ニュートン力学の概要

March 2020. Shoji

I-1 力とは何か

　「力」は「作用」を表す物理量で，ゴムやバネを変形さ

せたり，物体の運動を変化させる働きです．目には見えま

せんが，我々は押されれば力の大きさや向きを感じます．

これは皮膚の僅かな凹み（変形）を感じるのです．さらに，

押されたときに支えがなければ動き出すのも「作用」で

す．

Q アリストテレスは「力が働いている時だけ物体は動く」と考えました．馬車

は馬が曳くのを止めたら止まるからです．後年ガリレオは「力が働かなければ，

物体はそのままの運動を続ける」と考えました．正しいのはガリレオです．馬

車の論理の誤りを説明しなさい．

　力は大きさのある面に作用しますが、単純化

して 1 点に作用すると考えても十分な場合が多

いのです。このとき力が作用する点を作用点と

言います．

　力には大きさと方向があるので，数学的にはベクトルです。図で示す場合は、

作用点を起点とする矢印で表現できます．

I-2 様々な力

[重力―地球がおよぼす力]　地球が物体を引っ張る力は重力です．方向は地球の中心（正

しくは重心）を向き，大きさは物体の質量 m に比例します．重

力の大きさを F とすると

F=m𝑔 (1.1)です．比例係数 𝑔 は（物体が加速しない場合でも）重力加速度といいます．

[弾性力―ばねがおよぼす力]　伸びたり縮んだりするばねは，もとの長さ

（自然長といいます）に戻ろうとします．その

とき，ばねは結び付けられている物体に力を及

ぼします．この力を弾性力といいます．力の方

向は変形を戻す方向で、力の大きさは変形の大

きさ𝑥に比例します．比例定数（ばね定数という）を𝑘ととすると、力の大きさ

F は、下式で表せます．F=–k𝑥 (1.2)比例定数はプラスの値で、式のマイナス符号は、変形方向と力の方向が逆だか

らです。方向を無視すると F, k, x の全てがプラスなので式にマイナスを付けま

せん。

[垂直抗力―面を支える力]　重力によって、りんごは落下しますが台の上

に置かれた本は動きません．これは台が本を支

えるからで，重力と同じ大きさで、逆方向の力

を返しているのです。この力は台が動かないよ

うにする（壊れないようにする）力なので、面に垂直で、垂直抗力と言います。

Q 力には必ず、力を作用する物体と力を受ける物体があります．重力，面を押

す力，面の抗力という３つの中で，本が受ける力（本にに働く力は）どれで

しょう．

[摩擦力―面上の滑りを邪魔する力]　摩擦が大きいと台を傾けても本は動きません。

台の面上を滑らないようにする力を静止摩擦力

といいます。滑らせようとする力と同じ大きさ

で逆方向です．この力は滑りを妨げる力なので、

力の向きは面と平行です。

I-3 力の釣り合い

　本が動かないとき、本に働く力は「釣り合い条件」を満たしています。これ

は、本に働く全ての力のベクトル和をとると（ベクトルの合成）ゼロとなる条

件です。以後の式で直立太字は力などのベクトル

を表します。

　傾いた台の上の本に働く力は、地球からの重力

FG、台からの垂直抗力 FR、台からの静止摩擦力

FSF の三つです。したがって本が動かない条件は

FG+FR+FSF=0、つまり図の 3 つの矢印の合成がゼロです。

[分力と合力]　右の図は 3 つの力ですが、その上の図は 4 つの

力で、重力 FG の代わりに面を押す力 F⊥と面上を

滑らせようとする力 F//が描かれています。この 2 つの図はともに正しく、右下

の図のように FG= F⊥+ F//なのです。ここでは重力を、重力と等価になる 2 つ

の力に分けて考えたので「F⊥と F//は FG の分力」または「FG は F⊥と F//の合

力」と表現します。FG は様々な分力に分けることができますが、F⊥と F//に分

けると便利でした。それは、力の釣り合い条件 FG+FR+FSF=0 を方向別に FR+

F⊥=0（面に垂直な方向）と、FSF+ F//=0（面に水平な方向）に分けて考えられ

るからです。

I-4 動摩擦力

[動摩擦力]　台をさらに傾けると、本は滑り始めます。摩擦力に限界があるからで、この

ギリギリの摩擦力を最大静止摩擦力と言います。本を面に押しつける力 F⊥に比

例し、その係数を静止摩擦係数といいます。

最大|FSF|=| F⊥| (1.3)　本が滑り落ちる間も摩擦力は働き、これが動

摩擦力です。動摩擦力 FDF も面を押す力 F_|_に比

例し、その係数’を動摩擦係数と言います。

|FDF|=’| F⊥| (1.4)通常は ’<であって、動摩擦力は最大静止摩擦力より弱くなります。このとき

本は面に水平な方向に加速し、|FDF|<| F//|です。動摩擦力は速度で変わりませ

ん。

[摩擦力をグラフで考える] やや粗い面上に置かれた物

体を水平に引く場合を考えま

す。方向は 1 方向だけなので、

力を実数（ベクトルの水平方向成分）で表します。

引く力 F に対して摩擦力 FFをグラフにします。

Q FFと F＋FFがどうしてこようなグラフになるの

か．説明しなさい。途中の段差では何が起きていますか。

I-5 作用と反作用

　ニュートン力学の第 3法則は「物体 B が物体 A に力𝑭F をおよぼすとき，物体 B には物体 A から

力−F（大きさが同じで逆向きの力）がはたらく」

です．これらの力を作用と反作用といいます．本

が台を押す力と台からの垂直抗力がこの関係

で FR= – F⊥です。また摩擦力は、本が台に

及ぼす摩擦力と台が本の及ぼす摩擦力が作用

と反作用の関係です。

　A と B の間にばねを取り付けて力を測ります。ばねの縮みが示す力は、A に

作用する力か、B から Aへの反作用か、どちらでしょう？ 実は力は一方的では

なく，物体間で相互に作用し合うのです．作用と反作用は同じ作用（力）を、

作用者の立場を変えて表現しただけです。作用と反作用は、同じ物体に作用す

る力ではないので力の和はとれません。力の釣り合いで合成した力は同じ物体

に作用している力であったから、和を取れたのです。

I-6 圧力

　単位面積あたりに作用する力が圧力で

す．その 1 例が水圧です．図は自由に動

くピストンがついた太いシリンダーと細

いシリンダーを水で満たし，パイプで繋げた様子です。これで同じ高さの圧力

は同じになります。太いシリンダーのピストンを質量 m1の重りで抑えます。

これに対して細いシリンダーのピストンを抑えるのは、質量 m2 の軽い重りで

十分です。圧力が等しいならば「面積あたりの力」が等しくなるので、それぞ

れのピストンの面積を S1 と S2とすれば、m1/S1=m2/S2 になるからです。

Q 「面積あたりの力」でいう「あたり」とはどういう意味か

説明しなさい．

　水圧の方向は面に垂直で、大きさは、同じ深さであれば同

じです。図のような三角の物体であれば、面に垂直な力を 3方向から受けます．

Q 図のような縦長の円柱を水槽に沈めた。上面から作用する

水圧と、下面から作用する水圧の絶対値（圧力の大きさ）は

どちらが大きいか？それはなぜか？

II-1 ニュートン力学の第１，第２法則

　ニュートンの第一法則は「物体

は力が働かない限り，そのままの

運動を続ける」です．平らで滑ら

かな氷面上を走るカーリングス

トーンは次第に速度を落とします

が，これは摩擦があるからです．摩擦がなければストーンはどこまでも直進し

ます．

　ニュートンの第二法則は力と加速度，質量の関係を示したものです．加速度

を a, 力を F，質量を m として式で表現すると

F = m a (2.1)

という式になります．ここで加速度 a は単位時間あたりの速度の変化で，方向

を持つベクトルです．速度 v もベクトルです。この質量は、運動の変えにくさ

で「慣性質量」といい、式(1.1)の質量は重力の係数で「重力質量」といいます。

2種類の呼び方は役割を示したのであり、これらは同じ質量なのです。

　第二法則から第一法則を導出できます．力がゼロであれば加速度もゼロで，

速度は変化しません．「そのままの運動を続ける」というのは「速度が変化し

ない」という意味です．摩擦がないならば、カーリングストーンに作用する力

はゼロで、ストーンは速度（方向と速さ）を変えないのです。

II-2位置，速度，加速度；時間あたりの変化量

　加速度は速度変化を時間変化で割ったもので a = dv/dtとなります。「d」は

微小変化を表す記号で、dtは時間の微小変化量、dv はこの微小時間内の速度の

変化です。この、微小変化の比をとる操作が微分です。加速度と速度以外に位

置 x もベクトルで速度は位置の変化率です。位置を表すには基準点が必要で、

位置は基準点からの移動量で示します。移動

量は距離と方向を持つのでベクトルになりま

す。この位置をすると速度は v = dx/dt と表

せます。

Q あなたの現在位置を、基準点を前提とせずに誰かに説明してください。でき

ないのであれば、できない理由を考えなさい。

II-3 積分計算

　ここで扱うのは 1次元の運動（力も運動も同一直線上）なのでベクトルでは

なく実数を使い、位置を x，速度を v，加速度を a，時間を t で表します。そし

て「加速度が一定」の運動をグラフに図示します．まずは、微分積分の知識が

なかった 17世紀に、物理学者ガリレオが行なった計算方法を試してみましょ

う。

　横軸を時間 t，縦軸を加速度 a として描いた図を a-t 図と言います．時間に対

して加速度は一定値 a0 でなので図 1a になります．次に，横軸は t のまま縦軸を

速度 v とした v-t 図を描きます．v は時間とともに一定割合で増え続けるので，

図 2a になります．最後に，縦軸を位置 x とした x-t 図を描きます．時間ととも

に「変化割合＝傾き」が大きくなっていくので、図 3a のような曲線になります。

　図 2a の当たり前の結果を積分の考え方で説明します。まず「d」の代わりに

図で示せる程度の微少量を示す「」を使います。微少時間内t内の速度増加v

は v = a t (2.4)です。これを a-t 図で面見ると、図 1b の濃い斜線部分の面積になります．さら

に 0 から t までの速度増加はこの時間区間の面積（粗い斜線部分）です．

　位置変化は図 2b の三角部分の面積になります．この面積計算は積分になって

います．この教科書では扱いませんが，関数と式を使って面積を求めることで，

より複雑な動きも扱えます．

Q ガリレオは図 2b のように

面を同形の三角形に分割して，

その数を数えることで面積比

を計算しました．時間 1 マス

の 小 三 角 形 の 数 は ，

1，3，5，7，，と奇数です．そこで斜面に図のようにベルを置いて球を転がし

ました．人々は，球がベルを通過する際に出す音の間隔の規則性に驚きました．

その音の間隔はどんな間隔だったでしょう？

　

II-4 平均速度と瞬間速度（微分計算）

[平均速度]　次に説明するのは微分で，積分とは逆に x → v → a と遡っ

て計算します．まず以下の前提を確認してください。

1）x-t 図を「x は t の関数である」と考えて x(t)と表現する．

2) スタート時の時刻と位置を t=0，x =0 とする．x (0)=0．

3) 時間の単位を秒(s)、位置の単位をメートル(m)とする。

4) 定数 k= 1 m/s2 を使い、x(t)=k t2　とする。

Q 移動時間をt、移動距離をx

とすると平均速度は<v>=x/t

です。上の条件で t= 2s から

t= 4s 間の平均速度を求めなさ

い。

[瞬間速度]　微分が与えるのは瞬間速度で，

t を短くしていった極限で定義

図 1a 加速度 a は一定 図 2a 速度の時間変化 図 3a 位置の時間変化

図 1b 面積が速度変化 図 2b 面積が位置変化

a = dv/dt (2.2) v = dx/dt (2.3)

できます．図 3b を例に t=2s からt を小さくしていくと平均速度がどう変るか

を図 4 に示しました．t を 3s から 2s,1s と小さくするのに従って，平均速度

（２点を結ぶ直線の傾き）は小さくなっていきt =0 におけるx/t の値は 4 m/s でこれが瞬間速度です．図 3b から，瞬間速度は x-t 図の曲線の接線の傾き

であることがわかります．

　以上の定義を式で表し，定性的ではなく定量的に数値計算します．式表現は

v(t)= lim∆t →0

x (t +∆ t )−x (t)( t+∆ t )−t

(2.5)

となります．やや面倒ですが lim は極限(limit)を意味する数学記号です．この

式を x(t)=kt2として計算します．

x (t+∆ t )−x (t)(t+∆t )−t

= k (t +∆ t)2−k t2

( t +∆ t )−t=2kt ∆ t +k ∆ t 2

∆ t¿2 kt+k ∆ t

(2.6)なので， t を 0 に近づけた極限（瞬間速度）は簡単に計算できます．それは，

v(t)= 2kt (2.7)です．この操作が微分で「関数 v(t)は関数 x(t)の時間微分」と表現します．

[瞬間加速度]　加速度は速度変化なので

加速度 = 速度増加/増加時間 a=v /t (2.8)であり，瞬間加速度も同じように計算できます．

a(t)= lim∆ t →0

v (t+∆ t )−v( t)(t+∆ t )−t

= lim∆ t →0

2 k (t+∆ t )−2 kt(t +∆ t )−t

= lim∆ t →0

2k ∆ t∆ t

(2.9)

なので，

a ( t )=2 k (2.10)

です．つまり，この 2k が一定値の加速度 a0なので，結局位置を表す関数は

x(t)= ( a0

2 ) t2 (2.11)

となります.Q 力が一定ではなく増加する場合の位置は、定数 b を使うと x(t)=bt3 という形に

なります。この式を微分して a(t)を計算しなさい。