MCAP3_CadRev_

7/21/2019 MCAP3_CadRev_

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Matemtica

Cadernodereviso

professor

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Sumrio

Parte 1

Fatorao algbrica 4

Porcentagem / Aumentos e descontospercentuais 6

Equaes do 1e do 2graus 9

Funes / Funo do 1grau 13

Funo do 2grau 18

Funo composta e funo inversa 21Funo, equao e inequao exponenciais 24

Logaritmo: definio e condio de existncia 27

Noes gerais de polgono / Tringulos 29

ngulos na circunferncia 32

Teorema de Tales / Semelhana 35

Relaes mtricas no tringulo retngulo 38

Relaes mtricas na circunferncia 41

reas das figuras planas 44

Prisma / Pirmide 48Cilindro / Cone 52

Trigonometria no tringulo retngulo 57

Lei dos senos e lei dos cossenos 60

Ciclo trigonomtrico/Seno e cosseno 62

Tangente / Outras relaes trigonomtricas 66

Equao e inequao trigonomtricas 69

Adio de arcos e arcos duplos 71

Fatorial / Nmero binomial / Tringulo de Pascal 73

Binmio de Newton 76

Resoluo dos exerccios complementares 79

Parte 2

Logaritmo: propriedades e mudana de base 94

Funo, equao e inequao logartmicas 96

Sequncia / Progresso aritmtica 99

Progresso geomtrica 102

Matrizes e determinantes 105

Sistemas lineares 111

Esfera 116

Nmeros complexos: forma algbrica eoperaes 118

Polinmio: teoremas do resto e de DAlembert 122

Polinmio: critrios de divisibilidade 125

Equao polinomial 128

Relaes de Girard / Teorema das razescomplexas 131

Arranjos / Permutaes 133

Permutaes com repetio / Combinaes 136

Probabilidade 138

Coordenadas cartesianas e distncia entrepontos 142

Estudo da reta 144

Circunferncia 149

Resoluo dos exerccios complementares 152



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MCAP3_Caderno de Reviso 1PROVA

1. Prcpas cass defatraFatorar significa decompor em fatores, isto ,

transformar uma adio ou uma subtrao em umamultiplicao.

1cas: Fatr cmum

Se aplicarmos a propriedade distributiva no produ-to a(x y), teremos:

a (x y)axay

Ento:

ax ay a (x y)

Dizemos que o fator comumfoi colocado em evi-dncia.

2cas: agrupamet

Acompanhe a fatorao da expresso a seguir:

N ax ay bx by

A expresso Nno possui um fator comum, mas,se separarmos as parcelas em grupos, teremos o fatoracomum s duas primeiras parcelas e o fator bcomum

s duas ltimas. Ento:N a (x y) b (x y)

Nessa nova situao, x y um fator comum e,portanto, pode ser colocado em evidncia:

N (x y) (a b)

3cas: Dferea de ds quadrads

a2b2(a b) (a b)

4cas: Trm quadrad perfet

a22ab b2(a b)2

a22ab b2(a b)2

2. Revs de prdutstves

I. (a b) (a b) a2b2

II. (a b)2a22ab b2

III. (a b)2a22ab b2

IV. (a b)3a33a2b 3ab2b3

V. (a b)3

a3

3a2

b 3ab2

b3

Alm desses, tambm temos:

VI. Soma de dois cubos:

(a b) (a2ab b2) a3b3

VII. Diferena de dois cubos:

Atvdades 1 Fatore as expresses:

a) 12x2y316x3y220x4y

4x2y (3y24xy 5x2)

b) 8a24ac 6ab 3bc

4a (2a c) 3b (2a c) (2a c) (4a 3b)

4

Fatoraoalgbric

a



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A a b A 19 11 A 30

4 Determine ae bde modo que a b 1 e a2b241.

(a b)212 a22ab b21 a2b22ab 1

41 2ab 1 2ab 40 ab 20a b 1a b 20

a 5 e b 4

ExERCCioS CoMPlEMEnTARES

1 Sendo a 1 e a 1, simplifique a expresso

E a 1a 1

a 1a 1

a2a 2

a21

2 (Vunesp, adaptada) Se x 1x

l, calcule, em

funo de l, o valor de x21x2

.

3 Considere os nmeros naturais me ntais que m2n2

13. Determine os possveis valores de me n.

4 (FGV-SP, adaptada) Imagine dois nmeros naturais nonulos. Seja Da diferena entre o cubo de sua soma e asoma de seus cubos. Mostre que D mltiplo de 6.

5 O valor da expresso:x2y2

x y

x22xy y2

x y, para

x 1,25 e y 0,75, :

a) 0,25 c) 0 e) 0,25

b) 0,125 d) 0,125

6 A expresso a2

b2

b2

a2 2 ab ba 2

equivalente a:

a)a2b2

ab d)

(a b)2

ab

b)(a b)2

ab e)

a2b2

ab

c)a b(ab)2

c) x4y4

(x2)2(y2)2(x2y2) (x2y2) (x y) (x y) (x2y2)

d) m26mn29n4

(m 3n2)2

e) 27x354x2y 36xy28y3

(3x)33 (3x)22y 3 (3x) (2y)2(2y)3(3x 2y)3

2 (PUC-MG) A expresso a32a2a 2 pode ser escritana forma de um produto de trs fatores. A soma dessesfatores igual a:

a) a22a 4 c) 3a 2

b) a22a d) 3a

a32a2a 2 a2(a 2) (a 2)

(a 2) (a21) (a 2) (a 1) (a 1)

Soma: a 2 a 1 a 1 3a 2

Alternativa c

3 Sendo a 19 e b 11, calcule o valor da expressoAemcada caso:

a) A 4a 2abab 2a

A 4a 2abab 2a

s A 2ab 4a

ab 2as A

2a (b 2)a (b 2)

s

b) A (a b)25a 5b

a b 5

A (a b)25a 5b

a b 5

A (a b) (a b) 5 (a b)

a b 5

A (a b) (a b 5)

a + b 5A a b A 19 11

5



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1. PrcetagemO quociente

x100

representado por x% e lidoxpor cento.

Dados dois nmeros a e b, com b 0, diz-se que arepresentax% de bse:

a x

100b

x100

ab

Aumets e descts percetuasPara um aumet

Sendo Vio valor inicial e Vf o valor ao final de umaumento dex%, temos:

Vf

Vi

x

100 Vi

Vf

1

x

100 Vi

Para um desct

Sendo Vio valor inicial e Vf o valor ao final de umdesconto dex%, temos:

VfVix

100Vi Vf1 x100 Vi

Para aumets sucessvs e guas

Sendo Vio valor inicial e Vno valor ao final de nacrs-cimos sucessivos dex%, ao final do ensimo acrscimo:

Vn1 x100 n

Vi

Para descts sucessvs e guas

Sendo Vio valor inicial e Vno valor ao final de ndes-contos sucessivos dex%, ao final do ensimo desconto:

Vn1 x100 n

Vi

2. JurJur smpes

Investido (ou emprestado) um capitalCa uma taxai(em porcentagem), durante um perodot, o clculo do

juro simplesJ dado por:

J C i t

Se o perodo for dado em anos, a taxa deve serpor cento ao ano, ou seja, a taxa deve acompanhar aunidade do perodo.

Jur cmpst

O clculo do juro composto feito da seguinte ma-neira:

M C (1 i)t

em que: M o montante(capital investido mais juros)a ser resgatado; t o perodode aplicao, C o capitaliniciale i a taxa.

Nesse tipo de aplicao, o juro incorporado aocapital, passando tambm a render juro.

Atvdades 1 (PUC-MG) Um objeto que custava R$700,00 teve seu preoaumentado de R$105,00. O acrscimo percentual em rela-o ao custo anterior foi de:

a) 12% b) 15% c) 18% d) 20%

105 x

100700 x 15%

Alternativa b

6

Porcentagem/

Aumentosedesco

ntos

percentuais



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2 (Fuvest-SP, adaptada) Em uma pesquisa relativa acei-tao de um determinado produto, 65% dos entrevis-tados so do sexo masculino. Apurados os resultados,verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheresaprovaram o produto. A porcentagem de pessoa que

aprovou o produto :a) 43,5% c) 90% e) 26%

b) 45% d) 17,5%

Se 65% a porcentagem de homens, dentre os entrevistados,

ento a porcentagem de mulheres 35%.

Aprovao:

(40% de 65%) (50% de 35%) 0,40 65% 0,50 35% 43,5%

Alternativa a

3 (Vunesp) Uma mercadoria teve um aumento de 25% e,logo depois, um aumento de 20% sobre isso. Para en-contrar o preo da mercadoria aps os aumentos, bastamultiplicar o preo inicial por:

a) 1,45 c) 1,50 e) 3,75

b) 0,45 d) 0,50

1 251001 20

100 1,25 1,20 1,50 Alternativa c

4 (UFMS) O tanque de um carro tem 40 litros de uma mis-tura de lcool e gasolina, e o lcool rEpresenta 25%dessa mistura.A fim de que essa mistura apresente umaporcentagem de 60% de lcool, deve-se substituirxli-tros da mistura original por x litros de lcool. Assim, ovalor dex:

a) 813

c) 1813

e) 1823

b) 1223

d) 1423

Tirandoxlitros da mistura, ficaremos com (40 x) litros da

mistura no tanque, onde:25

100(40 x)

40 x4

lcool.

Devemos ter:40 x

4x

60100

40 40 x 4x

424

3x 40 96 3x 56 x 563

x 543

23

x 18 23

1823

litros

Alternativa e


1 Um objeto teve uma majorao de seu preo da ordem de20%, e em seguida, uma reduo do preo da ordem de20%. Com relao ao preo inicial, depois dessa variaode preos podemos concluir que o objeto:

a) no variou de preo.

b) est 4% mais barato.

c) est 4% mais caro.

d) est 8% mais barato.

e) est 8% mais caro.

2 (PUC-SP, adaptada) Ao responder a um teste, um alunoacertou 20 das 30 primeiras questes e errou 64% do n-mero restante. Feita a correo, verificou-se que o totalde acertos correspondia a 47,5% do nmero de questes.O nmero total de questes :

a) 40 d) 80b) 50 e) 120

c) 60

3 (Fuvest-SP, adaptada) O preo de uma mercadoria subiu25%. Calcule a porcentagem de que se deve reduzir seupreo atual para que volte a custar o que custava antesdo aumento.

4 (UECE) Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em aes.No primeiro ms de aplicao, ela perdeu 30% do va-lor investido. No segundo ms, ela recuperou 40% do

que havia perdido. Em porcentagem, com relao aovalor inicialmente investido, ao final do segundo mshouve um:

a) lucro de 10%. c) lucro de 18%.

b) prejuzo de 10%. d) prejuzo de 18%.

5 (Mackenzie, adaptada) Nos trs primeiros meses de umano, a inflao, em determinado pas, foi de respectiva-mente 5%, 4% e 6%. Nessas condies, a inflao acu-mulada no trimestre foi de:

a) 15,752% d) 18%

b) 15% e) 15,36%

c) 12%

6 (UFMT) Uma financiadora oferece emprstimos, por umperodo de 4 meses, sob as seguintes condies:

1) taxa de 11,4% ao ms, a juro simples;

2) taxa de 10% ao ms, a juro composto.

Uma pessoa fez um emprstimo de R$ 10.000,00,optando pela 1condio. Em quantos reais os juros co-brados pela 1condio sero menores que os cobradospela 2condio?

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Linguagem usualLinguagemmatemtica

Um nmero x

A sexta parte desse nmerox6

O dobro desse nmero 2x

A metade desse nmero maissua tera parte

x2

x3

Esse nmero acrescido de 5 uni-dades

x 5

Esse nmero acrescido de 20%dele

x 2010

x

2. Equa d 2grauChama-se equao do segundo grau, na in-

cgnita x, toda sentena que pode ser repre-sentada sob a forma:

ax2bx c 0

em que a, be cso nmeros reais, com a 0.

Exemplos

a) 5x23x 9 0 a 5; b 3; c 9 ex a incgnita.

b)27

r21 0

a 27

; b 0; c 1 e r a incgnita.

c)3t25t

30

a 1; b 53

; c 0 e t a incgnita.

1. Equa d 1grau

Chama-se equao do primeiro grau, na incg-nita x, toda sentena que pode ser representadasob a forma:

ax b 0

em que ae bso nmeros reais, com a 0.

Razes de uma equa

Razes (ou zeros) da equao so os valores que,atribudos incgnita, tornam a sentena verda-

deira.

Em 5x10 0, o nmero 2 raiz, pois: 5 2 10

0, e o nmero 3 no raiz, pois: 5 3 10 0

Cjut su (S)

Em, o conjunto formado pelas razes da equao.

No exemplo anterior, 5x10 0, o conjunto so-

luo S {2}.

Resolver uma equao significa encontrar seuconjunto soluo.

Prbemas evved equa d 1 grau

Para resolvermos problemas que envolvam equa-es do 1grau, importante interpretarmos o enun-ciado.

Acompanhe algumas interpretaes para enuncia-dos e suas respectivas expresses matemticas.

8

Equaesdo1

edo2graus



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Nos exemplos be c, temos o termo b 0 ou otermo c 0; nesses casos, as equaes so cha-madas incompletas.

Frmua resutvaA frmula (atribuda a Bhskara) que resolve a

equao do 2grau ax2bxc 0 :

x b b24ac

2ac

A expresso b2 4ac representada pela letragrega maiscula delta () e chamada discriminanteda equao do 2grau.

b24ac

Dscuss das razes da equa d 2grau

O discriminante da equao do 2grau () informaa respeito das razes dessa equao:

Se 0, ento a equao admite duas razesreais e distintas.

Se 0, ento a equao admite duas razesreais e iguais.

Se 0, ento a equao no admite razes

reais.

Sma e prdut das razes da equa d2grau

Na equao do 2grau ax2bx c 0, em quex1e x2so razes, temos:

x b b24ac

2ac

x1x2 b

a

e x1x2c

aDividindo ambos os membros de ax2bx c 0

por a, temos:

x2ba

x ca

0

Podemos reescrever essa equao na forma:

x2Sx P 0

em queS a soma das razes e P o produto das razes.

Atvdades 1 (PUC-MG) Uma garrafa cheia de gua pesa 815 g e,

quando cheia de gua at45

de sua capacidade, pesa

714 g. O peso da garrafa vazia, em gramas, :

a) 210 b) 265 c) 310 d) 385

A gua G garrafa

G A 815

G 4A5

714G A 8155G 4A 3 570

5G 5A 4 0755G 4A 3 570

A 505

De G + A = 815, temos: G + 505 = 815

G = 310 g

Alternativa c

2 Resolver, no campo dos nmeros reais, as equaes:a) 2x211x 5 0

(11)2 4 2 5 81

x1

12

x25S 12 ; 5x

11 94

b) x28x 16 0

(8)2 4 1 16 0

x 8 0

2x

1= x

2= 4S {4}

c) 2x23x 5 0

(3)24 2 5 31 S

d) 2x27x 0

2x27x 0 x (2x 7) 0

x 0 ou 2x 7 0 x 72

S 0; 72

9



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e) 2x218 0

2x218

x29

x 3 ou x 3

S {3, 3}

3 (U. E. Londrina-PR) Determine os valores de mpara osquais a equao 3x2mx 4 0 admite duas razesreais e iguais.

Condio: 0

(m)24 3 4 m248 0

m216 3 m 4 3 ou m 4 3

4 A equao 2x25x 1 0 possui as razesx1ex2. De-termine:

a) x1x

2

x1x

2

ba

52

b) x1x2

x1x

2

c

a

a

2

c)1x

1

1x

2

1x

1

1x

2

x

1+ x

2

x1x

2

5212

5

d) x21+ x2

2

x1x

2

52

(x1x

2)2

254

x212x

1x

2x2

2

254

x21x2

2

254

2 12

214

e) x21x

2x

1 x2

2

x21x

2x

1x2

2 x

1x

2(x

1x

2)

12

52

54


1 (Fuvest-SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem onmero de irmos igual ao nmero de irms. Cada filhatem o nmero de irmos igual ao dobro do nmero deirms. Qual o total de filhos e filhas do casal?

a) 3 c) 5 e) 7

b) 4 d) 6

2 (Unicamp-SP) Roberto disse a Valria: Pense em um n-mero, dobre esse nmero, some 12 ao resultado, dividao novo resultado por 2. Quanto deu?. Valria disse: 15.Roberto imediatamente revelou o nmero original emque Valria havia pensado. Calcule esse nmero.

3 (Mackenzie-SP) Uma pessoa quer distribuir, entre seusamigos, um determinado nmero de convites. Se der 2convites a cada amigo, sobraro 25 convites; entretanto,se pretender dar 3 convites a cada amigo, faltaro 15

convites. Caso essa pessoa prentenda dar 4 convites acada amigo, ela precisar ter mais:

a) 45 convites. d) 80 convites.

b) 55 convites. e) 70 convites.

c) 40 convites.

4 (Mackenzie-SP) Sexe yso nmeros reais e positivos, taisque x2y22xy x y 6 0, ento x y vale:

a) 2 c) 4 e) 6

b) 3 d) 5

5 (Unifor-CE) Sejam ae bas razes da equao 2x23x 2 0. A equao do 2grau cujas razes so a 1 eb 1 :

a) 2x27x 3 0

b) 2x27x 3 0

c) 2x25x 3 0

d) x25x 0

e) x25x 0

6 Resolva, considerando apenas os nmeros reais, a equa-o 4x43x21 0.

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1. Prdut Cartesa

SejamAe Bdois conjuntos. Chama-se produto

cartesiano deApor Bou A

B (Acartesiano B) oconjunto de todos os pares ordenados (x; y) emque x A ey B.

Exemplo

A {2; 3; 4}

B {4; 5}

A B {(2; 4); (2; 5); (3; 4); (3; 5);(4; 4); (4; 5)}

B A {(4; 2); (5; 2); (4; 3); (5; 3);(4; 4); (5; 4)}

A A {(2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 2); (3; 3); (3; 4);(4; 2); (4; 3); (4; 4)}

B B {(4; 4); (4; 5); (5; 4); (5; 5)}

nmer de eemets de AB

Se A possui m elementos e Bpossui nelementos,ento A B possui m n elementos.

Represeta de AB

Sejam A {2; 3; 4} e B {4; 5}.

Forma tabular

A B {(2; 4); (2; 5); (3; 4); (3; 5); (4; 4); (4; 5)}

Diagrama de flechas

2

3

4

4

5

A B

Grfico cartesiano

5

4

2 3 4 x (A)

y (B)

Relao

Dados dois conjuntos,Ae B, chamamos rela-o de A em Bqualquer subconjunto de AB.

Exemplo

Sejam A {1; 2; 3} e B {5; 6}.

Eis algumas das relaes deAem B:

R1{(1; 5); (2; 6)}

R2{(1; 5); (2; 5); (3; 5)}

R3

R4A B

2. FuDados dois conjuntos,Ae B, chama-se funo

ou aplicaodeAem B, ou f: AB, toda relaode A B que satisfaz a seguinte propriedade:

Para todoxpertencente aA, existe um nicoypertencente a Be y f(x) (l-se: y funodex).

11

Funes/

Funodo1

grau



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Assim, consideremos os conjuntos A {1; 2; 3},B {3; 4} e as relaes a seguir:

R1{(1; 3); (2; 3); (3; 4)} ou

1

2

3

3

4

A BR

1

R2{(1; 3); (2; 3); (3; 3)} ou

1

2

3

3

4

A BR

2

R3{(1; 3); (2; 4)} ou

1

2

3

3

4

A BR3

R4{(1; 3); (1; 4); (2; 3); (3; 4)} ou

1

2

3

3

4

A B

R4

Observamos que R1e R2so funes, pois todo ele-mento do conjunto Apossui um nico correspondenteno conjunto B.

A relao R3no funo, pois existe elemento noconjuntoAque no possui correspondente no conjunto B.

A relao R4no funo, pois existe elemento noconjuntoAque possui mais de um correspondente noconjunto B.

Dm, ctradm e cjut ma-gem de uma fu

Dados dois conjuntos Ae B e uma funo deAem B, ou f: A B, dizemos queA o conjunto de par-tida da funo e B o conjunto de chegada da funo.

Ou ainda:

A o domnioda funo.B o contradomnioda funo.Os elementos de Bque receberam correspondn-

cia deA formam o conjunto imagemda funo.

Assim, na funo a seguir, tem-se:

1

2

3

4

5

6

A Bf

f: A B

Domnio da funo ou Df(x)

{1; 2; 3}

Contradomnio da funo ou CDf(x)

{4; 5; 6}

Imagem da funo ou Imf(x)

{4; 5}

Var umrc de uma fu

Seja f(x) uma funo: f(a) o valor numrico dessafuno quando x vale a. Podemos dizer que f(a) aimagem do elemento a.

ExemploA {1; 2; 3} e B {2; 3; 4}

f: AB e f(x) x 1

Ento:

f(1) 1 1 2

f(2) 2 1 3

f(3) 3 1 4

Os conjuntosAe Bpodem ser qualquer conjunto

j visto. Assim, f: significa que o domnio dafuno so todos os reais e o contradomnio dessafuno tambm so todos os reais.

Rechecmet de uma fu pr mede um grfc

Dado um grfico qualquer, para descobrirmos seele representa o grfico de uma funo deAem B, tra-amos retas verticaisao longo de seu domnio. Se cadauma dessas retas interceptar esse grfico em um nicoponto, conclumos tratar-se do grfico de uma funo.

Exemploa) f : [2; 2] , em que [2; 2] representa o

conjunto {x / 2 x 2}, e seu grfico :y

x2 0 2

3

que o grfico de uma funo.

12



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Df(x)[2; 2] (variao do grfico ao longo do

eixo Ox)

Imf(x)[0; 3] (variao do grfico ao longo doeixo Oy)

b) f: [2; 2] , e seu grfico : y

x2 0 2

3

que no o grfico de uma funo.

3. Fu cstateChama-se funo constante toda funo da for-

ma y b, em que b um nmero real.

Represeta grfca

O grfico de uma funo constante uma reta pa-ralela ao eixo Oxque passa pelo ponto (0; b).

y

x

b

0

4. Fu d 1grau

Chama-se funo do 1 grau toda sentena daformay= ax+ b,em que {a; b} e a 0.

Represeta grfca

O grfico de uma funo do 1grau uma retaoblqua, ou seja, uma reta no paralela a nenhum doseixos, OxouOy.

Exemplos

a) y 2x 6

A abscissa do ponto em que a reta intercepta oeixo Ox a raiz ou o zero da funo.

A ordenada do ponto em que a reta intercepta oeixo Oy o coeficiente linearda reta.

y

x0

3

6x y

0 6

3 0

Todo x1x2implica f(x1) f(x2). Isso acontecese, e somente se, a 0, e a funo classificadacomo crescente.

b) y x 2

y

x0 2

2

x y

0 2

2 0

Todo x1x2implica f(x1) f(x2). Isso acontecese, e somente se, a 0, e a funo classificadacomo decrescente.

c) y = x

Neste caso, ao atribuirmos o valor zero para x,encontramos o valor zero para y, ento atribui-se um outro valor qualquer paraxe encontra-seo ycorrespondente.

y

x0 2

2

x y

0 0

2 2

Atvdades 1 (UFMS, adaptada) Considere a funo y f(x), dada pelogrfico a seguir:

1

234

56

1

2

1

2

3

4

1

2 3 4 5 6

y

x

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correto afirmar que:

(01) se x 5, ento f(x) 3.

(02) se 4 x 2, ento f(x) 0.

(04) se 1 f(x) 3, ento 5 x 5.

(08) se f(x) 0, ento 2 x 1.

D a soma dos nmeros dos itens corretos.

(01) V, pois f(x) 3 se, e somente se, x 5.

(02) V, pois, para qualquer valor dexentre 4 e 2, a sua

imagem f(x) est acima do eixo das abscissas.

(04) V, pois, para valores dexentre 5 e 5, verificamos que a

imagem f(x) de 1 at 3.

(08) F, pois, se x 4, teremos tambm f(x) 0.

Soma 7 (01 02 04)

2 Sejam as funes reais fe gdadas por f(x) x 2e

g(x) 6 x

3 x 3 . Sendo o conjuntoA o domnio da funo f

e o conjunto Bo domnio da funog, a soma dos valoresinteiros do conjunto AB igual a:

a) 12 d) 20

b) 9 e) 17

c) 16

x 2 0 x 2 A = {x / x 2}6 x 0 x 6x 3 0 x 3

B {x / x 6 e x 3} AB {x / 2 x 6 e x 3}

Os nmeros inteiros pertencentes ao conjunto A B

so 2, 4, 5 e 6, e a soma deles 17.

Alternativa e

5 (Fipel-MG) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquelaque mais bem representa a reta cuja equao y x

2 0:

a) y

x01 1 22

2

1

1

2

b) y

x0

1 1 2

2

2

1

1

2

c) y

x01 1 22

2

1

1

2

d) y

x01 1 22

2

1

1

2

y x 2 0

y x 2

y

x

2

2

Alternativa c

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4 (UEMT) Para que os pontos (1; 3) e (3; 1) pertenamao grfico da funo dada por f(x) ax b, o valor deb a deve ser:

a) 7 c) 3 e) 7

b) 5 d) 3

f(1) a 1 b 3 (I)f(3) a 3 b 1 (II) De (II) (I): 2a 4 a 2Em (I): -2 b 3 b 5

b a 5 (2)b a 7

Alternativa a


1 (Fapa-RS) Na funo real f(x) 3x 1

2 , o elemento 7

a imagem do elemento:

a) 10 c) 7 e) 5

b) 8 d) 6

2 (Unifor-CE) Seja fa funo real definida por f(x) 1 x2

,

para todo x do intervalo [3; 1].

Seu conjunto imagem :

a) c) 12 ;12 e)

12

;52

b) x2 ; 1 d) 12 ; 52

3 Uma funo real fdo 1grau tal que f(0) 1 f(1) ef(1) 2 f(0).

Ento, f(3) igual a:

a) 3 c) 1 e)72

b) 52

d) 0

4 (Fefisa-SP, adaptada) O grfico mostra como o dinheirogasto (y) por uma empresa de cosmticos na produo

de perfume varia com a quantidade de perfume produzi-da (x). Assim, correto afirmar que:

20

105

190

y

5 100 x (litros)

a) quando a empresa no produz, no gasta.

b) para produzir trs litros de perfume, a empresa gastaR$76,00.

c) para produzir dois litros de perfume, a empresa gastaR$54,00.

d) se a empresa gastar R$170,00, ento ela produzircinco litros de perfume.

e) para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresagasta menos do que para fabricar o quinto litro.

5 (U. F. Ouro Preto-MG) O custo total ypara se produzir umdeterminado produto calculado por meio da soma deum custo varivel, que depende da quantidade produzi-dax, cujo custo unitrio de produo de R$10,00 maisum custo fixo de R$1 000,00.

Pede-se:

a) a funo que representa o custo total em relao quantidade produzida;

b) o custo total na produo de 20 unidades;

c) o nmero de unidades que devero ser produzidaspara que o custo total seja de R$4 000,00;

d) o grfico da funo do quantidade produzida custo

total, destacando-se os dados obtidos nos itens ante-riores.

6 (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos nosistema ps-pago. No plano A, paga-se uma assinatu-ra de R$50,00 e cada minuto em ligaes locais custaR$0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$40,00para at 50 minutos em ligaes locais e, a partir de 50minutos, o custo de cada minuto em ligaes locais deR$1,50.

a) Calcule o valor da conta em cada plano para um con-sumo mensal de 30 minutos em ligaes locais.

b) Determine a partir de quantos minutos, em ligaeslocais, o plano Bdeixa de ser mais vantajoso do queo planoA.

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1. Def

Chama-se funo do 2grau toda sentena da

formay ax2bx c

em que {a; b; c} e a 0.

Represeta grfca

O grfico de uma funo do 2grau uma parbo-la, que pode assumir seis posies em relao ao eixoOx, a saber:

>0

a >0x1

x

xx

xx

x

x2

a


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Interseco com o eixo y: (0; 3).

y

x

4

1

3

1 3

Im {y/ y 4}

2 (Unicamp-SP, adaptada) Determine a funo do 2graucujo grfico passa pelos pontos A(0; 2), B(1; 1) e C(1;1).

y ax2bx c

I. (0; 2)

2 a 0 b 0 c c 2

II. B (1; 1)

1 a b 2 a b 1

III. C (1; 1)

1 a b 2 a b 1

De II e III temos:

a b 1a b 1

2a 2 a 1 e b 0

y x22

3 (U. Gama Filho-RJ) O custo de produo, por hora, de umafbrica de sapatos, representado pela funo quadr-tica f(x) x26x 8. A varivelxrepresenta a quan-tidade de sapatos, em centenas de unidades, produzidaem uma hora.

O nmero de sapatos que dever ser produzido, por hora,

para que o custo seja o menor possvel :

a) 100 d) 400

b) 200 e) 500

c) 300

f(x) x26x 8

xV

62

3 em centenas de unidades

Devero ser produzidos 300 sapatos.

Alternativa c

4 (Fuvest-SP) Para quais valores de m a equao:x2mx m20 possui duas razes reais e distintas?

a) Somente para m 0.

b) Para todo m 0.c) Para todo m 0.

d) Para todo real.

e) Para nenhum m.

Condio: 0

m24 1 m2 3m23m20

(No existe mreal nessas condies.)

Alternativa e

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1 (Vunesp) Uma funo quadrtica tem o eixo ycomo eixode simetria. A distncia entre seus zeros de 4 unidadese a funo tem (5) como valor mnimo. Essa funoquadrtica :

a) y 5 x24 x 5

b) y 5 x220

c) y 54

x25 x

d) y 54

x25

e) y 54

x220

2 (Acafe-SC) Os fisiologistas afirmam que, para um indivduosadio e em repouso, o nmero Nde batimentos cardacos,por minuto, varia em funo da temperatura ambiente t

(em graus Celsius), segundo a funo N(t) 0,1 t24 t 90. O nmero mnimo de batimentos por minu-to e a temperatura em que ocorre, respectivamente, so:

a) 60 e 30 d) 50 e 20

b) 50 e 40 e) 60 e 40

c) 80 e 20

3 A funo quadrtica f, definida por:f(x) (m 1) x22m x 3m

assume somente valores estritamente positivos, para todo xse, e somente se:

a) m 0 ou m

3

2 d) m 1

b) 0 m 32

e) m 0

c) m 32

4 (ESPM-SP) Na figura, fazendo-se o valor dexvariar de 0a 4, a rea da regio sombreada tambm varia. O valor

mximo que essa rea poder ter :

2x

4

8

x

a) 30 d) 18

b) 24 e) 16

c) 20

5 (F. Carlos Chagas-SP) Quantos nmeros inteiros satisfazem

este sistema de inequaes?

2x 1 3x 2x26x 8 0

6 (U. F. Ouro Preto-MG) Dado um quadrado ABCD, cujo ladomede 20 cm, marcam-se os pontos Mem AD e Pem AB,

tais que PB = 2AM.

D

M

A P

C

B

Calcule a distncia AM para que a rea do tringulo AMP seja

mxima.

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