Les Poutres Continues Cours

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Chapitre 6LES POUTRES CONTINUES Application de la mthode des forcesA- POUTRES CONTINUES A ME PLEINE6.1 INTRODUCTIONLespoutrescontinuessontdesstructuresqu'onrencontretrsfrquemmentdans les constructions courantes.On appelle poutre continue une poutre reposant sur plusieurs appuis. Il sagitgnralement dappuis simples, lexception dun seul qui est un appui double etdontle rleconsisteassurerlastabilitgomtrique de lapoutre,comme em-pcher la translation horizontale dans le cas de la figure 6.1. Lappui double peuttre plac une extrmit ou, plus gnralement, tre un appui intermdiaire.Les extrmits dune poutre continue peuventtrs biencomporterdes porte--fauxoutreencastres.Letraitementdecescasparticuliersestabordplusloin.Lespoutrescontinuessontdessystmeshyperstatiquespuisquellesprsen-tent des liaisons surabondantes (toutes les liaisons en plus de ce que doit compor-ter une poutre isostatique). Dans le cas dune poutre sans encastrements, le nom-bre de liaisons surabondantes, donc le degr dhyperstaticit, est gal au nombredappuis intermdiaires.Comparativement une srie de poutres bi-articules dont le nombre est gal celui des traves dune poutre continue, cette dernire est plus conomique carl10 1 knlklnFigure 6.1 : Poutre continue avec le mode de numrotation des traves96 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESlesmomentsflchissantsqui lasollicitentsontplus faibles.Lacomparaisonestencore plus nettement lavantage de la poutre continue par rapport une poutreisostatiqueuniquedemme longueur.Dansunepoutrecontinue,lesappuisin-termdiairescontribuent rduire et mieux rpartirsurtoute lapoutre lemo-mentflchissant(quiestlasollicitationprpondrante).Cetteobservationrestevalablepourlesdplacementsquisontnettementmoinsimportantsdanslecasdes poutres continues. Ces dernires prsentent par ailleurs une plus grande rigi-dit et rsistent de ce fait mieux laction dynamique.Leschargesconsidresicisontsupposes tre appliquesstatiquement. El-lessontconstituesdechargestransversales(voireinclines),concentresourparties, et de couples.Contrairementauxpoutresisostatiques,lespoutrescontinues,commetousles systmes hyperstatiques, sont trs sensibles aux dplacements des appuis. Cephnomne a dj t mis en exergue dans un exemple dapplication des formu-les de Bresse traitant une poutre continue soumise au seul effet de laffaissementdun de ses appuis.Lorsque des tassements dappuis sont craindre, les poutres isostatiques sontmieuxindiques.Sipourquelqueraisonquecesoitdesappuisintermdiairessont ncessaires, on ajoute lapoutre continue desarticulationsjudicieusementplaces de manire larendre isostatiqueetannulerainsisasensibilitauxaf-faissements des appuis susceptibles de se produire.Ce type de poutre - poutre reposant sur plusieurs appuis et rendue isostatiqueparlajoutderotules-estdsignpar poutreGerber.Ellessontobtenuesenajoutantautantdarticulationsquily adappuisintermdiaires.Poursassurerque la structure obtenue est bien isostatique et quil ny a ni tronon dformable(trononlibreconstituantunmcanisme)nitrononhyperstatique,ilsuffitderespecterla rglesuivante : pasplus dedeux articulations entre deux appuis,niplusdedeuxappuisentredeuxarticulations.Atitredexemple,lafigure6.2montre les deux faons possibles dobtenir une poutre type Gerber dans le cas dedeux appuis intermdiaires.Linfluence dumomentflchissantsurlesdformationstantprpondrantedanslespoutrescontinues,cestlaseulesollicitationdontilseratenucomptelors du calcul des dplacements que nous serons amens effectuer.Figure 6.2 : Exemples de poutres Gerber(a)(b)A- Pout r escont i nuesmepl ei ne 976.2 APPLICATION DIRECTE DE LA METHODE DES FORCESConsidronsunepoutrecontinuehorizontalesansencastrements(Figure6.3a).L'application directe et intui-tive de la mthode des forcesconduitconsidrercommeinconnueshyperstatiqueslesractions(verticales)desappuis intermdiaires.Le systme debase obte-nuparsuppressiondesliai-sonsverticalesdesappuisintermdiaires est une poutresimplementappuye(Figure6.3b).Danscecas,lecalculdesmomentsunitaires msk(Figure6.3cet6.3d)etdumomentprovoquparleschargesextrieures MsF,ncessairesaucalculdescoefficients ijujFet ,neprsente aucune difficult.Cependant,cechoixnestpasintressantcarilimpliquedescalculsfasti-dieux cause notamment du fait que les moments msk et MsF sont gnralementdiffrents de zro sur toute la longueur de la poutre. De la sorte, les lments dela matrice de souplesse [u] et du vecteur dplacement [F] sont tous non nuls.Ceci nest pas la seule raison ; il en existe une autre plus dterminante. Cha-quecolonnedelamatrice[u]reprsentelesdplacements(flchessilsagitdune poutre horizontale)despointsdapplicationdes inconnueshyperstatiquesprovoqusparunesollicitationunitaire.Pourunepoutrecomportantplusieursappuis intermdiaires, deuxcolonnes successivesde[u]aurontdes valeurs trsprochesetserontcomparables.Decefait,lamatrice[u]devientpratiquementsingulire etconduitdes solutions trs imprcises lors de larsolutiondu sys-tmedquations canoniques.Aussi,onopte pourunautre choixdes inconnueshyperstatiques de manire contourner cette difficult et rduire les calculs.(a)(b)(c)(d)0 1 2 3l1l2l3X1X2X1=1X2=1Figure 6.398 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUES6.3 FORMULE DES TROIS MOMENTS6.3.1 Etablissement de la formuleConsidrons une poutre continue sans encastrements n traves (Figure 6.4).Son degr d'hyperstaticit est gal n-1.Prenonspourinconnues hyperstatiqueslesmomentsflchissantsagissant audroit de chaque appui intermdiaire. Pour ce faire, on procde des coupures demanire supprimer la liaison de moment au niveau de chaque appui. Sagissantdinconnues hyperstatiques internes, chaque coupure libre deux inconnues (desmoments) gales est opposes.Enpratique,celarevientintroduireunearticulationau-dessusdechaqueappuiintermdiaire(Figure6.5a).Pourremplacerlesliaisonssupprimer,onappliqueauxlvresdechacunedescoupuresdeuxcouplesgauxetopposs(M1, M2, , Mn-1) (Figure 6.5b).Le systme statique de base ainsi obtenu prsente une proprit remarquable.En effet, on remarque que si on charge une trave, les autres ne subissent aucuneinfluence.Ce rsultatsignifiequelesystme principalse comporte comme unesuccessiondepoutressimplementappuyesobtenuesparsparationdes ntra-ves (Figure 6.6).0 1 k-1 k k+1nl1lklk+1lnFigure 6.4(a)(b)0 1 k-1k k+1 n-1 nX1=MlXk-1=Mk-1 Xk=Mk Xk+1=Mk+1 Xn-1=Mn-1Figure 6.5 : Systme statique de baseM1MM1MMk-1MMk-1MMkMMkMMk+1MMk+1MMn-1MMn-1MFigure 6.6A- Pout r escont i nuesmepl ei ne 99Pourcalculerles momentsinconnusauxappuis,onappliquelethormedeMenabrea pour chacun deux : WMcWMcWMcWMckknn112211, ... ... , ,o les cireprsentent les manques de concordance des appuis. Ils sont nuls dansle cas des systmes concordants.Les quationsdu systmeci-dessus peuventsemettresouslaformeconnuedeMller-Breslau.Lquationcouranterelativelinconnue Mk scrit : WMc M ckk kiui kF k + i=1n-1Endveloppantlexpressionprcdente,lesystmedes"n-1"quationsdecontinuit prend la forme : 11 1 12 2 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1u unun Fkukuknun kF kM M M cM M M c+ + + + + + + + ................................................ ....... ....... ..................................................................... nunun n n n F nM M M c + + + + 11 1 12 2 1 1 1 1 1Chacunedesquationsexprimelaconditiondecontinuitdelapoutred-forme au-dessus d'un appui.Lquation kparexemple,exprime quela rotationrelativeentreleslvresdelacoupureau-dessusdel'appui kestgaleaumanquedeconcordancecorrespondant.Danslecasdunsystmeconcordantcetterotationrelativeestnulle ; ou encore que la rotation gauche (kg)estgalelarotationdroite(kd);cequisignifieaussiqu'enchaquepoint(appuiparexemple)iln'yaqu'unetangentecarlalignelastique (la dforme) est continue (Figure 6.7).Signification des coefficients iju et iFLes coefficientsiju etiF reprsentent les rotations relatives des lvres dela section coupe i du systme de base. Les premires sont des rotations par unitde couple. ijuestlarotationrelativedeslvresdelasection idusystmedebase,sous leffet dun couple unitaire appliqu aux lvres de la coupure j (les sectionsi et j se trouvant dans le cas prsent au dessus des appuis intermdiaires i et j). iFestlarotationrelative deslvres delasection idusystmedebase,sous leffet des charges extrieures (notes F).( ) kd( ) kgkTangenteFigure 6.7100 CALCULDESSTRUCTURESHYPERSTATI QUESConsidrons parexemple l'quationde continuit k(relativelacoupure k).Elle scrit : kukukkuk kkuk kkuk knun kF kM M M M M M c1 1 2 2 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + + + ... ...(6.1)On voit apparatre dans lquation les coefficientskju avec j = 1, 2, , n-1et kF. Si nous ne tenons compte que du moment flchissant, qui est la sollicita-tion prpondrante, ces coefficients sobtiennent par les intgrales suivantes : kjusk sjkFsF skL L m mEIdx (a)M mEIdx (b) 0 0(6.2) L= longueur totale =i=1nli o msk(mk)et msj(mj)sontlesmomentsflchissantsproduitsdanslasectioncourante s du systme fondamental par les couples unitaires Mk=1 et Mj=1 agis-santen keten j,respectivement(Figure6.8). MsFtantlemomentflchissantdans la section courante du systme de base sous laction des charges extrieures(F).Onconstatequechaquecoupleunitaireproduitunmomentflchissantuni-quement sur les deux traves situes de part et d'autre de l'appui o il est appli-qu. Pour que les moments dans la section courante s produits par Mk=1 et Mj=1soient simultanment diffrents de zro, il faut que les indices k et j nediffrentpas de plus d'une unit. On en dduit que les coefficients kjusont nuls ds que kdiffre de j de plus d'une unit. Ainsi, dans l'quation (6.1) seuls les coefficients kukkuk ku + 1 1 ket , sont diffrents de zro.Comptetenude ce rsultat,l'quationgnrale de continuit (6.1)se simpli-fie et devient : k kuk k k k kkuk kF kM M c-1uM + ++ + + 1 1 1(6.3)(a)(b)k-1kMk=1k+11lklk+1lj lj+14mj-1 jMj=1j+11Figure 6.8 : Diagrammes msk et msjA- Pout r escont i nuesmepl ei ne 101ou encore : k kuk k k k kkuk k kFM M c-1uM + ++ + 1 1 1(6.4)Onremarquequetroismomentsflchissantsinterviennentdanscettequa-tion, d'o son nom de "formule des trois moments".6.3.2 Calcul des coefficients de la formule des trois momentsIlrestecalculerles coefficientsintervenant dans