje. Neka neko telo u početnom trenutku t1 = t ima brzinu )t(

,

a u trenutku t2 = t + t brzinu )tt(

. Srednje ubrzanje predstavlja promenu

brzine (krajnja brzina minus početna brzina) u nekom vremenskom intervalu Srednje ubrzanje se očigledno uvek poklapa (paralelno je) sa pravcem vektora promene brzine.

Trenutno ubrzanje a

(ubrzanje u nekom trenutku t) kao i trenutna brzina

predstavlja graničnu vrednost srednjeg ubrzanja kada vremenski interval t teži nuli: Vektor trenutnog ubrzanja u svakom trenutku vremena ima pravac tangente na hodograf vektora brzine i

usmeren je na konveksnu (unutrašnju) stranu krive. Ubrzanje je prvi izvod vektora brzine po

vremenu.

Sa obzirom na to da je t

r

d

d

, dobijamo da je ubrzanje

4)

Iako su jedinični vektori konstantnog intenziteta, u nekim koordinatnim sistemima oni mogu menjati pravac i smer - znači da nisu

konstantni, što znači da njihova promena nije jednaka nuli.

tt

)t()tt(asr

dt

d

taa

tsr

t

00limlim

222zyxzyx kji

O

t

s

t

s

t

r

d

d

d

d

d

d

O

M1

)t(r

)tt(r

M2 r

s

Op

)t(r

M2

M1

)tt(r

)t(

)tt(

sra

7

2

2

dt

rd

dt

dt

rdd

dt

da

(prvi izvod prvog izvoda je drugi izvod), pa se može reći:

ubrzanje predstavlja drugi izvod vektora položaja po vremenu.

Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu

Kao i vektor položaja i vektor brzine, tako se i ubrzanje može razložiti na komponente iaa xx

, jaa yy

i kaa zz

u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Ubrzanje pri prirodnom opisivanju kretanja (opciono)

Sa obzirom da je , zamenom u izraz za ubrzanje dobijamo:

Potrebno je da se naglasi da promena vektora ne postoji ako je on

konstantnog intenziteta, pravca i smera. Jedinični vektor tangente

jeste

konstantnog intenziteta ali je promenljivog pravca što znači da nije konstantan (pogledati sliku). Kako naći prvi izvod po vremenu jediničnog vektora tangente? Prvi izvod se može transformisati na sledeći način:

Ako je telo za neko vreme iz tačke 1 stiglo u tačku 2 posmatrajući sliku zaista je očigledna promena

jediničnog vektora. Intenzitet prvog izvoda jediničnog vektora tangente po lučnoj koordinati je s

limds

d

s

0

. Prema definiciji se vidi da je s , gde predstavlja poluprečnik krivine u datoj tački puta (pošto

posmatramo veoma mali pomeraj po putanji možemo da smatramo da se poluprečnik krivine nije promenio).

Sledi da je s . Isto tako možemo da smatramo da je promena jediničnog vektora tangente

približno luk jediničnog kruga ( 121

) nad uglom , pa je

, odnosno

1

. Dakle, 1

00

sslim

slim

ds

d, pa je

dt

d

. Kada ѕ 0, 1

i 2

se

skoro poklapaju a

je normalan na njih, odnosno ima pravac normale na putanju. Ako je jedinični vektor u

pravcu normale na putanju n

, onda je ndt

d

, pa imamo da je vektor ubrzanja

nn aanaandt

da

2

kdt

zdj

dt

ydi

dt

xda

kdt

dj

dt

di

dt

da

)kji(dt

d

dt

da

zyx

zyx

222

222zyx aaaa

ds

d

dt

ds

ds

d

dt

d

M2

M1

)t(r

O )tt(r

a

)t(

)tt(

sra

1 2

ѕ

1 1

2

8

Vektor ubrzanja se sastoji iz dve komponente od kojih jedna izaziva

samo promenu intenziteta -

dt

da , a druga samo promenu pavca

brzine - nan

2

. Vektor ukupnog ubrzanja uvek je usmeren na

konveksnu (unutrašnju) stranu putanje a intenzitet mu iznosi

22naaa .

Kod kružnog kretanja predstavlja poluprečnik kružnice.

Podela kretanja prema poluprečniku krivine

1) - pravolinijsko kretanje

2) - krivolinijsko kretanje (specijalan slučaj je za = const – kružno kretanje)

Podela kretanja prema ubrzanju

pravolinijsko kretanje

0na

a = 0 = const – ravnomerno pravolinijsko kretanje

a 0 raste – ubrzano pravolinijsko kretanje

a 0 opada – usporeno pravolinijsko kretanje

specijalan slučaj:

a = const – ravnomerno ubrzano/usporeno pravolinijsko kretanje

krivolinijsko kretanje

0na

a = 0 =const – ravnomerno krivolinijsko/kružno kretanje

a 0 raste – ubrzano krivolinijsko /kružno kretanje

a 0 opada – usporeno krivolinijsko /kružno kretanje

specijalan slučaj:

a = const – ravnomerno ubrzano/usporeno

krivolinijsko/kružno kretanje

Primeri

Određivanje brojne vrednosti intenziteta vektora brzine

Posmatrajmo komponente vektora pložaja, brzine i ubrzanja duž x-ose: Integrali se prethodna jednačina i neka je u početnom trenutku t0 telo imalo koordinatu x0 a u nekom trenutku t koordinatu x (1) Ako se telo kreće konstantnom brzinom i ako se uzme da kada je t = t0 = 0, x = x0, dobija se poznat izraz za pravolinijsko kretanje

Množenjem sa jediničnim vektorom i

prethodna jednačina se može napisati u sledećem obliku

Na identičan način bi se dobile komponente duž x i y-ose, tako da se prethodna jednačina uopšteno može zapisati u obliku

dtdxdt

dxi

dt

dxi

xr

xxx

x

t

tx

t

tx

x

x

dtxxdtdx000

0

t

txdtxx

0

0

t

t

dt)t(rr0

0

txx x0

t

txdtxx

0

0

a

aa

naa nn

n

9

gde je r

vektor položaja u trenutku t, a 0r

vektor položaja u početnom trenutku t05)

.

Komponenta vektora ubrzanja duž x-ose je Ponovo se integrali prethodna jednačina Kao i vektor položaja i ova jednačina se može napisati u vektorskom obliku

Kretanje tela sa konstantnim ubrzanjem

Ako se telo kreće konstantnim ubrzanjem, ax izlazi ispred integrala i dobija se

uz uslov da je t = t0 = 0, ili uopšteno u vektorskom obliku ta

0 (2)

Zamenom u jed.(1)

ili uopšteno u vektorskom obliku 2

2

00

tatrr

(3)

Primer kosog hica (kretanje u xy ravni)

Neka je telo izbačeno sa početnom brzinom 0

kao na slici.

Zanemaruje se otpor vazduha pa je 0

= const. Telo se kreće sa

konstantnim (vertikalnim) ubrzanjem 0, xy ajga

. Trajektorija

je data isprekidanom linijom. Razlože se jednačine (2) i (3) na komponente duž x i y pravca skalarnim množenjem sa jediničnim

vektorima i

odnosno j

:

Na identičan način se iz jednačine (3) dobija:

5)

Podsetimo se da skalarnim množenjem sa jediničnim vektorima dobijamo intenzitete odgovarajućih komponenti.

dtaddt

dai

dt

dia xx

xx

xx

t

txxx

t

txx dtadtad

x

x 0

0

00

taxxx 0

2

2

00 0

0

0

tatxxdt)ta(xx x

x

t

txx

t

t

dta

0

0

)(gt

)(

ijtgii

j,i/tjg

y

x

x

bsin

acos

0

0

0

0

)(gt

tyr

)(txr

j,i/tjg

trr

y

x

d2

sin

ccos

2

2

0

0

2

00

x

y

0

D

0y

ga

j

i

10

Na osnovu prethodnih jednačina može se dobiti maksimalna visina (ymax), domet (D) kosog hica, vreme preleta (tp), jednačina trajektorije y(x) itd.

Maksimalna visina se dobija iz uslova da je 0y pa je jed.(b) g

tsin0 , što zamenom u jed.(d) daje

gymax

2

sin220

Domet se dobija iz uslova da je za x = D, y = 0 pa iz jed.(d) sledi g

tsin2 0 i zamenom u jed.(c) dobija se

ggD

2sincossin2 20

20 gde je promenljiva veličina. Maksimalan domet iznosiće za sin2 = 1,

gD

20 pri = 45

o.

Izvlačenjem vremena iz jed.(c) i zamenom u jed.(d) dobija se jednačina trajektorije 22

0

2

cos2tg

gxxy

što je u stvari jednačina parabole y = Ax2 + Bx.

Određivanje brojne vrednosti intenziteta vektora ugaone brzine

i ugaonog pomeraja

Na osnovu definicije ugaonog ubrzanja, dobija se

Ako je u trenutku t = t0 telo imalo početnu ugaonu brzinu = 0, a u trenutku t = t neka je ugaona brzina

iznosila = , brojna vrednost te brzine dobijamo se integracijom prethodne jednačine Zamenom dobijene jednačine u jednačinu koja povezuje ugaonu brzinu i ugaoni pomeraj dobija se Posmatraju se dva karakteristična slučaja:

1) Ako je = 0 = 0 = const (uniformno kružno kretanje),

= 0 + 0t

2) Ako je = const. (kretanje sa konstantnim ubzanjem, ide ispred integrala),

2

2

00

tt

dtd

t

t

t

t

dtdtd

000

0

dtdtdt

dtdtdtd

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

0 00

0 000

00

0