NEBESKA MEHANIKA(Seminarski rad)

1. UVOD32. ISTRAIVANJE GRAVITACIJSKOG POLJA ZEMLJE I DRUGIH NEBESKIH TIJELA22.1 Akceleracija gravitacijske sile na povrini planeta i u okolnom prostoru32.2 Odredimo taku u prostoru u kojoj gravitacijsko polje izmeu dvaju tijela iezava42. 3 Gravitacijsko polje i vrtnja planeta63. GIBANJA SVEMIRSKIH LETJELICA BRZINA KRUENJA I OSLOBAANJA, ODREIVANJE MASE SUNCA I PLANETA93.1 Brzina kruenja93.2 Brzina oslobaanja103.3 Plimna sila114. DINAMIKA PLANETNOG SUSTAVA 13 5. ZAKLJUAK.176. LITERATURA..18

1. UVOD

Osnovna zadaa nebeske mehanike je matematiki opis gibanja nebeskih tijela. Prorauni gibanja nebeskih tijela veoma su sloeni. Naime, nebeska tijela unutar nekog sustava (npr. tijela Suneva sustava) uzajamno djeluju gravitacijskim silama. Uzimanjem u obzir svih uzajamnih djelovanja dobivaju se sloene jednadbe gibanja koje openito nisu analitiki rjeive. Ipak, najei je sluaj da jedno od tijela ima dominantan utjecaj. Stoga se ovim problemima pristupa na taj nain da se u prvom koraku rijee u pojednostavljenom obliku (npr. kod gibanja planeta uzimamo u obzir samo gravitacijsko djelovanje Sunce-planet), a potom se utjecaji koje smo zanemarili u prvom koraku, (npr. gravitacijsko djelovanje drugih planeta), naknadno uzimaju u obzir. Proraunavati se moe i na taj nain da prvo odredimo rezultantnu gravitacijsku silu svih tijela u sustavu na odabrano tijelo ije gibanje istraujemo, pa iz tako dobivene jednadbe gibanja odredimo poloaj tijela u nekom nastupajuem vremenu (t1). Zatim postupak ponavljamo s obzirom na novu konfiguraciju koju su zauzela tijela u vremenut1 postavljamo novu jednadbu gibanja iz koje emo izraunati poloaj tijela u narednom trenutkut2. Ovim sukcesivnim i napornim postupkom mogu se precizno proraunavati gibanja nebeskih tijela, tj. odreivati njihovi budui poloaji. Spomenimo da se radi tonosti rauna mnogi problemi nebeske mehanike postavljaju u okvirima suvremenih fizikalnih teorija, poput Einsteinove teorije relativnosti.

2. ISTRAIVANJE GRAVITACIJSKOG POLJA ZEMLJE I DRUGIH NEBESKIH TIJELA

Gravitacijskim poljem nazivamo prostor oko nekog tijela u kojem se oituje djelovanje gravitacijske sile tog tijela. Gravitacijsku silu moemo opisati (u pojednostavljenom obliku koji openito daje zadovoljavajue rezultate za slaba gravitacijska polja) poznatim Newtonovim zakonom gravitacije. Prema Newtonovom zakonu gravitacijska silaFkojom se privlae dvije materijalne estice masa m1im2i koje se nalaze na uzajamnoj udaljenostir, dana je izrazom:

gdje jeGgravitacijska konstanta i iznosi 6,672.10-11m3kg-1s-2. Moe se pokazati da je gravitacijsko polje homogene kugle (ili kugle ija gustoa ovisi samo o udaljenosti od njena sredita) ekvivalentno gravitacijskom polju materijalne toke ija je masa jednaka masi kugle i za koju zamiljamo da je smjetena u sreditu kugle. Kako su svemirska tijela najee oblika kugle i najee im gustoa ovisi samo o udaljenosti od njihova sredita, njihovo gravitacijsko djelovanje moe se opisati izrazom . ak i tijela koja nisu krunog oblika (npr. kometi ili asteroidi) na veim udaljenostima ponaaju se poput materijalnih toaka.

2.1 Akceleracija gravitacijske sile na povrini planeta i u okolnom prostoru

Newtonov zakon gravitacije omoguuje nam da odredimo akceleraciju gravitacijske sile planeta u bilo kojoj udaljenosti od njegova sredita. Na slici 2.1.1 prikazan je planet maseM, polumjeraRi neko tijelo masemkoje se nalazi u visinihiznad povrine planeta, dakle u udaljenostiR + hod sredita planeta. Izjednaimo gravitacijsku silu kojom planet djeluje na tijelo masems teinom tijela masem(teina tijela jednaka je umnoku mase tijela i akceleracije sile tee u udaljenosti u kojoj se nalazi to tijelo:

Iz ovog izraza nalazimo da je vrijednost akceleracije sile tee u visini h iznad povrine planeta jednaka:

Slika 2.1.1 Akceleracija gravitacijske sile planeta (mase M i polumjera R) u visini h iznad njegove povrine moe se izraunati razmatranjem gravitacijskog utjecaja planeta na zamiljeno tijelo mase m koje se nalazi u udaljenosti R + h od sredita planeta.Tako je npr. u visini 1000 km iznad povrine Zemlje (masa Zemlje je 5,9742.1024kg a polumjer 6,378.106m) akceleracija gravitacijske sile jednaka 7,32 ms-2(to je 75% od vrijednosti akceleracije gravitacijske sile na povrini Zemlje). Lako se moe pokazati da u visini 2642 km od povrine Zemlje, akceleracija gravitacijske sile poprima dva puta manji iznos od one na Zemljinoj povrini. Izraz (omoguuje nam da izraunamo i vrijednost akceleracije sile tee drugih nebeskih tijela. Razmotrimo primjer planeta Marsa. Marsov polumjer je 3,393.106m a masa 6,420.1023kg, pa za akceleraciju gravitacijske sile na povrini Marsa dobivamo vrijednost od 3,72ms-2to je priblino 38% od vrijednosti akceleracije sile tee na povrini naeg planeta.

2.2 Odredimo taku u prostoru u kojoj gravitacijsko polje izmeu dvaju tijela iezava

Razmotrimo privlaenje Zemlje (Z) i Mjeseca (M), ija se sredita nalaze na udaljenostir(slika 2.2.1). Neka se neko zamiljeno tijelo mase m nalazi upravo u onoj udaljenostixod sredita Zemlje u kojoj se gravitacijska privlaenja Zemlje i Mjeseca izjednauju. Kolika je ta udaljenost saznat emo izjednaimo li gravitacijsku silu kojom Zemlja mase MZ privlai tijelo mase m i gravitacijsku silu kojom Mjesec mase MM privlai tijelo mase m. Udaljenost tijela mase m od sredita Mjeseca iznosirx, pa primjenom Newtonovog zakona gravitacije dobivamo sljedeu jednadbu:

iz koje za udaljenost x nalazimo izraz:

Slika 2.2.1 U udaljenosti x od sredita Zemlje (Z) izjednauje se gravitacijska sila Mjeseca (M) i Zemlje. Sredita Zemlje i Mjeseca nalaze se na uzajamnoj udaljenosti r.

Omjer Mjeseeve i Zemljine mase je priblino 1/81, dok je srednja udaljenost Zemlje i Mjesecar= 384 000 km. Lako moemo izraunati da se Zemljino i Mjeseevo gravitacijsko privlaenje izjednauju u udaljenostix= 345 600 km od sredita Zemlje. Izvedeni izraz vrijedi openito, pa tako i kod privlaenja Sunca i Zemlje. Kako je Sunce 332 948 puta vee mase od mase Zemlje, a srednja udaljenost Sunca i Zemlje iznosi 149 600 000 km, nalazimo da se gravitacijsko privlaenje Zemlje i Sunca ponitavaju u udaljenosti 258 816 km od sredita naeg planeta.

2. 3 Gravitacijsko polje i vrtnja planeta

Gravitacijsko privlaenje planeta moe biti izmijenjeno uslijed vrtnje (rotacije) planeta. Naime, uslijed vrtnje planeta, na svaki dio mase m planeta koji se giba obodnom brzinom v po krunoj stazi oko osi rotacije, djeluje centrifugalna sila:

gdje jempromatrana masa, arudaljenost od osi rotacije.Lako se moe pokazati da posljednji izraz moemo napisati i u obliku:

pri emu smo obodnu brzinu izrazili preko periodaTvrtnje planeta (v=2rp/T), a udaljenostrod osi vrtnje preko polumjeraRi planetografske irine (r = Rcos).Openito je iznos centrifugalne sile u odnosu na gravitacijsku zanemariv. Meutim, njena vertikalna komponentaFv= Fccos doprinosi smanjenju gravitacijske sile privlaenja, dok horizontalna komponentaFhdjeluje prema ekvatoru i njena posljedica moe biti spljotenost planeta. Spljotenostfse definira kao omjer izmeu razlike ekvatorskog i polarnog polumjera te samog ekvatorskog polumjera. Primjera radi, spljotenost Zemlje iznosi 0,00335281. Zemljin ekvatorski polumjer iznosi 6,378140.106m, pa je prema tome polarni polumjer za oko 21km krai od ekvatorskog (provjerite!).Dakle, nalazimo li se na povrini rotirajueg planeta ukupno privlaenje bit e rezultanta gravitacijskog privlaenja i doprinosa centrifugalne sile. Rezultanta gravitacijske i centrifugalne sile kojom Zemlja djeluje na neko tijelo obino se naziva sila tea. Sila tea poprima najmanji iznos na ekvatoru a najvei na polu. Tome ne doprinosi samo centrifugalna sila ve i spljotenost planeta. Zanemarimo li spljoten oblik planeta, lako se moe pokazati da je akceleracija sile tee u planetografskoj irini jednaka:

gdje prvi lan na desnoj strani izraza predstavlja akceleraciju sile tee na polu.

Slika 2.3.1 Centrifugalna sila Fci njene komponente (vertikalna i horizontalna)

Izvoenje izraza koji uzima u obzir spljoten oblik rasporeda mase planeta znatno je sloeniji. Ovdje navodimo jedan od izraza (A.C. Clairaut, 1743.g.):

gdje jeg0akceleracija sile tee na ekvatoru.Na temelju ovog izraza mogue je iz mjerenja akceleracije sile tee u mjestima na razliitoj geografskoj irini odrediti spljotenost Zemlje.

Akceleracija sile tee eksperimentalno se moe odrediti pomou njihala. Primjera radi, period matematikog njihala dan je izrazom:

gdje jelduljina niti njihala.Spomenimo da na planet nije homogen i da ima raznolik reljef. Stoga je polje sile tee znatno sloenije. Odabrana ekvipotencijalna ploha sile tee definira nepravilno geometrijsko tijelo tzv. geoid, kojeg moemo smatrati stvarnim Zemljinim oblikom.Istraivanja gravitacijskog polja Zemlje, Mjeseca i drugih tijela Suneva sustava u posljednje vrijeme dopunjuju se zahvaljujui istraivanjima uz pomo letjelica.

3. GIBANJA SVEMIRSKIH LETJELICA BRZINA KRUENJA I OSLOBAANJA, ODREIVANJE MASE SUNCA I PLANETA

U posljednjih nekoliko desetljea uspjeno se provode istraivanja svemirskih tijela uz pomo letjelica. Zahvaljujui dostignuima astronautike ljudi su posjetili Mjesec, a gotovo svi planeti i druga tijela Suneva sustava ispitana su iz neposredne blizine pomou automatiziranih svemirskih sondi. Istodobno, mnogi umjetni sateliti krue oko naeg planeta i slue za znanstvene, komunikacijske ili neke druge svrhe.Upravljanje svemirskim letjelicama nije jednostavno. Pored toga to one imaju vlastiti pogon, za njihovo usmjeravanje koriste se esto i gravitacijska polja svemirskih tijela.Razmotrimo koja je brzina potrebna da bi svemirska letjelica postala satelitom nekog nebeskog tijela (brzina kruenja), a koja da bi letjelica napustila gravitacijsko polje nekog tijela (brzina oslobaanja). Jednostavni izvodi izraza za brzinu kruenja i brzinu oslobaanja mogu nam posluiti za odreivanje masa planeta i Sunca.

3.1 Brzina kruenja

Zamislimo tijelo mase m koje krui oko drugog tijela mase M (npr. satelit koji obilazi Zemlju). Iz kinematike je poznato da na tijelo u stanju krunog gibanja djeluje centripetalna sila, koja je u ovom sluaju posljedica gravitacijskog privlaenja:

pri emu jeGgravitacijska konstanta, arudaljenost meu tijelima (u sluaju satelita koji se nalazi na visini h iznad svemirskog tijela polumjeraR, udaljenost u izrazu jer=R+h). Iz izraza za brzinu kruenja nalazimo:

Na temelju ovog izraza moemo izraunati kolika je brzina potrebna da bi neko tijelo kruilo u odreenoj udaljenosti od planeta ili zvijezde, dakle da bi bilo satelitom odreenog nebeskog tijela. Primijetimo da nam izraz omoguuje odreivanje maseMplaneta na temelju podataka o brzini kruenja i udaljenosti nekog njegovog satelita. Slino se moe izraunati masa Sunca na temelju podataka o gibanju planeta. Napomenimo da se ovaj postupak koristi u sluaju kada je masa satelita zanemariva u odnosu na planetnu masu.

3.2 Brzina oslobaanja

Da bismo izraunali brzinu oslobaanja koja je potrebna da bi neka letjelica mase m napustila gravitacijsko polje svemirskog tijela maseM, potrebno je upoznati se s pojmom potencijalne energije tijela u gravitacijskom polju. Potencijalna energija tijela masemkoje se nalazi u gravitacijskom polju tijela maseMu udaljenostirod njegova sredita, dana je izrazom:

Do ovog izraza lako se dolazi ako izraunamo rad koji je potreban da bismo premjestili tijelo mase m u gravitacijskom polju (tijela maseM). Naime, rad se izraunava kao produkt sile (ovdje je to gravitacijska sila) i pripadnog puta (odgovara promjeni udaljenosti tijela). Jedini je problem u tom raunu to se gravitacijska sila mijenja na tom putu, pa je potrebno upotrijebiti diferencijalni raun, a do rezultata se moe doi i elementarnom matematikom, zamijenimo li gravitacijsku silu na tom putu, njenom srednjom geometrijskom vrijednosti. Negativni predznak ukazuje nam da se potencijalna energija poveava s poveanjem udaljenosti. Naime, da bismo tijelo premjestili u veu udaljenost potrebno je uloiti rad dakle, potencijalna energija tijela se poveava.

Kinetika energija koju je potrebno uloiti da bismo tijelo premjestili iz udaljenostir1u udaljenostr2odgovarat e promjeni potencijalne energije tijela:

Na temelju ovog izraza moemo izraunati brzinu koja je potrebna da bismo tijelo mase m premjestili iz udaljenostir1u udaljenostr2u gravitacijskom polju tijela maseM. Premjetamo li tijelo u beskonanost (r2 )desni lan u jednadbi jednak je nuli i tada za brzinu oslobaanja nalazimo:

3.3 Plimna sila

U sustavima dvaju tijela koja se s obzirom na svoje dimenzije nalaze relativno blizu, gravitacijsko djelovanje moe se oitovati u pojavi plima i oseka, kao to je to npr. u sustavu Zemlja-Mjesec. Razmotrimo gravitacijsko djelovanje tijela relativno velike maseMu tokama A i B nekog drugog svemirskog tijela (npr. gravitacijsko djelovanje Mjeseca na na planet). Gravitacijska sila u toki A vea je o gravitacijske sile u toki B. Ako je gravitacijska sila tijela maseMvelika (dakle, ako udaljenost r centra masa tijela nije puno vea od polumjeraR bliski sustavi tijela), razlika gravitacijskog djelovanja u tokama A i B imat e za posljedicu rastezanje tijela. Naime, razlika gravitacijskog privlaenja u tokama A i B je:

pri emu smo pretpostavili da se u tokama A i B nalazi tijelo mase m. Svoenjem na zajedniki nazivnik, izraz prelazi u oblik: pa kako je obino veliina r ipak puno vea od polumjera R, lan R u nazivniku moemo zanemariti, tako da posljednji izraz prelazi u:

Izraz opisuje tzv. plimnu silu.

Slika 3.1 Uz izvod izraza za plimnu silu.

4. Dinamika planetnog sustava

Newtonovi zakoni kao posljedica Keplerovih.Drugi Keplerov zakon moe se izrei i kao nepromijenjenost povrinske brzine planeta: omjer povrine koju prijee radijusvektor i pripadnog vremenatje konstantan. Promatramo li mali vremenski interval pri pomaku Zemlje (tj. planeta) iz poloaja 1 u poloaj 2 (sl.3.21), luk 12 moemo zamijeniti malom duljinoml, a prijeenu povrinu trokutom povrineA. Povrina trokuta jednaka je:

dok je pripadna povrinska brzina dana izrazom:

gdje jevnkomponenta brzine okomita na radijusvektorr. Kako je prema drugom Keplerovom zakonu povrinska brzina konstantna, proizlazi da je:rvn= konst.Sl.3.21Pomnoimo li ovu jednadbu s masom (m) planeta, slijedi da je moment koliine gibanja planeta konstantan:mrvn= konst.(3.5)Dakle, drugi se Keplerov zakon moe iskazati i preko zakona o ouvanju momenta koliine gibanja u sustavu Sunce planet.Prema treem Keplerovom zakonu je:

gdje jeKkonstanta. Dakle, vrijeme ophoda udaljenijih planeta oko Sunca je sve due. Planeti blii Suncu bre se gibaju. Razumno je stoga pretpostaviti da sila izmeu Sunca i planeta opada s poveanjem njihovih uzajamnih udaljenosti. Planet koji se giba oko Sunca s periodomTi u udaljenostir, ima centripetalnu akceleraciju:

a centripetalna sila na planet je:F = ma =(42rm)/T2gdje jemmasa planeta.

Ako supstituiramo periodT, koristei se treim Keplerovim zakonom, slijedi:

Iz izraza zakljuujemo da je sila na planet obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti planeta od Sunca. Konstanta 42Ksodnosi se na Sunev sustav, dok za neki drugi sustav, npr. Zemlja Mjesec, ta konstanta poprima drugu vrijednost (42Kz), pa privlana sila izmeu Zemlje i Mjeseca iznosi:

Pretpostavimo li da se ovaj izraz za silu moe primijeniti na bilo koja dva tijela, a budui da je gravitacijsko privlaenje svojstvo svih tijela, moe se pretpostaviti da konstanta u posljednjim izrazima zavisi od mase jednog tijela, odnosno da je proporcionalna s masom:42Kz= Gmzza Zemlju,42Ks= Gmsza Sunce,pri emu jeGkonstanta proporcionalnosti. Tako je openito gravitacijska sila, kojom masam1privlai masum2, jednaka:

a po zakonu akcije i reakcije, masam2privlai masum1silom:

to predstavlja Newtonov zakon ope gravitacije. KonstantaGje gravitacijska konstanta i kako smo kazali, odreena je eksperimentalno. Ovime smo zapravo pokazali kako iz treeg Keplerova zakona slijedi Newtonov zakon gravitacije. Razmotrimo i obratnu situaciju.

Trei Keplerov zakon kao posljedica Newtonova zakona gravitacije

Planeti se oko Sunca gibaju pod utjecajem gravitacijske sile:

gdje jeMsmasa Sunca immasa promatranog planeta. Prema drugom Newtonovom aksiomu mehanike, sila koja djeluje na neko tijelo proporcionalna je masi i akceleraciji tijela:F = maIzjednaavanjem ovih dvaju izraza slijedi izraz za akceleraciju pri gibanju planeta oko Sunca:

Pretpostavimo da se planeti oko Sunca gibaju po krunicama konstantnom brzinom:

pri emu jeTperiod ophoda planeta. Premda je iznos brzine pri jednolikom gibanju po krunici konstantan, potrebito je naglasiti da se radi o akceleriranom gibanju. Naime, brzina se ne mijenja po iznosu, ali se mijenja po smjeru. Akceleracija tijela pri jednolikom gibanju po krunici je konstantna i usmjerena prema sreditu krunice (centripetalna akceleracija). Dana je izrazom:

ili (nakon to supstituiramo brzinu iz prethodnog izraza):

Izjednaimo li dobiveni izraz za akceleraciju s izrazom koji slijedi iz zakona gravitacije, dobivamo:

Veliina na desnoj strani posljednjeg izraza konstantna je za sve planete Suneva sustava pa je, prema tome, i omjer kubova udaljenosti planeta od Sunca i kvadrata njihovih ophodnih vremena jednak za sve planete, to upravo iskazuje trei Keplerov zakon. Jasno, ovaj zakon vrijedi i kod bilo kojeg drugog sustava (npr. Jupiterovi sateliti). Newton je i eksperimentalno provjerio svoj zakon, razmatrajui akceleraciju u gibanju Mjeseca oko Zemlje i usporeujui je s akceleracijom Zemljine sile tee u Mjeseevoj udaljenosti

5. ZAKLJUCAK : Nebeska mehanika je nauka koja matematikim metodama prouava kretanje nebeskih tijela.Rezultati prorauna gibanja nebeskih tijela znaajni su za astronomiju. Koriste se za proraunavanje koordinata astronomskih objekata na nebeskoj sferi kao i za predvianja astronomskih pojava (rezultati takvih prorauna objavljuju se u astronomskim godinjacima), a mogu posluiti i za odreivanja nekih fizikalnih osobitosti nebeskih tijela (npr. za odreivanje masa).

6.LITERATURA

http://www.unizg.hr/rektorova/upload_2009/BarisicCrnkovic_2009.pdf http://eskola.zvjezdarnica.hr/ http://astrosvet.tripod.com/fizika_mehanika/nebeska_mehanika.htm http://www.fizika.unios.hr/~zglumac/utm.pdf2