Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Egy kirándulás során a költségeinket a...

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

1

Megoldások

1. Két szám aránya 𝟐: 𝟑. Az egyik 𝟓 – tel nagyobb, mint a másik. Melyik ez a két szám?

Megoldás:

Legyen az egyik keresett szám 2𝑥, a másik pedig 3𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2𝑥 + 5 = 3𝑥.

Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5.

Válasz: A keresett számok a 10 és a 15.

2. Gondoltam egy számot. Hozzáadtam 𝟒 – et. Az összeget megszoroztam 𝟐 – vel, majd az eredményből kivontam 𝟖 – at, s így ugyanazt a számot kaptam, mint amire gondoltam. Melyik ez a szám?

Megoldás:

Legyen a gondolt szám az 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 ∙ (𝑥 + 4) − 8 = 𝑥.


Válasz: A gondolt szám a 0.

3. Egy tört nevezője 𝟓 – tel nagyobb a számlálójánál. Ha a tört számlálójához 𝟏𝟒 – et hozzáadunk, a nevezőjéből pedig 𝟏 – et elveszünk, akkor a tört reciprokával egyenlő nagyságú törtet kapunk eredményül. Melyik ez a tört?

Megoldás:

Legyen a tört számlálója 𝑥, a nevezője pedig 𝑥 + 5.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 14

𝑥 + 4=

𝑥 + 5

𝑥.


Válasz: A gondolt tört a 4

9.


2

4. Ha egy szám 𝟏𝟓 % - ához hozzáadunk 𝟗

𝟓 – öt, akkor a szám 𝟏𝟖 % - át kapjuk. Melyik

ez a szám?

Megoldás:

Legyen a gondolt szám az 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙15

100+

9

5= 𝑥 ∙

18

100.



5. Egy tízforintost felváltunk 𝟏𝟎 és 𝟐𝟎 filléresekre. Hány darabot kapunk mindegyikből, ha összesen 𝟗𝟎 pénzdarabot kapunk vissza?

Megoldás:

Legyen a 10 filléresek száma 𝑥, a 20 filléreseké pedig 90 − 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10𝑥 + 20 ∙ (90 − 𝑥) = 10 ∙ 100.


Válasz: A 10 filléresekből 80 darabot, a 20 filléresekből pedig 10 darabot kapunk.

6. Albi és Béni pénzének aránya 𝟒: 𝟓. Ha Albi kap még 𝟏𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, és Béni elkölt 𝟐𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, akkor ugyannyi pénze lesz a két fiúnak. Hány forintja volt eredetileg Albinak, illetve Béninek?

Megoldás:

Legyen Albi pénzének mennyisége 4𝑥, a Bénié pedig 5𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4𝑥 + 100 = 5𝑥 − 200.


Válasz: Albinak 1200 𝐹𝑡 – ja, Béninek pedig 1500 𝐹𝑡 – ja volt.


3

7. Anna, Bea és Cili zsebpénzének aránya 𝟐

𝟑:𝟑

𝟒:𝟒

𝟓. Hány forintjuk van külön – külön, ha

Bea és Anna pénzének a különbsége 𝟒𝟎 𝑭𝒕 – tal több Cili és Bea pénzének különbségénél?

Megoldás:

Legyen Anna pénze 2

3𝑥, Beáé

3

4𝑥, a Cilié pedig

4

5𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3

4𝑥 −

2

3𝑥 =

4

5𝑥 −

3

4𝑥 + 40.


Válasz: Annának 800 𝐹𝑡 – ja, Beának 900 𝐹𝑡 – ja, míg Cilinek pedig 960 𝐹𝑡 – ja van.

8. Négy CD lemezen összesen 𝟏𝟎𝟎𝟎 kötetnyi anyagot sikerült tárolni. Ha az elsőn 𝟏𝟓 – tel többet, a másodikon 𝟕𝟎 – nel kevesebbet, a harmadikon kétszer annyit, a negyediken pedig feleannyit tárolnánk, akkor mindegyik lemezen ugyanannyi kötet szerepelne.

Hány kötet szerepel az egyes lemezeken külön – külön?

Megoldás:

Legyen az egyenlő kötetek száma 𝑥.

Ekkor a lemezeken található kötetek száma: 𝑥 − 15; 𝑥 + 70;𝑥

2; 2𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 − 15 + 𝑥 + 70 +𝑥

2+ 2𝑥 = 1000.


Válasz: A lemezeken 195; 280; 105 és 420 kötet szerepel.

9. Egy apa kétszer annyi idős, mint a fia. Tíz évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint a fia. Hány éves most az apa és fia?

Megoldás:

Legyen a fiú életkora 𝑥, az apáé pedig 2𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3 ∙ (𝑥 − 10) = 2𝑥 − 10.


Válasz: A fiú 20, az apa pedig 40 éves.


4

10. Három testvér életkorának összege 𝟒𝟎 év. A középső 𝟑 évvel öregebb a legkisebbnél, de 𝟒 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Hány évesek külön – külön?

Megoldás:

Legyen a középső testvér életkora 𝑥, a legkisebbé 𝑥 − 3, a legidősebbé pedig 𝑥 + 4.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 − 3 + 𝑥 + 4 = 40.


Válasz: A testvérek életkora 10; 13 és 17 év.

11. Egy apa azt mondja 𝟖 éves lányának: ,,Amikor annyi idős leszel, mint most én, akkor 𝟔𝟎 esztendős leszek.” Hány éves az apa?

Megoldás:

Legyen az apa életkora 𝑥.

Ekkor az életkorok különbsége: 𝑥 − 8.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 − 8 = 60.


Válasz: Az apa 34 éves.

12. Egy kutya 𝟖𝟎 𝒎 távolságban meglát egy nyulat, és elkezdi üldözni. A két állat egyszerre kezd futni a kutyát a nyúllal összekötő egyenes mentén. A nyúl 𝟏𝟎 – et, a kutya 𝟗 – et ugrik másodpercenként. Mennyi idő alatt éri utol a kutya a nyulat, ha a kutyaugrás 𝟏 𝒎 hosszú, a nyúlugrás pedig csak 𝟖𝟎 𝒄𝒎?

Megoldás:

Legyen az eltelt idő 𝑥 másodperc.

Ekkor a kutya által megtett út 9 ∙ 𝑥 ∙ 1 = 9𝑥, a nyúlé pedig 10 ∙ 𝑥 ∙ 0,8 = 8𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 9𝑥 = 80 + 8𝑥.


Válasz: A kutya 80 𝑠 után éri utol a nyulat.


5

13. Egy kirándulás során a költségeinket a következőképpen tudtuk fedezni. Az első nap

elköltöttük pénzünk 𝟏

𝟑 – át és még 𝟗𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, a második nap a megmaradt rész

𝟏

𝟑 – át és még 𝟔𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot, így az utolsó, harmadik napon 𝟏 𝟒𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot költöttünk el.

Mennyi pénzt vittünk magunkkal a kirándulásra?

Megoldás:

Legyen az elvitt pénz mennyisége 𝑥.

Ekkor az első nap után maradt pénz mennyisége: 𝑥 −1

3𝑥 − 900 =

2

3𝑥 − 900.

A második nap után pedig: 2

3𝑥 − 900 −

1

3∙ (2

3𝑥 − 900) − 600 =

4

9𝑥 − 1 200.


9𝑥 − 1200 = 1 400.

Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 5 850.

Válasz: A kirándulásra 5 850 𝐹𝑡 – ot vittünk magunkkal.

14. Egy háromnapos kerékpártúra első napján megtettük az út negyedét és még 𝟔 𝒌𝒎 – t, a második napon a hátralevő út harmadát és még 𝟐 𝒌𝒎 - t, így az utolsó napra 𝟒𝟒 𝒌𝒎 maradt. Milyen hosszú volt a kerékpártúra?

Megoldás:

Legyen a túra hossza 𝑥.

Ekkor az első nap után maradt út hossza: 𝑥 −1

4𝑥 − 6 =

3

4𝑥 − 6.

A második nap után pedig: 3

4𝑥 − 6 −

1

3∙ (3

4𝑥 − 6) − 2 =

1

2𝑥 − 6.


2𝑥 − 6 = 44.


Válasz: A kerékpártúra hossza 100 𝑘𝑚 volt.

15. Mennyi kézfogás történt a 𝟐𝟕 fős társaságban, ha mindenki mindenkivel kezet fogott?

Megoldás:

Egy 𝑛 tagú társaságban 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)

2 kézfogás történik, így felírhatjuk a következőt:

27 ∙ 26

2= 351.

Válasz: A 27 fős társaságban összesen 351 kézfogás volt.


6

16. Egy traktor hátsó kerekének a sugara kétszer akkora, mint az első keréké. Ha az első kerék kerülete 𝟏 𝒎 – rel nagyobb, a hátsóé pedig 𝟏 𝒎 – rel kisebb volna, akkor az első kerék 𝟑𝟎𝟎 méteren ugyanannyit fordulna, mint a hátsó 𝟑𝟕𝟓 méteren. Mekkora a két kerék sugara?

Megoldás:

Legyen az első kerék sugara 𝑥, a hátsóé pedig 2𝑥.


2 ∙ 𝑥 ∙ 𝜋 + 1=

375

2 ∙ 2𝑥 ∙ 𝜋 − 1.

Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 ≈ 0,48.

Válasz: Az első kerék sugara 0,48 𝑚, a hátsóé pedig 0,96 𝑚.

17. Egy bilológiai kísérlet során két számítógéppel dolgozták fel az adatokat. Az egyik gép 𝟓𝟎𝟎 mintát tudott feldolgozni naponta, a másik pedig 𝟏 𝟎𝟎𝟎 – t. A két gép egymást követően folyamatosan dolgozva 𝟏𝟎 napi munkával 𝟖 𝟎𝟎𝟎 mintát értékelt. Hány mintát értékeltek külön – külön?

Megoldás:

Legyen az első gép munkanapjainak száma 𝑥, a másiké pedig 10 − 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 500𝑥 + 1 000 ∙ (10 − 𝑥) = 8 000.


Válasz: Az első gép 2 000 darab mintát, a második pedig 6 000 darabot értékelt külön - külön.

18. Egy asztalos üzemnek a vártnál gyorsabb almaérés miatt a megrendelt

gyümölcsládákat 𝟓 hét helyett 𝟒 hét alatt kellett elkészítenie, ezért napi 𝟏𝟕𝟓 ládával megemelte a termelést. Mennyi láda készült el az üzemben 𝟏 nap alatt, ha minden héten 𝟔 napot dolgoztak?

Megoldás:

Legyen a gyümölcsládák száma 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥

30+ 175 =

𝑥

24.


Válasz: Összesen 875 láda készült el egy nap alatt.


7

19. Két rekeszben összesen 𝟗𝟎 𝒌𝒈 alma van. Mennyi alma van az egyes rekeszekben, ha az első rekesz almáinak 𝟐𝟓 % - a a második rekesz almáinak 𝟐𝟎 % - a?

Megoldás:

Legyen az első rekeszben 𝑥, a másodikban pedig 90 − 𝑥 darab alma.


100= (90 − 𝑥) ∙

20

100.


Válasz: Az első rekeszben 40 darab, a másodikban pedig 50 darab alma van.

20. Elköltöttük pénzünk 𝟏𝟗 % - át, 𝟔 𝟖𝟓𝟗 𝑭𝒕 – ot. Mennyi pénzünk volt?

Megoldás:

Legyen az eredeti pénzünk mennyisége 𝑥.


100= 6 859.


Válasz: Eredetileg 36 100 𝐹𝑡 volt.

21. A tej tömegének 𝟕, 𝟑 % - a tejszín. A tejszín tömegének 𝟔𝟐 % - a vaj. Hány 𝒌𝒈 tejből készíthető 𝟓 𝒌𝒈 vaj?

Megoldás:

Legyen a tej tömege 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙7,3

100∙62

100= 5.


Válasz: Eredetileg 110,47 𝑘𝑔 tejre van szükség.


8

22. Két üzemnek a terv szerint egy hónapban 𝟑𝟔𝟎 𝒅𝒃 szerszámgépet kellett készítenie. Az első üzem 𝟏𝟏𝟐 % - ra teljesítette a tervet, a második pedig 𝟏𝟏𝟎 % - ra, és így a két üzem egy hónap alatt 𝟒𝟎𝟎 𝒅𝒃 szerszámgépet gyártott. Hány szerszámgépet készített terven felül külön – külön a két üzem?

Megoldás:

Legyen az első üzem terve 𝑥, a másodiké pedig 360 − 𝑥.


100+ (360 − 𝑥) ∙

110

100= 400.


Válasz: Az első üzem 24 darabot, a második pedig 16 darabot készített terven felül.

23. Két brigád együtt 𝟖 𝟐𝟎𝟎 transzformátortekercset készített. Az ellenőrzés az egyik brigád által készített tekercseknek a 𝟐 % - át, a másikénak pedig 𝟑 % - át hibásan szigeteltnek találta, összesen 𝟐𝟏𝟔 darabot. Hány darab hibátlan tekercset készített mindegyik brigád?

Megoldás:

Legyen az első brigád termelése 𝑥, a másodiké pedig 8 200 − 𝑥.


100+ (8 200 − 𝑥) ∙

3

100= 216.


Válasz: Az első brigád 2 940 darab, a második pedig 5 044 darab hibátlant készített.

24. Egy vizsgán a tanuló az első 𝟐𝟎 kérdésből 𝟏𝟓 – re helyes választ adott. A további kérdések egy ötödére is helyesen válaszolt. Minden válaszra azonos pontszámot

kapott, és így 𝟒𝟎 % - os eredményt ért el. Hány kérdés volt a vizsgán?

Megoldás:

Legyen az összes kérdés száma 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 − 20

5+ 15 = 𝑥 ∙

40

100.


Válasz: A vizsgán összesen 55 kérdés volt.


9

25. Egy könyvkereskedő vásárolt két könyvet, majd eladta őket egyforma áron. Az egyiken 𝟐𝟎 % - ot nyert, a másikon 𝟐𝟎 % - ot veszített, így összesen 𝟏𝟎𝟎 𝑭𝒕 – tal kapott kevesebbet értük, mint amennyiért vette őket. Mennyiért vette és adta el a könyveket?

Megoldás:

Legyen a könyvek eladási ára 𝑥.


1,2+

𝑥

0,8= 2𝑥 + 100.


Válasz: A könyveket 1 200 𝐹𝑡 – ért adta el, s az első ára 1 000 𝐹𝑡, a másodiké 1 500 𝐹𝑡 volt.

26. Egy áru árát 𝟐𝟎 % - kal leszállították, majd 𝟐𝟎 % - kal felemelték, így az ára az eredeti áránál 𝟏𝟎𝟎 𝑭𝒕 – tal kevesebb lett. Mennyibe került eredetileg az áru?

Megoldás:

Legyen az eredeti ár 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (1 −20

100) ∙ (1 +

20

100) = 𝑥 − 100.


Válasz: Eredetileg 2 500 𝐹𝑡 volt az ára.

27. Egy 𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – os TV árát először emelték 𝟓 % - kal, majd mivel nem kelt el, csökkentették 𝟏𝟎 % - kal. Mennyiért siekrült ígyeladni?

Megoldás:

Legyen a termék utolsó ára 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 80 000 ∙ (1 +5

100) ∙ (1 −

10

100) = 𝑥.


Válasz: Végül 75 600 𝐹𝑡- ért adták el a Tv - t.


10

28. Egy brigád a munkaidő alatt 𝟏𝟎 % - kal túlteljesítette a tervét, majd túlórában további 𝟑𝟎𝟎 munkadarabot készített el. Mennyi volt a tervük, ha összesen 𝟏 𝟎𝟒𝟖 munkadarabot munkáltak meg?

Megoldás:

Legyen az eredeti terv 𝑥 darab munkadarab.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (1 +10

100) + 300 = 1 048.


Válasz: Az eredeti terv 680 darab volt.

29. Egy háromszög két nagyobb szögének aránya 𝟐: 𝟑. A legkisebb szöge 𝟔𝟎° - kal kisebb a legnagyobbnál. Mekkorák a háromszög szögei?

Megoldás:

Legyen a legnagyobb szög 3𝑥, a középső 2𝑥, a legkisebb pedig 3𝑥 − 60.

A belső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3𝑥 − 60 + 2𝑥 + 3𝑥 = 180.


Válasz: A háromszög szögeinek nagysága 30°; 60° és 90°.

30. Mekkora a háromszög belső szögeinek nagysága, ha a külső szögek aránya 𝟑: 𝟕: 𝟖?

Megoldás:

Legyen a legkisebb külső szög 3𝑥, a középső 7𝑥, a legnagyobb pedig 8𝑥.

A külső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3𝑥 + 7𝑥 + 8𝑥 = 360.


Ezek alapján a háromszög külső szögei: 60°; 140°; 160°.

Válasz: A háromszög belső szögeinek nagysága 120°; 40° és 20°.


11

31. Egy háromszög kerülete 𝟒𝟔 𝒄𝒎, két oldalának az aránya 𝟑: 𝟓. Mekkora ez a két oldal, ha a harmadik oldal 𝟔 𝒄𝒎? Van – e ilyen háromszög?

Megoldás:

Legyen a háromszög egyik oldala 3𝑥, a másik pedig 5𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3𝑥 + 5𝑥 + 6 = 46.


Válasz: A háromszög oldalainak nagysága 6 𝑐𝑚; 15 𝑐𝑚 és 25 𝑐𝑚. Nincs ilyen háromszög, mert 15 + 6 < 25 (háromszög egyenlőtlenség).

32. Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei, ha az alapon fekvő szöge 𝟑𝟔° - kal nagyobb a szárak szögénél?

Megoldás:

Legyen az alapon fekvő szögeinek nagysága 𝑥, a szárszögé pedig 𝑥 − 36.

A belső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 − 36 = 180.


Válasz: A háromszög szögeinek nagysága 36°; 72° és 72°.

33. Egy 𝟏𝟐 𝒄𝒎 kerületű egyenlő szárú háromszögben az alap hossza a szárak hosszának

a 𝟐

𝟑 része. Mekkorák a háromszög oldalai?

Megoldás:

Legyen a szárak hossza 𝑥, az alapé pedig 2

3𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 + 𝑥 +2

3𝑥 = 12.

Az egyenlet rendezése után a megoldás: 𝑥 = 4,5.

Válasz: A háromszög oldalainak nagysága 3 𝑐𝑚; 4,5 𝑐𝑚 és 4,5 𝑐𝑚.


12

34. Mekkora a téglalap területe, ha kerülete 𝟏𝟐 𝒄𝒎, és az egyik oldalának hossza háromszorosa a másik oldal hosszának?

Megoldás:

Legyen a téglalap egyik oldalának hossza 𝑥, a másiké pedig 3𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 ∙ (𝑥 + 3𝑥) = 12.


Ezek alapján a téglalap területe: 𝑇 = 1,5 ∙ 4,5 = 6,75 𝑐𝑚2.

Válasz: A téglalap területe 6,75 𝑐𝑚2.

35. Egy trapéz magassága 𝟒, 𝟐 𝒄𝒎, két párhuzamos oldalának aránya 𝟐: 𝟑. Mekkorák a trapéz párhuzamos oldalai, ha területe 𝟏𝟔, 𝟖 𝒄𝒎𝟐?

Megoldás:

Legyen a rövidebb alap hossza 2𝑥, a nagyobb alapé pedig 3𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2𝑥 + 3𝑥

2∙ 4,2 = 16,8.


Válasz: A trapéz alapjainak hossza 3,2 𝑐𝑚 és 4,8 𝑐𝑚.

36. Egy 𝟔 𝒄𝒎 oldalhosszúságú négyzet egyik oldalát 𝟏

𝟑 részével megnöveltük, szomszédos

oldalát annyival csökkentettük, hogy az így kapott téglalap területe ugyanannyi

legyen, mint az eredeti négyzeté. Mennyivel csökkentettük ezt az oldalt?

Megoldás:

Legyen a csökkentés mértéke 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 62 = (6 +1

3∙ 6) ∙ (6 − 𝑥).


Válasz: A négyzet másik oldalát 1,5 𝑐𝑚 – rel csökkentettük.


13

37. Egy háromszög 𝒃 oldala 𝟐 𝒄𝒎 – rel rövidebb, a 𝒄 oldala 𝟐 𝒄𝒎 – rel hosszabb, mint az 𝒂 oldal és 𝒃: 𝒄 = 𝟑: 𝟓. Mekkora a háromszög területe?

Megoldás:

Legyen az 𝑎 oldal hossza 𝑥, a 𝑏 oldalé 𝑥 − 2, a 𝑐 oldalé pedig 𝑥 + 2.


𝑥 + 2=

3

5.


Ezek alapján a háromszög oldalai: 6 𝑐𝑚; 8𝑐𝑚 és 10 𝑐𝑚.

Mivel 62 + 82 = 102, így Pitagorasz – tétel szerint a háromszög derékszögű.

Ekkor a háromszög területe: 𝑇 =6 ∙ 8

2= 24 𝑐𝑚2.

Válasz: A háromszög területe 24 𝑐𝑚2.

38. Mennyi átlója van egy szabályos 𝟑𝟖 szögnek?

Megoldás:

Egy 𝑛 oldalú sokszögnek 𝑛 ∙ (𝑛 − 3)

2 átlója van, így felírhatjuk a következőt:

38 ∙ (38 − 3)

2= 665.

Válasz: A szabályos 38 szögnek összesen 665 átlója van.

39. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 𝟏𝟎. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredeti számnál 𝟑𝟔 – tal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám?

Megoldás:

Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 10 − 𝑥.

Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

Tízesek Egyesek Szám

𝑥 10 − 𝑥 10𝑥 + 10 − 𝑥

10 − 𝑥 𝑥 10 ∙ (10 − 𝑥) + 𝑥

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10𝑥 + 10 − 𝑥 = 10 ∙ (10 − 𝑥) + 𝑥 − 36.




14

40. Egy kétjegyű számban a tízesek helyén álló számjegy 𝟏 híján az egyesek helyén álló számjegy háromszorosa. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor 𝟐𝟕 – tel kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám?

Megoldás:

Legyen az egyesek száma 𝑥, a tízeseké pedig 3𝑥 − 1.



3𝑥 − 1 𝑥 10 ∙ (3𝑥 − 1) + 𝑥

𝑥 3𝑥 − 1 10𝑥 + 3𝑥 − 1

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10 ∙ (3𝑥 − 1) + 𝑥 = 10𝑥 + 3𝑥 − 1 + 27.


Válasz: A gondolt szám az 52.

41. Egy kétjegyű szám számjegyeinek aránya 𝟑: 𝟐. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az új szám az eredeti felénél 𝟐𝟏 – gyel nagyobb lesz. Melyik ez a szám?

Megoldás:

Legyen a tízesek száma 3𝑥, az egyeseké pedig 2𝑥.



3𝑥 2𝑥 10 ∙ 3𝑥 + 2𝑥

2𝑥 3𝑥 10 ∙ 2𝑥 + 3𝑥

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 10 ∙ 3𝑥 + 2𝑥

2= 10 ∙ 2𝑥 + 3𝑥 − 21.




15

42. Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege 𝟏𝟑. Ha a számot 𝟏𝟐 – vel osztjuk, akkor a hányados megegyezik a szám utolsó számjegyével, a maradék pedig ennél 𝟐 – vel kisebb. Melyik ez a szám?

Megoldás:

Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 13 − 𝑥.



𝑥 13 − 𝑥 10𝑥 + 13 − 𝑥

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

10𝑥 + 13 − 𝑥 = 12 ∙ (13 − 𝑥) + 13 − 𝑥 − 2.



43. Egy háromjegyű szám számjegyei egymást közvetlenül követő természetes számok. Ha fordított sorrendben írjuk a számjegyeket, akkor az így képzett háromjegyű szám

és az eredeti szám összege 𝟏𝟑𝟑𝟐. Melyik ez a szám?

Megoldás:

Legyen a százasok száma 𝑥, a tízeseké 𝑥 + 1, az egyeseké pedig 𝑥 + 2.


Százas Tízesek Egyesek Szám

𝑥 𝑥 + 1 𝑥 + 2 100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥 + 2

𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑥 100 ∙ (𝑥 + 2) + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥


100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥 + 2 + 100 ∙ (𝑥 + 2) + 10 ∙ (𝑥 + 1) + 𝑥 = 1332.


Válasz: A gondolt szám az 567.


16

44. Egy háromjegyű szám középső számjegye kétszerese az első számjegynek, az utolsó számjegye eggyel nagyobb, mint a középső számjegy. Ha fordított sorrendben írjuk a

számjegyeket, akkor az így képzett háromjegyű szám és az eredeti szám különbsége

𝟑𝟗𝟔. Melyik ez a szám?

Megoldás:

Legyen a százasok száma 𝑥, a tízeseké 2𝑥, az egyeseké pedig 2𝑥 + 1.



𝑥 2𝑥 2𝑥 + 1 100𝑥 + 10 ∙ 2𝑥 + 2𝑥 + 1

2𝑥 + 1 2𝑥 𝑥 100 ∙ (2𝑥 + 1) + 10 ∙ 2𝑥 + 𝑥


100 ∙ (2𝑥 + 1) + 10 ∙ 2𝑥 + 𝑥 − [100𝑥 + 10 ∙ 2𝑥 + 2𝑥 + 1] = 396.



45. Egy kétjegyű számban 𝟑 – mal több egyes van, mint tízes. Ha a számjegyei közé számjegyeinek az összegét iktatjuk be harmadik jegyül, az eredeti szám 𝟏𝟏 – szeresét kapjuk. Melyik kétjegyű számból indultuk ki? Hány ilyen szám van?

Megoldás:

Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 𝑥 + 3.



𝑥 𝑥 + 3 10𝑥 + 𝑥 + 3

𝑥 𝑥 + 𝑥 + 3 𝑥 + 3 100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 𝑥 + 3) + 𝑥 + 3


11 ∙ (10𝑥 + 𝑥 + 3) = 100𝑥 + 10 ∙ (𝑥 + 𝑥 + 3) + 𝑥 + 3.

Az egyenlet rendezése után a megoldás: 33 = 33.

Ezek alapján bármilyen szám szerepelhet az 𝑥 helyén, ami a feladat szövegének megfelel.

Válasz: A lehetséges számok a következők: 14; 25; 36.


17

46. Egy kerítés lefestése Péternek 𝟒 órájába telne. Ugyanezt a munkát András 𝟔 óra alatt végezné el. Mennyi idő alatt fejezik be együtt a kerítés lefestését?

Megoldás:

Amennyiben nincs megadva munka, akkor 1 egységnek választjuk.


András Péter

6 óra 4 óra

𝟏 óra alatt 1

6

1

4

𝒙 óra alatt 𝑥

6

𝑥

4


6+𝑥

4= 1.


Válasz: Együtt 2,4 óra alatt végeznek a kerítés lefestésével.

47. Egy medencébe két csapon keresztül folyik a víz. Együtt 𝟏𝟎 óra alatt töltik meg a medencét. Ha az A csap egyedül 𝟏𝟓 óra alatt tölti meg a medencét, akkor a B csap egyedül mennyi idő alatt tölti azt meg?

Megoldás:



A csap B csap

15 óra 𝑥 óra

𝟏 óra alatt 1

15

1

𝑥

𝟏𝟎 óra alatt 10

15

10

𝑥


15+10

𝑥= 1.


Válasz: A B csap egyedül 30 óra alatt töltené meg a medencét.


18

48. Egy apa 𝟏 óra 𝟒𝟎 perc alatt, felesége 𝟑 óra 𝟐𝟎 perc alatt, kisfia 𝟔 óra 𝟒𝟎 perc alatt ássa fel a kertjüket. Mennyi idő alatt készülnek el a kert felásásával, ha egyszerre

mindhárman ásnak?

Megoldás:



Apa Anya Fiú

100 perc 200 perc 400 perc

𝟏 perc alatt 1

100

1

200

1

400

𝒙 perc alatt 𝑥

100

𝑥

200

𝑥

400


100+

𝑥

200+

𝑥

400= 1.


Válasz: Együtt kb. 57 perc alatt végeznek a kert felásásával.

49. Egy kád az egyik csapról 𝟐𝟎 perc alatt, a másikról 𝟏𝟓 perc alatt telik meg. A lefolyót kinyitva 𝟏𝟔 perc alatt ürül ki. Mennyi ideig tart a kád feltöltése, ha mindklét csapot kinyitjuk, de a lefolyó is nyitva marad?

Megoldás:



Első csap Második csap Lefolyó


𝟏 perc alatt 1

20

1

15

1

16


20

𝑥

15

𝑥

16


20+

𝑥

15−

𝑥

16= 1.


Válasz: A kád kb. 18 perc alatt telik meg.


19

50. Egy víztároló két csövön át tölthető meg, mégpedig egyedül az első cső 𝟒 óra alatt, egyedül a második cső 𝟑 óra alatt tölthetné meg. Egy harmadik csövön keresztül a víztároló 𝟏 óra alatt ürül ki. Mennyi idő alatt ürül ki a tároló, ha mindhárom cső egyszerre van nyitva?

Megoldás:



Első cső Második cső Harmadik cső

4 óra 3 óra 1 óra

𝟏 óra alatt 1

4

1

3

1

1


4

𝑥

3

𝑥

1

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 +𝑥

4+𝑥

3−𝑥

1= 0.


Válasz: A tároló 2,4 óra alatt ürül ki.

51. Egy kád csupán a melegvizes csapból 𝟐𝟎 perc alatt telik meg, csak a hidegvizes csapból pedig 𝟐𝟓 perc alatt. Mennyi idő alatt telt meg a kád, ha a melegvizes csap 𝟒 perccel kevesebb ideig volt nyitva, mint a hidegvizes csap?

Megoldás:



Melegvizes csap Hidegvizes csap

20 perc 25 perc

𝟏 perc alatt 1

20

1

25


20

𝑥

25


20+

𝑥

25= 1.


Válasz: A kád kb. 13,3 perc alatt telt meg.


20

52. Egy medencébe 𝟑 cső vezet. Az elsőn át 𝟐, 𝟓 óra alatt, a másodikon 𝟑 óra alatt, a harmadikon 𝟏, 𝟓 óra alatt telik meg a medence. Egy alkalommal mindhárom csövet együttesen működtetik, de 𝟐𝟐, 𝟓 perc után a harmadik csövet elzárják. Mennyi idő alatt telik meg így a medence?

Megoldás:



Első cső Második cső Harmadik cső


𝟏 perc alatt 1

150

1

180

1

90


150

𝑥

180

𝑥

90


150+

𝑥

180+22,5

90= 1.


Válasz: A medence kb. 61 perc alatt telik meg.

53. Egy medencét egy csap 𝟒 óra alatt tölt meg. A kifolyón 𝟑 óra alatt ürül ki a tele medence. Hány óra alatt lesz újra üres a medence, ha a csap megnyitása után 𝟑 órával véletlenül megnyitják a kifolyót, de a csapot nem zárják el?

Megoldás:



Csap Kifolyó

4 óra 3 óra

𝟏 óra alatt 1

4

1

3


4

𝑥

3


4−𝑥−3

3= 0.


Válasz: A medence 12 óra után lesz üres.


21

54. Egy ház festését három festő külön – külön 𝟏𝟐, 𝟏𝟓 és 𝟐𝟎 óra alatt végezné el egyedül. Együtt kezdik a munkát, de a második festő 𝟏, 𝟓 órát, a harmadik pedig 𝟐 órát pihent közben. Mennyi idő alatt festették ki a házat?

Megoldás:



Első festő Második festő Harmadik festő

12 óra 15 óra 20 óra

𝟏 óra alatt 1

12

1

15

1

20


12

𝑥

15

𝑥

20


12+𝑥 − 1,5

15+𝑥 − 2

20= 1.


Válasz: A három festő 6 óra alatt festették ki a házat.

55. Szőlőtelepítés előtt a talajt meg kell forgatni. Erre a műveletre 𝟏𝟐 nap áll rendelkezésre. Napi 𝟏 𝒎𝟑 – rel többet sikerült megforgatni a tervezettnél, így 𝟖 nap alatt készült el a munka. Hány 𝒎𝟑 földet kellett megforgatni?

Megoldás:

Legyen a megforgatott föld mennyisége 𝑥.


Tervezett Valós

12 nap 8 nap

𝟏 nap alatt 𝑥

12

𝑥

8


12+ 1 =

𝑥

8.


Válasz: Összesen 24 𝑚3 földet kellett megforgatni.


22

56. Egy 𝟐𝟎𝟎 𝒈 𝟓 % - os sóoldathoz hány gramm 𝟏𝟐 % - os sóoldatot kell adnunk, hogy 𝟖 % - os sóoldatot kapjunk?

Megoldás:


Mennyiség Töménység Tömény anyag

Első sóoldat 200 5 200 ∙5

100

Második sóoldat 𝑥 12 𝑥 ∙12

100

Keverék 200 + 𝑥 8 (200 + 𝑥) ∙8

100

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 200 ∙5

100+ 𝑥 ∙

12

100= (200 + 𝑥) ∙

8

100.


Válasz: 150 𝑔 sóoldatot kell hozzáadnunk.

57. Az 𝟏, 𝟑 𝒌𝒈 sóoldathoz 𝟎, 𝟖 𝒌𝒈 𝟏𝟓 % - os sóoldatot öntünk, így 𝟏𝟎 % - os sóoldat jön létre. Hány % - os volt az eredeti oldat?

Megoldás:



Első sóoldat 1,3 𝑥 1,3 ∙𝑥

100

Második sóoldat 0,8 15 0,8 ∙15

100

Keverék 2,1 10 2,1 ∙10

100

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1,3 ∙𝑥

100+ 0,8 ∙

15

100= 2,1 ∙

10

100.


Válasz: 6,92 % - os volt az eredeti sóoldat.


23

58. Összekeverünk 𝟑 liter 𝟏𝟐 % - os, 𝟓 liter 𝟏𝟖 % - os és 𝟐 liter 𝟐𝟐 % - os alkoholt. Hány százalékos keveréket állítottunk elő?

Megoldás:



Első alkohol 3 12 3 ∙12

100

Második alkohol 5 18 5 ∙18

100

Harmadik alkohol 2 22 2 ∙22

100

Keverék 10 𝑥 10 ∙𝑥

100


100+ 5 ∙

18

100+ 2 ∙

22

100= 10 ∙

𝑥

100.


Válasz: 17 % - os alkoholt állítottunk elő.

59. Összekevertünk kétféle narancslét. Az egyik 𝟔𝟎 % - os, a másik 𝟖𝟓 % - os volt. Hány litert vettünk belőlük, ha a keverék 𝟏𝟖 liter 𝟕𝟎 % - os narancslé lett?

Megoldás:



Első narancslé 𝑥 60 𝑥 ∙60

100

Második narancslé 18 − 𝑥 85 (18 − 𝑥) ∙85

100

Keverék 18 70 18 ∙70

100


100+ (18 − 𝑥) ∙

85

100= 18 ∙

70

100.


Válasz: 10,8 𝑙 60 % - os és 7,2 𝑙 85 % - os narancslevet kevertünk össze.


24

60. Mennyi vizet kell elpárologtatni 𝟏𝟎 liter 𝟒𝟎 % - os sóoldatból, hogy 𝟔𝟎 % - os sóoldatot kapjunk?

Megoldás:



Sóoldat 10 40 10 ∙40

100

Víz 𝑥 0 𝑥 ∙0

100

Maradék 10 − 𝑥 60 (10 − 𝑥) ∙60

100


100− 𝑥 ∙

0

100= (10 − 𝑥) ∙

60

100.


Válasz: 3,3 𝑙 vizet kell elpárologtatni.

61. A 𝟏𝟐𝟎 𝒈 𝟖𝟎 % - os alkoholhoz 𝟖𝟎 𝒈 vizet adunk. Hány százalékos alkoholt kapunk?

Megoldás:



Alkohol 120 80 120 ∙80

100

Víz 80 0 80 ∙0

100

Keverék 200 𝑥 200 ∙𝑥

100


100+ 80 ∙

0

100= 200 ∙

𝑥

100.


Válasz: 48 % - os alkoholt kapunk.


25

62. Van 𝟏𝟎 liter 𝟖𝟕° - os alkoholunk. Mennyi vizet kell hozzáöntenünk, hogy 𝟖𝟎° - os alkoholt kapjunk?

Megoldás:



Alkohol 10 87 10 ∙87

100


100

Keverék 10 + 𝑥 80 (10 + 𝑥) ∙80

100


100+ 𝑥 ∙

0

100= (10 + 𝑥) ∙

80

100.


Válasz: 0,875 𝑙 vizet kell hozzáöntenünk.

63. A 𝟐, 𝟐 𝒌𝒈 𝟐𝟒 % - os kénsavoldatnak hány grammját kellene tiszta vízzel kicserélnünk, hogy 𝟏𝟓 % - os kénsavoldatot kapjunk belőle?

Megoldás:



Kénsavoldat 2,2 24 2,2 ∙24

100


100

Keverék 2,2 15 2,2 ∙15

100

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2,2 ∙24

100− 𝑥 ∙

24

100+ 𝑥 ∙

0

100= 2,2 ∙

15

100.


Válasz: 825 𝑔 - ot kell kicserélnünk vízre.


26

64. Az 𝟓 liter 𝟓𝟎 ℃ - os vízhez 𝟐𝟎 liter 𝟖𝟎 ℃ - os vizet keverünk. Mekkora lesz a keverék hőmérséklete?

Megoldás:


Mennyiség Hőmérséklet

Első víz 5 50 5 ∙ 50

Második víz 20 80 20 ∙ 80

Keverék 25 𝑥 25𝑥

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 ∙ 50 + 20 ∙ 80 = 25𝑥.


Válasz: 74 ℃ - os lesz a keverék hőmérséklete.

65. A 𝟑 liter 𝟏𝟒𝟎 𝑭𝒕 egységárú üdítőitalhoz 𝟓 liter 𝟐𝟎𝟎 𝑭𝒕 egységárú italt kevernek. Mekkora lesz a keverék egységára?

Megoldás:


Mennyiség Egység ár

Első víz 3 140 3 ∙ 140

Második víz 5 200 5 ∙ 200

Keverék 8 𝑥 8𝑥

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3 ∙ 140 + 5 ∙ 200 = 8𝑥.


Válasz: 177,5 𝐹𝑡 lesz a keverék egységára.


27

66. Egy turistacsoprot egy hegycsúcsra felfelé menet 𝟓 óra alatt, lefelé – mivel óránként 𝟏 𝒌𝒎 – rel többet tesznek meg – ugyanezt az utat 𝟒 óra alatt teszi meg. Mekkora utat járnak be a túra során?

Megoldás:


Idő (𝒕) Sebesség (𝒗) Út (𝒔)

Felfelé 5 𝑥 5𝑥

Lefelé 4 𝑥 + 1 4 ∙ (𝑥 + 1)

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5𝑥 = 4 ∙ (𝑥 + 1).


Ezek alapján a hegycsúcsra vezető út hossza: 5 ∙ 4 = 20.

Válasz: A túra során összesen 40 𝑘𝑚 – t tesznek meg oda - vissza.

67. Egy hajó két kikötő között lefelé 𝟑, 𝟓 óra, felfelé 𝟓 óra alatt teszi meg az utat. A folyó

sebessége 𝟑 𝒌𝒎

𝒉. Hány kilométerre van egymástól a két kikötő?

Megoldás:

Legyen a hajó sebessége 𝑥.



Felfelé 5 𝑥 − 3 5 ∙ (𝑥 − 3)

Lefelé 3,5 𝑥 + 3 3,5 ∙ (𝑥 + 3)

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 ∙ (𝑥 − 3) = 3,5 ∙ (𝑥 + 3).


Válasz: A két kikötő távolsága 70 𝑘𝑚.


28

68. Egy hajó két végállomása közti utat 𝟒 óra 𝟒𝟎 perc alatt tette meg oda – vissza. A

sebessége a folyón lefelé menet 𝟏𝟔 𝒌𝒎

𝒉 volt, a folyón felfelé pedig 𝟏𝟐

𝒌𝒎

𝒉. Milyen messze

van egymástól a két végállomás?

Megoldás:



Felfelé 𝑥 12 12𝑥

Lefelé 14

3− 𝑥 16 16 ∙ (

14

3− 𝑥)

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 12𝑥 = 16 ∙ (14

3− 𝑥).


Válasz: A két végállomás távolsága 32 𝑘𝑚.

69. Egy folyón fölfelé haladva 𝟖 𝒌𝒎

𝒉 - val kisebb egy hajó sebessége, mint felfelé haladva.

A két kikötő között felfelé 𝟏𝟓 óráig, lefelé 𝟏𝟎 óráig tart az út. Hány kilométert tesz meg ez a hajó fölfelé és lefelé óránként? Milyen távol van egymástól a két kikötő?

Megoldás:



Felfelé 15 𝑥 15𝑥

Lefelé 10 𝑥 + 8 10 ∙ (𝑥 + 8)



Válasz: A két kikötő távolsága 240 𝑘𝑚, s a hajó sebessége felfelé 16 𝑘𝑚

ℎ, lefelé pedig 24

𝑘𝑚

ℎ.


29

70. Egy 𝟓𝟎 𝒎

𝒔 sebességgel haladó test és egy 𝟏𝟐

𝒎

𝒔 sebességgel haladó test egy helyről, egy

időben indulva egy irányba mozog. Hány másodperc múlva lesz a távolságuk 𝟐𝟎𝟗 𝒎?

Megoldás:



Első test 𝑥 50 50𝑥

Második test 𝑥 12 12𝑥

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 50𝑥 = 12𝑥 + 209.


Válasz: A két test 5,5 másodperc múlva lesz 209 𝑚 – re egymástól.

71. Egy 𝟑𝟔 𝒎

𝒔 és egy 𝟐𝟎

𝒎

𝒔 sebességgel haladó test ugyanarról a helyről, egy időben

indulva ellenkező irányba haladva távolodik egymástól. Hány másodperc múlva lesz

a távolságuk 𝟓𝟕𝟒 𝒎?

Megoldás:



Első test 𝑥 36 36𝑥

Második test 𝑥 20 20𝑥

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 36𝑥 + 20𝑥 = 574.


Válasz: A két test 10,25 másodperc múlva lesz 574 𝑚 – re egymástól.


30

72. Egy 𝟓, 𝟑 𝒌𝒎 hosszú ellipszis alakú ügetőpálya startpontjától egyszerre indul el két

zsoké egymással ellenkező irányban. Az egyik átlagsebessége 𝟏𝟐, 𝟓 𝒌𝒎

𝒉, a másiké

𝟏𝟒 𝒌𝒎

𝒉. Mennyi idő múlva találkoznak?

Megoldás:



Első zsoké 𝑥 12,5 12,5𝑥

Második zsoké 𝑥 14 14𝑥

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 12,5𝑥 + 14𝑥 = 5,3.


Válasz: A két zsoké 12 perc múlva találkozik egymással.

73. Egy 𝟒𝟎𝟎 𝒎 hosszú kör alakú futópályán ugyanazon helyről, egyirányba, egyszerre

indul két futó. Az egyik átlagsebessége 𝟓 𝒎

𝒔, a másiké 𝟒

𝒎

𝒔. Mennyi idő múlva körözi

le a gyorsabban futó a lassúbbat? Hány métert tesznek meg ezalatt az idő alatt?

Megoldás:



Első futó 𝑥 5 5𝑥

Második futó 𝑥 4 4𝑥

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5𝑥 = 4𝑥 + 400.


Válasz: A futók 400 𝑠 múlva találkoznak, s addig 2 000 𝑚 – t, illetve 1 600 𝑚 – t tesznek meg.


31

74. Két kocogó ugyanazon a pályán fut végig. Az egyik, aki percenként 𝟑𝟔𝟎 𝒎 – t fut,

𝟓 másodperccel később indul, és két perccel előbb ér célba. A másik sebessége 𝟒 𝒎

𝒔.

Milyen hosszú a pálya?

Megoldás:



Első kocogó 𝑥 6 6𝑥

Második kocogó 𝑥 + 125 4 4 ∙ (𝑥 + 125)



Válasz: A pálya hossza 1 500 𝑚.

75. Két úszó átúszik egy tavat. Az egyik 𝟕𝟎 𝒎 – t, a másik 𝟔𝟎 𝒎 – t úszik percenként. A gyorsabb 𝟑 perccel előbb ér célba. Milyen széles a tó, és hány perc alatt ússzák át?

Megoldás:



Első úszó 𝑥 70 70𝑥

Második úszó 𝑥 + 3 60 60 ∙ (𝑥 + 3)



Válasz: A tó 1 260 𝑚 széles, s az egyik 18 perc alatt, a másik pedig 21 perc alatt ússza át.


32

76. Egy szállodában kétágyas és háromágyas szobák vannak. Hány kétágyas és hány háromágyas szoba van a szállodában, ha egyszerre 𝟏𝟓𝟎 vendéget tudnak elszállásolni benne, és a szobák száma 𝟓𝟓?

Megoldás:

Legyen a két ágyas szobák száma 𝑥, a három ágyasoké pedig 𝑦.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:

2𝑥 + 3𝑦 = 150𝑥 + 𝑦 = 55

}

A behelyettesítő módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 15 és 𝑦 = 40.

Válasz: A szállodában 15 darab kétágyas és 40 darab háromágyas szoba található.

77. Tizenhat év múlva az apa kétszer idősebb lesz fiánál. Hány évesek most, ha 𝟒 évvel ezelőtt az apa hatszor annyi idős volt, mint a fia?

Megoldás:

Legyen az apa életkora 𝑥, a fiáé pedig 𝑦.


𝑥 + 16 = 2 ∙ (𝑦 + 16)

𝑥 − 4 = 6 ∙ (𝑦 − 4)}


Válasz: Az apa most 34 éves, a fiú pedig 9 éves.


33

78. A fizikaterembe padokat állítanak be. Ha minden padba két tanulót ültetnek, akkor 𝟖 tanulónak nem jut hely. Ha viszont minden padba 𝟑 tanuló ül, akkor 𝟕 hely üresen marad. Hány padot állítanak a terembe és hány tanuló van az osztályban?

Megoldás:

Legyen a padok száma 𝑥, a tanulók száma 𝑦.


2𝑥 + 8 = 𝑦3𝑥 − 7 = 𝑦

}

Az összehasonlító módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 15 és 𝑦 = 38.

Válasz: A teremben 15 pad áll és az osztályba összesen 38 tanuló jár.

79. Egy rakomány meghatározott időn belüli elszállításához több egyforma teherautóra van szükség. Ha 𝟐 kocsival kevesebb lenne, akkor a szállítás két órával tovább tartana. Ha viszont 𝟒 autóval több lenne, a szállítást a megszabott időnél két órával hamarabb tudnák elvégezni. Hány teherautó végzi a szállítást, és mennyi idő alatt kell

készen lenniük?

Megoldás:

Legyen a teherautók száma 𝑥, az elszállításhoz szükséges idő 𝑦 óra.


(𝑥 − 2) ∙ (𝑦 + 2) = 𝑥𝑦(𝑥 + 4) ∙ (𝑦 − 2) = 𝑥𝑦

}

Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 8 és 𝑦 = 6.

Válasz: Összesen 8 teherautó végzi a szállítást és ehhez 6 órára van szükségük.


34

80. Ha egy téglalap két párhuzamos oldalpárját egyidejűleg 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 𝒄𝒎 – rel növeljük, akkor területe 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 – rel lesz nagyobb, ha viszont egyik párhuzamos oldalpárját 𝟏𝟎 𝒄𝒎 – rel csökkentjük, a másik oldalpárt pedig 𝟏𝟎 𝒄𝒎 – rel növeljük, akkor területe 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 – rel lesz kisebb. Mekkorák a téglalap oldalai?

Megoldás:

Legyen a téglalap egyik oldalának hossza 𝑥, a másiké pedig 𝑦.


(𝑥 + 10) ∙ (𝑦 + 10) = 𝑥𝑦 + 1000(𝑥 − 10) ∙ (𝑦 + 10) = 𝑥𝑦 − 400

}


Válasz: A téglalap oldalai 30 𝑐𝑚 és 60 𝑐𝑚 hosszúak.

81. Egy háromszög egyik külső szöge 𝟏𝟑𝟎°, a nem mellette fekdvő két belső szög különbsége 𝟏𝟎°. Mekkorák a háromszög szögei?

Megoldás:

Legyen a két belső szög 𝛼 és 𝛽, amelyek nem a megadott külső szög mellett fekszenek.


𝛼 + 𝛽 = 130𝛼 − 𝛽 = 10

}

Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝛼 = 70 és 𝛽 = 60.

Válasz: A háromszög szögei 50°; 60° és 70°.


35

82. Ha egy derékszögű háromszög egyik befogóját 𝟐 𝒄𝒎 – rel, a másikat 𝟓 𝒄𝒎 – rel megnöveljük, az így létrejött háromszög területe 𝟓𝟏 𝒄𝒎𝟐 – rel több lesz. Ha viszont mindkét befogót 𝟐 𝒄𝒎 – rel csökkentjük, a területe 𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟐 – rel kisebb lesz. Mekkorák a befogók?

Megoldás:

Legyen a háromszög egyik befogójának hossza 𝑥, a másiké pedig 𝑦.


(𝑥 + 2) ∙ (𝑦 + 5)

2=

𝑥𝑦

2+ 51

(𝑥 − 2) ∙ (𝑦 − 2)

2=

𝑥𝑦

2− 32

}


Válasz: A háromszög befogói 8 𝑐𝑚 és 26 𝑐𝑚 hosszúak.

83. Alkothat – e háromszöget az a három szakasz, amelyek páronként vett összege 𝟒𝟐 𝒄𝒎, 𝟐𝟖 𝒄𝒎 és 𝟐𝟎 𝒄𝒎?

Megoldás:

Legyen a háromszög oldalainak hossza 𝑥; 𝑦 és 𝑧.


𝑥 + 𝑦 = 42𝑥 + 𝑧 = 28𝑦 + 𝑧 = 20

}

A behelyettesítő módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 25; 𝑦 = 17; 𝑧 = 3.

Válasz: A háromszög egyenlőtlenség miatt nincs ilyen háromszög (3 + 17 < 25).


36

84. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 𝟏𝟐. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor 𝟏𝟖 – cal kisebb számot kapunk. Melyik ez a kétjegyű szám?

Megoldás:

Legyen az első számjegy 𝑥, a második 𝑦.


𝑥 + 𝑦 = 12

10𝑥 + 𝑦 = 10𝑦 + 𝑥 + 18}


Válasz: A keresett szám a 86.

85. Ha egy kétjegyű számot elosztunk a számjegyeinek felcserélésével kapott számmal, akkor a hányados 𝟒, a maradék 𝟑 lesz. Ha ugyanezt a számot a számjegyek különbségével osztjuk el, akkor a hányados 𝟏𝟏, a maradék 𝟓 lesz. Melyik ez a szám?

Megoldás:

Legyen az első számjegy 𝑥, a második 𝑦.


10𝑥 + 𝑦 = 4 ∙ (10𝑦 + 𝑥) + 3

10𝑥 + 𝑦 = 11 ∙ (𝑥 − 𝑦) + 5}


Válasz: A keresett szám a 71.


37

86. Két csapon át 𝟏𝟓 óra alatt telik meg egy medence. Ha az első csapot csak 𝟔 órán át tartjuk nyitva, akkor a második csapot 𝟑𝟎 órán át nyitva kell tartanunk ahhoz, hogy megtöltsük a medencét. Hány óra alatt telik meg a medence, ha csak az első, illetve

csak a második csapot nyitjuk meg?

Megoldás:


Legyen az első csap töltési ideje 𝑥 óra, a másodiké pedig 𝑦 óra.


Első csap Második csap

𝑥 óra 𝑦 óra

𝟏 óra alatt 1

𝑥

1

𝑦


15

𝑥+15

𝑦= 1

6

𝑥+30

𝑦= 1

}

Vezessünk be új ismeretlent: 𝑎 =1

𝑥 és 𝑏 =

1

𝑦.

15𝑎 + 15𝑏 = 16𝑎 + 30𝑏 = 1

}

Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑎 =1

24 és 𝑏 =

1

40.

Visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 24 és 𝑦 = 40.

Válasz: Az első csap egyedül 24 óra alatt, a második pedig 40 óra alatt töltené meg a medencét.


38

87. Két munkás készít egy munkadarabot. Ha az első munkás 𝟗 órát dolgozik, a második 𝟏𝟓 órát, akkor időre elkészülnek. Akkor is időre készen lesznek, ha az első 𝟏𝟔 órát, a másik 𝟏𝟎 órát dolgozik. Mennyi idő alatt végeznének külön – külön?

Megoldás:


Legyen az első munkás ideje 𝑥 óra, a másodiké pedig 𝑦 óra.


Első munkás Második munkás

𝑥 óra 𝑦 óra

𝟏 óra alatt 1

𝑥

1

𝑦


9

𝑥+15

𝑦= 1

16

𝑥+10

𝑦= 1

}


𝑥 és 𝑏 =

1

𝑦.

9𝑎 + 15𝑏 = 116𝑎 + 10𝑏 = 1

}


30 és 𝑏 =

7

150.

Visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 30 és 𝑦 =150

7≈ 21,4.

Válasz: Az első munkás egyedül 30 óra alatt, a második pedig kb. 21,4 óra alatt végezne.


39

88. Bizonyos mennyiségű 𝟕𝟖 %, illetve 𝟓𝟖 % vasat tartalmazó ércet összekeverve 𝟔𝟐 % vasat tartalmazó keveréket kapunk. Ha mindkét fajta ércből még 𝟏𝟓 − 𝟏𝟓 𝒌𝒈 – ot hozzáteszünk a keverékhez, akkor 𝟔𝟑, 𝟐𝟓 % - os lesz, Mennyi ércet tartalmaz a keverék az egyes fajtákból?

Megoldás:



Első sóoldat 𝑥 78 𝑥 ∙78

100

Második sóoldat 𝑦 58 𝑦 ∙58

100

Keverék 𝑥 + 𝑦 62 (𝑥 + 𝑦) ∙62

100


𝑥 ∙78

100+ 𝑦 ∙

58

100= (𝑥 + 𝑦) ∙

62

100

(𝑥 + 15) ∙78

100+ (𝑦 + 15) ∙

58

100= (𝑥 + 15 + 𝑦 + 15) ∙

63,25

100

}

Az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 22,8 és 𝑦 = 91,2.

Válasz: Összesen 22,8 𝑘𝑔 78 % - os és 91,2 𝑘𝑔 58 % - os ércet tartalmaz a keverék a fajtákból.


40

89. Hány liter 𝟒𝟎 % - os alkoholhoz hány liter 𝟔𝟎 % - os alkoholt kell öntenünk, hogy 𝟐𝟎 liter 𝟓𝟓 % - os alkoholt kapjunk?

Megoldás:



Első sóoldat 𝑥 40 𝑥 ∙40

100

Második sóoldat 𝑦 60 𝑦 ∙60

100

Keverék 20 55 20 ∙55

100


𝑥 + 𝑦 = 20

𝑥 ∙40

100+ 𝑦 ∙

60

100= 20 ∙

55

100

}


Válasz: Összesen 5 𝑙 40 % - os és 15 𝑙 60 % - os alkoholt kell összekevernünk.

90. Két, egymástól 𝟗 𝒌𝒎 távolságra levő pontból egyszerre indul el egy – egy kerékpáros. Ha egymással szembe mennek, 𝟐𝟎 perc múlva, ha egy irányban haladnak, 𝟑 óra múlva találkoznak. Mekkora a sebességük?

Megoldás:

Legyen az egyik sebessége 𝑥, a másiké pedig 𝑦.


1

3𝑥 +

1

3𝑦 = 9

3𝑥 = 9 + 3𝑦}


Válasz: Az egyik kerékpáros sebessége 15 𝑘𝑚

ℎ, a másiké pedig 12

𝑘𝑚

ℎ.


41

91. Egy motorcsónak 𝟒𝟎 𝒌𝒎 – t megy felfelé a folyón, majd visszafordul és visszatér kiindulási helyére. Ezt az utat az indulástól számítva 𝟖 óra alatt tette meg. Ugyanekkora sebességgel haladva más alkalommal 𝟏𝟎 𝒌𝒎 – t tett meg felfelé és 𝟒 𝒌𝒎 – t lefelé, összesen 𝟏, 𝟓 óra alatt. Mekkora a csónak sebessége állóvízben és mekkora a folyó sebessége?

Megoldás:

Legyen a csónak sebessége 𝑥, a folyóé pedig 𝑦.


Út (𝒔) Sebesség (𝒗) Idő (𝒕)

Első út felfelé 40 𝑥 − 𝑦 40

𝑥 − 𝑦

Első út lefelé 40 𝑥 + 𝑦 40

𝑥 + 𝑦

Második út felfelé 10 𝑥 − 𝑦 10

𝑥 − 𝑦

Második út lefelé 4 𝑥 + 𝑦 4

𝑥 + 𝑦


40

𝑥 − 𝑦+

40

𝑥 + 𝑦= 8

10

𝑥 − 𝑦+

4

𝑥 + 𝑦=

3

2

}


𝑥 − 𝑦 és 𝑏 =

1

𝑥 + 𝑦.

40𝑎 + 40𝑏 = 8

10𝑎 + 4𝑏 =3

2

}


60 és 𝑏 =

1

12.

Ezt visszahelyettesítve a következő egyenletrendszer adódik:

1

𝑥 − 𝑦=

7

60

1

𝑥 + 𝑦=

1

12

}

A behelyettesítő módszer segítségével az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 =72

7 és 𝑦 =

12

7.

Válasz: A folyó sebessége kb. 1,71 𝑘𝑚

ℎ, a csónaké pedig kb. 10,28

𝑘𝑚

ℎ.


42

92. Egy gépkocsi a vízszintes úton 𝟖𝟎 𝒌𝒎

𝒉, az emelkedőn 𝟔𝟎

𝒌𝒎

𝒉, a lejtőn 𝟏𝟎𝟎

𝒌𝒎

𝒉

sebességgel halad. A 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒎 hosszú utat oda 𝟓 óra, vissza 𝟓 óra 𝟏𝟔 perc alatt teszi meg. Milyen hosszúak az egyes útszakaszok?

Megoldás:

Legyen odafele a vízszintes út hossza 𝑥, az emelkedőé 𝑦, a lejtőé pedig 𝑧.


Odafele Út (𝒔) Sebesség (𝒗) Idő (𝒕)

Vízszintes 𝑥 80 𝑥

80

Emelkedő 𝑦 60 𝑦

60

Lejtő 𝑧 100 𝑧

100

Visszafele Út (𝒔) Sebesség (𝒗) Idő (𝒕)

Vízszintes 𝑥 80 𝑥

80

Emelkedő 𝑧 60 𝑧

60

Lejtő 𝑦 100 𝑦

100


𝑥

80+

𝑦

60+

𝑧

100= 5

𝑥

80+

𝑧

60+

𝑦

100=

79

15

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 400 }

A behelyettesítő módszerrel az egyenletrendszer megoldása: 𝑥 = 240; 𝑦 = 60; 𝑧 = 100.

Válasz: Az úton odafelé 240 𝑘𝑚 vízszintes, 60 𝑘𝑚 emelkedő és 100 𝑘𝑚 lejtő volt.

Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Egy kirándulás során a költségeinket a...

Documents

Transcript of Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Egy kirándulás során a költségeinket a...