1
PODSETNIK
VEKTORI
Poznato nam je da postoje skalarne i vektorske veličine. Skalarne veličine određene su samo brojnom vrednošću (temperatura, masa, vreme...), i sa njima se računa po pravilima obične algebre, dok su vektorske veličine određene smerom, pravcem i intenzitetom (brzina, ubrzanje, sila...) i sa njima se računa po pravilima vektorske algebre.
Vektor se grafički predstavlja orijentisanom duži – to je duž sa strelicom na kraju. Mesto na kome je strelica je kraj vektora a suprotna strana mu je početak.
Označava se slovom sa strelicom iznad a
.
Vektor ima: a) intenzitet koji je skalarna veličina, određen je brojnom vrednošću i jedinicom, a grafički ga
predstavlja dužina vektora u nekoj razmeri, b) pravac, određen pravom na kojoj se nalazi vektor, međutim, isti pravac nemaju samo vektori
koji se nalaze na istoj (jednoj) pravoj već i svi vektori koji se nalaze na njoj paralelnim pravama. Dakle, vektor se ne menja ako se pomera paralelno samom sebi – translira.
c) smer, koga grafički označava strelica.
Jedinični vektor 0a
je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici 100 aa
. Jedinični vektori se
prvenstveno uvode da bi definisali pravac i smer neke vektorske veličine. Pomoću njih se neki vektor
a
može zapisati kao 0aaa
, gde je a intenzitet vektora (skalar).
Sabiranje vektora cba
pravilo trougla pravilo paralelograma
Oduzimanje vektora
Promenimo samo orijentaciju (smer) vektora b
tako da sada imamo vektor b
Množenje vektora skalarom
Množenjem vektora a
nekim skalarom s samo
se povećava intenzitet tog vektora
Množenjem npr. negativnim brojem, vektor menja i smer i intenzitet
Neka pravila vektorskog sabiranja
abba
(komutativnost)
c)ba()cb(a
(asocijativnost)
bsas)ba(s
)b(abac
asc
ac
2
a
a
a
a
a
b
c
a
b c
a
b
c
a
c
a
c
2
Skalarni priozvod vektora i b
između kojih je ugao daje skalar s:
Intenzitet nekog vektora dobija se skalarnim množenjem tog vektora samima sobom:
Projekcija vektora b
na vektor a
(i obrnuto) iznosi:
Vektorski proizvod vektora i b
između kojih je ugao daje treći vektor c
čiji je pravac uvek normalan
na ravan koju obrazuju vektori i b
, a smer se određuje pravilom desnog zavrtnja idući najkraćim
rastojanjem od prvog ka drugom vektoru.
Zapamtiti da je kod vektorskog proizvoda bitno koji je vektor prvi a koji drugi jer njihov redosled određuje orijentaciju trećeg vektora (proizvoda).
Intenzitet vektora c
jednak je površini osenčenog paralelograma
Razlaganje vektora
Razlaganje vektora na komponente je proces suprotan sabiranju vektora: Iz početne i krajnje tačke vektora povuku se pravci na koje se on razlaže; početak komponenti je u početku vektora koji se razlaže, a krajevi su u tačkama preseka pravih koje polaze iz početka sa pravama koje polaze iz kraja vektora i paralelne su pravcima razlaganja
(kao na slici). Pravci razlaganja vektora su 1-1 i 2-2. U
opštem slučaju, pravci razlaganja vektora ne moraju da su pod pravim uglom.
Ukoliko pravci razlaganja među sobom zaklapaju prav ugao,
sa horizontalna i vertikalna komponenta vektora koji zaklapa ugao
horizontalnim pravcem iznose
Ako je dato ( , ) tada je
cosaax i sinaa y
Ugao izražen radijanima: Radijan predstavlja ugao koji odgovara kružnom luku
čija je dužina jednaka dužini poluprečnika kružnice ( = r). Obim kruga poluprečnika r
iznosi 2 r te je Ili
1 rad = 57,3
Hodograf vektora predstavlja skup tačaka po kome se kreću ( hodaju ) vrhovi datog vektora.
a
a
a
a
a
a
b
c
O
a
bac
cosbaabbas
aaaaaaa 0cos
rad22
3600
r
rr
sinbacc
a
b
a
b
ab
cosbba
2
1
2a
a
1a2
1 1
a
cosa
sina
r r
3
MEHANIKA
Mehanika je grana fizike koja proučava kretanje materijalnih tela kao i uzroke koji dovode do promene stanja kretanja. Kretanje je promena položaja posmatranog tela u odnosu na koordinatni sistem vezan za neko telo – referentno telo. Ako je referentno telo nepokretno kretanje je apsolutno, a u suprotnom – relativno. Podela mehanike
Prema logičkoj strukturi deli se na:
(a) KINEMATIKU (geometrijski deo mehanike i ne vodi računa o uzrocima koji dovode do kretanja) (b) DINAMIKU (izučava kretanje materijalnih tela pod uticajem sila kao uzroka koji izazivaju to kretanje)
Prema objektu kretanja deli se na:
(a) MEHANIKU SISTEMA (proučava kretanje materijalnih tela koja se mogu smatrati sistemom čestica npr. kruta tela)
(b) MEHANIKU KONTINUUMA (proučava kretanje tela koja se aproksimativno mogu smatrati kontinualnim npr. fluidi, elastična tela)
U klasičnoj mehanici pojmovi prostora i vremena se shvataju apsolutno. Njutnovi principi mehanike podrazumevaju da vreme u celoj vasioni jednako teče kao i da postoji sistem koji apsolutno miruje u vasioni. Pretpostavke Njutnove mehanike koje se podrazumevaju su:
1. sva tela se kreću brzinama mnogo manjim od brzine svetlosti 2. mase tela koja se kreću su mnogo veće od mase mikroobjekata (atoma, protona...)
Ako prva pretpostavka nije zadovoljena klasičnu mehaniku zamenjuje teorija relativnosti, a ako druga pretpostavka nije zadovoljena primenjuje se kvantna mehanika.
Celokupno izučavanje mehanike se svodi na dva modela: 1. model materijalne tačke (svako telo određene mase zanemarljivih dimenzija) 2. model krutog tela (realno telo koje ne menja svoj oblik prilikom kretanja)
Opisati kretanje znači da treba odrediti: 1. položaj tela u svakom trenutku 2. pravac i smer kretanja 3. brzinu i ubrzanje tela 4. trajektoriju (geometrijsko mesto tačaka u prostoru kroz koje telo sukcesivno prolazi pri kretanju).
KINEMATIKA
Za opisivanje kretanja materijalne tačke u prostoru potrebno je znati njen položaj u svakom trenutku vremena prema unapred izabranom (referentnom) koordinatnom sistemu.
Postoje dva načina opisivanja kretanja: 1. vektorski način opisivanja kretanja 2. prirodan način opisivanja kretanja
Vektorski način opisivanja kretanja
Zamislimo u prostoru trajektoriju neke tačke M (bilo kakvu) i u nekom trenutku tačka se na toj trajektoriji našla u položaju kao na slici. U prostoru izaberemo koordinatni početak (tačka O) u koji smeštamo odgovarajući koordinatni sistem (Dekartov, polarni, cilindrični, sferni).
Vektor položaja tačke M )t(r
(radijus vektor) spaja koordinatni početak sa položajem tačke M u nekom
trenutku vremena t. Očigledno je da se pri kretanju tačke M menja vektor položaja )t(r
i po pravcu i po
intenzitetu što znači da on predstavlja neku funkciju vremena. Pri vektorskom opisivanju kretanja jednačina predstavlja osnovnu kinematsku jednačinu kretanja.
)t(rr
M
)t(r
O
4
Vrh vektora )t(r
sa fiksnim početkom (tačka O) određuje hodograf vektora položaja tačke M. Jasno je da
hodograf vektora položaja predstavlja trajektoriju materijalne tačke M.
Vektor položaja u Dekartovom desnom koordinatnom sistemu
Ose u Dekartovom koordinatnom sistemu su određene jediničnim vektorima ,i
j
i .k
Jedinični vektori ili
ortovi su vektori čiji je intenzitet jednak jedinici. Za jedinične vektore važi: Vektor položaja se u Dekartovom sistemu može razložiti
na komponente ixrx
, jyry
i kzrz
. Sa slike
je očigledno: U Dekartovom koordinatnom sistemu jednačine x = x(t), y = y(t) i z = z(t) predstavljaju osnovne kinematske jednačine kretanja i pokazuju kako se svaka od koordinata menja u toku vremena.
Projekcija vektora r
na x-osu1)
se dobija skalarnim množenjem vektora r
sa jediničnim vektorom i
:
)),(( irirxikzijyiixir
cos
Projekcije na y-osu i z-osu dobijene su na identičan način, skalarnim množenjem vektora r
sa jediničnim
vektorima j
i k
, respektivno.
Ravansko kretanje Za kretanje tela u jednoj ravni npr. xy-ravan, vektor položaja posmatrane materijalne tačke se dobija isključivanjem z-ose: Za kretanje u jednoj ravni često je pogodno koristiti polarni koordinatni
sistem. Veza sa polarnim sistemom koji je definisan sa (r, ) je:
Kod pravolinijskog kretanja (duž x-ose, na primer): у = z = 0 pa je ixr
i intenzitet vektora položaja je
xr .
1) Odgovarajuće projekcije bilo kog vektora dobijaju se skalarnim množenjem sa odgovarajućim jediničnim vektorima.
x
y
z
i
j
k
r
xr
yr
zr
22yx rr
222zyx rrrrr
1kji
)(kkjjii 12cos1
)02/(0 cosikkjji
0222 zyxrrrkzjyixr
1)),(()),(()),((
)),((
)),((
)),((
222
222
222
222
krjrir
zyx
z
r
zkr
zyx
y
r
yjr
zyx
x
r
xir
coscoscos
cos
cos
cos
jik;ikj;kji
022 yxrrrjyixr
x
y;ryx
ryr
rxr
y
xarctg
sin
cos22
x
y
i
j
M
r
xr
yr
5
Brzina
Brzina je vektorska veličina koja daje informacije o intenzitetu brzine i pravcu i smeru kretanja.
Vektor brzine pri vektorskom opisivanju kretanja tačke
Neka se neko telo u početnom trenutku t nalazi u položaju M1 koji je
određen vektorom položaja )t(r
, a u trenutku t+ t u položaju M2 koji je
određen vektorom položaja )tt(r
. Pomeranje tela za neki vremenski
interval t određeno je vektorom pomeraja2)
r
: Kod krivolinijskog kretanja očigledno je da vektor pomeraja nije jednak pređenom putu – puna linija. Samo je kod jednosmernog pravolinijskog kretanja pomeraj jednak pređenom putu.
Odnos vektora pomeraja i odgovarajućeg vremenskog intervala predstavlja srednju brzinu:
Srednja brzina ima isti pravac kao i vektor pomeraja (kao na slici), a drugačijeg je intenziteta. Ono što je odavde očigledno je i činjenica da srednja brzina ne zavisi od pređenog puta, već samo od početnog i krajnjeg položaja tela tj. zavisi samo od vektora pomeraja.
Trenutna brzina
(brzina u nekom trenutku t). Zamislimo da se
vremenski interval t smanjuje do beskonačno malog intervala dt3)
. Tada se tačke 1 i 2 postepeno približavaju jedna drugoj sve dok se gotovo ne poklope, tako da se vektor pomeraja smanjuje do
beskonačno male vrednosti r
d . Odnos pomeraja r
d i proteklog
vremena dt predstavlja srednju brzinu u bekonačno malom
vremenskom intervalu tj. trenutnu brzinu. Dakle, trenutna brzina
predstavlja graničnu vrednost srednje brzine kada vremenski interval
t teži nuli: Vektor trenutne brzine u svakom trenutku vremena ima pravac tangente na trajektoriju u datoj tački i usmeren je u smeru kretanja (pogledati i sliku iznad).
Prema matematičkoj definiciji – granična vrednost odnosa promene funkcije (u ovom slučaju )t(r
) i njoj
odgovarajuće promene nezavisno promenljive (u ovom slučaju t) jeste prvi izvod te funkcije po toj promenljivoj. Na osnovu ove definicije i gornje jednakosti zaključujemo:
Brzina materijalne tačke je prvi izvod njenog vektora položaja po vremenu.
Vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu
Na potpuno identičan način kao i vektor položaja, tako se i
vektor brzine može razložiti na komponente ixx
,
jyy
i kzz
u Dekartovom koordinatnom
sistemu. Ovaj rezultat se jednostavno dobija formalnim izvođenjem:
2)
Pravite razliku između vektora položaja i vektora pomeraja! 3)
U fizici i matematici se oznakom “ ” označavaju konačno male promene, a oznakom “d” beskonačno male promene.
M1
)t(r
O
)tt(r
M2 r
)t(
)tt(
sr
)t(r)tt(rr
t
rsr
s
m
d
dlimlim
00 t
r
t
r
tsr
t
O
M1
)t(r
)tt(r
M2 r
s
Op
О
2
1
r
d
zdt
kdk
dt
dzy
dt
jdj
dt
dy
dt
idi
dt
dx
)kzjyix(dt
d
dt
rd
kzjyixr
0 0 0 x
y
z
i
j
k r
x
22yx
222zyx
y
z
6
Promene jediničnih fiksnih vektora
4) u prostoru su jednake nuli, pa je brzina:
Kod ravanskog kretanja (xy-ravan npr.) je 0z
, a kod pravolinijskog kretanja duž x-ose je 0zy
.
Promena položaja vrha vektora brzine predstavlja hodograf brzine.
Vektor brzine pri prirodnom opisivanju kretanja tačke (opciono)
Ovaj način opisivanja kretanja je zgodan kada je putanja tačke unapred poznata. Na putanji se izabere koordinatni početak, tačka Op. U odnosu na tu tačku odredi se pozitivan i negativan smer kretanja. Lučna koordinata s kod prirodnog opisivanja kretanja je vezana za putanju i meri se u odnosu na koordinatni početak Op.
Jedinični vektor ѕ koordinate kod prirodnog opisivanja kretanja je vektor u
pravcu tangente (u bilo kojoj tački putanje)
. Ako je pomeraj beskonačno
mali onda je rs
dd , pa elementarni pomeraj (beskonačno mali pomeraj),
koji je kao i brzina uvek u pravcu tangente je
sr dd . U tom slučaju brzina
može da se izrazi kao:
tj. jednaka je proizvodu jediničnog vektora tangente i intenziteta brzine t
s
d
d
.
Podela kretanja prema brzini
= const. – pravolinijsko kretanje
= х = const – ravnomerno pravolinijsko kretanje
= х const – neravnomerno pravolinijsko kretanje
const. – krivolinijsko kretanje = const – ravnomerno krivolinijsko kretanje
const – neravnomerno krivolinijsko kretanje
Srednje ubrzanje. Neka neko telo u početnom trenutku t1 = t ima brzinu )t(
,
a u trenutku t2 = t + t brzinu )tt(
. Srednje ubrzanje predstavlja promenu
brzine (krajnja brzina minus početna brzina) u nekom vremenskom intervalu Srednje ubrzanje se očigledno uvek poklapa (paralelno je) sa pravcem vektora promene brzine.
Trenutno ubrzanje a
(ubrzanje u nekom trenutku t) kao i trenutna brzina
predstavlja graničnu vrednost srednjeg ubrzanja kada vremenski interval t teži nuli: Vektor trenutnog ubrzanja u svakom trenutku vremena ima pravac tangente na hodograf vektora brzine i
usmeren je na konveksnu (unutrašnju) stranu krive. Ubrzanje je prvi izvod vektora brzine po
vremenu.
Sa obzirom na to da je t
r
d
d
, dobijamo da je ubrzanje
4)
Iako su jedinični vektori konstantnog intenziteta, u nekim koordinatnim sistemima oni mogu menjati pravac i smer - znači da nisu
konstantni, što znači da njihova promena nije jednaka nuli.
tt
)t()tt(asr
dt
d
taa
tsr
t
00limlim
222zyxzyx kji
O
t
s
t
s
t
r
d
d
d
d
d
d
O
M1
)t(r
)tt(r
M2 r
s
Op
)t(r
M2
M1
)tt(r
)t(
)tt(
sra
7
2
2
dt
rd
dt
dt
rdd
dt
da
(prvi izvod prvog izvoda je drugi izvod), pa se može reći:
ubrzanje predstavlja drugi izvod vektora položaja po vremenu.
Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu
Kao i vektor položaja i vektor brzine, tako se i ubrzanje može razložiti na komponente iaa xx
, jaa yy
i kaa zz
u Dekartovom koordinatnom sistemu.
Ubrzanje pri prirodnom opisivanju kretanja (opciono)
Sa obzirom da je , zamenom u izraz za ubrzanje dobijamo:
Potrebno je da se naglasi da promena vektora ne postoji ako je on
konstantnog intenziteta, pravca i smera. Jedinični vektor tangente
jeste
konstantnog intenziteta ali je promenljivog pravca što znači da nije konstantan (pogledati sliku). Kako naći prvi izvod po vremenu jediničnog vektora tangente? Prvi izvod se može transformisati na sledeći način:
Ako je telo za neko vreme iz tačke 1 stiglo u tačku 2 posmatrajući sliku zaista je očigledna promena
jediničnog vektora. Intenzitet prvog izvoda jediničnog vektora tangente po lučnoj koordinati je s
limds
d
s
0
. Prema definiciji se vidi da je s , gde predstavlja poluprečnik krivine u datoj tački puta (pošto
posmatramo veoma mali pomeraj po putanji možemo da smatramo da se poluprečnik krivine nije promenio).
Sledi da je s . Isto tako možemo da smatramo da je promena jediničnog vektora tangente
približno luk jediničnog kruga ( 121
) nad uglom , pa je
, odnosno
1
. Dakle, 1
00
sslim
slim
ds
d, pa je
dt
d
. Kada ѕ 0, 1
i 2
se
skoro poklapaju a
je normalan na njih, odnosno ima pravac normale na putanju. Ako je jedinični vektor u
pravcu normale na putanju n
, onda je ndt
d
, pa imamo da je vektor ubrzanja
nn aanaandt
da
2
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xda
kdt
dj
dt
di
dt
da
)kji(dt
d
dt
da
zyx
zyx
222
222zyx aaaa
ds
d
dt
ds
ds
d
dt
d
M2
M1
)t(r
O )tt(r
a
)t(
)tt(
sra
1 2
ѕ
1 1
2
8
Vektor ubrzanja se sastoji iz dve komponente od kojih jedna izaziva
samo promenu intenziteta -
dt
da , a druga samo promenu pavca
brzine - nan
2
. Vektor ukupnog ubrzanja uvek je usmeren na
konveksnu (unutrašnju) stranu putanje a intenzitet mu iznosi
22naaa .
Kod kružnog kretanja predstavlja poluprečnik kružnice.
Podela kretanja prema poluprečniku krivine
1) - pravolinijsko kretanje
2) - krivolinijsko kretanje (specijalan slučaj je za = const – kružno kretanje)
Podela kretanja prema ubrzanju
pravolinijsko kretanje
0na
a = 0 = const – ravnomerno pravolinijsko kretanje
a 0 raste – ubrzano pravolinijsko kretanje
a 0 opada – usporeno pravolinijsko kretanje
specijalan slučaj:
a = const – ravnomerno ubrzano/usporeno pravolinijsko kretanje
krivolinijsko kretanje
0na
a = 0 =const – ravnomerno krivolinijsko/kružno kretanje
a 0 raste – ubrzano krivolinijsko /kružno kretanje
a 0 opada – usporeno krivolinijsko /kružno kretanje
specijalan slučaj:
a = const – ravnomerno ubrzano/usporeno
krivolinijsko/kružno kretanje
Primeri
Određivanje brojne vrednosti intenziteta vektora brzine
Posmatrajmo komponente vektora pložaja, brzine i ubrzanja duž x-ose: Integrali se prethodna jednačina i neka je u početnom trenutku t0 telo imalo koordinatu x0 a u nekom trenutku t koordinatu x (1) Ako se telo kreće konstantnom brzinom i ako se uzme da kada je t = t0 = 0, x = x0, dobija se poznat izraz za pravolinijsko kretanje
Množenjem sa jediničnim vektorom i
prethodna jednačina se može napisati u sledećem obliku
Na identičan način bi se dobile komponente duž x i y-ose, tako da se prethodna jednačina uopšteno može zapisati u obliku
dtdxdt
dxi
dt
dxi
xr
xxx
x
t
tx
t
tx
x
x
dtxxdtdx000
0
t
txdtxx
0
0
t
t
dt)t(rr0
0
txx x0
t
txdtxx
0
0
a
aa
naa nn
n
9
gde je r
vektor položaja u trenutku t, a 0r
vektor položaja u početnom trenutku t05)
.
Komponenta vektora ubrzanja duž x-ose je Ponovo se integrali prethodna jednačina Kao i vektor položaja i ova jednačina se može napisati u vektorskom obliku
Kretanje tela sa konstantnim ubrzanjem
Ako se telo kreće konstantnim ubrzanjem, ax izlazi ispred integrala i dobija se
uz uslov da je t = t0 = 0, ili uopšteno u vektorskom obliku ta
0 (2)
Zamenom u jed.(1)
ili uopšteno u vektorskom obliku 2
2
00
tatrr
(3)
Primer kosog hica (kretanje u xy ravni)
Neka je telo izbačeno sa početnom brzinom 0
kao na slici.
Zanemaruje se otpor vazduha pa je 0
= const. Telo se kreće sa
konstantnim (vertikalnim) ubrzanjem 0, xy ajga
. Trajektorija
je data isprekidanom linijom. Razlože se jednačine (2) i (3) na komponente duž x i y pravca skalarnim množenjem sa jediničnim
vektorima i
odnosno j
:
Na identičan način se iz jednačine (3) dobija:
5)
Podsetimo se da skalarnim množenjem sa jediničnim vektorima dobijamo intenzitete odgovarajućih komponenti.
dtaddt
dai
dt
dia xx
xx
xx
t
txxx
t
txx dtadtad
x
x 0
0
00
taxxx 0
2
2
00 0
0
0
tatxxdt)ta(xx x
x
t
txx
t
t
dta
0
0
)(gt
)(
ijtgii
j,i/tjg
y
x
x
bsin
acos
0
0
0
0
)(gt
tyr
)(txr
j,i/tjg
trr
y
x
d2
sin
ccos
2
2
0
0
2
00
x
y
0
D
0y
ga
j
i
10
Na osnovu prethodnih jednačina može se dobiti maksimalna visina (ymax), domet (D) kosog hica, vreme preleta (tp), jednačina trajektorije y(x) itd.
Maksimalna visina se dobija iz uslova da je 0y pa je jed.(b) g
tsin0 , što zamenom u jed.(d) daje
gymax
2
sin220
Domet se dobija iz uslova da je za x = D, y = 0 pa iz jed.(d) sledi g
tsin2 0 i zamenom u jed.(c) dobija se
ggD
2sincossin2 20
20 gde je promenljiva veličina. Maksimalan domet iznosiće za sin2 = 1,
gD
20 pri = 45
o.
Izvlačenjem vremena iz jed.(c) i zamenom u jed.(d) dobija se jednačina trajektorije 22
0
2
cos2tg
gxxy
što je u stvari jednačina parabole y = Ax2 + Bx.
Određivanje brojne vrednosti intenziteta vektora ugaone brzine
i ugaonog pomeraja
Na osnovu definicije ugaonog ubrzanja, dobija se
Ako je u trenutku t = t0 telo imalo početnu ugaonu brzinu = 0, a u trenutku t = t neka je ugaona brzina
iznosila = , brojna vrednost te brzine dobijamo se integracijom prethodne jednačine Zamenom dobijene jednačine u jednačinu koja povezuje ugaonu brzinu i ugaoni pomeraj dobija se Posmatraju se dva karakteristična slučaja:
1) Ako je = 0 = 0 = const (uniformno kružno kretanje),
= 0 + 0t
2) Ako je = const. (kretanje sa konstantnim ubzanjem, ide ispred integrala),
2
2
00
tt
dtd
t
t
t
t
dtdtd
000
0
dtdtdt
dtdtdtd
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
0 00
0 000
00
0
Top Related