Matemaatika on mehaanika kaksikvend ja inseneri parim sõber · 2019. 1. 29. · Matemaatika on...
Transcript of Matemaatika on mehaanika kaksikvend ja inseneri parim sõber · 2019. 1. 29. · Matemaatika on...
-
Matemaatika on mehaanika kaksikvend ja inseneri parimsõber
Andrus Salupere
Tahkisemahaanika labor, Küberneetika instituutLoodusteaduskond, Tallinna Tehnikaülikool
TäienduskoolitusSA Professor Karl Õigeri Stipendiumifond
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 1 / 31
-
Kava
EndastMatemaatikast ja mehaanikast
matemaatika allikadvektorid, tuletised, integraalid, märgireeglid jne.,Sisult matemaatiline ja vormilt ketserlik ettepanek
Ettekande eesmärgiks on näidata, et matemaatiliste printsiipide jameetodite järjekindel rakendamine muudab mehaanikaülesannetelahendamise lihtsamaks ja teeb seeläbi matemaatikast inseneri parimasõbra.
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 2 / 31
-
Endast
Sündisin 5. septembril 1957. a.Jõgeva Keskkool 1976. a.1976. a. septembrist kuni 1986 detsembrini Tartu (Riiklikus) Ülikoolismatemaatika teaduskonnas
1976. – 1981. Rakendusmatemaatika üliõpilane 5 aastat = magister1981. – 1983. aastat stažöör-uurija teoreetilise mehaanika kateedris1983. – 1986. aspirant teoreetilise mehaanika kateedris (kaitsmine1991.)
Jäik-plastsete astmeliste ümar- ja rõngasplaatide optimaalneprojekteerimine
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 3 / 31
-
Endast
Alates 1986. aasta detsembrist Tallinna Tehnikaülikoolisteoreetilise mehaanika kateeder – üldteoreetiliste õppeaineteteaduskondehitusmehaanika kateeder – ehitusteaduskondmehaanikainstituut – ehitusteaduskondküberneetika instituut – TTÜ asutusküberneetika instituut – loodusteaduskond
Ametidtunnitasuline õppejõudassistentdotsentvanemteadurprofessor alates 2002. a.Küberneetika instituudi direktor alates 2009. a.
+ erinevad nõukogud, komisjonid jms kohustused
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 4 / 31
-
Endast
Õppetöö1983.-1989. – programmeerimine, kõrgem matemaatikaalates 1988. – mehaanika
staatika, dünaamika, analüütiline mehaanika – teoreetiline mehaanikaehk jäikade kehade ja punktmasside mehaanikatugevusõpetus, elastsusteooria, pideva keskkonna mehaanika –deformeeruvad kehad + vedelikud, gaasid
TeadustööMittelineaarsed lained, solitonid
Suhted ehitusinseneridegaEÜE 1977 – 1982 (1984)töö TTÜs ja KübIs
õppetöö ehitusteaduskonnas
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 5 / 31
-
Matemaatikast
(Rakendus)matemaatika allikad – mehaanika, füüsika ja muudmehaanika probleemmudel => (diferentsiaal)võrrand(id)lahendi eksisteerimine ja ühesus – jah/eiei: uus mudeljah: lahendanalüütiline – jah/eijah: valem (analüütiline avaldis)ei: arvutusmeetod => numbriline lahend
———————————
Selles reas puuduvad selged piirid teoreetikute ja rakendajate vahel.Inseneri jaoks võivad need kõik tunduda väga teoreetilised tegevused,sest teda huvitab tavaliselt vaid lahed
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 6 / 31
-
Matemaatikast
Teoreetiline suundrakenduslikud tulemused => matemaatilised üldistusedpuhas matemaatika – rakendused võivad tulla hiljem
näiteks kompleksarvud
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 7 / 31
-
Mehaanikast
Koolifüüsika – mehaanika primitiivne käsitluskinnistuvad pooltõed, ebatäpsused jmsnäiteks ühtlase liikumise ja ühtlaselt kiireneva liikumise valemidmehaanika põhiülesanne – leida keha asukoht mis tahes ajahetkel
e-õpik : Mehaanika, Autor: Indrek PeilTegelikkus on tunduvalt mitmekesisem ja matemaatilisem
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 8 / 31
-
MEHAANIKA
JNE.
JÄIGA KEHA MEHAANIKA (TEOREETILINE MEHAANIKA)
STAATIKA
KINEMAATIKA
DÜNAAMIKA*
ANALÜÜTILINE MEHAANIKA
DÜNAAMIK
A
TEHNILINE MEHAANIKA
MEHHANISMIDE JA MASINATE TEOORIA
PIDEVA KESKKONNA MEHAANIKA
JNE.
BALL
ISTIK
A
ARVUTUSMEHAANIK
A
KEHADE S
ÜSTEE
MI
DÜNAAMIK
A
DEFORMEERUVA KEHA MEHAANIKA
JNE.
HÜDRO- JA AEROMEHAANIKA
ELASTSUSTEOORIA
TUGEVUSÕPETUS
PLASTSUSTEOORIA
PLAATIDE JA KOORIKUTE TEOORIA
EHITUSMEHAANIKA
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 9 / 31
-
Vektorid on kõikjal
jõudpunkti kohavektor, siire e. paigutis e. nihe (füüsikutel)kiirus, kiirenduspööre (pöördenurk)nurkkiirus, nurkkiirendusjõu moment, jõupaarliikumishulk (impulss), liikumishulga moment (impulsi moment,pöördeimpulss, pöörlemishulk)pingejne.
NB! Primaarsed on alati vektorvõrrandid. Skalaarsed võrrandid saadakseneist koordinaattelgedele projekteerimise teel.
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 10 / 31
-
Tehted vektoritega
liitmine, skalaariga korrutamine, jmspikkus, ühikvektorskalaarkorrutisvektorkorrutisprojektsioonid (koordinaat)telgedele
——————————Graafilised meetodid – vektorite liitmine ja lahutamine
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 11 / 31
-
Koordinaadid
tavaliselt Descartes’i ristkoordinaadidtavaliselt x , y , zvahel z1, z2, z3vahel x1, x2, x3
vahel on otstarbekas kasutada silindrilisi või sfäärilisi koordinaateharva ka eksootilisi koordinaate – elliptilised, hüperboolsed jneüldjuhul parema käe koordinaadid
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 12 / 31
-
Pöörde positiivne suund
Pöörde positiivne suund määratakse kruvireegliga!
Kellad ja Päikese võiks siin ära unustada!
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 13 / 31
-
Jõu moment on vektor!
Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse vektorit, mis võrdub jõurakenduspunkti A kohavektori r ja jõuvektori F vektorkorrutisega.
MO = r × F, MO ≡ |MO| = Fr sinϑ = Fd . (1)
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 14 / 31
-
Momentvektori MO suurus (ehk moodul) ja suund sõltub punkti Ovalikust kuid ei sõltu punkti A valikust jõu mõjusirgel.Momentvektori MO mõjusirge määrab telje, mille ümber jõud Fpüüab tekitada pöörlemist.Jõu moment telje suhtes – mõistlik on ka seda vaadelda vektorina:MO = Mx + My + Mz
Mx ,My ,Mz on MO komponendidMx ,My ,Mz on MO projektsioonid
Tasakaaluvõrrandid: MO = 0 projektsioonid koordinaattelgedelM = ±Fd , märk kruvireegliga
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 15 / 31
-
Jõusüsteemi tasakaal
Jõusüsteem on tasakaalus parajasti siis kui peavektor FO ja mingi punktiO suhtes leitud peamoment MO on võrdsed nulliga:
FO =∑
iFi = 0, MO =
∑i
MO(Fi ) = 0. (2)
Skalaarsed tasakaalu tingimused:∑
iFix = 0,
∑i
Fiy = 0,∑
iFiz = 0,∑
iMx (Fi ) = 0,
∑i
My (Fi ) = 0,∑
iMz(Fi ) = 0.
(3)
NB! Primaarsed on vektorvõrrandid (2)!
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 16 / 31
-
Tuletised ja integraalid
Tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust.y = f (x) => y ′ = f ′(x) annab funktsiooni y = f (x) puutuja tõusu,s.t. tema muutumise kiiruse x järgix = f (t) => ẋ = dx/dt annab samuti funktsiooni x = f (t) puutujatõusu, s.t. tema muutumise kiiruse t järgifunktsiooni uurimine: nullkohad, ekstreemumid, käänupunktid,kumerus, nõgusus jne.
OsatuletisedΨ = Ψ(x , y , z) => ∂Ψ∂x annab funktsiooni Ψ = Ψ(x , y , z) muutumisekiiruse x järgi, jne.Gradient
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 17 / 31
-
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 18 / 31
-
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 19 / 31
-
Momentide tasakaaluvõrrand => nihkepingete paarsus
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 20 / 31
-
Integraal
Tuletise pöördoperatsioonAlgne tähendus: pindala
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 21 / 31
-
Kinemaatika
Punkti kinemaatikakohavektor r = r(t) => x = x(t) jnekiirus v = ṙ => vx = ẋ jnekiirendus a = v̇ = r̈ => ax = v̇x = ẍ jne
Vastupidi: integreeriminekiirus:
∫ t0 dvx =
∫ t0 ax dt jne => v
liikumisvõrrandid∫ t
0 dx =∫ t
0 vx dt jne => r
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 22 / 31
-
Kinemaatika
Pöörleminepöördenurk φ = φ(t) => φz = φz(t) jnenurkkiirus ω = φ̇ => ωz = φ̇z jnenurkkiirendus α = ω̇ = φ̈ => αz = ω̇z φ̈z jne
Vastupidi: integreerimine analoogiliselt eelmisega—————Pöörleva keha punkti kiirus ja kiirendus
v = ṙ = ω × ra = v̇ = α× r + ω × v, s.t. puutekiirendus (vektor) +normaalkiirendus (vektor)
——————————Kõik liikumiste erijuhud on analüüsitavad eelnevast lähtudes. Lisaks võibvaja minna Euleri nurki.
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 23 / 31
-
Dünaamika
Newtoni II seadus F = maDünaamika 2 põhiülesannet:
liikumine => jõud: diferentseeriminejõud => liikumine: diferentsiaalvõrrand
otsene integreeriminediferentsiaalvõrrandi lahendamine – analüütiline või numbriline
Dünaamika üldteoreemiddiferentseerimine ja integreerimine
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 24 / 31
-
Analüütiline mehaanika
Rohkem matemaatikat – variatsioonarvutusD’Alembert’i printsiipüldistatud jõud ja üldistatud koordinaadidLagrange’i võrrandid – mitme vabadusastmega süsteemidHamiltoni võrrandidjne
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 25 / 31
-
Tugevusõpetus
Diferentsiaal- ja integraalseosed
dNdx = −px ,
dQzdx = −pz ,
dMydx = Qz . (4)
N(x) = N(a)−∫ x
apx (x)dx ,
Qz(x) = Qz(a)−∫ x
apz(x)dx ,
My (x) = My (a) +∫ x
aQz(x)dx .
(5)
ekstreemumid, epüüri kujuintegraalid epüüride pindalad
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 26 / 31
-
Tugevusõpetus
sisejõud pingedpinnamomendidelastse joone (diferentsiaal)võrrandjne
—————————Elastsusteooria – veel rohkem matemaatikat
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 27 / 31
-
Märgireeglid
Tasakaaluvõrrandid: selged reeglid - projektsisoonid + kruvireegelPingetega on ka asi selge: positiivsel (sise)pinnal mõjub positiivnepinge vastava telje positiivses suunas ja negatiivsel (sise)pinnalnegatiivses suunas.Põikjõu jaoks kehtib sama reegel.Pikijõu jaoks ka.Väändemomendile saab rakendada sama reeglit kui väljendada tedavektorina.Paindemoment – väljaspool aega ja ruumi: positiivsed ja negatiivsedkiud jms
tegelikult on suhteliselt praktiline kokkulepe
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 28 / 31
-
Globaliseerumine
Suhtestumine globaliseeruvasse (ingliskeelsesse) maailma, s.t.ingliskeelsesse kirjandusse
epüür – i.k. diagramvertikaaltelg: üles – allaPaindemomendi märgireeglid
väga erinevad kokkulepped (sign conventions)üks variant: kasutatakse sama reeglit, mis pingete korral
Ettepanekud (ingliskeelse kirjanduse mõjul)loobuda terminist epüürloobuda alla suunatud telgedestvõtta ka paindemomendi jaoks kasutusele pingetega analoogilinemärgireegel
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 29 / 31
-
Kokkuvõte
Kogu mehaanika teooria on kirja pandud matemaatika keelesSeletada tuleb samuti matemaatika keeles – igasugusedpseudolihtsustused teevad asja ainult segasemaksMatemaatika on sõber, mitte vaenlaneMatemaatiline mõtlemine pole saatanastMiks siis üldse (üli)koolides matemaatikat õpetatakse, kui hiljem sedaei kasutataMida vahem erinevaid kokkuleppeid ja reegleid, seda paremLEM – see on omaette ooper
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 30 / 31
-
Tänan tähelepanu eest!
Küsimused on teretulnud!
A.Salupere Matemaatika on . . . 28. novembril 2018. 31 / 31