Matematika 1
Bozidar Ivankovic
Zima, 2012
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ukratko
Matematika 1 sadrzi odabrana poglavlja matematike:
Determinante
Vektori u ravnini i prostoru
Funkcije
Limesi
Derivacija i primjene
Integrali i primjene
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Literatura
Marusic: Matematika 1
Minorski: Zbirka zadataka iz vise matematike
Demidovic: Zbirka zadataka iz vise matematike s primjenomna tehnicke nauke
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Studentske obaveze
Redovita prisutnost za sada se ne zahtijeva
Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis
Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita obicno subotomUsmeni dio ispita obicno utorkom popodne
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Studentske obaveze
Redovita prisutnost
za sada se ne zahtijeva
Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis
Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita obicno subotomUsmeni dio ispita obicno utorkom popodne
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Studentske obaveze
Redovita prisutnost za sada se ne zahtijeva
Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis
Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita
obicno subotomUsmeni dio ispita obicno utorkom popodne
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Studentske obaveze
Redovita prisutnost za sada se ne zahtijeva
Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis
Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita obicno subotomUsmeni dio ispita
obicno utorkom popodne
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Studentske obaveze
Redovita prisutnost za sada se ne zahtijeva
Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis
Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita obicno subotomUsmeni dio ispita obicno utorkom popodne
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.
Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:
Primjer:~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektori
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.
Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3)
(1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.
Tada jeλ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20)
(−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15)
(−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3)
vektor kolinearan vektoru ~a.
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c
i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, ν
jest vektorλ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.
Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
(5, 2)
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna nezavisnost vektora
Vektori ~a1, ~a2, . . . , ~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:
λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
Pitanje
Da li su vektori ~a = (1, 3), ~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?
Nisu, jer sustav s vise nepoznanica a manje jednadzbi uvijek imarjesenje.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna nezavisnost vektora
Vektori ~a1, ~a2, . . . , ~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:
λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
Pitanje
Da li su vektori ~a = (1, 3), ~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?
Nisu, jer sustav s vise nepoznanica a manje jednadzbi uvijek imarjesenje.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Linearna nezavisnost vektora
Vektori ~a1, ~a2, . . . , ~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:
λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
Pitanje
Da li su vektori ~a = (1, 3), ~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?
Nisu, jer sustav s vise nepoznanica a manje jednadzbi uvijek imarjesenje.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti,
asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti
i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti.
Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje
i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje,
svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,
a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.
Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno,
asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno
i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.
Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora.
Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 · ~a = ~a
5 0 · ~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 56.25%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 56.25%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 56.25%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 56.25%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Problem
Zadatak
Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje: D = (0,−2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Problem
Zadatak
Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje: D = (0,−2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Problem
Zadatak
Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje: D = (0,−2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1Bozidar Ivankovic Matematika 1
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.
Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)
−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),
−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c.
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)Bozidar Ivankovic Matematika 1
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)
140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4).
980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima.
Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~a
distributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c
kvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b
~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja:
127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N,
210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210
~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN,
µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Rjesenja
1−→AS = ~i + 3~j , C = (4, 7), D = (1, 1).
2 ~c = −2~a + 3~b.
3 ~i · ~i = ~j · ~j = ~k · ~k = 1; ~i · ~j = ~i · ~k = ~j · ~k = 0.
4 Dvije su stranice po 3.3, jedna je 3.5 jedinicne duljine, kutevi: dva po58.5o , jedan od 63o .
5 ~R = 143 N, ϕ = 630.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DETERMINANTE
Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.
Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci
|a11| = a11
gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DETERMINANTE
Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.
Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci
|a11| = a11
gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DETERMINANTE
Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.
Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci
|a11| = a11
gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ .
rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ .
Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ;
b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ;
c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣
Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
...za odrasle...
Zadatak
Rijesite jednadzbu:
∣∣∣∣ sin x cos x−4 1
∣∣∣∣ = 3.
Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x
2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2
1+t2 ,
x12 = 0.50047 + kπ; x2
2 = −0.2612 + kπ.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
...za odrasle...
Zadatak
Rijesite jednadzbu:
∣∣∣∣ sin x cos x−4 1
∣∣∣∣ = 3.
Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x
2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2
1+t2 ,
x12 = 0.50047 + kπ; x2
2 = −0.2612 + kπ.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
...za odrasle...
Zadatak
Rijesite jednadzbu:
∣∣∣∣ sin x cos x−4 1
∣∣∣∣ = 3.
Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x
2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2
1+t2 ,
x12 = 0.50047 + kπ; x2
2 = −0.2612 + kπ.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .
1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣
Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣
Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .
Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse
Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima.
Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).
Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.
(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
VEKTORSKI PRODUKT
Samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.
Definition
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.
d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c .
b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima
smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer,
orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju
i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 je binarna operacija
rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,
koji ima smjer, orijentaciju i iznos:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma
razapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a
2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c
3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b
4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 . P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 .
P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 . P = 80√
2 ≈ 113.14;
v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 . P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 . P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
...da li razumijemo?
Zadatak
Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π
4 . P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k .
Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2).
Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k.
Rjesenje: ~n0 = ± 1√11
(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru.
Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣
Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.
Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka?
(rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b.
(rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.
(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci i rjesenja
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Obavezna domaca zadaca
1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite
1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC
2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .
3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.
4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).
5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Rjesenja
1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).
2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).
4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90
5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√
3 ∼ 7, |~b| = 2√
13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20
√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Rjesenja
1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).
2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).
4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90
5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√
3 ∼ 7, |~b| = 2√
13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20
√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora.
Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?
Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2).
Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci i rjesenja
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Trokut je zadan tockama A(3, 1, 2), B(0,−1,−2) i C(−1,−2, 1).
Odredite vektore−→AB,−→BC i
−→AC . Izracunajte kut α. Koliki je opseg
trokuta? Koja je najdulja stranica trokuta? Koliki je najveci kut trokuta?
2 Poznati su vektori ~a i ~b. Kut izmedu vektora je 200, a iznosi vektora su|~a| = 1.2 i |~b| = 2.5. Izracunajte ~a · ~b, (~a + ~b)2, |~a + ~b| i konacno
|(~a · ~b)(~a + ~b)|.3 Zadani su vrhovi paralelograma A(1,−1, 0), B(1, 1, 2), C(−1,−2, 1) i
D(−1,−4,−1). Odredite vektore−→AB,−→BC ,−→DC i
−→AD. Odredite
−→AB ×
−→BC
i izracunajte |−→AB ×
−→BC |. Skicirajte paralelogram. Kolika je povrsina
paralelograma? Kolika je duljina najdulje stranice u paralelogramu?Koliko je dugacka najkraca visina u paralelogramu?
4 U prostoru su zadane tocke A(1, 1, 0),B(2, 1,−3),C(−1, 2, 1) i
D(−1, 4,−1). Odredite vektore−→AB,−→AC ,−→AD. Izracunajte
(−→AB ×
−→AC) ·
−→AD. Odredite
−→AB ×
−→AC i izracunajte |
−→AB ×
−→AC |. Koliki je
volumen tetraedra odredenog tockama A,B,C i D? Koliku povrsinu imatrokut ABC? Koliko je visoko tocka D iznad trokuta baze ABC?.
5 Zadane su tocke A(3,−5, 0) i B(2, 4, 6). Zadan je vektor ~c = 3~i − ~j + ~k.
Izracunajte−→AB × (~c −
−→AB)× ~c.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Rjesenja
1 α = 370, O = 13.8, γ = 760.
2 ~a · ~b = 2.8, (~a + ~b)2 = 13.34, |~a + ~b| =3.65, |(~a · ~b)(~a + ~b)| = 10.28.
3−→AB×
−→BC = (4,−4, 4), |
−→AB×
−→BC | = 6.9, P = 6.9, vmin = 1.85
4 (−→AB ×
−→AC ) ·
−→AD = 8,
−→AB ×
−→AC = (3, 5, 1), |
−→AB ×
−→AC | =
5.9, V = 1.33, P∆ = 2.96, h = 1.35.
5 −7~i − 93~j − 72~k.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:
1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D
2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Graf funkcije
Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:
Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom
f (x) = log x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Graf funkcije
Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:
Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom
f (x) = log x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:
f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost:
za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost:
injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Inverz
Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija
g : K → D,
s pravilom preslikavanja:
∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .
Ouobicajena oznaka
x = f −1(y) = g(y).
Zadatak
Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Inverz
Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija
g : K → D,
s pravilom preslikavanja:
∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .
Ouobicajena oznaka
x = f −1(y) = g(y).
Zadatak
Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.
Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Parnost i neparnost funkcije
Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi
f (−x) = f (x).
Funkcija je neparna ako je
f (−x) = −f (x).
Zadatak
Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Parnost i neparnost funkcije
Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi
f (−x) = f (x).
Funkcija je neparna ako je
f (−x) = −f (x).
Zadatak
Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Parnost i neparnost funkcije
Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi
f (−x) = f (x).
Funkcija je neparna ako je
f (−x) = −f (x).
Zadatak
Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x .
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x .
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x .
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x .
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).
Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).
Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).
Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).
Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).
Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 12 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 12 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 1
2 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 12 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 12 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x).
Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji.
Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Racionalne funkcije
Oblik: R(x) =P(x)
Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Zadatak
Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Granicna vrijednost
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Granicna vrijednost
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Granicna vrijednost
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Granicna vrijednost
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Fundamentalno
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex .
Ispitajte osobine preslikavanja.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Fundamentalno
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex . Ispitajte osobine preslikavanja.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Fundamentalno
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex . Ispitajte osobine preslikavanja.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Eksponencijalna funkcija
Definicija
Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.
Zapamtiti
Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .
Zadatak
Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Eksponencijalna funkcija
Definicija
Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.
Zapamtiti
Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .
Zadatak
Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Eksponencijalna funkcija
Definicija
Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.
Zapamtiti
Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .
Zadatak
Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |Bozidar Ivankovic Matematika 1
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100?
rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Trigonometrijske funkcije
Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu
Radijani u dekadskom sustavu
Gradi u gradevinarsvu
Zadatak
Odredite domene trigonometrijskih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
2
4 y = 3 sin(2x − π4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Grafovi trigonometrijskih funkcija
Nacrtajte grafove funkcija
1 y = sin x
2 y = sin 3x
3 y = 4 sinx
24 y = 3 sin(2x − π
4 )
5 y = 2 cos( x3 − π)
6 y = tan x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domena funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domena funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domena funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domena funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domena funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je granicna vrijednost niza.
Oznaka limn→∞
an = L.
Konvergentan niz ima limes.
Divergentni nizovi nemaju limes.
Zadatak
Odredite limn→∞
n − 1
n
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes funkcije
Zadatak
Ispitajte i zapisite rjesenje:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes funkcije
Zadatak
Ispitajte i zapisite rjesenje:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes funkcije
Zadatak
Ispitajte i zapisite rjesenje:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes funkcije
Zadatak
Ispitajte i zapisite rjesenje:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Limes funkcije
Zadatak
Ispitajte i zapisite rjesenje:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domaca zadaca
1 Odredite domenu funkcije
√x + 1
ln(1− x)
2 Nacrtajte graf funkcije y = cosx
2
3 Pomocu niza x ∈ {0.1, 0.01, 0.001, ...} odredite limx→0
sin x
x
4 Odredite domenu funkcije y =√x − 2 + arcsin
x
x − 2
5 Napisite formulu funkcije inverzne funkciji f (x) = e3x−2
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Domaca zadaca
1 Odredite domenu funkcije
√x + 1
ln(1− x)
2 Nacrtajte graf funkcije y = cosx
2
3 Pomocu niza x ∈ {0.1, 0.01, 0.001, ...} odredite limx→0
sin x
x
4 Odredite domenu funkcije y =√x − 2 + arcsin
x
x − 2
5 Napisite formulu funkcije inverzne funkciji f (x) = e3x−2
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...
x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,
f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,
y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,
∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,
∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,
dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno
dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno dy = y ′ · dx .
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijedi
y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x)
Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Osnovna pravila deriviranja
Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = log2 x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√x − 3x
2 + 2x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√x
8 y =3√x2 − 2√
x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:
(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija umnoska
Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx
b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnx
b) y =ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2
c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija kvocijenta funkcija
Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi
y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2
Derivirajte:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x).
Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x)
=dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dx
i x ′ = (f −1)′(y) =dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ =
(f −1)′(y) =dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy.
Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =
dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=
1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)).
Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x
i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija inverzne funkcije
Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).
Slijedi y ′ = f ′(x) =dy
dxi x ′ = (f −1)′(y) =
dx
dy. Tada je
(f −1)′(y) =dx
dy=
1dxdy
=1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija slozene funkcija
Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:
y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)
y ′ =dy
dx=
dy
dz· dzdx
= f ′(z) · g ′(x)
y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija slozene funkcija
Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:
y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)
y ′ =dy
dx=
dy
dz· dzdx
= f ′(z) · g ′(x)
y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija slozene funkcija
Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:
y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)
y ′ =dy
dx=
dy
dz· dzdx
= f ′(z) · g ′(x)
y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija slozene funkcija
Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:
y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)
y ′ =dy
dx=
dy
dz· dzdx
= f ′(z) · g ′(x)
y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija slozene funkcija
Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:
y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)
y ′ =dy
dx=
dy
dz· dzdx
= f ′(z) · g ′(x)
y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralista
y0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralista
vrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).
Tri velicine :
x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .
Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u
tocki x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√x , u tocki y = 3
2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove
1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).
2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula funkcije f (x) = ln x+√
1−x2
x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Rjesenja zadataka
1 a)4x − 4y + 1 = 0; b)y = −34x + 6; c)y = 1
6x + 32
2 Tangenta i normala redom: a)x = 1, y = 0;b)x − 2y − 1 = 0, 2x + y − 2 = 0;c)2x + y − 3 = 0, x − 2y + 1 = 0 za (1, 1);2x − y + 3 = 0, x + 2y − 1 = 0 za (−1, 1).
3 Iz y ′ = 1x+√
1−x2· −1−x2
x√
1−x2ocito je y ′(1)→∞, sto daje za
tangentu vertikalu x = 1, a za normalu y = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .
Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25,
y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x ,
4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36
i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.
Formula prve derivacije y ′ = dydx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Derivacija implicitno zadane funkcije
Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy
dx ima dvije varijable.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.
2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .
3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.
4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3
√y2 =
3√a2, gdje je a
proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3
2 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
3 y ′ = 1ey−1
4 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+.
Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3.
Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku.
Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg?
Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Teorem
Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine
tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r
dt= (x(t), y(t)).
Akceleracija ~a(t) =d~v
dt(x(t), y(t)).
1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.
2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t
√t). Izracunajte brzinu i
akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Rjesenja
1 ~v(3) = (12, 12.6), ~a(3) = (4, 2), |~v(3)| = 17.4, |~a(3)| = 4.5,~a3 = (2.9, 3), |~at(3)| = 4.2, ~acp(3) = (1.1,−1), |~acp(3)| = 1.5.
2 ~v(4) = (26, 104, 48), ~a(4) = (6, 48, 6), F = 2 134N,~at(4) = 492
13 796 · (26, 104, 48) = (0.9, 3.7, 1.7), Fcp = 2016N.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta na parametriziranu krivulju
Teorem
Neka je radijus vektor tocke krivulje parametarski zadan formulama~r(t) = (x(t), y(t)). Koeficijent smjera tangente u tocki parametra
t0 je k = y ′(t0) =y(t0)
x(t0)
Zadatak
Nacrtajte tangentu na graf funkcije zadane parametarski formulamax(t) = t2−1
2t−ln t i y(t) =√
3t2 − 2t − 6, a za vrijednost parametrat = 4. Za koje je vrijednosti parametra t definirana funkcija?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta na parametriziranu krivulju
Teorem
Neka je radijus vektor tocke krivulje parametarski zadan formulama~r(t) = (x(t), y(t)). Koeficijent smjera tangente u tocki parametra
t0 je k = y ′(t0) =y(t0)
x(t0)
Zadatak
Nacrtajte tangentu na graf funkcije zadane parametarski formulamax(t) = t2−1
2t−ln t i y(t) =√
3t2 − 2t − 6, a za vrijednost parametrat = 4. Za koje je vrijednosti parametra t definirana funkcija?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta na parametriziranu krivulju
Teorem
Neka je radijus vektor tocke krivulje parametarski zadan formulama~r(t) = (x(t), y(t)). Koeficijent smjera tangente u tocki parametra
t0 je k = y ′(t0) =y(t0)
x(t0)
Zadatak
Nacrtajte tangentu na graf funkcije zadane parametarski formulamax(t) = t2−1
2t−ln t i y(t) =√
3t2 − 2t − 6, a za vrijednost parametrat = 4.
Za koje je vrijednosti parametra t definirana funkcija?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Tangenta na parametriziranu krivulju
Teorem
Neka je radijus vektor tocke krivulje parametarski zadan formulama~r(t) = (x(t), y(t)). Koeficijent smjera tangente u tocki parametra
t0 je k = y ′(t0) =y(t0)
x(t0)
Zadatak
Nacrtajte tangentu na graf funkcije zadane parametarski formulamax(t) = t2−1
2t−ln t i y(t) =√
3t2 − 2t − 6, a za vrijednost parametrat = 4. Za koje je vrijednosti parametra t definirana funkcija?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije
Teorem (Fermat)
Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0
Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)
Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).
Teorem (O karakterizaciji)
Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.
1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija
2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Zadatak
Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:
1 f (x) = x2 − ln x2
2 f (x) = e−x2+8x−14
3 f (x) = x1−ln x
4 f (x) =sin x − 2
cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Zadatak
Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:
1 f (x) = x2 − ln x2
2 f (x) = e−x2+8x−14
3 f (x) = x1−ln x
4 f (x) =sin x − 2
cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Zadatak
Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:
1 f (x) = x2 − ln x2
2 f (x) = e−x2+8x−14
3 f (x) = x1−ln x
4 f (x) =sin x − 2
cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Zadatak
Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:
1 f (x) = x2 − ln x2
2 f (x) = e−x2+8x−14
3 f (x) = x1−ln x
4 f (x) =sin x − 2
cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Zadatak
Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:
1 f (x) = x2 − ln x2
2 f (x) = e−x2+8x−14
3 f (x) = x1−ln x
4 f (x) =sin x − 2
cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije
Teorem
Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.
1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.
2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.
Napomena
Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0. To je tockainfleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije
Teorem
Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.
1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.
2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.
Napomena
Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0. To je tockainfleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije
Teorem
Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.
1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.
2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.
Napomena
Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0. To je tockainfleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije
Teorem
Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.
1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.
2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.
Napomena
Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0.
To je tockainfleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije
Teorem
Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.
1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.
2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.
Napomena
Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0. To je tockainfleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x
2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 12
3 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija
1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex
3 f (x) = x ln2 x
4 f (x) = e3−4x−5x2
2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:
1 f (x) = (x − 1) 7√
(x − 1)6
2 f (x) =x3
x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
L’Hospitalovo pravilo
Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su
∞−∞,∞∞,
0
0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.
Teorem
L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.
Ako je limx→af ′(x)
g ′(x)= L, onda je L = limx→a
f (x)
g(x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
L’Hospitalovo pravilo
Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su
∞−∞,∞∞,
0
0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.
Teorem
L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.
Ako je limx→af ′(x)
g ′(x)= L, onda je L = limx→a
f (x)
g(x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
L’Hospitalovo pravilo
Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su
∞−∞,∞∞,
0
0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.
Teorem
L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.
Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.
Ako je limx→af ′(x)
g ′(x)= L, onda je L = limx→a
f (x)
g(x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
L’Hospitalovo pravilo
Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su
∞−∞,∞∞,
0
0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.
Teorem
L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.
Ako je limx→af ′(x)
g ′(x)= L, onda je L = limx→a
f (x)
g(x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
L’Hospitalovo pravilo
Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su
∞−∞,∞∞,
0
0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.
Teorem
L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.
Ako je limx→af ′(x)
g ′(x)= L, onda je L = limx→a
f (x)
g(x).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)
5 limx→π
2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci
Odredite limese sljedecih funkcija:
1 limx→0
e3x − 3x − 1
sin2 5x
2 limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
3 limx→0
x ln x
4 limx→1
(2
1− x2− 3
1− x3
)5 lim
x→π2
(π − 2x)cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Asimptote
Pravac je asimptota ako udaljenost grafa funkcije do pravca tezi knuli za x →∞ ili y →∞.
Zadatak
Odredite asimptote sljedecih funkcija
1 f (x) =sin x
x
2 f (x) =ln2 x
x− 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Asimptote
Pravac je asimptota ako udaljenost grafa funkcije do pravca tezi knuli za x →∞ ili y →∞.
Zadatak
Odredite asimptote sljedecih funkcija
1 f (x) =sin x
x
2 f (x) =ln2 x
x− 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Asimptote
Pravac je asimptota ako udaljenost grafa funkcije do pravca tezi knuli za x →∞ ili y →∞.
Zadatak
Odredite asimptote sljedecih funkcija
1 f (x) =sin x
x
2 f (x) =ln2 x
x− 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Asimptote
Pravac je asimptota ako udaljenost grafa funkcije do pravca tezi knuli za x →∞ ili y →∞.
Zadatak
Odredite asimptote sljedecih funkcija
1 f (x) =sin x
x
2 f (x) =ln2 x
x− 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Crtanje grafova funkcija
Zadatak
Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) =x3
x2 − 4.
Zadatak
Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) = 16x(x − 1)3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Crtanje grafova funkcija
Zadatak
Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) =x3
x2 − 4.
Zadatak
Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) = 16x(x − 1)3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaca
Odredite sve asimptote sljedecih funkcija
1 f (x) = 1−ln x1+ln x
2 f (x) = xex
(1+x)2
Ispitajte tok i skicirajte grafove funkcija
1 f (x) = xe−1x
2 f (x) = x2−1x2+1
3 f (x) = (x + 1) ln2(x + 1)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena crtanja grafova na rjesavanjenealgebarskih jednadzbi
1 Rijesite jednadzbu x ln x = 1
2 Rijesite jednadzbu x + sin x = 1
3 Odredite nultocke funkcije f (x) = ln2 xx − 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena crtanja grafova na rjesavanjenealgebarskih jednadzbi
1 Rijesite jednadzbu x ln x = 1
2 Rijesite jednadzbu x + sin x = 1
3 Odredite nultocke funkcije f (x) = ln2 xx − 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena crtanja grafova na rjesavanjenealgebarskih jednadzbi
1 Rijesite jednadzbu x ln x = 1
2 Rijesite jednadzbu x + sin x = 1
3 Odredite nultocke funkcije f (x) = ln2 xx − 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena crtanja grafova na rjesavanjenealgebarskih jednadzbi
1 Rijesite jednadzbu x ln x = 1
2 Rijesite jednadzbu x + sin x = 1
3 Odredite nultocke funkcije f (x) = ln2 xx − 3x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Treca obavezna domaca zadaca
1 Izracunajte f ′(−1) za funkciju f (x) =3x2 − x − 2
x3 + x + 1.
2 Napisite jednadzbu tangente i normale na graf funkcijey = e−x
2−2x u tocki grafa s apscisom x = 0.
3 Odredite intervale rasta, pada i lokalne ekstreme funkcijef (x) = arctan(4x − x2).
4 Izracunajte limx→∞
π − 2 arctan x
e3x − 1
.
5 Ispitajte tok i skicirajte graf funkcije f (x) =ln x√x
.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6.
Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala
Zadatak
Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .
Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:
Zadatak
Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Newton-Leibnitzova formula
Antiderivacija formule f (x) je formula F (x) koja ima svojstvoF ′(x) = f (x).
Teorem
Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je∫ b
af (x)dx = F (x)
∣∣∣∣ba
= F (b)− F (a).
Zadatak
Primjenom Teorema rijesite prethodne zadatke.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Newton-Leibnitzova formula
Antiderivacija formule f (x) je formula F (x) koja ima svojstvoF ′(x) = f (x).
Teorem
Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je
∫ b
af (x)dx = F (x)
∣∣∣∣ba
= F (b)− F (a).
Zadatak
Primjenom Teorema rijesite prethodne zadatke.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Newton-Leibnitzova formula
Antiderivacija formule f (x) je formula F (x) koja ima svojstvoF ′(x) = f (x).
Teorem
Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je∫ b
af (x)dx = F (x)
∣∣∣∣ba
= F (b)− F (a).
Zadatak
Primjenom Teorema rijesite prethodne zadatke.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Newton-Leibnitzova formula
Antiderivacija formule f (x) je formula F (x) koja ima svojstvoF ′(x) = f (x).
Teorem
Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je∫ b
af (x)dx = F (x)
∣∣∣∣ba
= F (b)− F (a).
Zadatak
Primjenom Teorema rijesite prethodne zadatke.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena Newton-Leibnitzove formule
Rijesite Newton-Leibnitzovom formulom nekoliko slijedecihzadataka.
1 Izracunati povrsinu koju omeduju graf funkcije y = 3x2,vertikalni pravci x = 1 i x = 3 i os apscsa: y = 0.
2 Izracunajte povrsinu koju omeduju hiperbola xy = 12, osapscisa i vertikale x = 2 i x = 6.
3 Koliko je velika jedna od povrsina koju sinusoida y = sin xzatvara s x-osi?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena Newton-Leibnitzove formule
Rijesite Newton-Leibnitzovom formulom nekoliko slijedecihzadataka.
1 Izracunati povrsinu koju omeduju graf funkcije y = 3x2,vertikalni pravci x = 1 i x = 3 i os apscsa: y = 0.
2 Izracunajte povrsinu koju omeduju hiperbola xy = 12, osapscisa i vertikale x = 2 i x = 6.
3 Koliko je velika jedna od povrsina koju sinusoida y = sin xzatvara s x-osi?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena Newton-Leibnitzove formule
Rijesite Newton-Leibnitzovom formulom nekoliko slijedecihzadataka.
1 Izracunati povrsinu koju omeduju graf funkcije y = 3x2,vertikalni pravci x = 1 i x = 3 i os apscsa: y = 0.
2 Izracunajte povrsinu koju omeduju hiperbola xy = 12, osapscisa i vertikale x = 2 i x = 6.
3 Koliko je velika jedna od povrsina koju sinusoida y = sin xzatvara s x-osi?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjena Newton-Leibnitzove formule
Rijesite Newton-Leibnitzovom formulom nekoliko slijedecihzadataka.
1 Izracunati povrsinu koju omeduju graf funkcije y = 3x2,vertikalni pravci x = 1 i x = 3 i os apscsa: y = 0.
2 Izracunajte povrsinu koju omeduju hiperbola xy = 12, osapscisa i vertikale x = 2 i x = 6.
3 Koliko je velika jedna od povrsina koju sinusoida y = sin xzatvara s x-osi?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.
Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Neodredeni integral
Definicija
Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.
Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:
1
∫xdx ,
∫x2dx
2
∫x4dx
∫xndx
3
∫ √xdx
∫dx
x2
Zadatak
Ispisite tablicu neodredenih integrala
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metode integriranja. Direktno integriranje
Teorem
Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α
∫f (x)dx + β
∫g(x)dx .
Zadatak
Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:
1∫
(2 + x2)3dx ,
∫x2 + 2
x2 + 1dx
2∫
tan2 xdx ,
∫ √x − 2
3√x2 + 1
4√x
dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metode integriranja. Direktno integriranje
Teorem
Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α
∫f (x)dx + β
∫g(x)dx .
Zadatak
Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:
1∫
(2 + x2)3dx ,
∫x2 + 2
x2 + 1dx
2∫
tan2 xdx ,
∫ √x − 2
3√x2 + 1
4√x
dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metode integriranja. Direktno integriranje
Teorem
Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α
∫f (x)dx + β
∫g(x)dx .
Zadatak
Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:
1∫
(2 + x2)3dx ,
∫x2 + 2
x2 + 1dx
2∫
tan2 xdx ,
∫ √x − 2
3√x2 + 1
4√x
dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metode integriranja. Direktno integriranje
Teorem
Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α
∫f (x)dx + β
∫g(x)dx .
Zadatak
Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:
1∫
(2 + x2)3dx ,
∫x2 + 2
x2 + 1dx
2∫
tan2 xdx ,
∫ √x − 2
3√x2 + 1
4√x
dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metode integriranja. Direktno integriranje
Teorem
Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α
∫f (x)dx + β
∫g(x)dx .
Zadatak
Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:
1∫
(2 + x2)3dx ,
∫x2 + 2
x2 + 1dx
2∫
tan2 xdx ,
∫ √x − 2
3√x2 + 1
4√x
dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2
ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x
ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije. Prvi diferencijal
Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.
Zadatak
Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:
1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3
2 f (x) = ln x ϕ(t) = t
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx
2x + 3
∫ √3x + 5dx
2∫ 2
0
4x + 5
3− xdx
∫tgxdx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda supstitucije
Zadatak
Metodom supstitucije odgonetnuti
1∫ dx√
2− 3x
∫ xdx
4 + 5x2
2∫ dx
(cos x + sin x)2
∫x2 3√
x3 − 8dx
3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Rjesenja
1 Supstitucija 2− 3x = t2 vodi na dx = −2tdt3 i konacno daje
−∫
23dt = −2
3 t = −23
√2− 3x + c .
2 Uz 4 + 5x2 = t dobiva se∫
xt
dt10x = 1
10 ln(4 + 5x2) + c .
3 Trik je transformacija∫
dxcos2 x(1+tan x)2 . Tada uzeti tan x = t.
Rjesenje je − 11+tan x + c .
414 (x3 − 8) 3
√x3 − 8.
543 .
6 7.14
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda parcijalne integracije
Dva faktora u podintegralnoj funkciji:∫f (x) · dx =
∫u(x) · dv(x) , gdje je dv(x) = v ′(x) · dx prvi
diferencijal. Nada da ce biti jednostavnije pogoditi:∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−
∫v(x) · du(x).
Primjer
Integrirati
1∫
ln xdx
∫arctan xdx
2∫
arcsin xdx∫
ln(x +√
1 + x2)dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda parcijalne integracije
Dva faktora u podintegralnoj funkciji:∫f (x) · dx =
∫u(x) · dv(x) , gdje je dv(x) = v ′(x) · dx prvi
diferencijal. Nada da ce biti jednostavnije pogoditi:∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−
∫v(x) · du(x).
Primjer
Integrirati
1∫
ln xdx∫
arctan xdx
2∫
arcsin xdx∫
ln(x +√
1 + x2)dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda parcijalne integracije
Dva faktora u podintegralnoj funkciji:∫f (x) · dx =
∫u(x) · dv(x) , gdje je dv(x) = v ′(x) · dx prvi
diferencijal. Nada da ce biti jednostavnije pogoditi:∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−
∫v(x) · du(x).
Primjer
Integrirati
1∫
ln xdx∫
arctan xdx
2∫
arcsin xdx
∫ln(x +
√1 + x2)dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Metoda parcijalne integracije
Dva faktora u podintegralnoj funkciji:∫f (x) · dx =
∫u(x) · dv(x) , gdje je dv(x) = v ′(x) · dx prvi
diferencijal. Nada da ce biti jednostavnije pogoditi:∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−
∫v(x) · du(x).
Primjer
Integrirati
1∫
ln xdx∫
arctan xdx
2∫
arcsin xdx∫
ln(x +√
1 + x2)dx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Zadaci za vjezbu
1 Izracunajte
∫ 2
1exdx . (4.67)
2 Izracunajte metodom supstitucije
∫ 4
2
2x − 1
3x + 4dx ( 12
9 −59 ln 1.6)
3 Nacrtajte graf funkcije y = 3 cos 2x i izracunajte jednu odpovrsina koju zatvara sa osi 0X . (3)
4 Odredite povrsinu koju zatvara vertikala x = 5, graf funkcijey = x2 − 2x − 3 i os 0X . (10.67)
5 Izracunajte
∫x cos xdx metodom parcijalne integracije.
(x sin x + cos x + c)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X .
(11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije.
(π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx
∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Slozeniji zadaci
1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)
2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)
3 Metodom parcijalne integracije izracunajte
1∫ 3
0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx
∫ 5
0x2e−xdx
2
∫ 2
0.5
x cos x dx∫e2x sin 3xdx
1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
tanx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2.
Zadatak
Odredite
1
∫sin x
sin x + cos xdx
2
∫ π2
0
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
tanx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2.
Zadatak
Odredite
1
∫sin x
sin x + cos xdx
2
∫ π2
0
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
tanx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2.
Zadatak
Odredite
1
∫sin x
sin x + cos xdx
2
∫ π2
0
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
tanx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2.
Zadatak
Odredite
1
∫sin x
sin x + cos xdx
2
∫ π2
0
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
tanx
2= t, sin x =
2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2, dx =
2dt
1 + t2.
Zadatak
Odredite
1
∫sin x
sin x + cos xdx
2
∫ π2
0
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Integrali trigonometrijskih funkcija
1
∫ π
0.01ctg3x dx
2
∫ 2π
0sin2 x cos2 xdx
3
∫ 0.3
−0.3cos x cos 3x cos 5xdx
4
∫ 2π3
0
dx
5− cos x
5
∫ 5π12
π12
√tg x
sin x cos xdx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0.
116
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y .
1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1.
163
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama.
94
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Primjene odredenog integrala u geometriji
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11
6
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16
3
Zadatak
U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9
4
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i
vertikalama x =1
ei x = e.
Zadatak
Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i
vertikalama x =1
ei x = e.
Zadatak
Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i
vertikalama x =1
ei x = e.
Zadatak
Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i
vertikalama x =1
ei x = e.
Zadatak
Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Ispitni zadaci
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.
Zadatak
Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i
vertikalama x =1
ei x = e.
Zadatak
Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Dopunski zadaci
1 Izracunajte neposredno
∫ 5
1
(3x +
4
x−√
2x
)dx .
2 Odredite metodom supstitucije
∫3x2 − x
3x − 1dx .
3 Izracunajte metodom parcijalne integracije
∫ 6
1x ln x dx .
4 Nacrtajte graf funkcije f (x) = ln x . Izracunajte povrsinu ispodgrafa funkcije omedenu vertikalom x = 10 i osi 0X .
5 Izracunajte velicinu povrsine omedene parabolom y = 4− x2 ipravcem y = x + 2.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Dopunski zadaci
1 Izracunajte neposredno
∫ 5
1
(3x +
4
x−√
2x
)dx .
2 Odredite metodom supstitucije
∫3x2 − x
3x − 1dx .
3 Izracunajte metodom parcijalne integracije
∫ 6
1x ln x dx .
4 Nacrtajte graf funkcije f (x) = ln x . Izracunajte povrsinu ispodgrafa funkcije omedenu vertikalom x = 10 i osi 0X .
5 Izracunajte velicinu povrsine omedene parabolom y = 4− x2 ipravcem y = x + 2.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
Top Related