Mathematica

tutorial para a versão 5.1

Ricardo Carvalho de Oliveira RA:046170MA-111 Turma:CProf.: Márcio Rosa

Tutorial ver. 1.5

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I-Histórico O software criado em 1988 é um ambiente altamente versátil, e teve grande importância na formaque os computadores eram utilizados, marcando o início da era moderna da computação técnica. Desde 1960 já existiam pacotes individuais para tarefas algébricas, gráficas ou numéricas, oMathematica foi o primeiro programa a integrar todos esses conceitosde forma a manipulá-los emum único ambiente, utilizando uma nova linguagem, com um pequeno número de diretivas básicas. O New York Times e a Business Week descreveram o Mathematica 1.0 como sendo um dosmelhores produtos para a área técnica da informática,; sua importância hoje se revela no seu uso, emsua difusão entre as ciências físicas, na engenharia e matemática. Tal importância é demonstradatambém por ele ser utilizado em todos os departamentos do governo dos Estados Unidos, e nascinquenta maiores universidades do mundo. Hoje ele é considerado ferramenta padrão em todas asáreas acima citadas, tal sua completude e baixa complexidade para uso. A partir da versão 3.0 o Mathematica passou a incluir a ferramenta Notebook, logo, a mesmaferramenta tornou-se padrão para relatórios e documentos técnicos. Seu sucesso, liderado porStephen Wolfram, da Wolfram Research, cresce continuamente, e hoje, graças a esse sucessoexistem mais de cem pacotes especializados para usos diversos, desenvolvidos especificamente paraele, e mais de duzentas publicações entre livros e periódicos. O Mathematica pode ser obtidoatravés da própria Wolfram, pelo site www.wolfram.com , ou contatando o distribuidor brasileiro, aAT Solutions.

II-Entrada de Dados Para mandar o Mathematica fazer alguma operação com um nome específico, deve-se semprecolocar a primeira letra em maiúsculo,ou em caso de nomes compostos, devemos escrever o nomesem espaços, e com todas as iniciais maiúsculas. (p.ex.:SurfaceOfRevolution) e para senos,cossenos e tangentes utilizamos Sin[], Cos[]e Tan[], e dentro dos colchetes colocamos o que deveser calculado, atenção para o fato de que a medida utilizada pelo Mathematica é em RADIANOS. Para executar uma operação deve-se apertar SHIFT+ENTER, ou ENTER do teclado numérico, aopressionar somente ENTER do teclado, você apenas trocará a linha de comando. Cada linha decomando é denominada como In[i], e sua respectiva saída como Out[i],onde “i” é o número daentrada ou saída; isso será mais útil adiante, como veremos; note que as entradas digitadas aparecemem negrito, enquanto as saídas aparecem sem negrito.Pode-se ver também os colcletes em azul, quelimitam a entrada e a saída, como um colchete cortado na ponta superior, e um externo que envolveo processo todo, ao clicar duas vezes neles podemos minimizar o conteúdo envolto por ele, oumaximizar. Podemos ver abaixo todos os elementos citados:

operação equação colchetes entrada

saída

III- Operações Básicas O mathematica, por se tratar de um programa direcionado ao cálculo matemático, tem diversasfunções para cada uma de suas operações, e por isso existe uma símbolo para cada uma delas, e ummétodo correto de fazê-las; para as operações básicas da matemática temos as listadas abaixo, comum exemplo para cada:

1. SomaDigite normalmente a conta e em seguida mande-o executar:

2. SubtraçãoAssim como na soma, digite a conta normalmente e aperte ENTER+SHIFT

3.MultiplicaçãoPara fazer multiplicações, devemos utilizar “*”

4. DivisãoAo fazer divisões, caso o resultado não seja exato, o Mathematica o mantém na forma fracionária,mas isso pode ser contornado, utilizando artifícios que serão mostrados adiante.

5. ExponenciaçãoNo mathematica fazemos a exponenciação de um número, ou incógnita, usando ”^”, veja:

6. Raiz quadradaPara fazer raízes podemos utilizar o comando “Sqrt”(Square root, do inglês), ou utilizar o símboloda tabela de funções do programa, para outras raízes, use o símbolo para raíz “n” na tabela desímbolos.

7. LogarítmosPara fazer logarítmos temos um nível de complexidade maior: Para Ln, o logarítmo neperiano,usamos Log[x], para logarítmos em outras bases usamos Log[x,y] onde x corresponde à base, e yao coeficiente, mostraremos no apêndice de funções especiais como obter o resultado numérico.

8. Seno, Cosseno, Tangente Para fazer contas com seno, cosseno, tangente ou outras funções provenentes das mesmas, comoseno hiperbólico, procedemos conforme dito acima, utilizando a seguinte tabela para os símbolos:

Seno Sin[]Cosseno Cos[]Tangente Tan[]Secante Sec[]Cossecante Csc[]Cotangente Cot[]

Para as funções arco, basta colocar “Arc” antes da função desejada,(p.ex.: ArcSin[]), e para funçõeshiperbólicas, basta utilizar “h”depois da função desejada(p.ex.:ArcSinh[])

IV-FunçõesPara fazer uma função, colocamos f[x_]= , se estamos querendo F em função de X, e em seguidacolocamos a função que gostaríamos de resolver, em função de X, para resolvê-la, basta apertarENTER, e na linha de baixo digitar f[ ], e no lugar de x dentro dos colchetes, você digita o númeroque deseja substituí-lo, veja:

Repare que desta mesma função temos 2 Out[ ], um com o mesmo número de In[ ], que correspondeà equação simplificada, e outro com um número Out[ ] subseqüente, que representa o resultadoesperado, no caso para X = 2. Caso você não queira que essas saída a mais apareça, você devedigitar f[x_] :=, ao invés de f[x_] = , repare, apenas muda a presença de “:”, veja:

V-EquaçõesPara resolver equações devemos utilizar o comando “Solve”, lembre-se da letra maiúscula... vocêdeve colocar a equação dentro de colchetes, e após terminar de digitá-la, ainda dentro dos colchetes,coloque uma vírgula, e diga a variável, dentre as quais você usou na equação, que você quer que oMathematica te dê a resposta. Note que você deve colocar “= =” para atribuir o resultado daequação:

conforme esperado, o software nos dá as raízes da equação, mais adiante ensinaremos como dar aparte inteira do resultado, ou a simplificá-lo.

VI-LimiteO limite é a primeira ferramenta utilizada no Cálculo, e no Mathematica vemos uma ferramentasimples e útil de utilizá-lo. Para processar o limite, devemos digitar “Limit”, e entre colchetes, olimite a ser calculado, separado por uma virgula da indicação da tendência da variável que setrabalha. Para fazer a seta clique em”-”(menos) seguido de “>”, que formará automaticamente aseta. Observe:

Isso é válido para todos o limites, caso você deseje usar algum caractere especial, como o símbolode infinito, digite “Infinity”, ou clique no ícone da tabela de símbolos:Aqui vemos um trecho da tabela com o símbolo destacado:

VII-DerivadasAs derivadas, assim como os limites, constituem os fundamentos do Cálculo I, a partir destesfaremos integrações, e encontraremos volumes... O Mathematica é uma poderosa ferramenta para oauxílio no cálculo de tais processos, mas é óbvio que o programa só executará as ordens dadas, porisso, vale mais o raciocínio lógico do operador, principalmente na interpretação correta dosresultados, e seu uso. Para derivar, usa-se “D[]”, e dentro dos colchetes coloca-se a função, a ser derivada, seguida da

incógnita a que devemos executar a derivação, por vírgula, veja:

Aqui demonstramos duas derivações em função de x, e seus devidos resultados, note que x aparecedepois de uma vírgula...

VIII-GráficosAssim como na produção das derivadas, o Mathematica demonstra incrível flexibilidade quando ointento é produzir gráficos, devido ao seu extenso número de pacotes, caso você tente fazer algumgráfico, e não consiga, pode ser necessário carregar algum desses pacotes, mostraremos no apêndicede funções especiais como proceder para carregá-los, dentre as funções-padrão para fazer gráficostemos “Plot”, “Plot3D” e “ParametricPlot”, respectivamente essas funções plotam gráficos simples,tridimensionais e gráficos de equações paramétricas. Veja os exemplos, e como proceder:Para início de conversa, temos o Plot, feito em um plano, e uma ou duas funções apenas, é o maissimples de todos, e deve ser feito colocando-se a função, e seguido de virgula, a coordenada, e seusrespectivos intervalos, dentro de { }, veja:

Temos ainda o ParametricPlot, cuidado com a letra maiúscula! Ele é um dos mais versáteis dosplots, pois podemos fazer com ele inúmeras coisas, desde o básico, que são as equaçõesparamétricas (x (u, v) e y (u, v)), como círculos, ou a Espiral de Arquimedes, até gráficos derevolução, utilizando coordenadas esféricas no ParametricPlot3D. Atente para alguns dos intervalos:Está escrito “Pi”, porque o Mathematica só reconhecerá o número se for escrita dessa forma, ouatravés da tabela de símbolos. Observe na próxima página alguns exemplos do que pode ser feitocom o comando ParametricPlot...

Observe que temos o elemento “AspectRatio” ele serve para mostrar qual a proporção a ser utilizadapara melhor visualização, a seta é feita por “- >” e a opção escolhida pode ser Automatic,GoldenRatio(proporção áurea), ou qualquer outra proporção desejada.

Temos a espiral de Arquimedes acima:

Para utilizar coordenadas polares, devemos carregar o pacote (package) correspondente, desse modopodemos fazer seus gráficos de maneira correta, sem que apareça uma mensagem de erro na tela

Eis aqui a cardióide, e abaixo, também ocm o mesmo pacote, temos a rosácea:

Atente em ambos os casos, a coordenada utilizada estava em função de t, e não em função de x, issoé uma questão de livre arbítrio, você escolhe a coordenada, mas não se esqueça de colocá-la na horade escolher os intervalos...

Você pode utilizar ainda outros pacotes, como o “ImplicitPlot” para plotar por exemplo umahipérbole, ou uma elipse, a principal diferença desse pacote é que você iguala a função à umresultado, com “= =”; observe também que o nome do tipo de gráfico, mesmo nos pacotes padrões,vem escritos entre hífens, após o mesmo, no caso de gráficos bidimensionais, aparece “Graphics”:

a elipse...

a hipérbole...

Para usufruir de toda a interface dos gráficos tridimensionais, devemos utilizar o “3D ViewPointSelector”, quando formos usar o comando Plot3D, ele nos permite selecionar o ponto de vista quemais nos interessa, de modo prático, basta clicar no cubo, e arrastá-lo para a posição desejada, ouinserir as coordenadas, cartesianas, ou esféricas que deseja visualizar o objeto. Dentro dos colchetesde Plot3D, você deve inserir a funçãocom a qual deseja trabalhar, seguido dos intervalos, como nosdemais gráficos, separados por vírgulas, no caso de se estar usando o artifício do 3D ViewpointSelector, que é opcional, você deve abrir a caixa de diálogo do mesmo, seja usandoCONTROL+SHIFT+V, ou na opção Input, no canto superior esquerdo do programa, selecionar oângulo desejado, e clicar em “paste”, aparecerá em seu texto ViewPoint -> {x,y,z}, você devecolocar esse texto separado por vírgulas, após todo o conteúdo do Plot3D, dentro do [ ] ainda. Veja:

eis o 3D ViewPoint Selector, note as opções no canto direito...

Se você achar que a superfície está muito poluida para o uso que você vai fazer dela, você pode usaro comando “Mesh->False”, veja o que ocorre:

Utilizando esse comando o gráfico perde as linhas de construção internas, se você preferir grades noentorno, como uma caixa, digite “FaceGrids->” seguido de All, se for para todo o gráfico, None, sepreferir retira´-las, ou entre {}, com as coordenadas de onde elas devem aparecer.

Utilizando outro pacote podemos gerar superfícies de revolução, que cria gráficos 3D através derotação do eixo desejado em R³, como exemplos, temos:

Acima vemos um elipsóide de revolução, À esquerda, e um cone de revolução, à direita, ambos emtorno do eixo x. Logo abaixo vemos um ParametricPlot3D, idêntico ao ParametricPlot, mas em trêsdimensões:

IX-SimplificaçõesO Mathematica também permite ao usuário simplificar as equações com as quais ele estátrabalhando, isso é útil quando o intento é usar uma forma expandida,com o comando Expand[ ], oucomprimida, usando o comando Simplify[ ], de uma mesma equação, de acordo com a melhorvisualização para o usuário, ou mesmo para o problema que ele precise resolver, de um modo ououtro, isso não interfere no modo com o qual o Mathematica trabalha, apenas é uma ferramentavisual. Para fazê-lo, apenas coloque a equação a ser trabalhada dentro dos colchetes. Atente aosexemplos:

formas expandidas e simplificadas de uma mesma equação.

X-IntegraisNo Mathematica existem três métodos para se fazer uma integral, a saída de uma integral é feita naforma mais simples possível, seguindo a lógica da estrutura do programa, desde que foi feito. Parafazer uma integral, deve-se digitar “Integrate[ ]” e dentro dos colchetes coloca-se a função a serintegrada, separada por vírgula da incognita de integração, para as integrais indefinidas, para asdefinidas, deve-se colocar a incognita dentro de chaves, separada por vírgulas do intervalo daintegração, ou buscar na tabela de símbolos a função da integral definida, ou indefinida, ou entãodigitar ESC+intt+ESC para integrais indefinidas, ou ESC+dintt+ESC para as definidas, observe quevocê deve escrever com dois “t” ou então não dará certo, nnos últimos casos, use TAB ou o mousepara clicar nos quadrados, e preenchê-los com a função. veja os exemplos:

Acima vemos, da esquerda para a direita, a tabela, o símbolo de integral, a integral indefinida, adefinida e a integral por outro método. Para usar o número “e” procure na tabela de símbolos.

Apêndice A-Funções Especiais1. Pacotes (Packages):Você carrega o pacote gráfico "ImplicitPlot", por exemplo, usando um dos dois comandos:<<Graphics`ImplicitPlot`

ou

Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]Atente ao uso das aspas duplas e crases para carregar os pacotes. Exemplos de pacotes:ImplicitPlotGraphics (inclui PolarPlot)SurfaceOfRevolution

e existem muitos outros pacotes, para maiores informações, visite o site da Wolfram.

2. MemóriaAssim como o C++, o Mathematica também guarda as entradas na memória, para utilizá-las, bastacolocar “%” ao invés da entrada, cada “%” colocado equivale a uma posição anterior de In[ ] doMathematica, desse modo você pode mesclar dois ou mais gráficos, ou usar uma mesma equaçãopara diversas funções

3. ShowUtilizando as alocações de memória explicadasd acima, podemos mesclar os gráficos, vamosmostrar como exemplo o gráfico da rosácea com o da cardióide, acompanhe:

lembrando que as posições da cardióide e da rosácea estavam diretamente anterior ao comandoShow, obtemos:

isso também pode ser feito com gráficos tridimensionais:

Aqui temos um cone sendo cortado por um plano.

4. Valor numérico e parte inteiraPara diversas funções o Mathematica retorna valores simbólicos, caso o interesse seja o valornumérico, existem 2 comandos para efetuar a conversão. Se a parte que interessar for apenas a parteinteiratambém há uma solução.Para valor numérico, digite N[ ], com a função entre os colchetes, ou //N após a função, se a parteinteira é o que interessa, digite IntegerPart[ ] entre os colchetes, e ele retornará apenas o valorinteiro. Veja:

5. Customização de gráficosVocê pode customizar seus gráficos, mudando a forma dos boxes, no caso dos gráficostridimensionais, ou no caso de inúmeros gráficos plotados em um mesmo espaço, você pode colorí-los como preferir, além de colocar título no mesmo. Para modificar a forma dos boxes, você usa ocomando “BoxRatios ->{x,y,z}” dentro do comando de Plot que você estiver usando, onde x, y e zsão as dimensões do Box, que você deseja utilizar. Para fazer títulos, use o comando Plotlabel ->” ” e dentro das aspas você deve por o nome desejado para seu gráfico. Ao tentar fazergráficos de diferentes cores, você usa o “PlotStyle-> {RGBColor[r,g,b]}” tenha em mente que vocêcolorirá cada gráfico que você mandou plotar pela ordem em que forem plotados, e que r, g e bcorrespondem às matizes vermelho, verde e azul, e você estará mexendo na saturação das mesmas,em uma escala de 0 a 1, modificando assim, as cores do gráfico. Veja os exemplos:

Aqui você vê a modificação do BoxRatio, comprimindo um gráfico. Abaixo você vê a colocação detítulo, e de cores em um gráfico:

6. Ajuda Para usar a ajuda do Mathematica você pode clicar em Help, na barra de ferramentas, no centro,acima da tela principal, ou então clicar no tutorial do próprio programa, ou mesmo no browser deajuda da tela que sempre fica exposta:

7. Erro Em caso de erro, aparecerão uma ou mais mensagens na tela, indicando o que está atrapalhandoo processo, e haverá, após a explanação, uma palavra em azul: “more” clique nela para saber maisdetalhes de como proceder corretamente com a função.

Apêndice B-ExercíciosDerive:1) 4x-5 2) 100-16t² 3) 1/(3-4z+5z³)²

Esboçe o gráfico:

1) e^(x*y) para -2<x<2, 0<y<2 2) Sen(t)

Aplique a Integral nas funções:

1)x³(1+x)² 2) (x²-3x+4)

Apêndice C-Versões e bibliografia1. versão do tutorial1.00-tutorial iniciado, apenas o esqueleto básico estava pronto1.10-Adicionados os textos sobre equações,funções e limites1.20-Adicionados os demais textos, exceto a história do programa1.2b-versão teste para impressão em PDF1.30- Adicionados todos os gráficos1.40-Adicionados todos os desenhos, exercícios e gráficos1.50-adicionada a história do programa, versão final em PDF

2. Bibliografia:The Mathematica Guidewww.wolfram.comwww.ufsc.com.brHelp do programa Mathematica