Autor: Tirso Séneca

Prefacio:

Este documento no pretende sustituir al estudio del texto base de esta asignatura, antes

al contrario: si no se conoce el libro no se aprobará fácilmente. Es por el aspecto de

ladrillo insufrible que ofrece por lo que hemos decidido editar esta breve guía

aclaratoria de aquellos conceptos que aparecen nuevos o confusos para el estudiante que

se acerca por vez primera a esta asignatura, por ejemplo con la cantidad de ecuaciones

distintas que llevan el nombre de Lagrange, Legendre o Hamilton.

En realidad, el germen de este archivo está en aquello de "si no lo escribo no me entero

de nada...", es decir, explicarse a uno mismo detenidamente lo que está leyendo. Como

además el texto está hecho a las bravas (usando el Office), sin copiar ni pegar, el repaso

mental a cada tema es más minucioso, a la vez que se descubren algunas nuevas

relaciones con material de años precedentes que creíamos menos útiles. Así que se ha

exprimido a fondo el texto de Goldstein, en los capítulos que conciernen al estudiante

de la UNED, a los que se les ha añadido una buena parte de cosecha personal, avalada

por la experiencia reciente y siempre gratificante de haber superado con creces la

asignatura.

Repaso de los conceptos fundamentales

Colocaremos aquí, a modo de preámbulo y sin explicaciones, aquellos conceptos y

fórmulas de la mecánica clásica que resultan imprescindibles para la iniciación a la

mecánica analítica, y que se supone que el lector de este documento conoce e incluso es

posible que domine. Valga entonces este capítulo de recordatorio, o en el mejor de los

casos, de entrenamiento o calentamiento de cara al nuevo curso académico. Así, lo

primero que nos preguntamos es: ¿Recuerdas lo que era...?

Mecánica de una partícula

El vector de posición r (acuérdese de que los vectores y las matrices se escriben en

negrita), respecto de un punto origen O.

- El vector velocidad .

- La cantidad de movimiento .

- La 2ª ley de Newton:

- El teorema de la conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal:

.

Debemos recordar aquí que, en un caso general: dp = d(mv) = m dv + v dm.

A partir de este momento, y salvo que se especifique lo contrario, siempre ocurrirá que

m = cte., y por tanto

dm = 0.

- El momento cinético o momento angular, L, respecto de un punto origen O: L = r x p.

- El momento de una fuerza, N, respecto del origen O: N = r x F, y por tanto se cumple

que: .

- El teorema de conservación del momento cinético o angular: < == >

L es constante.

El trabajo W efectuado por la fuerza F sobre una partícula cuando ésta va del punto "a"

al punto "b":

donde ds = vdt es el desplazamiento infinitesimal, y entonces:

Lógicamente, los cambios de variables harán que se tenga que acarrear el consiguiente

cambio en los límites de integración, desde el espacio, pasando por el tiempo, para

acabar en las velocidades.

La energía cinética de una partícula, T, es precisamente:

de manera que el trabajo WT: es la diferencia

de energías cinéticas entre los puntos a y b.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea conservativo es que la

fuerza F se derive de un potencial V:

y llevando esto a la definición del trabajo:

Como en el caso anterior, el trabajo es la diferencia de energías potenciales entre los

puntos a y b.

La consecuencia inmediata de esta situación es que si el punto inicial coincide con el

punto final, pasando por cualesquiera puntos "b" que se deseen, el trabajo realizado

siempre será 0, es decir, que el valor de la integral W es independiente del camino que

une al punto a con el punto b:

Componiendo entonces las energías asociadas a la posición (V) y las energías asociadas

al movimiento (T) se deduce que: Ea = Ta + Va y Eb = Tb+ Vb ,y la diferencia en las

energías totales E:

en otras palabras:

Ley de la conservación de la energía para una partícula:

"Si las fuerzas que actúan sobre un sistema son conservativas, la energía total de una

partícula permanece constante".

Capítulo 3:

Mecánica de un sistema de partículas

Vamos añadiendo algo de complejidad al mundo. A fin de cuentas, todos tenemos la

certeza de que en el Universo, además de uno mismo, existen a las menos otras

partículas. Supongamos de momento que la interacción entre ellas y con nosotros se

rige por la tercera ley de Newton en su formulación débil, es decir, la ley simple de la

acción y la reacción. Demos por cierta, también, la existencia de fuerzas exteriores, de

origen cualquiera y distinto al de las interacciones entre partículas. Aplicada a nosotros,

la segunda ley de Newton toma la forma siguiente:

donde , es la variación de la cantidad de movimiento de la

partícula que llamamos "nosotros" (n).

, es la resultante de cuales fueran fuerzas exteriores aplicadas sobre nosotros.

, es la suma de las fuerzas ejercidas sobre nosotros por las otras partículas (j) del

sistema.

Como este razonamiento se ha realizado para una partícula "n" cualquiera, pero es de

carácter absolutamente general, entonces la variación de la cantidad de movimiento total

para todas las partículas del sistema será la simple suma, es decir, abrimos un sumatorio

en n para cada partícula:

Ahora bien:

Fnn = 0: una partícula no interacciona consigo misma.

Fjn = - Fnj, según la tercera ley de Newton. Luego: , y por tanto

Ahora resulta de utilidad el introducir el centro de masas del sistema, definido por un

vector R tal que:

donde M es entonces la masa total, porque así nos

queda:

, es decir:

"El centro de masas se mueve como si las fuerzas exteriores estuvieran aplicadas a la

masa total del sistema concentrada en su centro de masas".

El momento lineal total P del sistema será entonces:

y la variación de P: , luego si:

es constante, y esto se llama:

Teorema de conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de

partículas:

"Cuando la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre el centro de masas sea

nula, la cantidad de movimiento del centro de masas permanece constante".

De manera análoga, para encontrar el momento cinético o angular de un sistema de

partículas, abrimos un sumatorio para todos los productos vectoriales de la definición de

L, uno por cada j partícula (en total, n):

Cuando efectuamos los productos del primer miembro, aparecen unos sumandos de la

forma (rk - rj) x Fkj, que serán todos nulos si las fuerzas interiores obedecen la

formulación fuerte de la tercera ley de Newton (además de ser iguales y opuestas, están

sobre la recta que une las dos partículas). En este caso se puede enunciar el Teorema de

conservación del momento cinético o angular:

"Si el momento resultante aplicado de las fuerzas exteriores teriores Next es nulo,

entonces el momento angular de un sistema de partículas L se conserva".

De gran importancia es conocer que éste es un teorema vectorial, es decir, Lz se

conservará si Nzext se conserva, aunque no lo hagan las otras componentes de L.

La energía cinética de un sistema de partículas, como el momento lineal, se compone de

dos contribuciones: la energía cinética del centro de masas como si toda la masa del

sistema estuviera concentrada en ese punto, más la energía cinética de cada partícula

respecto del centro de masas:

Para encontrar las contribuciones a la energía potencial sumamos la energía potencial de

cada partícula por separado, es decir, la que se debe a su posición (n), más la energía

potencial que respecto de cada n es producida por la presencia del resto de partículas

(j):

donde el factor 1/2 se ha puesto para

evitar sumar dos veces cada pareja de subíndices.

Se hace notar que en un cuerpo rígido el segundo sumatorio (el doble sumatorio) es

constante en el tiempo, ya que las partículas que componen el cuerpo permanecen fijas

en sus posiciones respecto del centro de masas.

Capítulo 4:

Ligaduras en mecánica clásica

Ligaduras

Cuando se descubre por vez primera el libro de Goldstein, este apartado resulta de lo

más descorazonador. Parece que los físicos teóricos se han propuesto enmarañar al no

iniciado dentro de un torbellino de términos que incluso pueden variar de significado

cuando los enunciados de los problemas a los que se aplican son muy similares.

Pues bien, no es más que la manera de decir que la gran complejidad de sistemas físicos

que son susceptibles de estudio se debe a que los movimientos de las partes que lo

componen están restringidos de cualquier forma.

Naturalmente, los sistemas reales obedecen tales o cuales restricciones, y éste es el

origen de su diversidad.

También naturalmente (¡y cómo no!), las herramientas que utiliza la mecánica analítica

son las adecuadas para tratar idealizaciones de estos sistemas reales.

La primera idea que surge entonces es agrupar estas idealizaciones según alguna

característica importante, y en el libro de Goldstein se proponen las coordenadas del

sistema, es decir, las espaciales y el tiempo, como elementos diferenciadores entre las

ligaduras (en este punto quizás el lector encuentre conveniente refrescar sus

conocimientos de etimología, filología, etc...).

Así, el taxos principal lo encontramos en ligaduras holónomas y en ligaduras no

holónomas:

Ligaduras holónomas: son todas aquellas que se pueden expresar como:

f(r1, r2, ....., rn, t) = 0. Nótese que en casos así, se puede leer esto como una ecuación

implícita con el parámetro t, y se llaman entonces:

Ligaduras reónomas, si contiene a "t" como variable explícita.

Ligaduras esclerónomas, si no dependen explícitamente de "t".

Ligaduras no holónomas: Todas las demás.

Desgraciadamente, no hay un método para resolver todas las ligaduras no holónomas,

siendo el de los multiplicadores de Lagrange uno de ellos (se verá más adelante). En

cambio, con las ligaduras holónomas se puede seguir la siguiente línea:

Coordenadas generalizadas

Desde este punto, y salvo que se especifique otra cosa, vamos a tratar con ligaduras

holónomas.

Un concepto afín al de ligadura es el de grado de libertad. Ya es sabido que un sistema

de N partículas tiene un máximo de 3N grados de libertad.

Cada condición de ligadura restringe un grado de libertad, de forma que si hay un

número "k" de ellas, podremos utilizarlas para encontrar 3N-k ecuaciones del

movimiento independientes, y para poder manipularlas posteriormente de la mejor

manera, se introducen 3N-k nuevas variables que se llamarán las "coordenadas

generalizadas", q1, q2, ...,q3n-k , que estarán relacionadas con las antiguas coordenadas

rn mediante las "formulas de transformación":

Note el lector que este sistema es la representación en paramétricas de un sistema de

ecuaciones.

Lo más interesante de este proceso es que ahora las nuevas coordenadas no tienen

porqué ser variables canónicas, sino que cualquier magnitud puede estar así

representada, e incluso se pueden tomar como coordenadas las amplitudes de un

desarrollo de Fourier.

Naturalmente, hay que asegurarse de que son consistentes con el problema físico que

estemos abordando, de forma que siempre han de pasar por un análisis dimensional.

Capítulo 5:

Principio de D'Alembert y ecuaciones de Lagrange

Principio de D'Alembert:

, donde: , es otra forma de escribir la ecuación

del movimiento para cada partícula "n". Visto así, el principio de D'Alembert no

expresa otra cosa sino una condición de equilibrio.

es un incremento infinitesimal real del desplazamiento. Nótese que estamos bajo un

símbolo de sumatorio y no bajo una integral.

Para llegar a las ecuaciones de Lagrange a partir de este principio es necesario primero

transformar las coordenadas a unas nuevas coordenadas generalizadas. Estas

coordenadas serán qn y i. Por conveniencia, designarán posiciones y derivadas

respecto del tiempo de las posiciones, aunque generalmente puedan representar diversas

magnitudes. Esto se consigue utilizando la regla de la cadena para derivadas parciales.

A modo de recordatorio, vaya aquí un ejemplo:

Recordamos que el índice "n" se está reservando para partículas, y que el índice "i",

por tanto, pertenecerá a cada coordenada generalizada.

Sustituyendo esto y F = - V (léase lo posterior) en el principio de D'Alembert se llega

a "n" ecuaciones para la energía cinética T.

Tengamos en cuenta que estamos trabajando con fuerzas que derivan de un potencial, y

por tanto, F = - V. Cuando sustituimos esto encontramos que en esas "n" ecuaciones

que cumple la energía potencial, todo lo que ocurre se produce en el segundo miembro

de las ecuaciones que obtuvimos arriba (para ver esto, simplemente, llévese hasta este

segundo miembro todas las expresiones que pueda de lo que haya surgido en las

operaciones con el gradiente, y parezca estar relacionado con la energía potencial V.

Si no es capaz a la primera, haga el camino a la inversa: parta de las ecuaciones de

Lagrange y termine en el principio de D´Alembert). Por tanto, el primer miembro tiene

la misma forma funcional que las ecuaciones para la energía cinética (que corresponderá

a todo lo que en esas ecuaciones no haya surgido de la potencial). Parece adecuado

entonces definir una nueva magnitud que relacione a T y V, llamada la lagrangiana L:

L = T - V

Las ecuaciones así obtenidas se llaman Ecuaciones de Lagrange:

¿Que para qué vale todo esto? ... Las ecuaciones de Lagrange son una herramienta fácil

de recordar para encontrar las ecuaciones de movimiento de un sistema. De momento,

ya no es necesario el uso de los vectores, puesto que sólo utilizamos magnitudes

escalares. El ahorro en tiempo, en papel y en tinta resulta evidente.

Tampoco aparecen por ningún lado las ecuaciones de las ligaduras, ya que quedan

englobadas en la transformación de las coordenadas, proceso más general y por tanto

más potente. Se debe resaltar además el hecho de que la formulación resulte invariante

respecto a la elección de distintos sistemas de coordenadas.

Una aclaración antes de cerrar el epígrafe: por la naturaleza diferencial de estas

ecuaciones, resulta lógico encontrar unas ecuaciones del movimiento determinadas a

partir de varias lagrangianas distintas.

Capítulo 6:

Función de disipación

Hasta ahora no habíamos incluido en el análisis los sistemas que no son conservativos.

Desde el bachillerato tenemos la idea de las fuerzas de rozamiento y el fenómeno de

disipación en la atmósfera del calor producido en la fricción, o de la ley de Joule, que

relaciona la cantidad de corriente que atraviesa un conductor y el calor que se desprende

debido a la resistencia que opone el material.

En todos estos casos se "pierde" algo de la energía original, y además los sistemas

conservativos tal y como los hemos visto no son más que aproximaciones a los eventos

físicos reales. La solución inmediata (no tiene porqué ser la mejor) es añadir un nuevo

término a las ecuaciones de Lagrange para "completarlas":

¿Qué clase de función tendría que ser?. Bueno, lo primero que vemos es que se trata de

una ecuación diferencial, así que será algo que nos diga cómo varía una función o

variable cuando hacemos variar alguna otra función o variable, es decir, un término

diferencial.

Acudamos ahora a la física real...¿de que tipo son los rozamientos y otras fuerzas

disipativas?. Bien, una buena mayoría de ellas dependen de la velocidad, o de la energía

cinética, de la forma: F = kv

Esto no es extraño ni aleatorio en absoluto cuando se tiene en cuenta que las fuerzas

derivan (derivada) de un potencial (energía). Obsérvese también que k no es ninguna

constante, simplemente será una magnitud cuyas dimensiones no dependan de las

coordenadas ni de las velocidades. El quid de la cuestión era separar estas

contribuciones en las fuerzas disipativas. Definamos entonces a conveniencia una nueva

función de v que pudiera encajar en el hueco planeado. No olvidemos que estamos bajo

la ecuación de Lagrange, y que ésta está formada por derivadas respecto de coordenadas

y velocidades generalizadas. Por tanto, estamos buscando una derivada, respecto a

alguna de ellas, de alguna función todavía desconocida.... Lord Rayleigh (Essex, 1842-

1919) buscó hace tiempo en esto mismo y encontró una función que poseía las

Características adecuadas, aunque como se podía sospechar, no se trataba de una

energía: la función .

Función de disipación de Rayleigh para un sistema de n partículas:

de forma que derivando esto respecto de las velocidades generalizadas n obtenemos un

término de la forma buscada: / n = F = kvn. Las dimensiones de son las de un

flujo de energía o una potencia, es decir, kgm2s-3, y las de k son por tanto kgs-1.

Evidentemente, se han de utilizar las fórmulas de transformación de v en n vistas más

arriba. Cuando se hace esto, el desarrollo del cuadrado produce tres funciones

homogéneas en n: T = T0 + T1 +T2, donde T0 es independiente en las velocidades

generalizadas, T1 es lineal, y T2 es cuadrática. Esto será de utilidad más adelante.

Añadamos pues / n en el sitio planeado de la ecuación y queda:

Ecuaciones de Lagrange cuando incluyen la función de disipación de Rayleigh:

Es decir, para resolver un problema que incluya fuerzas disipativas, además de la

lagrangiana necesitarás conocer una función escalar más, o al menos que en el problema

tengas datos suficientes para deducir L y .

Capítulo 7:

Principios variacionales y ecuaciones de Lagrange

Principio de Hamilton

En el capítulo anterior veíamos cómo las ecuaciones de Lagrange surgían de un

principio diferencial (principio de D'Alembert), a través del uso de derivadas. Si

echamos mano de la teoría de campos (cálculo vectorial, análisis matemático de 2º

curso), recordaremos inmediatamente que todo lo que se podía expresar con los

gradientes, divergencias y rotacionales, tenía su contrapartida en forma integral. Esto se

verificaba, por ejemplo, con el teorema de Gauss aplicado a las ecuaciones de Maxwell.

Así que no es extraño que también haya un principio integral.

El principio integral de Hamilton dice que:

"el movimiento del sistema entre los tiempos t1 y t2 es tal que el valor de la integral

curvilínea.

donde L = T-V es la lagrangiana, tiene un valor estacionario para el

movimiento correcto".

A la integral J se le llama integral de acción.

Por valor estacionario entendemos que es aquel para el cual J = 0, esto es, que el valor

de la integral curvilínea cuando recorre el camino correcto no varía respecto de los

caminos vecinos infinitesimalmente próximos (al menos, cuando estos infinitésimos son

de primer orden).

Técnicas del cálculo de variaciones

En este apartado se recogen tres ejemplos famosos del uso del principio integral de

Hamilton. Se encuentran las ecuaciones del movimiento igualando a cero la derivada de

cierta función, es decir, una condición de extremo, y usando el:

Lema fundamental del cálculo de variaciones:

, para cualquier función arbitraria (x) continua al menos

hasta su derivada segunda, entonces M(x) ha de ser idénticamente nula en el intervalo

(a,b)".

Identifiquemos ahora estas dos funciones. Veámoslo en una dimensión para no

sobrecargar los cálculos

(y = fx) representará entonces el camino correcto, no y = f(t)). Con estas condiciones,

de una manera general, la lagrangiana será de la forma

Hagamos variar entonces el camino correcto y(x) con un parámetro pequeño (x), de

manera que para cualquier variación ocurra que y = f(x, ). Para aplicar el principio

integral de Hamilton, encontramos una J:

Lo que se está buscando es J sea estacionario duando varía. Esto se expresa,

naturalmente,como :

Realizando la derivación bajo el signo integral y cancelando términos nulos, se obtiene

finalmente:

Comparando esto con el lema fundamental del cálculo de variaciones:

y si M(x) es idénticamente nula:

Esta forma se llama ecuación de Euler-Lagrange en una dimensión (se parece mucho a

la ecuación de Lagrange), y expresa la condición de mínimo buscada.

Así que cuando nos propongamos usar este método, fijaremos nuestra atención sobre la

función f, ya que si cumple la ecuación anterior entonces el lema fundamental del

cálculo de variaciones nos asegura que J es estacionaria. Veamos ahora los tres

ejemplos:

Capítulo 8:

Nota: Continuamos con los principios variacionales y ecuaciones de Lagrange:

Ejemplos

Distancia más corta entre dos puntos del plano

En un plano, el elemento de longitud que corresponde a cualquier arco es

, y la longitud de cualquier curva entre los puntos p y q

es:

Tomemos f = ds = entonces:

Aplicando ahora la condición de extremo:

Resolviendo esto para : y por tanto y = ax + b, que es la

ecuación de una recta, evidentemente, la distancia más corta entre dos puntos en el

plano.

Superficie de revolución mínima:

Sea una curva en el plano XY. Se hace girar la curva en torno al eje Y para formar un

sólido de revolución, como se ve en la figura 1. Lo que se busca es la curva del plano

XY, es decir, una y = f(x), entre los puntos "p" y "q" que hace que la superficie de

revolución generada sea la menor posible. El área dA que ocupa un anillo cuyo eje

coincide con el eje Y (luego su radio es x), y que tiene una anchura ds es

, y ntonces, el área total de la superficie generada

entre los puntos p y q de la curva cuando han girado una vuelta completa alrededor del

eje Y es:

Así que nuestra función f es en este caso:

Apliquemos el método:

Capítulo 9:

Nota: Continuamos con los principios variacionales y ecuaciones de Lagrange:

Seguimos con los ejemplos.

Utilizamos ahora la condición de extremo:

, o lo que es lo mismo:

Resolviendo para .

y finalmente:

que es la ecuación de la catenaria. Como antes, los valores de

las constantes de integración a y b dependen de los puntos "p" y "q" de la curva.

El problema de la braquistócrona:

Se trata de hallar la curva entre dos puntos cualquiera que describe una partícula desde

el reposo, que cae por efecto de la gravedad, y que emplea un tiempo mínimo para

recorrerla.

La longitud total de la curva entre los dos puntos es, como antes . Ahora

el truquillo para recordar es que ds = vdt, y que la condición de mínimos nos la han

pedido sobre el tiempo t, por tanto vamos a calcular:

. La relación para v la obtenemos fácilmente de la ley de la

conservación de la energía: cuando llega al punto más bajo, toda su energía potencial se

ha convertido en energía cinética, esto es:

y la integral queda:

. Luego la famosa función f (fff):

Continuando el método se habrá resuelto de paso el ejercicio 2.3 del libro de Goldstein,

así pues queda en manos del lector acabar el ejemplo.

Capítulo 10:

Deducción de las ecuaciones de Lagrange a partir del principio integral de

Hamilton.

Como ya se sugirió un poco más arriba, las ecuaciones de Euler-Lagrange surgen del

principio integral de Hamilton. Seguramente ya se le habrá ocurrido la siguiente

transformación:

¿cual es la generalización para n dimensiones?... pues claramente:

x -> t, porque de esta manera, nuestra función f:

nuevamente a las:

Ecuaciones de Lagrange (una vez más):

Extensión del principio de Hamilton a sistemas no holónomos

Ha llegado el momento de incluir en la condición de mínimo las consecuencias de las

ligaduras que no se pueden expresar en función de t. La fórmula final es más sencilla de

lo que en realidad parece indicar el libro de Goldstein. No obstante, algunas de las

condiciones necesarias para poder utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange

se ven mejor si se tienen en cuenta las propiedades de aquella función

, encontrada en la sección 2.2, en la que se resumen las condiciones que

debía cumplir el camino pequeñamente variado respecto del camino correcto.

Evidentemente, no podremos tomar ningún camino variado que viole las restricciones

impuestas por las ligaduras, así que las ecuaciones de Lagrange deben reflejar este

hecho. Como en el caso de sistemas no conservativos, la solución inmediata (tampoco

tiene porqué ser la mejor) es añadir un nuevo término que "complete" las ecuaciones:

[añadir algo aquí] 0.

Tengamos en cuenta, en primer lugar, que pueden existir más de una ecuación de

ligadura, por lo que este nuevo término incluirá un sumatorio cuyo índice las enumere.

En segundo lugar, la forma de la ecuación , nos indica que vamos a

encontrar otra vez términos diferenciales. Recordaremos también que se usa la letra

griega " "para designar estos multiplicadores, así que el nuevo término tendrá la forma:

, donde fk son las ecuaciones de las k ligaduras.

Esto es, para cada ecuación de las ligaduras existirá un término diferencial respecto de

cada coordenada generalizada independiente.

Es ahora cuando viene el punto realmente importante. Cuando en un momento dado

sustituyéramos las ligaduras por un conjunto de fuerzas exteriores Qnx tales que las

ecuaciones del movimiento fueran las mismas, las ecuaciones de Lagrange quedan:

La similitud con la forma que buscamos es evidente. Además, una de las primeras

expresiones con la que nos encontramos en la mecánica es la de la fuerza Normal (la

fuerza que ejerce, por ejemplo, una mesa sobre un objeto depositado encima de ella, de

manera que le impide caer al suelo), que no es más que una ligadura. Por esto, la forma

habitual de escribir esta ecuación es:

Atención al cambio de signo originado al mantener positivo el término nuevo.

Este método resulta también adecuado cuando se quieren hallar las fuerzas de ligadura

de un sistema usando la formulación lagrangiana, representadas en estos casos por los

multiplicadores k. Ya se debería saber que precisamente la formulación lagrangiana,

al englobar a las ligaduras en la transformación de coordenadas, es incapaz de

resolverlas. De todas formas, el propio Goldstein os aconseja no perder el tiempo

usando este método para ello. Aún así, los ejercicios son buenos ejemplos del uso de los

multiplicadores de Lagrange para la resolución de problemas. El esquema general

seguido es el siguiente:

1. Identificar y escribir la lagrangiana en las nuevas coordenadas que elijáis, según

convenga más al problema. Haced dibujos aclaratorios del origen de coordenadas y del

punto cero de la energía potencial, para evitar sustos posteriores con los signos.

2. Escribir la o las ecuaciones de ligadura. Encontrarlas suele ser más cuestión de

oficio o inspiración que de unas reglas concretas. Nuevamente, el dibujo o esquema que

hagáis resultará de gran utilidad.

3. Escribir las ecuaciones de Lagrange con el término de los multiplicadores.

Resolverlas para cada coordenada.

4. Junto a las ecuaciones de la o las ligaduras, formar un sistema de ecuaciones, que

contendrá un número de ecuaciones independientes como coordenadas más

multiplicadores haya.

5. Resolver este sistema para lo que pida el problema: En muchos casos, se buscan

los **simbolo lambdak que representan a las ligaduras. En otros, es el ángulo u otra

coordenada la que interesa encontrar en función de las demás, etc.

Capítulo 11:

Teoremas de conservación y propiedades de simetría

Los teoremas de conservación que se demuestran aquí son los correspondientes del

primer capítulo, traducidos al lenguaje de las coordenadas generalizadas. De momento,

conocemos como son las expresiones de dichas magnitudes, q para las coordenadas, y

para las derivadas respecto del tiempo. Vayamos introduciendo ahora las restantes para

enunciar tales teoremas:

Cantidad de movimiento generalizada p.

Consideremos primeramente un potencial que sólo dependa de las posiciones qi. Se

cumplirá entonces que:

, es decir, definimos p:

"Cantidad de movimiento generalizada o cantidad de movimiento conjugada

a la coordenada q".

De manera que podemos enunciar el siguiente: Teorema de conservación del

momento lineal

"cuando "

Hay que tener cuidado con el siguiente aspecto: como p se define a partir de la

lagrangiana, no siempre va a corresponder al caso más conocido de la cantidad de

movimiento mecánico p = mv, por ejemplo una partícula cargada en el seno de un

campo eléctrico. Aquí la lagrangiana es de la forma:

donde: "e" representa la carga eléctrica (q) es

el potencial eléctrico escalar "A" es el potencial vectorial eléctrico, y por tanto p:

, o bien, la cantidad de movimiento mecánica mas la

electromagnética.

Coordenadas cíclicas

Esta es una de esas ocasiones que uno le pone nombre a algo que no se ve. Cuando en

una lagrangiana no aparezca alguna coordenada qn, aunque sí aparezca , diremos que

tal coordenada es cíclica o ignorable, y el principal efecto que tiene esto en el sistema es

que si en L no aparece qi:

, es decir:

"la cantidad de movimiento generalizada conjugada a una coordenada cíclica se

conserva".

Otra consecuencia: como entonces ,

pero si esta q es cíclica:

, es decir: "La componente de las fuerzas aplicadas

correspondiente a una coordenada cíclica es 0".

Una característica especial tienen las coordenadas que expresen una rotación. Si una de

tales coordenadas es cíclica, entonces la componente de L según el eje de rotación se

conserva, como por ejemplo, se conserva Lz cuando la coordenada de unas

coordenadas cilíndricas (r, ,y,z) es cíclica.

Capítulo 12:

Teorema de conservación de la energía total. Función energía

Hasta ahora hemos visto que la función lagrangiana L es la más importante, o la de

rango superior, ya que es una fuente de las ecuaciones del movimiento de un sistema. Es

lógico entonces pensar que su derivada respecto del tiempo estará implicada en algún

teorema de conservación importante. En este caso, la derivada total de la lagrangiana

respecto del tiempo es:

, pero según las ecuaciones de Lagrange:

. Poniendo esto en lo anterior y recordando que por definición

:

, pero el término general del sumatorio no es más

que la aplicación de la regla de la derivada del producto , luego:

, o lo que es lo mismo:

Se define ahora la función energía h:

, de tal manera que tenemos como ley de conservación:

A esta ecuación se le conoce como integral de Jacobi, y es una de las integrales

primeras del movimiento. Si la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo,

entonces y h se conserva.

¿Cuándo será la función energía h la energía total del sistema?. Bien, la variación de h

está relacionada con la de la lagrangiana, es decir, con la energía cinética T y con la

energía potencial V. Más arriba se describió como la energía cinética T se descompone

en tres contribuciones T0, T1 y T2, de manera que la lagrangiana también tendrá tres

contribuciones de la forma:

, donde ahora L1 es una función

homogénea de primer grado en y L2 es una función homogénea de segundo grado

en .

La forma que tiene la función h sugiere el uso de un teorema de Euler del cálculo

avanzado, que dice que para una función f homogénea de grado n se cumple que:

, aplicando esto a la función energía h: , donde se

ha tenido en

cuenta que L(q, ,t) = L0(q,t) + L1(q, , t) + L2(q, , t) y finalmente:

.

Ahora bien, si T no depende explícitamente de qi, o lo que es lo mismo, la

transformación de coordenadas y momentos a coordenadas generalizadas no depende

explícitamente del tiempo, entonces T2 = T, y por tanto

L2 = T. Si además el potencial no depende de las velocidades generalizadas, L0 = -V, y

así nos queda:

h = T + V, es decir, la energía total.

Así que la función h coincide con la energía total E cuando el potencial no depende

de las , y cuando la energía cinética no contiene al tiempo como variable explícita (no

posee términos lineales (T1) en las ).

Capítulo 13:

Ecuaciones de movimiento de Hamilton

La formulación hamiltoniana de la mecánica no va un paso más allá de donde fue la

formulación lagrangiana en lo que a resolución de problemas concretos se refiere, sino

más bien a un enfoque más general de la mecánica. No se debe creer que la formulación

lagrangiana es un paso intermedio entre la mecánica newtoniana y la de Hamilton, sino

que ésta se formula a partir de otros principios y siguiendo otros métodos, y abre el

camino hacia la formulación moderna de las mecánicas cuántica y estadística.

Transformaciones de Legendre y ecuaciones de movimiento de Hamilton

Quede claro que a partir de ahora siempre que se hable del estado de un sistema, nos

encontramos en el espacio fásico, ese espacio abstracto 2N dimensional en el que las

coordenadas generalizadas y sus derivadas respecto del tiempo ocupan ejes de

coordenadas ortogonales entre sí. En la formulación lagrangiana para un sistema con n

grados de libertad obteníamos n ecuaciones de Lagrange, que tenían la forma:

, es decir, n ecuaciones de segundo grado.

La formulación hamiltoniana, en cambio, intenta ser más simétrica y para ello pone en

pie de igualdad a las coordenadas generalizadas qi y a cierta magnitud, de manera que

las ecuaciones finales sean más generales, y además sean ecuaciones de primer grado.

Resulta que cuando esta nueva magnitud es la cantidad de movimiento generalizada

"p" las ecuaciones adquieren la simetría deseada. Recordemos entonces que p:

, de manera que ahora manejaremos un conjunto de 2n coordenadas

generalizadas, n coordenadas q y n coordenadas p. A las cantidades (q,p) se les llama

variables canónicas.

Con esto se va a construir una función (la hamiltoniana o el hamiltoniano H) para

trabajar con ella, al estilo de como lo hacíamos con la lagrangiana L en la formulación

de Lagrange. La primera diferencia entonces entre las formulaciones lagrangiana y

hamiltoniana es que para encontrar las ecuaciones del movimiento de un sistema:

* en la formulación lagrangiana se usa la función lagrangiana, que es una función de

q, , y t, es decir, L( q, i, t).

* en la formulación hamiltoniana se usa la función hamiltoniana, que es una función de

q, p y t, es decir, H(q,p,t).

El método para encontrar unas a partir de las otras se llama transformación de Legendre

, que aplicado a la mecánica se constituye en el siguiente algoritmo:

Paso 1.- La función hamiltoniana H es función de q, p, y t, así que en cualquier caso

tendremos:

Paso 2.- Por otra parte, de las ecuaciones de Lagrange tenemos que , y que

, donde , la función energía se puede

escribir como:

. El uso de la transformación de Legendre supone

el formar una función (H por conveniencia) en las nuevas variables tal que tenga la

forma:

. El paralelismo es evidente.... Entonces dH:

Paso 3.- De las ecuaciones de Lagrange se deduce que y que

, luego:

.

La ecuación se nos ha quedado en tres términos.... Comparando con la otra forma de

dH:

Capítulo 14:

Nota: Continuamos con las ecuaciones de movimiento de Hamilton

La obtención ahora de las ecuaciones de Hamilton es inmediata: Ecuaciones del

movimiento de Hamilton:

Así que tenemos 2n + 1 ecuaciones, n por las coordenadas q, n por las coordenadas p,

mas la del tiempo. Bien, ya hemos visto qué es y qué se puede hacer con la función

hamiltoniana H. Veamos ahora cómo se obtiene.

Obtención de la hamiltoniana

Paso 1: Obtener la lagrangiana del sistema en las coordenadas que más nos convenga,

es decir, cartesianas, cilíndricas, esféricas, o cualquier otra coordenada generalizada que

definamos. Lo suyo es aplicar las fórmulas de transformación de coordenadas para cada

caso, pero después de hacer las operaciones tres o cuatro veces, uno casi recuerda qué

forma tienen las energías cinética y potencial en los distintos sistemas de coordenadas.

Paso 2: Obtener las cantidades de movimiento conjugadas pi a partir de la lagrangiana.

Paso 3: Obtener una hamiltoniana usando la función energía:

. Esto es una función de , p, q y t y por tanto no es

todavía "la amiltoniana",pues falta aún por eliminar la dependencia de .

Paso 4: Usamos precisamente las relaciones del paso 2 para eliminar las velocidades

generalizadas . Se pueden reconocer ya cuales son las energías potencial y cinética,

con lo que se puede nominar con propiedad a la hamiltoniana así obtenida H(q,p,t).

Ilustremos esto con el segundo ejemplo del libro de Goldstein, una partícula cargada en

un campo eléctrico, caso visto ya más arriba. Recordemos que la lagrangiana en

coordenadas cartesianas para este sistema era:

Paso 1. Escribir la lagrangiana.

Paso 2. Obtener p.

Paso 3. Escribir la función energía h.

Paso 4. Sustituir p e identificar las contribuciones a la hamiltoniana:

Ahora ya se pueden usar esta hamiltoniana y las ecuaciones de Hamilton para obtener

las ecuaciones de movimiento del sistema. Si se quiere hallar la trayectoria en función

del tiempo, simplemente se resuelven dichas ecuaciones.

Capítulo 15:

Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación relacionados

Según la definición, una coordenada "q" cíclica es aquella que no aparece

explícitamente en la lagrangiana. Ahora bien, como hemos definido:

Entonces si una coordenada "q" no está en L, tampoco estará en H.

El resultado de esto es que todas las leyes de conservación que hemos obtenido antes, se

cumplen sin más que sustituir H por L, esto es:

Teorema de conservación del momento lineal

Coordenadas cíclicas

Esta es otra de esas ocasiones que uno le pone nombre a algo que no se ve. Cuando en

una hamiltoniana no aparezca alguna coordenada qn, aunque sí aparezca , diremos que

tal coordenada es cíclica o ignorable, y el principal efecto que tiene esto en el sistema es

que si en H no aparece qn:

"la cantidad de movimiento generalizada conjugada a una coordenada cíclica se

conserva".

Otra consecuencia: como L = T-V, T = f( ), y V = f(qn), Entonces , pero

si esta q es cíclica:

, es decir:

"La componente de las fuerzas aplicadas correspondiente a una coordenada cíclica es

0".

Teorema de la conservación de la energía

La variación total de la hamiltoniana en el tiempo:

Si ahora utilizamos en esta expresión las ecuaciones de Hamilton:

, nos queda:

y por la integral de Jacobi: , así que si la

lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, tampoco lo hará la hamiltoniana, y

en ese caso se dice que la hamiltoniana es una constante del movimiento:

, se conserva.

Recordemos ahora que cuando las coordenadas no dependen del tiempo, y el potencial

no depende de las velocidades: H = T + V.

Como apunte final, hacer notar que mientras que para la lagrangiana existe una fórmula

definida L = T - V, y su magnitud es independiente del sistema de coordenadas

utilizado, para la hamiltoniana esto no ocurre, y es posible que una hamiltoniana que se

conserva en un determinado sistema de referencia no lo haga en otro sistema de

coordenadas, por ejemplo en sistemas de referencia acelerados.

Capítulo 16:

Nota: Continuamos con las coordenadas cíclicas y teoremas de conservación

relacionados. Ejemplo 1

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del formalismo hamiltoniano para

algunos sistemas mecánicos simples:

Ejemplo 1.- Sean los tres sistemas mecánicos de las correspondientes figuras. En todos

ellos el campo g es paralelo al eje Z, como habitualmente se describe, y paralelamente

al eje X, y en su sentido positivo, se dispone un campo E. Ambas masas son también

cargas, siendo idénticas para estos dos campos.

- ¿Cuántas ligaduras y cuántos grados de libertad tiene cada uno de ellos?

- ¿Cuántas ecuaciones de Hamilton son necesarias en cada caso?

Sistema 1

Se trata de dos partículas libres, moviéndose en tres dimensiones. Así que hay seis

grados de libertad sin restricción alguna. Como coordenadas generalizadas sirven bien

las cartesianas, y por tanto el hamiltoniano será de la forma: H = H(xn, yn, zn; pxn,

pyn, pzn; t) (n = 1,2), lo que significa que hay doce ecuaciones de Hamilton.

Sistema 2

Primeramente, consideremos que el movimiento no tiene porqué efectuarse en un plano.

Usando coordenadas esféricas se puede definir completamente la posición de la masa

1mediante los dos ángulos 1 y 1, ya que la restricción del sistema obliga a la

coordenada r a permanecer constante.

Como la masa 1 se mueve en tres dimensiones, pero bastan dos coordenadas para

definir su posición, se deduce que el subsistema de la masa 1 tiene dos grados de

libertad, y por tanto una ligadura. El mismo razonamiento aplicado a la masa 2 lleva a

las mismas conclusiones. En este caso además hay que decir que las coordenadas para la

masa 2 tienen su origen en unos ejes paralelos a los de la masa 1, y que se mueven

solidarios con ésta.

Como en total son dos partículas que se mueven en tres dimensiones, pero bastan cuatro

coordenadas generalizadas, se deduce que el sistema tiene cuatro grados de libertad, y

por tanto dos ligaduras. El hamiltoniano tendrá la forma H = H( n, n; p n,p n; t), lo

que significa que hay ocho ecuaciones de Hamilton.

Como en total son dos partículas que se mueven en tres dimensiones, pero bastan cuatro

coordenadas generalizadas, se deduce que el sistema tiene cuatro grados de libertad, y

por tanto dos ligaduras. El hamiltoniano tendrá la forma H = H( 1, 2; p 1,p 2; t), lo

que significa que hay ocho ecuaciones de Hamilton.

Para este último caso volvemos a la situación inicial. Se han eliminado las restricciones

que estaban impuestas sobre las coordenadas r, que ahora pueden tomar cualquier valor

que permita la elongación de los muelles. A fin de cuentas, si los muelles no tienen

masa, las fuerzas que aquellos aplican sobre éstas resultan indistinguibles de las del tipo

de acción a distancia, como las gravitatorias o electromagnéticas. Si ahora se puede dar

valores a la coordenada r, es que la ligadura que había en el caso anterior también ha

desaparecido, tenemos otra vez seis grados de libertad y por tanto el hamiltoniano será

de la forma:

H = H(rn, n, n; prn, p n, p n t), Lo que significa que habrá doce ecuaciones de

Hamilton.

Capítulo 17:

Nota: Continuamos con las coordenadas cíclicas y teoremas de conservación

relacionados. Ejemplo 2

Ejemplo 2.-

Veamos ahora cómo se van incorporando magnitudes al hamiltoniano de un sistema

cualquiera, por ejemplo, este:

Varillas y bastidor sin masa:

Unas varillas L que sujetan un bastidor BD en el que se desplaza una masa m unida al

bastidor mediante un muelle de constante k, y todo ello, colgado de un techo. Para ir

introduciendo suavemente nuevos términos, comencemos sin masa en las varillas ni el

bastidor, y dejemos también para un poco más adelante el término con las fuerzas

disipativas que surge del rozamiento de m con el bastidor:

Supongamos que el movimiento se efectúa en un plano.

Las coordenadas generalizadas serán el ángulo que forma el péndulo con la vertical,

con el cero de potencial en el plano XY (el techo), y la coordenada "x", con su cero

correspondiente en el extremo del muelle en equilibrio (su longitud natural). Para

encontrar el hamiltoniano, realizamos los pasos siguientes:

Paso 1.- Escribir la lagrangiana :

Paso 2.- Procedamos ahora a utilizar las ecuaciones de Hamilton para encontrar los

momentos p asociados:

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones mediante el método de Cramer para y :

Paso 3-. Ahora la función energía h=h( ,x, , ) es:

Paso 4.- Sustituyendo ahora y , obtenemos finalmente el hamiltoniano:

Tras agrupar términos, la hamiltoniana presenta este aspecto más manejable:

Capítulo 18:

Varillas con masa. Fuerzas disipativas:

¡Obsérvese cuántas cosas hay que saber antes de poder tomar el paso 1!

El problema es similar al anterior. Las diferencias que encontramos son que ahora las

varillas tienen masa, y por tanto se ha de aplicar su momento de inercia respecto del eje

de giro en los extremos del bastidor, y que ahora la masa m se ve afectada por el

rozamiento. Entonces la energía cinética T:

, donde los vectores velocidad son los mismos

que en el ejemplo anterior. Esto nos lleva a:

Para calcular la energía potencial tenemos que ver cuales son las coordenadas de las

varillas. Supuestas de densidad uniforme, se pueden considerar como masas puntuales

en su punto medio. Tomando el mismo origen de potencial que el ejemplo anterior, es

decir, el plano XY, se obtiene que la aportación a V de cada varilla será:

, y por tanto, la energía potencial V:

, de forma que la lagrangiana de este

sistema (sin

amortiguar, aun) es: ¿Paso 1? Aún no...Ahora la receta ya no es L = T - V.

Sea ahora una fuerza tipo Rayleigh , (¿¿esto es una fuerza??). Nos asalta

la duda siguiente: ¿Qué dimensiones tiene c? por su nomenclatura pareciera una

constante, pero la forma de la función de disipación de Rayleigh sugiere que tenga las

de una masa (si es que acaso se trata una energía). Se dice que 2F es la cantidad de

energía disipada en una unidad de tiempo, así que la propia F debe tener esas

dimensiones (tampoco le hubiera ocupado al señor Goldstein más de una línea el

explicitarlas). Esto implica que las dimensiones de c son las de masa partida por tiempo.

Estas también son coherentes con las que definen a las fuerzas disipativas Qx= - C .

Con estas dimensiones en mente (kgs-1), se nos ocurre ingeniar una nueva lagrangiana

en la que quede incluida esta nueva función, a ver qué pasa (es decir, a ver si hay

suerte y se puede seguir sin problemas el algoritmo del ejemplo anterior). Para esto

hagamos lo siguiente:

, pues así se puede poner:

Como esta solo depende de , se puede fabricar una lagrangiana que sea coherente con

esta ecuación haciendo:

Paso 1.- La Lagrangiana, por fin!

, resultando

Ahora tenemos una lagrangiana dependiente del tiempo. Suena a adecuada, teniendo en

cuenta que una fuerza disipativa es no conservativa, y que al final el sistema llegará al

reposo, es decir, la lagrangiana va a sufrir una evolución temporal.

Paso 2.- Utilizando las ecuaciones de Hamilton sobre esta lagrangiana, se hallan los

momentos asociados:

Resolviendo por Cramer este sistema:

Paso 3.- La función energía h es:

Sustituyendo los valores obtenidos arriba para las velocidades generalizadas, se obtiene

finalmente el hamiltoniano:

Paso 4-. Obtención de H.

Tras reagrupar términos, presenta este aspecto menos horroroso, pero no mucho:

donde significa, para hacerlo más manejable: