MÉCANIQUE DES STRUCTURES - poudres-et- · PDF fileAmphi 5 (21 avril): Vibrations des...

MÉCANIQUE DES STRUCTURESMÉCANIQUE DES STRUCTURES

Amphi 1 (07 avril) : Poutres:Définition,Efforts intérieursEquations d’équilibreExemples de base

Amphi 2(11 avril): Relations cinématiquesCalcul des contraintesCalcul de la flèche(ligne moyenne déformée)

Amphi 3(14 avril): Applications -exemples-Poutres courbes

Amphi 4 (18 avril): Vibrations:introduction: syst.corps rigides

Amphi 5 (21 avril): Vibrations des poutresAmphi 6 (25 avril): Vibrations des poutres

MÉCANIQUE DES STRUCTURES: PLAN DU COURSMÉCANIQUE DES STRUCTURES: PLAN DU COURS

Résumé de lRésumé de l ’épisode précédent:POUTRES 2 ’épisode précédent:POUTRES 2

Objectif:Calculer complètement contraintes,flèche(ligne moyenne déformée)poutre mince: EI

M

ds

ud2

2

=Méthode de Méthode de ll ’équation ’équation différentielledifférentielle

Résumé de lRésumé de l ’épisode précédent:POUTRES 2 ’épisode précédent:POUTRES 2

Attention cependant à l ’effet de l ’effort tranchant, pour les poutres épaisses, formées d ’éléments minces,ou composites :•sur les contraintes TANGENTIELLES au centre •sur la flèche

−=σ

222

21 hx2

1bh2R3

POUTRES 3 POUTRES 3

Objectifs:Objectifs:Limites de la méthode de lLimites de la méthode de l ’équation différentielle:’équation différentielle:les systèmes HYPERSTATIQUESles systèmes HYPERSTATIQUES EI

M

ds

ud2

2

=

MÉCANIQUE DES STRUCTURESMÉCANIQUE DES STRUCTURES

Séance 3:POUTRES:APPLICATIONS POUTRES-APPLICATIONS

1.SYSTEMES HYPERSTATIQUESintroduction-exempleméthode de superpositionhyperstatisme:définition

2.CAS GENERALMéthodologieNavier-Bresse

3.POUTRES COURBES:exemples-compléments

POUTRES 3 : 1.SYSTEMES HYPERSTATIQUES POUTRES 3 : 1.SYSTEMES HYPERSTATIQUES --exempleexemple

1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV11VV00

CC00

3 inconnues3 inconnues:V0,C0,V1:V0,C0,V12 équations2 équations dd ’équilibre:’équilibre:VV00+V+V11++flfl=0=0CC00+V+V11l+fll+fl22/2=0/2=01 1 inconnue inconnue hyperstatique(V1)hyperstatique(V1)à déterminer en à déterminer en utilisant la utilisant la liaison supplémentaire liaison supplémentaire u(A1)=0u(A1)=0

1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV11VV00

CC00

On exprime M et T On exprime M et T en fonction de en fonction de ll ’inconnue Hyperstatique(V1)’inconnue Hyperstatique(V1)

)sL(V2

)sL(fM

V)sL(fT

1

2

1

−+−

=

+−=

−+

−== )sL(V

2)sL(f

EI1

EIM

dsud

1

2

2

2

++

−+

−= bas

6)sL(V

24)sL(f

EI1

u3

14

+

−−

−−= a

2)sL(V

6)sL(f

EI1

dsdu 2

13


1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV11VV00

CC00

++

−+

−= bas

6)sL(V

24)sL(f

EI1

u3

14

u(0)=du/ds(0)=0 u(L)= 0 donne a=-fL3/48, b=fL4/48, V1=-3fL/8


06

)(24

)(1)0(

31

4

=

++= b

lVlfEI

u

0a2

)L(V6

)L(fEI1

)0(dsdu 2

13

=

+−−= ( ) 0baL

EI1

)L(u =+=

3CL:

POUTRES 3 : 1.SYSTEMES HYPERSTATIQUESPOUTRES 3 : 1.SYSTEMES HYPERSTATIQUES

ANALYSE PAR SUPERPOSITION

(DE CAS ISOSATIQUES)


1

2

3

s

AA00 AA11

VV11VV00

CC001

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV00

CC00+

−+

−=

24fL

s6

fL24

)sL(fEI1

u434

f

−+

−=

6LV

s2LV

6)sL(V

EI1

u3

12

13

1V1


1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV11VV00

CC00

03LV

8fL

06LV

L2LV

24fL

L6

fL

0)L(u)L(u

31

4

31

21

43

Vf 1

=+

=

−+

−+

=+

1

2

3

s

AA00 AA11

VV11VV00

CC00

1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV00

CC00

+

V1=-3fL/8


Moment de flexion à l’encastrement réduit par rapport à la console

1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV11VV00

CC00 M(A0)=fL2/8

1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV00

CC00

M(A0)=fL2/2


Influence d'un déplacement d'appui

1

2s

AA00 AA11

VV00

CC00u

LEI3

V

EI3LV

)u(A

31

31

1

=

=

M=V1(l-s)

VV11

3u

MAIS,Le déplacement d'appui peut engendrer des contraintes dans le cas hyperstatique !


Liaisons avec lLiaisons avec l ’extérieur :’extérieur :isostatismeisostatisme / hyperstatisme / hyperstatisme (extérieur)(extérieur)

PoutrePoutre isostatiqueisostatique :: les les réactions extérieures peuvent être réactions extérieures peuvent être déterminéesdéterminées par les équations dpar les équations d ’équilibre’équilibre

PoutrePoutre hyperstatiquehyperstatique (n(nHH) :) : les les équations déquations d ’équilibre ne suffisent ’équilibre ne suffisent paspas à déterminer les réactions extérieures (à déterminer les réactions extérieures (nnrr) : il reste :) : il reste :

nnHH = = nnrr -- nnee inconnuesinconnues

ð on peut supprimer au maximum nH liaisons sans perturber l ’équilibre de la structure

(en rendant la structure isostatique).

POUTRES 3 : 2.CAS GENERALPOUTRES 3 : 2.CAS GENERAL

0)1x(2fdx

M2d

0T1dx

dM,0)1x(2f1dx

dT

2 =−

=+=+

Flexion plane

1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV11VV00

CC00

En général (sauf pour les systèmes ISOSTATIQUES), les équations d’équilibre (forme différentielle ou intégrée) NE SUFFISENT PAS à déterminer M : Conditions sur u!!!


0)1x(2fdx

M2d

0T1dx

dM,0)1x(2f1dx

dT

2 =−

=+=+

Flexion plane

1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV11VV00

CC00

EIM

ds

ud2

2

=EIf

ds

ud4

4

=4 conditions aux limites sur u, du/ds, M,T


Flexion plane

1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV11VV00

CC00

EIM

ds

ud2

2

=

2 conditions aux limites sur u, du/ds, M,T exprimées en fonction de u

Si on calcule M, on utilise deux ordres d'intégration

33L3

22L2

11L

Süfds

dR

Süfds

dR

SüfdsdN

ρ=+

ρ=+

ρ=+

0Rds

dM

0Rds

dM

0ds

dM

23

32

1

=+

=−

=

3

33

2

22

11

EIM

dsd

EIM

dsd

JM

dsd

=ω

=ω

µ=ω

23

33

32

22

1

SR

dsdu

SR

dsdu

ESN

dsdu

ω−µ

=

ω+µ

=

=

Équations d’équilibre Lois de comportement

12 conditions aux limites:appui simple:appui simple:u=0,M=0extrémité libre:extrémité libre:M=0,T=0encastrement:encastrement:u=0,ω=0...



Méthodologie: Approche par les efforts intérieursÉcrire les équations d’équilibre

iso/hyperstatique?(choix des inconnues hyperstatiques)Calculer les élément de réduction (M) en tout point

en fonction des inconnues hyperstatiquesEcrire les équations différentielles

Ecrire les conditions aux limites en tenant compte des liaisons

hyperstatiques(éventuellement.)

EIM

ds

ud2

2

=


Méthodologie: Approche par les efforts intérieurs

Intérêt: deux ordres d'intégration déjà intégrésPb: hyperstatisme

EIM

ds

ud2

2

=


Méthodologie: Approche par les équations différentiellesEcrire les équations différentielles

EIf

ds

ud2

4

=

3

3

2

2

dsud

EIds

dMT,

ds

udEIM −=−==

Ex:flexion plane:

Ecrire les conditions aux limites en tenant compte des lois de comportement:

Calculer les éléments de réduction (M,T) en tout point


Méthodologie: Approche par les équations différentiellesEcrire les équations différentielles

EIf

ds

ud2

4

=Ex:flexion plane:

4 conditions aux limites par tronçon


EIf

ds

ud2

4

=

Exemple: poutre sur sol élastique f=kuChaussée, Rail, essuie glace

4 conditions aux limites par tronçon

1

2

A BC

P<0

p(x)


Conditions de liaison entre tronçons:

Encastrement [u]=0, [du/ds]=0[M]=0,[T]=0

u -, (du /ds) -, M - , T - u + , (du /ds) + , M + , T +


Conditions de liaison entre tronçons/extérieur:

Appui simple

u=0 (2 fois), [du/ds]=0, [T]=-V, [M]=0

u-, (du/ds)-, M- , T-

u+, (du/ds)+, M+ , T+

V

u=0,[du/ds]=0,[M]=0,[T]+V=0


Conditions de liaison entre tronçons/extérieur:

Pivot (2D ) ou rotoïde/"Rotule" par abus de langage

u-, (du/ds)-, M- , T-

u+, (du/ds)+, M+ , T+

V

u=0,M=0,[T]+V=0


Conditions de liaison /extérieur:

Extrémité libre: M=0, T=0

1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV00

CC00

Encastrement:u=0, du/ds=0


Utilisation des équations de Navier-Bresse (cas général):

bnt?

3

3

2

21

EIM

EIM

JM

dsd ++

µ=

dsEIM

EIM

JM2s

1s3

3

2

2112 ∫

++

µ+= bnt??

POUTRES 3 : 2.CAS GENERAL:NAVIERPOUTRES 3 : 2.CAS GENERAL:NAVIER--BRESSEBRESSE

Utilisation des équations de Navier-Bresse (cas général):

dsGGEIM

EIM

JM

dsS

RS

RESN

GG

2s

1s2

3

3

2

21

2s

1S3

3

2

221112

∫

∫

∧

++

µ+

µ

+µ

++∧+=

bnt

bnt?uu

2

3

3

2

21

32

2 GGEIM

EIM

JM

SR

SR

ESN

dsd

∧

++

µ+

µ+

µ+= bntbnt

u


Utilisation des équations de Navier-Bresse: EXEMPLES (flexion-poutre mince):Cas de la poutre en console

ds)sx(EI

)sl(Fds)x(G)s(G

EIM

(x)x

0 133

x

0s 33

f ∫∫

−∧

−=

∧

= iiiu

AA11

1

2

3s

AA00

VV11VV00

CC00

EI3Fl

EI3)sl(F

dsEI

)sl(Fu(A1)

3l

0

3l

03

2

=

−−=

−= ∫



EXEMPLES:Cas du portique:A rotuleD appui glissant Equations d'équilibre:

XA+F=0YA+YD=0-FL+YDL=0

Eléments de réduction:AB: M=-XAs=FsBC: M=YD(L-s)=F(L-s)CD: M=0

B

i1

i2

i3i1

i2

i3

i1

i2i3i 1

i 2 i 3

A

C

D

F

XA

YA YD

L

L


Cas du portique:u(D)? dsGD

EIM

ADiuD

A 33

f3AD ∫

∧

+∧ω= i

ds)L)sL((EI

)sL(F

ds)sL(EIFs

AD

C

B 2133

B

A 2133

3AD

∫

∫

−−∧

−+

−∧

+∧ω=

iii

iiiiu

3

3L

03

L

03

2

1D EI6FL5

dsEI

L)sL(Fds

EIFs

i.u =−

+= ∫∫

B

XA

YA YD

i1

i2

i3i1

i2

i3

i1

i2i3i 1

i 2 i 3

A

C

D

F


Utilisation des équations de Navier-Bresse:Anneau dynamométrique

A B

F F

C’1

C1

x

y

Hyperstatisme intérieur

POUTRES 3 : 3.POUTRES COURBES (dans un plan)POUTRES 3 : 3.POUTRES COURBES (dans un plan)

RA RB

y(s)

xA B

C

1

2

VB

VAp<0

P(s)

yo

θ

Modèle simplifié: articulation en C: la clé: arc isostatique

0RR

0LV2

Lp

0pLVV

BA

B

2

BA

=+

=+

=++0

2L

pVV BA >−==

Identique poutre droite

VV00

1

2

3

s

AA00 AA11

f<0f<0VV11


RA RB

y(s)

xA B

C

1

2

VB

VAp<0

P(s)

yo

θ

Modèle simplifié: articulation en C: la clé

2)xL(px)x(m

yR)x(m)s(M B

−−=

+= Un arc parabolique , qui permet d'assurer M(s)=0 pour tout s, est dit funiculaire de la charge répartie


Cas plus courantCas plus courant

y(s)

xA B1

2

RA RB

VBVAp<0

P(s)

( )0dsy

EIQy)x(m

cosES

)x2/L(pcosQ()B(u

B

A1 =

+

+θ−+θ

= ∫

Navier- Bresse Q=RB

dsGBEIMds

ESNAB(A)(B)

2s

1s 33

32s

1SA ∫∫

∧

+

+∧+= it?uu

θ


Application au design de pontsApplication au design de ponts

FINMerci de votre attentionFINFINMerci de votre attentionMerci de votre attention

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