Tutorial Mathematica 5.1 – by André Ulitzkamarcio/tut2005/mathematica/041974Andre.pdf · jornais...

Tutorial Mathematica 5.1 – by André Ulitzka

2

Sumário Capitulo Página 1 – Introdução .......................................................................................................................3 2 – O Mathematica® .............................................................................................................4

2.1 – Um breve histórico .....................................................................................................4 2.2 – O programa ................................................................................................................4

3 – Definições.........................................................................................................................5 4 – Instalação e inicialização................................................................................................6 5 – Comandos gerais.............................................................................................................8 6 – Funções básicas ...............................................................................................................9 7 – Funções ..........................................................................................................................11

7.1 – Inserção de funções ..................................................................................................11 7.2 – Funções trigonométricas ..........................................................................................12 7.3 – Resolução de funções ...............................................................................................12 7.4 – Gráficos de funções ..................................................................................................13

7.4.1 – Gráficos em duas dimensões ..............................................................................13 7.4.2 – Gráficos em três dimensões................................................................................16 7.4.3 – Superfícies de revolução.....................................................................................18 7.4.4 – Curvas paramétricas ...........................................................................................19

8 – Limites ...........................................................................................................................21 9 – Derivadas.......................................................................................................................23

9.1 – Aplicações práticas ..................................................................................................25 10 – Integrais.......................................................................................................................28

10.1 – Aplicações de integrais...........................................................................................28 10.1.1 – Calculo de áreas................................................................................................28 10.1.2 – Calculo de volumes ..........................................................................................29

10.1.2.1 – Volume por seções transversas...................................................................30 10.1.2.2 – Volume por cascas cilíndricas ....................................................................31

11 – Resumo das funções....................................................................................................34 12 – Bibliografia..................................................................................................................35

Andre Ulitzka

Tutorial criado por André Ulitzka Informações Contactar: [email protected]


3

1 – Introdução

Ao ingressar em sua vida acadêmica os alunos de todas as ciências exatas deparam-se com algo que parece, à primeira instancia, intransponível, o curso de cálculo, pois este lhe introduz a conceitos nunca antes vistos sobre matemática. Porém com o avanço dentro do curso e da experiência de vida universitária, nota-se a grandeza e utilidade destas matérias. Contudo resta-se a impressão de serem sempre os cálculos repetitivos. Para evitar-se isto se desenvolveram programas de cálculos matemáticos, os quais automatizam estes cálculos, mostrando-se deveras úteis. Contudo tais programas não devem ser a única fonte de aprendizado de calculo, o conhecimento deve ser adquirido, afinal isto é a única coisa que nunca poderão retirar de ti. Com tal conhecimento em mente pode-se então desenvolver este tutorial introdutório.

Este tutorial visa apresentar, de forma descomplicada, um dos mais famosos e completos programas utilizados para cálculos matemáticos disponível no mercado, o Mathematica®.

Este tutorial não procura aprofundar conhecimentos prévios, e sim realizar a introdução e apresentação do programa a novos usuários. Este visa desmistificar a crença popular sobre a complexidade de programas matemáticos, mostrado que apesar de muitos, os comandos são de fácil utilização e compreensão.

OBS: Mathematica® é marca registrada de Wolfram Inc. Deste ponto em diante será

omitida a sinalização de marca registrada (®), devido a este aviso.


4

2 – O Mathematica 2.1 ˘ Um breve Histórico

O Mathematica é um dos programas de cálculos matemáticos mais famoso e difundido no mundo. Este programa desenvolvido pela WolframResearch Inc., foi criado por volta de 1988, sendo aperfeiçoado a cada nova edição. A versão utilizada para o desenvolvimento deste tutorial foi a 5.1, lançada em 2004.

Apesar de desde a década de 60 existirem programas que realizam cálculos, o Mathematica revolucionou esta área ao unir todas as possíveis utilizações para a matemática em um único programa. Na ocasião do lançamento do programa os maiores jornais dos EUA classificavam-no como um dos dez mais importantes programas do ano.

Atualmente, com todo o desenvolvimento possibilitado por novas tecnologias, sua utilização extrapolou as barreiras das ciências exatas. Até mesmo artistas recorrem a este programa. Das ciências exatas às humanas todos vêem utilidade neste que se tornou o mais completo difundido e importante programa de matemática. Para se ter uma idéia da grandeza de desenvolvimento do programa, ele, através de matrizes numéricas consegue desenvolver melodias. E através de algoritmos desenvolver animações de todo tipo.

Atualmente o programa está na recente versão 5.2, onde estão intrínsecos todos os conhecimentos desenvolvidos. 2.2 ˘ O programa

O Mathematica é oferecido apenas comercialmente, sendo este um grande empecilho em sua utilização, porém no site da Wolfram Research (www.wolfram.com) pode-se conseguir uma versão de demonstração completamente funcional por 15 dias. Por ser um programa comercial este pode ser achado à venda em sites como o Amazon (www.amazon.com) e em lojas especializadas na venda de softwares.

Devido à sua vasta utilidade, o programa possui uma vasta gama de funções e comandos. A grande maioria dos comandos do Mathematica possui diversos atributos opcionais, que geralmente são automaticamente determinados pelo programa. Estes podem ser alterados através de comandos adicionais ao principal, porém estes, com exceção a opções relevantes, serão omitidos, a fim de se evitar que o aprendizado se torne enfadonho.

O programa possui uma interface largamente intuitiva, possuindo diversos comandos acessados por uma palavra completa, geralmente o nome do comando em inglês, como Integrate (Integrar). O sistema de adição de comandos é realizado da maneira mais simplificada possível, ou seja, simplesmente escrevendo-se aquilo que se deseja calcular. No caso da utilização de funções utiliza-se escrever o nome da função, com a primeira letra maiúscula e as outras minúsculas, e então aquilo a que se refere à função dentro de colchetes. Estas informações são mais detalhadas no capitulo a elas pertinente.

www.wolfram.com

http://www.amazon.com/exec/obidos/search-handle-url/104-3477487-1259156?url=index%3Dsoftware&field-keywords=mathematica


5

3 – Definições

Este tutorial refere-se a funções e comandos a serem utilizados no programa, por tanto cabe aqui se definir a maneira de apresentação de cada uma das informações. - Em itálico serão apresentados os nomes das funções. Ex.: Integrar. - Em azul e sublinhado serão apresentados links para paginas da web. Ex.:

www.wolfram.com . - Em negrito estarão teclas, seqüência de teclas e botões do Windows® ou do Mathematica.

Ex.: Ctrl+C. - Em vermelho e fonte Arial serão escritas os comandos tais como devem ser apresentadas

no programa. Ex.: Integrate[ ]. - Em fonte Arial e itálico serão escritas, quando aplicável e dentro dos comandos, os

exemplos algébricos e numéricos utilizados para descrever as funções. Ex.: “x^2+3x+5”. - Os resultados apresentados pelo Mathematica serão apresentados em fonte arial. Ex.:

Out[1]= 3x

Portanto, unindo-se as informações acima, um comando como integrar seria apresentado aqui como: Integrate[x^2+3x+5, x], que integra implicitamente a função apresentada em relação à x.


6

4 – Instalação e Inicialização.

O programa obtido na Internet possui um instalador próprio e intuitivo, requerendo poucas informações de parte do usuário.

Depois de instalado o programa cria um atalho dentro do Menu Iniciar, na pasta chamada de Mathematica 5.1. o programa é então inicializado clicando-se no botão Mathematica 5.1 dentro desta pasta.

Figura 1 – Inicialização do Mathematica pelo menu Iniciar.

Depois de iniciado o programa apresentará uma barra superior com os menus gerais referentes a ele e na lateral direita uma planilha onde se pode acessar as funções mais


7

comumente utilizadas e algumas opções igualmente comuns. Na parte central tem-se uma área em branco, onde se realiza todo o cálculo e estudo. Nesta parte que se escrevem os comandos e as funções.

Figura 2 – Imagem do Mathematica recém aberto.


8

5 – Comandos Gerais.

No Mathematica, para se escrever algum comando primeiramente se clica em qualquer parte da tela abaixo de tudo que já foi calculado. Escreve-se então todo o comando que se pretende realizar e então se clica Shift+Enter, ou então se clicando no Enter do teclado numérico. O Mathematica então automaticamente reconhece e nomeia como In[n]:= o que lhe foi inserido e apresenta logo abaixo o resultado daquilo que se pediu como Out[n]= “resposta”. Como abaixo

Por ser o Mathematica um programa americano, os números decimais devem ser colocados com a utilização de ponto para a separação de algarismos decimais.

No programa todas as funções são escritas com a primeira letra do nome da função maiúscula e as demais minúsculas, os valores são então colocados a seguir dentro de colchetes.

O programa tem preferência por resolver algebricamente funções a ele apresentadas, geralmente resultando em uma nova função como resultado a uma função computada. O Mathematica também não calcula resultados que sejam irracionais ou possuam muitas casas decimais. Para que seja apresentado um valor numérico, sempre que possível, da função apresentada, deve-se escrever N[função].

Para se obter como resultado o numero inteiro mais próximo do resultado verdadeiro da função adicionada deve-se escrever IntegerPart[função].

Se após escrever-se uma função colocar-se um ponto e virgula (;), o programa não calcula aquilo que lhe foi pedido, apenas computa a introdução da função.

Sempre que se queria referir-se a um valor constante da célula imediatamente acima se utiliza o símbolo de porcentagem (%).


9

6 – Funções Básicas.

O Mathematica apesar de realizar cálculos avançados em matemática também realiza simples cálculos algébricos, como somas, divisões, etc. Soma: Realiza a soma de vários valores, é escrita colocando-se cada um dos valores e entre eles o sinal de soma (+). Exemplo: 56+37+8.

Subtração: Realiza a subtração de diversos valores. A operação é realizada colocando-se cada um dos valores e entre eles o símbolo de subtração (-). Exemplo: 42-6-98-5.

Multiplicação: Retorna o produto dos valores apresentados. A função pode ser escrita de diversas formas, tanto com um asterisco entre os valores como um espaço entre os valores. Exemplo: 3*5*7.

Divisão: Retorna o quociente de diversos valores. É realizado colocando-se uma barra (/) entre os valores a serem calculados. A barra lateral de funções possui um botão para acesso rápido a frações, onde ela adiciona uma fração com lacunas para serem preenchidas. Exemplo: 47/3.

Potencia: Calcula um numero elevado a outro. É escrito colocando-se o numero que se quer elevar, e então um sinal de circunflexo (^) e o valor de quanto se quer elevar o numero. A barra lateral também possui um botão para acesso rápido a potencias. Exemplo: 152 é escrito como 15^2.


10

Raiz: O Mathematica possui uma função especifica para calcular raízes quadradas, Chamada Sqrt[função], para outras raízes utiliza-se escrever o valor elevado ao inverso da raiz. Na barra lateral existe um botão para Adiciona-se uma raiz quadrada e para uma raiz n-ésima. Exemplo: 2 25 é escrito como Sqrt[25].

Logaritmo: O programa calcula o log de uma função especificada. Ele reconhece como base padrão para o logaritmo a base e, ou seja, o logaritmo natural. Para se calcular um logaritmo que seja em outra base deve-se especificar a base. Exemplo: log10 20 é escrito como Log[10 , 20], um logaritmo natural de 20 seria escrito como Log[20].


11

7 – Funções.

Uma grande utilização de programas de cálculos matemáticos é a possibilidade de total manipulação de funções, podendo-se, de resolvê-la a traçar seu gráfico. Todos tipos de função podem ser trabalhados no Mathematica, mesmo que sendo totalmente algébrica, a qual é fornecido um resultado totalmente algébrico. 7.1 ˘ Inserção de Funções.

No Mathematica as funções são adicionada da maneira mais intuitiva e simplificada possível, ou seja, simplesmente escrevendo-a como uma expressão qualquer, com as incógnitas junto. Não é necessário colocar-se parêntesis para separar os elementos da função. O único detalhe além do comum é que para se dizer a que a função é igual, deve-se colocar dois sinais de igual (= =), para que o programa entenda que o que há de um lado é igual ao que há do outro lado do sinal. Ao computar-se simplesmente uma função no Mathematica este apresentará como “resposta” a função colocando seus termos em ordem crescente da incógnita.

Exemplo: Para computar-se a função 2x2 + 3x + 4 = 0 digita-se 2x^2+3x+4 = = 0.

O programa trabalha também com funções de diversas variáveis, sendo a forma de computá-las idêntica ao método para uma incógnita somente.

Pode-se também a esta função atribuir um nome, para que, ao invés de se trabalhar tendo que escrever a função a todo o momento somente se faça referencias a ela através de seu nome. Esta nomenclatura é dada colocando-se antes da função propriamente dita o nome que se pretende atribuí-la, tomando-se cuidado para que o mesmo não exista ou seja intrínseco do programa, como Pi, Sin, entre outros. Após colocar-se o nome coloca-se então um único sinal de igual (=) e então a função.

Exemplo: A função acima terá como nome X. X = 2^2+3x+4 = = 0.

Pode-se também trabalhar com um sistema de equações, onde estas são computadas entre colchetes com uma virgula separando cada uma das equações.

Exemplo: O sistema 3 4 2 3

5 7 06 2 2

x y zx y zy z

+ − =− + + = − =

, seria da seguinte forma: {3x+4y-2z = = 3, -5x+7y+z = = 0, 6y-2z = = 2}


12

7.2 ˘ Funções Trigonométricas.

Da mesma maneira que as funções acima podem ser manipuladas as funções trigonométricas também o podem. Estas funções são tratadas pelo Mathematica como qualquer outra função. Elas devem ser computadas com sua primeira letra maiúscula e as demais minúsculas, e o argumento desta função entre colchetes em seguida. Desta mesma forma pode-se utilizar a função arco da trigonométrica, adicionando-se ao nome da função a expressão Arc e as funções trigonométricas hiperbólicas podem ser computadas adicionando-se um h na nomenclatura. Por ser americano o programa, as funções recebem seu nome em inglês, portanto, para saber-se como se escrevem as funções em inglês pode-se consultar a tabela de conversão abaixo.

Função em português

Função em inglês

Arco da Função Função hiperbólica

Arco da fc hiperbólica

Seno Sin ArcSin Sinh ArcSinh Cosseno Cos ArcCos Cosh ArcCosh

Tangente Tan ArcTan Tanh ArcTanh Cossecante Csc ArcCsc Csch ArcCsch

Secante Sec ArcSec Sech ArcSech Cotangente Cot ArcCot Coth ArcCoth

7.3 ˘ Resolução de Funções.

Ao se trabalhar com funções pode-se manipulá-las de diversas maneiras, uma delas é tentar descobrir o valor de suas raízes, obtendo-se assim o “resultado” desta função. O Mathematica calcula as raízes de qualquer função a ele apresentada. Esta resolução é feita através do comando Solve[função]. Através deste comando o programa apresenta todas as raízes possíveis da função, tanto reais como imaginarias, nas quais aparece o símbolo

, que simboliza o numero imaginário. Exemplo: As raízes da função acima. Solve[2x^2+3x+4 = = 0].

Para resolver uma equação com diversas incógnitas deve-se também informar sobre que incógnita pretende-se resolver a equação. No caso de sistemas de equação, o Mathematica apresenta o resultado de cada uma das incógnitas.


13

O Mathematica sempre prima por resultados algébricos, então poderá apresentar uma nova expressão como resultado das raízes. Neste caso pode se utilizar uma função do programa onde ele simplifica as expressões apresentadas Este comando é dado por Simplify[função]. Esta função pode ser usada em qualquer instância para simplificar uma função. Caso o resultado apresentado ainda aparente um tanto confuso, pode-se utilizar o FullSimplify[função], onde a função é simplificada ao máximo. O caminho inverso desta simplificação também pode ser tomado, utilizando o comando Expand[função], onde a função é desenvolvida. Estes comandos se mostram demasiado úteis quando se trabalha com equações algébricas, pois eles acabam desenvolvendo as funções genéricas e demonstrando como deve ser uma real, como no exemplo abaixo onde se demonstra o desenvolvimento de um binômio de Newton.

Caso se deseje obter o valor numérico das raízes da função deve-se utilizar o comando NSolve[função], onde todas as operações algébricas são resolvidas e é obtido somente um valor numérico para as raízes.

Exemplo: As raízes da função acima: NSolve[2x^2+3x+4 = = 0]

7.4 ˘ Gráficos de Funções.

Uma grande possibilidade com funções é se trabalhar com sua representação gráfica, onde em um eixo cartesiano traça-se a união dos pontos da função. Os gráficos de funções podem ser em duas ou três dimensões, dependendo da quantidade de variáveis presente na função. Também podem ser curvas parametrizadas, ou sólidos de revolução, tendo cada um destes uma utilidade e maneira de ser representado diferente. 7.4.1 – Gráficos em duas dimensões.

Gráficos em duas dimensões geralmente têm como variáveis x e y, com uma dependente da outra, e podem possuir diversas formas, dependendo do grau da variável. Por exemplo, para funções de grau 1 seu gráfico é uma reta, para funções de grau 2 uma parábola, entre outras tantas formas.

No Mathematica a construção de um gráfico é feita através do comando Plot, que deve ser escrito da seguinte forma: Plot[função, {variável, limite mínimo, limite máximo}]

Exemplo: Para traçar o gráfico da função x3 + 2x2 + 3, em um plano de extensão -5 a 5, deve-se escrever Plot[x^3+x^2+3, {x,-5,5}]


14

Neste gráfico ficam também visíveis as raízes da função que como acima podem ser obtidas pelo comando Solve.

Pode-se também em um mesmo plano cartesiano traçar-se varias funções ao mesmo tempo. Isto se mostra muito útil a fins de comparação entre funções e para que se possa ter uma idéia do valor calculado quando se calcula a área entre duas funções por integrais.

Porém o Mathematica normalmente acerta a escala do gráfico para que este contenha as partes importantes da função, como pontos de inflexão, ou no caso de ausência destes, o programa prima pela utilização da relação de ouro, ou Golden Ratio, onde se tem a proporção de 1,6180 de um eixo em relação ao outro.

Para se poder obter a real proporção dos eixos cartesianos deve-se alterar no comando Plot uma opção, chamada de AspectRatio->”razão”, que controla a proporção entre os eixos. Caso se queira a real proporção deve-se alterar este valor para 1.

Exemplo: Um gráfico contendo as funções (x2 + 3x) e (-3x2 + 2), em um intervalo de -2 a 1, primeiramente na escala automática e depois nas proporções reais.


15

Para se facilitar a visualização de diversas curvas em um mesmo gráfico, pode-se utilizar a opção PlotStyle->{cor1,cor2,...}, a qual atribui a cor 1 para o primeiro gráfico e assim por diante. Exemplo:


16

Para que funções que dependam de duas variáveis, como cônicas, para que sejam traçadas em um gráfico de duas dimensões deve-se primeiramente isolar uma de suas variáveis.

Exemplo: Para traçar-se a função x2 - y2 + 3x = 0, deve-se primeiramente deixá-la na forma 2 3x x+ , para então o programa ser capaz de traçá-la. Durante a execução do comando ocorrerão avisos sobre todos os pontos onde a função inexista.

7.4.2 – Gráficos em três dimensões.

Algumas vezes a função tem dependência em duas variáveis, o que torna necessária a adição de outro eixo cartesiano. Com isto tem-se a construção de um gráfico em três dimensões. Este tipo de construção é realizado pelo comando Plot3D[função, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}], onde se deve especificar a função utilizada, o x máximo e mínimo, e o y máximo e mínimo.


17

Exemplo: Para traçar-se a função 3x2 – 2y2 + 2xy – x + 2y – 3 = 0, nos intervalos de -1 a 1, tanto para x quanto para y, deve-se proceder com o comando da seguinte maneira Plot3D[3x^2-2y^2+2x*y-x+2y-3, {x,-1,1},{y,-1,1}].

Para gráficos em terceira dimensão é valida a utilidade de um comando onde se possa rotacionar o eixo de maneira que se possa visualizar melhor a função exibida. Esta opção ao comando Plot3D e chamada de ViewPoint, e é adicionada da seguinte maneira, ViewPoint->{x,y,z}, onde x, y e z são as coordenadas do ponto de onde se quer ter a vista.


18

7.4.3 – Superfícies de Revolução

Algumas representações gráficas não são simplesmente a representação de uma função, ou de duas, uma dependente da outra. Algumas destas outras representações são as superfícies e os sólidos de revolução. Estas superfícies são obtidas girando-se uma curva em torno de um eixo. Com isto obtém-se uma superfície circular com o formato da curva original.

No Mathematica existe um comando que realiza a revolução e já nos fornece a representação gráfica desta superfície, porém este comando por não ser de tão comum utilização não é carregado ao se iniciar o programa, então este deve ser manualmente carregado, antes de se começar a trabalhar com o mesmo. Para tanto se deve escrever o seguinte comando <<Graphics`SurfaceOfRevolution`, onde os dois sinais de menor são indicativos de que se quer carregar um programa, a palavra Graphics indica que se que carregar um comando gráfico, e o escrito entre “acentos graves” (`) é o comando propriamente dito.

Uma vez escrito o comando acima, até que se feche o Mathematica, não se necessita realizá-lo novamente, ficando o comando carregado.

Após o carregamento do programa, o comando para se traçar a superfície de revolução é simplificado, este deve ser computado da seguinte maneira: SurfaceOfRevolution[função, {limites da função}], onde estes limites indicam que seção da função se deseja rotacionar.

Exemplo: A rotação da função Tangente de x, de 0 a 2π sobre o eixo y fica da seguinte maneira SurfaceOfRevolution[Tan[x], {x,0,2Pi}].


19

Automaticamente o comando para superfícies de revolução rotaciona a curva pelo eixo

y. Para que esta rotação ocorra sobre outra reta que não esta, deve-se indicar isto com a opção RevolutionAxis->{x,y} ou RevolutionAxis->{x,y,z}, onde x,y e z são as coordenadas da reta que servirá de eixo de rotação.

Exemplo: A mesma superfície de revolução acima, porém rotacionada pelo eixo {1,1,1} seria computada como

SurfaceOfRevolution[Tan[x], {x,0,2Pi}, RevolutionAxis->{1,1,1}].

7.4.4 – Curvas Paramétricas

Alguns sólidos não são obtidos por nenhuma das opções gráficas acima, são as curvas paramétricas, geralmente sólidos parametrizados. Curvas paramétricas geralmente são dependentes de x, y e z.

Para computar-se um sólido parametrizado, utiliza-se o comando ParametricPlot3D[função, {variável1, máximo, mínimo}, {variavel2, máximo, mínimo}]. Exemplo: Uma esfera parametrizada pode ser escrita como ParametricPlot3D[{Sin[u]Cos[t], Cos[u]Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, 2Pi},{u, 0, 2Pi}].


20


21

8 – Limites

O limite de uma função quando sua variável tende a um numero é, por definição, o valor que a função assume quando fazemos a variável tão próxima quanto possível do valor, sem que este seja igual ao numero. A principio limites aparentam não possuir nenhuma aplicação prática, porém após alguns estudos de matemáticos notou-se sua utilidade na verificação da continuidade de uma função. Outra utilidade do limite veio com o estudo das retas tangentes de uma curva, onde se desenvolveu o estudo das derivadas.

A análise de limites demanda muitas ferramentas matemáticas, porém o Mathematica se utiliza automaticamente destas ferramentas e fornece o resultado do limite.

O comando é adicionado no programa como Limit[função, x→x0], onde será calculado o limite da função com x tendendo a x0.

Exemplo: o limite da função x2Csc2(2x), quando x tende a 0, ( )2 2

02

xLim x Csc x→

ficaria

da seguinte forma Limit[x^2(Csc[2x])^2, x->0].

Algumas funções possuem “saltos” no seu traçado, por possuírem valores onde se anulam, ou não é possível calcular o resultado. Estas funções são chamadas de descontinuas. Uma maneira de testar-se a continuidade de uma função em um ponto é a de se calcular o limite da função tendendo a este ponto e então se comparar ao valor da função no ponto. Estes pontos de “quebra” podem chegar a assumir valores distintos quando a variável tende ao numero por valores menores ou maiores que o valor ao qual o limite tende. Nestes casos convém calcular-se os chamados de limites laterais da função. No Mathematica o calculo de limites laterais se dá da mesma maneira que o de limites convencionais, apenas adicionando-se uma opção ao se redigir o comando, a opção Direction→1, que calcula o limite por valores menores que a tendência e a opção Direction→-1, que calcula o limite por valores maiores que a tendência.

Exemplo: a função 1/x, ou x-1 possui um salto na origem e possui diferentes limites laterais.


22


23

9 – Derivadas

Por definição a derivada de uma função é a medida da inclinação de sua reta tangente em um certo ponto. De uma maneira mais cientifica e menos matemática, a derivada de uma função é a taxa com que varia a função apresentada, representando o quão rápido ou devagar a função varia. Este elemento mostrou-se de ampla utilidade prática, para todo tipo de ciência, como para calcular a velocidade de alguma reação química, como para cálculos populacionais, passando por diversas áreas onde se necessite algum tipo de taxa de variação. A derivada de uma função também identifica pontos de máximo e mínimos da função.

A grande maioria das funções não apresenta um valor para sua derivada, e sim uma nova função, onde nesta pode-se estudar uma ampla gama de configurações da função original.

No Mathematica derivadas podem ser calculadas de algumas maneiras diferentes. Para se obter a derivada de uma função deve-se utilizar o comando Dt[função, variável], onde se calcula a derivada total da função em relação à variável.

Exemplo: A derivada da função x2 + 3x deve ser computada da seguinte maneira Dt[x^2+3x, x].

Ao observar-se o gráfico da derivada de uma função, sobreposto à função, pode-se

verificar a propriedade dela ser a inclinação da função.


24

Neste gráfico podemos notar que a função possui um ponto de mínimo na origem (0,0). Nesta função esta verificação se torna simplificada, porém em funções de maior grau isto se torna um pouco mais dificultoso. Para tanto, o Mathematica tem algumas funções. Tem-se uma que apresenta o máximo global da função e outra que apresenta o mínimo global desta. O comando Minimize[função, {variável}] calcula o ponto de mínimo global da função em relação à variável. O comando Maximize[função, {variável}] calcula o ponto de máximo global da função em relação às variáveis.

Exemplo: Os pontos de máximo e mínimo da função x2 acima poderiam ser calculados como Minimize[x^2, {x}] e Maximize[x^2, {x}].

Como a função cresce ao infinito não possui pontos de máximo global, obtendo-se a mensagem de erro e o resultado acima.

Algumas vezes não se deseja saber somente o máximo e mínimo global de uma função, e sim o máximo e mínimo locais desta. Para tanto se utiliza os comandos FindMinimum[função, {x, x0}], que encontra o mínimo local da função no intervalo iniciado em x0, e FindMaximum[função, {x, x0}], que encontra o máximo local do intervalo.

Exemplo: Para se determinar os máximos e mínimos locais da função x3 + 3x2.


25

Sendo f uma função diferenciável, então sua derivada também o é, e é chamada de derivada segunda de f. Em uma definição mais simplificada a derivada segunda é a taxa de variação da taxa de variação. Ela é muito útil para se analisar se a inclinação da curva é superior ou inferior. Para se calcular a derivada segunda de uma função, ou qualquer outra derivada superior, escreve-se o comando da derivada da seguinte maneira Dt[função, {variável, n}], onde n é o grau da derivação.

Exemplo: A derivada terceira de x4 + 2x3 + 2x2 é computada da seguinte maneira Dt[x^4+2x^3+2x^2, {x, 3}].

9.1 ˘ Aplicações práticas

Uma aplicação muito prática das integrais esta nos cálculos de otimização, onde através de derivadas poder se calcular o ponto onde se teria o menor dispêndio de material, dinheiro, entre outras coisas.


26

Exemplo: Determine as dimensões do cilindro reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular de raio R e altura H. Fazendo-se o eixo central como cateto de dois triangulas semelhantes, um maior outro menor, podemos, por semelhança de triângulos, na figura obtemos:

r Rd D=

Tomando-se o eixo central como cateto de dois triângulos, podemos chegar ao seguinte desenvolvimento:

( ) 2 2 2

r RH h r R H

=− + +

Com algum desenvolvimento matemático, aqui omitido, chega-se à seguinte relação: ( )22

22

R H hr

H−

=

Sabe-se que o volume de um cilindro reto é V = π r2 h, substituindo-se então a relação acima, tem-se:

( )22

2( )R H h

V h hH

π−

= ×

Para então se otimizar o volume do cilindro reto, deve-se então derivar a função acima obtida, em função de h. Como R, H e π são constantes, eles saem da derivada, e não são computados, continuando da maneira que estavam. Com isto ficamos com

( )( )2

22

RV H h hHπ ′′ = − ×

Com isto conseguimos que o resultado da derivada como sendo

( ) ( )( )2

22 2RV h H h H h

Hπ′ = − − + −

Para se otimizar o volume deve-se encontrar as raízes desta derivada. Como a parte fora dos parênteses é constante, resolve-se somente a parte interna, para se achar h em função de H.

Como h não pode ser igual a H, chegamos que

3Hh = , que substituído na formula para r:


27

( ) 233

HR HR H hr R

H H

− − = = =

Portanto pode-se afirmar que as dimensões do cilindro de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular de raio R e altura H, como na figura, tem dimensões

3Hh = e 2

3r R=


28

10 – Integrais

A integral de uma função pode ser interpretada como sendo a função inversa da derivação. Em essência, também é a área ou o volume de alguma superfície.

As integrais podem ser de duas maneiras distintas, Integrais Próprias ou Impróprias. As próprias são integrais onde ficam definidos os limites de integração, resultando ela como um numero. A imprópria não tem definidos seus limites, com isto resulta em uma função somada a uma constante.

Quando ministradas, as integrais demandam um grande tempo de estudo, pois sua resolução na realidade vem da comparação com tabelas de integrais as quais se sabe solucionar.

No Mathematica as integrais próprias são computadas através do comando Integrate[função, {x, xmin, xmáx}].

Exemplo: A integral de 5 a 7 da função 3x2 + 4x + 3, é escrita da seguinte forma Integrate[3x^2+4x+3, {x, 5, 7}].

Integrais impróprias são computadas da mesma maneira, porém não se adiciona os limites xmin e xmax, somente se identificando a variável sobre a qual se quer integrar, sem as chaves.

Exemplo: Para se calcular implicitamente a função acima se escreve Integrate[3x^2+4x+3, x].

10.1 ˘ Aplicação de integrais.

Integrais têm diversas aplicações práticas, dependendo de onde e como são utilizadas. Abaixo são mostradas algumas destas aplicações. 10.1.1 – Calculo de áreas.

O calculo de áreas de regiões planas é algo que é aprendido desde os primórdios do ensino de matemática, porém ao ser introduzido ao estudo do calculo, mais precisamente a integral, descobre-se uma forma geral e mais abrangente de se calcular áreas.

Através de integrais pode-se calcular a área de qualquer região plana, não importando sua forma.


29

As áreas entre duas curvas são calculadas, como sendo a integral no intervalo de a a b da função superior subtraída da inferior. Ou seja, sendo f(x) a função superior, g(x) a inferior e dentro do intervalo [a,b], a sua área seria calculada da seguinte forma:

( ) ( )[ ]b

af x g x dx−∫

Exemplo: Para se calcular a área de um circulo de raio r:

Primeiramente toma-se a definição de π como sendo a área de um circulo de raio unitário x2 + y2 = 1. Pela analise da função apresentada pode-se deduzir que a área de um quadrante deste circulo é

1 2

01 x dx−∫ .

Partindo-se destas definições, chega-se que:

1 2

04 1 x dxπ = −∫

Sabendo-se ser esta formula verdadeira, pode-se estendê-la a um circulo de raio qualquer (r), onde se teria

2 2

04

rA r x dx= −∫

Desenvolvendo-se a integral: 2

04 1

r xA r dxr

= − ∫

Por substituição, fazendo-se u = x/r: 12 2

04 1A r u du= −∫

Como de acordo com a proposição inicial esta integral tem como valor π, fornecendo a resposta como A = πr2.

10.1.2 – Calculo de volumes

Através do calculo de integrais pode-se determinar o volume de um sólido de duas maneiras distintas, por cascas cilíndricas e por seções transversas. Em ambos o principio do calculo é o mesmo, a integral de uma área.


30

10.1.2.1 – Volume por seções transversas

O método de seções transversas consiste em interceptar-se dois planos paralelos com o sólido, formando assim uma espécie de fatia do sólido. Divide-se então todo o sólido em seções de largura ∆x. Pode-se então aproximar cada uma destas fatias por um “cilindro” com área da base igual a A(x) e “altura” igual a ∆x.

Da maneira como definimos esta divisão do sólido, pode-se extrair a informação de ser o volume deste sólido aproximadamente o somatório de todas estas seções.

1( )

n

ii

V A x x=

≈ ×∆∑

Fazendo-se então ∆x tão pequeno quanto possível, o que equivale a fazer n da

somatória tender ao infinito, tem-se uma aproximação mais precisa do volume do sólido.

1( )

n

in iV Lim A x x

→∞ =

= ×∆∑

Pela definição de integral podemos então retirar a definição do volume de um sólido de

extremidades a e b, por seções transversas como sendo a integral de a a b da área de uma seção do sólido.

( )b

aV A x dx= ∫

Exemplo 1: Determinar o volume de uma esfera de raio r.

Colocando-se esta esfera com centro na origem do eixo cartesiano, podemos retirar uma seção transversa desta, onde se obtém um circulo de raio

2 2y r x= − , assim a área da seção transversa é:

( )2 2 2( )A x y r xπ π= = − Como o volume é a integral da área de uma seção transversa, e a esfera varia de –r a r, seu volume é calculado como:

( )2 2( )b r

a rV A x dx r x dxπ

−= = −∫ ∫

Computando esta integral no Mathematica obtém-

se a seguinte resolução:


31

Ou seja, o volume de uma esfera de raio r é: 34

3V rπ=

Exemplo 2: Calculo do volume do toro gerado pela rotação em torno do eixo y da função (x-b)2 + y2 = a2.

Desenvolvendo-se a função fornecida, podemos obter a equação abaixo, a qual se pode

trabalhar mais facilmente: 2 2x a y b= ± − +

Esta função obtida e o estudo de sua forma demonstram que este toro é formado pela revolução de uma circunferência em torno de um eixo que se encontra fora dela. De uma circunferência, sabe-se que a parte negativa da raiz é a porção inferior e a positiva a parte superior desta circunferência, e que esta está limitada em y por –a e a. Da definição de volume por seções transversas, chega-se na integral abaixo.

( ) ( )2 22 2 2 2b

aV a y b a y b dyπ = − + − − − + ∫

10.1.2.2 – Volume por cascas cilíndricas.

Algumas vezes se torna complicado de achar uma posição onde se possa cortar o sólido por um plano a fim de se conseguir uma área mensurável, ou então esta seção é facilmente visualizável, porém resulta em uma função de difícil resolução. Este se aplica à resolução de volumes de sólidos de revolução e sólidos cilíndricos.


32

Este método se baseia em se dividir o sólido em utilizando-se cilindros concêntricos, o que acaba por formar cascas cilíndricas de altura h e espessura ∆r. O volume desta casca cilíndrica é igual ao volume do cilindro externo subtraído do cilindro interno. Com isto chega-se que a formula do volume de uma casca cilíndrica é:

2V rh rπ= ∆

O volume do sólido então seria o somatório destes volumes das cascas. Conforme se altera a posição da casca cilíndrica altera-se a altura da casca. Com isto a somatória seria da seguinte forma:

1

2 ( )n

i ii

V x f x xπ=

≈ ∆∑

Fazendo-se ∆x tão pequeno quanto possível, e conseqüentemente n tendendo a infinito:

12 ( )

n

i in iV Lim x f x xπ

→∞ =

= ∆∑

Pela definição de integral pode-se obter a integral a seguir do somatório acima para um sólido limitado por a e b:

2 ( )b

aV xf x dxπ= ∫

Exemplo: Calcular o volume do sólido formado pela revolução da função –x2 + 25, sobre o eixo y.

O gráfico da função toma a forma aproximada de um sino, tornando-se mais fácil calcular seu volume por cascas cilíndricas.

De maneira simplificada, apenas por observação, podemos obter seu volume como sendo a integral abaixo:

( )5 2

02 25 0V x x dxπ= − + −∫

O Mathematica então resolve esta integral e nos fornece o volume deste sólido


33

Exemplo 2: Calcular o volume do sólido formado pela revolução da função 4x-x2 ao redor da reta x = -1. O Sólido obtido por esta revolução é o mostrado abaixo

Como a revolução não ocorre sobre o eixo y e sim sobre a reta x = -1, na integral ao invés de se utilizar 2πx, se utiliza 2π(x+1), com isto a integral d volume fica como abaixo:

( )( )4 2

02 1 4 0V x x x dxπ= + − −∫

Integral esta que resolvida pelo Mathematica obtém-se:


34

11 – Índice Remissivo de Funções

Função Página Soma (+) .................................................................................................................................9 Subtração (-) ...........................................................................................................................9 Multiplicação (x) ....................................................................................................................9 Divisão (/) ...............................................................................................................................9 Potência (^) .............................................................................................................................9 Sqrt[função].........................................................................................................................10 Log[função] .........................................................................................................................10 Introdução de funções...........................................................................................................11 Nomeação de Funções ..........................................................................................................11 Solve[função = = 0]............................................................................................................12 NSolve[função = = 0].........................................................................................................13 Plot[função, {x, xmax, xmin}] ................................................................................................13 Plot3D[função, {x, xmax, xmin}, {y, ymax, ymin}]...................................................................16 SurfaceOfRevolution[função, {x, xmax, xmin}] ..................................................................18 ParametricPlot[função, {x, xmax, xmin}, {y, ymax, ymin}] ....................................................19 Limit[função, variável] .......................................................................................................21 Dt[função, variável] ............................................................................................................23 Maximize[função, variável] / Minimize[função, variável]..............................................24 Integrate[função, {variável, limite menor, limite maior} ................................................28


35

12 – Bibliografia

• Cálculo, Volume 1; Stewart, James; Quarta edição – Editora Pioneira Thomson Learning, 2002.

• Cálculo com geometria analítica; Edwards & Penney, Quarta edição.

• Curso Avançado de Calculo, José Luiz Gomes Munoz,

http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/

• Wolfram Research, Inc www.wolfram.com

http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/curso_avanzado_files/JoseLuisGomezMunoz0500esferas.htm

www.wolfram.com

Tutorial Mathematica 5.1 – by André Ulitzkamarcio/tut2005/mathematica/041974Andre.pdf · jornais...

Documents

Transcript of Tutorial Mathematica 5.1 – by André Ulitzkamarcio/tut2005/mathematica/041974Andre.pdf · jornais...