matriz_exercicios
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Universidade Federal do Rio Grande – FURG
Centro de Ciencias Computacionais – C3
Engenharia de Automacao
Introducao a Engenharia de Automacao
Lista de Exercıcios – Matrizes
1. Dada uma matriz real A com m linhas e n colunas e um vetor real V com n elementos,determinar o produto de A por V .
2. Um vetor real X com n elementos e apresentado como resultado de um sistema de equacoeslineares Ax = B cujos coeficientes sao representados em uma matriz real Am×n e o ladodireito da equacao em um vetor real B de m elementos. Verificar se o vetor x e realmentesolucao do sistema dado.
3. Dadas duas matrizes reais Am×n e Bn×p, calcular o produto de A por B.
4. Dada uma matriz real Am×n, verificar se existem elementos repetidos em A.
5. Construa uma matriz A2×3 de modo que aij = 3i2 − j.
6. Dadas as matrizes:
A =
[
0 21 3
]
; B =
[
0 32 1
]
; C =
[
3 01 2
]
encontre a matriz X tal que X + 2C = A + 3B
7. Determine a matriz B3×3 tal que
bij =
−2 se i > j;
1 se i = j;
3 se i < j.
8. Dada uma matriz Am×n, imprimir o numero de linhas e o numero de colunas nulas damatriz.
Exemplo: m = 4 e n = 4
1 0 2 34 0 5 60 0 0 00 0 0 0
tem 2 linhas nulas e 1 coluna nula.
9. Escreva a matriz A nos seguintes casos:
1. A e uma matriz 3 × 4 com:
aij =
{
−1 parai = 2j
1 parai 6= 2j
2. A e uma matriz quadrada de quarta ordem com:
aij =
{
0 parai + j = 4
−1 parai + j 6= 4
3. A e uma matriz quadrada de terceria ordem com aij = 2i + 3j − 1
10. Dizemos que uma matriz quadrada inteira e um quadrado magico se a soma dos elementosde cada linha, a soma dos elementos de cada coluna e a soma dos elementos das diagonaisprincipal e secundaria sao todas iguais.
Exemplo: A matriz
8 0 74 5 63 10 2
e um quadrado magico.
Dada uma matriz quadrada An×n , verificar se A e um quadrado magico.
11. Uma matriz D8×8 pode representar a posicao atual de um jogo de damas, sendo que 0 indicauma casa vazia, 1 indica uma casa ocupada por uma peca branca e −1 indica uma casaocupada por uma peca preta. Supondo que as pecas pretas estao se movendo no sentidocrescente das linhas da matriz D, determinar as posicoes das pecas pretas que:
1. podem tomar pecas brancas;
2. podem se mover sem tomar pecas;
3. nao podem se mover.
12. Considere n cidades numeradas de 0 a n−1 que estao interligadas por uma serie de estradasde mao unica. As ligacoes entre as cidades sao representadas pelos elementos de uma matrizquadrada Ln×n, cujos elementos lij assumem o valor 1 ou 0, conforme exista ou nao estradadireta que saia da cidade i e chegue a cidade j. Assim, os elementos da linha i indicam asestradas que saem da cidade i, e os elementos da coluna j indicam as estradas que chegama cidade j. Por convencao lii = 1.
A figura mostra um exemplo para n = 4.
e a respectiva matriz L e dada por:
L =
1 1 1 00 1 1 01 0 1 10 0 1 1
1. Dado k, determinar quantas estradas saem e quantas chegam a cidade k.
2. A qual das cidades chega o maior numero de estradas?
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3. Dado k, verificar se todas as ligacoes diretas entre a cidade k e outras sao de maodupla.
4. Relacionar as cidades que possuem saıdas diretas para a cidade k.
5. Relacionar, se existirem:
(a) As cidades isoladas, isto e, as que nao tem ligacao com nenhuma outra;
(b) As cidades das quais nao ha saıda, apesar de haver entrada;
(c) As cidades das quais ha saıda sem haver entrada.
6. Dada uma sequencia de m inteiros cujos valores estao entre 0 e n − 1, verificar se epossıvel realizar o roteiro correspondente. No exemplo dado, o roteiro representadopela sequencia (m = 5)23210 e impossıvel.
7. Dados k e p, determinar se e possıvel ir da cidade k para a cidade p pelas estradasexistentes. Voce consegue encontrar o menor caminho entre as duas cidades?
8. Dado k, determinar se e possıvel, partindo de k, passar por todas as outras cidadesapenas uma vez e retornar a k.
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