Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf ·...
Transcript of Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf ·...
![Page 1: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika 1
Bozidar Ivankovic
Zima, 2012
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 2: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/2.jpg)
Ukratko
Matematika 1 sadrzi odabrana poglavlja matematike:
Determinante
Vektori u ravnini i prostoru
Funkcije
Limesi
Derivacija i primjene
Integrali i primjene
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 3: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/3.jpg)
Literatura
Marusic: Matematika 1
Minorski: Zbirka zadataka iz vise matematike
Demidovic: Zbirka zadataka iz vise matematike s primjenomna tehnicke nauke
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 4: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/4.jpg)
Studentske obaveze
Redovita prisutnost za sada se ne zahtijeva
Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis
Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita obicno subotomUsmeni dio ispita obicno utorkom popodne
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 5: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/5.jpg)
Studentske obaveze
Redovita prisutnost
za sada se ne zahtijeva
Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis
Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita obicno subotomUsmeni dio ispita obicno utorkom popodne
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 6: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/6.jpg)
Studentske obaveze
Redovita prisutnost za sada se ne zahtijeva
Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis
Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita
obicno subotomUsmeni dio ispita obicno utorkom popodne
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 7: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/7.jpg)
Studentske obaveze
Redovita prisutnost za sada se ne zahtijeva
Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis
Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita obicno subotomUsmeni dio ispita
obicno utorkom popodne
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 8: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/8.jpg)
Studentske obaveze
Redovita prisutnost za sada se ne zahtijeva
Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis
Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita obicno subotomUsmeni dio ispita obicno utorkom popodne
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 9: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/9.jpg)
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 10: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/10.jpg)
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.
Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 11: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/11.jpg)
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:
Primjer:~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 12: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/12.jpg)
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 13: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/13.jpg)
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 14: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/14.jpg)
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 15: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/15.jpg)
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 16: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/16.jpg)
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 17: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/17.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 18: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/18.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.
Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 19: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/19.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 20: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/20.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 21: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/21.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 22: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/22.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 23: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/23.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3)
(1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 24: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/24.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 25: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/25.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.
Tada jeλ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 26: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/26.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 27: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/27.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 28: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/28.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 29: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/29.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 30: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/30.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 31: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/31.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 32: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/32.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20)
(−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 33: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/33.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15)
(−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 34: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/34.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 35: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/35.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c
i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 36: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/36.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, ν
jest vektorλ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 37: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/37.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 38: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/38.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 39: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/39.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 40: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/40.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 41: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/41.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.
Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 42: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/42.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 43: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/43.jpg)
Linearna nezavisnost vektora
Vektori ~a1, ~a2, . . . , ~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:
λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
Pitanje
Da li su vektori ~a = (1, 3), ~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?
Nisu, jer sustav s vise nepoznanica a manje jednadzbi uvijek imarjesenje.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 44: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/44.jpg)
Linearna nezavisnost vektora
Vektori ~a1, ~a2, . . . , ~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:
λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
Pitanje
Da li su vektori ~a = (1, 3), ~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?
Nisu, jer sustav s vise nepoznanica a manje jednadzbi uvijek imarjesenje.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 45: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/45.jpg)
Linearna nezavisnost vektora
Vektori ~a1, ~a2, . . . , ~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:
λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
Pitanje
Da li su vektori ~a = (1, 3), ~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?
Nisu, jer sustav s vise nepoznanica a manje jednadzbi uvijek imarjesenje.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 46: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/46.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti,
asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 47: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/47.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti
i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 48: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/48.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti.
Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 49: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/49.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje
i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 50: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/50.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje,
svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 51: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/51.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,
a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 52: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/52.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.
Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 53: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/53.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno,
asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 54: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/54.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno
i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 55: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/55.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.
Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 56: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/56.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 57: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/57.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 58: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/58.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 59: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/59.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 60: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/60.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 61: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/61.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 62: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/62.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora.
Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 63: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/63.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 64: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/64.jpg)
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 65: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/65.jpg)
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 66: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/66.jpg)
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 67: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/67.jpg)
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 68: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/68.jpg)
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 56.25%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 69: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/69.jpg)
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 56.25%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 70: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/70.jpg)
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 56.25%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 71: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/71.jpg)
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 56.25%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 72: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/72.jpg)
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 73: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/73.jpg)
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 74: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/74.jpg)
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 75: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/75.jpg)
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 76: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/76.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 77: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/77.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 78: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/78.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 79: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/79.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 80: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/80.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 81: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/81.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 82: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/82.jpg)
Problem
Zadatak
Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje: D = (0,−2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 83: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/83.jpg)
Problem
Zadatak
Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje: D = (0,−2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 84: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/84.jpg)
Problem
Zadatak
Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje: D = (0,−2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 85: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/85.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 86: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/86.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 87: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/87.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 88: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/88.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 89: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/89.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 90: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/90.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 91: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/91.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 92: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/92.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 93: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/93.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 94: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/94.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 95: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/95.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 96: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/96.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 97: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/97.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 98: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/98.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 99: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/99.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 100: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/100.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 101: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/101.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 102: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/102.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.
Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 103: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/103.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 104: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/104.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 105: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/105.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 106: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/106.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)
−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 107: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/107.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 108: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/108.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),
−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 109: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/109.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 110: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/110.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 111: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/111.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 112: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/112.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 113: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/113.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 114: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/114.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 115: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/115.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 116: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/116.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 117: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/117.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 118: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/118.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 119: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/119.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 120: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/120.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 121: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/121.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 122: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/122.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 123: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/123.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 124: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/124.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 125: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/125.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 126: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/126.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)
140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 127: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/127.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 128: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/128.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4).
980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 129: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/129.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 130: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/130.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 131: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/131.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 132: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/132.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima.
Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 133: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/133.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 134: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/134.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~a
distributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 135: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/135.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c
kvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 136: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/136.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b
~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 137: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/137.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 138: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/138.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 139: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/139.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 140: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/140.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 141: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/141.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 142: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/142.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja:
127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 143: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/143.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N,
210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 144: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/144.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210
~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 145: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/145.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN,
µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 146: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/146.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 147: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/147.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 148: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/148.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 149: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/149.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 150: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/150.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 151: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/151.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 152: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/152.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 153: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/153.jpg)
Rjesenja
1−→AS = ~i + 3~j , C = (4, 7), D = (1, 1).
2 ~c = −2~a + 3~b.
3 ~i · ~i = ~j · ~j = ~k · ~k = 1; ~i · ~j = ~i · ~k = ~j · ~k = 0.
4 Dvije su stranice po 3.3, jedna je 3.5 jedinicne duljine, kutevi: dva po58.5o , jedan od 63o .
5 ~R = 143 N, ϕ = 630.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 154: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/154.jpg)
DETERMINANTE
Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.
Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci
|a11| = a11
gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 155: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/155.jpg)
DETERMINANTE
Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.
Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci
|a11| = a11
gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 156: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/156.jpg)
DETERMINANTE
Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.
Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci
|a11| = a11
gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 157: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/157.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 158: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/158.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 159: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/159.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ .
rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 160: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/160.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 161: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/161.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 162: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/162.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ .
Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 163: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/163.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 164: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/164.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ;
b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 165: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/165.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ;
c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 166: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/166.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣
Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 167: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/167.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 168: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/168.jpg)
...za odrasle...
Zadatak
Rijesite jednadzbu:
∣∣∣∣ sin x cos x−4 1
∣∣∣∣ = 3.
Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x
2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2
1+t2 ,
x12 = 0.50047 + kπ; x2
2 = −0.2612 + kπ.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 169: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/169.jpg)
...za odrasle...
Zadatak
Rijesite jednadzbu:
∣∣∣∣ sin x cos x−4 1
∣∣∣∣ = 3.
Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x
2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2
1+t2 ,
x12 = 0.50047 + kπ; x2
2 = −0.2612 + kπ.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 170: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/170.jpg)
...za odrasle...
Zadatak
Rijesite jednadzbu:
∣∣∣∣ sin x cos x−4 1
∣∣∣∣ = 3.
Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x
2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2
1+t2 ,
x12 = 0.50047 + kπ; x2
2 = −0.2612 + kπ.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 171: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/171.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 172: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/172.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .
1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 173: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/173.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣
Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 174: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/174.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 175: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/175.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣
Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 176: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/176.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 177: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/177.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .
Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 178: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/178.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 179: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/179.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 180: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/180.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 181: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/181.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 182: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/182.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse
Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 183: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/183.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima.
Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 184: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/184.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 185: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/185.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 186: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/186.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 187: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/187.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 188: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/188.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).
Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 189: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/189.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 190: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/190.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.
(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 191: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/191.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 192: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/192.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 193: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/193.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 194: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/194.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 195: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/195.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.
d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 196: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/196.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 197: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/197.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 198: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/198.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 199: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/199.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 200: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/200.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 201: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/201.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 202: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/202.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima
smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 203: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/203.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer,
orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 204: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/204.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju
i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 205: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/205.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 206: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/206.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 207: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/207.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 208: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/208.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 209: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/209.jpg)
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 210: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/210.jpg)
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a
2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 211: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/211.jpg)
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c
3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 212: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/212.jpg)
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b
4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 213: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/213.jpg)
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 214: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/214.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 . P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 215: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/215.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 .
P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 216: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/216.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 . P = 80√
2 ≈ 113.14;
v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 217: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/217.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 . P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 218: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/218.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 . P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 219: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/219.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 . P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 220: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/220.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 221: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/221.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k .
Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 222: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/222.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 223: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/223.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2).
Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 224: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/224.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 225: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/225.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k.
Rjesenje: ~n0 = ± 1√11
(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 226: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/226.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 227: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/227.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 228: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/228.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru.
Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 229: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/229.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 230: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/230.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣
Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 231: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/231.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 232: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/232.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 233: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/233.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 234: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/234.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 235: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/235.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 236: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/236.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 237: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/237.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 238: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/238.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 239: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/239.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 240: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/240.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.
Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 241: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/241.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 242: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/242.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 243: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/243.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 244: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/244.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 245: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/245.jpg)
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 246: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/246.jpg)
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 247: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/247.jpg)
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 248: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/248.jpg)
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka?
(rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 249: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/249.jpg)
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 250: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/250.jpg)
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b.
(rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 251: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/251.jpg)
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 252: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/252.jpg)
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.
(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 253: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/253.jpg)
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 254: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/254.jpg)
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 255: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/255.jpg)
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 256: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/256.jpg)
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 257: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/257.jpg)
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 258: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/258.jpg)
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 259: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/259.jpg)
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 260: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/260.jpg)
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 261: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/261.jpg)
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 262: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/262.jpg)
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 263: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/263.jpg)
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 264: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/264.jpg)
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 265: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/265.jpg)
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 266: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/266.jpg)
Rjesenja
1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).
2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).
4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90
5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√
3 ∼ 7, |~b| = 2√
13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20
√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 267: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/267.jpg)
Rjesenja
1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).
2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).
4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90
5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√
3 ∼ 7, |~b| = 2√
13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20
√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 268: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/268.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 269: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/269.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora.
Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 270: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/270.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 271: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/271.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?
Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 272: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/272.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 273: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/273.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2).
Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 274: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/274.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 275: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/275.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 276: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/276.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 277: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/277.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 278: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/278.jpg)
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 279: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/279.jpg)
Zadaci
1 Trokut je zadan tockama A(3, 1, 2), B(0,−1,−2) i C(−1,−2, 1).
Odredite vektore−→AB,−→BC i
−→AC . Izracunajte kut α. Koliki je opseg
trokuta? Koja je najdulja stranica trokuta? Koliki je najveci kut trokuta?
2 Poznati su vektori ~a i ~b. Kut izmedu vektora je 200, a iznosi vektora su|~a| = 1.2 i |~b| = 2.5. Izracunajte ~a · ~b, (~a + ~b)2, |~a + ~b| i konacno
|(~a · ~b)(~a + ~b)|.3 Zadani su vrhovi paralelograma A(1,−1, 0), B(1, 1, 2), C(−1,−2, 1) i
D(−1,−4,−1). Odredite vektore−→AB,−→BC ,−→DC i
−→AD. Odredite
−→AB ×
−→BC
i izracunajte |−→AB ×
−→BC |. Skicirajte paralelogram. Kolika je povrsina
paralelograma? Kolika je duljina najdulje stranice u paralelogramu?Koliko je dugacka najkraca visina u paralelogramu?
4 U prostoru su zadane tocke A(1, 1, 0),B(2, 1,−3),C(−1, 2, 1) i
D(−1, 4,−1). Odredite vektore−→AB,−→AC ,−→AD. Izracunajte
(−→AB ×
−→AC) ·
−→AD. Odredite
−→AB ×
−→AC i izracunajte |
−→AB ×
−→AC |. Koliki je
volumen tetraedra odredenog tockama A,B,C i D? Koliku povrsinu imatrokut ABC? Koliko je visoko tocka D iznad trokuta baze ABC?.
5 Zadane su tocke A(3,−5, 0) i B(2, 4, 6). Zadan je vektor ~c = 3~i − ~j + ~k.
Izracunajte−→AB × (~c −
−→AB)× ~c.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 280: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/280.jpg)
Rjesenja
1 α = 370, O = 13.8, γ = 760.
2 ~a · ~b = 2.8, (~a + ~b)2 = 13.34, |~a + ~b| =3.65, |(~a · ~b)(~a + ~b)| = 10.28.
3−→AB×
−→BC = (4,−4, 4), |
−→AB×
−→BC | = 6.9, P = 6.9, vmin = 1.85
4 (−→AB ×
−→AC ) ·
−→AD = 8,
−→AB ×
−→AC = (3, 5, 1), |
−→AB ×
−→AC | =
5.9, V = 1.33, P∆ = 2.96, h = 1.35.
5 −7~i − 93~j − 72~k.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 281: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/281.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 282: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/282.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 283: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/283.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 284: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/284.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 285: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/285.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:
1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 286: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/286.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D
2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 287: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/287.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 288: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/288.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 289: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/289.jpg)
Graf funkcije
Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:
Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom
f (x) = log x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 290: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/290.jpg)
Graf funkcije
Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:
Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom
f (x) = log x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 291: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/291.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:
f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 292: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/292.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 293: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/293.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost:
za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 294: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/294.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 295: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/295.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost:
injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 296: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/296.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 297: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/297.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 298: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/298.jpg)
Inverz
Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija
g : K → D,
s pravilom preslikavanja:
∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .
Ouobicajena oznaka
x = f −1(y) = g(y).
Zadatak
Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 299: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/299.jpg)
Inverz
Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija
g : K → D,
s pravilom preslikavanja:
∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .
Ouobicajena oznaka
x = f −1(y) = g(y).
Zadatak
Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 300: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/300.jpg)
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.
Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 301: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/301.jpg)
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 302: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/302.jpg)
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 303: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/303.jpg)
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 304: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/304.jpg)
Parnost i neparnost funkcije
Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi
f (−x) = f (x).
Funkcija je neparna ako je
f (−x) = −f (x).
Zadatak
Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 305: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/305.jpg)
Parnost i neparnost funkcije
Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi
f (−x) = f (x).
Funkcija je neparna ako je
f (−x) = −f (x).
Zadatak
Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 306: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/306.jpg)
Parnost i neparnost funkcije
Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi
f (−x) = f (x).
Funkcija je neparna ako je
f (−x) = −f (x).
Zadatak
Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 307: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/307.jpg)
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x .
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 308: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/308.jpg)
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x .
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 309: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/309.jpg)
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x .
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 310: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/310.jpg)
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x .
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 311: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/311.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 312: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/312.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).
Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 313: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/313.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).
Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 314: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/314.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).
Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 315: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/315.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 316: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/316.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 317: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/317.jpg)
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 318: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/318.jpg)
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).
Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 319: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/319.jpg)
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).
Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 320: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/320.jpg)
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 321: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/321.jpg)
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 322: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/322.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 323: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/323.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 324: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/324.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 325: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/325.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 326: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/326.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 327: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/327.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 328: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/328.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 12 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 329: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/329.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 12 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 330: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/330.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 1
2 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 331: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/331.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 12 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 332: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/332.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 12 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 333: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/333.jpg)
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 334: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/334.jpg)
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x).
Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 335: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/335.jpg)
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 336: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/336.jpg)
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji.
Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 337: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/337.jpg)
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 338: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/338.jpg)
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 339: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/339.jpg)
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 340: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/340.jpg)
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 341: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/341.jpg)
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 342: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/342.jpg)
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 343: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/343.jpg)
Granicna vrijednost
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 344: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/344.jpg)
Granicna vrijednost
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 345: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/345.jpg)
Granicna vrijednost
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 346: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/346.jpg)
Granicna vrijednost
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 347: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/347.jpg)
Fundamentalno
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex .
Ispitajte osobine preslikavanja.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 348: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/348.jpg)
Fundamentalno
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex . Ispitajte osobine preslikavanja.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 349: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/349.jpg)
Fundamentalno
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex . Ispitajte osobine preslikavanja.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 350: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/350.jpg)
Eksponencijalna funkcija
Definicija
Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.
Zapamtiti
Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .
Zadatak
Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 351: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/351.jpg)
Eksponencijalna funkcija
Definicija
Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.
Zapamtiti
Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .
Zadatak
Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 352: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/352.jpg)
Eksponencijalna funkcija
Definicija
Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.
Zapamtiti
Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .
Zadatak
Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 353: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/353.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 354: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/354.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 355: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/355.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 356: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/356.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 357: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/357.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 358: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/358.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 359: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/359.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 360: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/360.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 361: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/361.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100?
rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 362: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/362.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 363: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/363.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 364: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/364.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 365: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/365.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 366: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/366.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 367: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/367.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 368: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/368.jpg)
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 369: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/369.jpg)
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 370: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/370.jpg)
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 371: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/371.jpg)
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 372: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/372.jpg)
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
2
4 y = 3 sin(2x − π4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 373: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/373.jpg)
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 374: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/374.jpg)
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 375: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/375.jpg)
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 376: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/376.jpg)
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 377: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/377.jpg)
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 378: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/378.jpg)
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 379: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/379.jpg)
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 380: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/380.jpg)
Domena funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 381: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/381.jpg)
Domena funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 382: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/382.jpg)
Domena funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 383: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/383.jpg)
Domena funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 384: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/384.jpg)
Domena funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 385: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/385.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 386: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/386.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 387: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/387.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 388: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/388.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 389: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/389.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 390: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/390.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 391: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/391.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 392: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/392.jpg)
Limes funkcije
Zadatak
Ispitajte i zapisite rjesenje:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 393: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/393.jpg)
Limes funkcije
Zadatak
Ispitajte i zapisite rjesenje:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 394: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/394.jpg)
Limes funkcije
Zadatak
Ispitajte i zapisite rjesenje:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 395: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/395.jpg)
Limes funkcije
Zadatak
Ispitajte i zapisite rjesenje:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 396: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/396.jpg)
Limes funkcije
Zadatak
Ispitajte i zapisite rjesenje:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 397: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/397.jpg)
Domaca zadaca
1 Odredite domenu funkcije
√x + 1
ln(1− x)
2 Nacrtajte graf funkcije y = cosx
2
3 Pomocu niza x ∈ {0.1, 0.01, 0.001, ...} odredite limx→0
sin x
x
4 Odredite domenu funkcije y =√x − 2 + arcsin
x
x − 2
5 Napisite formulu funkcije inverzne funkciji f (x) = e3x−2
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 398: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/398.jpg)
Domaca zadaca
1 Odredite domenu funkcije
√x + 1
ln(1− x)
2 Nacrtajte graf funkcije y = cosx
2
3 Pomocu niza x ∈ {0.1, 0.01, 0.001, ...} odredite limx→0
sin x
x
4 Odredite domenu funkcije y =√x − 2 + arcsin
x
x − 2
5 Napisite formulu funkcije inverzne funkciji f (x) = e3x−2
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 399: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/399.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...
x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 400: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/400.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,
f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 401: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/401.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,
y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 402: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/402.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,
∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 403: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/403.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,
∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 404: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/404.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,
dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 405: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/405.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 406: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/406.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 407: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/407.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 408: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/408.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno
dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 409: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/409.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 410: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/410.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 411: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/411.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 412: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/412.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 413: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/413.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 414: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/414.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 415: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/415.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 416: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/416.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 417: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/417.jpg)
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 418: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/418.jpg)
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 419: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/419.jpg)
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 420: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/420.jpg)
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 421: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/421.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 422: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/422.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijedi
y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 423: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/423.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x)
Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 424: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/424.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 425: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/425.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 426: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/426.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 427: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/427.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 428: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/428.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 429: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/429.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 430: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/430.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 431: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/431.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 432: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/432.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 433: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/433.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 434: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/434.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 435: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/435.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 436: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/436.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:
(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 437: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/437.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 438: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/438.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 439: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/439.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 440: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/440.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 441: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/441.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 442: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/442.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 443: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/443.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 444: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/444.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 445: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/445.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx
b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 446: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/446.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 447: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/447.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnx
b) y =ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 448: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/448.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2
c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 449: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/449.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 450: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/450.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 451: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/451.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 452: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/452.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 453: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/453.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x).
Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 454: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/454.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x)
=dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 455: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/455.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dx
i x ′ = (f −1)′(y) =dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 456: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/456.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ =
(f −1)′(y) =dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 457: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/457.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 458: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/458.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy.
Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 459: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/459.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =
dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 460: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/460.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 461: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/461.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=
1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 462: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/462.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 463: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/463.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)).
Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 464: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/464.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 465: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/465.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x
i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 466: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/466.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 467: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/467.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 468: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/468.jpg)
Derivacija slozene funkcija
Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:
y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)
y ′ =dy
dx=
dy
dz· dzdx
= f ′(z) · g ′(x)
y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 469: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/469.jpg)
Derivacija slozene funkcija
Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:
y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)
y ′ =dy
dx=
dy
dz· dzdx
= f ′(z) · g ′(x)
y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 470: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/470.jpg)
Derivacija slozene funkcija
Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:
y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)
y ′ =dy
dx=
dy
dz· dzdx
= f ′(z) · g ′(x)
y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 471: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/471.jpg)
Derivacija slozene funkcija
Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:
y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)
y ′ =dy
dx=
dy
dz· dzdx
= f ′(z) · g ′(x)
y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 472: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/472.jpg)
Derivacija slozene funkcija
Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:
y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)
y ′ =dy
dx=
dy
dz· dzdx
= f ′(z) · g ′(x)
y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 473: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/473.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 474: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/474.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 475: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/475.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 476: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/476.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 477: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/477.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 478: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/478.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 479: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/479.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 480: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/480.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 481: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/481.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 482: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/482.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 483: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/483.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 484: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/484.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 485: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/485.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 486: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/486.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 487: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/487.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 488: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/488.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 489: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/489.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralista
y0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 490: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/490.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralista
vrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 491: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/491.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 492: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/492.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 493: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/493.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 494: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/494.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 495: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/495.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 496: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/496.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 497: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/497.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 498: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/498.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 499: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/499.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 500: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/500.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 501: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/501.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 502: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/502.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 503: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/503.jpg)
Rjesenja zadataka
1 a)4x − 4y + 1 = 0; b)y = −34x + 6; c)y = 1
6x + 32
2 Tangenta i normala redom: a)x = 1, y = 0;b)x − 2y − 1 = 0, 2x + y − 2 = 0;c)2x + y − 3 = 0, x − 2y + 1 = 0 za (1, 1);2x − y + 3 = 0, x + 2y − 1 = 0 za (−1, 1).
3 Iz y ′ = 1x+√
1−x2· −1−x2
x√
1−x2ocito je y ′(1)→∞, sto daje za
tangentu vertikalu x = 1, a za normalu y = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 504: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/504.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 505: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/505.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .
Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 506: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/506.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25,
y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 507: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/507.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x ,
4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 508: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/508.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36
i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 509: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/509.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.
Formula prve derivacije y ′ = dydx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 510: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/510.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 511: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/511.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 512: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/512.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 513: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/513.jpg)
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 514: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/514.jpg)
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 515: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/515.jpg)
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 516: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/516.jpg)
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 517: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/517.jpg)
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 518: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/518.jpg)
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 519: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/519.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 520: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/520.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 521: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/521.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+.
Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 522: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/522.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3.
Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 523: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/523.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku.
Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 524: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/524.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 525: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/525.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg?
Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 526: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/526.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 527: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/527.jpg)
Rjesenja
1 ~v(3) = (12, 12.6), ~a(3) = (4, 2), |~v(3)| = 17.4, |~a(3)| = 4.5,~a3 = (2.9, 3), |~at(3)| = 4.2, ~acp(3) = (1.1,−1), |~acp(3)| = 1.5.
2 ~v(4) = (26, 104, 48), ~a(4) = (6, 48, 6), F = 2 134N,~at(4) = 492
13 796 · (26, 104, 48) = (0.9, 3.7, 1.7), Fcp = 2016N.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 528: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/528.jpg)
Tangenta na parametriziranu krivulju
Teorem
Neka je radijus vektor tocke krivulje parametarski zadan formulama~r(t) = (x(t), y(t)). Koeficijent smjera tangente u tocki parametra
t0 je k = y ′(t0) =y(t0)
x(t0)
Zadatak
Nacrtajte tangentu na graf funkcije zadane parametarski formulamax(t) = t2−1
2t−ln t i y(t) =√
3t2 − 2t − 6, a za vrijednost parametrat = 4. Za koje je vrijednosti parametra t definirana funkcija?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 529: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/529.jpg)
Tangenta na parametriziranu krivulju
Teorem
Neka je radijus vektor tocke krivulje parametarski zadan formulama~r(t) = (x(t), y(t)). Koeficijent smjera tangente u tocki parametra
t0 je k = y ′(t0) =y(t0)
x(t0)
Zadatak
Nacrtajte tangentu na graf funkcije zadane parametarski formulamax(t) = t2−1
2t−ln t i y(t) =√
3t2 − 2t − 6, a za vrijednost parametrat = 4. Za koje je vrijednosti parametra t definirana funkcija?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 530: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/530.jpg)
Tangenta na parametriziranu krivulju
Teorem
Neka je radijus vektor tocke krivulje parametarski zadan formulama~r(t) = (x(t), y(t)). Koeficijent smjera tangente u tocki parametra
t0 je k = y ′(t0) =y(t0)
x(t0)
Zadatak
Nacrtajte tangentu na graf funkcije zadane parametarski formulamax(t) = t2−1
2t−ln t i y(t) =√
3t2 − 2t − 6, a za vrijednost parametrat = 4.
Za koje je vrijednosti parametra t definirana funkcija?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 531: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/531.jpg)
Tangenta na parametriziranu krivulju
Teorem
Neka je radijus vektor tocke krivulje parametarski zadan formulama~r(t) = (x(t), y(t)). Koeficijent smjera tangente u tocki parametra
t0 je k = y ′(t0) =y(t0)
x(t0)
Zadatak
Nacrtajte tangentu na graf funkcije zadane parametarski formulamax(t) = t2−1
2t−ln t i y(t) =√
3t2 − 2t − 6, a za vrijednost parametrat = 4. Za koje je vrijednosti parametra t definirana funkcija?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 532: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/532.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 533: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/533.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 534: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/534.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 535: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/535.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 536: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/536.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 537: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/537.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 538: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/538.jpg)
Zadaci
Zadatak
Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:
1 f (x) = x2 − ln x2
2 f (x) = e−x2+8x−14
3 f (x) = x1−ln x
4 f (x) =sin x − 2
cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 539: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/539.jpg)
Zadaci
Zadatak
Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:
1 f (x) = x2 − ln x2
2 f (x) = e−x2+8x−14
3 f (x) = x1−ln x
4 f (x) =sin x − 2
cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 540: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/540.jpg)
Zadaci
Zadatak
Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:
1 f (x) = x2 − ln x2
2 f (x) = e−x2+8x−14
3 f (x) = x1−ln x
4 f (x) =sin x − 2
cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 541: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/541.jpg)
Zadaci
Zadatak
Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:
1 f (x) = x2 − ln x2
2 f (x) = e−x2+8x−14
3 f (x) = x1−ln x
4 f (x) =sin x − 2
cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 542: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/542.jpg)
Zadaci
Zadatak
Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:
1 f (x) = x2 − ln x2
2 f (x) = e−x2+8x−14
3 f (x) = x1−ln x
4 f (x) =sin x − 2
cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 543: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/543.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije
Teorem
Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.
1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.
2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.
Napomena
Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0. To je tockainfleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 544: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/544.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije
Teorem
Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.
1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.
2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.
Napomena
Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0. To je tockainfleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 545: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/545.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije
Teorem
Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.
1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.
2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.
Napomena
Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0. To je tockainfleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 546: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/546.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije
Teorem
Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.
1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.
2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.
Napomena
Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0.
To je tockainfleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 547: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/547.jpg)
Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije
Teorem
Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.
1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.
2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.
Napomena
Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0. To je tockainfleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 548: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/548.jpg)
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 549: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/549.jpg)
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x
2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 550: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/550.jpg)
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 551: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/551.jpg)
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 552: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/552.jpg)
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 553: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/553.jpg)
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 554: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/554.jpg)
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 555: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/555.jpg)
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 12
3 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 556: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/556.jpg)
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 557: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/557.jpg)
L’Hospitalovo pravilo
Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su
∞−∞,∞∞,
0
0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.
Teorem
L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.
Ako je limx→af ′(x)
g ′(x)= L, onda je L = limx→a
f (x)
g(x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 558: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/558.jpg)
L’Hospitalovo pravilo
Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su
∞−∞,∞∞,
0
0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.
Teorem
L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.
Ako je limx→af ′(x)
g ′(x)= L, onda je L = limx→a
f (x)
g(x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 559: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/559.jpg)
L’Hospitalovo pravilo
Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su
∞−∞,∞∞,
0
0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.
Teorem
L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.
Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.
Ako je limx→af ′(x)
g ′(x)= L, onda je L = limx→a
f (x)
g(x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 560: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/560.jpg)
L’Hospitalovo pravilo
Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su
∞−∞,∞∞,
0
0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.
Teorem
L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.
Ako je limx→af ′(x)
g ′(x)= L, onda je L = limx→a
f (x)
g(x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 561: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/561.jpg)
L’Hospitalovo pravilo
Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su
∞−∞,∞∞,
0
0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.
Teorem
L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.
Ako je limx→af ′(x)
g ′(x)= L, onda je L = limx→a
f (x)
g(x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 562: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/562.jpg)
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 563: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/563.jpg)
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 564: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/564.jpg)
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 565: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/565.jpg)
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 566: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/566.jpg)
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 567: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/567.jpg)
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)
5 limx→π
2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 568: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/568.jpg)
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 569: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/569.jpg)
Asimptote
Pravac je asimptota ako udaljenost grafa funkcije do pravca tezi knuli za x →∞ ili y →∞.
Zadatak
Odredite asimptote sljedecih funkcija
1 f (x) =sin x
x
2 f (x) =ln2 x
x− 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 570: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/570.jpg)
Asimptote
Pravac je asimptota ako udaljenost grafa funkcije do pravca tezi knuli za x →∞ ili y →∞.
Zadatak
Odredite asimptote sljedecih funkcija
1 f (x) =sin x
x
2 f (x) =ln2 x
x− 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 571: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/571.jpg)
Asimptote
Pravac je asimptota ako udaljenost grafa funkcije do pravca tezi knuli za x →∞ ili y →∞.
Zadatak
Odredite asimptote sljedecih funkcija
1 f (x) =sin x
x
2 f (x) =ln2 x
x− 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 572: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/572.jpg)
Asimptote
Pravac je asimptota ako udaljenost grafa funkcije do pravca tezi knuli za x →∞ ili y →∞.
Zadatak
Odredite asimptote sljedecih funkcija
1 f (x) =sin x
x
2 f (x) =ln2 x
x− 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 573: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/573.jpg)
Crtanje grafova funkcija
Zadatak
Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) =x3
x2 − 4.
Zadatak
Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) = 16x(x − 1)3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 574: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/574.jpg)
Crtanje grafova funkcija
Zadatak
Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) =x3
x2 − 4.
Zadatak
Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) = 16x(x − 1)3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 575: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/575.jpg)
Zadaca
Odredite sve asimptote sljedecih funkcija
1 f (x) = 1−ln x1+ln x
2 f (x) = xex
(1+x)2
Ispitajte tok i skicirajte grafove funkcija
1 f (x) = xe−1x
2 f (x) = x2−1x2+1
3 f (x) = (x + 1) ln2(x + 1)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 576: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/576.jpg)
Primjena crtanja grafova na rjesavanjenealgebarskih jednadzbi
1 Rijesite jednadzbu x ln x = 1
2 Rijesite jednadzbu x + sin x = 1
3 Odredite nultocke funkcije f (x) = ln2 xx − 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 577: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/577.jpg)
Primjena crtanja grafova na rjesavanjenealgebarskih jednadzbi
1 Rijesite jednadzbu x ln x = 1
2 Rijesite jednadzbu x + sin x = 1
3 Odredite nultocke funkcije f (x) = ln2 xx − 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 578: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/578.jpg)
Primjena crtanja grafova na rjesavanjenealgebarskih jednadzbi
1 Rijesite jednadzbu x ln x = 1
2 Rijesite jednadzbu x + sin x = 1
3 Odredite nultocke funkcije f (x) = ln2 xx − 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 579: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/579.jpg)
Primjena crtanja grafova na rjesavanjenealgebarskih jednadzbi
1 Rijesite jednadzbu x ln x = 1
2 Rijesite jednadzbu x + sin x = 1
3 Odredite nultocke funkcije f (x) = ln2 xx − 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 580: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/580.jpg)
Treca obavezna domaca zadaca
1 Izracunajte f ′(−1) za funkciju f (x) =3x2 − x − 2
x3 + x + 1.
2 Napisite jednadzbu tangente i normale na graf funkcijey = e−x
2−2x u tocki grafa s apscisom x = 0.
3 Odredite intervale rasta, pada i lokalne ekstreme funkcijef (x) = arctan(4x − x2).
4 Izracunajte limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
.
5 Ispitajte tok i skicirajte graf funkcije f (x) =ln x√x
.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 581: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/581.jpg)
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 582: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/582.jpg)
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 583: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/583.jpg)
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 584: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/584.jpg)
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 585: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/585.jpg)
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6.
Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 586: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/586.jpg)
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 587: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/587.jpg)
Newton-Leibnitzova formula
Antiderivacija formule f (x) je formula F (x) koja ima svojstvoF ′(x) = f (x).
Teorem
Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je∫ b
af (x)dx = F (x)
∣∣∣∣ba
= F (b)− F (a).
Zadatak
Primjenom Teorema rijesite prethodne zadatke.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 588: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/588.jpg)
Newton-Leibnitzova formula
Antiderivacija formule f (x) je formula F (x) koja ima svojstvoF ′(x) = f (x).
Teorem
Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je
∫ b
af (x)dx = F (x)
∣∣∣∣ba
= F (b)− F (a).
Zadatak
Primjenom Teorema rijesite prethodne zadatke.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 589: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/589.jpg)
Newton-Leibnitzova formula
Antiderivacija formule f (x) je formula F (x) koja ima svojstvoF ′(x) = f (x).
Teorem
Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je∫ b
af (x)dx = F (x)
∣∣∣∣ba
= F (b)− F (a).
Zadatak
Primjenom Teorema rijesite prethodne zadatke.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 590: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/590.jpg)
Newton-Leibnitzova formula
Antiderivacija formule f (x) je formula F (x) koja ima svojstvoF ′(x) = f (x).
Teorem
Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je∫ b
af (x)dx = F (x)
∣∣∣∣ba
= F (b)− F (a).
Zadatak
Primjenom Teorema rijesite prethodne zadatke.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 591: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/591.jpg)
Primjena Newton-Leibnitzove formule
Rijesite Newton-Leibnitzovom formulom nekoliko slijedecihzadataka.
1 Izracunati povrsinu koju omeduju graf funkcije y = 3x2,vertikalni pravci x = 1 i x = 3 i os apscsa: y = 0.
2 Izracunajte povrsinu koju omeduju hiperbola xy = 12, osapscisa i vertikale x = 2 i x = 6.
3 Koliko je velika jedna od povrsina koju sinusoida y = sin xzatvara s x-osi?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 592: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/592.jpg)
Primjena Newton-Leibnitzove formule
Rijesite Newton-Leibnitzovom formulom nekoliko slijedecihzadataka.
1 Izracunati povrsinu koju omeduju graf funkcije y = 3x2,vertikalni pravci x = 1 i x = 3 i os apscsa: y = 0.
2 Izracunajte povrsinu koju omeduju hiperbola xy = 12, osapscisa i vertikale x = 2 i x = 6.
3 Koliko je velika jedna od povrsina koju sinusoida y = sin xzatvara s x-osi?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 593: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/593.jpg)
Primjena Newton-Leibnitzove formule
Rijesite Newton-Leibnitzovom formulom nekoliko slijedecihzadataka.
1 Izracunati povrsinu koju omeduju graf funkcije y = 3x2,vertikalni pravci x = 1 i x = 3 i os apscsa: y = 0.
2 Izracunajte povrsinu koju omeduju hiperbola xy = 12, osapscisa i vertikale x = 2 i x = 6.
3 Koliko je velika jedna od povrsina koju sinusoida y = sin xzatvara s x-osi?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 594: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/594.jpg)
Primjena Newton-Leibnitzove formule
Rijesite Newton-Leibnitzovom formulom nekoliko slijedecihzadataka.
1 Izracunati povrsinu koju omeduju graf funkcije y = 3x2,vertikalni pravci x = 1 i x = 3 i os apscsa: y = 0.
2 Izracunajte povrsinu koju omeduju hiperbola xy = 12, osapscisa i vertikale x = 2 i x = 6.
3 Koliko je velika jedna od povrsina koju sinusoida y = sin xzatvara s x-osi?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 595: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/595.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 596: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/596.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 597: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/597.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.
Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 598: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/598.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 599: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/599.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 600: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/600.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 601: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/601.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 602: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/602.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 603: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/603.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 604: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/604.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 605: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/605.jpg)
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 606: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/606.jpg)
Metode integriranja. Direktno integriranje
Teorem
Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α
∫f (x)dx + β
∫g(x)dx .
Zadatak
Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:
1∫
(2 + x2)3dx ,
∫x2 + 2
x2 + 1dx
2∫
tan2 xdx ,
∫ √x − 2
3√x2 + 1
4√x
dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 607: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/607.jpg)
Metode integriranja. Direktno integriranje
Teorem
Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α
∫f (x)dx + β
∫g(x)dx .
Zadatak
Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:
1∫
(2 + x2)3dx ,
∫x2 + 2
x2 + 1dx
2∫
tan2 xdx ,
∫ √x − 2
3√x2 + 1
4√x
dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 608: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/608.jpg)
Metode integriranja. Direktno integriranje
Teorem
Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α
∫f (x)dx + β
∫g(x)dx .
Zadatak
Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:
1∫
(2 + x2)3dx ,
∫x2 + 2
x2 + 1dx
2∫
tan2 xdx ,
∫ √x − 2
3√x2 + 1
4√x
dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 609: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/609.jpg)
Metode integriranja. Direktno integriranje
Teorem
Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α
∫f (x)dx + β
∫g(x)dx .
Zadatak
Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:
1∫
(2 + x2)3dx ,
∫x2 + 2
x2 + 1dx
2∫
tan2 xdx ,
∫ √x − 2
3√x2 + 1
4√x
dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 610: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/610.jpg)
Metode integriranja. Direktno integriranje
Teorem
Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α
∫f (x)dx + β
∫g(x)dx .
Zadatak
Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:
1∫
(2 + x2)3dx ,
∫x2 + 2
x2 + 1dx
2∫
tan2 xdx ,
∫ √x − 2
3√x2 + 1
4√x
dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 611: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/611.jpg)
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 612: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/612.jpg)
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 613: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/613.jpg)
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2
ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 614: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/614.jpg)
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x
ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 615: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/615.jpg)
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 616: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/616.jpg)
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 617: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/617.jpg)
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 618: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/618.jpg)
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 619: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/619.jpg)
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 620: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/620.jpg)
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 621: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/621.jpg)
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 622: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/622.jpg)
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 623: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/623.jpg)
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 624: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/624.jpg)
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 625: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/625.jpg)
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 626: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/626.jpg)
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 627: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/627.jpg)
Rjesenja
1 Supstitucija 2− 3x = t2 vodi na dx = −2tdt3 i konacno daje
−∫
23dt = −2
3 t = −23
√2− 3x + c .
2 Uz 4 + 5x2 = t dobiva se∫
xt
dt10x = 1
10 ln(4 + 5x2) + c .
3 Trik je transformacija∫
dxcos2 x(1+tan x)2 . Tada uzeti tan x = t.
Rjesenje je − 11+tan x + c .
414 (x3 − 8) 3
√x3 − 8.
543 .
6 7.14
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 628: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/628.jpg)
Metoda parcijalne integracije
Dva faktora u podintegralnoj funkciji:∫f (x) · dx =
∫u(x) · dv(x) , gdje je dv(x) = v ′(x) · dx prvi
diferencijal. Nada da ce biti jednostavnije pogoditi:∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−
∫v(x) · du(x).
Primjer
Integrirati
1∫
ln xdx
∫arctan xdx
2∫
arcsin xdx∫
ln(x +√
1 + x2)dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 629: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/629.jpg)
Metoda parcijalne integracije
Dva faktora u podintegralnoj funkciji:∫f (x) · dx =
∫u(x) · dv(x) , gdje je dv(x) = v ′(x) · dx prvi
diferencijal. Nada da ce biti jednostavnije pogoditi:∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−
∫v(x) · du(x).
Primjer
Integrirati
1∫
ln xdx∫
arctan xdx
2∫
arcsin xdx∫
ln(x +√
1 + x2)dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 630: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/630.jpg)
Metoda parcijalne integracije
Dva faktora u podintegralnoj funkciji:∫f (x) · dx =
∫u(x) · dv(x) , gdje je dv(x) = v ′(x) · dx prvi
diferencijal. Nada da ce biti jednostavnije pogoditi:∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−
∫v(x) · du(x).
Primjer
Integrirati
1∫
ln xdx∫
arctan xdx
2∫
arcsin xdx
∫ln(x +
√1 + x2)dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 631: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/631.jpg)
Metoda parcijalne integracije
Dva faktora u podintegralnoj funkciji:∫f (x) · dx =
∫u(x) · dv(x) , gdje je dv(x) = v ′(x) · dx prvi
diferencijal. Nada da ce biti jednostavnije pogoditi:∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−
∫v(x) · du(x).
Primjer
Integrirati
1∫
ln xdx∫
arctan xdx
2∫
arcsin xdx∫
ln(x +√
1 + x2)dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 632: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/632.jpg)
Zadaci za vjezbu
1 Izracunajte
∫ 2
1exdx . (4.67)
2 Izracunajte metodom supstitucije
∫ 4
2
2x − 1
3x + 4dx ( 12
9 −59 ln 1.6)
3 Nacrtajte graf funkcije y = 3 cos 2x i izracunajte jednu odpovrsina koju zatvara sa osi 0X . (3)
4 Odredite povrsinu koju zatvara vertikala x = 5, graf funkcijey = x2 − 2x − 3 i os 0X . (10.67)
5 Izracunajte
∫x cos xdx metodom parcijalne integracije.
(x sin x + cos x + c)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 633: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/633.jpg)
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 634: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/634.jpg)
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X .
(11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 635: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/635.jpg)
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 636: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/636.jpg)
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije.
(π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 637: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/637.jpg)
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 638: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/638.jpg)
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 639: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/639.jpg)
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 640: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/640.jpg)
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx
∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 641: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/641.jpg)
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 642: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/642.jpg)
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 643: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/643.jpg)
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
tanx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2.
Zadatak
Odredite
1
∫sin x
sin x + cos xdx
2
∫ π2
0
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 644: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/644.jpg)
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
tanx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2.
Zadatak
Odredite
1
∫sin x
sin x + cos xdx
2
∫ π2
0
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 645: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/645.jpg)
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
tanx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2.
Zadatak
Odredite
1
∫sin x
sin x + cos xdx
2
∫ π2
0
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 646: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/646.jpg)
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
tanx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2.
Zadatak
Odredite
1
∫sin x
sin x + cos xdx
2
∫ π2
0
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 647: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/647.jpg)
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
tanx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2.
Zadatak
Odredite
1
∫sin x
sin x + cos xdx
2
∫ π2
0
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 648: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/648.jpg)
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 649: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/649.jpg)
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 650: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/650.jpg)
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 651: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/651.jpg)
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 652: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/652.jpg)
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 653: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/653.jpg)
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 654: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/654.jpg)
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 655: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/655.jpg)
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0.
116
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 656: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/656.jpg)
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 657: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/657.jpg)
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y .
1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 658: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/658.jpg)
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 659: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/659.jpg)
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1.
163
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 660: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/660.jpg)
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 661: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/661.jpg)
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama.
94
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 662: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/662.jpg)
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 663: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/663.jpg)
Ispitni zadaci
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i
vertikalama x =1
ei x = e.
Zadatak
Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 664: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/664.jpg)
Ispitni zadaci
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i
vertikalama x =1
ei x = e.
Zadatak
Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 665: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/665.jpg)
Ispitni zadaci
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i
vertikalama x =1
ei x = e.
Zadatak
Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 666: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/666.jpg)
Ispitni zadaci
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i
vertikalama x =1
ei x = e.
Zadatak
Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 667: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/667.jpg)
Ispitni zadaci
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i
vertikalama x =1
ei x = e.
Zadatak
Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 668: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/668.jpg)
Dopunski zadaci
1 Izracunajte neposredno
∫ 5
1
(3x +
4
x−√
2x
)dx .
2 Odredite metodom supstitucije
∫3x2 − x
3x − 1dx .
3 Izracunajte metodom parcijalne integracije
∫ 6
1x ln x dx .
4 Nacrtajte graf funkcije f (x) = ln x . Izracunajte povrsinu ispodgrafa funkcije omedenu vertikalom x = 10 i osi 0X .
5 Izracunajte velicinu povrsine omedene parabolom y = 4− x2 ipravcem y = x + 2.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 669: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf · Ukratko Matematika 1 sadr zi odabrana poglavlja matematike: Determinante Vektori](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021800/5e2d1063eef3a84c727d6769/html5/thumbnails/669.jpg)
Dopunski zadaci
1 Izracunajte neposredno
∫ 5
1
(3x +
4
x−√
2x
)dx .
2 Odredite metodom supstitucije
∫3x2 − x
3x − 1dx .
3 Izracunajte metodom parcijalne integracije
∫ 6
1x ln x dx .
4 Nacrtajte graf funkcije f (x) = ln x . Izracunajte povrsinu ispodgrafa funkcije omedenu vertikalom x = 10 i osi 0X .
5 Izracunajte velicinu povrsine omedene parabolom y = 4− x2 ipravcem y = x + 2.
Bozidar Ivankovic Matematika 1